高等数学集合与映射
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高一数学必修一中的集 合与映射关系如何理解
高一数学必修一中的集合与映射关系如何理解在高一数学必修一中，集合与映射是两个非常重要的概念，它们不仅是后续数学学习的基础，也对我们理解和解决数学问题有着至关重要的作用。
那么，如何理解集合与映射的关系呢？让我们一起来探讨一下。
首先，我们来聊聊集合。
集合是什么呢？简单来说，集合就是把一些具有共同特征的对象放在一起，构成的一个整体。
比如说，我们班所有同学就可以构成一个集合，教室里所有的椅子也能构成一个集合。
集合中的每个对象都叫做元素。
集合的表示方法有很多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，像{1, 2, 3, 4, 5}就是用列举法表示的集合。
描述法呢，则是通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如{x ｜ x 是小于 10 的正整数}。
区间法通常用于表示连续的数集，比如1, 5表示 1 到 5 之间包括 1 和 5 的所有实数。
集合之间还有一些关系，比如子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么 A 就是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果A 是B 的子集，且 B 中至少有一个元素不在 A 中，那么 A 就是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么A 和B 就相等，记作 A ＝ B。
接下来，我们再谈谈映射。
映射可以理解为一种特殊的对应关系。
比如说，我们有两个集合 A 和 B，对于集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素与之对应，那么这种对应关系就叫做从集合 A到集合 B 的映射。
为了更好地理解映射，我们来看一个例子。
假设集合 A 是所有学生的集合，集合 B 是所有学生的成绩集合。
那么，我们可以定义一个映射，将每个学生对应到他的成绩。
这样，对于集合A 中的每一个学生，在集合 B 中都有唯一的成绩与之对应。
映射有一些重要的性质。
首先是单射，如果对于集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的元素也不同，那么这个映射就是单射。
高一数学映射与集合知识点
高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。
本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。
一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。
映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。
映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。
简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。
2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。
也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。
双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。
映射在实际应用中有着广泛的运用。
例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。
而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。
二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。
集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。
元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。
2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。
3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。
4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。
5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。
集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。
例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。
映射法高一数学知识点总结
映射法高一数学知识点总结在高一的数学学习中，映射法是一种重要的解题方法，它能够帮助我们在解决各种数学问题时更加清晰地思考。
在本文中，我将总结高一数学中的一些重要知识点，并结合映射法来进行讲解和应用。
一、映射与函数在数学中，映射是指一种从一个集合到另一个集合的对应关系。
而函数则是一种特殊的映射，它要求每个输入值都有唯一对应的输出值。
我们可以通过映射的图象、对应法则和定义域等方面来描述一个函数。
在解题中，我们可以通过映射的性质来简化计算，找到问题的关键所在。
二、集合与映射集合是数学中的基本概念，而映射则是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
在解决集合和映射相关的问题时，我们可以运用映射法来分析和解答。
比如，在排列组合和概率等问题中，我们可以通过建立集合与映射的对应关系来快速求解。
三、函数的性质与应用函数是高中数学中的重点内容，它有很多重要的性质和应用。
其中，一次函数、二次函数和反比例函数是我们比较常见的函数类型。
在解决函数相关的问题时，我们可以利用映射法来推导函数的性质和应用，从而更好地理解和应用函数概念。
四、映射法在直角坐标系中的应用映射法在直角坐标系中有广泛的应用。
我们可以利用映射法来求解两点间的距离、两直线间的夹角以及两点间的中点等问题。
此外，映射法也可以帮助我们理解平移、旋转和翻折等几何变换，从而更好地解决相关的几何问题。
五、映射法在函数图象中的应用在研究函数的图象时，映射法可以帮助我们更好地分析和理解函数的性质。
通过建立函数的图象与输入输出的对应关系，我们可以求解函数的零点、最值和增减性等问题。
此外，映射法还可以帮助我们研究函数图象的对称性和周期性，进一步加深对函数的理解。
六、映射法在数列与数列极限中的应用数列是高中数学中的重要内容，而映射法可以帮助我们更好地研究数列的性质。
通过建立数列与输入输出的对应关系，我们可以求解数列的通项公式、前n项和以及极限等问题。
此外，映射法还可以帮助我们研究数列的收敛性和发散性，提高解题的效率和准确性。
集合与映射初步
集合与映射初步在数学中，集合与映射是两个常见且重要的概念。
它们在数学理论和实际问题中扮演着重要的角色。
本文将初步介绍集合与映射的定义、基本性质以及它们的应用。
一、集合的定义与性质集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的元素可以是任何事物，例如数字、字母、单词等。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示，并且用花括号{}表示。
例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示由元素1、2、3、4组成的集合。
集合有一些基本的性质，包括：1. 互异性：集合中的元素各不相同，不存在重复元素。
例如，集合B={1, 2, 2, 3}可以简化为B={1, 2, 3}。
2. 无序性：集合中的元素没有排列顺序，元素之间没有前后关系。
3. 确定性：一个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，不存在模糊的情况。
二、集合的运算集合之间可以进行一些基本的运算，包括并、交、差和补。
假设A和B是两个集合，它们的运算如下：1. 并集：集合A和B的并集，表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
2. 交集：集合A和B的交集，表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
3. 差集：集合A和B的差集，表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，A={1, 2}，B={2, 3}，则A-B={1}。
4. 补集：集合A关于全集的补集，表示为A'，包含了不属于A的全集元素。
例如，全集为{1, 2, 3, 4}，A={1, 2}，则A'={3, 4}。
三、映射的定义与性质映射是一种关系，它建立了一个集合的元素与另一个集合的元素之间的对应关系。
映射通常用小写字母表示，例如f。
对于映射f，它将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以表示为f：A → B。
其中，A称为定义域，B称为值域。
高等数学学习笔记.
《代数学》辅导纲要第一章代数运算与自然数主要内容：1、集合与映射的概念2、映射及其运算3、代数系统4、自然数及其他相关定义5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握1、由A→B的单映射σ的定义为：设σ:A→B,若由a1∈A,a2∈A,a1≠a2，就推出σ（a1)≠σ(a2)，则称σ为从A到B的单映射。
2、由A→B的满映射σ的定义为：设σ:A→B,若ran(σ)=B，则称σ为从A到B的满映射。
3、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象4、若集合|A|=n，则集合A→A的映射共有nn种。
5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。
6、自然数a与b加法的定义中两个条件为①：a+1=a'②：a+b'=(a+b)'.7、自然数a与b相乘的定义中两个条件为: ①：a⨯1=a;②：a⨯b'=a⨯b+a8、自然数a>b的定义为:如果给定的两个自然数a与b存在一个数k,使得a=b+k，则称a大于b,b小于a,记为a>b或b<a.9、皮阿罗公理中的归纳公式为:具有下面性质的自然数的任何集合M若满足：(1)1∈M;(2)如果a属于M,则它后面的数a’也属于M.则集合M含有一切自然数，即M=N.10、在整数集合中求两个数的最大公因数是代数运算。
11、若|A|=m，|B|=n，则A→B的所有不同映射的个数为nm。
12、若A是有限集合，则A→A的不同映射个数为：|A||A|。
13、从整数集合Z到自然数集合N存在一个单映射。
14、若A是有限集合，则不存在A到其真子集合的单映射。
15、若A为无限集合，则存在A的真子集合B使其与A等价。
16、存在从自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。
可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与(-1)n有关的映射17、存在从自然数N到整数集合Z的双射。
可考虑分段映射18、代数系统(R+,⨯)与代数系统(R,+)是同构的，其中R+表示正实数集合，R表示实数集合，⨯与+就是通常的实数乘法与加法。
数学集 合与映射知识点
数学集合与映射知识点《数学集合与映射知识点》一提到数学中的集合与映射，可能很多人的第一反应是：“哎呀，这也太复杂太难懂啦！”但其实，当你真正深入去了解，会发现它们就像我们生活中的小秘密，藏在各种角落里，等待着我们去揭开。
先来说说集合吧。
集合就像是一个装东西的大口袋，把一些具有相同特征或者满足特定条件的东西统统装进去。
比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，叫“XX 班同学集合”；咱们学校里所有的老师也能组成一个集合，叫“XX 学校老师集合”。
我记得有一次，我们数学老师在课堂上讲集合的概念，他为了让我们更清楚地理解，举了个特别有趣的例子。
老师说：“同学们，假设咱们要举办一个水果派对，现在我们来确定参加派对的水果。
苹果可以来，香蕉可以来，橙子可以来，但是西瓜太大了，不好搬过来，所以西瓜不来。
那么能来参加派对的水果就组成了一个集合。
”当时大家都被逗笑了，不过也一下子就明白了集合是怎么回事。
集合里的元素呢，就像是口袋里的一个个宝贝。
每个元素都有自己的特点，而且不会重复。
比如说，在“奇数集合”里，1 是奇数，3 是奇数，5 也是奇数，但不会有两个 1 或者两个 3 。
这就好比我们每个人在班级里都是独一无二的存在，谁也不能替代谁。
再讲讲映射。
映射啊，就像是一个神奇的魔法桥梁，把两个集合连接起来。
比如说，我们有一个集合是“学生的学号”，另一个集合是“学生的名字”。
通过一个特定的规则，比如按照学号的顺序对应学生的名字，这就是一个映射。
我自己在学习映射的时候，也有过一次很有趣的经历。
有一天，我在家里整理书架，突然发现书架上的书可以和它们所在的层数形成一个映射关系。
第一层放的是小说，第二层放的是传记，第三层放的是科普读物。
每一本书都有它固定的位置，就像每个元素在集合里都有它对应的“伙伴”一样。
而且啊，集合和映射在生活中的应用可多了去了。
比如说，我们去超市买东西，不同种类的商品就可以看作是不同的集合，而商品的价格标签就是一种映射，把商品和它的价格对应起来。
大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。
可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。
2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。
(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。
(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。
二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。
2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。
3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。
(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。
(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。
三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。
2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。
3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。
(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。
专升本数学集 合与映射基础知识梳理
专升本数学集合与映射基础知识梳理专升本数学：集合与映射基础知识梳理在专升本数学的学习中，集合与映射是非常基础且重要的概念。
理解和掌握好这部分知识，对于后续数学课程的学习起着至关重要的作用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下集合与映射的基础知识。
一、集合的概念集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。
这些对象称为集合的元素。
比如，我们可以把所有的正整数组成一个集合，把某班所有身高超过 18 米的同学组成一个集合。
集合通常用大写字母表示，如A、B、C 等，元素用小写字母表示，如 a、b、c 等。
如果一个元素 a 属于集合 A，我们记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，我们记作 b ∉ A。
集合的表示方法有多种，常见的有列举法、描述法和区间法。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，用逗号分隔，并用花括号括起来。
例如，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是用元素所具有的特征来描述集合。
例如，集合 B ＝｛x ｜x 是大于 5 的整数}。
区间法通常用于表示连续的实数集合。
例如，区间（1, 5) 表示大于1 且小于 5 的实数组成的集合。
二、集合的基本关系集合之间存在着包含、相等、真包含等关系。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么我们说集合 A 包含于集合 B，记作 A ⊆ B；如果集合 A 包含于集合 B，且集合 B 中存在元素不属于集合 A，那么我们说集合 A 真包含于集合 B，记作 A ⊂ B；如果集合 A 和集合 B 中的元素完全相同，那么我们说集合 A 等于集合B，记作 A ＝ B。
三、集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集：集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由既属于集合 A又属于集合 B 的所有元素组成的集合。
并集：集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于集合 A 或者属于集合 B 的所有元素组成的集合。
集合的函数和映射的定义及性质
集合的函数和映射的定义及性质一、集合的函数定义及性质函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都与另一个集合中的元素对应起来。
在数学中，函数可以用来描述一种映射关系。
下面是函数的定义及其性质。
1. 定义：给定两个集合A和B，一个从A到B的函数f是这样一个映射关系，对于A中的每个元素a，都有唯一的对应元素b在B中，称为f(a) = b。
用数学符号表示为f: A → B。
2. 性质：a. 单射：如果对于任意两个不同的元素a1和a2，其映射后的结果f(a1)和f(a2)也不相同，则称函数f为单射。
b. 满射：如果对于B中的每个元素b，都能找到A中的至少一个元素a，使得f(a)=b，则称函数f为满射。
c. 双射：如果函数f既是单射又是满射，则称函数f为双射。
d. 逆映射：如果函数f是双射，那么可以定义它的逆映射g，满足g(f(a)) = a和f(g(b)) = b，其中a属于集合A，b属于集合B。
二、映射的定义及性质映射是一种函数的特殊情况，它有更严格的性质要求。
下面是映射的定义及其性质。
1. 定义：给定两个集合A和B，一个从A到B的映射是这样一个函数f，对于A中的每个元素a，都有唯一的对应元素b在B 中，称为f(a) = b。
用数学符号表示为f: A → B。
2. 性质：a. 总映射：如果对于A中的每个元素a，都能找到B中的唯一元素b使得f(a) = b，则称映射f为总映射。
b. 单值映射：如果对于A中的每个元素a，其映射后的结果f(a)都是唯一的，即不存在不同的元素a1和a2使得f(a1) = f(a2)，则称映射f为单值映射。
c. 线性映射：如果对于A中的每个元素a，其映射后的结果f(a)都满足f(ka) = kf(a)，其中k为常数，则称映射f为线性映射。
以上是关于集合的函数和映射的定义及性质的简要介绍。
希望对你有所帮助。
大一高数映射知识点汇总
大一高数映射知识点汇总在大一的高等数学课程中，映射是一个重要的概念。
它在数学中有着广泛的应用，并且在不同的领域中都有着重要的作用。
本文将汇总大一高数中与映射相关的各个知识点，以帮助读者全面了解和掌握映射的概念和应用。
定义和基本概念在开始探讨映射的不同方面之前，我们需要了解一些基本的定义和概念。
在数学中，映射可以被定义为一个将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。
其中，我们称映射的起始集合为定义域，映射的终止集合为值域。
映射通常用符号表示，如f: A → B，表示从集合 A 到集合 B 的映射 f。
映射的分类根据映射的性质和特点，可以将映射分为不同的类型。
以下是几种常见的映射分类：1. 单射：如果映射中的每一个元素都对应不同的元素，则称其为单射，也叫一一映射。
2. 满射：如果映射中的每一个元素都有至少一个元素与之对应，则称其为满射，也叫到上映射。
3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则称其为双射，也叫一一对应。
4. 非单射：如果一个映射中存在不同的元素对应到相同的元素，则称其为非单射。
5. 非满射：如果一个映射中存在无元素与之对应的元素，则称其为非满射。
映射的性质映射具有一些重要的性质，其对于研究映射的特性和应用至关重要。
以下是映射的一些常见性质：1. 传递性：对于映射f: A → B 和g: B → C，如果 f 和 g 都是映射，那么 f ∘ g 也是映射。
2. 反函数：对于映射f: A → B，如果对于任意的 y ∈ B，存在唯一的 x ∈ A，使得 f(x) = y，则称g: B → A 为 f 的反函数。
3. 复合函数：对于映射f: A → B 和g: B → C，定义 f ∘ g(x) =f(g(x))，其中 x ∈ A，称 f ∘ g 为映射 f 和 g 的复合函数。
4. 逆映射：对于映射f: A → B，如果存在映射g: B → A 使得 f ∘ g = I_B 和 g ∘ f = I_A，其中 I_A 和 I_B 分别是集合 A 和集合 B 上的恒等映射，则称 g 为 f 的逆映射。
高一数学讲义 集合与映射
内容基本要求 集合的含义会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 集合的表示 能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念.在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算.能使用维恩图表达集合之间的关系和运算.1.集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系； 2.能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题； 3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等； 4.理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义； 5. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；6. 掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．板块一：集合的含义与表示（一） 知识内容1.集合的相关定义⑴ 集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.⑵ 元素用小写字母,,,a b c 表示；集合用大写字母,,,A B C 表示.⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.2.元素与集合间关系：属于∈；不属于∉.3.集合表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写高考要求第1讲集合与映射知识精讲在大括号“{ }”内的表示集合的方法.例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{x |描述特点}例如：大于3的所有整数表示为：{Z |3}x x ∈>方程2250x x --=的所有实数根表示为：{R x ∈|2250x x --=}（二）典例分析：1.集合的性质【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形【例2】已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 .2.集合与元素间的关系【例3】用“∈”或“∉”填空：⑴ 若2{|340}A x x x =--=，则1-___A ；4-___A ；⑵ 0___∅；⑶ 0___{0}．【例4】用符号“∈”或“∉”填空⑴0______N ， ______N N ⑵1______,π_______,e ______2-R Q Q Q （e 是个无理数）{}|,,x x a a b =+∈∈Q Q3.集合的表示方法 【例5】用列举法表示下列集合⑴ 方程2260x x +-=的根；⑵ 不大于8且大于3的所有整数；⑶ 函数32y x =+与1y x=的交点组成的集合．【例6】下列命题正确的有（ ）⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合；⑶3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素；⑷集合(){},|0,,x y xy x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个板块二：集合间的基本关系（一） 知识内容1.子集：对于两个集合,A B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为 集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.规定：∅是任意集合的子集.2.真子集：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ）.∅是任意非空集合的真子集.3.相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），此时，集合A 与集合中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B . (二)典例分析【例7】用适当的符号填空：⑴ ___{0}∅⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+=⑷{3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸{3,5}___N ⑹{|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺ {(2,3)}___{(3,2)}【例8】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例9】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若AB ，则a 的取值范围是______【例10】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【例11】若全集{}0,1,2,3U =且{}2U A =，则集合A 的真子集共有 ． A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个【例12】{,,}a b c A {,,,,,}a b c d e f ，求满足条件的A 的个数．【例13】求集合{,}a b 的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．板块三：集合的基本运算（一）知识内容1．相关概念：⑴ 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集， 记作A B （读作“A 并B ”），即{|,A B x x A =∈或}x B ∈．⑵ 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈．⑶ 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉．（二）典例分析【例14】已知全集{1,2,3,,10}U =，{1,2,3,4,5}A =，{4,5,6,7,8}B =，{3,5,7,9}C = 求：A B ，A B ，()U A B ，U A B ，()A B C【例15】已知集合{}{}22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-，求实数a 的值．【例16】若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（ ）⑴若A B =∅，则()()U UA B U = ⑵若A B U =，则()()U U A B =∅⑶若A B =∅，则A B ==∅A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例17】已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[1,3]-【例18】若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．1或1-或0【例19】设全集U R =，{}2|10M m mx x =--=方程有实数根，{}2|0N n x x n =-+=方程有实数根，求()U M N ．【例20】已知{(,)|,}I x y x y =∈R ，3(,)|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|1B x y y x =≠+，则()I A B 等于（ ） A ．∅ B ．{(2,3)} C ．(2,3) D ．{2,3}【例21】设全集{|20I x x =≤且x 为质数}．若{3,5},{7,19}I I AB A B ==，且{2,17}I I A B =，求集合,A B ．【例22】已知全集I 中有15个元素，集合M N 中有3个元素，I I M N 中有5个元素， I M N 中有4个元素．则集合N 中元素的个数（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615453IN M【例23】设I =R ，集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=．若,,A B C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．板块四：映射的定义（一）知识内容1.一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“f ：A →B ”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的射与B 到A 的映射是截然不同的．其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
集合与映射的基本概念
集合与映射的基本概念在数学中，集合和映射是基础概念，它们被广泛应用于数学和计算机科学中的各个领域。
本文将详细介绍集合和映射的基本概念，以及它们在实际应用中的重要性。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由一些确定的对象所组成的整体。
其中的对象称为元素，没有重复元素，且元素的顺序不重要。
2. 集合的表示方法：常用的表示方法有列举法、描述法、集合运算法等。
3. 集合间的运算：包括并集、交集、差集和补集等运算。
4. 集合的性质：包括子集、真子集、空集、全集等性质。
二、映射的基本概念1. 映射的定义：映射是指一种元素之间的对应关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
2. 映射的表示方法：常用的表示方法有箭头图、列表法、公式法等。
3. 映射的分类：包括单射（一对一映射）、满射（映射到）、双射（一一映射）等不同类型的映射。
4. 映射的合成和逆映射：映射之间可以进行合成操作和逆映射的求解。
三、集合与映射的应用1. 集合与概率：在概率论中，随机试验的样本空间可以用集合来表示，而事件则是样本空间的子集。
2. 集合与关系：在离散数学中，关系可以看作是一个由序偶组成的集合，而集合的运算可以应用于关系的操作。
3. 映射与函数：在数学分析中，函数是一种具有映射关系的特殊映射，它将自变量的取值映射到因变量的取值。
4. 映射与数据库：在计算机科学中，映射可用于数据库中的关联操作，帮助实现数据的关联与查询。
综上所述，集合和映射是数学和计算机科学中的基础概念。
它们不仅具有理论上的重要性，还广泛应用于各个领域中，为问题的建模和求解提供了有效的工具。
因此，掌握集合和映射的基本概念，对于进一步学习和理解相关领域的知识具有重要意义。
同时，在实际应用中，我们也需注意合理运用集合和映射的运算和性质，以提高问题求解的有效性和准确性。
高等数学上教案 集合与映射
U (a, ) (a , a] 简记 U (a)
三、映射（幻灯片 P15）
1. 映射的概念
（1） 定义
设 X、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则 f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 f, 在
Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作
（板书）
教师：还有一个集合 Q，表示所有的有理数组成的集合，怎么表示呢，那 就是 q 分之 P，P 属于整数 Z，Q 属于 N+，并且 P、Q 互质，这样就表示所有的 有理数组成的集合。 3. 集合之间的关系
若 xA, 则必有 xB, 则称 A 是 B 的子集, 记为 A B 或 B A 如果集合 A 与集合 B 互为子集， A B 且 B A , 则称集合 A 与集合 B 相等, 记作 AB. 若 A B 且 AB, 则称 A 是 B 的真子集, 记作 A B .
教师：集合里面有有限集合还有无限集合，所谓有限集合指他的元素只 有有限个，无限集合呢，元素是无穷多个。
2. 表示方法
教师：描述一个集合由什么元素组成的，一般来说有这么两种表示方法。 一种叫做列举法。
（1） 列举法： A {a1, a2 ,, an}
（板书）
教师：A 呢，由哪些元素组成呢，我把他的全体元素，一个一个列出来，
若映射 f 既是单射, 又是满射, 则称 f 为一一映射(或双射).
教师：上述三例各是什么映射？
例 1 的映射，即非单射又非满射；例 2 的映射不是单射，是满射；例 3 的映射， 即是单射又是满射，因此是一一映射。 3. 逆映射与复合映射 （1） 逆映射
同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章
同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章映射与函数一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数四、小结三、函数同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章一、集合总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体集合组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素a∈ M, ∈ a M, A = {a1 , a2 , , an }有限集M = { x x所具有的特征无限集}x . 若x ∈ A,则必∈ B, 就说A是B的子集记作A B.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章数集分类: 数集分类N----自然数集自然数集Q----有理数集有理数集Z----整数集整数集R----实数集实数集数集间的关系: 数集间的关系N Z, Z Q, Q R.= A 若A B,且B A, 就称集合与B相等. ( A= B)例如A = {1,2},C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则A= C. = 不含任何元素的集合称为空集空集. 不含任何元素的集合称为空集(记作)例如, 例如{ x x ∈ R, x + 1 = 0} = 2空集为任何集合的子集. 规定空集为任何集合的子集同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算(1)集合的并), 设有集合A和B,由A和B的所有元素构成的集合的并，称为A 与B的并，记为A∪ B,即A∪ B = {x | x ∈ A或x ∈ B}(2)集合的交) 设有集合A和B,由A和B的所有公共元素构成的集合，的交，集合，称为A与B的交，记为A∩ B,即A∪ B = { x | x ∈ A且x ∈ B}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3)集合的差)设有集合A和B,属于A而不属于B的所有元素构成的差，的集合，的集合，称为A与B的差，记为A B,即 A B = { x | x ∈ A且x B}(4)集合的补)的元素构成的集合，全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A' ,即的补集，A = { x | x ∈U且x A}'同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算律(1)交换律：A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A )交换律：( A∪ B) ∪C = A∪(B ∪C) (2)结合律：)结合律：( A∩ B) ∩C =A∩(B ∩C) ( A∪ B) ∩C = ( A∩C) ∪(B ∩C) (3)分配律：)分配律：( A∩ B) ∪C = ( A∪C) ∩(B ∪C)(4)摩根律：)摩根律：( A∪ B)' = A' ∩ B' ( A∩ B) = A ∪ B' ' '同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数区间这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点a, b ∈ R,且a b.{x a x b} 称为开区间记作(a, b) 称为开区间,o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间记作[a, b]oabx同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章{x a ≤ x b} {x a x ≤ b}称为半开区间, 称为半开区间记作[a, b) 称为半开区间, 称为半开区间记作(a, b] 有限区间[a,+∞) = {x a ≤ x}( ∞, b) = {x x b}无限区间oa obx x区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数, 且δ 0. 邻域{ 数集x x a δ }称为点a的δ邻域,点a叫做这邻域的中心, δ 叫做这邻域的半径 .Uδ (a) = {x a δ x a + δ }. δ δa a δ a+δ 0 点a的去心的邻域, 记作Uδ (a). δUδ (a) = { x 0 x aδ }.x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量而数值变化的量称为变量变量. 而数值变化的量称为变量注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母b, c等表示常量等表示常量用字母x, 等表示等表示变用字母y, t等表示变量.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章a a≥0 a = a a 0 运算性质: 运算性质ab = a b;5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值( a ≥ 0)a a = ;b b绝对值不等式: 绝对值不等式a b ≤ a ± b ≤ a + b.x ≤ a (a 0) x ≥ a (a 0)a ≤ x ≤ a;x ≥ a 或x ≤ a;同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章二、映射1 映射概念、是两个非空集合，设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使得对于X中每个元素x,按法则 f 在Y中有唯使得对于与之对应，的映射，一确定的元素y与之对应，则 f 称为从X到Y的映射，记作f : X →Y 的像，其中y称为元素x 在映射f 下)的像，并记作 f (x), ( y = f (x) 即的一个原像；而元素x称为元素y 在映射 f 下)的一个原像；集( 的定义域，合X称为映射 f 的定义域，记作Df ,即Df = X ;X 的值域，中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作Rf 或 f (X ) ,即Rf = f ( X ) = { f ( x) | x ∈ X}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：(1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集构成一个映射必须具备以下三个要素：合X,即定义域Df = X;集合Y ,即值域的范R ∈ 围： f Y;对应法则f ,使对每个x∈ X,有唯与之对应. 一确定的y = f (x)与之对应. (2)对每个x∈ X,元素x 的像y 是唯一的；而对是唯一的；x∈ ∈ 的原像不一定是唯一的；于每个y∈ Rf ,元素y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的值域Rf 是Y 的一个子集，即Rf Y,不一定的一个子集，Rf = Y . 满射、满射、单射与双射同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章的映射，设f 是从集合X到集合Y的映射，若Rf = Y ,即Y中中某元素的像，任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；映射或满射；若对X中任意两个不同元素x1 ≠ x2 , 的单射；它们的像 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ),则称f 为X到Y 的单射；若既是单射又是满射，为一一映射(或双射) 映射f 既是单射又是满射，则称f 为一一映射(或双射) 2.逆映射与复合映射2.逆映射与复合映射设 f 是从集合X到集合Y 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，y∈ Rf 有唯一的x∈ X ,适合 f ( x) = y.于是，可以定∈ 于是，于是∈ 义一个从Rf 到X的新映射g ,即g : Rf → X ∈ 对每个y∈ Rf ,规定g( y) = x,这x 满足 f ( x) = y. 这个的逆映射，映射g称为 f 的逆映射，记作f 1,其定义域Df 1 = Rf, 值域Rf 1 = X同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章注意：只有单射才存在逆映射注意：只有单射才存在逆映射. 复合映射：复合映射：设有两个映射g : X →Y1, f :Y2 → Z 到其中Y1 Y2 .则有映射g和f 可以定义一个从X到Z 则有映射和∈ 的对应法则，它将每个x∈ X映成f [g( x)]∈ Z. 显然，的对应法则，显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射到的映射，和构成的复合映射，称为映射g和f 构成的复合映射，记作 f g,即f g : X → Z,注意：的定义域内，注意：g 的值域Rg 必须包含在f 的定义域内，即Rg Df同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章三、函数定义设数集D R,则称映射f : D → R为定义在D上的函数.上的函数. 量照定则总有即对于每个数x∈ D, 变y按一法∈确的值它应则y是x的数记作定数和对，称函，y = f (x)自变量因变量数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域数集叫做这个函数的定义域x . 当x0 ∈ D时, 称f ( x0 )为函数在点0处的函数值函数值全体组成的数集W = { y y = f ( x), x ∈ D} 称为函数的值域.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则x ((D对应法则f 对应法则x0)f ( x0 )自变量Wy)因变量约定: 约定定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 的一切实数值例如，例如，y = 1 x2 1 例如，例如，y = 1 x2D :[ 1,1]D : ( 1,1)同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章如果自变量在定y 义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，是只有一个，这种函W y 数叫做单值函数，数叫做单值函数，否则叫与多值函数. 则叫与多值函数.(x, y)xo例如，例如，x2 + y2 = a2.xD定义: 定义: 点集= {( x, y) y = f ( x), x ∈ D} 称为C. 函数y = f ( x)的图形同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章几个特殊的函数举例(1) 符号函数1 y1 y = sgn x = 0 1当x 0 当x = 0 当x 0o -1xx = sgn x x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(2) 取整函数y=[x][x]表示不超过x 的最大整数表示不超过4 3 2 1 oy-4 -3 -2 -11 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4阶梯曲线同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3) 狄利克雷函数1 当x是有理数时y = D( x) = 0 当x是无理数时y1。
数学分析 第一章 集合与映射
(2) 复合映射 引例.
X
手电筒 复合映射
X
X1
X2
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定义1.2.3
设有映射链
g
xX
u
g(x)
g(X
)
u X1 f
则当 g(X ) X 1 时, 由上述映射链可定义由 X 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x X .
g(X )
注意: 构成复合映射的条件 g(X ) X 1不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 逆像（也称为原像）. 集合 X 称为映射 f 的定义域 ，记为Df=X; Y 的子集
f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 ,记为Rf 。
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
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函数的性质
函数f(x)在I上有上界 函数f(x)在I上无上界 函数f(x)在I上有下界 函数f(x)在I上无下界 函数f(x)在I上有界 函数f(x)在I上无界
定义
MR, xI, 都有f (x)M MR, x0I, 都有f (x0)>M mR, xI, 都有f (x)m mR, x0I, 都有f (x0)<m MR, xI, 都有|f (x)|M MR, x0I, 都有|f (x0)|>M
ax bx
( X [ a , b ] )
x X f y f (X ) y y f (x), x X
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
高等代数集合与映射
则 ( y) ( ( y)) (x) y IM( y),
∴σ为可逆映射．
即 IM
§6.1 集合 映射
反之，设 : M M 为可逆映射，则 对y M, 有y 1( y) ( 1( y)) 即, x 1( y) M ,使y ( x).
所以σ为满射.
其次，对 x1, x2 M ,若 (x1) (x2 ) ，则
§6.1 集合 映射
又 h ( f 1 g1 ) ( g f ) ( f 1 g1) IC 同理 ( f 1 g1 ) h I A. h1 f 1 g1
§6.1 集合 映射
h(a1) g f (a1) g( f (a1)) g( f (a2)) g f (a2 ) h(a2 ) 这与h是单射矛盾，∴ f 是单射．
§6.1 集合 映射
（2）如果 h 是满射，那么 g 也是满射； 证： ∵ h 是满射，c C,a A,使h(a) c ，即 c h(a) g f (a) g( f (a)) 又∵ f (a) B ，∴ g 是满射．
则称σ是M到M´的一个单射（injection）或称σ 为1-1（one to one）；
（3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射 （bijection）, （或称σ为 1-1对应）.
§6.1 集合 映射
例6 判断下列映射的性质
（1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射） τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1 （双射）
乘积 定义为：
(a)＝τ(σ(a)) a M
即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M" 的一个
映射．
§6.1 集合 映射
注意
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
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注意：
1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y 中所含的元素不一定是数，可以是其它的一 些对象 ( 或事物 )。
2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之 对应，这一点很重要，它说明集合间元素的 对应关系不一定就是映射。
反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ), 则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。
3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。
X
.x1 .x2 .x3
f
Y
.y1 .y2
Rf
2. 映射的种类
满射 ：Y中的任意元素y都是X中的某元素的 像； 单射：如果 不相等x 1，x 2 X，存在唯一
的 y1 = f ( x 1)不等于y2= f ( x 2)
一一对应（满射） 设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。 如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；
高等数 学
第一讲习要求： ▪ 正确理解集合和映射概念。 ▪ 掌握集合和元素的关系，集合的表示方法；映射的种类。 ▪ 正确理解集合的运算法则，并能够正确使用。
第一节 集合与映射
一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念
一、集合的基本概念
二、集合的基本运算
1. 集合运算的概念
为了研究和叙便 述，上我 们 的， 方我们I 常常 或U来表示虑 所表 考示象 所（考 元素）的全 构体所 成的集合， 为称 的之 。集
设有A 集 ， B， 合则 A与 B的并：A B { x | x A 或 x B }； A与 B的交：A B { x | x A 且 x B }； A与 B的差：A－B A \ B { x | x A 且 x B }； A的补集（或余集）：A I A ( 或记为AC )。
2. 集合的表示法
表示集合的方法有两种:
(1) 列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用
(2)
花括号括上。
(2) 描述将 法集 ： A中 合元 x所 素具有的 p(x)列 特出 性 来表示如下 A{x| x具有特 p(x)}性 。
注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）
三、映射的基本概念
1. 映射
设 A， B是两个非 空 xA， 集按 合照 ，某 若 确定的 f 有 法 唯 则 一 y 确 B与 定 之 的 对f应， 为A 从 到 B的一个映 f： A 射 B ， ，记 或为 记为 f： x y， x A ，习惯y上 f(x)也 ， x A 记 。为 其 y 称 中 x 在 为 ， f映 下射 的 x 称 y 在 像 为 f映 下 ，射 的一 ,A 称 个 为 f的 原 映 定 ,像 记 D 射 (义 f) 为 A ;中 域 所有元 x的 素像 y的全体所构成 为的 f 的集 值合 域称 ， 记R 为 (f)或f(A)，即
1. 集合
所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。
简言之，把考察的对放象在一起就构成集合。 定义一个集合 A，也就是规定哪些元属素于集合A, 哪些元素不属于集A合。
元素x 属于集合A，记为xA；元素x不属于 集合A，记为x A或xA。