高数上册第一章映射与函数

(值域)
(对应规则)
• 定义域
使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；
π
对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. • 对应规律 对应规律的表示方法: 解析法、图象法 、列表法 −1 例如, 反正弦主值 定义域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 值域
y
2
O 1x
1= 2
f (1) = 2 2
2
O
1
x
1 1+ , 0 <t <1 t f( 1)= t 2 , t ≥1 t
2. 函数的几种特性 设函数 y = f (x) , x ∈D , 且有区间 I ⊂ D . (1) 有界性 ∀x∈ D, ∃M > 0, 使 f (x) ≤ M, 称 f (x)为有界函数. ∀x∈ I , ∃M > 0, 使 f (x) ≤ M, 称 f (x) 在 I 上有界. 说明: 说明 还可定义有上界、有下界、无界 . (见 P11 ) (2) 单调性 ∀x1⋯2 ∈(x)当< x2时， 有上界 , x, f I, x1 M, 称 为有上界 y ≤
第一章 函数与极限
分析基础 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、 集合
1. 定义及表示法
简称集 集
集合. 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 集合 组成集合的事物称为元素 元素. 元素 元素 a 属于集合 M , 记作 a∈M. 元素 a 不属于集合 M , 记作 a∈ M ( 或 a∉M ) . 注: M 为数集
y = f (x), x ∈D
y Rf = f (D) = { y y = f (x), x ∈D} y
b C = { (x , y) y = f (x) , x∈D } O a x ( D=[ a, b] ) ⊂ D× f (D)
x
∀x∈D
(定义域)
f
y ∈Rf = f (D) = { y y = f (x), x∈D}
O −1
y = th x x
(4) 周期性
∀x∈D, ∃l > 0, 且 x ±l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
−2 π −π
O π 2π
x
周期为
周期为 π 例如, 常量函数 f (x) = C 狄利克雷函数
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
O 12 3 4 x
3x +1, x <1 求 f [ f (x)]. , 例5. 设函数 f (x) = x ≥1 x , x 换为 f (x) 解:
3 f (x) +1, f (x) <1 f [ f (x)] = f (x) ≥1 f (x) ,
x <0
3(3x +1) +1
显然有下列关系 :
定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 A∪ B = { x 交集 A∩ B = { x 差集 余集 直积 或 且 且 x∉B}
}
}
A∪ B
B A
A\ B A∩ B
A\ B = { x
c BA
= A\ B (其 B ⊂ A) 中
A× B = { (x, y) x∈ A, y∈B }
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y = u , u ≥0 u = cot v , v ≠ k π (k = 0, ±1, ± 2,⋯ ) x v = , x ∈(−∞, + ∞) 2 可定义复合函数:
k ∈Z
约定: 约定 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
r
例3. 如图所示, 则有
(满射 满射) 满射
说明: 说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如, X (≠ ∅ ) X (≠ ∅ )
f f
Y (数集) X
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换 X
X (数集 或点集 )
f
R
f 称为定义在 X 上的函数
三、函数
1. 函数的概念 定义4. 定义 设数集 D ⊂ R, 则称映射 D 上的函数 , 记为 因变量 称为值域 函数图形: 函数图形 定义域 自变量 为定义在
反函数 y = 定义域为
( − ∞ , 1] ∪( 2, 2e]
内容小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 4. 初等函数的结构 定义域 对应规律
有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性
作业
P21 4 (5),(8) ,(10); 6; 8; 9; 13 ; 16; 17; 18
第二节
备用题
1. 设 a, b, c 为常数, 且 且 时 证明 为奇函数 . 其中
证: 令 t = 1 , 则 x = 1 , a f ( 1 ) + b f (t) = ct t t x 由 消去 f (1), 得
x
a f ( 1 ) + b f (x) = cx x
为奇函数 .
9x + 4 , x < 0
=
3x +1, 0 ≤ x <1
x, x ≥1
x2 , −1≤ x < 0 例6. 求 y = ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. y 2ex−1, 1< x ≤ 2 2e 2 ∈(0, 1] , 解: 当 −1≤ x < 0 时, y = x 则 x = − y , y ∈(0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( −∞, 0] , 2 1 则 x = ey , y ∈( − ∞, 0] 当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex−1 ( 2, 2e] , −1O 1 2 x ∈ y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e]
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. , . 注意: 构成复合函数的条件 Rg ⊂ D f 不可少. 可定义复合函数 例如, 函数链 : y = arcsinu ,
u =1− x2 时, 虽不能在自然域 R下构成复合函数, 当改 , 但可定义复合函数 y = arcsin(1− x2), x ∈[−1 1]
x π x k π < ≤ k π+ 时, cot ≥ 0 2 2 2
4. 初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
(2) 描述法： = { x x 所具有的特征 M
例: 整数集合 Z = { x x ∈N 或 − x∈N+ } p + 有理数集 Q = p∈Z, q∈N , p 与 q 互质 q 实数集合 R = { x x 为有理数或无理数 } 开区间 ( a , b ) = { x a < x < b } 闭区间 [ a , b ] = { x a ≤ x ≤ b }
−π 2
2 x , 0 ≤ x ≤1 例4. 已知函数 y = f (x) = 1+ x , x >1
写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f ( 1 )及 f ( 1 ). t 2 解: f (x) 的定义域 D =[0, + ∞) 值域
y
y =2 x
y =1+ x
f (D) =[0, + ∞)
对映射 满射; 满射 若 f (X) =Y, 则称 f 为满射
引例2, 引例 3
X
若 则称 f 为单射 单射; 单射
f
Y = f (X )
有
引例2 引例
X
Y
若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射 一一映射. 双射 一一映射
引例2 引例
例1. 海伦公式
(满射 满射) 满射
例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射 满射) 满射
若 f (x1) < f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的 有下界 ⋯, M ≤ f (x), 称 为有下界 单调增函数 ; ) M 若对任意正数 M , 均存在 x∈ D, 使 O f (xx1 >x2 , x 若 f (x1) > f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的 则称 f ( x ) 无界 无界. 单调减函数 .
(3) 奇偶性
∀x∈D, 且有 − x∈D,
若 若 则称 f (x) 为偶函数; 则称 f (x) 为奇函数.
y
说明: 说明 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
−x O
y x e
xx
f (x) 为奇函数 必有 f (0) = 0. 奇函数时, 奇函数
例如,
ex + e−x y = f (x) = 偶函数 2 记 = ch x 双曲余弦
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y = f (x). 像 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 原像 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; 定义域 Y 的子集 Rf = f (X ) ={ f (x) x∈ X } 称为 f 的 值域 . 注意: 注意 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.