人教版第24章圆的知识点及典型例题

人教版第24章圆的知识点及典型例题

圆知识点总结

一．圆的定义

1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫

圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫

做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆

O．

2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

二．同圆、同心圆、等圆

1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆．

三．弦和弧

1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的

弦，直径等于半径的2倍．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以

A B

、为端点的弧记作AB，读作弧AB．

在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于

半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣

弧．

4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．

5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

四．与圆有关的角及相关定理

1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们

也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它

所对的弧的度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧

所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角

相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直

角，90 的圆周角所对的弦是直径．

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所

对的圆周角）

3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对

的两条弧的度数和的一半．

4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对

的长弧的度数与短弧的度数的差的一半．

5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．

6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相

等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组

量相等，那么它们所对应的其余各组量分别

相等．

五．垂径定理

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

2．其它正确结论：

⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．

3．知二推三：

⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．

以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径．

4．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；

⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．

相关题目：

1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小

距离是2，求该圆的半径

2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是

两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________． 25272

六．点与圆的位置关系

1．点与圆的位置有三种：

⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <.

如下表所示： 位置关系

图形 定义 性质及判定 点在圆外 P r

O

点在圆的外部 d r >⇔

点P 在O ⊙的外部. 点在圆上 P

r O

点在圆周上 d r =⇔点P 在O ⊙的圆周上. 点在圆内 P

r O

点在圆的内部 d r <⇔点P 在O ⊙的内部.

2．过已知点作圆

⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为

圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A

的圆，这样的圆有无数个．

⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任

意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即

可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数

个．

⑶过三点的圆：若这三点A B C

、、共线时，过

三点的圆不存在；若A B C

、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而

这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯

一一个．

⑷过n()4

n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线

三点确定的圆的圆心．

3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不

可忽视，换句话说，在同一直线

上的三点不能作圆；

⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．

4．三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外

接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直

平分线的交点，叫做三角形的外心，这个

三角形叫做这个圆的内接三角形．

⑵三角形外心的性质：