直线与平面的位置关系

a m
α
n
思考： 思考：拿一张矩形的纸 对折后略为展开， 对折后略为展开，竖立 在桌面上， 在桌面上，折痕和桌面 的位置关系如何？ 的位置关系如何？
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直 线垂直，那么这条直线垂 因为 ⊥m， a⊥n，m∩n=A， ， m⊂ α，n⊂ α， ⊂ ⊂ 所以a⊥ 所以 ⊥α．
Q
D
α
直线与平面相交时，通过什么量来刻画 直线与平面相交时， 倾斜程度？ 倾斜程度？
直线与平面所成的角 （1）平面的一条斜线与它在平面内的射线所成的锐 ） 角叫这条斜线与平面所成的角； 角叫这条斜线与平面所成的角； 因为PD⊥α于点 ，PQ与平面 相 于点D， 与平面 与平面α相 因为 ⊥ 于点 交于点Q，所以∠PQD是PQ与平 交于点 所以∠ 是 与平 所成的角． 面α所成的角． 所成的角 比较∠ 大小． 比较∠PQD与∠PQM大小． 大小
B
思考（ ）定义中“任何”两字能否改为“ 思考（1）定义中“任何”两字能否改为“无 为什么？ 数”,为什么？ 为什么
（2）过空间一点有几条直线与已知平面垂直？ ）过空间一点有几条直线与已知平面垂直？ （3）过空间一点有几个平面与已知直线垂直？ ）过空间一点有几个平面与已知直线垂直？
定理： 定理：
Q D
P
α
M
（2）平面的垂线与平面所成的角是直角； ）平面的垂线与平面所成的角是直角； （3）直线与平面平行或在平面内，所成的角 ）直线与平面平行或在平面内， 是0°角． °
已知AC， 分别是平面 分别是平面α 例1 已知 ，AB分别是平面α的垂线与斜 分别是垂足和斜足， ⊂ 线，C，B分别是垂足和斜足，n⊂ α， ， 分别是垂足和斜足 AB 若 n ⊥ CB.． 若 求证： n ⊥ AB 求证：n ⊥ CB.．
直线与已知平面垂直； 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直； 平面与已知直线垂直． 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
求证： 例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂 直于一个平面， 直于一个平面，那么另一条也垂直于同一 个平面． 个平面． 因为a⊥ 所以b⊥ 因为 ⊥ α， a∥ b ，所以 ⊥ α ． ∥ 用定义证明） （用定义证明） 有没有更方便的判定方法呢？ 有没有更方便的判定方法呢？
P
A O B C
D
判断： 判断： 1.若直线 ⊥α，b⊂α 则l⊥b. 若直线l⊥ ⊂α,则 ⊥ 若直线 ⊂α 2.若直线 ∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α. 若直线l∥ ， ∥ ， ⊥ 若直线 ⊥ 3.若a⊥m， a⊥n，m⊂ α，n⊂ α，则a⊥α. 若 ⊥ ， ⊥ ， ⊂ ⊂ ⊥ 4. 过点 垂直于直线的所有直线一定在同 平面内 . 过点A垂直于直线的所有直线一定在同 垂直于直线的所有直线一定在同一平面内
(3) 过两条异面直线中的一条可作 过两条异面直线中的一条可作____个平面 个平面 与另一条直线平行. 与另一条直线平行
α
a
P
a'
b
(4) 点P是两条异面直线外一点，过 是两条异面直线外一点， 是两条异面直线外一点 可作_____个平面与直线都平行 个平面与直线都平行. 点P可作 可作 个平面与直线都平行
(2)所画的线和平面 有什么关系？ 所画的线和平面AC有什么关系 所画的线和平面 有什么关系？
D' A'
E F
P
C' B' B C
D A
4.填空： 填空： 填空 (1) 过直线外一点，与这条直线平行的平面有 过直线外一点， _____个. 个 过直线外一点， 另：过直线外一点，与这条直线平行的直线 有_____个. 个 (2) 过平面外一点，与这个平面平行的直线有 过平面外一点， _____条. 条
a b O b'
α
若a⊥ α， 则点到平面的距离 ⊥ 则点到平面的距离:AB的长度． 的长度． 的长度
面外一点与这个平面内各点的连结而 成的线段中，垂直于平面的线段最短. 成的线段中，垂直于平面的线段最短
A a
α
B
已知：直线 平面α 已知：直线l ∥平面α． 求证：直线l上的各点到平面 的距离相等． 上的各点到平面α 求证：直线 上的各点到平面α的距离相等．
β
α
如果一条直线和一个平面平行，经过这条 如果一条直线和一个平面平行， 直线的平面和这个平面相交，那么这条直 直线的平面和这个平面相交， 线就和交线平行． 线就和交线平行
a∥α ∥
β
α∩β=b β
a⊂ β ⊂
⇒ a∥b ∥
α
线面平行⇒ 线面平行⇒线线平行
若三个平面两两相交于三条直线， 例1 若三个平面两两相交于三条直线，并 且其中两条交线平行， 且其中两条交线平行，那么第三条交线也 和它们平行． 和它们平行． 变式：若三个平面两两相交于三条直线， 变式：若三个平面两两相交于三条直线，并 且其中两条直线相交， 且其中两条直线相交，那么第三条交线必 经过前两条直线的交点． 经过前两条直线的交点．
线线垂直 线面垂直
α
a m An
证明直线与平面垂直的方法： 证明直线与平面垂直的方法：
1.用定义证明； 用定义证明； 用定义证明 2.用判定定理． 用判定定理． 用判定定理
是菱形ABCD外的一点，且PA＝PC， 外的一点， 例 P是菱形 是菱形 外的一点 ＝ ， 平面PBD. 求证 AC ⊥平面
例2 已知平面外的两条平行直线中的一条 平行于这个平面，求证： 平行于这个平面，求证：另一条也平行于 这个平面． 这个平面．
3.有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面 有一块木料如图所示，已知棱 平行于面 有一块木料如图所示 A'C'． ． (1)要经过木料表面 要经过木料表面A'B'C'D' 内的一点 和 内的一点P和 要经过木料表面 将木料锯开， 棱BC将木料锯开，应怎样画线？ 将木料锯开 应怎样画线？
α
外的一点P向平面 引斜线和垂线， 外的一点 向平面α引斜线和垂线，过垂足 D和斜足 的直线叫做斜线在平面α内的射 和斜足Q的直线叫做斜线在平面 和斜足 正投影）． 影（正投影）． 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜 内的射影． 线段在平面α内的射影
P
内的射影： 斜线在这个平面α内的射影：平面α
m
a
n
B A c
α
d b
β
7．如图，E为在正方体 ．如图， 为在正方体 为在正方体ABCD－A1B1C1D1的 棱的中点， 棱的中点， 求证： 平面ACE. 求证：BD1 ∥平面
D1 A1 E D A
O
C1
B1
C B
如图，正方形 和正方形ADEF不共面， 不共面， 如图，正方形ABCD和正方形 和正方形 不共面 M∈BD，N∈AE，且AN＝BM， ∈ ， ∈ ， ＝ ， 求证： 平面CDE． 求证：MN//平面 平面 ．
C B
H
E D
平面的斜线：一条直线和一个平面相交， 平面的斜线：一条直线和一个平面相交，
但不和这个平面垂直， 但不和这个平面垂直，这条直线就叫做这 个平面的斜线. 个平面的斜线 斜线和平面的交点叫做斜 足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点 到这个平面的斜线段 斜线段. 到这个平面的斜线段
P Q 平面外一点到这个平面的垂线段有且 只有一条， 只有一条，而这点到这个平面的斜线 段有无数条. 段有无数条
如图， 为平行四边形 为平行四边形ABCD所在平面外 如图，P为平行四边形 所在平面外 一点， ， 分别是 分别是PD， 的中点 判断MK 的中点， 一点，M，K分别是 ，BC的中点，判断 与平面PAB的关系 ． 与平面 的关系
P M D K C
E A B
如图， 为在正方体 为在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱的 如图，E为在正方体 中点， 中点， 求证： 平面ACE. 求证：BD1 ∥平面
α β α
a
b
a
P
a' b'
P
a' b
5．若一条直线与一个平面平行，那么过这 ．若一条直线与一个平面平行， 个平面内的一点与这条直线平行的直线必 在这个平面内． 在这个平面内．
β
a Ac
α
b
6．求证：若一条直线与两个相交平面都平行， ．求证：若一条直线与两个相交平面都平行， 则这条直线与它们的交线平行． 则这条直线与它们的交线平行．
直线与平面的位置关系
如图， 为平行四边形 为平行四边形ABCD所在平面外 如图，P为平行四边形 所在平面外 一点， ， 分别是 分别是PD， 的中点 判断MO 的中点， 一点，M，O分别是 ，AC的中点，判断 与平面PAB的关系 ． 与平面 的关系
P F A E B O C B M A O C P M D
D1 A1 E D A
O
C1
B1
C B
直线和平面平行的判定定理中三个条件缺 一不可，体现了化归的数学思想， 一不可，体现了化归的数学思想，将线面 平行问题转化为线线平行问题 线线平行 线面平行
问题：若线面平行， 问题：若线面平行，则直线与平面内的直线 的位置关系如何？ 的位置关系如何？ 无公共点 a 平行或异面 何时平行？ 何时平行？ b
M P
α
A
问题： 问题：如果两条直线同垂直于一 个平面， 个平面，那么这两条直线的位置关 系如何？ 系如何？
直线和平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面， 如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行． 那么这两条直线平行．
因为a⊥ 所以a∥ ． 因为 ⊥ α，b⊥ α ，所以 ∥ b． ⊥
S F G
E
D A
B
C
已知点A是平面 外的一点， 已知点 是平面BCD外的一点，AB ⊥CD, 是平面 外的一点 AC⊥ BD,求证：AD ⊥BC. 求证： ⊥ 求证