2021高考数学二轮复习三角函数平面向量与复数教案(共3讲)

2021高考数学二轮复习三角函数平面向量与复数教案（共3讲）
第1讲 三角函数的图象与性质
三角函数的定义、诱导公式及基本关系
[核心提炼]
1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x
.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．同角关系：sin 2
α＋cos 2
α＝1，sin α
cos α
＝tan α.
3．诱导公式：在
k π
2
＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
[典型例题]
(1)(2019·湖州市高三期末)点P 从点A (1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1逆时针方
向运动2π
3
弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 B.⎝
⎛⎭⎪⎫
32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－32
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－
32，12 (2)(2019·长春一模)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin β的值为________．
(3)(2018·高考浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5
，－45.
①求sin ()α＋π的值；
②若角β满足sin(α＋β)＝5
13
，求cos β的值．
【解】 (1)选A.点P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π
3弧长到达Q 点，所以
∠QOx ＝2π
3
，
所以Q ⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，
即Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32.故选A.
(2)2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋β＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1化简为tan α－6sin β＝1，因而sin β＝13.故填1
3
.
(3)①由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5，－45得sin α＝－45，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝4
5
.
②由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5，－45得cos α＝－35，
由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±12
13
.
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝16
65
.
应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．
(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
[对点训练]
1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋αsin （－π－α）
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫9π2＋α的值为________．
解析：原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α
＝tan α.
根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－3
4
，
所以原式＝－3
4.
答案：－3
4
2．已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝________．
解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡π
2＋
⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，
所以－π2＋2k π＜θ＜2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π＜θ－π4＜2k π－π
4，k ∈Z ，所以
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352
＝－45，
所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43.
法二：因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝
－4
3
. 答案：－4
3
三角函数的图象及应用
[核心提炼]
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图
设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π
2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线
可得．
(2)图象变换
y ＝sin x
――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）
平移|φ|个单位
y ＝sin(x ＋φ)
―――――――――――――→横坐标变为原来的1
ω（ω＞0）倍
纵坐标不变
y ＝sin(ωx ＋φ)
――――――――――――――――――→纵坐标变为原来的A （A ＞0）倍横坐标不变
y ＝A sin(ωx ＋φ)． [典型例题]
(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6
B ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6
D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3
(2)(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π
8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )
A.
3π4 B.π4 C ．0 D ．－π4
(3)(2019·浙江五校联考数学模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]|cos x |，x ∈（π，2π]，若函数g (x )
＝f (x )－m 在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0，1)
B ．[1，2]
C ．(0，1]
D ．(1，2)
【解析】 (1)由题图易知A ＝2，因为周期T 满足T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，所以T ＝π，ω＝2π
T
＝
2.由x ＝π3时，y ＝2可知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π
6＋2k π(k ∈Z )，结合
选项可知函数解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.
(2)令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，
则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4＋φ，
因为f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，
所以π4＋φ＝k π＋π2，
所以φ＝k π＋π
4，k ∈Z ，
所以当k ＝0时，φ＝π
4.
故φ的一个可能的值为π
4.
故选B.
(3)画出函数f (x )在[0，2π]的图象，如图所示：
若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，2π]内恰有4个不同的零点， 即y ＝f (x )和y ＝m 在[0，2π]内恰有4个不同的交点， 结合图象，知0＜m ＜1. 【答案】 (1)A (2)B (3)A
解决三角函数图象问题的方法及注意事项
(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
[对点训练]
1．(2019·兰州市诊断考试)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)的部分图象如图
所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A.12
B.22。