2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理(安徽卷,解析版)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（安徽卷，解析版）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页。

第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须使用用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 S 表示底面积，h 表示底面上的高()()()P A B P A P B +=+ 棱柱体积V Sh =如果事件A B 、相互独立，那么 棱锥体积13V Sh =()()()P A B P A P B ∙=∙第I 卷(选择题 共50分)一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是 （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15[解析]17(17)(2)1325i i i i i +++==-+-，∴1,3,3a b ab =-==-，选B 。

（2）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B xx ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是 （A ） 11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或(B){}23x x <<（C ） 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ (D) 112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭[解析]集合1{|12},{|3}2A x x B x x x =-<<=<->或，∴1{|1}2A B x x =-<<- 选D（3A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -=（D ）221410xy -=[解析]由e =222222331,1,222c b b a a a =+==，选B (4)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d （B ）p:a ＞1,b>1 q:()(01)xf x a b a a =->≠，且的图像不过第二象限（C ）p: x=1, q:2x x =（D ）p:a ＞1, q: ()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数[解析]：由a ＞b 且c ＞d ⇒a c +＞b+d ，而由a c +＞b+d a ＞b 且c ＞d ，可举反例。

选A （5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由100n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =，选B（6）设a＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是[解析]：/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a bx +=时y 取极小值且极小值为负。

故选C 。

或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C（7）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线y kx =则k 的值是（A ）73 （B ） 37 （C ）43 示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩得A （1，1），又B （0，4），C （0，43）∴S △ABC =144(4)1233-⨯=，设y kx =与34x y +=的 交点为D ，则由1223BCD S S ABC ∆=∆=知12D x =，∴52D y =∴5147,2233k k =⨯+=选A 。

（8）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是（A ）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈（C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D ）2[,],63k k k Zππππ++∈[解析]：()2sin()6f x x πω=+，由题设()f x 的周期为T π=，∴2ω=，由222262k x k πππππ-≤+≤+得，,36k x k k z ππππ-≤≤+∈，故选C（9）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+[解析]：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =，∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=选A（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（A ）175（B ） 275 （C ）375 （D ）475[解析] 如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6个点中任意选两个点连成直线，共有22661515225C C ∙=⨯= 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,AC DB AD CB AE BF //,//,//AF BE CE FD CF ED共12对，所以所求概率为12422575p ==，选D2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

（11）若随机变量2~(,)X N μσ，则()P X μ≤=________. [解析]12（12）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.∙ A∙ ∙ ∙ ∙∙ BCDE F[解析] 直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程22(1)(2)4x y -+-=∴||AB ==(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是_______. [解析] 由程序框图知，循环体被执行后a 的值依次为3、7、15、31、 63、127，故输出的结果是127。

（14）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________. [解析]设AOC α∠=,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧∙=∙+∙⎪⎨∙=∙+∙⎪⎩，即01c o s 21c o s (120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26x y πααααα+=+-==+≤（15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________ （写出所有正确命题的编号）。

○1相对棱AB 与CD 所在的直线异面； ○2由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点； ○3若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面； ○4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点; ○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

[解析]①④⑤三．解答题;本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的答题区域内. （16）（本小题满分12分）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. （I ）求sinA 的值；(II)设，求∆ABC 的面积.本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

本小题满分12分解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-，∴42BA π=-，∴s i n s i n ()(c o s s i n )42222B BBA π=-=-， ∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴sin 3A =（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BCB A=∴sin 31sin 3AC ABC B===sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+133333=+=∴11sin 223ABC S AC BC C ∆=∙∙== （17）（本小题满分12分）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区.B 肯定是受A 感染的.对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量.写出X 的分布列(不要求写出计算过程),并求X 的均值（即数学期望）.本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。