6.1数列的概念与简单表示法

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6-1数列的概念与简单表示法

6-1数列的概念与简单表示法
2020/9/12
§6.1 数列的概念与简单表示法
1.数列的有关概念
概念数列数列的项
数列的通项
含义按照一__定__顺__序___排列的一列数
数列中的_每__一__个__数__
数列{an}的第n项an
通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式_a_n_＝__f(_n_) 表示，这个公式叫做数列的通项公式
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝ ________；若它的第k项满足5<ak<8，则k＝________．
角度二形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【例4】
设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋
1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
角度三形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 【例5】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
【思维升华】已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．

数列的概念与简单表示法教案

数列的概念与简单表示法教案一、教学目标1. 了解数列的概念，理解数列的表示方法，如通项公式、项的表示等。

2. 学会用图像和数学公式表示数列。

3. 能够运用数列的性质解决实际问题。

二、教学内容1. 数列的概念：数列是按照一定的顺序排列的一列数。

2. 数列的表示方法：a) 通项公式：数列中每一项的数学表达式。

b) 项的表示：用序号表示数列中的每一项。

3. 数列的图像表示：数列的图像通常为一条直线或曲线。

4. 数列的性质：数列的项数、公差、公比等。

三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念、数列的表示方法、数列的图像表示。

2. 教学难点：数列的性质及其应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳数列的性质。

2. 利用多媒体展示数列的图像，增强学生的直观感受。

3. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。

五、教学步骤1. 引入数列的概念，引导学生理解数列是按照一定顺序排列的一列数。

2. 讲解数列的表示方法，如通项公式、项的表示，让学生学会用数学公式表示数列。

3. 利用多媒体展示数列的图像，让学生了解数列的图像表示方法。

4. 分析数列的性质，如项数、公差、公比等，并引导学生运用数列的性质解决实际问题。

5. 进行课堂练习，巩固所学内容。

教案设计仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。

六、教学活动1. 课堂讲解：数列的概念与表示方法。

2. 实例分析：分析生活中常见的数列，如等差数列、等比数列。

3. 练习：求给定数列的前n项和。

七、数列的图像表示1. 讲解：数列图像的绘制方法。

2. 练习：绘制给定数列的图像。

八、数列的性质与应用1. 讲解：数列的性质及其应用。

2. 实例分析：运用数列的性质解决实际问题。

3. 练习：运用数列的性质解决给定问题。

九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结数列的概念、表示方法、图像表示和性质。

2. 强调数列在实际问题中的应用。

十、课后作业1. 习题：求给定数列的前n项和。

6.1数列的概念与简单表示法

1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项an 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) (6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.1，12，13，14，…B.－1，－2，－3，－4，…C.－1，－12，－14，－18，…D.1，2，3，…，n 答案 C解析根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2.数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( ) A.a n ＝4n －7 B.a n ＝(－1)n (4n ＋1) C.a n ＝(－1)n (4n －1) D.a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)答案 C3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时符合上式，∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.4.(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ .答案 5n －45.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A.a n ＝n －1n ＋1(n ∈N ＋)B.a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C.a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D.a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ .答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n2n －32n.题型二由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N ＋. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4等于( )A.130B.132C.134D.120(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 .答案 (1)A (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(选用)题型三由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ . (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝ . 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解.(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝ .(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于( ) A.－16 B.16 C.31 D.32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2，故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四数列的性质命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A.递减数列B.递增数列C.常数列D.摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列.命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝ .答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A.310B.19C.119D.1060答案 C解析令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用均值不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大.思维升华 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列. (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断. 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. 3.数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为 .(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C.4D.0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5.数列中的新定义问题典例 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5等于( )A.2 018×2 012B.2 020×2 013C.1 009×2 012D.1 010×2 013(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”.设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1] C.(1，＋∞)D.(－∞，1]思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解.(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解. 解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2 014＝(a 2 014－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5 ＝(2 016＋4)×2 0132＋5＝1 010×2 013＋5，所以a 2 014－5＝1 010×2 013，故选D. (2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)，即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2＜2t －t (n ＋1)－12n ，即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2＞t (n ＋1)－12n ，化简得t (n －2)＞1.当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞). 答案 (1)D (2)C温馨提醒解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法.[方法与技巧]1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式. 4.数列的性质可利用函数思想进行研究. [失误与防范]1.数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件.2.数列的通项公式可能不存在，也可能有多个.3.由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证.A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223答案 C解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A.15 B.12 C.－12 D.－15 答案 A解析由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15. 3.若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D.30答案 D解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.4.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大.5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N ＋都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 7.数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 7＝ .答案 1解析由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝ .答案 2n －1解析当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去).所以从第7项起各项都是正数.10.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 显然，当n ＝1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. B 组专项能力提升(时间：15分钟)11.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A.a 2 014＝－1，S 2 014＝2B.a 2 014＝－3，S 2 014＝5C.a 2 014＝－3，S 2 014＝2D.a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案 D解析由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，所以数列{a n }是周期数列，周期是6.又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.12.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( ) A.5B.72C.92D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 13.定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”.若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2n －1 B.a n ＝4n －1C.a n ＝4n －3D.a n ＝4n －5 答案 C解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3； a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14.若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝ . 答案 4解析由题意得⎩⎨⎧ k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4. 15.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。

数列的概念与简单表示法

第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_____a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法 2．(1)有穷数列无穷数列 (2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.类型二由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式．当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n .(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．解：令a na n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n＝9或10时，a n ＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2.9．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得b n＋1＝pb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝b9950，则b50＝2. b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1，求a n.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1), a1适合此式，∴a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。

数列的概念与简单表示法备课资料

《数列的概念与简单表示法》备课资料（2）
1.数列的表示方法
数列可以看作是以正整数集（或它的有限子集{}1
23n ，，，，为定义域的函数()n a f n =）当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．因此，可以说数列具有特殊的函数，所以从函数的观点看，数列的表示方法有以下三种：
（1）解析法
解析法可分为通项公式和递推公式两种，通项公式已在前面论述了，递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，那么通过知道数列中的一些项，就可以求出后面的项．递推公式也是给出数列的一种重要方法．
有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推公式，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式．
（2）列表法
2.数列的分类
（1）有穷数列、无穷数列
按数列的项数是有限还是无限来分类分为有穷数列和无穷数列．切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，那么它也是有穷数列．
（2）单调数列，摆动数列
常数列按前后项之间的大小关系来分，从第二项起，每一项都不大于它的前一项的数列，称之为递减数列；每一项都不小于它的前一项的数列，称之为递增数列；若有些项大于后面的项，有些小于后面的项，称之为摆动数列；若数列里面的所有项均为同一个常数，则称之为常数列．
递增数列和递减数列，称为单调数列．
3.已知数列的前项和公式，求数列的通项公式
在已知，求时，我们可以利用1(2)n n n a S S n -=-≥，这里常常因为忽略了条件而出错．由此求得不一定就是它的通项公式，因此，必须要验证时是否也成立，
否则通项公式只能用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ ≥来表示．。

数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
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，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
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4．(易错题)若数列
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4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法、图象法和 9 解析法．
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常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.

2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第六章 6.1 数列的概念与简单表示法 Word

姓名，年级：时间：§6。

1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)．2。

了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。

1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系能用公式a n ＝f （n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列｛a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和2。

数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f （a n）或a1,a2和a n＋1＝f (a n,a n－1)等表示数列的方法n n若数列｛a n}的前n项和为S n,则a n＝错误!4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N＊递减数列a n＋1〈a n常数列a n＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N＊，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ×）（2)所有数列的第n项都能使用公式表达．（×）(3）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√）(4)1,1，1，1，…不能构成一个数列．（×)题组二教材改编2．在数列{a n｝中,已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________。

高三理科数学一轮总复习第六章数列

第六章数列高考导航知识网络6.1 数列的概念与简单表示法典例精析题型一归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式： (1)7,77,777,7 777，… (2)23，－415，635，－863，… (3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…【解析】(1)将数列变形为79·(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，79(10n －1)，故a n ＝79(10n －1).(2)分开观察，正负号由(－1)n＋1确定，分子是偶数2n ，分母是1×3,3×5,5×7， …，(2n －1)(2n ＋1)，故数列的通项公式可写成a n ＝(－1)n＋1)12)(12(2+-n n n.(3)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….故数列的通项公式为a n ＝n ＋2)1(1n-+.【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.【变式训练1】如下表定义函数f (x )：对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (n －1 2 008 ) A.1B.2C.3D.4【解析】a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n . 所以a 2 008＝a 4＝2，故选B.题型二应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n S n n求数列通项【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ，分别求其通项公式： (1)S n ＝3n －2； (2)S n ＝18(a n ＋2)2 (a n ＞0).【解析】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n －1－2)＝2×3n －1，又a 1＝1不适合上式，故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯=-)2(32),1(11n n n(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝18(a 1＋2)2，解得a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(a n ＋2)2－18(a n －1＋2)2，所以(a n －2)2－(a n －1＋2)2＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0，又a n ＞0，所以a n －a n －1＝4，可知{a n }为等差数列，公差为4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·4＝4n －2， a 1＝2也适合上式，故a n ＝4n －2.【点拨】本例的关键是应用a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-)2(),1(11n S S n S n n求数列的通项，特别要注意验证a 1的值是否满足“n ≥2”的一般性通项公式.【变式训练2】已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A.2n －1B.(n ＋1n)n －1C.n 2D.n【解析】由a n ＝n (a n ＋1－a n )⇒a n ＋1a n ＝n ＋1n. 所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝n n －1×n －1n －2×…×32×21＝n ，故选D.题型三利用递推关系求数列的通项【例3】已知在数列{a n }中a 1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式： (1)a n ＋1＝a n 1＋2a n ；(2)a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1.【解析】(1)因为对于一切n ∈N *，a n ≠0，因此由a n ＋1＝a n 1＋2a n 得1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2.所以{1a n }是等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)·2＝2n －1，即a n ＝12n －1.(2)根据已知条件得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1.所以数列{a n 2n }是等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)＝2n －12，即a n ＝(2n －1)·2n －1.【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.【变式训练3】设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求a n .【解析】因为数列{a n }是首项为1的正项数列，所以a n a n ＋1≠0，所以(n ＋1)a n ＋1a n －na n a n ＋1＋1＝0，令a n ＋1a n＝t ，所以(n ＋1)t 2＋t －n ＝0，所以[(n ＋1)t －n ](t ＋1)＝0，得t ＝n n ＋1或t ＝－1(舍去)，即a n ＋1a n ＝nn ＋1.所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12·23·34·45·…·n －1n ，所以a n ＝1n .总结提高1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.2.由S n 求a n 时，要分n ＝1和n ≥2两种情况.3.给出S n 与a n 的递推关系，要求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .6.2 等差数列典例精析题型一等差数列的判定与基本运算【例1】已知数列{a n }前n 项和S n ＝n 2－9n .(1)求证：{a n }为等差数列；(2)记数列{|a n |}的前n 项和为T n ，求 T n 的表达式. 【解析】(1)证明：n ＝1时，a 1＝S 1＝－8，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－9n －[(n －1)2－9(n －1)]＝2n －10，当n ＝1时，也适合该式，所以a n ＝2n －10 (n ∈N *). 当n ≥2时，a n －a n －1＝2，所以{a n }为等差数列. (2)因为n ≤5时，a n ≤0，n ≥6时，a n ＞0. 所以当n ≤5时，T n ＝－S n ＝9n －n 2，当n ≥6时，T n ＝||a 1＋||a 2＋…＋||a 5＋||a 6＋…＋||a n ＝－a 1－a 2－…－a 5＋a 6＋a 7＋…＋a n ＝S n －2S 5＝n 2－9n －2×(－20)＝n 2－9n ＋40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式.【变式训练1】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 21＝42，若记b n ＝1391122a a a --，则数列{b n }( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{a n }的首项与公差之间的关系从而确定数列{b n }的通项是解决问题的突破口.{a n }是等差数列，则S 21＝21a 1＋21×202d ＝42.所以a 1＋10d ＝2，即a 11＝2.所以b n ＝1391122a a a--＝22－(2a 11)＝20＝1，即数列{b n }是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.题型二公式的应用【例2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由. 【解析】(1)依题意，有S 12＝12a 1＋12×(12－1)d 2＞0，S 13＝13a 1＋13×(13－1)d2＜0，即⎩⎨⎧<+>+②① 06 011211d a d a由a 3＝12，得a 1＝12－2d .③将③分别代入①②式，得⎩⎨⎧<+>+03,0724d d所以－247＜d ＜－3.(2)方法一：由d ＜0可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. 由于S 12＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 7＜0，即a 6＋a 7＞0，a 7＜0，因此a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6的值最大.方法二：由d ＜0可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6的值最大.【变式训练2】在等差数列{a n }中，公差d ＞0，a 2 008，a 2 009是方程x 2－3x －5＝0的两个根，S n 是数列{a n }的前n 项的和，那么满足条件S n ＜0的最大自然数n ＝ .【解析】由题意知⎩⎨⎧<-=>=+,05,030092008 2009 2008 2a a a a 又因为公差d ＞0，所以a 2 008＜0，a 2 009＞0. 当n ＝4 015时，S 4 015＝a 1＋a 4 0152×4 015＝a 2 008×4 015＜0；当n ＝4 016时，S 4 016＝a 1＋a 4 0162×4 016＝a 2 008＋a 2 0092×4 016＞0.所以满足条件S n ＜0的最大自然数n ＝4 015.题型三性质的应用【例3】某地区2010年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； (2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.所以9月10日的新感染者人数为40＋(10－1)×40＝400(人). 所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390(人).(2)9月份前10天的新感染者人数和为S 10＝10(40＋400)2＝2 200(人)，9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为－10的等差数列. 所以后20天新感染者的人数和为T 20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5 900(人).所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人).【变式训练3】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为 .【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，所以5＋3d 2≤a 4≤3＋d ，即5＋3d ≤6＋2d ，所以d ≤1，所以a 4≤3＋d ≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4.总结提高1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，a m ＝a n ＋(m －n )d .2.在五个量a 1、d 、n 、a n 、S n 中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a ，a ＋d ，a ＋2d 外，还可设a －d ，a ，a ＋d ；四个数成等差数列时，可设为a －3m ，a －m ，a ＋m ，a ＋3m .4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.6.3 等比数列典例精析题型一等比数列的基本运算与判定【例1】数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ＝1,2,3，…).求证： (1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【解析】(1)因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，所以(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n ).整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，所以S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，故{S nn }是以2为公比的等比数列.(2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1＝4a nn ＋1(n ≥2)，于是S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4a n (n ≥2).又a 2＝3S 1＝3，故S 2＝a 1＋a 2＝4.因此对于任意正整数n ≥1，都有S n ＋1＝4a n .【点拨】①运用等比数列的基本公式，将已知条件转化为关于等比数列的特征量a 1、q 的方程是求解等比数列问题的常用方法之一，同时应注意在使用等比数列前n 项和公式时，应充分讨论公比q 是否等于1；②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接，最有依据的方法，也是通法，若判断一个数列是等比数列可用a n ＋1a n＝q (常数)恒成立，也可用a 2n ＋1 ＝a n ·a n ＋2 恒成立，若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可，也可以用反证法.【变式训练1】等比数列{a n }中，a 1＝317，q ＝－12.记f (n )＝a 1a 2…a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )A.7B.8C.9D.10【解析】a n ＝317×(－12)n －1，易知a 9＝317×1256＞1，a 10＜0,0＜a 11＜1.又a 1a 2…a 9＞0，故f (9)＝a 1a 2…a 9的值最大，此时n ＝9.故选C.题型二性质运用【例2】在等比数列{a n }中，a 1＋a 6＝33，a 3a 4＝32，a n ＞a n ＋1(n ∈N *). (1)求a n ；(2)若T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，求T n .【解析】(1)由等比数列的性质可知a 1a 6＝a 3a 4＝32，又a 1＋a 6＝33，a 1＞a 6，解得a 1＝32，a 6＝1，所以a 6a 1＝132，即q 5＝132，所以q ＝12，所以a n ＝32·(12)n －1＝26－n .(2)由等比数列的性质可知，{lg a n }是等差数列，因为lg a n ＝lg 26－n ＝(6－n )lg 2，lg a 1＝5lg 2，所以T n ＝(lg a 1＋lg a n )n 2＝n (11－n )2lg 2.【点拨】历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握.【变式训练2】在等差数列{a n }中，若a 15＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 29－n (n ＜29，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 19＝1，能得到什么等式？【解析】由题设可知，如果a m ＝0，在等差数列中有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2m －1－n (n ＜2m －1，n ∈N *)成立，我们知道，如果m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，而对于等比数列{b n }，则有若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，所以可以得出结论：若b m ＝1，则有b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2m －1－n (n ＜2m －1，n ∈N *)成立. 在本题中则有b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 37－n (n ＜37，n ∈N *). 题型三综合运用【例3】设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，则求出a 1的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得2S n ＝a n ＋1－a 1.所以当n ≥2时，有⎩⎨⎧-=-=-+11,1122a a S a a S n n n n两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2). 又a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以{a n }是以首项为a 1，公比为q ＝3的等比数列. 所以a n ＝a 1·3n －1.(2)因为S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－12a 1＋12a 1·3n ，所以b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，此时b n ＝3n .所以{b n }是首项为3，公比为q ＝3的等比数列. 所以{b n }能为等比数列，此时a 1＝－2.【变式训练3】已知命题：若{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ＜n ，m 、n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m .现在已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)为等比数列，且b m ＝a ，b n ＝b (m ＜n ，m ，n ∈N *)，类比上述结论得b m ＋n ＝ .【解析】n －m b na m.总结提高1.方程思想，即等比数列{a n }中五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可“知三求二”，通过求和与通项两公式列方程组求解.2.对于已知数列{a n }递推公式a n 与S n 的混合关系式，利用公式a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，再引入辅助数列，转化为等比数列问题求解.3.分类讨论思想：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0,0＜q ＜1时，等比数列{a n }为递增数列；当a 1＞0,0＜q ＜1或a 1＜0，q ＞1时，{a n }为递减数列；q ＜0时，{a n }为摆动数列；q ＝1时，{a n }为常数列.6.4 数列求和典例精析题型一错位相减法求和【例1】求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .【解析】(1)a ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)a ≠1时，因为a ≠0， S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan ，①1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋n an ＋1.② 由①－②得(1－1a )S n ＝1a ＋1a 2＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a (1－1a n )1－1a－n a n ＋1，所以S n ＝a (a n －1)－n (a －1)a n (a －1)2. 综上所述，S n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠----=+).1()1()1()1(),1(2)1(2a a a a n a a a n n n n 【点拨】(1)若数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法；(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论；(3)当将S n 与qS n 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.【变式训练1】数列{2n －32n －3}的前n 项和为( ) A.4－2n －12n －1 B.4＋2n －72n －2 C.8－2n ＋12n －3 D.6－3n ＋22n －1 【解析】取n ＝1，2n －32n －3＝－4.故选C. 题型二分组并项求和法【例2】求和S n ＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n －1). 【解析】和式中第k 项为a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－(12)k 1－12＝2(1－12k ). 所以S n ＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n )] ＝])111([2个n +⋯++－(12＋122＋…＋12n )] ＝2[n －12(1－12n )1－12]＝2[n －(1－12n )]＝2n －2＋12n －1. 【变式训练2】数列1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为( ) A.2n －1B.n ·2n －nC.2n ＋1－nD.2n ＋1－n －2 【解析】a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝2n ＋1－n －2.故选D.题型三裂项相消法求和【例3】数列{a n }满足a 1＝8，a 4＝2，且a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (14－a n )(n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)，若对任意非零自然数n ，T n ＞m 32恒成立，求m 的最大整数值.【解析】(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，从而可知数列{a n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝a 4－a 14－1＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝10－2n .(2)b n ＝1n (14－a n )＝12n (n ＋2)＝14(1n －1n ＋2)，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14[(11－13)＋(12－14)＋…＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2)＞m 32，上式对一切n ∈N *恒成立.所以m ＜12－8n ＋1－8n ＋2对一切n ∈N *恒成立. 对n ∈N *，(12－8n ＋1－8n ＋2)min ＝12－81＋1－81＋2＝163，所以m ＜163，故m 的最大整数值为5. 【点拨】(1)若数列{a n }的通项能转化为f (n ＋1)－f (n )的形式，常采用裂项相消法求和.(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.【变式训练3】已知数列{a n }，{b n }的前n 项和为A n ，B n ，记c n ＝a n B n ＋b n A n －a n b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和为( )A.A 10＋B 10B.A 10＋B 102C.A 10B 10D.A 10B 10【解析】n ＝1，c 1＝A 1B 1；n ≥2，c n ＝A n B n －A n －1B n －1，即可推出{c n }的前10项和为A 10B 10，故选C. 总结提高1.常用的基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本，也是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n }的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.6.5 数列的综合应用典例精析题型一函数与数列的综合问题【例1】已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列.(1)设a 是常数，求证：{a n }成等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n .【解析】(1)f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log a a n ＝2n ＋2，所以a n ＝a 2n ＋2，所以a n a n －1＝a 2n ＋2a2n ＝a 2(n ≥2)为定值，所以{a n }为等比数列. (2)b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2，当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2) ·(2)2n ＋2＝(n ＋1) ·2n ＋2， S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1) ·2n ＋2， 2S n ＝2·24＋3·25＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3，两式相减得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3，所以S n ＝n ·2n ＋3. 【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解.【变式训练1】设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1C.n n ＋1D.n ＋1n 【解析】由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.所以S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选C. 题型二数列模型实际应用问题【例2】某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达30%，从2010年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化.(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a 1＝310，经过n 年绿化面积为a n ＋1，求证：a n ＋1＝45a n ＋425； (2)至少需要多少年(取整数)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？【解析】(1)证明：由已知可得a n 确定后，a n ＋1可表示为a n ＋1＝a n (1－4%)＋(1－a n )16%，即a n ＋1＝80%a n ＋16%＝45a n ＋425. (2)由a n ＋1＝45a n ＋425有，a n ＋1－45＝45(a n －45)，又a 1－45＝－12≠0，所以a n ＋1－45＝－12·(45)n ，即a n ＋1＝45－12·(45)n ，若a n ＋1≥35，则有45－12·(45)n ≥35，即(45)n －1≤12，(n －1)lg 45≤－lg 2， (n －1)(2lg 2－lg 5)≤－lg 2，即(n －1)(3lg 2－1)≤－lg 2，所以n ≥1＋lg 21－3lg 2＞4，n ∈N *，所以n 取最小整数为5，故至少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题.【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1步的距离为1单位长移动，令P (n )表示第n 秒时机器狗所在的位置坐标，且P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )A.P (2 006)＝402B.P (2 007)＝403C.P (2 008)＝404D.P (2 009)＝405【解析】考查数列的应用.构造数列{P n }，由题知P (0)＝0，P (5)＝1，P (10)＝2，P (15)＝3.所以P (2 005)＝401，P (2 006)＝401＋1＝402，P (2 007)＝401＋1＋1＝403，P (2 008)＝401＋3＝404，P (2 009)＝404－1＝403.故D 错.题型三数列中的探索性问题【例3】{a n }，{b n }为两个数列，点M (1,2)，A n (2，a n )，B n (n －1n ，2n)为直角坐标平面上的点. (1)对n ∈N *，若点M ，A n ，B n 在同一直线上，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足log 2C n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n a 1＋a 2＋…＋a n，其中{C n }是第三项为8，公比为4的等比数列，求证：点列(1，b 1)，(2，b 2)，…，(n ，b n )在同一直线上，并求此直线方程.【解析】(1)由a n －22－1＝2n －2n －1n－1，得a n ＝2n . (2)由已知有C n ＝22n －3，由log 2C n 的表达式可知： 2(b 1＋2b 2＋…＋nb n )＝n (n ＋1)(2n －3)，①所以2[b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1]＝(n －1)n (2n －5).②①－②得b n ＝3n －4，所以{b n }为等差数列.故点列(1，b 1)，(2，b 2)，…，(n ，b n )共线，直线方程为y ＝3x －4.【变式训练3】已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *).若a 1＞1，a 4＞3，S3≤9，则通项公式a n＝.【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.由a1＞1，a4＞3，S3≤9得令x＝a1，y＝d得在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1)，即a1＝2，d＝1.所以a n＝2＋n －1＝n＋1.故答案填n＋1.总结提高1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意；(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解，或通过探索、归纳构造递推数列求解；(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解策略(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列的知识求解；(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式，然后求解问题.。

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。

在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。

本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。

一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。

一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。

数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。

数列可以分为等差数列和等比数列两种。

等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。

等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。

通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。

以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。

而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。

另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。

这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。

三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。

这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。

1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。

例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。

数列的概念与简单表示法

课题数列的概念与简单表示法1、概括数列的概念：(1)按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….(2)数列的一般形式：ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项⑴数列的数是按一定顺序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2、数列的分类：（1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…（2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 4、递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.(2)对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1, 2, 3, 4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他项.3. 用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.则项之和为的前若记数列, }{ n n S n a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1)( 2)( 11n S n S S a n n n 题型一、已知通项，求数列的每一项例1 、根据下面数列 {a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)1n na n =+ ()(2)1n n a n =-⋅解：1）在通项公式中依次取 n =1，2，3，4，5，得到数列{a n } 的前5项为.65,54,43,32,21（2）数列 {a n } 的前5项为－1，2，－ 3，4，－ 5.变式1、根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：⑶a n =5×(-1)n+1 5,-5,5,-5,5∴ n n n a a 2211=⋅=-变式5、根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.1111(1)0,(21)(2)1,2n n nn n a a a n a a a a ++==+-==+题型五、根据数列和求通项公式例6. 已知数列{a n }的前n 项和为1322++=n n s n ,求n a 。

《数列的概念与简单表示法》教案

《数列的概念与简单表示法》教案章节一：数列的概念1.1 学习目标：理解数列的定义掌握数列的基本性质1.2 教学内容：数列的定义数列的项、公差、公比数列的性质1.3 教学活动：1. 引入数列的概念，引导学生思考数列的定义。

2. 通过示例，让学生理解数列的项、公差、公比的概念。

3. 引导学生探索数列的性质，如单调性、周期性等。

1.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的概念和性质。

章节二：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法理解数列的图像表示法2.2 教学内容：数列的列举表示法数列的公式表示法数列的图像表示法2.3 教学活动：1. 引导学生学习数列的列举表示法，通过示例让学生理解其应用。

2. 讲解数列的公式表示法，让学生能够根据公式写出数列的项。

3. 引入数列的图像表示法，让学生通过图像理解数列的性质。

2.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的表示法。

章节三：数列的通项公式3.1 学习目标：掌握数列的通项公式的求法能够运用通项公式解决问题3.2 教学内容：数列的通项公式的定义求数列的通项公式的方法通项公式的应用3.3 教学活动：1. 引入数列的通项公式的概念，让学生理解其意义。

2. 讲解求数列的通项公式的方法，通过示例让学生掌握。

3. 引导学生运用通项公式解决实际问题。

3.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的通项公式的求法和应用。

章节四：数列的前n项和4.1 学习目标：理解数列的前n项和的概念掌握数列的前n项和的求法4.2 教学内容：数列的前n项和的定义数列的前n项和的求法数列的前n项和的性质4.3 教学活动：1. 引入数列的前n项和的概念，让学生理解其意义。

2. 讲解数列的前n项和的求法，通过示例让学生掌握。

3. 引导学生探索数列的前n项和的性质。

4.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的前n项和的概念和求法。

章节五：数列的单调性5.1 学习目标：理解数列的单调性的概念能够判断数列的单调性5.2 教学内容：数列的单调性的定义数列的单调性的判断方法数列的单调性的性质5.3 教学活动：1. 引入数列的单调性的概念，让学生理解其意义。

高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，…就是数列{a n }． 3．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间递增数列a n ＋1>a n其中的大小关系递减数列 a n ＋1<a n n ∈N *常数列a n ＋1＝a n4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的通项公式是唯一的．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案 a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N *3．已知数列a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ≥2)．则a 2 022＝________.答案－1解析 a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，所以数列{a n }满足a n ＝a n ＋3，所以a 2 022＝a 3＝－1.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－λn ＋1，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，3)解析由题意得a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2－λ(n ＋1)＋1>n 2－λn ＋1. 化简得，λ<2n ＋1，n ∈N *，∴λ<3. 题组三易错自纠5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋1，则{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2(n ∈N *) 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋1＋2(n －1)2－1＝－4n ＋2，a 1＝－1不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n ≥2，n ∈N *.6．若a n ＝－n 2＋9n ＋10，则当数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为________．答案 9或10解析要使S n 最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需a n >0，－n 2＋9n ＋10>0，得－1<n <10，又n ∈N *，所以1≤n <10. 又a 10＝0，所以n ＝9或10.题型一由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案－2n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1. 当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，① S n －1＝2a n －1＋1.②①－②，S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项a 1＝－1，q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝－2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n ≥2.4．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则下列结论正确的是_______． ①a n ＝1n (n －1)②a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2③S n ＝－1n④数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列答案 ②③④解析 ∵a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1S n ＋1－1S n ＝－1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，d ＝－1的等差数列，即1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，又a 1＝－1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解．方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．题型二由数列的递推关系式求通项公式命题点1 累加法例1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1，则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合，因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其首项a 1＝1，且满足3S n ＝(n ＋2)a n ，则a n ＝______. 答案n (n ＋1)2解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，① 3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，②由①－②得，3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×31×1＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，满足a n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n (n ＋1)2.本例2中，若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝____________. 答案 n ·2n －1解析由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得 n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0，∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0，又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴a n ＋1a n ＝2(n ＋1)n，又a 1＝1，∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n n －1×2(n －1)n －2×2(n －2)n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n .又n ＝1时，a 1＝1适合上式，∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．(2)根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出a na 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n ，a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n ，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2222n n -+解析 ∵a n ＋1a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n a n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，……a 3a 2＝22，a 2a 1＝2， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2 ＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·22(1)212222,n nn n -⋅-++==，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2222n n -+.题型三数列的性质命题点1 数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 (单调性)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)．思维升华解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2 数列的周期性例4 (2021·广元联考)已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则{b n }的前2 022项的和为( ) A ．0 B ．1 C ．－5 D ．－1 答案 A解析 ∵b n ＋2＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，b 2＝－2， ∴b 3＝b 2－b 1＝－2－1＝－3， b 4＝b 3－b 2＝－1，b 5＝b 4－b 3＝－1－(－3)＝2， b 6＝b 5－b 4＝2－(－1)＝3， b 7＝b 6－b 5＝3－2＝1.∴{b n }是周期为6的周期数列，且S 6＝1－2－3－1＋2＋3＝0.∴S 2 022＝S 337×6＝0.思维升华解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．命题点3 数列的最值例5 已知数列{a n }满足a 1＝28，a n ＋1－a n n ＝2，则a nn 的最小值为( )A.293 B ．47－1 C.485 D.274 答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝n 2－n ＋28， ∴a n n ＝n ＋28n－1，设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a 55＝485<a 66＝293，故选C.思维升华求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n >1，则a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1；若有a n＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当a n >0时，a n ＋1a n <1，则a n ＋1<a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1.跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，∴选A.(2)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，则a 2 021等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析由题意，数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝1，a 2＝2，当n ＝1时，可得a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1；当n ＝2时，可得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1；当n ＝3时，可得a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2；当n ＝4时，可得a 6＝a 5－a 4＝－2－(－1)＝－1；当n ＝5时，可得a 7＝a 6－a 5＝－1－(－2)＝1；当n ＝6时，可得a 8＝a 7－a 6＝1－(－1)＝2； ……可得数列{a n }是以6为周期的周期数列，所以a 2 021＝a 336×6＋5＝a 5＝－2. 故选A.(3)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }的最大项是第________项．答案 6或7解析 a n ＋1a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n＝78×n ＋2n ＋1≥1.得n ≤6，即当n ≤6时，a n ＋1≥a n ，当n >6时，a n ＋1<a n ，∴a 6或a 7最大．课时精练1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第( ) A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项答案 C解析数列3，3，15，21，33，…，可化为3，9，15，21，27，…，则数列的通项公式为a n＝6n－3，当a n＝6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.2．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n等于()A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2答案A解析∵a n＋1－a n＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，a n－a n－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，a n－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝2(1－2n－1)1－2＋n－1＝2n＋n－3，∴a n＝2n＋n－2，选A.3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于()A．4 711 B．4 712C．4 714 D．4 715答案C解析由题意可知a n a n＋1a n＋2＝8，则对任意的n∈N*，a n≠0，则a1a2a3＝8，∴a3＝8a1a2＝4，由a n a n＋1a n＋2＝8，得a n＋1a n＋2a n＋3＝8，∴a n a n＋1a n＋2＝a n＋1a n＋2a n＋3，∴a n＋3＝a n，∵2 021＝3×673＋2，因此a1＋a2＋…＋a2 021＝673(a1＋a2＋a3)＋a1＋a2＝673×7＋1＋2＝4 714.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－11n ＋a n，a 5是数列{a n }的最小项，则实数a 的取值范围是( )A ．[－40，－25]B ．[－40,0]C ．[－25,25]D ．[－25,0]答案 B解析由已知条件得a 5是数列{a n }的最小项，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 5≤a 4，a 5≤a 6，即⎩⎨⎧ 52－11×5＋a 5≤42－11×4＋a 4，52－11×5＋a 5≤62－11×6＋a 6，解得⎩⎨⎧a ≥－40，a ≤0. 故选B.5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k B ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列答案 ABD解析对于A ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k ，A 正确；对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确．故选ABD.6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(a ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln n n ＋1答案 CD解析对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误；对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确；对于D ，若a n ＝ln n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确．故选CD.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增的，∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)．9．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 答案 8164解析 ∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164. 10．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项．答案 5解析因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时，a n 的值最小．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1，n ∈N *；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3，n ∈N *.解 (1)∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.经检验，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝2n 2＋n ＋3(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 经检验，当n ＝1时，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n －1，n ≥2，n ∈N *. 12．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋9n ＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．解 (1)令a n ＝－107，－2n 2＋9n ＋3＝－107,2n 2－9n －110＝0，解得n ＝10或n ＝－112(舍去)．所以a 10＝－107. (2)a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058，由于n ∈N *，所以最大项为a 2＝13.13．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024答案 C解析在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.故选C.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(2n ＋1)2－1B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(n ＋1)3答案 D解析在4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n 中，令n ＝1，得8(a 1＋1)＝9a 1，所以a 1＝8，因为4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，①所以4n ·(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1(n ≥2)，②①－②得，4a n ＝(n ＋2)2n ＋1a n －(n ＋1)2n a n －1，即n 2n ＋1a n ＝(n ＋1)2n a n －1，a n ＝(n ＋1)3n 3a n －1，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1 ＝(n ＋1)3n 3×n 3(n －1)3×…×3323×8 ＝(n ＋1)3(n ≥2)，又a 1＝8也满足此式，所以数列{a n }的通项公式为(n ＋1)3. 故选D.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5等于( ) A ．0 B.1764 C.564 D.2164答案 D解析数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164. 故选D.16．(2020·鹰潭模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n －S n ＝12n －12n 2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a－5a n ，求数列{b n }中最小的项．解 (1)对任意的n ∈N *，由a n －S n ＝12n －12n 2，得a n ＋1－S n ＋1＝12(n ＋1)－12(n ＋1)2，两式相减得a n ＝n ，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)得b n ＝2n －5n ，则b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－5(n ＋1)]－(2n －5n )＝2n －5. 当n ≤2时，b n ＋1－b n <0，即b n ＋1<b n ，∴b 1>b 2>b 3；当n ≥3时，b n ＋1－b n >0，即b n ＋1>b n ，∴b 3<b 4<b 5<…，所以数列{b n}的最小项为b3＝23－5×3＝－7.。

数列的概念与简单表示法的知识点总结

数列的概念与简单表示法的知识点总结关于数列的概念与简单表示法的知识点总结1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2．数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3．数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的'内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4．数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5．递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

6.1数学数列的概念和简单表示

an
n 1
1 n 1
2
（1）1，2，2 2，2 3，…，2 63 （2）1，2，4，8，16，…
（3）3.14，3.141，3.1415，3.14159， 3.141592… （4）1740，1823，1906，1989， …
（5）20，22，24，26，28，…，38 （6）15，5，16，16，28，32
特点：1、均是一列数，2、有一定次序.
的元素不一定是数。
数列的一般形式可以写成： a1 , a2 , a3 , … , an , … n N

其中右下标n表示项的位置序号，上面的数列又可简记为 an
注意：a n 表示第 n 项，an表示一个数列.
如数列又如数列 1，2，3，·,n ,·可简记为： n · · · ·
1, 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , … , 263 18446744073709551615
OK
陛下国库里的麦子不够啊！
?
（1）传说中棋盘上麦粒数按放置的先后排成的一列数： 1，2，2 2，2 3，…，2 63 （2）某种细胞分裂问题：1，2，4，8，16，…
注：并不是所有的数列都可以求出其
通项公式。
小结：
1、本节学习的数学知识：数列的概念和表示。 2、本节学习的数学思想：归纳的思想、函数的思想、归纳猜想的思想、数形结合的思想方法等。
n 练习：已知无穷数列7，4，3， …， 6 ，… n
（1）求这个数列的第10项；
53 （2） 50 是这个数列的第几项？
青蛙数（项数）
嘴的张数{an}
眼的只数{an}
腿的条数{an}
1

专题6.1 数列的概念与简单表示法(重难点突破)(解析版)

专题6.1 数列的概念与简单表示法一、考情分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．二、经验分享考点一数列的有关概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．考点二数列的通项公式 (1)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式a n ＝f (n )来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (2)数列的递推公式如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ，n ＝1， S n －S n －1 ，n ≥2.考点三常用结论1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．三、题型分析重难点题型突破1 求数列前几项求通项公式例1、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)1,0，13，0，15，0，17，0，…；(4)32，1，710，917，…. 【答案】 (1)a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)a n ＝89⎪⎭⎫ ⎝⎛n 101-1.(3)a n ＝1＋(－1)n ＋12n 或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2n.(4)a n ＝2n ＋1n 2＋1.【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎪⎭⎫⎝⎛n101-1. (3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为a n ＝1＋(－1)n ＋12n或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，所以可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.【变式训练1-1】、 (2020·秦皇岛质检)数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223【答案】 C【解析】观察前4项可知，此数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，所以a 10＝－2021.重难点题型突破2 a n 与S n 关系的应用根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． ①利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解； ②利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解．例2、(2020·河北衡水中学调研)已知S n ＝3n ＋2n ＋1，则a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2 【解析】因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2. 例3、设S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ≠0，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【答案】－1n【解析】因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以 S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. 因为 S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1. 又1S 1＝－1，所以 {1S n }是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以 S n ＝－1n. 【变式训练3-1】、已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ≠0，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n ＝1成立，则S 2 017＝________．【答案】：11 009【解析】：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 2是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 【变式训练3-2】、(2020·山西太原模拟(一))已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则a 7＝( ) A.73 B ．12764C.32132 D ．38564【答案】B.【解析】：当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝2n －2，又S n ＋a n ＝2n ，所以2a n －a n －1＝2，所以2(a n －2)＝a n －1－2，故{a n －2}是首项为a 1－2，公比为12的等比数列，又S 1＋a 1＝2，故a 1＝1，所以a n ＝－121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＋2，故a 7＝2－164＝12764，故选B. 【变式训练3-3】、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________．【答案】：⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2【解析】：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2·3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.重难点题型突破3 由数列的递推关系求通项公式例4、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .【答案】a n ＝1n【解析】 ∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .【变式训练4-1】、设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．【答案】a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)【解析】由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．因为当n ＝1时也满足上式，所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N *)．【变式训练4-2】、在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 020的值为( )A ．－14B ．5 C.45 D ．54【答案】A.【解析】：在数列{a n }中，a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，所以a 2＝1－1－14＝5，a 3＝1－15＝45，a 4＝1－145＝－14，所以{a n }是以3为周期的周期数列，所以a 2 020＝a 673×3＋1＝a 1＝－14. 【变式训练4-3】、(2020·沈阳模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a n ＝( ) A ．2n －1 B.⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1n －1C ．nD ．n 2【答案】 C【解析】解法一：特值法可确定C 正确．解法二：a n ＝n (a n ＋1－a n )，而a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 3a 2×a 2a 1＝n n －1×n －1n －2×…×32×21＝n .故选C. 重难点题型突破4 数列的函数特征例5、已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．【答案】 (－3，＋∞)【解析】法一(定义法)：因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1) (*)．因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二(函数法)：设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f (n )为增函数，故只需满足f (1)＜f (2)，即λ＞－3.【变式训练5-1】、(2020·银川模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．【答案】见解析【解析】 (1)因为f (x )＝2x －12x ，f (log 2a n )＝－2n ，所以a n －1a n ＝－2n ，所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1，因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N *.(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1，因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．【变式训练5-2】、已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．【答案】见解析【解析】：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0. 所以数列{c n }的变号数为3.。

2025高考数学一轮复习-6.1-数列的概念与简单表示方法【课件】

『变式训练』 1．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 2Sn＝3an－3，则 a4 等于( B ) A．27 B．81 C．93 D．243
【解析】根据 2Sn＝3an－3，可即 an＋1＝3an，当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3，所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
【解析】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．而 a1＝S1＝5，∴an＝52， n－1n，＝n1≥，2.
易错点睛：(1)数列是特殊的函数，注意其自变量为正整数． (2)求数列前 n 项和 Sn 的最值时，注意项为零的情况． (3)使用 an＝Sn－Sn－1 求 an 时注意 n≥2 这一条件，要验证 n＝1 时是否成立．
满足条件
有穷数列无穷数列
项数项数
有限无限
递增数列递减数列
常数列
an＋1 an＋1 an＋1
> an < an ＝ an
其中 n∈N*
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列
3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列与函数的关系数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R 的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 an＝f(n)．也就是说，当自变量从 1 开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值 f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
同理令2nn－＋11＝15，得 n＝2，∴15为数列{an}的项；

6.1数列的概念与简单表示法

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数列的概念与简单表示法教案

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数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)

2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第六章 6.1 数列的概念与简单表示法 Word

高三理科数学一轮总复习第六章 数列

高考数学知识点：数列的概念与简单表示法

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高考数学-第六章 §6.1 数列的概念与简单表示法

数列的概念与简单表示法的知识点总结

6.1数学数列的概念和简单表示

专题6.1 数列的概念与简单表示法(重难点突破)(解析版)

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高三理科数学一轮总复习第六章数列