有限元知识介绍

有限元法在工程分析中的作用一般来说，工程分析可分为两大类：经典法与数值解法，有限元法是数值法的一种，如下图所示：经典法是直接采用控制微分方程来求解场问题 ，其方程是基于物理原理而建立的。

⑴闭合型的精确解仅对于几何 、 载荷与边界条件最简单的情况才有可能得到。

⑵采用对控制微分方程的近似解法，可求解某些经典问题，这类近似解采用具有适当截断误差的级数展开式。

如同精确解一样，近似解法也要求规则几何形状，简单边界条件以及简便的载荷。

因此，经典解离大多数实际工程问题较远，经典解法的主要优点是通过这类问题的解来得到对问题的深刻认识。

数值方法涉及到十分广泛的问题。

⑴求极小值，这种方法对于某些问题十分有效，但该法不是广泛适用的。

⑵边界元法逼近满足控制微分方程的函数，但不包括边界部分。

因为边界单元仅用于表达求解问题域的边界，从而减小了求解问题的规模。

⑶有限差分法用适当的代数方程代替控制微分方程和边界条件，这种方法可描述某些不规则问题，但复杂的几何、边界条件或载荷会成为难于对付的困难。

⑷有限元法：通过采用多种规则形状的单元来处理实际上无限制的任何问题。

这些单元可组合成近似的任何不规则边界。

类似地，任何类型的载荷和约束条件也可提供。

本质上，有限元解可认为是一大堆数，这些数仅适用于确定有限元模型所表示的特定问题，若改变有限元模型的任何重要的数据，就要求对该问题做完全的重分析，分析者认为这是一种小的代价，此时，有限元法往往是仅有可能的分析方法。

有限元法适用于求解各类场问题—这些包括结构分析，热传导，流工程分析 经典法 数值法 精确解法 近似解法 能 量 法 边界元法 有限差分法有限元法体和电磁场等。

有限元法的过程有限元分析在于寻求在一般载荷与约束条件下，具有任何形状结构的近似特性，其求解模型是由若干离散的有限单元装配而成的。

有限单元都具有规则(或接近规则)的几何形状和已知的解。

通过分析这些单元的汇集特性，得到其结构的特性。

下图描绘了有限元法的求解过程线性静力有限元分析步骤在下图中，图示了在线性静力结构分析中，求解的基本步骤：图解法流程有限元模型的一般知识3.1 离散化结构的描述本节给出建立有限元模型所需的各类数据的概要,它们是:●坐标系●模型几何●有限单元●载荷●边界条件●材料性质坐标系在描述结构的几何之前,必须建立坐标系。

MSC/NASTRAN有直角笛卡尔坐标系,称之为基本坐标系,也称之为缺省坐标系,如图3-1所示图3-1 基本坐标系对于某些结构,采用其它坐标系来输入模型的几何会是更方便的。

因此,MSC/NASTRAN允许建立局部坐标系,包括直角、柱面与球面坐标系。

作为一个例子,考虑图3-2所示的农场井,这是一个具有半球顶的圆柱面,并且是与基本坐标系原点偏离的。

对于这种情况,建立局部柱面坐标系(γ，θ，z)和球面坐标系(γ，θ，φ)来形成模型的几何数据记录,或检查计算出来的位移结果,显然，这是十分方便的。

图3-2 用局部坐标系建立模型几何的例子模型几何分析者的许多时间是用来正确地描述模型的几何。

所要求的数据可从兰图、计算机辅助系统(CAD)或初步设计草图中取得。

在MSC/NASTRAN中，模型的几何是用结点定义的。

一般来说,结点是在结构表面或在结构连续域中,并且,有限单元是与结点相连接的。

小的有限元模型可能只有几个结点,复杂的模型则可能有多少万个结点。

结构的结点随加了载的结构移动。

结构模型的每一个结点具有六个可能的位移:三个移动(在X、Y和Z方向)和三个转动(关于X、Y和Z轴)。

这些位移分量称之为自由度。

在图3-3中,位于X-Y平面的一个结点,它有两个移动(一个在X-方向,另一个在Y-方向)和一个转动(绕Z轴)。

图3-3 结点的位移有限单元一旦确定了结构模型的几何,各结点便由有限单元连接起来。

在线性静力分析中,每一个单元本质上是一个弹性弹簧,其数学特性近似于一小片实际结构的物理特性。

总的目标是使装配在一起的象弹簧一样的单元尽可能的如同真实结构那样表现。

为了合适地选取单元的类型和数量,要求对结构的本质有透彻的理解,须知,还没有一个有限元程序可替代分析者的这种职责。

MSC/NASTRAN 具有复盖广泛范围物理特性的丰富的单元库。

最常用的单元见图3-4。

位于每个单元名字前的字母C 是代表“connection ”。

■ 弹簧元（它们的性质象简单的拉伸或扭转弹簧）■ 线单元（它们的性质象杆、棒或梁）杆元： CROD ，CONROD直梁元：CBAR ，CBEAM曲梁元：CBEND■ 面单元（它们的性质象膜或薄板）三结点三角形板元：CTRIA 3六结点三角形板元：CTRIA 6四结点四边形板元：CQUAD 4八结点四边形板元：CQUAD 8四结点剪力板元：CSHEAR■ 体单元（它们的性质象块料或厚板材）■ 约束元（有的无限刚硬，称为刚性元，在数学模型中不引起数值困难）●刚性杆：RROD ●刚性梁：RBAR ●刚性三角板：RTRPLT ●刚性体：RBE 1，RBE 2 ●均方加权约束元：RBE 3 ● 内插约束元：RSPLINE图3-4 基本单元CELAS1～4六面体元CHEXA 五面体元 CPENTA 四面体元CTETRA载荷MSC/NASTRAN可处理由种种工程学科提出的各种载荷(静力载荷、动力瞬态、振动载荷、热载、地震加速度和随机载荷……)，我们将集中介绍一般的静力载荷，即在典型的材料力学中所描述的这类载荷。

这些载荷包括：●集中力和力矩●梁上的分布载荷●板和体面上的压力载荷●重力载荷●由加速度引起的载荷●强迫位移如果施加于结构的载荷是直接了当的，十分明白的，那你是十分幸运的。

然而，经常的情况往往要求你做关于载荷本质的假定或估价。

比如，机器部分或齿轮齿的接触处，或不规则表面的风压，便是这种不好处理的情况。

甚至有这种情况，载荷数据成为模型误差的最大且唯一的起源。

因为整个分析的质量不会好于模型输入数据的累集误差，因此，应特别注意载荷的处理，应尽可能精确地表达载荷。

边界条件结构对载荷的响应是通过在约束点或结构点处产生反力来响应的。

图3-5图示了一些简单的边界条件。

图3-5 简单边界条件在多数情况，在MSC/NASTRAN中，边界条件是通过约束适当自由度为零位移来处理的。

真实结构常常的确不具有理想的或简单的边界条件。

约束的选取极大地影响结构对载荷的响应，因此，必须充分注意，尽可能精确地确定边界条件。

材料性质MSC/NASTRAN可处理广泛的材料性质，包括各向同性，各向异性，非线性(与应力相关)，流体，温度相关的，以及复合材料等。

在本书中，我们将集中于均质的、各向同性的材料。

另外，我们要求施于结构的载荷不超过材料的弹性极限(即材料仍是线性的)。

幸运的是，这些限制复盖了广泛范围的工程材料和工程问题。

3.5 建立有限元模型的一般策略建立合理的有限元模型是用有限元法求解工程问题的首要环节。

在这里，我们给出几条设计模型的通常策略，供用户们参考。

(1) 设计模型在设计模型开始之前，必须对结构特性做出工程技术判断。

因为复杂结构的有限元模型涉及重要的工程技术与计算机资源，故在操作计算机建模之前，有必要制定一个建模计划，下面给出在设计模型过程中必定会遇到的一些问题：a ) 建立项目预算项目预算需要考虑可用于完成工程项目的时间，有效工时和计算机资源。

一般来说，随着所采用模型自由度的增加，而增加计算机消耗、建模时间和得到感兴趣结果的时间。

对于具有N个自由度的模型，计算机消耗主要由下面几部分组成：●一般管理费用(与N无关)●矩阵装配(与N成比例)●求解(与N2成比例)●数据恢复(与N成比例)对于具有1000个自由度的静力问题，这些量是近似相等的，对于大的问题，求解消耗占主导地位。

b ) 解的精度问题精度问题是设计模型的关键问题，并且在相当程度上与经验与判断有关。

一般来说，增加单元数便提高精度。

例如，200个单元的模型得到的解与理论的误差为15%，增加100单元则可能改善解的精度到10%。

因此，懂得怎样附加单元以改善精度是十分重要的。

通常，在高应力梯度区域且要求高精度的情况，要求较多的单元(细网格)。

c ) 结构的破坏型式问题MSC/NASTRAN 只能求解你告诉的需求解的问题。

例如在线性静力分析中，你可以压缩一根细长柱，结果得到一短的高应力柱。

而真实情况可能是该柱在小的压力载荷作用下便失稳了。

屈曲分析是不同的解法流程，要求特征值方法。

这就是说，用户需根据结构可能发生的破坏型式，选取相应的分析流程。

d ) 载荷、载荷作用点与反作用点经常存在与载荷情况相关的不确定问题以及不同于理想情况的边界条件，因此在这方面要给予相当的注意。

e ) 在载荷作用下结构的作用认真研究在载荷作用下结构的作用将帮助你建立弯曲、扭转、剪切与轴向载荷的基本载荷轨迹，并基于预期的结构特性，选取单元类型。

f ) 敏度研究问题如果有必要，可进行敏度研究，用小的模型，确定单元数、解的精度以及建模消耗之间的关系。

g) 模型的对称性应尽可能地利用模型的对称性。

对称性允许对结构的单个规则部分建立模型，该模型与结构剩余部分的连接采用适当边界条件来表示。

(2) 试验模型的采用在有限元工作中一种最有用且省时的方法是采用小的试验模型。

当准备有限元模型时，若包含新的或不熟悉的技术，你以前从未用过的某种典型的单元或解法类型，你可首先采用仅包含少量单元的小的试验模型。

这些“数值经验”对单元特性，所提出的建模技术，计算结果对网格尺寸的敏度或任何其它与你的分析有关的其它技术方案提供有价值的理解。

甚至于利用小的模型来学习与试验最先进的MSC/NASTRAN 分析方法(理论上，建立小的试验模型容易具有现存的理论解)。

重要的是，决不会用大的、昂贵的实际工程模型来学习新的方法。

利用试验模型的第二个基本原因是：当你不能简单地预示你分析的结构的特性或其结构的关键区域的特性时，建立粗的初始模型(采用少量单元，但是施加正确的载荷与边界条件)以得到对结构大致特征的理解是一种合适的方案。

初始模型的结果会帮助你选取单元，确定在详细模型中需细划网格的区域。

当你存在疑虑时，首先用小的便宜的模型总是一种良好的开端。

最后应指出的是：MSC频繁地被呼叫为具有不能正确运行模型的用户解决问题。

如果用户用小的模型的话，MSC的技术支持员工可以有效得多地为用户提供帮助。

因为调试一个小的模型比较容易，并且为得到一个重新正确运行的试验模型的回复时间是数分钟而不是数小时。

(3) 网格和网格的过渡网格是由有限元连接而成的图样。

比较少的单元连成粗网格，附加较多的单元产生细网格，后者可比较好地表示不规则结构形状。

一般来说，细网格是比较精确的，但是在计算上也是花费比较大的。

在多数有限元模型中，网格过渡区是要求的，其主要目的是：●建立过渡区，以将细网格区与较粗网格区相连接；●连接不同的单元(例如：梁元与板元的连接)；●建立不规则结构有限元模型，也往往需要过渡区，如平板模型中圆孔的边。