隐函数及参数方程的的导数
隐函数及参数方程导数
隐函数及参数方程导数隐函数的概念隐函数是指在数学上表达关系式时，将一个变量的值表示为另一个变量的函数形式，而不是直接给出变量间的具体关系式。
隐函数可以在一些情况下简化表达式，使得关系更加清晰。
隐函数的求导法则对于一个隐函数，我们可以使用隐函数的求导法则来求其导数。
隐函数的求导法则有三个基本步骤：1.将隐函数两边分别对变量求导。
2.将所有涉及未知函数的导数项放在一起，将未知函数的导数视为一项。
3.对于求导后的表达式，将解释为隐函数的形式。
当我们有一个隐函数的关系式时，我们需要将其改写为求导的形式，然后根据隐函数的求导法则进行求导。
参数方程的概念参数方程是一种使用参数来表示曲线、曲面或空间中的点的方式。
在参数方程中，曲线或曲面上的每个点都可以通过一个参数的取值来确定。
参数方程的求导法则对于参数方程中的点，我们可以使用参数方程的求导法则来求其导数。
参数方程的求导法则与一般函数的求导法则不同，它根据参数的导数来求解。
参数方程的求导法则可以表示为：1.对于曲线的参数方程，使用链式法则求导。
2.对于曲面的参数方程，使用偏导数的求导法则求导。
在求导参数方程时，我们需要对参数进行求导，并将参数的导数代入到参数方程中，再进行求导。
隐函数和参数方程在数学上表示了相同的关系，但使用不同的表达形式。
隐函数更多用于关系的研究，参数方程更多用于几何的研究。
二者之间存在着一一对应的关系。
在一些情况下，可以通过一个隐函数推导出一个参数方程，或者反过来，通过一个参数方程推导出一个隐函数。
隐函数与参数方程的求导对于隐函数的求导，我们可以使用隐函数的求导法则进行求导。
隐函数的求导法则适用于一般的隐函数。
对于参数方程的求导，我们可以使用参数方程的求导法则进行求导。
参数方程的求导法则适用于一般的参数方程。
需要注意的是，在求导隐函数或参数方程时，我们需要明确表示出需要求导的变量是隐函数中的变量或参数方程中的参数。
总结隐函数和参数方程是数学中表示关系的两种不同形式。
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解
视 y y( x ) , 方程两边对 x 求导, 得 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy,
y
3 3 ( , ) 2 2
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 于是，所求切线方程为 y ( x ) , 即 x y 3 0 . 2 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例7 解
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求 由 方 程 xy e x e y 0 所 确 定 的 隐 函 数y y( x )
dy dy 的导数 , x 0 . dx dx 解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导 , 得
2 2 3 12x 2 y xy 12 y ( y ) 4 y y 0, 2
代入 x 0、 y 1 及
y x 0
y 1
1 得 4
y x 0
y 1
1 . 16
四、对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
注意 y = y (x)
解得
dy 1 dy x cos y 0 dx 2 dx dy 2 dx 2 cos y
上式两边在对 x 求导，得
13 隐函数及由参数方程所确定的导数
隐函数及由参数方程所确定的导数一、隐函数的导数1、隐函数的求导法函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同的方式表达.前面我们遇到的函数，例如2ln cos y x x =，3523x x y x e =-+等，这种函数表达式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数.但是有些函数的表达式却不是这样，例如方程310x y +-=表示一个函数，因为当自变量x 在()+∞∞-,内取值时，变量y 有唯一确定的值与之对应，这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如由方程310x y +-=解出31x y -=，就把隐函数化成了显函数.但是，隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.例如，方程0y e xy -=所确定的隐函数就不能用显式表示出来.因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.我们知道，把方程()0,=y x F 所确定的隐函数()x y y =代入原方程，便得恒等式()()0,≡x y x F ，把这个恒等式的两端对x 求导，所得的结果也必然相等.但应注意，左端()(),F x y x 是将()x y y =代入(),F x y 后所得的结果，所以，当方程()0,=y x F 的两端对x 求导时，要记住y 是x 的函数，然后利用复合函数求导法则求导.这样，便可得到欲求的导数.下面举例说明这种方法.例1求由方程221x y +=所确定的隐函数y 的导数.解把方程两端分别对x 求导，记住y 是x 的函数，得220x yy '+=，由此得xy y'=-（0y ≠）.例2求由方程0y e xy e +-=所确定的隐函数y 的导数.解把方程两端分别对x 求导，得0='++'⋅y x y y e y ，由此得()0,≠++-='y ye x ex yy .例3求曲线322y y x +=在横坐标为1的点处的切线和法线方程.解由导数的几何意义，所求切线的斜率为1x k y ='=，方程两端分别对x 求导，有2322y y yy ''+=，从而2232y y y'=+当时，1=y ，代入上式，得1125x y y =='=.于是所求的切线方程为()1521-=-x y ，即0352=+-y x .法线方程为()1251--=-x y ，即0725=-+y x .例4求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d .解方程两端分别对x 求导，得0cos 211='⋅+'-y y y ，于是yy cos 22-='.上式两端再对x 求导，得()()232sin 4sin 2cos 2cos y y yy y y '-⋅-''==--.上式右端分式中的y 是由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数.2、对数求导法根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.我们通过下面的例子来说明这种方法.例5求()tan 0x y x x =>的导数.解对于tan x y x =两边取对数，得x x y ln tan ln =，两边对x 求导，得xx x x y y tan ln sec 12+='，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x x x x x x x x y y x tan ln sec tan ln sec 2tan 2.注例5中函数tan x y x =既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数.幂指函数的一般形式为()0v y u u =>，其中,u v 是x 的函数.例6求y x =的导数.解先在两边取对数（假定4>x ），得()()()()[]4ln 3ln 2ln 1ln 21ln 2ln -----+-+=x x x x x y ，上式两边对x 求导，注意到y 是x 的函数，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+='413121112121x x x x x y y ，于是()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-+----='4131211121243212x x x x x x x x x x y .当1<x 时，y x =；当32<<x 时，y x =，用同样的方法可得与上面相同的结果.二、由参数方程所确定的函数的导数一般地，如果参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数）确定y 与x 之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.对于参数方程所确定的函数，通常也并不需要由参数方程消去参数t 化为y 与x 之间的直接函数关系后再求导.如果函数()t x ϕ=，()t y ψ=都可导，且()0≠'t ϕ，又()t x ϕ=具有单调连续的反函数()x t 1-=ϕ，则由参数方程所确定的函数可以看成()t y ψ=与()x t 1-=ϕ复合而成的函数()[]x y 1-=ϕψ，根据复合函数与反函数的求导法则，有()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即()()t t dx dy ϕψ''=，也可写成dtdxdt dy dx dy =.例7求摆线()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩在2π=t 处的切线方程.解摆线在任意点的切线斜率为()[]()[]()tt t a t a t t a t a dx dy cos 1sin cos 1sin sin cos 1-=-='-'-=，2π=t 时，摆线上对应点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-a a ,12π，在此点的切线斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k ，于是，切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛--=-12πa x a y ，即22y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.例8求方程32ttx ey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数的二阶导数22d ydx.解()()ttt t t e e e ee dx dy 2323232-=-=''=--，22223t d y d dy d e dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第四节隐函数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数函数)(x f y =的形式,是因变量y 由含有自变量x 的数学式子直接表示的函数,例如x y 2sin =,21x y -=等,称为显函数.如果变量x 与y 的函数关系可以由一个二元方程0),(=y x F 表示,例如013=-+y x ,0=-+e xy e y ,122=+y x 等,对在给定范围内的每一个x ,通过方程有确定的y 值与之对应,所以y 是x 的函数,这种函数称为隐函数.定义1如果变量x 、y 之间的函数关系是由某一方程0),(=y x F 所确定,那么称这种函数是由方程),(=y x F 所确定的隐函数.把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程013=-+y x 解出31x y -=,就把隐函数化成了显函数.但有的隐函数不易显化,甚至不可能显化.例如由方程0=-+e xy e y确定的隐函数就不能显化.对由方程),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =,在不显化的条件下,怎样求)(x y '呢?假设由方程),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =,将y 视为中间变量,利用复合函数求导法,方程两边分别对x 求导,可得到一个含有y '的方程,最后解出y '即得隐函数)(x y y =的导数.例1已知由方程0=-+e xy e y 确定了隐函数)(x y y =,求)(x y '及)0(y '.解把y 看成x 的函数)(x y ,将方程两边分别对x 求导,由复合函数的求导法则有0)()()()(='++'x y x x y x y e x y .从而)()()(x y e x x y x y +-=',即ye x yx y +-=')()0(≠+y e x .将0=x 代入原方程得1=y ,故11)0(-==-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='e e x y y y x y.隐函数求导方法小结:(1)把y 视作复合函数的中间变量,将方程两边分别对x 求导；(2)从求导后的方程中解出y '；(3)隐函数求导的结果允许含有y ,但求某一点的导数时不仅要代x 的值,还要把对应的y 值代入.例2求曲线)1(322+=x x y 在点)2,2(处的切线方程.解把2y 看成x 的复合函数,方程两边分别对x 求导,得x x y y 2362+=',解得yxx y 6232+=')0(≠y .因而所求切线斜率为34)2,2(='y .于是所求切线方程为)2(342-=-x y .即234=--y x .例3证明抛物线)0>=+a a y x 上任一点的切线在两个坐标轴上的截距之和等于a .证方程两边分别对x 求导,有2121='+y y x ,得x yy -='.设),(000y x M 是抛物线上任一点,则抛物线过点),(000y x M 的切线斜率为0),(00x y y k y x-='=,所以切线方程为)(000x x x y y y --=-,即100000=+++y x y y y x x x.所以抛物线上任一点),(000y x M 的切线在两坐标轴上的截距之和为0000000002)()(y y x x y x y y x x ++=+++aa y x ==+=2200)()(.例4求由方程)tan(y x y +=所确定的隐函数的二阶导数22dx yd .解方程两边分别对x 求导,得)1)((sec 2y y x y '++=',即)(sec 1)(sec 22y x y x y +-+='111222--=+-=y y y .从而523)1(22y y y y y +-='='')(cot )(csc 32y x y x ++-=.说明：求由方程),(=y x F 确定的函数)(x y y =的二阶导数,可把y 视为中间变量将0),(=y x F 两边分别对x 求导,,求出),(y x y ϕ='后,仍视y 为中间变量,对y '再求一次导数,则表达式中有y ',将第一次求出的y '代入后即可求出y ''.二、对数求导法定义2先将函数)(x f y =的两边取对数,然后利用隐函数求导法求出y 的导数dx dy,这种方法称为对数求导法.对以下两类函数,使用对数求导法求导一般较为简便.(1)幂指函数)()]([x g x f y =)0)((>x f ；(2)多个因式的积、商、乘方、开方构成的函数.下面通过例题来说明这种方法.例5求幂指函数)0(>=u u y v的导数,其中v u ,为x 的可导函数.解（法一）将函数)0(>=u u y v 两边取对数得u v y ln ln =,两边分别对x 求导,由于v u y ,,都是x 的函数,则由隐函数求导法则,有u u v u v y y '⋅⋅+⋅'='1ln 1,⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'='u u v u v u u u v u v y y v ln ln .（法二）因为uv v e u y ln ==,所以由复合函数求导法则得)ln ()(ln ln '⋅='='u v e e y u v u v ⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅⋅+'=u u v u v u u u v u v e v u v ln 1ln ln .例6已知xx y cos 2)1(+=,求y '.解两边取对数得)1ln(cos ln 2x x y +⋅=,上式两边分别对x 求导得x x x x x y y 211cos )1ln(sin 122⋅+⋅++⋅-='⋅,⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++⋅-+='22cos 21cos 2)1ln(sin )1(x x x x x x y x .例7已知xxx y =,求y '.解两边取对数得x x y xln ln =,方程两端再取对数得)ln(ln ln )ln(ln x x x y +=,方程两端分别对x 求导得x x x x x y y y 1ln 11ln 1ln 1⋅+⋅+='⋅,所以)ln 1ln 1(ln xx x x x x y x x x++⋅⋅='1ln (ln 2x x x x x x x ++=+.例8求函数322)2(21x x x x y -+⋅-=的导数.解两边取对数得)2ln(32)2ln(31)1ln(ln 2ln x x x x y --++--=，两边分别对x 求导得x x x x y y --⋅-++---='⋅2132)2(311121，所以⎦⎤⎢⎣⎡-+++-+-+⋅-=')2(32)2(31112)2(21322x x x x x x x x y .例9求函数x x ey xsin 1=的导数.解两边取对数得xx e x y sin ln 81ln 41ln 121ln +⋅+⋅=，方程两端分别对x 求导得x x x x y y sin 8cos 4112112++⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⋅，即x x ey xsin 1='⎪⎭⎫ ⎝⎛++-x x x cot 8141212.三、由参数方程所确定的函数的导数在许多实际问题中,变量y 与x 的函数关系可用参数方程⎩⎨⎧==).(),(t y t x ψϕ)(βα≤≤t 确定,于是我们有下面定义:定义3如果参数方程⎩⎨⎧==).(),(t y t x ψϕ确定了y 与x 之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.如何求由参数方程所确定函数的导数dx dy呢?在参数方程中,如果函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(1x t -=ϕ,且此函数能与函数)(t y ψ=复合而成复合函数)]([1x y -=ϕψ.假设)(),(t y t x ψϕ==均可导,且0)(≠'t ϕ,则根据复合函数和反函数的求导法则,可得)()(1t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=)0)((≠'t ϕ.即dtdxdt dy dx dy =⎪⎭⎫⎝⎛≠0dt dx .如果函数)(),(t y t x ψϕ==有二阶导数)0)((≠'t ϕ,那么可求出22dx yd :dx dtt t dt d dx dy dx d dxy d ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()(22ϕψ)(1))(()()()()(2t t t t t t ϕϕψϕϕψ'⋅''''-'''=3))(()()()()(t t t t t ϕψϕϕψ''''-'''=.例10已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin 3,cos 2t y t x )20(π≤≤t .求椭圆在3π=t 相应点处的切线方程.解因为t t t t t dx dy cot 23sin 2cos 3)cos 2()sin 3(-=-=''=,所以椭圆在3π=t 处的切线的斜率为2131233-=⋅-==πt dx dy .当3π=t 时,23,1==y x ,因而椭圆在3π=t 处的切线方程是)1(2123--=-x y ,即042=-+y x .例11求由参数方程⎩⎨⎧=+=.cos ,12t y t x 所确定的函数的22,dx y d dx dy .解t t x y dx dy t t 2sin -=''=,t t x t t dx dt dx dy dt d dx y d '⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=12sin 22t t t t t 212sin cos 2⋅+-=34cos sin t t t t -=.例12求由参数方程⎩⎨⎧-'='=).()(),(t f t f t y t f x ()(t f ''存在且不为零)所确定函数的二阶导数22dx yd .解)(])()([t f t f t f t x y dx dy t t t '''-'=''=t t f t f t f t t f ='''-''+'=)()()()(.)(1122t f x dx dy dx y d t t ''='⋅'⎪⎭⎫ ⎝⎛=.四、相关变化率定义4设)(),(t y y t x x ==都是可导函数,且x 与y 之间存在某种关系,从而变化率dt dx 与dt dy间也存在一定关系.在已知其中一个变化率时,便可求出另一个变化率.这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.例13落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波的半径的增大率总是s m /6,问在s 2末扰动水面面积的增大率为多少？解设在t 秒末最外一圈水波半径为)(t r r =,扰动水面面积为)(t S S =,则2r S π=.两边同时对t 求导,得dt dr r dt dS ⋅=π2.由已知s m dt dr /6=,当s t 2=时,mr 1226=⨯=所以)/(144612222s m dt dS t ππ=⨯⨯==.例14注水入深m 8,上顶直径为m 8的正圆锥容器中,其速率为min /43m ,当水深为m 5时,,其表面上升的速率为多少?解设在t 时刻容积中的水深为h ,容积为V ,由相似三角形的性质得84h r =,即2h r =.于是123132h h r V ππ=⋅⋅=,两边对t 求导dt dh h dt dV ⋅=2312π,当5=h ,4=dt dV 时π2516=dt dh min)/(m .m8m 8r h 42-图。
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
隐函数及参数方程求导
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
隐函数和参数式函数的导数解析
dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意 这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解 函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法 注意使用类型；
参数式函数的求导法
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2024/10/16
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2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法 对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题： （1） 一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2） 一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所 构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数 化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．
隐函数和参数方程求导
隐函数和参数方程求导
隐函数求导：隐函数求导是指对于一个由两个或多个未知量的函数所组成的方程，通过对其中的一个未知量进行求导，得到关于该未知量的导数表达式。
常见的隐函数求导问题可以通过链式法则来解决。
考虑一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中x和y是两个未知量，我们希望对该方程进行求导，得到关于y的导数dy/dx。
首先，我们假设y是关于x的函数，即y=f(x)，那么原方程可以重写为F(x,f(x))=0。
然后，我们对该方程两边同时对x求导，根据链式法则，可以得到：∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0。
最后，通过对这个方程关于y求导，我们可以解出dy/dx的表达式：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
参数方程求导：参数方程是指将变量x和y都表示为一个参数t的函数形式，即x = f(t)和y = g(t)。
参数方程求导可以通过对这两个函数分别对t求导，然后利用导数的链式法则来得到关于t的导数dt/dx和
dt/dy。
假设x = f(t)和y = g(t)，我们希望求导dx/dt和dy/dt。
首先，对x = f(t)对t求导，得到dx/dt；
然后，对y = g(t)对t求导，得到dy/dt；
最后，通过利用导数的链式法则，我们可以得到dt/dx和dt/dy的表达式：
dt/dx = 1 / (dx/dt)；
dt/dy = 1 / (dy/dt)。
通过求导，我们可以得到参数方程对应的隐函数的导数关系。
在实际问题中，求导可以帮助我们分析函数的变化趋势、求解最值问题等，具有非常重要的应用价值。
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
2-4-隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数-初等函数的导数
1 t2
例8
求星形线
x y
acos3t, asin3t,
(a 0,0 t 2π) 在t π 4
处的切线方程.
解 dx 3acos2tsint, dy 3asin2tcost,所以
dt
dt
dy dx
3asin 2tcost 3acos2tsint
tant
于是，在t
π 处的切线斜率为k 4
x y
(t), (t),
(t T ) 所 确
定，如果函数 x (t) 具有单调连续反函数t 1(x) ，那
么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数y (x) ，
t 1(x) 复 合 而 成 的 函 数 y ( 1(x)) . 因 此 ， 当
x (t), y (t) 都可导且(t) 0 时，利用复合函数求导
例如 方程 x y3 1 0表示一个隐函数，因为当变量 x 在(, )取值时，变量 y 有确定的值与之对应.
当 x 0时， y 1；当 x 1时， y 3 2 等等，符合函数 定义的概念，与前面我们所遇到的函数，例如
y tan x, y ln(x 1 x2 ), y arcsin(x 1) 1 x2 等，不同 之处是：这些函数等号左端是因变量的符号，而右端是含有 自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能 确定对应的函数值，用这种方式表达的函数叫做显函数.
2 6
将 B 点坐标 x 1, y 4 3
2 代入上式，得yB
2 6
则所求切线方程分别为
y 4 2 2 (x 1)
3
6
及
y 4 2 2 (x 1)
3
6
注意 本题点 A 在上半椭圆上，点 B 在下半椭圆上，
隐函数及参数方程导数
注意到 y 是x的函数,
是x的复合函数,
复合函数求导法:
0
=
y
0
=
x
0
=
y
0
=
x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 例 解 法一 隐函数求导法. 法二 反函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例 解 切线方程 法线方程 通过原点.
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例
解
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
或解
*
练习
证
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
两曲线在该点
切线斜率乘积为负 1 .
,
)
2
,
2
(
是两曲线的交点
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
解
练习
*
可确定显函数
例
开普勒方程
显式?
显化.
*
2. 隐函数求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到
将方程两边对 x 求导.
变量 y 是 x 的函数.
隐函数不易显化或不能显化，
如何求导
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
(2)
仰角增加率
(3)
,
1
tan
,
500
=
=
a
时
当
h
a
a
tan
1
sec
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
导数
一、 隐函数的导数
函数y=fx表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系 有不同的表达方式.例如，y=sin x,y=1+x等，其特点是因变 量y和含有自变量x的式子分别位于等号的两边，称此类函数 为显函数.而有些函数，因变量y与自变量x之间的关系以方程 F(x,y)=0的形式出现，这样的函数称为隐函数，如ex+y－ xy=0，2x－y+1=0等.
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-1) 确定了y与x之间的函数关系，则称此函数为由参数方程 (3-1)确定的函数. 在实际问题中，有时我们需要计算由参数方程(3-1)所确 定的函数的导数，然而从参数方程(3-1)中消去参数t有时会有 一定的困难.因此，我们希望有一种方法能直接由参数方程算 出它所确定的函数的导数来.下面就来讨论由参数方程(3-1)所 确定的函数的求导方法.
而且φ′(t)≠0.于是根据复合函数求导法则，则
二、 由参数方程确定的函数的导数
(3-2)
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例42】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例43】
二、 由参数方程确定的函数的导数
【例44】
三、 相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数,如果变量x 与y之间存在某种关系, 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化 率称为相关变化率.
(1,2)
于
y=x+1.
y－2=x－1
一、 隐函数的导数
【例40】
求函数y=2xx 的导数.
【例41】
一、 隐函数的导数
一、 隐函数的导数
注
本例如果直接用复合函数求导法则求这个函数的 导数是很复杂的，而使用对数求导法可使运算级别降低， 从而比较方便.对数求导法适宜于多个函数的乘积、乘 方、开方及幂指函数的求导.
隐函数和参数方程求导法
隐函数和参数方程求导法1.隐函数求导法隐函数求导法用于求解包含隐函数的导数。
一般来说，我们可以将隐函数表示为两个变量之间的关系式，例如y=f(x)。
在一些情况下，这个关系式无法直接解出y关于x的显式表达式。
这时，我们可以使用隐函数求导法来找到y关于x的导数。
假设有一个含有两个变量x和y的隐函数关系式F(x,y)=0。
要求这个隐函数关于x的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：对关系式两边同时求导，并得到导数关系式dF/dx = 0；步骤2：根据导数关系式，将dF/dx中的y'用y和x表示出来；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
举例说明：假设有一个隐函数关系式x^2+y^2=1、我们要求这个隐函数关于x的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：对关系式两边同时求导，得到2x + 2yy' = 0；步骤2：将dF/dx中的y'用y和x表示出来，得到y' = -x/y；步骤3：解出y'，即为所求的导数。
通过以上计算，我们得到了这个隐函数关于x的导数为y'=-x/y。
参数方程求导法用于求解包含参数方程的导数。
参数方程是用参数表示的轨迹方程，常用形式为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是关于参数t 的函数。
要求参数方程的导数，可以按照以下步骤进行：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt和dy/dt；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到y关于x的导数dy/dx；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数。
举例说明：假设有一个参数方程x=2t，y=t^2、我们要求这个参数方程的导数。
按照上述步骤，我们可以进行如下计算：步骤1：将参数方程的x和y分别关于t求导，得到dx/dt = 2 和dy/dt = 2t；步骤2：将dx/dt和dy/dt的结果合并，得到dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(2) = t；步骤3：通过dy/dx的结果，可以进一步求解y关于x的高阶导数，例如二阶导数d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx = d(t)/dx = 0。
隐函数的导数、参数式函数的导数
d 2y dx 2
dt dx
dt
例 求摆 y x 线 a a((1 t c siottn ))s在 t2处的方切 程. 线
解
dy dx
dy
dt dx
asint a acost
分子分母不要颠倒
sint 1 cost
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
(ey)eyy; [lny2(1)]y22y y1. (2)解出 y(允许表达式y中 ). 含有
因为y是x的函数, 所以 y 2 是x的复合函数,
例 设曲C线 的方程x为 3y33xy,求过 C上点 (3,3)
22 的切线方 ,并程证明曲 C在线该点的法线通. 过
解 方程两边 x求对导 , 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 x y
高等数学Ⅰ
第三节 高 阶 导 数
3.间接法:利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
( 1 )( a x ) ( n ) a x ln n a( a 0 ) (ex)(n) ex
(2 )(ski)(n n x ) k nsik n x n ( ) 2
(3 )(cko )(n x ) sk nco k s x n ( ) 2
( 4 ) ( x ) ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n
(5)(lx n )(n)(1)n1(nx n 1)!(1x)(n)
(1)n
n! xn1
y
( 3,3) 22
y x2 y2 x
1.
( 3,3 ) 22
隐函数及其参变量函数的求导方法
3. 参数方程求导法:求高阶导数时,从低到高每次都用 参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式
思考题
设xy((tt))，由yx
(t) (t)
2
4
问题: 消参数困难或无法消去参数时如何求导?
平面曲线参数方程的一般形式
x (t ),
y
(t
),
t[,]为参数 .
这 x 里 (t)与 y (t)都可 (t)导 2 (t)， 2 0 . 且
由于 (t)与 (t)至少有一个不 妨为 设 (t)零 0,，
隐函数和参数方程求导 相关变化率
张世涛
主要内容：
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
由方 Fx ,(y程 )0所确定 yy(x 的 )称 函 为 .数 隐
y f (x) 形式的函数称为显函 . 数
F(x,y)0 yf(x) 隐函数的显化
例如：xy310可确定显函数 y 3 1 x 例如：y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 ,
(2) 含有较多的乘、 方除 、、 开乘 方运算的
例4 设 y x sixn (x 0 ),求 y .
解 等式两边取对数, 得 ln ysix n ln x,
上式两边 x求对导 , 得
1ycoxslnxsix n1,
y
x
yy(cx olsn xsixn 1) x
xs ixn(cx olsn xsixn). x
可知yx ((tt))，对吗？
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练习题 1. 求由方程y52yx3x70所确定的隐函数 yf(x)在x0处的导数y|x0 解法一: 把方程两边分别对x求导数得 5y4y2y121x60 6 1 21 x 由此得 y 4 5y 2 因为当x0时 从原方程得y0 所以
6 1 21 x 1 y |x 0 4 |x 0 5y 2 2
二、对数求导法
对数求导法主要适用于求幂指函数 y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导 数 此方法是先在yf(x)的两边取对数 然后用隐函数求导法求出y的导数
例4 求yx sin x (x>0)的导数 解: 两边取对数 得 ln ysin xln x
ln x yx sin xe sin x· sin x sin x sin x ln x sin x sin x ln x sin x (sinx xln ln x) x (cos xx ln ) ) yy ee (sin (cos lnxx xx
第五节 隐函数和由参数方程 确定的函数的求导法则
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数与隐函数: 形如yf(x)的函数称为显函数 例如: ysin x yln xex 都是显函数 由方程F(x y)0所确的函数称为隐函数 例如 方程xy310确定的隐函数为
解法二: 把方程两边分别对x求导数得 5y4y2y121x60
根据原方程 当x0时 y0 将其代入 上述方程得 2y10 从而 y|x005
2. 设曲线 C的方程为 x 3 y 3 3xy,求过 C上
3 3 点( , )的切线方程, 并证明曲线 C在 2 2 该点的法线通过原点 . 解: 方程两边对 x求导, 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy
y x y 3 3 2 1. 所求切线方程为 ( , ) y x 22 3 3 y ( x ), 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x , 即 y x, 显然过原点. 2 2
2
3 3 ( , ) 2 2
2 y2 x 3 例 2 1 3) 处的切线方程 例 3 求椭圆 在 (2, 16 9 2
解: 把椭圆方程的两边分别对x求导 得
2) 即 3x 4 y 8 3 0
3 3 3 k 代入上式得所求切线 y|x 2 3 3 当 22时 yy 代入上式得所求切线的 当xx 时 22 4 3 3 所求的切线方程为 y 3 (x 2) 即 2 4
三、由参数方程确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 了 y与x间的 y (t )
函数关数 ,则称其为由参数方程所确定的函数.
x x 2t , t 例如 消去参数 t 2 2 y t , 2 x 1 x 2 2 yt ( ) y x 2 2 4
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
x (t ) 在方程 中,设函数 x (t )具有 y (t ) 1 1 单调连续的反函数 t ( x), y [ ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导, 且 ' (t ) 0,
d y t dy d x dt 故 dx d t (t 1)(1 cos y )
例8 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 运动 速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为
垂直分量为
故抛射体速度大小
v1 (v2 gt )
2 2
y
o
x
再求速度方向 (即轨迹的切Байду номын сангаас方向):
设 为切线倾角, 则 d y d y dx dx d t d t 在刚射出(即t =0)时, 倾角为
y
v2 arctan o v1 v2 达到最高点的时刻 t , 高度 v2 t g g
落地时刻 抛射最远距离
t g 2v2
x
x t 1 例9 求曲线 在 t 1 处的切线方程. 3 y t t
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 (t ) , 即 dy dt dx dt dx dt dx (t ) dx dx dt dt
若上述参数方程中 二阶可导, 且 则由参数方程确定的函数 x (t ) 可求二阶导数. 利用新的参数方程 d y (t ) , 可得 dx (t ) 2 d d y dx d y d dy ( ) ( ) d x 2 dx dx d t dx d t (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 3 (t )
2
解: 曲线上对应 t 1 的点为(0, 0). 曲线在 t 1处的切线斜率为
dy 1 3t k d x t 1 2t
2
于是所求的切线方程为 y x.
t 1
2 1 2
x a (t sin t ) 例10 求摆线 所确定的二阶导数. y a (1 cos t ) dy sin t dy a sin t dt 解: a a cos t 1 cos t dx dx dt 2 cost (1 cost ) sin t d sin t ( ) 2 2 (1 cost ) d y dt 1 cost 2 dx 1 cost dx dt 1 2 a(1 cost )
x t 2 2 t (0 1) 例7 由方程 2 t y sin y 1
确定了函数 y y( x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导, 得
dx 2t 2 dt dy dy 2t cos y 0 dt dt
dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y
说明: 幂指函数的导数也可按下法求得:
1 1 两边对x 求导, 得 y cos x ln x sin x y x 1 y y(cosxln x sin x ) 于是 x sin x sin x x (cosxln x ) x
例5 证明y=x a的求导公式(a为任意实数):
x 2 y y 0 从而 8 9
9 x y 16 y
1 3 x y sin y 0 所确定的隐函数 y 例例 4．求由方程 2 的二阶导数 解: 方程两边对x求导 得 dy 1 dy 1 cos y 0 dx 2 dx dy 2 于是 dx 2 cos y 上式两边再对x求导 得 dy dy dy 2 sin y y 2 sin y 2 2 dd y 4sin y 4 4 sin sin yy y dx dx dx 33 22 y cos yy )) dx cos y) )22 2 cos dx (2 2 cos cos y )2 ((2 ( 2 cos y)3
1 ln y [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2 上式两边对x求导 得 1 y 1 ( 1 1 1 1 ) y 2 x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 1 1 1 y ( ) 于是 2 x 1 x 2 x 3 x 4 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3 三种情况讨论 但结果都是一样的
x ax .
a
a 1
证明: 在 y=x a两边取对数得 ln y a ln x,
y 1 再两边求导得 a , y x 1 a 1 a 1 y ya x a ax . x x
( x 1 )( x 2 ) 例例 66 求函数 y 的导数 (x 3)(x 4) 解: 先在两边取对数 得
y 1 x
3
把隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化 问题: 隐函数不易显化或不能显化如 何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两 边求导, 然后从所得的新方程中把隐函数 的导数解出. 例1 求由方程eyxye0所确定的隐函 数y的导数 解: (ey)(xy)(e)(0) 即: eyyy+xy0 y y y 从而 (xe 0) y xe