九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形随堂练习(含解析)(新版)浙教版
浙教版九年级数学上册 第三章 圆的基本性质3.6圆内接四边形同步测试
九年级上册第三章圆的基本性质（第6节）一、单选题（共10题；共20分）1.下列说法错误的是（）A. 圆内接四边形的对角互补B. 圆内接四边形的邻角互补C. 圆内接平行四边形是矩形D. 圆内接梯形是等腰梯形2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC的度数是（）A. 60°B. 80°C. 90°D. 100°3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆弧上两点，∠D=115°，则∠CAB=（）A. 55°B. 45°C. 35°D. 25°4.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（）A. 115°B. 105°C. 100°D. 95°5.边长为1的正六边形的内切圆的半径为（）A. 2B. 1C.D.6.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，若∠BAD ＝105°，则∠BCD的度数是（）A. 105°B. 95°C. 75°D. 60°7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，则∠ADC=（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°8.若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别记作a3，a4，a6，则a3：a4：a6等于（）A. 1：：B. 1：2：3C. 3：2：1 D. ：：19.有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（）A. 50cmB. 25cmC. 50cmD. 50cm10.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，过点C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点．若AB=4ED，则cos∠ABC的值是（）A. B. C.D.二、填空题（共6题；共6分）11.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB 边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________ ．12.圆内接四边形相邻三个内角之比是3：4：6，则该四边形内角中最大度数是________．13.在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为3：5：6，则∠D=________ °．14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=62°，则∠C=________ °15.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是________ ．16.如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP=________．三、解答题（共5题；共25分）17.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四点，延长DC、AB相交于点E．若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．18.如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若∠E+∠F=α，求∠A的度数（用含α的式子表示）；（2）若∠E+∠F=60°，求∠A的度数．19.在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=110°，若点E在上，求∠E 的度数．20.已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．21.如图，圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，∠AEB、∠AFD 的平分线交于P点．求证：PE⊥PF．家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形
注意 一个圆有无数个内接四边形，但不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知识点2 圆内接四边形的性质 重难点
内容
图示
数学语言
圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的对角互补.
四边形是的内接四边形，，.
教材深挖与圆内接四边形有关的结论
结论
图示
①在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，即若圆周角在弦的同侧，则相等，若在弦的异侧，则互补.如图，，.
②圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.如图，.
推导过程：四边形内接于，.，
典例1如图，四边形内接于，，则的度数是()
D
A.B.C.D.
[解析]四边形内接于，.又，，.
中考常考考点
难度
常考题型
考点：圆内接四边形的性质定理，主要考查利用圆内接四边形的性质定理求角的度数或线段长.
★★
选择题、填空题
考点 利用圆内接四边形的性质定理求角度
典例2（湖州中考）如图，已知四边形内接于，，则的度数是()
B
A.B.C.D.
[解析]四边形内接于，，.
链接教材本题取材于教材第97页课内练习第1题.教材习题考查了直径所对的圆周角是<m></m>及圆内接四边形的性质定理，中考真题直接利用圆内接四边形的对角互补求解，比较简单.
第3章 圆的基本性质
3.6 圆内接四边形
学习目标
1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念.
2.理解圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补.
3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关证明和计算.
知识点1 圆内接四边形的定义
定义
图示
九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法随堂练习(含解析)浙
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微专题__平面图形的滚动问题及不规则图形面积的求法__一平面图形的滚动问题（教材P94阅读材料：生活离不开圆）人们的生活离不开圆．车轮设计成圆形(如图1），这是因为圆周上的点到圆心的距离都相等,车子行驶起来平稳，并且圆形的车轮滚动时摩擦力小，行驶起来比较省力．如果把车轮做成三角形、四边形或者椭圆，那么可以想象汽车在行驶的时候颠上颠下,谁都难以忍受这种折腾．图1你能自己发现一些圆在现实生活中应用的例子吗？解：略．[2017·达州]如图2，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4,AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( D ）图2A．2 017πB．2 034πC．3 024πD．3 026π【解析】转动第一次A的路线长是错误!＝2π,转动第二次的路线长是错误!＝错误!π，转动第三次的路线长是错误!＝错误!π，转动第四次的路线长是0，转动第五次A的路线长是错误!＝2π,以此类推，每四次一循环，故顶点A转动四次经过的路线长为2π＋错误!π＋错误!π＝6π，∵2 017÷4＝504……1，∴这样连续旋转2 017次后,顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是6π×504＋2π＝3 026π.故选D.如图3，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD,将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时,点A运动的路径线与x轴围成图形的面积为（ C ）图3A。
2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.6圆内接四边形同步练习(新版)浙教版
第3章圆的基本性质3.6 圆内接四边形知识点1圆内接四边形的性质一一圆内接四边形的对角互补1. 2016 -丽水如图3-6 —1，四边形ABCD^O 0的内接四边形.已知/ BCD= 110则/ BAD= _______2.已知四边形ABC［内接于O Q 且/ A：Z C= 1 : 2,则/ A=壬方利卬请关注微信号：全品初中优秀教师canpoint-yxjs 3.如图3 —6—2,四边形ABCD是O 0的内接四边形，且/ ABC= 115。
，那么/ AOC=O图3—6 —1C3—6—24.如图3 —6—3, AB是半圆0的直径，C, D是ABh两点，/ ADC= 120°,则/ BAC=5.如图3—6—4，点A, B, C, D都在O 0上，/ B= 90°, AD= 3, CD= 2,则O 0的直径是 ________ .6•在圆内接四边形ABCDK/ A：/ B：/ 0= 2 : 3 : 6,求/ D的度数.7.如图3- 6-5，四边形ABCD内接于O O, AD// BC 求证：AB= CD请关湖［信号：全品初中优秀教师canpoin卜yxjs知识点2圆内接四边形的性质的推论一一圆内接四边形的外角等于其内对角& 2017 •嵊州市模拟如图3 —6-6，点A, B, C, D在圆O上，点E在AD的延长线上, 若/ ABC= 60°，则/ CDE勺度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 70°9.如图3— 6 — 7,四边形 ABC □内接于O 0,点E 在BC 的延长线上，若/ BOD= 120° , 则/ DCE=_______________ ° .10.如图3-6 — 8所示，已知 A , B, C, D 是O O 上的四点，延长 DC AB 相交于点E 若 BC= BE求证：△ ADE 是等腰三角形.11. 如图 3 — 6—9,^ ABC 内接于O 0, / 0BC= 40°，则/ A 的度数为（）A. 80° B . 100° C . 110 ° D . 130 °AD图 3-6- 612. 如图3 —6 —10,在平面直角坐标系中，O C过原点0,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为（0, 3），M是0吐一点，且在第三象限内•若/ BM8 120。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.6 圆内接四边形基础过关全练知识点 圆内接四边形及其性质1.(2020浙江湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70°B.110°C.130°D.140°2.【易错题】(2022浙江温州鹿城二模)如图,点B在AC上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( )A.50°B.80°C.100°D.130°3.(2021辽宁盘锦中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB= 4,则圆心D的坐标是 .()4.【教材变式·P97课内练习T1】如图,AB是半圆O的直径,∠D=120°,则∠BAC= °.5.(2019浙江台州中考)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为 .6.【易错题】【新独家原创】如图,小明把一副三角尺放到圆中,斜边AC重合,点A、B、C、D均在圆上,其中∠ACB=30°,∠CAD=45°,点P 是圆上任意一点(不与A、B、C、D重合),则∠APB的度数为 .7.如图,已知AD是△ABC的外角平分线,与△ABC的外接圆交于点D.()(1)求证:DB=DC;(2)过D分别作DP⊥AC于点P,DQ⊥BE于点Q,求证:△CDP≌△BDQ.能力提升全练8.【一题多解】(2023浙江温州龙港期中,6,★☆☆)已知在圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D的度数为( )A.40°B.60°C.100°D.120°9.(2023浙江杭州萧山期中,7,★★☆)如图,点A、B、C、D、E都是☉O上的点,AC=AE,∠D=130°,则∠B的度数为( )A.130°B.128°C.115°D.116°10.【数学文化】(2020湖南株洲中考,18,★★☆)斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是说:“斛的底面为正方形的四个顶点都在一个圆上,此圆外有一个同心圆.”如图所示,问题:现有一斛,其底面的外圆直径为五尺(即5尺),“庣旁”为五寸(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺),则此斛底面的正方形的边长为 尺.11.【等面积法】(2023浙江杭州西湖期中,19,★★☆)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;(2)若AB=2,AD=1,求CD、BD的长度.素养探究全练12.【推理能力】如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”.如图2,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC,(1)证明:圆中存在“爪形D”;(2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD.答案全解全析基础过关全练1.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.2.D 如图,在优弧AC(不与点A、C重合)上取点D,连结AD、CD,由圆周角定理得∠ADC=1∠AOC=50°,2∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°,故选D.3.答案 (-3,1)解析 ∵四边形ABOC为圆内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∵∠ACO=120°,∴∠ABO=180°-120°=60°.∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,∴D为AB的中点,在Rt△ABO中,∵∠ABO=60°,∴∠OAB=30°,AB=2,∴OA=23,∴OB=12∴A(-23,0),B(0,2),∴点D的坐标为(-3,1).4.答案 30解析 ∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠D=120°,∴∠B=60°,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,∴∠BAC=30°.5.答案 52°解析 由已知得,∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D关于AC的对称点E在边BC上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=116°-64°=52°.6.答案 30°或150°解析 当点P在优弧BCA上时,∠APB=∠ACB=30°;当点P在劣弧AB上时,四边形ACBP为圆内接四边形,∴∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=180°-30°=150°.∴∠APB的度数为30°或150°.7.证明 (1)∵AD是△ABC的外角平分线,∴∠EAD=∠DAC,∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠DCB=180°,∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠EAD=∠DCB,∵∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC.(2)∵AD平分∠EAC,DP⊥AC,DQ⊥BE,∴DQ=DP,在Rt△CDP与Rt△BDQ中,DC=DB, PD=QD,∴Rt△CDP≌Rt△BDQ(HL).能力提升全练8.D 解法一:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶7∶6,∴∠D=180°×63+6=120°,故选D.解法二:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,∴2x+7x=180°,解得x=20°.∴∠B=60°,∴∠D=180°-∠B=120°,故选D.9.C 如图,连结AC、CE,∵点A、C、D、E都是☉O上的点,∴∠CAE+∠D=180°,∵∠D=130°,∴∠CAE=180°-130°=50°,∵AC=AE,×(180°-50°)=65°,∴∠ACE=∠AEC=12∵点A、B、C、E都是☉O上的点,∴∠AEC+∠B=180°,∴∠B=180°-65°=115°,故选C.10.答案 22解析 如图,∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=5尺,∴CE=5-0.5×2=4尺,∵CD2+DE2=CE2,CD=DE,∴2CD2=16,∴CD=22尺.11.解析 (1)△ABC是等腰直角三角形.证明:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∵∠ADB=∠CDB,∴AB =BC ,∴AB =BC ,又∵∠ABC =90°,∴△ABC 是等腰直角三角形.(2)在Rt △ABC 中,AB =BC =2,∴AC =2,在Rt △ADC 中,AD =1,AC =2,∴CD =AC 2―AD 2=3,过A 作AE ⊥BD 于E ,过C 作CF ⊥BD 于F,如图,则△ADE 和△CDF 均是等腰直角三角形,∴AE =22AD =22,CF =22CD =62,∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ABD +S △BCD ,∴12×1×3+12×2×2=12×22BD +12×62BD ,∴BD =2+62.素养探究全练12.证明 (1)∵AB =BC ,∴AB =BC ,∴∠ADB =∠CDB ,∴DB 平分圆周角∠ADC ,∴圆中存在“爪形D”.(2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连结BE,∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,∴∠A=∠ECB,∵CE=AD,AB=BC,∴△BAD≌△BCE(SAS),∴∠E=∠ADB,BD=BE,由(1)知,DB平分圆周角∠ADC,∠ADC=120°,∠ADC=60°,∴∠ADB=12∴∠E=∠ADB=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=BD,∴AD+CD=BD.。
新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
九年级数学上册3.6圆内接四边形同步练习(新版)浙教版【含解析】
3.6 圆内接四边形一、选择题（共10小题；共50分）1. 下列四个图中，∠x是圆周角的是 ( )A. B.C. D.2. 如图所示，圆周角有 ( )A. 9个B. 10个C. 11个D. 12个3. 如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70∘，则∠ABD= ( )A. 20∘B. 46∘C. 55∘D. \70°\）4. 如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，把标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持互相垂直．在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=4个单位，OF=3个单位，则圆的直径为 ( )A. 7个单位B. 6个单位C. 5个单位D. 4个单位5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88∘，则∠BCD的度数是 ( )A. 88∘B. 92∘C. 106∘D. 136∘6. 如图所示，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有 ( )．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7. 如图所示，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8，OF=6，则圆的直径为 ( )A. 12B. 10C. 4D. 158. 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是55∘，为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上安装这样的监视器 ( )A. 2台B. 3台C. 4台D. 5台9. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40∘，则∠A的度数为 ( )A. 80∘B. 100∘C. 110∘D. 130∘10. 如图，已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a<1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为 ( )A. √52a B. 1 C. √32D. a二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C,D在⊙O上，∠BAC=50∘，则∠ADC=．12. 如图，点A，B，C是⊙O上的点，OA=AB，则∠C的度数为．13. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86∘，30∘，则∠ACB=．14. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD=130∘，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B=度．15. 已知△ABC的边BC=4 cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4 cm，则∠A的度数是．16. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55∘，∠E=30∘，则∠F=．17. 如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是∘（写出一个即可）．18. 如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58∘，则∠ACD的度数为∘．19. 已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘．给出以下五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④ 劣弧AE⏜是劣⏜的2倍；⑤ DE=DC．其中正确结论有．弧DE20. 如图，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45∘，给出下列五个结论：① ∠EBC=22.5∘；② BD=DC；③ AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE 的2倍；⑤ AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题（共3小题；共39分）21. 已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E，AD=CB．求证：AE=CE．22. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，且∠DAE=∠DAC．求证：DB=DC．23. 在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q．点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P．PQ与x轴所夹锐角为α．Ⅰ如图 1，若点M的横坐标为1，点N与点O重合，则α=∘；2Ⅱ若点M、点Q的位置如图 2 所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；Ⅲ当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为．答案第一部分1. C2. D3. C4. C5. D6. D7. B8. C9. D 10. B第二部分11. 40∘12. 30∘13. 28∘14. 4015. 30∘16. 40∘17. 65（答案不唯一）18. 6119. ①②④⑤20. ①②④第三部分21. 连接AC．∵AD=BC，⏜=BC⏜，∴AD∴∠ACD=∠CAB，∴AE=CE．22. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180∘．∵∠BAD+∠DAE=180∘，∴∠BCD=∠DAE．∵∠DAE=∠DAC，又∠DAC=∠DBC，∴∠BCD=∠DBC，∴DB=DC．23. （1）60（2）连接MQ，MP．记MQ，PQ分别交x轴于E，F．∵将点M绕点A顺时针旋转60∘得到点Q，将点M绕点N顺时针旋转60∘得到点P，∴△MAQ和△MNP均为等边三角形．∴MA=MQ，MN=MP，∠AMQ=∠NMP=60∘．∴∠AMN=∠QMP．∴△MAN≌△MQP．∴∠MAN=∠MQP．∵∠AEM=∠QEF，∴∠QFE=∠AMQ=60∘．∴α=60∘．（3）(√32,12)或(−√32,−12)。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步自主提升训练(含解析)
2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.6圆内接四边形》同步自主提升训练一．选择题1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（ ）A．25°B．30°C．32.5°D．35°2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（ ）A．140°B．130°C．120°D．100°3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）A．138°B．121°C．118°D．112°4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝120°，BD平分∠ABC交AC于点E，若BA ＝BE，则∠ADB的大小为（ ）A．35°B．30°C．40°D．45°5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E为边CD上任意一点（不与点C，点D 重合），连接BE，若∠A＝60°，则∠BED的度数可以是（ ）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠BCD＝80°，AB＝AD，且∠ADC＝110°，若点E为的中点，连接AE，则∠BAE的大小是（ ）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝60°，点D为弧AC 上的动点，点M、N、P分别是AD、DC、CB的中点，则PN+MN的最大值为（ ）A．1+B．1+2C．2+2D．2+8．如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E＝30°，∠F＝40°，则∠A＝（ ）A．25°B．30°C．40°D．55°二．填空题9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE、BD．若∠BCD ＝115°，则∠EBD的大小为 ．10．如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 ．11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为 ．12．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为 ．13．在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝BC＝3，则CD的最大值＝ ．14．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD 的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为 ．15．在圆内接四边形ABCD中，∠D﹣∠B＝40°，则∠D的度数为 ．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度．17．如图，五边形ABCDE的顶点B，C、D、E在⊙O上，顶点A在⊙O外，且AB＝AE．若∠A＝100°，则∠CBA+∠CDE＝ °．18．圆的内接四边形中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠D的度数为 ．19．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为 ．20．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，，∠BCD＝120°，连接AC，DE⊥AC于点E，连接BE，若∠BED＝150°，AC＝，则DE的长为 ．三．解答题21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD．（1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长；（2）求证：BC+CD＝AC．22．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长于点E，连接AC．（1）若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；（2）若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．24．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．2．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠A＝180°﹣121°＝59°，∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，故选：C．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝30°，∵BA＝BE，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣∠ABD）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，∵∠BED＝∠C+∠CBE，∴∠BED＞120°，∴∠BED可能为125°．故选：D．6．解：如图，连接AC，由题意可得：∠BAD＝180°﹣∠BCD＝110°，∠ABC＝180°﹣∠ADC＝70°，∵AB＝AD，∴，∴∠ACB＝∠ACD＝＝40°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∵点E为的中点，∴∠BAE＝∠BAC＝35°．故选：C．7．解：连接OC、OA、BD，作OH⊥AC于H．∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴∠COH＝∠AOH＝60°，CH＝AH，∴CH＝AH＝OC•sin60°＝，∴AC＝2，∵CN＝DN，DM＝AM，∴MN＝AC＝，∵CP＝PB，CN＝DN，∴PN＝BD，当BD是直径时，PN的值最大，最大值为2，∴PM+MN的最大值为2+．故选：D．8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠FBC，∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠FBC＝∠A+∠E，∴180°﹣∠A﹣∠F＝∠A+∠E，则2∠A＝180°﹣（∠F+∠E）＝110°，解得，∠A＝55°，故选：D．二．填空题9．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝115°，∴∠BAD＝65°，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∴∠EBD＝∠DAE＝25°．故答案为：25°．10．解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．11．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠EAB+∠DCB＝180°，∵∠ECD+∠DCB＝180°，∴∠EAB＝∠ECD＝75°，∵∠ECD是△FCB的外角，∴∠ABE＝∠ECD﹣∠F＝75°﹣20°＝55°，∴∠E＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝50°，故答案为：50°．12．解：由于∠AOC：∠ABC＝4：3，可设∠AOC＝4x，则∠ABC＝3x，∴∠ADC＝∠AOC＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即2x+3x＝180°，∴x＝36°，∴∠AOC＝4x＝144°，∴则的长为＝，故答案为：．13．解：∵∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴当CD是直径时，CD达到最大值，连接OA，OB，∵OA＝OD，∠ADC＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝3，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∵OA＝OB＝OC，∴△AOB和△BOC都是等边三角形，∴OC＝BC＝3，∴CD＝2OC＝6，故答案为：6．14．解：如图所示，连接AC，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BAD+∠BCD＝180°，又∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD，∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD，∵四边形ABCD是等补四边形，∴A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AD，∴＝，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠FCA＝∠BCD，∴∠FCA＝∠FAD，又∠AFC＝∠DFA，∴DF＝5﹣5．故答案为：5﹣5．15．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，则，解得：，故答案为：110°．16．解：∵＝，∠BAC＝30°，∴∠DCF＝∠BAC＝30°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45．17．解：连接BE，∵AB＝AE．∠A＝100°，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝40°，∵∠CDE+∠CBE＝180°，∴∠CBA+∠CDE＝∠CDE+∠CBE+∠ABE＝180°+40°＝220°，故答案为：220．18．解：设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠B＝3x＝90°，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°，故答案为：90°．19．解：∵点A的坐标为（0，3），∴OA＝3，∵四边形ABMO是圆内接四边形，∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，则则⊙C的半径为3，故答案为：3．20．解：连接BD，∵，∴AB＝AD，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠CDE＝30°，∴CD＝2CE，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵∠BED＝150°，∴∠AEB＝120°，在△ABE与△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（AAS），∴AE＝CD，∴AE＝2CE，∵AC＝，∴AE＝2，CE＝，∴CD＝AE＝2，∴DE＝＝，故答案为：．三．解答题21．（1）解：∵BD为直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，BD＝＝＝13（cm），∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，∴AB＝AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝BD＝cm；（2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADE+∠ADC＝180°，∴E点在CD的延长线上，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，而CE＝CD+DE＝CD+CB，∴BC+CD＝AC．22．证明：如图2，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．23．解：（1）∵∴∠DCF＝∠BAC＝25°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝75°，又∵∠ADC＝∠DCE+∠E，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝50°；（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠B＝2∠ADC，∴∠B＝120°，∠ADC＝60°，连接OA、OC，过点O作OM⊥AC于点M，∵，∴∠AOD＝2∠ADC＝120°，∵OA＝OC，OM⊥AC，∴，∠AOM＝60°，∴，∴．24．解：（1）∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴BD＝12，∴2AB2＝144，∴AB＝；（2）如图2，连接BD，∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3，∴BD＝，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴＝，∴DC＝CB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∵∠DAB＝90°，∴∠DCB＝90°，∴BC＝，作BH⊥AC，∵∠CAB＝45°，∴AH＝BH＝，CH＝，∴AC＝．。
浙教版九年级上第三章圆同步练习3.6圆内接四边形
3.6 圆内接四边形基础题知识点 圆内接四边形对角互补1．(杭州中考)圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ＝70°，则∠C ＝（ ）A ．20°B ．30°C ．70°D ．110°2．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是 （ ）A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°3．如图，P 为正三角形ABC 外接圆上一点，则∠APB 等于 （ ）A ．150°B ．135°C ．115°D ．120°4．(邵阳中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，已知∠ADC ＝140°，则∠AOC 的大小是（ ）A ．80°B ．100°C ．60°D ．40°5．如图，圆内接四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点E ，图中全等三角形的对数为（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，∠AOC ＝120°，则∠CBD 的度数是 ．7．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，∠ABC ＝90°，AD ＝3，CD ＝2，则⊙O 的直径的长是 ．8．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝80°，求∠BAD 和∠BCD 的度数．第3题 第4题 第5题 第6题 第7题9．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长DC ，AB 交于点E ，且BE ＝BC ．（1）求证：△ADE 是等腰三角形；（2）若∠D ＝90°，⊙O 的半径为5，BC ∶DC ＝1∶2，求△CBE 的周长．中档题10．(聊城中考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC .若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为 （ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°11．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAB ＝130°，连结OC ，点P 是半径OC 上任意一点，连结DP ，BP ，则∠BPD 可能为 度．(写出一个即可)12．(南通中考)如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，O 点在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝ ．13．如图，锐角三角形ABC 中，∠A ＝60°，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：BC ＝2DE ．第10题 第11题 第12题14．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．（1）若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．综合题15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F．（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．。
浙教版九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 选择题训练(含解析)
第3章圆的基本性质选择题复习1．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．42．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．83．如图，O的直径垂直于弦CD，垂足为E，22.5AOC=，CD的长为()∠=︒，4A．B．4C．D．84．如图，点A、B、C都在O上，O的半径为2，30∠=︒，则AB的长是()ACBA．2πB．πC．23πD．13π5．如图，在矩形ABCD中，已知4AB=，3BC=，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90︒至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90︒至图②位置，⋯，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是()A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π6．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°7．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）8．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．49．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m10．在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°12．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°13．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°14．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°15．如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3B．3C．4D．217．如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）A．130°B．140°C．150°D．160°18．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°20．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1B．C．D．221．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°22．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°23．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则的长为（）A．B．C．2πD．2π24．如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB＝AC，∠A＝40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2．则图中阴影部分的面积是（）25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）26．如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π27．如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）28．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π29．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π第3章圆的基本性质选择题复习参考答案与试题解析1．【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．【解答】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x 1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．2．【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，∴OM ＝5， 又∵MP ′＝2， ∴OP ′＝3， ∴AB ＝2OP ′＝6， 故选：C ．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置．3．【解答】解：22.5A ∠=︒，245BOC A ∴∠=∠=︒，O 的直径AB 垂直于弦CD ，CE DE ∴=，OCE ∆为等腰直角三角形，CE ∴==，2CD CE ∴==． 故选：C ．4．【解答】解30ACB ∠=︒，60AOB ∴∠=︒，2OA =， ∴60221801803n r AB πππ===︒， 故选：C ．5．【解答】解：转动一次A 的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=， 转动第三次的路线长是：90331802ππ⨯=， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次A 的路线长是：9042180ππ⨯=， 以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：352622ππππ++=，20154503÷=….3 顶点A 转动2015次经过的路线长为：65043024ππ⨯=．故选：D ．6．【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选：C ．【点评】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键． 7．【分析】先求出AB ＝6，再利用正方形的性质确定D （﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D 的坐标．【解答】解：∵A （﹣3，4），B （3，4），∴AB ＝3+3＝6，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝AB ＝6，∴D （﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转2次，每次旋转90°，∴点D 的坐标为（3，﹣10）．故选：D ．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．8．【分析】过点O 作OF ⊥CD 于点F ，OG ⊥AB 于G ，连接OB 、OD 、OE ，由垂径定理得出DF ＝CF ，AG ＝BG ＝AB ＝3，得出EG ＝AG ﹣AE ＝2，由勾股定理得出OG ＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．9．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选：A．【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．10．【分析】画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．【解答】解：如图，∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．解答该题时，利用了等边三角形的判定和性质，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．11．【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE的度数是解题关键．12．【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，∠ACB＝∠ADB＝70°，然后利用互余计算∠ABC的度数．【解答】解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．13．【分析】由圆周角定理得到∠AOC＝2∠ADC＝60°，然后由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求得∠BOC的度数．【解答】解：如图，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°．∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．14．【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出∠AOB的度数，进而由角的和差求得结果．【解答】解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选：B．【点评】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2信倍．15．【分析】连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16．【分析】连接AC，如图，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，从而得到∠3＝∠CDA，所以AC＝AD＝5，然后利用勾股定理计算AE的长．【解答】解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．也考查了勾股定理．17．【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选：B．【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．18．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝70°，由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，故选：D．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选：A．【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．20．【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，即∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，于是AG＝AC＝，AB＝2，【解答】解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝AC＝，∴GB＝1，AB＝2，即边长为2．故选：D．【点评】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．21．【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，CD CB∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：C．【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n﹣2）×180°是解题的关键．22．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；【解答】解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．【分析】连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝80°，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OC，∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝140°﹣60°＝80°，则的长＝＝，【点评】本题考查的是弧长的计算，等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式：l ＝是解题的关键． 24．【分析】连接BC 、OD 、OB ，先证△BOD 是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S 扇形BOD ﹣S △BOD 计算可得．【解答】解：如图所示，连接BC 、OD 、OB ，∵∠A ＝40°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝70°，∵BD ∥AC ，∴∠ABD ＝∠A ＝40°，∴∠ACD ＝∠ABD ＝40°，∴∠BCD ＝30°，则∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，又OD ＝OB ，∴△BOD 是等边三角形，则图中阴影部分的面积是S 扇形BOD ﹣S △BOD ＝﹣×22 ＝π﹣，故选：B．【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．25．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：＝，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26．【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．【点评】本题考查了圆的面积的计算矩形的面积的计算，圆的周长的计算，中点圆所扫过的图形面积是圆的面积与矩形的面积和是解题的关键．27．【分析】连接OB 、OC ，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；【解答】解：作OD ⊥BC ，则BD ＝CD ，连接OB ，OC ，∴OD 是BC 的垂直平分线， ∵＝，∴AB ＝AC ，∴A 在BC 的垂直平分线上，∴A 、O 、D 共线，∵∠ACB ＝75°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵OB ＝OC ，∴△BOC 是等边三角形，∴OA ＝OB ＝OC ＝BC ＝2，∵AD ⊥BC ，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴AD 经过圆心O ，∴OD ＝OB ＝，∴AD ＝2+，∴S △ABC ＝BC •AD ＝2+，S △BOC ＝BC •OD ＝，∴S 阴影＝S △ABC +S 扇形BOC ﹣S △BOC ＝2++﹣＝2+π，【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S 阴影＝S △ABC +S 扇形BOC ﹣S △BOC 是解题的关键．28．【分析】根据扇形的面积公式S ＝计算即可．【解答】解：S ＝＝12π，故选：C ．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S ＝是解题的关键．29．【分析】连接OB ，根据平行四边形的性质得到AB ＝OC ，推出△AOB 是等边三角形，得到∠AOB ＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OB ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ＝OC ，∴AB ＝OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵OC ∥AB ，∴S △AOB ＝S △ABC ，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOB ＝＝6π，【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．。
浙教版数学九年级上册 第3章测试卷 圆的基本性质(含答案)
第3章测试卷圆的基本性质班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.已知⊙O的直径为10,点P到点O的距离大于8,那么点P的位置( )A. 一定在⊙O的内部B. 一定在⊙O的外部C. 一定在⊙O上D. 不能确定2.正六边形的每个内角度数为( )A. 90°B. 108°C. 120°D. 150°3.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( )A7 B. 7 C. 6 D. 85. 下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°；②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ②④6. 如图,正方形ABCD 内接于⊙O,AB=22,则AB的长是( )A. πB.32π C. 2π D127.如图,已知 BC 是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点 A,点C重合),BD与OA交于点E,设∠AED=α,∠AOD=β,则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°8. 如图,在扇形 AOB中,∠AOB=90°,点C 是弧AB 的中点,点 D 在OB 上,点 E 在OB 的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为( )A. π-2B. 2π—2C. π—4D. 2π-49. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC角平分线的交点，∠AIC=124°,点 E 在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A. 56°B. 62°C. 68°D. 78°10. 如图,AB是半圆O 的直径,点 P 从点O 出发,沿OA→AB→BO(的路径匀速运动一周.设OP 的长为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,点 A,B,C在⊙O上,BC=6,∠BAC=30°,则⊙O的半径为 .12. 如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB 的距离为 .13. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与BC 交于点E,四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形(图中阴影部分)的面积是 .14.如图,在⊙O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D,则CD的最大值为 .15.如图,在半径2₂的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形面积为 .16. 如图所示,E,F分别是正方形ABCD 的边AB,BC上的点,BE=CF,连结CE,DF.将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转了.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17. (6分)已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm²，求该扇形的弧长.18. (6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，点O，M也在格点上.(1)画出△ABC关于直线OM 对称的△A₁B₁C₁;(2)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转 90°后所得的△A₂B₂C₂.19. (6分)中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是.AB,拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米.(1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2)求拱桥 AB所在圆的半径.20.(8分)如图所示,在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE,过点 B作BP 平行于DE,交⊙O于点P,连结OP,CP.(1)求证:BD=DC;(2)求∠BOP的度数.21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C是.AE的中点，CD⊥AB于点D,交AE于点F,连结AC.求证:AF=CF.22.(10分)如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.(1) 试判断△ABC是否为等边三角形? 为什么?(2)若⊙O的半径OD⊥BC于点E，BC=8,，求⊙O的半径长.23.(10分)如图,在△ABC中，AB=AC,E在AC上,经过A,B,E三点的⊙O交BC 于点D,且.BD= DE.(1)求证:AB为⊙O的直径;(2)若AB=8,∠BAC=45°,，求阴影部分的面积.24.(12分)如图,点A,B,C是⊙O上的三点,AB∥OC.(1)求证:AC平分∠OAB;(2)如图,过点O作(OE⊥AB于点E,交AC于点 P.若AB=2,∠AOE=30°,求 PE的长.第3章测试卷 圆的基本性质1. B2. C3. B4. B5. C6. A7. D8. A9. C 10. C 11. 6 12. 3 13. 6π14 12 15. π 16. 9017. 解:由 S =12l ⋅R 得 l =2S R =2×106=103π(cm ).18. 解:(1)如图, △A₁B₁C₁即为所求作的三角形.(2)如图, △A₂B₂C₂即为所求作的三角形.19. 解:(1)如图1所示,点 O 即为所求;(2)如图2 所示,取 AB 的中点D ，连结OD 交AB 于点 E,连结OA,则 OD ⊥AB,且AE=EB=4米,由题意得，DE=3米，设圆的半径为r 米，在 Rt△AEO 中, AE +EO²=OA²,即 4²+(r−3)²=r²,解得 r =256.即拱桥AB 所在圆的半径为 256米.20. (1)证明:如图,连结 AD.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD. (2)解:∵∠BAC= 30°,AB= AC,∴ ∠ABC =12×(180∘−30∘)=75°.∵四边形 ABDE 为圆O 的内接四边形,∴∠EDC=∠BAC=30°.∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30°,∴∠OBP=∠ABC--∠PBC=45°.∵OB =OP,∴∠OPB=∠OBP=45°,∴∠BOP =90°21. 证明:延长CD 交⊙O 于点 H,∵C 是 AE 的中点， ∴AC =CE ,∵CD ⊥AB,∴AC =AH ,∴CE =AH ,∴∠ACD=∠CAE,∴AF=CF.22. 解:(1)△ABC 是等边三角形.理由:∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB =180°−∠BAC−∠ABC =180°− 60°−60°=60°,∴△ABC 是等边三角形. (2)如图，连结OB,∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆，∴BO 平分∠ABC,∴∠OBC=30°,∵OD ⟂BC,∴BD =CD,BE =CE = 4,∠BOD =60∘,∴OE =433, OB =833.∴OO|的半径长 833.23. (1)证明:如图,连结.AD, ∵⌢BD =DE ,∴∠BAD =∠CAD.又∵AB = AC, ∴AD ⊥ BC, ∴∠ADB=90°,∴AB 为⊙O 的直径. (2)解:∵AB 为⊙O 的直径，∴O 在AB 上，如图，连结OE,∵AB=8,∠BAC=45°,∴∠AOE=∠BOE= ∴1∘∴AB =8,∴BO =EO =4,S 扇形AOE =90×π×42360 =4π,S BOE =12OB 2=12×16=8,∴S 阴影=S BOE24. (1)证明:∵AB∥OC,∴∠C=∠BAC.∵OA=OC,∴∠C=∠OAC,∴∠BAC=∠OAC,即AC 平分∠OAB. (2)解: COE⟂AB,∴AE =BE =12AB =1,又∵∠AOE 、30°,∠PEA=90°,∴∠OAE= 60∘,∴∠EAP =3∠OAE =30∘,∴PE =12PA.设PE=x,则 PA=2x,根据勾股定理得 x²+1²=(2x)²,解得 x =33,∴PE =33.。
浙教版九上数学 第3章 圆的基本性质 单元试卷(含解析)
① 平分 ，② ， ，③ ．
以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：
①② ③，①③ ②，②③ ①．
试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
请证明你认为正确的命题．
26.如图 ，边长均为 的正 和正 原来完全重合．如图 ，现保持正 不动，使正 绕两个正三角形的公共中心点 按顺时针方向旋转，设旋转角度为 ．（注：除第 题中的第②问，其余各问只要直接给出结果即可）
【详解】∵四边形ABCD为正方形，且面积为3
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，AD=AB=BC=CD= ，且AE=AF，
①当F在线段BC上时，如图1，
在Rt△ADE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ABF（HL），
∴∠DAE=∠BAF，BF=DE=1，
又∵在Rt△ADE中，DE=1，AD= ，
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
11.如图，正方形 的面积为 ，点 是 边上一点， ，将线段 绕点 旋转，使点 落在直线 上，落点记为 ，则 ________， 的长为________．
【答案】(1).30°或90°；(2). -1或 +1．
【解析】
【分析】
当点F在线段BC上时，由旋转的性质可得△ADE≌△ABF，可得到BF=DE，∠DAE=∠BAF=30°，可求得答案；当点F在线段CB的延长线上时，可证得△ABF≌△ADE，则可求得∠EAF=90°，此时FC=BF+BC，可求得答案．
8.如图，已知 为 的外心， 为 上的高， ， ，则 为（ ）
A.32°B.26°C.28°D.34°
9.一个直角三角形两条直角边为 ， ，分别以它的两条直角边所在直线为轴，旋转一周，得到两个几何体，它们的表面面积相应地记为 和 ，则有（ ）
九年级数学圆的内接四边形同步练习含答案.docx
第 2 章2.4第对称图形——圆3 课时圆的内接四边形知识点圆内接四边形的性质1．如图 2－ 4－ 30 所示，四边形ABCD为⊙ O的内接四边形．若∠BCD＝ 110°，则∠ BAD 的度数为A ． 140°()B． 110°C．90°D． 70°图2－ 4－30图 2－ 4－312．如图 2－ 4－ 31，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠ BAD＝ 105°，则∠ DCE 的大小是 ()A ． 115°B． 105°C．100° D ． 95°3．在圆内接四边形ABCD 中，若∠ A∶∠ B∶∠ C＝ 2∶3∶ 4，则∠ D 的度数是 ()A ． 60°B． 90°C． 120°D． 30°4．如图 2－ 4－ 32，四边形 ABCD 内接于⊙ O.若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ ADC 的大小为()A ． 45°B． 50°C． 60°D． 75°图2－ 4－32图2－ 4－33.如图 2－4－ 33，已知 AB 是⊙ O 的直径， C，D 是⊙ O 上两点，且∠ D＝ 130°，则∠BAC＝ ________° .6．如图 2－ 4－ 34，四边形 ABCD 内接于⊙ O.若∠ BOD ＝130°，则∠DCE＝ ________° .图2－ 4－347．如图 2－ 4－ 35，四边形 ABCD 为圆的内接四边形，DA， CB 的延长线交于点P，∠ P＝30°，∠ABC ＝ 100°，则∠ C＝ ________° .图2－ 4－35图2－ 4－368．如图 2－ 4－ 36，△ ABC 为⊙ O 的内接等边三角形，D为⊙ O上一点，则∠ADB＝ ________° .9．如图 2－ 4－ 37，已知 A， B，C， D 是⊙ O 上的四点，延长 DC ， AB 相交于点 E.若BC＝ BE.求证：△ ADE 是等腰三角形．图2－ 4－3710．已知：如图 2－4－ 38，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，延长 AD ， BC 相交于点E，F 是 BD 延长线上的点，且 DE 平分∠ CDF .求证： AB＝AC.图2－ 4－3811． [2016 ·淮安清河区二模 ]如图2－4－39，在⊙ O∠ CAD ＝ 35°，∠ AED ＝ 115°，则∠ B 的度数是 ()A． 50°B．75°C． 80° D ．100°的内接五边形ABCDE中，图2－ 4－39图2－ 4－4012．如图 2－ 4－ 40，⊙ O 是钝角三角形∠ BCO ＝ x°，则 y 与 x 之间的函数表达式为．ABC 的外接圆，连接 OC.已知∠ BAC ＝y°，______________( 不必写出自变量的取值范围)13．教材练习第 3 题变式如图2－ 4－41，在⊙ O 中，点 A ， B ，C 在⊙ O 上，且∠ACB ＝ 110°，则∠α＝ ________．14.[ 2016 ·南京高淳区一模 ] 四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD ＝ 100°，则∠ BCD 的度数为 ________．图2－ 4－41图2－ 4－4215． [2016 ·南京溧水区一模 ]如图 2－ 4－ 42，在⊙ O 的内接四边形ABCD 中，︵AD上，则∠ E＝ ________°.AB ＝ AD ，∠ C＝ 110°.点 E 在16．如图 2－ 4－ 43， AD 为圆内接三角形ABC 的外角∠ EAC 的平分线，它与圆交于点D， F 为 BC 上的点．(1)求证： DB ＝ DC；(2)请你再补充一个条件使直线DF 一定经过圆心，并说明理由．图2－ 4－4317．如图 2－ 4－ 44，⊙ O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E， F.(1)若∠ E＝∠ F，求证：∠ ADC ＝∠ ABC ；(2)若∠ E＝∠ F＝ 42°，求∠ A 的度数；(3)若∠ E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠ A 的大小．图2－ 4－44详解详析1． D [解析 ] ∵四边形 ABCD 为⊙ O 的内接四边形，∴∠BCD ＋∠ BAD ＝ 180° (圆内接四边形的对角互补 )．又∵∠BCD ＝ 110°，∴∠ BAD ＝ 70°.故选 D.2． B [ 解析 ] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ BAD ＋∠ BCD ＝ 180°，而∠ BCD ＋∠ DCE ＝ 180°，∴∠ DCE＝∠ BAD.而∠ BAD ＝ 105°，∴∠ DCE＝ 105° .故选 B.3． B[ 解析 ] ∵∠ A∶∠ B∶∠ C＝ 2∶ 3∶4，∴设∠ A ＝ 2x，则∠ B＝ 3x，∠C＝ 4x.∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠ A＋∠ C＝ 180°，即2x＋ 4x＝ 180°，解得 x＝30°，∴∠ B＝ 3x＝ 90°，∴∠ D＝ 180°－∠ B＝ 180° －90°＝ 90° .故选 B. 4． C5． 40 [ 解析 ] ∵AB 是⊙ O 的直径，∴∠ ACB ＝ 90° .∵∠ B＝ 180° －∠ D＝ 50°，∴∠ BAC ＝ 90° －∠ B ＝40° .6． 65[ 解析 ] ∵∠ BOD ＝ 130°，1∴∠ A＝ 2∠ BOD ＝ 65° .∵∠ A＋∠ BCD ＝ 180°，∠ DCE ＋∠ BCD ＝ 180°，∴∠ DCE＝∠ A ＝ 65° .7． 70[ 解析 ] ∵∠ ABC ＝ 100°，∠ P＝ 30°，∴∠ PAB ＝∠ ABC －∠ P＝ 70° .∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴∠ C＋∠ BAD ＝ 180°.∵∠ BAD ＋∠ PAB ＝ 180°，∴∠ C＝∠ PAB ＝70° .8． 120.9．证明：∵ A， B，C， D 是⊙ O 上的四点，∴四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形，∴∠ A＋∠ DCB ＝ 180°.又∵∠ BCE＋∠ DCB ＝ 180°，∴∠ A＝∠ BCE.∵BC ＝ BE ，∴∠ BCE ＝∠ E，∴∠ A ＝∠ E，∴ AD ＝ DE ，即△ ADE 是等腰三角形．10．证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ ABC ＋∠ ADC ＝ 180° .∵∠ ADC ＋∠ CDE ＝ 180°，∴∠ ABC ＝∠ CDE.∵∠ FDE ＝∠ ADB ＝∠ ACB ，∠ CDE ＝∠ FDE，∴∠ ABC ＝∠ ACB ，∴AB ＝ AC.11． D [解析 ] ∵四边形ACDE 是圆内接四边形，∴∠ AED ＋∠ ACD ＝ 180° .∵∠ AED ＝ 115°，∴∠ ACD ＝ 65°.∵∠ CAD ＝ 35°，∴∠ ADC ＝ 80°.∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ B＋∠ ADC ＝ 180°，∴∠ B＝ 100°，故选 D.12． y＝ x＋ 9013． 140°14． 130°或 50°15． 12516． (1) 证明：∵∠ DCB ＋∠ BAD ＝ 180°，∠ BAD ＋∠ DAE ＝ 180°，∴∠ DCB ＝∠ DAE.∵∠ DBC ＝∠ CAD ，∠ CAD ＝∠ DAE ，∴∠ DBC ＝∠ CAD ＝∠ DAE ＝∠ DCB ，∴DB ＝ DC.(2)答案不唯一，如：若 F 为 BC 的中点，则 DF 经过圆心．理由：∵△ DBC 是等腰三角形， F 是 BC 的中点，∴DF 是底边 BC 的垂直平分线．∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，∴DF 必过圆心．17． (1) 证明：∵∠ E＝∠ F，∠ECD ＝∠ FCB ，∴∠ E＋∠ ECD ＝∠ F＋∠ FCB ，即∠ ADC ＝∠ ABC.(2)∵∠ A ＋∠ BCD ＝ 180°，∠ ECD ＋∠ BCD ＝180°，∴∠ A＝∠ ECD.∵∠ EDC＝∠ A ＋∠ F，∠EDC ＋∠ E＋∠ ECD ＝ 180°，∴2∠ A ＋∠ E＋∠ F＝180° .又∵∠ E＝∠ F＝ 42°，∴∠ A ＝ 48° .(3)由 (2)中的结论可知 2∠ A ＋∠ E＋∠ F＝ 180°，1∴ 2∠ A ＋α＋β＝ 180°，解得∠ A ＝ 90° －2( α＋β)．。
(典型题)浙教版九年级上册数学第3章 圆的基本性质含答案
浙教版九年级上册数学第3章圆的基本性质含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.90°2、如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（）A. B. C. D.3、如图，如果为的直径，弦，垂足为，那么下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.4、如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A.6B.6C.8D.85、如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（）A. B. C. D.6、下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧.其中真命题的有（）A. 个B. 个C. 个D. 个7、如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为（）A.50°B.80°C.100°D.130°8、如图，在⊙O中，半径OA垂直于弦BC，点D在⊙O上，若∠AOB＝70°，则∠ADC的度数为（）A.30°B.35°C.45°D.70°9、下列命题中，正确的是（）A.圆心角相等，所对的弦的弦心距相等B.三点确定一个圆C.平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D.弦的垂直平分线必经过圆心10、已知⊙O的半径是3，OP=3，那么点P和⊙O的位置关系是（）A.点P在⊙O内B.点P在⊙O上C.点P在⊙O外D.无法确定11、如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.65°12、如图，已知在⊙O中，AB=4， AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A. B. C. D.13、如图，中，，将绕着点旋转至，点的对应点点恰好落在边上．若，，则的长为（）A.2B.3C.D.414、如图，半径为10的圆中，弦AB垂直平分半径OC，则弦AB的长为（）A.5B.C.10D.15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.30°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，半径OB的长为3，则AB的长为________．17、如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为________．18、如图，正五边形和正六边形有一条公共边AB，并且正五边形在正六边形内部，连接AC并延长，交正六边形于点D，则∠ADE＝________°．19、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则⊙O 的半径是________.20、如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转40°到△EFC的位置(点A与点E 是对应点)，若CF⊥AB，则∠F的度数为________.21、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝________.22、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=________23、半径为5的圆中有两条弦长分别为6，8的平行弦，这两条弦之间的距离是________．24、制作一个圆锥模型，要求圆锥母线长9cm，底面圆直径为10cm，那么要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片圆心角度数是________度．25、设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，内心为I，延长AI交外接圆于D，则AI•ID＝________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．27、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A=30°，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．28、如图，ABCD是圆O的内接四边形，BC是圆O的直径，∠ACB=20°，D为弧的中点，求∠DAC的度数．29、如图，已知A(-2，-3),B(-3，-1),C(-1，-2)是平面直角坐标系中三点．（1）请你画出ABC关于原点O对称的A1B1C1；（2）请写出点A关于y轴对称的点A2的坐标．若将点A2向上平移h个单位，使其落在A1B1C1内部，指出h的取值范围.30、已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长(直接写出结果).参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、C3、D4、B5、A6、B7、D8、B9、D10、B11、C12、D13、A14、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、29、。
2018-2019学年九年级数学上册：3.6圆内接四边形含答案
3.6 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角．1.在圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C等于(D).A.20°B.30°C.70°D.110°2.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的度数为(A).A.80°B.100°C.60°D.40°（第2题）（第3题）(第4题)3.如图所示，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为(C).A.55°B.50°C.45°D.40°4.如图所示，圆心角∠AOB=120°，P是上任意一点(不与点A，B重合)，点C在线段AP的延长线上，则∠BPC 等于(B).A.45°B.60°C.75°D.85°5.如图所示，△ABC内接于圆O，AB=AC，P是上一点，∠BAC=30°，则∠APB等于(A).A.105°B.110°C.115°D.120°(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)6.如图所示，BC为半圆O的直径，A，D为半圆上两点，若A为半圆弧的中点，则∠ADC= 135°．7.如图所示，⊙O是四边形ABCD的外接圆，CE∥AD交AB于点E，BE=BC，∠BCD=122°，则∠ADC= 116° .8.如图所示，已知四边形ABCD内一点E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD=70°，则∠BCD= 110°．9.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.求证：BC=EC．(第9题) （第9题答图）【答案】如答图所示，连结AC.∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°∵∠ABC+∠EBC=180°.∴∠EBC=∠D.∵C是的中点，∴∠1=∠2.∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°.∴∠E=∠D，∴∠EBC=∠E.∴BC=EC.10.(1)如图1所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长BC 至点E.求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．(2)根据已知条件和(1)的结论：①如图2所示，若点C 在⊙O 外，且A ，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD 与180°的大小关系． ②如图3所示，若点C 在⊙O 内，且A ，C 两点分别在直线BD 的两侧，试确定∠A+∠BCD 与180°的大小关系．(第10题)（第10题答图） 【答案】(1)∵,∴∠A+=180°.∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠DCE=∠A.(2)①如答图1所示，连结DE.∵∠A+∠BED=180°，∠BED＞∠BCD，∴∠A+∠BCD＜180°.②如答图2所示，延长DC 交⊙O 于点E ，连结BE.∵∠A+∠E=180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°.11.如图所示，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径为(C ).A.6B.5C.3D.2 (第11题) （第12题）(第14题) (第15题)（第15题答图）12.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，F 是上一点，且，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC=105°，∠BAC=30°，则∠E 的度数为(A ).A.45°B.50°C.55°D.60°13.四边形ABCD 内接于圆，且CD=1，AB=2，BC=2，∠ABC=45°，则四边形ABCD 的面积是(D ). A. 333+ B. 4223+ C. 3223+ D. 433+ 14.如图所示，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以点O 为圆心作⊙O，点A ，C 分别是⊙O 与x 轴负半轴、y 轴正半轴的交点，点B ，D 在⊙O 上，则∠ADC 的度数是 135° ．15.如图所示，在⊙O 内接四边形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=BC=6，E ，F 分别是AD ，CD 的中点，连结BE ，BF ，EF.若四边形ABCD 的面积为113，则△BEF 的面积为 53 .【解析】如答图所示，连结AC ，作BM 垂直EF 于点M ，交AC 于点N.∵AE=ED，DF=FC ，∴EF∥AC，EF=21AC.∵BM⊥EF，∴BM⊥AC.∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形.∵AB=BC=AC=6，∴S △ABC =43×62=93.∵四边形ABCD 的面积为113，∴S △ADC =23.∴S △ABC ∶S △ADC =9∶2.∴BN∶MN=9∶1.∵BN=23×6=33，∴MN=33.∴BM=3310.又∵EF=21AC=3.∴S △BEF =21·EF·BM=21×3×3310=53. (第16题)16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆的上的一点(不与点A ，C 重合)，延长BD 至点E ．(1)求证：AD 的延长线平分∠CDE．(2)若∠BAC=30°，且△ABC 底边BC 边上高为1，求△ABC 外接圆的周长．【答案】(1)如答图所示，设F 为AD 延长线上一点.∵A，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF=∠ABC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF.∵∠ADB=∠EDF，∴∠EDF=∠CDF，即AD 的延长线平分∠CDE.（第16题答图）(2)如答图所示，设O 为外接圆圆心，连结AO 并延长，交BC 于点H ，连结OC.∵AB=AC ，∴.∴AH⊥BC.∴∠OAC=∠OAB=21∠BAC=15°.∴∠COH=2∠OAC=30°.设圆半径为r ，则OH=23r.∵△ABC 中BC 边上的高为1，∴AH=OA+OH=r+23r=1，解得r=4-23.∴△ABC 的外接圆的周长为(8-43)π. 17.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，∠D=90°，P 为上一动点(不与点C ，D 重合). (1)若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O 的半径.(2)若∠A=90°，，求证：PB-PD=2PC.（第17题） （第17题答图）【答案】(1)如答图所示，连结AC.∵∠D=90°，∴AC 是⊙O 的直径.∵∠BAC=∠P=30°，∴AC=2BC=6.∴⊙O 的半径为3.(2)∵∠A=90°，∴∠BCD=90°.∵AC 为⊙O 直径，∴∠D=∠ABC=90°.∴四边形ABCD 为矩形.∵，∴AB=AD.∴矩形ABCD 为正方形.在BP 上截取BE=DP ，由SAS 易证△BCE≌△DCP.∴PC=CE，∠BCE＝∠DCP.∵∠ECP＝∠ECD+∠DCP＝∠ECD+∠BCE＝90°,∴△CPE 为等腰直角三角形.∴PE=2PC.∴PB=PD+2PC.即PB-PD ＝2PC.18.【广东】如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，DA=DC ，∠CBE=50°，则∠DAC 的大小为(C ).A.130°B.100°C.65°D.50°（第18题）（第19题）19.【南京】如图所示，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连结AC ，AE.若∠D=78°，则∠EAC= 27° .20.如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，F 是CD 延长线上的一点，且AD 平分∠BDF，AE⊥CD 于点E.(1)求证：AB=AC.(2)若BD=11，DE=2，求CD 的长.（第20题） （第20题答图）【答案】(1)∵AD 平分∠BDF，∴∠ADF=∠ADB.∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，∴∠ADF=∠ABC.∵∠ACB=∠ADB，∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.(2)如答图所示，过点A 作AG⊥BD，垂足为点G.∵AD 平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，∴AG=AE，∠AGB=∠AEC=90°.在Rt△AED 和Rt△AGD 中，∵⎩⎨⎧==ADAD AG AE ,∴Rt△AED≌Rt△AGD.∴GD=ED=2.在Rt△AEC 和Rt△AGB 中，∵⎩⎨⎧==AB AC AG AE ，∴Rt△AEC≌Rt△AGB.∴CE ＝BG.∵BD=11，∴BG=BD -GD=11-2=9.∴CE=BG=9.∴CD=CE -DE=9-2=7.。
【人教版】2017年秋数学九上：3.6-圆内接四边形(含答案)
3.6 圆内接四边形
1．如图3－6－7，四边形ABCD 内接于圆O ，则下列结论中正确的是 ( A )
A ．∠A ＋∠C ＝180°
B ．∠A ＋∠
C ＝90° C ．∠A ＋∠B ＝180°
D ．∠A ＋∠B ＝90°
【解析】∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠A ＋∠C ＝180°.
图3－6－7 图3－6－8 2．如图3－6－8，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，若∠BAD ＝110°，则∠BCD 等于
( C ) A ．110°
B ．90°
C ．70°
D ．20°
3．如图3－6－9，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DCE ＝60°，则∠BAD ＝__60__度．
图3－6－9 图3－6－10 4．如图3－6－10，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 在CD 的延长线上，如果∠BOD ＝120°，那么∠BCE 等于__60°__．
【解析】∵∠A ＝12∠BOD ＝60°，∴∠BCE ＝∠A ＝60°.
5．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20 cm 的圆中(如图3－6－11)，求这根铁丝的长度．(结果精确到0.1 cm)
图3－6－11 第5题答图
解：如答图所示，连结AC .
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝90°，AD ＝CD ，
∴AC 是圆的直径，即AC ＝20 cm. ∴AD ＝CD ＝10 2 cm.
则铁丝的长度是402≈56.6(cm).。
九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.6 圆内接四边形练习 (新版)浙教版
3.6圆内接四边形(见B本27页)A 练就好基础基础达标1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝45°，∠B＝67.5°，则∠D等于( C)A．67.5°B．135°C．112.5°D．45°2．四边形ABCD内接于圆，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比可能是( C)A．1∶2∶3∶4 B．7∶5∶10∶8C．13∶1∶5∶17 D．1∶3∶2∶43．兰州中考如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠A DC 的大小为( C)A．45°B．50°C．60°D．75°3题图4题图4．如图所示，在圆O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，∠BOC＝130°，则∠BAD的度数是( B)A．120° B．130° C．140° D．150°5．如图所示，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对的圆周角的度数为( D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°第5题图6题图6．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE ＝__50°__．7．泰州中考如图所示，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于__130°__.7题图8题图8．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是AB ︵上两点，∠ADC ＝120°，则∠BAC 等于__30°__．第9题图9．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，并且AD 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，AB 和DC 的延长线交于⊙O 外一点E.求证：BC ＝EC.第9题答图证明：如图，连结AC ，∵AD 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥DE ，∵C 是BD ︵的中点， ∴∠ADC ＝∠AED. ∵∠EBC ＝∠D， ∴∠EBC ＝∠E， ∴BC ＝EC.第10题图10．如图所示，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是劣弧OB 上一点，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径长．解：∵四边形ABMO 是⊙C 的内接四边形，∠BMO ＝120°， ∴∠BAO ＝60°.∵AB 是⊙C 的直径， ∴∠AOB ＝90°，∴∠ABO ＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°. ∵点A 的坐标为(0，3)，∴OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴⊙C 的半径长为3. B 更上一层楼 能力提升11．如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠AOD＝30°，则∠BCD 的度数是( C )A ．75°B ．95°C ．105°D ．115°11题图12题图12．凉山中考如图所示，△ABC 内接于⊙O，∠OBC ＝40°，则∠A 的度数为( D ) A ．80° B ．100° C ．110° D ．130° 13．2017·永州中考如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵的中点，点E 是BC ︵上的一点，若∠CED＝40°，则∠ADC＝__100°__．13题图14题图14．2017·盐城中考如图所示，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在AmB ︵上，点D 在AB ︵上，若∠ACB ＝70°，则∠ADB＝__110°__．第15题图15．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，∠BAD ＝90°，BC ︵＝CD ︵，过点C 作CE⊥AD，垂足为E ，若AE ＝3，DE ＝ 3.求∠ABC 的度数．解：如图，作BF⊥CE 于点F ， ∵四边形ABCD 内接于⊙O， ∴∠BAD ＋∠BCD＝180°， ∵∠BAD ＝90°， ∴∠BCD ＝90°，又∵∠BCF＋∠DCE＝90°， ∠D ＋∠DCE＝90°， ∴∠BCF ＝∠D.又∵BC ︵＝CD ︵，∴BC ＝CD ， ∴Rt △BCF ≌Rt △CDE. ∴BF ＝CE.第15题答图又∵∠BFE＝∠AEF＝∠A＝90°， ∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE. ∴AE ＝CE ＝3， 在Rt △CDE 中，∵DE ＝3，∴CD ＝23，∴DE ＝12CD ，∴∠DCE＝30°，∠D ＝60°. ∵∠ABC ＋∠D＝180°， ∴∠ABC ＝120°.C 开拓新思路 拓展创新16．如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝AC ，D 是劣弧AC 上的点(不与点A ，C 重合)，第16题图延长BD 至E.(1)求证：AD 的延长线DF 平分∠CDE.(2)若∠BAC＝30°，在△ABC 中BC 边上的高为2＋3，求⊙O 的面积． 解：(1)证明：∵A，B ，C ，D 四点共圆． ∴∠CDF ＝∠ABC.由AB ︵得∠ACB＝∠ADB＝∠EDF， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠CDF ＝∠EDF，即AD 的延长线DF 平分∠CDE. (2)连结AO 并延长交BC 于点H ， 连结OB ，OC.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴AH ⊥BC.∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°. ∵OB ＝OC ，∴△OBC 为等边三角形． 设OB ＝r ，则BH ＝12r ，OH ＝32r ，∴AH ＝r ＋32r ＝2＋3， ∴r ＝2，∴⊙O 的面积为4π.第17题图17．已知四边形ABCD 内接于⊙O，∠ADC ＝90°，P 为CD ︵上一动点(不与点C ，D 重合)． (1)若∠BPC＝30°，BC ＝3，求⊙O 的半径； (2)若∠A＝90°，AD ︵＝AB ︵，求证：PB －PD ＝2PC.第17题答图解：(1)连结AC ，∵∠D ＝90°，∴AC 是⊙O 的直径， ∵∠BAC ＝∠P＝30°，∴AC ＝2BC ＝6， ∴⊙O 的半径为3.(2)证明：∵∠A＝90°，∴∠C ＝90°， ∵AC 为⊙O 直径，∴∠ADC ＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形． ∵AD ︵＝AB ︵，∴AB ＝AD ， ∴矩形ABCD 为正方形， 在BP 上截取BE ＝DP ，∴△BCE ≌△DPC ，∴PC ＝CE ， ∴△CPE 为等腰直角三角形， ∴PE ＝2PC ，∴PB ＝PD ＋2PC ， 即PB －PD ＝2PC.。
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3.6__圆内接四边形
1．如图3－6－1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A ＝70°，则∠C 的度数是( B ) A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
【解析】 ∵∠A ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝110°.故选B.
图3－6－1 图3－6－2
2．[2016·兰州]如图3－6－2，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝( C )
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 75°
3．[2016·聊城]如图3－6－3，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵
，连结
CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为
( B ) A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
【解析】 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC ＝105°， ∴∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°. ∵DF ︵＝BC ︵
，∠BAC ＝25°，∴∠DCE ＝∠BAC ＝25°， ∴∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B.
图3－6－3 图3－6－4
4．[2017·西宁]如图3－6－4，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在BC 的延长线上，若∠BOD ＝120°，则∠DCE ＝__60°__．
【解析】 ∵∠BOD ＝120°，∴∠BAD ＝60°， ∵∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°， ∴∠DCE ＝∠BAD ＝60°.
5．[2017·淮安]如图3－6－5，在圆内接四边形ABCD 中，若∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5，则∠D 的度数是__120°__． 【解析】 ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ＝180°.
∵∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为4∶3∶5， ∴∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数之比为4∶3∶5∶6， ∴∠D ＝6
3＋6
×180°＝120°.
图3－6－5 图3－6－6
6．[2016·南京]如图3－6－6，扇形AOB 的圆心角为122°，C 是AB ︵
上一点，则∠ACB ＝__119____°.
【解析】 由与∠AOB 所对同弧的圆周角度数为1
2∠AOB ＝61°，由圆内接四边形对角互补，
得∠ACB ＝180°－61°＝119°.
7．[2017·永州]如图3－6－7，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点D 是AC ︵
的中点，点E 是BC ︵
上的一点，若∠CED ＝40°，则∠ADC ＝__100°__．
图3－6－7 第7题答图
【解析】 如答图，连结AE ， ∵点D 是AC ︵
的中点，
∴∠AED＝∠CED＝40°，∴∠AEC＝80°.
∵∠AEC＋∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°－∠AEC＝180°－80°＝100°.
8．如图3－6－8，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝80°，求∠A和∠C的度数．
图3－6－8
解：∵∠BOD＝80°，∴∠A＝40°.
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，∴∠C＝140°.
9．如图3－6－9，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，求∠C的度数．
图3－6－9
解：∵∠ABC＝100°，∴∠PBA＝80°.
又∵∠P＝30°，∴∠PAB＝180°－80°－30°＝70°.
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠C＋∠BAD＝180°.
又∵∠BAD＋∠PAB＝180°，
∴∠C＝∠PAB＝70°.
10．[2016·龙岩模拟]如图3－6－10，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E.
图3－6－10
(1)若∠ADC ＝86°，求∠CBE 的度数； (2)若AC ＝EC ，求证：AD ＝BE . 解：(1)∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°， 又∵∠CBE ＋∠ABC ＝180°， ∴∠CBE ＝∠ADC ＝86°；
(2)证明：∵AC ＝EC ，∴∠E ＝∠CAE ， ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠E ，由(1)知∠ADC ＝∠CBE ， 在△ADC 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ADC ＝∠EBC ，∠DAC ＝∠E ，AC ＝EC ，
∴△ADC ≌△EBC (AAS )，∴AD ＝BE .
11．如图3－6－11，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F
图3－6－11
(1)若∠E ＝∠F 时，求证：∠ADC ＝∠ABC ； (2)若∠E ＝∠F ＝42°，求∠A 的度数；
(3)若∠E ＝α，∠F ＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A 的大小． 解：(1)证明：∵∠E ＝∠F ，∠ECD ＝∠FCB ， ∴∠E ＋∠ECD ＝∠F ＋∠FCB ， ∴∠ADC ＝∠ABC ；
(2)∵∠A ＋∠BCD ＝180°，∠ECD ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠ECD ， ∵∠EDC ＝∠A ＋∠F ，∠EDC ＋∠E ＋∠ECD ＝180°， ∴2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∵∠E ＝∠F ＝42°，∴∠A ＝48°；
(3)由(2)中的结论可知2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°，
∴2∠A ＋α＋β＝180°，解得∠A ＝90°－1
2
(α＋β)．
12．如图3－6－12，四边形ABCD 内接于⊙O ，并且AD 是⊙O 的直径，C 是BD ︵
的中点，AB 和
DC 的延长线交⊙O 外一点E .求证：BC ＝EC .
图3－6－12 第12题答图
证明：如答图，连结AC .
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°＝∠ACE . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠D ＋∠ABC ＝180°.
又∵∠ABC ＋∠EBC ＝180°，∴∠EBC ＝∠D . ∵C 是BD ︵
的中点，∴∠1＝∠2， 又∵∠1＋∠E ＝∠2＋∠D ＝90°， ∴∠E ＝∠D ，∴∠EBC ＝∠E ， ∴BC ＝EC .
13．如图3－6－13，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC . (1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数； (2)求证：∠1＝∠2.
图3－6－13
解：(1)∵BC ＝DC ，
∴∠BCD ＝180°－2×39°＝102°，
又∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠BAD＝180°－102°＝78°；
(2)证明：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB，又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠CBD＝∠BAC. ∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB，
又∵∠CEB＝∠BAE＋∠2，
∠CBE＝∠CBD＋∠1，
∴∠BAE＋∠2＝∠CBD＋∠1，
∴∠1＝∠2.。