参数方程的导数及相关变化率问题
2-4隐函数求导,参数方程求导,相关变化率资料
例. 抛射体运动轨迹的参数方程为
消去参数 t 得
y v2 v1
g x 2v12
x2.
问题: 可否由参数方程直接求出y对x的导数?
x (t)yΒιβλιοθήκη (t, )t
设x (t)具有反函数t 1( x),
则 y [ 1( x)]
x
1
y
x对应y的函数可看作由x对应t的函数和
t对应y的函数复合而成.
由已知变化率求出未知的变化率
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 分.当气球高度为500米时, 观 察 员 视 线 的 仰 角 增 加率 是 多 少?
解: 设气球上升t分钟后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为, 则 tan h
500
500米 h
、h都 是 时 间t的 函 数 ，
1.
33 (,)
22
所求切线方程为
y 3 (x 3)
2
2
即x
y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3
2
2
即 y x,
显然通过原点.
例 3 求由方程 x y 1 siny 0所确定的隐函数y的 2
二阶导数d2 y dx 2
.
（隐函数求二阶导数）
解: 方程两边对x求导，得
1 dy 1 cosy dy 0 dx 2 dx
上式两边对x求导，得
y y ( v ln u v u ) uv ln u v v uv1 u. u
或者，把u( x)v( x) 化为elnu( x)v( x)求导也可得相同 结果。
上例，[(sin x)x ] (elnsin xx ) elnsin xx (ln sin x x)
隐函数和参数方程求导、相关变化率
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
参数方程的导数与速度加速度
参数方程的导数与速度加速度参数方程是一种常用的表示曲线的方式，它通过使用参数来描述曲线上的点的位置。
在研究曲线的运动和变化时，我们常常需要了解曲线上各点的速度和加速度。
本文将探讨参数方程的导数与速度、加速度之间的关系。
一、参数方程简介参数方程是将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式。
一般来说，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示点的坐标，t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到曲线上的不同点的坐标。
二、参数方程的导数导数是描述函数变化率的重要概念，它表示函数在某一点处的斜率。
对于参数方程而言，我们可以通过对自变量t求导来得到曲线上各点的导数。
以参数方程x = f(t)，y = g(t)为例，我们可以分别对x和y关于t求导，得到它们的导数：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)其中，f'(t)和g'(t)分别表示函数f(t)和g(t)的导数。
这样，我们就可以通过导数来描述参数方程曲线上各点的斜率。
三、参数方程的速度在物理学中，速度是描述物体运动状态的重要概念。
对于参数方程所表示的曲线，我们可以通过求导数的模长来得到曲线上各点的速度。
速度的定义是：v = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2)其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的导数。
通过计算导数的平方和再开平方根，可以得到曲线上各点的速度大小。
四、参数方程的加速度加速度是描述速度变化率的重要概念，它表示速度的变化量与时间的比值。
对于参数方程所表示的曲线，我们可以通过对速度关于t求导来得到曲线上各点的加速度。
加速度的定义是：a = sqrt((d^2 x/dt^2)^2 + (d^2 y/dt^2)^2)其中，d^2 x/dt^2和d^2 y/dt^2分别表示x和y关于t的二阶导数。
通过计算二阶导数的平方和再开平方根，可以得到曲线上各点的加速度大小。
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用
( 2) 炮弹在 t 0时刻沿 x , y轴方向的分速度为
vx = dx dt dy vy = dt
t = t0
= (v 0 t cos α )′ t = t 0 = v0 cosα 1 = (v 0 t sin α − gt 2 )′ t = t 0 = v0 sin α − gt 0 2
t = t0
∴ 在时刻t0炮弹的速度为
2 2 v = v x + v 2 = v0 − 2v0 gt 0 sin α + g 2 t 02 y
1 2 (3) 令y = v0 t sin α − gt = 0 2
2v0 sin α 得 t1 = 0 , t 2 = g
当 t = t 2时,
2 v0 sin 2α 2v0 sin α x = v0 t cos α = v0 ⋅ cos α = g g
当 sin 2α = 1, 即α =
π
4
时 , x取最大值,即射程最远.
d2y 练习：求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 2 ： dx
⎧ x = a cos t ， 1、 ⎨ ⎩ y = b sin t ；
⎧ x = f ′( t )， 2、 ⎨ 设 f ′′(t ) 存在且不为零. ⎩ y = t f ′( t ) − f ( t ).
x0 − 8 切线的斜率 k = x0 − 3 x0 − 8 ∴k = = 2 x 0 , 得到 x 0 = 2或 x 0 = 4 x0 − 3
2 2
2
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程.
(1 ) x 0 = 2, 切点 ( 2 ,4 ), f ′( 2 ) = 4 ,
⎧ x = 2t , x 例如 ⎨ t= 消去参数 t 2 ⎩y = t , 2 2 1 x 2 x 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参数困难或无法消参数时如何求导?
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
二、由参数方程所确定的函数的导数
y (t ), 系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程 所确定的函数.
若参数方程
x (t ),
确定 y与 x间的函数关
x t 例如 2 2 x x y t 2 ( )2 2 4
x 2t , 2 y t ,
消去参数
F ( x, y) 0
y f ( x)
隐函数的显化
y e 例1 求由方程 xy e 0 所确定的隐函数的导
dy 数 dx .
例2
求由方程 y5 2 y x 3x7 0 所确定的隐函
.
x 0
dy 数在 x 0 处的导数 dx
例3
3 x2 y 2 3)处的切线方程. 1在点(2, 求椭圆 2 16 9
x a cos t , 例7 已知椭圆的参数方程为 求椭圆 y b sin t. 在 t 相应的点处的切线方程. 4
例8
计算由摆线的参数方程
x a(t sin t ), y a(1 cos t ). 所确定的函数 y y ( x)的二阶导数.
1 y x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
参数方程所确定的函数的导数公式 dy dy '(t ) dy dt ,即 . dx '(t ) dx dx dt 二阶导数公式 d 2 y ''(t ) '(t ) '(t ) ''(t ) . 2 3 dx ' (t )
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
y f ( x) 形式称为显函数.
高等数学 第2章 第六节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
0
解得:
t
t0
2v0
sin
g
,
射程:
x(t0
)
v
2 0
g
s in 2
12
参数方程高阶求导法举例
补充例题：
由
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
(t 2n , n Z ),
求d2y. dx 2
d 2 y dy' dy' dx y't
dx2 dx dt dt
x
' t
cot t 2t
x
7
3.隐函数的高阶导数举例
补充例题： 方程 y tan( x y) 确定函数 y f ( x), 求 y.
解： 先求 y :
y tan(x y)
方程两边分别对x 求导数
y ' sec2 ( x y) (1 y ') (1 y 2 )(1 y ')
解得: y' 1 y 2 y 2 1 ( y 0) y2
3
2
2
两边对x求导得：
1 y 5 1 3 1 1 1 1 y 3 3x 1 2 x 1 2 x 2
则
y
y 53
1 3 3x 1
1 2
1 x 1
1 2
x
1 2
5
(3x 1) 3
x x
1 2
3
5 x
1
1
2x
1
1
2x
2
5
解（二）：
由对数求导法
y'
y ln (3 x
5
1) 3
代入上式得d 140 0.14(rad / min)
高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率
上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解： 设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间 的关系, 用链式求导法求解.
由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数参数方程是一种用参数表示的函数形式，其中自变量由一个或多个参数来决定。
因此，参数方程所确定的函数的导数可以通过链式法则来求解。
假设我们有一个参数方程：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是关于t的函数。
我们要求的是函数 y 对 x 的导数，也就是 dy/dx。
根据链式法则，我们可以写出如下关系：dy/dx = dy/dt / dx/dt然后，我们可以分别求 dy/dt 和 dx/dt 的值，并将它们代入到上式中，进一步计算出 dy/dx。
假设函数f(t)和g(t)是可以被微分的，那么我们可以得到：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)其中，f'(t)和g'(t)表示f(t)和g(t)的导数。
将 dx/dt 和 dy/dt 的值带入到 dy/dx 的表达式中，我们可以得到：dy/dx = dy/dt / dx/dt = g'(t) / f'(t)这样，我们就得到了函数y对x的导数。
这个导数可以看作是一个对于参数t的函数。
需要注意的是，上述推导只适用于单变量的情况，也就是参数方程中只有一个参数t。
如果有多个参数，我们需要对每个参数分别求导，并做相应的处理。
现在，让我们来看一个具体的例子，以便更好地理解。
假设有一个参数方程：x = cos(t)y = sin(t)我们的目标是求 dy/dx。
首先，我们求 dx/dt 和 dy/dt：dx/dt = -sin(t)dy/dt = cos(t)然后，我们将 dx/dt 和 dy/dt 的值代入到 dy/dx 的表达式中：dy/dx = dy/dt / dx/dt = cos(t) / (-sin(t))因此，函数 y 对 x 的导数为 -cot(t)，也就是 -1/tan(t)。
通过上述计算，我们可以发现，导数 -cot(t) 是对参数 t 的函数，而不是对 x 的函数。
2.4 参数式函数导数 微分
其中 A = f ′( x0 ) 与 Δx 无关, 所以 f ( x ) 在 x0 可微 .
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
注 微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y = f ′( x0 )Δx = tan α ⋅ Δ x .
当 Δx 很小时, Δ y ≈ d y .
当y = x 时: d y = d x = 1 ⋅ Δ x = Δ x,
=
y'' ( t ) x' ( t ) − y' ( t ) x'' ( t )
x' 3 ( t )
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
′ d y ψ ′( t ) d y ⎛ ψ ′( t ) ⎞ =⎜ ⎟ , = 注意 : 已知 2 d x ϕ ′( t ) d x ⎝ ϕ ′( t ) ⎠
2
×
?
例5. 设
: 证: “ ⇒ ”
已知 y = f ( x ) 在点 x0 可微, 则
Δ y = f ( x0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = A Δ x + o( Δ x ) Δy o( Δ x ) ∴ lim = lim ( A + )= A Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx 故 y = f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 f ′( x0 ) = A.
t =π
2 b, 4= 2
2 2 ⎞ b⎛ b=− ⎜x− a ⎟. 所求切线方程为: y − a⎝ 2 2 ⎠
暨南大学电气信息学院苏保河主讲
例2. 抛射体运动轨迹的参数方程为
x = v1 t y = v2 t − 1 g t 2 2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求抛物体速度大小: dx dy 速度的水平分量为 = v1 , 垂直分量为 = v 2 − gt , dt dt dx 2 d y 2 = v12 + (v2 − gt )2 . 故速度大小 v = ( ) + ( ) dt dt 再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
导数与函数的参数方程关系解析
导数与函数的参数方程关系解析一、引言在微积分学中，函数是一个基本的概念，而导数则是函数的重要性质之一。
在研究函数的性质和变化规律时，我们常常需要通过求导来获取更多的信息。
本文将重点探讨导数与函数的参数方程之间的关系，并对其进行详细解析。
二、导数的定义与参数方程导数是函数在某一点处的变化率，通常表示为f'(x)，也可表示为dy/dx。
而参数方程则是一种用参数表示的函数形式，常用的参数有t，通常表示为(x(t), y(t))。
为了求导数与参数方程的关系，我们需要将参数方程转化为常规函数形式。
三、将参数方程转化为常规函数形式对于参数方程x = x(t)和y = y(t)，我们可以将其表示为常规函数形式y = f(x)。
为了实现这一转化，我们需要进行以下步骤：1. 通过给定的参数方程，求出x和y的函数关系；2. 将从步骤1得到的函数关系代入参数方程，从而得到一个常规函数表达式。
举例来说，对于参数方程x = 2t，y = t^2，我们可以通过步骤1求出y和x的函数关系为y = (x/2)^2。
然后，将这个函数关系代入参数方程，我们便得到y = x^2/4，这是一个常规函数形式。
四、求函数的导数在得到参数方程的常规函数形式后，我们可以对其进行导数的求解。
求导的过程中，我们需要注意以下几点：1. 使用基本的导数规则，如常数的导数为0，幂函数的导数可以通过幂次减1来求解等；2. 对于参数方程中的参数t，我们需要将其当做自变量进行求导；3. 最终求得的导数表达式中不应再包含参数t。
继续以y = x^2/4为例，我们可以通过求导规则得到y' = 1/2 * 2x = x。
注意到在求导的过程中，我们没有再包含参数t，而是将其当做自变量进行求导。
五、导数与参数方程的关系通过以上步骤，我们已经得到了参数方程的导数表达式。
现在我们来探讨导数与参数方程之间的具体关系。
1. 函数的导数是其在某一点处的变化率。
对于参数方程而言，x和y分别表示了其自变量和因变量。
相关变化率问题的求解方法及应用
相关变化率问题的求解方法及应用1. 引言相关变化率问题是数学中一个重要而复杂的概念，涉及到微积分和函数的导数。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的相关变化率问题，比如物体的速度、加速度、成本的边际变化等等。
掌握相关变化率问题的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
本文将从基础概念入手，逐步展开相关变化率问题的求解方法及应用。
2. 相关变化率问题的基本概念相关变化率问题涉及到两个变量之间的关系，通常表现为一个变量随着另一个变量的变化而变化。
一个物体的位移随着时间的变化而变化，这就涉及到了速度的概念。
相关变化率的求解方法是通过求取两个变量的导数来得到它们之间的关系。
在数学中，相关变化率通常通过函数的导数来呈现，这需要我们熟练掌握导数的求解方法。
3. 相关变化率问题的求解方法相关变化率问题的求解方法主要涉及到求取函数的导数。
对于给定的函数，我们首先需要求取它关于自变量的导数，然后根据具体问题中的变量关系，进一步求取相关变化率。
常见的求导方法包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等等，我们需要根据具体的函数形式和问题需求，灵活运用这些求导法则。
另外，对于一些复杂的函数，我们还需要运用链式法则、乘积法则、商法则等高阶导数的求法则来求取相关变化率。
4. 相关变化率问题的应用相关变化率问题的应用非常广泛，涉及到物理、经济、生物、工程等各个领域。
在物理学中，我们可以用相关变化率来求取物体的速度、加速度、力的功率等等，进而解决各种运动问题。
在经济学中，相关变化率可以被用来求取成本的边际变化率、收益的边际变化率，帮助企业制定最优的生产和经营策略。
在生物学和工程学中，相关变化率可以帮助我们理解各种生物体的生长规律，以及设计各种工程结构和装置。
5. 个人观点和总结相关变化率问题是微积分中一个非常有意义和应用价值的内容，掌握相关变化率的求解方法对于理解和解决实际问题至关重要。
通过学习和熟练运用相关变化率的求解方法，我们可以更好地理解和应用微积分知识，解决我们在生活和工作中遇到的各种问题。
导数常用的一些技巧和结论
导数常用的一些技巧和结论导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，常常需要用到导数的一些技巧和结论来求解具体问题。
下面介绍一些常用的导数技巧和结论。
一、常数规则和幂规则1.常数规则：如果f(x)是一个常数，那么f'(x)=0。
2. 幂规则：对于任意实数n，如果f(x)=x^n，那么f'(x)=nx^(n-1)。
特别地，当n=1时，f(x)=x的导数为1二、和差规则和乘积规则1.和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
2.乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
三、商规则和复合函数规则1.商规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^22.复合函数规则：如果h(x)=f(g(x))，且f(x)和g(x)都是可导函数，那么h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
四、链式法则和反函数的导数1. 链式法则：如果y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么y=f(g(x))的导数为dy/dx = f'(g(x))g'(x)。
2.反函数的导数：如果y=f(x)在区间I上可导，且f'(x)≠0，则它的反函数x=f^(-1)(y)在对应的区间f(I)上可导，且有[f^(-1)(y)]'=1/[f'(f^(-1)(y))]。
五、隐函数的导数和参数方程的导数1. 隐函数的导数：如果方程F(x, y) = 0确定了一个隐函数y=f(x)，那么这个函数的导数可以通过求解dy/dx = -F_x/F_y来得到，其中F_x表示对x求偏导，F_y表示对y求偏导。
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结高中数学中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在学习导数的过程中，我们需要掌握各种不同类型的导数题型。
下面我将对高中数学导数题型进行归纳总结，并为每种题型提供一些相关的例题。
1. 函数的基本导数公式：- f(x) = k (常数函数)的导数为0；- f(x) = x的导数为1；- f(x) = x^n的导数为nx^(n-1) (n为整数)；- f(x) = e^x的导数为e^x；- f(x) = a^x的导数为a^x * ln(a) (a为正实数)；- f(x) = sin(x)的导数为cos(x)；- f(x) = cos(x)的导数为-sin(x)；- f(x) = tan(x)的导数为sec^2(x)。
2. 导数的四则运算法则：- 若f(x)和g(x)可导，则(f+g)' = f'(x) + g'(x)；- 若f(x)和g(x)可导，则(f-g)' = f'(x) - g'(x)；- 若f(x)和g(x)可导，则(f*g)' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)； - 若f(x)和g(x)可导，则(f/g)' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x)) / g(x)^2 (g(x) ≠ 0)。
3. 复合函数的导数：- 若y = f(g(x))，且f(x)和g(x)都可导，则y的导数为dy/dx= f'(g(x)) * g'(x)。
4. 高阶导数：- 若y = f(x)的导数f'(x)存在，则f'(x)的导数为f''(x)，称为f(x)的二阶导数；- 同理，f(x)的n阶导数记为f^n(x)。
5. 隐函数求导：- 对于方程F(x, y) = 0，若y可以用x表示，即y = f(x)，则y的导数dy/dx可以通过对方程两边求导得到。
隐函数及由参数方程所确定函数的导数相关变化率公开课一等奖课件省赛课获奖课件
解 方程两边对x求导得
4 x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1
1; 4
将方程 (1)两边再对x求导得
12 x2 2 y xy 12 y2 ( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
例 以每秒10cm3 的速度给气球打气,当气球半径为5cm 气球表面的增加率是多少?
V 4 r 3 , dv 4r 2 dr 10cm 3 / s,
3 dt
dt
A 4r 2 , dA dt
r5
dA dr
dr dt
r5
8r
10 4r 2
r 5 4cm 2 / s.
例1 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
t t0
(v0t cos ) t t0
v0 cos
vy
dy dt
t t0
(v
0
t
sin
1 2
gt
2
)
t t0
v0 sin
gt0
在
t
时刻炮弹的速度为
0
v
v
2 x
v
2 y
v2 0
2v0 gt0
sin
g
2
t2 0
例8
求由方程
x
y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数
.
dy
解
dy dx
解 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
上式两边对 x求导得
第4节--隐函数及由参数方程确定的函数的导数--相关变化率
第四节 隐函数及由参数方程确定的函数的导数 相关变化率 教学目的： 熟悉隐函数的概念;掌握隐函数的求导法则；掌握由参数方程所确定的函数的求导方法.教学重点：隐函数的导数;由参数方程所确定的函数的导;相关变化率;对数求导法 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幂指函数的求导法教学内容：一、隐函数的导数显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x .隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数.例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来.例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.解: 把方程两边的每一项对x 求导数得(e y )'+(xy )'-(e )'=(0)',即 e y ⋅ y '+y +xy '=0,从而 ye x y y +-='(x +e y ≠0). 例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0.解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y . 因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)323 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 从而 yx y 169-='. 当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率43|2-='==x y k . 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y , 于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为 )2(43323--=-x y , 即03843=-+y x . 例4．求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数.解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=⋅+-dx dy y dx dy , 于是 ydx dy cos 22-=. 上式两边再对x 求导, 得 3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dyy dx y d --=-⋅-=. 隐函数求导方法小结：（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出y '来.（3）隐函数求导允许其结果中含有y .但求某一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去.对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.设y =f (x ), 两边取对数, 得ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y, y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数.例5．求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=', 于是 )1sin ln (cos xx x x y y ⋅+⋅=' )sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=. 解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅. 例6. 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数. 解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)], 上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y , 于是 )41312111(2-----+-='x x x x y y . 当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=,即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dtdx dt dy dx dy =. 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则)()(t t dx dy ϕψ''=. 例7. 求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.例8．抛射体运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2解: 先求速度的大小.速度的水平分量与铅直分量分别为x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt ,所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=2221)(gt v v -+=. 再求速度的方向,设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -=''==α. 已知x =ϕ(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''?由x =ϕ(t ), )()(t t dx dy ϕψ''=, dxdt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22ϕψ''== )(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-'''=. 例9．计算由摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数.解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-'-= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dxdt t dt d dx dy dx d dx y d ⋅==)2(cot )(22 22)cos 1(1)cos 1(12sin 21t a t a t --=-⋅-= (t ≠2n π, n 为整数).三、相关变化率设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dtdx 与dt dy 间也存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率.例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则500tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得dtdh dt d ⋅=⋅5001sec 2αα. 已知140=dtdh (米/秒). 又当h =500(米)时, tan α=1, sec 2 α=2. 代入上式得 14050012⋅=dt d α, 所以 14.050070==dt d α(弧度/秒). 即观察员视线的仰角增加率是每秒0. 14弧度.小结：本节讲述了隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，利用取对数的方法解决了幂指函数的求导问题.思考：对幂指数函数()()(()0)v x y u x u x => 你有几种求导方法？ 作业：见习题册。
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x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
dx 50 ，求 时的 d 。
dt
3
dt
10
1.2 导数的计算
x 500cot , dx 500( csc2 ) d ,
（2）将关系式 F( x, y, ) 0 两边对 t 求导（注意到 x, y, 都是 t 的函数），从而得各变量对 t 的变 化率之间的关系式；
（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并 求出所要求的变化率。
9
1.2 导数的计算
例 1．一架直升飞机在 500m 高空，以 50 m / s 的均
2
1.2 导数的计算
定理
设有参数方程
x y
f
(t) (t)
, t I ，如果函数 x
(t) ，
y f (t) 在区间 I 上均可导且(t) 0 ， 又 x (t) 存在
dy 反函数 t 1( x) ，则 dy dt f (t) 。
dx dx (t)
dt
注意：参数式函数的导数仍是一个用参数方程表示的函数
dy dx
t 2
1，
故切线方程为 y a x a( 1) ，即 x y a(2 ) 0 。
2
2
6
1.2 导数的计算
例 3．求三叶玫瑰线 a sin 3
(a 为正常数) 在对应
4
的点处的切线方程。
解：利用直角坐标与极坐标间的关系，将所给极坐标方程
化为参数方程：
a
x ( )cos a sin 3 cos
dt
dt
d 1 sin2 dx ,
dt 500
dt
当 时， sin 3 ， dx 50m / s ，代入上式得
3
2 dt
d
dt
3
0.075 .
负号表示 随时间 t 增加而减少。
11
1.2 导数的计算
例 2．在中午 12 点，甲船以 6 km / h 的速度向东行驶，乙船 在甲船之北16km 处以 8 km / h的速率向南行驶，求下午 1 点 两船相离的速率。
y
( )sin
a sin 3
sin
dy
dy dx
d
dx
a(3cos 3 sin sin 3 cos ) , a(3cos 3 cos sin 3 sin )
d，切点 M ( a , a ) ，
2
22
∴切线方程为
y
a 2
1 2
(x
a )
2
，即
x
2y
a 2
0。
7
1.2 导数的计算
6. 相关变化率问题 相关变化率问题 是指：在某一变化过程中变量
x, y, ，它们都与变量 t 有关，且它们之间有关系式 F( x, y, ) 0 ，知道了其中一些变量对 t 的变化率， 要求另外一些变量对 t 的变化率。
8
1.2 导数的计算
求相关变化率的步骤 ：
（1）建立变量 x, y, 之间的关系式 F( x, y, ) 0 ；
14 (km / h) ， 5
负号表示甲乙两船的距离在减少。
13
dt
12
1.2 导数的计算
于是方程两边 s2(t) x2(t) (16 y(t))2 对 t 求导得：
2s ds 2x dx 2(16 y) dy ,
dt
dt
dt
∵当 t 1时， x 6， y 8 ，
∴ s 62 (16 8)2 10 ，
∴ ds dt
t 1
36 64 10
5
1.2 导数的计算
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
dy 解： dy dt a sin t sin t ，
dx dx a(1 cos t) 1 cos t
dt
当 t 时，摆线上相应的点为 M (a( 1), a) ，
2
2
摆线在点 M 处的切线斜率为 k
4 的点处的切线方程。
x2y a 0 2
4
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
dy
1
解
： dy dx
dt dx
dt
1t2
1
1
2t t
2
(1
1 t
)2
。
dx
dx dt
1
1
2t t
2
(1 t)2 。
dy dy
1
dt 1 t 2