高二数学选修1、3-1-1变化率问题与导数的概念
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
人教A版高中数学选修1-1 3-1-1 变化率和导数的概念 素
变化率和导数的概念---------学习要点1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)意义：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率，如图所示．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率3．导数的概念例1、求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？解析： 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ； 在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ； 在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx ；若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193， 由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．类题通法：求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0.(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0. 要点2：求瞬时速度例2、一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．解析：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ，0lim t ∆→Δs Δt ＝0lim t ∆→(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， 0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.类题通法：1．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．(2)求平均速度v ＝Δs Δt； (3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于常数v ，即为瞬时速度． 2．求Δy Δx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算；(2)求出Δy Δx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．要点3：求函数在某点处的导数例3、 (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3，①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy Δt； ②求t 1＝4时的导数．解析： (1)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 0lim t ∆→11＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12. 答案：(1)12(2)解：①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481201，Δy Δt＝48.120 1. ②0lim t ∆→Δy Δt ＝0lim t ∆→[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48，即y ′|t 1＝4＝48.类题通法：1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)求极限0lim x ∆→Δy Δx. 2．瞬时变化率的变形形式0limx ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝0limx ∆→f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0)．。
高中数学选修1-1精品课件2：3.1.1 变化率问题
[点评] 瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值．因此， 要求瞬时速度，应先求出平均速度．
(2012～2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运
动方程是 S＝－4t2＋16t(S 的单位为 m；t 的单位为 s)，则该物
体在 t＝2s 时的瞬时速度为( )
A．3m/s
B．2m/s
C．1m/s
题目类型二、瞬时变化率
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高 度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝(v0 －gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
题目类型一 平均变化率
[例 1] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并 计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化 率为fx0Δ＋xΔx＝x0＋ΔΔxx3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
3．瞬时变化率、瞬时速度
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
4．一般地，如果物体的运动规律是 s＝s(t)，那么物体在
时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内，当 Δt→0
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
1．在高台跳水运动中，运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位
高二人教A版数学选修1-1同步课件3-1-1变化率问题与导数的概念
第三十四页，编辑于星期一：点 四十七分。
[辨析] 错误的原因是由于对导数的定义理解不清，函 数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0 ＝－Δx.
[正解] ∵f(x)在 x0 可导，
∴Δlixm→0
f(x0－Δx)－f(x0) Δx
＝－－lΔimx→0
f(x0－Δx)－f(x0) －Δx
[例 2] 以初速度 v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的 高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度．
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝ (v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
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●课程目标 1．双基目标 (1)通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化 率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
(3)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝1x的导数．
第五页，编辑于星期一：点 四十七分。
●重点难点 本章重点：导数的运算和利用导数解决实际问题． 本章难点：导数概念的理解． ●学法探究 导数是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题 的有力工具．学习本章要认真理解平均变化率、瞬时速度的 概念，进一步理解导数的概念和导函数的定义，掌握导数的 几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则，通过具体实例，认识导数的工具性及其与实际问题的 联系，感受导数在解题中的作用，充分体会数形结合思想、 分类讨论思想、等价转化思想及理论联系实际的思想方法．
人教版·选修1-1 §3.1.1 变化率问题
3V 如果将半径r表示为体积V的函数, 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) = 4π
3
3
我们来分析一下: 我们来分析一下:
增加到1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) − r (0) ≈ 0.62(dm) r (1) − r (0) ≈ 0.62( dm / L ) 气球的平均膨胀率 膨胀率为 气球的平均膨胀率为 1− 0 增加到2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 显然
r (2) − r (1) ≈ 0.16(dm) 0.62>0.16 气球的平均膨胀率 膨胀率为 气球的平均膨胀率为 r (2) − r (1) ≈ 0.16 ( dm / L ) 2 −1
当空气容量从V 增加到V 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨 胀率是多少? 胀率是多少?
思考? 思考
r(V ) − r(V ) 2 1 V −V 2 1
问题2 问题 高台跳水问题
在高台跳水运动中, 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 h(单位 单位： 与起跳后的时间t 单位： 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系： h(t)=存在函数关系： h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? 描述其运动状态?
5、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，是一 、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化” 种粗略的刻画--------导数 --------导数
作业
1.过曲线y=f(x)=x3上两点P 1.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy) 过曲线y=f(x)=x3上两点 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. Δx=0.1时割线的斜率 作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
人教A版高中数学选修1-1 3.1.1 变化率和导数的概念 教案
3.1.1 变化率和导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：（1）通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；（2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求具体简单函数的平均变化率和某点的瞬时变化率；2. 过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会“逼近”的思想方法；3. 情态与价值观经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
体会数学概念形成的“归纳—演绎”的模式。
二、教学重点.难点重点：导数的概念；难点：导数的概念；三、学情分析学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在两年多的时间里从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．四、教学方法通过观察.类比.思考.交流和讨论等.五、教学过程新课引入利用幻灯片展示微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接关系。
导数是微积分的核心概念之一。
它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）等问题最一般、最有效的工具，也是解决运动、速度、等实际问题的最有力的工具。
引出学习本章的意义及重要性。
设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为新课程的自然引入提供契机。
六、自主学习1、曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0，∴xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f k PQ ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
人教版高中数学选修1-1-3.1 变化率与导数 3.1.3ppt课件
知识点2 导函数的概念 观察图形,回答下列问题:
问题:导函数f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?
【总结提升】
导函数的相关概念
(1)函数在一点处的导数f′(x0),就是在该点处函数值的改变量与自 变量的改变量之比的极限值,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函
(4)根据斜率相等求得x0,然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程. (6)将切线方程化为一般式.
【变式训练】求曲线f(x)= 2 在点(-2,-1)处的切线的方程.
x 【解析】由于点(-2,-1)恰好在曲线f(x)= 上2 ,所以曲线在点(-2,-1)
处的切线的斜率就等于函数f(x)= Nhomakorabea 在点(-2x ,-1)处的导数.
【补偿训练】如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,那么 曲线与切线相切的切点坐标为 ( ) A.(1,-8) B.(-1,-12) C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8)
【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0), 则y0=x03+x0-10的切线斜率为k=
1 2
【解析】(1)选A.因为y′|x=1= lima(1x)2a12
x0
x
＝ lim2axa((2xa)2+＝ alΔim x)=2a,
所以x 20a=2,所x以a=1.x 0
(2)由导数的几何意义可知k1,k2分别为曲线在A,B处切线的斜率,而
k3=f(2)-f(1)= f 2 f为（1直）线AB的斜率,
所以切线的方程为y=x-1.
即x-y-1=0.
【方法技巧】过曲线上一点求切线方程的三个步骤
人教A版高中数学选修1-1课件：3-1变化率与导数 第1课时
议一议:根据 《问题情境》 ,设运动员相对于水面的高度 h(单位:m) 与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10,求当 t=2 s 时运动员的瞬时速度. (指定小组回答,其他组补充)
【解析】在 t∈[2,2+Δt]这段时间里,运动员的平均速度为
ℎ(2+Δ������ )-ℎ(2)
知识点 导数的概 念 导数的运 算
新课程标准的要求 层次要求 1.了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义,了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 1 1.理解导数的定义,能根据导数的定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= x的导
x
领域目标要求 通过导数及其应用的 教学,使学生经历由平均 变化率到瞬时变化率刻画 现实问题的过程,理解导 数的概念,体会导数的思 想及其内涵;掌握导数在 研究函数的单调性、极值 等性质中的作用;使学生 感受导数在解决数学问题 和实际问题中的作用,提 高学生运用导数的知识和 函数的思想分析、解决数 学问题与实际问题的能力
������ ������
就趋于一个常数,这个常数
即为函数在 x0 处的瞬时变化率,它是一个固定值.
预学 4:导数的概念 函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率的定义:一般地,函数 y=f(x)在
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、曲线切线 的斜率等),掌握函数在某点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导 函数的概念. 2.熟记基本导数公式(c,xn(n 为有理数),sin x,cos x,ex,ax,ln x,logax 的导数),掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,会求某些简 单函数的导数. 本章中导数的概念,求导运算,函数的单调性、极值和最值是重点知 识,其基础是求导运算,而熟记基本导数公式和函数的求导法则又是正 确进行导数运算的基础,复习中要引起重视.
人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。 关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段 时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员 运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原 油温度大约以3 0C/H的速 度降落；在第6(h)附近， 原油温度大约以5 0C/H的
数学：选修1-1人教版精品课件3.1.1变化率与导数
解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
8
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1 中，平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx) －1＝2Δx＋(Δx) ， Δy ∴ ＝2＋Δx.y′|x＝1＝ lim (2＋Δx)＝2. Δx Δx→0
2
2
13
14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx fx2－fx1 Δy ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时， ＝ Δx x2－x1 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
24
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 1 率；并计算当 Δx＝ 时，平均变化率的值． 2
[ 解 ] 因为 Δy＝ 2×(2 ＋ Δx) ＋ 5 － (2×2 ＋ 5)＝ 8Δx ＋ Δy 2 2(Δx) ，所以平均变化率为 ＝8＋2Δx. Δx 1 1 当 Δx＝ 时，平均变化率的值为 8＋2× ＝9. 2 2
18
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0， fx－fx0 于是 f′(x0)＝ lim x x0 x－x0 fx0＋Δx－fx0 与定义中的 f′(x0)＝ lim 意义相同. Δx Δx→0
19
函数的平均变化率 2 例 1 已知函数 f(x)＝2x ＋3x－5. Δy (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； Δy (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率Δx； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
(人教)2015高中数学选修1-1【精品课件】3-1 变化率与导数
(2)已知函数 f(x)=3x,则 f'(x)= 提示:3
.
3.1
目标导航
变化率与导数
预习导引
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
3.导数的意义 (1)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k= lim
学习 目标
3.1
目标导导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
1.函数的平均变化率及其意义 (1)平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1). (2)几何意义: 平均变化率的几何意义是表示函数 y=f(x)图象上割线 P1P2 的斜率 (其中 P1(x1,f(x1)), P2(x2,f(x2)),即 ������������1 ������2 =
y=f(x)在 x=x0 处的导数,
记作 f'(x0)或 y'|������ =������ ,即 f'(x0)= lim
0
= lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) . Δ������ Δ������ →0
(2)当 x 变化时,f'(x)是 x 的一个函数,我们称 y=f'(x)为 f(x)的导函数 (简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作 y',即 f'(x)=y'= lim
������(������+Δ������)-������(������) . Δ������ Δ������ →0
高二数学人教A版选修1-1课件：3.1 变化率与导数
迁移应用
二、导数概念的理解与运用
(1)函数在某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率.函数在某点处的导数的概念包含两层含义:
①若 lim Δ ������ →0
������������yx存在,则称
f(x)在
x=x0
处可导并且导数即为极限值;
②若 ������������������ ������x →0
则 f'(x0)=x0+2.
由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2 s时的瞬时速度是( ) A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s 答案:C
������ ������
=
3Δ������+Δ���1���2+ΔΔ������������=3+1+2Δ������,
∴ lim Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
3
+
2 1+������
=5,
∴f'(1)=5.
一 二三
=
(3+������)2-32 ������
=
6Δ������+Δ���(���Δ������)2=6+Δx.
∴k1<取k2<kΔ3.∴x函=数13y时 =x2,在k1x==3附2+近13的平=均73变,k化2率=最4大+.13 = 133,k3=6+13 = 139,
高中数学3-1-1～3-1-2变化率问题导数的概念课件新人教A版选修
(6)了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究 函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． (7)了解函数在某点取得以 及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小 值． (8)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题， 体会导数在解决实际问题中的作用．
2．命题趋势 由近三年的高考题的统计分析可知，本章内容在高考 中常以填空题和选择题为主要题型．主要考查：导数的概念 和切线方程．试题以中低档为主，预测在今后的高考中，以 导数的几何意义为背景，设置成导数与解析几何的综合题， 更应重视导数在实际问题中的应用．
3．应试对策 (1)导数的概念、导数公式及求导法则是本章的一个重 点，熟练记忆这些知识是正确进行导数运算的基础，学习时 一定要引起重视． (2)利用导数求函数的单调区间、极值、最值是本章的又 一重点内容，导数作为一种工具在研究函数的变化率、解决 函数单调性、求函数最值等方面有重要作用，在学习中要深 刻体会利用导数解决实际问题的思想方法．
第三章 导数及其应用
课 标 研 读
1.考纲要求 (1)了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内 涵． (2)通过函数图像直观地理解导数的几何意义． (3)能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ 1 x ，y＝ x，y＝ x的导数．
3
(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四 则运算法则求简单函数的导数． (5)会使用导数公式表．
(3)要有意识解答一些导数与解析几何、函数单调性、函 数极值、最值、方程、不等式、代数不等式的证明等知识交 汇的综合题，提高综合解题的能力．
3． 1
变化率与导数
3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念
预习导航
(学生用书P48)
人教高中数学选修1-1课件：3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
D.f′(x0)=b
【解析】选C. y f (x0 x) f (x0) a bgx，
x
x
f′(x0)= lim y lim (a bgx) a.
x x0
x0
3.已知函数f(x)= 1， 则 f ( 2 ) =
.
x
2
【解析】 f (
2 ) lim f (
2 x) f ( 2 )
或 y |x＝x0
lim f (x0 x) f (x0)＝lim y
x0
x
x0 x
【对点训练】
1.已知函数f(x)=20x-19,则表达式 lim f (3 x) f (3)
的值为 ( )
x0
x
A.3
B.Δx
C.3+Δx D.20
【解析】选D.因为 lim f (3 x) f (3)
【对点训练】
1.函数y=x3在 [0，1] 上的变化率为A,在[1，2]上的变化 率为B,则 A 的值2 为 ( )
B
A.28 B. 1
C. 7 D. 4
28
4
7
【解析】选B.因为
A
(1)3 2
0
1，B
23
1
7，
所以 A 1 .
10 4
2 1
2
B 28
2.质点运动规律s=t2+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的
v h(0.5) h(0) 4.05（m / s）.
在1≤t0≤.52这0 段时间里的平均速度是
=-8.2(m/s).
v h(2) h(1) 2 1
结论:平均变化率概念
我们把式子__f(_x_2 )__f_(_x1_)_称为函数y=f(x)从__到__的平
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3.1.1变化率问题与导数的概念
一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()
A．Δx＜0B．Δx＞0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
[答案] D
[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.
2．函数在某一点的导数是()
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．
3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1
x
中，平均变化率
最大的是()
A．④B．③
C．②D．①
[答案] B
[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.
4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()
A．4＋4t0B．0
C．8t0＋4 D．4t0＋4t20
[答案] C
[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，
Δs
Δt
＝4Δt＋4＋8t0，
lim Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.
5．函数y＝x＋1
x
在x＝1处的导数是()
A．2 B.5 2
C．1 D．0
[答案] D
[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1
， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1
， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭
⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x
在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)·Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D
[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．
7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7 [答案] B
[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22
Δt
＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt
＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关
B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关
C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关
D ．与x 0，Δx 均无关
[答案] B
[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．
9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )
A ．f ′(x )＝a
B ．f ′(x )＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b [答案] C
[解析]∵f′(x0)＝lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
＝lim
Δx→0aΔx＋b(Δx)2
Δx
＝lim
Δx→0
(a＋bΔx)＝a.
∴f′(x0)＝a.
10．f(x)在x＝a处可导，则lim
h→0f(a＋3h)－f(a－h)
2h
等于()
A．f′(a) B.1
2
f′(a)
C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D
[解析]lim
h→0f(a＋3h)－f(a－h)
2h
＝lim
h→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)
2h
＝3
2
lim
h→0
f(a＋3h)－f(a)
3h
＋
1
2
lim
h→0
f(a)－f(a－h)
h
＝3
2
f′(a)＋
1
2
f′(a)＝2f′(a)．
二、填空题
11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则lim
Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)
Δx
＝________.
[答案]8
[解析]lim
Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)
Δx
＝2lim
Δx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)
2Δx
＝2f′(x0)＝8.
12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
[答案]相等
[解析]v0＝lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
s(t0＋Δt)－s(t0)
Δt
＝lim
Δt→0v(t0＋Δt)－v t0
Δt
＝lim
Δt→0
v·Δt
Δt
＝v.
13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．
[答案]必要不充分
[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．
14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在
t ＝5时的瞬时速度为______．
[答案] 10m/s
[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0
S (5＋Δx )－S (5)Δx
lim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)． 三、解答题
15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12
gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；
(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．
[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12
g (6＋Δt )Δt ，
相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；
当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .
Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．
(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt
＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0
f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h
＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h
＝A ＋2A ＝3A .
17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．
[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，
Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1
， 所以lim Δx →0 1
1＋Δx ＋1＝12， 即y ′|x ＝1＝12
. 解法二：(导函数的函数值法)
Δy ＝x ＋Δx －x ，
Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x
. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x
， 故y ′|x ＝1＝12
. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，
(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．
[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.
由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD
， 即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14
x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .
∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．
Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720
Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720
.。