2015-2017三角函数高考真题教师版
【中小学资料】三年高考(2015-2017)高考数学试题分项版解析 专题09 三角恒等变换与求值 理
专题09 三角恒等变换与求值1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( ) （A）2-（B）2（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C 【解析】 由已知，3co s(10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33costan sin1010tan cossin55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015陕西理6】“sin cos αα=”是“cos20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是的充分条件，是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化 5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
(老师)三角函数历年高考题
2008年高考命题走势（四） 近年的“三角函数”考到怎样难度三角函数的考查形式与特点主要有：一、客观题重基础，有关三角函数的小题其考查重点是三角函数的概念、图象与图象变换、定义域与值域、三角函数的性质和三角函数的化简与求值.【例1】 （2007年四川）下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））解答：①4422sin cos sin cos 2y x x x x cos x =-=-=-，正确；②错误；③sin y x =，tan y x =和y x =在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.【例2】（2007年安徽）函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ：① 图象C 关于直线π1211=x 对称;② ②函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数; ③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中正确论断的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解答 C ①图象C 关于直线232x k πππ-=+对称，当k =1时，图象C 关于π1211=x 对称；①正确；②x ∈)12π5,12π(-时，23x π-∈(－2π，2π)，∴ 函数)(x f 在区间)12π5,12π(-内是增函数；②正确；③由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin(2)3y x π=-，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有2个，选C.【点评】 本题主要考查了三角函数的图象和性质及三角函数图象的平移变换.二、解答题重技能.三角函数解答题是高考命题的常考常新的基础性题型，其命题热点是章节内部的三角函数求值问题；命题的亮点是跨章节的学科综合命题. 【例3】 （2007年安徽）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期， 1tan 1(cos 2)4αβα⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，a b ，且a ·b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．解答：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ab ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·．由于π04α<<，所以222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·．【点评】 本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．属于三角函数求值问题.本类问题一般有三种形式：①给式求值，②给值求值，③给值求角.其一般解法是：将角化为特殊角或将三角函数化为同角、同名函数进行合并与化简，最后求出三角函数的值来. 【例4】 （2007年天津）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．解答：（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭．因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫=⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如下：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【点评】 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．三、考应用融入三角形之中.解三角形题目既考查三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能.【例5】 （2007年四川）如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的 三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2， 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长 是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212解答：D 因为l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线， l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，所以过A 作 l 2的垂线，交l 2、l 3分别于点D 、E ，如图，则∠BAD = ∠BAC +∠CAE ，即∠BAD =60°+∠CAE ,记正三角形ABC 的边长为a ,两边取余弦得：CAE CAE asin 60sin cos 60cos 1︒-︒=，即aaaa223233211-⨯-⨯=x整理得3212,,1)9(32==-a a 解之得，故选D.【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.【例6】 （2007年全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=．2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，． 【点评】 (1)问考查正弦定理的简单应用，当属容易题，（2）问主要考查了三角函数两角和与差的正余弦公式应用，但题干中△ABC 为锐角三角形是不可忽略的条件，必须在分析题目时引起足够的重视.四、综合体现三角函数的工具性作用.虽然工具性作用有所减弱，但是对它的考查还会存在.这是由于近年高考出题突出以能力立意，加强了对知识的应用性地考查经常在知识的交汇点处出题.【例7】 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行， 乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于 甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结11A B，由已知22A B =122060A A ==，1221A A A B ∴=，又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212A B A A ∴==，由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22202202=+-⨯⨯200=．12B B ∴=6020=（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，122060A A ==，112105B A A =∠，cos105cos(4560)=+cos 45cos 60sin 45sin 60=-4-=，sin 105sin(4560)=+sin 45cos 60cos 45sin 60=+1A2A1A2A乙4=在211A A B △中，由余弦定理，22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-22202204-=+-⨯⨯100(4=+．1110(1A B ∴=+．由正弦定理1112111222sin sin 42A B A A B B A A A B +===∠∠，12145A A B ∴=∠，即121604515B A B =-=∠，cos 15sin 1054==．在112B A B △中，由已知12A B =，由余弦定理，22212112221222cos 15B B A B A B A B A B =++22210(1210(14+=++-⨯+⨯200=．12B B ∴=6020=/小时．答：乙船每小时航行海里．【点评】 本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理的应用，等边三角形的判定.求解本类问题时应按照由易到难的顺序来求解，最重要的是首先要对图形进行有效分割，便于运用正、余弦定理.由于近年高考题突出以能力立意，加强对知识和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处出题.用三角函数作工具解答应用性问题虽然是高考命题的一个冷点，但在备考时也需要我们去关注.【例8】 已知函数2222()2()21tf x xt x x x t =-++++，1()(2g x f x =（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数； （III ）证明：3()2f x ≥解答：(Ⅰ)证明：由题设得.12)(,)1()(22+-='++-=x x x x te e x g x e t e x g又由x x e e -+2≥22,且t ＜22得t ＜xx e e -+2，即12)(2+-='xxte ex g ＞0由此可知，)(x g 为R 上的增函数(Ⅱ)证法一：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得12)(2+-='x xte ex g ＜0，即t ＞xx ee -+2在闭区间[a ,b ]上成立即可因此y =xx e e -+2在闭区间[a ,b ]上连续，故在闭区[a ,b ]上有最大值，设其为k ，t ＞k 时, )(x g '＜0在闭区间[a ,b ]上恒成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数证法二：因为)(x g '＜0是)(x g 为减函数的充分条件，所以只要找到实数k ，使得t ＞k 时12)(2+-='xxte ex g ＜0，在闭区间[a ,b ]上成立即可令,xe m =则)(x g '＜0(],[b a x ∈)当且仅当122+-tm m ＜0(],[ba e e m ∈)而上式成立只需⎩⎨⎧+-+-,012,01222 b b a a te e te e 即⎩⎨⎧++--bb aa ee t e e t 22 成立 取a a e e -+2与bb e e -+2中较大者记为k ，易知当t ＞k 时，)(x g '＜0在闭区[a ,b ]成立，即)(x g 在闭区间[a ,b ]上为减函数(Ⅲ)证法一：设即,1)(22)(222++++-=x et x e t t F xx,1)(21)2(2)(22+-++-=x e x e t t F x x易得)(t F ≥1)(212+-x e x令,)(x e x H x -=则,)(x e x H x-='易知0)0(='H 当x ＞0时, )(x H '＞0;当x ＜0,)(x H ' ＜0故当x =0时，)(x H 取最小值，1)0(=H 所以1)(212+-x e x ≥23，于是对任意x 、t ，有)(t F ≥23，即)(x f 3证法二：设)(t F =,1)(22222++++-x e t x e t x x)(t F ≥23，当且仅当21)(22222-+++-x e t x e txx≥0只需证明)21(42)(4222--⨯-+x ex e xx≤0，即2)(x e x -≥1以下同证法一证法三：设)(t F =1)(22222++++-x e t x e t x x ，则).(24)(x e t t F x+-='易得.0)2(=+'x e F x当t ＞2x e x+时, )(t F '＞0; t ＜2x e x+时, )(t F '＜0，故当t =2xe)(t F 取最小值.1)(212+-x e x即)(t F ≥.1)(212+-x e x以下同证法一证法四: )(x f 1)()(22+-+-=t x t e x设点A 、B 的坐标分别为),(),(t t 、e x x，易知点B 在直线y =x 上，令点A 到直线y =离为d ，则)(x f 1||2+=AB ≥.1)(21122+-=+x e d x以下同证法一【点评】 本题是辽宁卷的压轴题，在三角函数，导数，最值，不等式恒成立的有关问题的交汇处命题，真正体现了从整体的高度和思维价值的高度上设计试题的宗旨，注重了学科的内在联系和知识的综合性.。
专题11 解三角形—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】试题分析：所以，选A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 2.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A B （C ）-（D ）- 【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222cos2AB AC BC A AB AC +-==⋅，故选C ． 考点：余弦定理．3.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ,BC=3，120C ∠= ,则AC = （）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A 【解析】试题分析：由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．4.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．【解析】试题分析：取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 4DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△．又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=综上可得，△BCD cos BDC ∠=．【考点】解三角形5.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.6.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是. 【答案】8.【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识7.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是.【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE ，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B =∠BFC =75°，∠FCB =30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF 所以AB 的取值范围，.【考点定位】正余弦定理；数形结合思想8.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b =． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=， 所以sin 21sin 13a Bb A ==.考点：三角函数和差公式，正弦定理.能用到。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题10三角函数图象与性质理20171102345
专题10 三角函数图象与性质1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2πB．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】试题分析：因为C C函数名不同，所以先将1,2C利用诱导公式转化成与C相同的函数名，则2122C:y sin(2x )cos(2x)cos(2x )，则由C上各点的横坐标缩短到原213326 1来的个单位得到倍变为y sin2x，再将曲线向左平移C，故选D.2 212【考点】三角函数图像变换.2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x= 83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】1试题分析：函数的最小正周期为 T2，则函数的周期为 T2k kZ ，取21k，可得函数 fx 的一个周期为2 ，选项 A 正确；1函数的对称轴为，即：xk k ZxkkZ ，取 k3可得 y =f (x )的图像33关于直线 x = 83对称，选项 B 正确；coscos f xx x3 3，函数的零点满足x kkZ ，32即x kk Z，取 k0 可得 f (x +π)的一个零点为x =66，选项 C 正确；当 x ,2时， x5 4 ,3 63，函数在该区间内不单调，选项 D 错误；故选 D . 【考点】函数 yA cos x的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y ＝Asin (ωx ＋φ)或 y ＝Acos (ωx ＋φ)的形式，则最小 正周期为T 2；奇偶性的判断关键是解析式是否为 y＝Asinωx 或 y ＝Acosωx ＋b 的形式.(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令xkk Z，求x；求f(x)2的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.3.【2017天津，理7】设函数f(x)2sin(x )，x R ，其中0，||.若(5)2，f8f，且f(x)的最小正周期大于2，则()08（A）2，3（B）2，123（C）1，123（D）241，324【答案】A2【名师点睛】有关 y A sin(x ) 问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 A ，再根据周期或 1 2周期或 1 4周期求出 ，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量， 题型很活，求或 的值或最值或范围等.4.【2016高考新课标 1卷】已知函数 f (x ) sin(x+)(0，), x为 f (x ) 的 24零点, x为 y f (x ) 图像的对称轴,且 f (x ) 在5， 单调,则 的最大值为( )418 36（A ）11 （B ）9（C ）7（D ）5【答案】B 【解析】试 题 分 析 ： 因 为xT( )4 4 4k T ,即为 f (x ) 的 零 点 ,x 为 f (x ) 图 像 的 对 称 轴 ,所以4 4 4k 1 4k 1 2 T ,所以 4k 1(k N *),又因为 f (x ) 2 4 45 在 ,18 36单调,所以5 T 2,即 12,由此 的最大值为 9.故选 B. 36 18 12 2 2考点：三角函数的性质5.【2016年高考四川理数】为了得到函数πy sin(2x)的图象，只需把函数y sin 2x的3图象上所有的点( )3（A ）向左平行移动 （C ）向左平行移动π 3π6 π个单位长度（B ）向右平行移动 个单位长度3π 个单位长度 （D ）向右平行移动 个单位长度6【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数 ysin(2x ) sin[2(x )]，只需把函数 ysin 2x3 6的图像上所有点向右移 个单位，故选 D.6考点：三角函数图像的平移.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数 f (x ) A sin(ωx φ)的图象平移变换中要注意人“ ω ”的影响，变换有两种顺序：一种 ysin x 的图象向左平移个单位得yx φ ，再把横坐标变为原来的 1 sin()倍，纵坐标不变，得 ysin(ωx φ) 的图象，另一ω种是把 ysin x 的图象横坐标变为原来的 1倍，纵坐标不变，得 ysin ωx 的图象，向左平ωφ移个单位得 ysin(ωx φ) 的图象．ω6.【2015高考山东，理 3】要得到函数 ysin 4x 的图象，只需要将函数 ysin 4x 的3图象（）（A ）向左平移12个单位 （B ）向右平移12个单位 （C ）向左平移 3个单位（D ）向右平移3个单位【答案】B【解析】因为 ysin4xsin 4 x312，所以要得到函数 sin 4y x 3的图象， 只需将函数 ysin 4x 的图象向右平移12个单位.故选 B.【考点定位】三角函数的图象变换.7.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数4y 3sin( x ) k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（）6A ． 5B ． 6C ． 8D ．10【答案】C【解析】由图象知：y min2 ，因为yk ，所以 3 k 2 ，解得： k5 ，所以这min 3 段时间水深的最大值是y max3k35 8 ，故选 C ．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要 字眼“最大值”，否则很容易出现 错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin x1时， y 取得最小值，进而求出的值，当6sin x1时， y 取得最大值． 68.【2016高考新课标 2理数】若将函数 y 2 s in 2x 的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）kk（A ） x (k Z ) （B ） x(kZ ) 26 26k k（C ） x (k Z ) （D ） x(kZ )2 122 12【答案】B 【解析】【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx5加减多少值．9.【2015高考新课标 1，理 8】函数 f (x ) =cos(x ) 的部分图像如图所示，则 f (x ) 的单调递减区间为( )13 (A)( , ),kkk Zkkk Z (B)(21 ,23 ),4 4 44(C)( , ), kkk Zk 1 k 3 kZ (D)(21 ,23 ), 444 4【答案】D1+42【解析】由五点作图知， 5 3+ 4 2，解得= ，= ，所以 f (x ) cos( x ) ， 4 4令 2kx 2k ,k Z，解得 2k 1 ＜＜ 2 3k， k Z ，故单调减区间为4 4 41（2k， 2 3k）， k Z ，故选 D.44【考点定位】三角函数图像与性质10.【2016高考浙江理数】设函数f(x)sin2x b sin x c，则f(x)的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：()sin2sin1cos2x sin cos2x sin1f x x b x c b x c b x c，2226其中当 b0 时， ( )cos 2x1f x c ，此时周期是；当 b 0 时，周期为 2 ，而不2 2影响周期．故选 B ．考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期． 【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数 f x，再判断和的取值是否影响函数 fx的最小正周期．11.【2016年高考北京理数】将函数 ysin(2x ) 图象上的点 ( , ) 向左平移（ s 0 ）P t3 4 个单位长度得到点 P '，若 P '位于函数 ysin 2x 的图象上，则（）1A.t ，的最小值为263B.t，的最小值为2 61C.t ，的最小值为233D.t，的最小值为23【答案】A 【解析】，故此时 P '所对应的点为 ( , 1)1试题分析：由题意得，，此时向左平t sin(2) 4 3 212 2移 -个单位，故选 A.4 12 6考点：三角函数图象平移12.【2016高考山东理数】函数 f （x ）=（ 3 sin x +cos x ）（ 3 cos x –sin x ）的最小正周期 是（） π （A ）2（B ）π （C ）3π 2（D ）2π【答案】B【解析】,故最小正周期f x x xx试题分析：2s in2cos2s in26637T2,故选B.2考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函 数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步 讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 13.【2015高考安徽，理 10】已知函数 fx Asin x（A ， ， 均为正的常数）的最小正周期为，当2x时，函数 fx取得最小值，则下列结论正确的是（）3（A ） f2 f2 f0（B ） f0 f2 f2 （C ） f2ff2（D ） f2ff2【答案】A【解析】由题意， fx Asin x(A0,0, 0) ， 2 2T，所以 | |，则 fx Asin 2x，而当2 2xk kZ ，时， 2 23 2, 3 32解得2k ,k Z f xxA，所以sin 2 ( 0)A66，则当 2x2k ，62即 xk ,k Z时， f (x ) 取得最大值.要比较 f2, f2, f0的大小，只需判6断 2,2,0 与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知 0,2 与比较6近 ，2与 5比 较 近 ， 所 以 ， 当 k0 时 ，， 此 时 | 0|A 0.52 ，x666， 此 时 | 2 ( 5 ) | 0.6| 2| 1.47 xA ， 所 以A ， 当 k1时 ，5666f (2) f (2) f (0)，故选 A.【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.814.【2015湖南理 2】将函数 f (x ) sin 2x 的图像向右平移(0) 个单位后得到函数2g (x ) 的图像，若对满足 f (x ) g (x )2 的 x ， x ，有 xx，则（）121212 min35A.B.C.D.123 46【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到 g (x ) sin(2x 2)，又∵| ( 1) g (x ) | 2f x ，∴不2妨2 1，x2x 22 ， ∴k 2mx， 又 ∵21 x(k m )22 22x x ， 12 min 3∴，故选 D.236 【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以f (x ) A sin(x) 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 15.【2016高考江苏卷】定义在区间[0, 3 ]上的函数 y sin 2x 的图象与 y cos x 的图象的交点个数是.【答案】71【 解 析 】 由sin 2x cos x cos x 0或sin x ， 因 为 x[0, 3 ]， 所 以23551317x,,,,,,,共7个2226666考点：三角函数图像【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.16.【2016高考新课标3理数】函数y sin x3cos x的图像可由函数y sin x3cos x9的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3【解析】试题分析：因为y sin x3cos x2sin(x)，y sin x3cos x2sin(x)＝332sin[(x)]，所以函数y sin x3cos x的图像可由函数y sin x3cos x的图33个单位长度得到．像至少向右平移3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．17.【2015高考湖北，理12】函数()4cos2cos(π)2sin|ln(1)|f x x x x的零点个数为．x22【答案】2【解析】因为()4cos2cos(π)2sin|ln(1)|f x x x xx222(1cos x)sin x2s in x|ln(x1)|sin2x|ln(x1)|所以函数f(x)的零点个数为函数y sin2x与y|ln(x1)|图象的交点的个数，函数y sin2x与y|ln(x1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。
专题02 函数—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)
–m
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A．与 a 有关，且与 b 有关
B．与 a 有关，但与 b 无关
C．与 a 无关，且与 b 无关
D．与 a 无关，但与 b 有关
4.【2017 北京，文 5】已知函数 f (x) 3x (1)x ，则 f (x) 3
（A）是偶函数，且在 R 上是增函数
A. f
(x)
1 x2
B. f (x) x2 1 C. f (x) x3
D. f (x) 2x
10. 【2016 高考新课标 2 文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y=10lgx 的定义域
和值域相同的是（ ）
（A）y=x
（B）y=lgx
（C）y=2x
（D） y 1 x
11. 【2016 高考新课标 2 文数】已知函数 f(x)（x∈R）满足 f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与
m
y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，„，（xm,ym），则 xi = （ ） i 1
(A)0
(B)m
(C) 2m
(D) 4m
12. 【2014 山东.文 3】 函数 f (x)
1
的定义域为（ ）
log 2 x 1
A. (0, 2)
B. (0, 2] C. (2,)
D. [2, )
A ． y x2 sin x
B ． y x2 cos x
C ． y ln x
D． y 2x
6. 【2014 高考广东卷.文.5】下列函数为奇函数的是( )
A.
2x
1 2x
B. x3 sin x
D. x2 2x
专题09-三角恒等变换与求值—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A）B（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
2015-2017三角函数高考真题教师版
12015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 . 【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BEAD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得BF=AB的取值范围为（，.考点：正余弦定理；数形结合思想 4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）2【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． （Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2A B D A D CS S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】BD P CB OAx3考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II）若c ABC =∆求ABC 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ26Z k x k =+∈4故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】 ∵，，，， ， 由正弦定理得：解得． 11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264c o s 2s i n 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） （A（B（C）- （D）-【答案】C 【解析】3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21134cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=sin sin b a B A =2113b =5试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos 210AB AC BC A AB AC +-===-⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．6【解析】πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，【解析】即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin aA．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A = 【解析】∴21sin 3sin 2a bc A A = 【解析】∴223sin 2a bc A =【解析】∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+16、（2017年全国2卷14题）7函数()23sin 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2BC A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，817152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得 所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎． 18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A=，则2πππ326DAB∠=-=，1πsin26ABDS AD AB=⋅⋅=△9。
2015年全国高考真题_三角函数(详细答案)
又∵，，∴，故. 23.【2015高考山东，理16】设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【答案】（I）单调递增区间是； 单调递减区间是 （II） 面积的最大值为 【解析】 （I）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是
(Ⅱ)若，，求和的长． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以．由正弦定理可得． (Ⅱ)因为，所以．在和中，由余弦定理得 ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 20.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在中，已知. （1）求的长；
（2）求的值. 【答案】（1）；（2）
21.【2015高考福建，理19】已知函数的图像是由函数的图像经如下变 换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变），再将所得到的图像向右平移个单位长度. (Ⅰ)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；
∴ ，又， ∴ ，∴ 即，∴ ； （2）由（1）依题知 ， ∴ 又， ∴ 即． 32.【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为 钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）.
，∴，于是 ，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.
2015-2016年三角函数高考题
2015年三角函数高考题1.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A） （B（C ）12- （D ）122.【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 3.【2015高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()s i n (2)2B y x π=+()sin 2cos2C y x x =+ ()s i n c o sD y x x =+ 5.【2015高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．107.【2015高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 8.【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 9.【2015高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．10.【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .11.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅=．12.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = .13.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．14.【2015高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．15.【2015高考四川，理12】=+75sin 15sin .16.【2015高考重庆，理13】在 ABC 中，B =120o，AB A 的角平分线AD 则AC =_______.17.【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．18.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．19.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .20.【2015江苏高考，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 21.【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长．22.【2015江苏，15】在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长；（2）求C 2sin 的值. 23.【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.24.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.25.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.2016年三角函数高考题1、(2016北京，4)下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 （A ）11y x=-（B ）cos y x =（C ）ln(1)y x =+（D ）2x y -= 2、（全国III,6）若tanθ=13，则c os2θ= （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）453、（全国I,6）将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)4、（全国II,14）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=5、（全国II,11） 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6 （D ）76、（四川,4）为了得到函数y=sin )3(π+x 的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点(A)向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 (C) 向上平行移动3π个单位长度 (D) 向下平行移动3π个单位长度7、（浙江,11）函数y=sinx 2的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8、（上海,17）设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9、（天津,8）已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0( （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(10、（全国I,12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11、（上海,5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 12、（上海,8）方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 13、（全国I,14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)= . 14、（全国III,14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到.15、(2016北京，16)（本小题13分）已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx +cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间. 16、（山东,17）（本小题满分12分）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- . （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值.。
-三角函数高考真题教师版
2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】626+2【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE 6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BF C=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)yπ4π23π4ππ3π4π2π4yyπ4π23π4ππ3π4π2π4y【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-+++，当2x π=时，22PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．DPCB OAx5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． （Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若7,c ABC =∆的面积为332,求ABC 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据133sin C 22ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据7c =可得C ∆AB 的周长为57+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． 11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A ）31010 （B ）1010（C ）1010 （D ）31010【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD=．由余弦定理，知22222225910cos 210225AB AC BC AD AD AD A AB AC AD AD+-+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin aA．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为3+16、（2017年全国2卷14题）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ）【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===， 由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD 又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅=△。
2016年-2018年三角函数高考真题教师版
2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得AB.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．(D)(C)(B)(A)y424ππ424yy424ππ424yDPCB OAx5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，DC =BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若c ABC =∆求ABC 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】 ∵，，，， ， 由正弦定理得：解得． 11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ26Z k x k =+∈3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21134cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=sin sin b a B A =2113b =2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则cos A （ ）（A （B （C ）1010 （D ）31010【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos210AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数． 【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin aA．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin ac C A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为316、（2017年全国2卷14题）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ）【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆==又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π19、（2017全国3卷17题）ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin0A A=，a=，2b=．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC⊥，求ABD△的面积．【解析】（1）由sin0A A=得π2sin03A⎛⎫+=⎪⎝⎭，即()ππ3A k k+=∈Z，又()0,πA∈，∴ππ3A+=，得2π3A=.由余弦定理2222cosa b c bc A=+-⋅.又∵12,cos2a b A===-代入并整理得()2125c+=，故4c=.（2）∵2,4AC BC AB===，由余弦定理222cos2a b cCab+-==.∵AC AD⊥，即ACD△为直角三角形，则cosAC CD C=⋅，得CD=由勾股定理AD=又2π3A=，则2πππ326DAB∠=-=，1πsin26ABDS AD AB=⋅⋅=△。
2015-三角函数高考真题教师版
2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC =75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得-AB 的取值范围为）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得DPCB OAx2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若c ABC =∆求ABC V 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：， 故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D ∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】 ∵，， ，， ，由正弦定理得：解得．11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）- 【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．14、（2017年全国1卷9题）9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12． 15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C = ∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin ac C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为316、（2017年全国2卷14题）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2BB =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB（Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆== 又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△。
教师版全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析（2015-2019年共14套） 三角函数（共20小题）一、三角恒等变换（6题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D.2.（2018年3卷4）若，则A. B. C. D.【解析】,故答案为B.3.（2016年3卷7）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．4.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）（A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．5.（2018年2卷15）已知，，则__________．【解析】：因为，，所以，因此6.（2019年2卷10）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ） A.15B.C. 3D.5【解析】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ． 【点评】这类题主要考查三角函数中二倍角公式（几乎必考）、两角和与差公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等三角函数公式，难度以容易、中等为主。
2017三角函数高考真题教师版
（A）-3⎧1π⎪⎪42⎪ω+ϕ=3π＜x＜2k+，k∈Z，故单调减区间为，2k+），k∈Z，故选D.中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得BC2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）sin20o cos10o-cos160o sin10o=（）311（B）（C）-（D）2222【答案】D【解析】原式=sin20o cos10o+cos20o sin10o=sin30o=12，故选D.2、（2015全国1卷8题）函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）（A）(kπ-1313,kπ+),k∈Z（B）(2kπ-,2kπ+),k∈Z 44441313（C）(k-,k+),k∈Z（D）(2k-,2k+),k∈Z4444【答案】Dω+ϕ=ππ【解析】由五点作图知，⎨，解得ω=π，ϕ=，所以f(x)=cos(πx+)，544⎪⎩42令2kπ<πx+π4<2kπ+π,k∈Z，解得2k-1344（2k-13 44考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.【答案】（6-2，6+2）【解析】如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCEBE=sin∠E sin∠C，即2BE=sin30o sin75o，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB（π πxxx ππ3π 3π π ππ π 244244 时 ，4 ≤ x ≤ + = x anx ) > f (BF BC交于 △F ，在 BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知， =sin ∠FCB sin ∠BFC，即 BF 2 =sin 30o sin 75o，解得 BF= 6 - 2 ，所以 AB 的取值范围为（ 6 - 2 ， 6+ 2 ）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、 2015 全国 2 卷 10 题）如图，长方形 ABCD 的边 AB = 2 ，BC = 1，O 是 AB 的中点， 点 P 沿着边 BC ， CD 与 DA 运动，记 ∠BOP = x ．将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为x 的函数 f ( x ) ，则 y = f ( x ) 的图像大致为（）DP Cx AOByyy y2222π 4π 3π π4 2 4 4 2(A) (B) (C) (D)3π 4πx【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 ， 即 0 ≤ x ≤πP A P B t a 2n+ 4 + t ；当点 P 在 CD 边上运动时，即 π3π π, x ≠ 时，4 2P A + PB = ( 1 1 π- 1)2 + 1 + ( + 1)2 + 1 ，当 x = 时，P A + PB = 2 2 ；当点 P 在tan x tan x 2 AD 边上运动时，即3π 4≤ x ≤ π 时， P A + PB = tan 2 x + 4 - tan x ，从点 P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 x =考点：函数的图象和性质．π π π2 对称，且 f ( 4 2 ) ，且轨迹非线型，故选 B ．；（Ⅱ）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．∆ADC=AC⋅AD sin∠CAD，因为（ϕ4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在 ⎛π5π⎫，⎪单调,则ω的最大值为,0对称,则f(x)=A5、（2015全国2卷17题）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC面积的2倍．（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C22【解析】（Ⅰ）S∆ABD=11AB⋅AD sin∠BAD，S22S∆ABD=2S∆ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2A C．由正弦定理可得sin∠B AC1==．sin∠C AB2（Ⅱ）因为S∆ABD:S∆ADC=BD:DC，所以BD=2．在∆ABD和∆ADC中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2A D⋅BD cos∠ADB，AC2=AD2+DC2-2AD⋅DC cos∠ADC．AB2+2AC2=3A D2+BD2+2D C2=6．由（Ⅰ）知AB=2A C，所以AC=1．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、2016全国1卷12题）已知函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0，≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π⎝1836⎭（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A≠0,ω≠0)的单调区间长度是半个周期;②若f(x)=A s in(ωx+ϕ)(A≠0,ω≠0)的图像关于直线x=x0或f(x)=-A.（ （ ．及 C = 得 ab = 6．再利用余弦定理得 (a + b )2 = 25 ．再根据 c = 77、（2016 全国 1 卷 17 题） ∆ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知2cos C (a cos B+b cos A) = c.（I ）求 C ；（II ）若 c = 7, ∆ABC 的面积为 3 3,求 ABC 的周长．2试题分析： I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得 cos C = 1 π,故 C = ； II）根据 2 31 3 3 π ab sin C =2 2 3可得 ∆AB C 的周长为 5 + 7 ．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,sin (A + B ) = sin C,cos (A + B ) = - cos C , t an (A + B ) = - tan C,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”-(k∈Z)（B）x=+(k∈Z)-+解析：平移后图像表达式为y=2sin2 x+⎪，令2 x+⎪=kπ+，得对称轴方程：x=+(k∈Z)，9、（2016全国2卷9题）若cos -α⎪=，则sin2α=∵cos -α⎪=，sin2α=cos -2α⎪=2cos2 -α⎪-1=，由正弦定理得：b8、（2016全国2卷7题）若将函数y=2sin2x的图像向左平移象的对称轴为kππkππ（A）x=2626kππ(k∈Z)（D）x=kππ(k∈Z)（C）x=212212π12个单位长度，则平移后图⎛π⎫⎝12⎭⎛π⎫πkππ⎝12⎭226故选B．⎛π⎫3⎝4⎭57117（A）（B）（C）-（D）-255525【解析】D⎛π⎫3⎛π⎫⎛π⎫7⎝4⎭5⎝2⎭⎝4⎭2510、（2016全国2卷13题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=cos C=5，a=1，则b=．1321【解析】1345∵cos A=，cos C=，513312sin A=，sin C=，5134 5，sin B=sin(A+C)=sin A c os C+cos Asin C=a21=解得b=．sin B sin A1363 65，11、（2016全国3卷5题）若tanα=34，则cos2α+2sin2α=（）644816(A)(B)(C)1(D)252525【答案】A【解析】试题分析：由tanα=3““，BC边上的高等于BC,则cos A=（）（（B）（C）-（D）-3A弦A=o2⨯+⨯92=（9、已知曲线C:y=cos x，C:y=sin 2x+⎪，则下面结论正确的是（）3⎭12A．把C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个3434，得sinα=,cosα=或sinα=-,cosα=-，所以45555161264cos2α+2sin2α=+4⨯=，故选A．252525考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、2016全国3卷8题）在△ABC中，B=π143（A）310101031010101010【答案】C【解析】试题分析：设BC边上的高线为AD，则BC=D，所以AC=AD2+DC2=5AD，AB=2A D．由余定理，知c A2+B s2A⋅B2-A=2AC25BA C2D2C-A1D，故选C．-5A1D020A D 考点：余弦定理．13、2016全国3卷14题）函数y=sin x-3cos x的图像可由函数y=sin x+3cos x的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】2π3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．14、（2017年全国1卷9题）⎛2π⎫⎝π16122 6 【解析】 C : y = cos x ， C : y = sin 2x + ⎪3 ⎭ ⎝ y = cos x = cos x + - ⎪ = sin x + ⎪ ．横坐标变换需将 ω = 1 变成 ω = 2 ， 即 y = sin ⎛ x + ⎫⎪ −−−−−−−−来 2− y = sin ⎛ 2 x + C 1上各点横坐标缩短它原 ⎪ = sin 2 x + ⎪ −− y = sin 2x + ⎪ = sin 2 x + ⎪ ． π π ⎫ 2 2 ⎭ 2 ⎭ 2 ⎭ 2π ⎫ 3 ⎭ 根据“左加右减”原则，“ x + ”到“ x + ”需加上 ，即再向左平移 ．17、 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 △ABC 的面积为． . （1）∵ △ABC 面积 S = a ∵由正弦定理得 sin 2A = sinB sinC sin 2 A ，由 sin A ≠ 0 得 sin B sin C = .（2）由（1）得 sin B sin C = ， cos B cos C =单位长度，得到曲线 C2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1 π 个单位长度，得到曲线 C21 πC ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个1单位长度，得到曲线 C2D ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1单位长度，得到曲线 C 2【答案】D⎛2π ⎫ 1 2首先曲线 C 、 C 统一为一三角函数名，可将 C : y = cos x 用诱导公式处理．121⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ ⎝ 2 ⎭π 1 π ⎫ ⎛ π ⎫ → ⎝ ⎝ ⎝ 4 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ →⎝ ⎝ 3 ⎭π 12个注意 ω 的系数，在右平移需将 ω = 2 提到括号外面，这时 x + π π平移至 x + ，4 3π π π π4 3 12 1215、（2017 年全国 1 卷 17 题）a 23sin A（1）求 sin B s in C ；（2）若 6cos B c os C =1 ， a = 3 ，求 △ABC 的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用2 3sinA1 .且 S = bc s in A2∴ a 2 1= bc s in A3sin A 23 ∴ a 2 = bc sin 2 A232 232 13 6∵ A + B + C = π⋅ sin B ， c = ⋅ sin C函数 f (x ) = sin 2 x + 3 cos x - 3 （ x ∈ ⎢0, ⎥ ）的最大值是．【解析】∵ f (x ) = sin 2 x + 3 cos x - x ∈ ⎢0, ⎥ ⎪ ， sin 2 x + cos 2 x = 1max = 1) 2 ( 2 结合 sin 2 B + cos 2 B = 1 求出 cos B ；②利用二倍角公式，化简sin B = 8sin 2 ，两边约去sin ，求得 tan ，进而求得 c os B .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和∴ cos A = cos (π - B - C ) = - cos (B + C ) = sin B sinC - cos B cos C =又∵ A ∈ (0 ，π)1 2∴ A = 60︒ ， sin A = 3 2， cos A =1 2由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - bc = 9 ①由正弦定理得 b = a asin A sin A∴ bc = a 2 sin 2 A⋅ sin B s in C = 8 ②由①②得 b + c = 33∴ a + b + c = 3 + 33 ，即 △ABC 周长为 3 + 3316、（2017 年全国 2 卷 14 题）⎡ π ⎤ 4⎣ 2 ⎦【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力3 ⎛ ⎡ π ⎤⎫4 ⎝ ⎣ 2 ⎦⎭∴ f (x ) = - cos 2 x + 3 cos x +14设 t = cos x ， t ∈ [0,1]，∴ f (x ) = -t 2 + 3t + 14函数对称轴为 t =3 ∈[0,1]，∴ f (x )217 、（ 2017 年 全 国 2 卷 17 题 ） ∆ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b , c , 已 知Bsin( A + C =8 sin ． 2(1)求 cos B(2)若 a + c = 6 , ∆ABC 面积为 2,求 b .【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【 试 题 分 析 】 在 第 （ Ⅰ ） 中 ， 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 可 知 A + C = π - B ， 将s i n A + C ) = 8s i n B 2转化为角 B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简 s in 2 B 2，B2B B2 24 （Ⅱ）由 cosB = 得 sin B = ，故 S∆ABC = 2 ac sin B = 17 18、（2017全国3卷6题）设函数 f (x) = cos(x + ) ，则下列结论错误的是（）= 2 D ． f (x) 在 ( , π) 单调递减面积公式求出 a + c 、ac ，从而求出 b ．（Ⅰ）【基本解法 1】由题设及 A + B + C = π ,sin B = 8sin 2 B 2，故sin B = （1-cosB ）上式两边平方，整理得 17cos 2B-32cosB+15=0解得 cosB=1（舍去）， c osB =【基本解法 2】15 17由题设及 A + B + C = π ,sin B = 8sin 2B B B B B，所以 2sin cos = 8sin 2 ，又 sni ≠ 0 ，2 2 2 2 2B 1 所以 tan = ， cos B = 2 41 - tan 21 + tan2 B2 = 15 B 17 215 8 1 417 17 ac 又 S∆ABC =2，则ac = 172由余弦定理及 a + c = 6 得b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B（a +c ）- 2ac(1+ cosB) 17 15= 36 - 2 ⨯ ⨯ (1+ )2 17= 4所以 b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角 形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 a + c, ac, a 2 + c 2 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．π3A ． f (x) 的一个周期为 -2πC ． f ( x + π ) 的一个零点为 x =π6B ． y = f ( x ) 的图像关于直线 x =π28π 3对称【解析】函数 f (x ) = cos x + ⎪ 的图象可由 y = cos x 向左平移 如图可知， f (x ) 在 , π ⎪ 上先递减后递增，D 选项错误，故选D.-O【解析】（1）由 sin A + 3 cos A = 0 得 2sin A + ⎪ = 0 ，即 A + = k π (k ∈ Z ) ，又 A ∈ (0, π ) ，（ B C b c【答案】D⎛ π ⎫ π ⎝ 3 ⎭ 3个单位得到，⎛ π ⎫⎝ 2 ⎭y2π 3π π365π 3x19、 2017全国3卷17题）∆ABC 的内角A ， ， 的对边分别为a ， ，，已知 sin A + 3 cos A = 0 ， a = 2 7 ， b = 2 ．（1）求c ；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求 △ABD 的面积．⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭ π 3 π 2π∴ A + = π ，得 A =3 3.1由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc ⋅ cos A .又∵ a = 2 7, b = 2,cos A = - 代入并整理得2(c + 1)2 = 25 ，故 c = 4 .（2）∵ AC = 2, BC = 2 7, AB = 4 ，由余弦定理 cos C = a 2 + b 2 - c 2 2 7=2ab 7.∵ AC ⊥ AD ，即 △ACD 为直角三角形，则 AC = CD ⋅ cosC ，得 CD = 7 .由勾股定理 AD = CD 2 - AC 2 = 3 .又 A =△S ABD 2π 2π π π，则 ∠DAB = - = ，3 3 2 6 1 π=AD ⋅ AB ⋅ sin = 3. 2 6。
三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题07三角函数文20171101126
专题07 三角函数1.【2017课标3，文6】函数1ππf(x)sin(x )cos(x )的最大值为（）536A．65B．1C．D．【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos x cos x sin x6233，16则：f x sin x sin x sin x53353,函数的最大值为6 5 .所以选A.【考点】三角函数性质【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y A sin(x )B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．πf(x)sin(2x )的最小正周期为2.【2017课标II，文3】函数3πA.4πB.2πC.D.2【答案】C【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数y A sin(x )B(A0,0)的性质(1)y A B，y AB.max=+min(2)周期T2.π(3)由x kπ(k Z)求对称轴2ππ2kπx2kπ(k Z)求增区间; 由(4)由221π3π 2k πx2k π(k Z )求减区间; 2 24sincos，则sin 2=（） 3.【2017课标 3，文 4】已知37 2B ．C ． A ．992 9D ．7 9【答案】A 【解析】2sincos17【解析】2sin 2 2sincos19. 所以选 A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降 幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通 常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34.【2017山东，文 4】已知cosx,则 cos2x4B.1D.111 A.C.44 88【答案】D【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．5.【2017天津，文7】设函数f(x)2s in(x),x R，其中0,||π.若25π 11πf ( ) 2, f ( ) 0, 且 f (x ) 的最小正周期大于 2π ，则 8 8（A ）2π （B ）2 , 11π,（C ）1 ,11π （D ） 1 ,7π312 3123243 24【答案】 A 【解析】试题分析：因为条件给出周期大于 2，1156 3，T 88 8 4 42 23Tkk ，因为，所，再根据 2 5 223 3 8 2 12以当 k0 时，成立，故选 A. 12【考点】三角函数的性质【名师点睛】本题考查了 yA sin x的解析式，和三角函数的图象和性质，本题叙述方式新颖,是一道考查能力的好题，本题可以直接求解，也可代入选项，逐一考查所给选项：5当x，不合题意，B 选项错误；时， 2 5 ，满足题意， 2 5 11 8 3 8 12 2 3 8 12 2 1 5 1 1，不合题意，C 选项错误； 3 8 24 41 5 7 ，满足题意；当 11 时，2 11x ，满足题意；3 8 24 2 8 3 8 12 1 11 7 18，不合题意，D 选项错误.本题选择 A 选项. 3 8 24 246.【2017山东，文 7】函数 y 3 sin 2x cos 2x 最小正周期为 A.π 2B.2π 3C.D. 2π【答案】C【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)2ππ和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.③对于形如|ω| |ω|y a x b x的函数,一般先把其化为sin cos y a2b2sin x的形式再求周期.37.【2014福建,文 7】将函数 y sin x 的图象向左平移2个单位，得到函数 yf x的函数图象，则下列说法正确的是（）A .y f x 是奇函数B .y f x的周期是C y f x x.3的图象关于直线 对称2D .y f x 的图象关于点 - ，0 对称2【答案】 D 【解析】试题分析：将函数 ysin x 的图象向左平移 2个单位，得到函数 ysin(x ) cosx ，2因为cos() 0的图象关于点 ，对称 ，选 D . y y f x，所以- 022考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查函数图像的平移及三角函数的性质，关于三角函数图像对称的结论 是：已知 fxA sinx A 0，则 fx图像关于直线xx 0对称的充要条件是fx A 0， f x图像关于点x,0f x 0 0对称的充要条件是.58.【2015高考福建，文 6】若sin，且为第四象限角，则 tan 的值等于13（ ）12 5A ．C ． 5 12 B ．5125 D ． 12【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sin、cos、tan三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．49.(2014课标全国Ⅰ，文 7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③yxcos 2π，④6y xtan 2π 4中，最小正周期为 π 的所有函数为( )． A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案：A解析：由于 y ＝cos|2x |＝cos 2x ，所以该函数的周期为2π2π ；由函数 y ＝|cos x |的图象易知其周期为 π；函数yx π cos 2的周期为 62π 2 ；函数 y tan2x ππ 4的周期 为π 2，故最小正周期为 π 的函数是①②③，故选 A.名师点睛：本题考查余弦函数、正切函数的性质，函数的周期，注意区别函数 y cos | x |与y | cos x | 的图象与性质，容易题.10.【2014天津，文 8】已知函数 f (x ) 3 sin x cos x ( 0), x R . 在曲线 y f (x )与直线 y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为23A.B.C.D.223，则 f (x )的最小正周期为（）【答案】C考点：三角函数性质【名师点睛】本题考查三角函数图象与性质，本题属于基础题，研究三角函数图象与性质，要 把函数的解析式化为标准形式，如： yA sin(x ) k ，这个过程经常使用降幂公式和辅助角公式，然后借助正弦函数的图像与性质去解决问题，本题需要借助已知条件求出，然后计算周期.11.【2015高考新课标1，文8】函数f(x)cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）513（A ）(k,k ),k Z4 41 3 （B ）(2k,2k ),k Z4 4 1 3 （C ）(k,k ),k Z4 4 1 3（D ）(2k,2k ),k Z4 4【答案】D1+42【解析】由五点作图知， 5 3+ 4 2，解得= ，= ，所以 f (x ) cos( x ) ，4 4令 2kx 2k ,k Z，解得 2k 1 ＜＜ 2 3k， k Z ，故单调减区间为4 4 41（2k， 2 3k）， k Z ，故选 D.44【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】本题考查函数 yA cos(x ) 的图像与性质，先利用五点作图法列出关于， 方程，求出， ，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求， 使解题的关键.12.【2016高考新课标 2文数】函数 y =A sin(x ) 的部分图像如图所示，则（）（A）y2sin(2x)（B）y2sin(2x)63（C）y2sin(2x+)（D）y2sin(2x+)63【答案】A6考点：三角函数图像的性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．13.【2014年.浙江卷.文4】为了得到函数y sin3x cos3x的图象，可以将函数y 2cos3x的图象（）A.向右平移C.向左平移1212个单位长 B.向右平移个单位长 D.向左平移44个单位长个单位长【答案】A【解析】试题分析：因为y sin3x cos3x 2sin(3x )，所以将函数y 2cos3x的图象向右4平移个单位长得函数12y 2cos3(x)2cos(3x)2sin(3x)2sin(3x)，即得函数124244y sin3x cos3x的图象，选A.考点：三角函数的图象的平移变换，公式sin x cos x 2sin(x)的运用，容易题.4 【名师点睛】三角函数图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．14.【2016高考新课标2文数】函数πf(x)cos2x 6cos(x)的最大值为（）2（A）4（B）5 （C）6 （D）7【答案】B7考点：正弦函数的性质、二次函数的性质. 【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当sin3x 时，函数2(sin 3)2 11yx取得222最大值.12016 高考新课标Ⅲ文数]若 tan，则 cos2（ ）3（A ） 4 51 5（B ）（C ） 1 5 （D ） 4 5 【答案】D 【解析】试题分析：cos 21 1( )2 cos sin 1 tan 3 4222cos sin 1 tan1 ( )5222123．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去 非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联 系．15. 【2014四川，文 3】为了得到函数 y sin(x 1)的图象，只需把函数 y sin x 的图象上所有的点（）A ．向左平行移动 1个单位长度B ．向右平行移动 1个单位长度C ．向左平行移动 个单位长度D ．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】试题分析：只需把y sin x的图象上所有的点向左平移1个单位，便得函数y sin(x1)的图象.选A.【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向8记混.16.【2015高考山东，文 4】要得到函数 ysi （n 4x3的图象，只需要将函数 ysin 4x的图象（）（A ）向左平移12个单位 （B ）向右平移12个单位 （C ）向左平移 3个单位（D ）向右平移3个单位【答案】 B【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数， 这取决于加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混. 17.【2016高考天津文数】已知函数) sin sin( 0)f ， xR .若 f (x ) (x2x 1 x 1222在区间 (,2) 内没有零点，则的取值范围是（）1 15 5 1 1 5（A ） (0, ]（B ） (0, ][ ,1) （C ） (0, ]（D ） (0, ][ , ] 8 48 8 8 4 8【答案】D 【解析】 试题分析：1 cos sin 12xxf (x )sin( x)， ( ) 0sin( x)f x，所222244k以4 ( ,2 ), (k z)x，因此11559911511 5(,)(,)(,)(,)(,)(0,][,]，选D.848484848848考点：解简单三角方程【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同9次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降 次公式．18.【2014高考陕西版文第 2题】函数 f (x )cos(2x ) 的最小正周期是（）4A .B .C .2D .4 2【答案】 B考点：同角的三角函数关系式，容易题.【名师点晴】本题主要考查的是余弦函数的最小正周期，属于容易题.解题时只要正确记忆正 弦函数、预先函数的最小正周期周期公式T 2，就不会出现错误w19. 【2015高考陕西，文 6】“sincos ”是“ cos2 0”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要【答案】 A 【解析】 cos20 cos 2sin 2(cos sin)(cos sin ) 0 ，所以sincos 或sincos，故答案选 A .【考点定位】1.恒等变换；2.命题的充分必要性.【名师点睛】1.本题考查三角恒等变换和命题的充分必要性，采用二倍角公式展开cos2 0，求出sin cos 或sincos .2.本题属于基础题，高考常考题型.π 120.【2016高考新课标 1文数】若将函数 y =2sin (2x + )的图像向右平移 个周期后,所得图像 6 4 对应的函数为（）π π π π （A ）y =2sin(2x + ) （B ）y =2sin(2x + ) （C ）y =2sin(2x – ) （D ）y =2sin(2x – ) 4 3 4 3 【答案】D 【解析】试题分析：函数 y 2sin(2x ) 的周期为 ,将函数 y 2sin(2x ) 的图像向右平移6 61 4 个 周期即4 个单位,所得函数为 y 2sin[2(x ) )] 2sin(2x ) ,故选 D.4 6 310考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移 多少个单位是对 x 而言的,不用忘记乘以系数. 21.【2017课标 II ，文 13】函数 f (x ) 2 c os x sin x 的最大值为.【答案】 5【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为 yA sin(x )B 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用| a sin x b cos x | a 2b 2求最值.22.【2017江苏，5】若π 1 tan() , 则 tan▲ .4 67 5【答案】1 tan(4) tan 4 6 71【解析】tantan[() ]1 4 4 1 tan( ) tan 1 54 46 【考点】两角和正切公式．故答案为 7 5．【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.23.【2017课标1，文15】已知ππa，，tan α=2，则(0)cos()=__________．24【答案】310 10【解析】试题分析：由tan2得sin2c os11又sin2cos21所以cos215因为(0,)2525所以cos,sin55因为cos()cos cos sin sin44452252310所以cos()4525210【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．24. 【2016高考四川文科】sin7500=.【答案】1 2考点：三角函数诱导公式【名师点睛】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．25.【2016高考浙江文数】已知2cos2x sin2x A sin(x)b(A0)，则A______，b______．12【答案】2；1．【解析】试题分析：2cos2x sin2x1cos2x sin2x2sin(2x)1，所以A 2,b 1.4考点：三角恒等变换.【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简cos2x，再用辅助角公式化简cos2x sin2x 1，进而对照Asin xb可得A和．26.2016高考新课标Ⅲ文数]函数y sin x 3cos x的图像可由函数y 2s in x的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．f x sin x sin x cos x 1的最小正周期是，最小值是．27.【2015高考浙江，文11】函数2【答案】32,2211cos2x113f x sin x sin x cos x 1sin2x1sin2x cos2x 【解析】22222 23，所以2sin(2x)T；242232f(x).min22【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.28.【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+ π4)=35,则tan(θ–π4)=.13【答案】 3【解析】试题分析：由题意sinsin4423cos4 5 ,k kk Z因为 22 222 2 kk7k Z,所以444 ,4 sin从而454 tan,因此434 ． ．故填3考点：三角变换29.【2015湖南文 15】已知>0,在函数 y=2sin x 与 y=2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3 ，则 =_____.【答案】2 【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形. 应把三角函数的对 称性与奇偶性结合，体会二者的统一.这样就能理解条件“距离最短的两个交点”一定在同一 个周期内，本题也可从五点作图法上理解. 30.【2015高考天津，文 14】已知函数 fx sin x cosx0,x R ,若函数 fx在区间,内单调递增,且函数 fx的图像关于直线 x对称,则 的值为．【答案】2【解析】由 f x在区间,内单调递增,且 fx 的图像关于直线 x 对称,可得2πf 222π,且sincos2sin 1sincos 2 sin1 ,所 以4142π π π4 22.【考点定位】本题主要考查三角函数的性质.【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查 能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:① fx A sin xA0,的单调区间长度是半个周期;②若 f xA sinxA 0, 0的图像关于直线x x 对称,则 fx A 或f xA . 0f x sin图像上每31. 【2014高考重庆文第 13题】将函数x0，22一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到 y sin x 的图像，则 f______.6【答案】22所以f 12sin sin6 2 6 64 2,所以答案应填： 2 2.考点：1、三角函数的图象变换；2、特殊角的三角函数值.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象变换，特殊角的三角函数值，本题属于基础题，注意图象的平移方向与正负符之间的关系不要弄错了.32.【2015高考四川，文13】已知sinα＋2co sα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.【答案】－1【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－2152sinαcosα－cos2α＝2sin cos cos2tan14121sin cos tan141222【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.33.【2017北京，文16】已知函数f(x)3cos(2x-)2s in x cos x.3（I）f(x)的最小正周期；1（II）求证：当[,]时，f x．x442【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.试题解析：（Ⅰ）3313πf(x)cos2x sin2x sin2x sin2x cos2xsin(2x).222232π所以f(x)的最小正周期Tπ.2ππ（Ⅱ）因为x，4 4ππ5π所以2x.636ππ1所以sin(2x)sin().362所以当x时，()1[,]f x.ππ442【考点】1.三角函数的性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要16求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的y A sin x的形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值. 34.【2017浙江，18】（本题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–23sin x cos x（xR）．2（Ⅰ）求f()的值．3（Ⅱ）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．[,2,【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为k k]k Z63．【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数概念22222f()sin2cos223sin cos，分别计算333332可得；（Ⅱ）化简函数关系式得y A sin(x )，结合T可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．（Ⅱ）由cos2x cos2x sin2x与sin2x 2s in x cos x得f(x)cos2x 3sin2x2sin(2x 6)所以f(x)的最小正周期是3由正弦函数的性质得2k 2x 2k,k Z2622解得k xk,k Z63[2所以f(x)的单调递增区间是k,k]kZ63．17【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y A sin x的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即y A sin x，然后利用三角函数y A sin u的性质求解．35.【2015高考重庆，文18】已知函数f(x)=12sin2x- 3cos2x.(Ⅰ)求f（x）的最小周期和最小值，(Ⅱ)将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当x ,时，求g(x)的值域.22+31-32-3【答案】（Ⅰ）f(x)的最小正周期为p，最小值为-，（Ⅱ）[,]222.【解析】试题解析：(1) ()1sin23cos21sin23(1cos2)f x=x-x=x-+x222133p 3=sin2x-cos2x-=sin(2x-)-,222322+3因此f(x)的最小正周期为p，最小值为-.2p3(2)由条件可知：g(x)=sin(x-)-.32p当xÎ[,p]时，有2xp p2p-Î[,]，36318p 1从而sin(x - )的值域为[ ,1]，32 p31- 3 2 - 3 那么sin(x - ) - 的值域为[ , ]3 2 2 2 .p 1- 3 2 - 3 故 g(x ) 在区间[ ,p ]上的值域是[ , ]2 2 2.【考点定位】1. 三角恒等变换，2.正弦函数的图象及性质，3.三角函数图象变换.【名师点睛】本题考查三角恒等变形公式及正弦函数的图象及性质，第一问采用先降幂再用辅 助角公式将已知函数化为 f (x )A sin(x )B 的形式求解，第二小问在第一问的基础上应用三角函数图象变换知识首先求出函数 g (x ) 的解析式，再结合正弦函数的图象求其值域.本 题属于中档题，注意公式的准确性及变换时的符号. 36.【2015高考安徽，文 16】已知函数 f (x ) (sin x cos x )2 cos 2x（Ⅰ）求 f (x ) 最小正周期；（Ⅱ）求 f (x ) 在区间[0, ]上的最大值和最小值.2【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为1 2 ，最小值为 0（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果， f ) 2 sin(2 ) 1(xx45当 x [0, ]时， 2x[, ] 2 4 44 5由正弦函数 y sin x 在[ ,]上的图象知，4 4当2x，即 x时， f (x ) 取最大值 2 1；4285当2x，即x时，f(x)取最小值.444综上，f(x)在[0,]上的最大值为21，最小值为.219【考点定位】本题主要考查同角的基本关系、三角恒等变换、三角函数 y A sin(x ) B的性质，以及正弦函数的性质.【 名 师 点 睛 】 熟 练 掌 握 三 角 函 数 的 同 角 的 基 本 关 系 和 恒 等 变 换 公 式 以 及 三 角 函 数y A sin(x ) B 的性质是解决本题的关键，考查了考生的基本运算能力.xxx37.【2015高考福建，文 21】已知函数 fx 10 3 sin cos10 cos ．2222（Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期；（Ⅱ）将函数 f x的图象向右平移6 个单位长度，再向下平移（ a0 ）个单位长度后得到函数 gx的图象，且函数 g x的最大值为 2．（ⅰ）求函数 gx的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得g x ．【答案】（Ⅰ） 2 ；（Ⅱ）（ⅰ） g x 10sin x 8；（ⅱ）详见解析．xxx f x10 3 sin cos10cos 【解析】（I ）因为22225 3 sin x 5 c os x 510sin5x ．6所以函数 fx的最小正周期2 ．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x ，使得 gx ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x ，使得10sin x 8 0 ，即sin4 x．5由43知，存在0 5 24 ，使得sin．3 520由正弦函数的性质可知，当x时，均有sin4 0,0x．5因为y sin x的周期为2，xkk（k）时，均有sin4 2,2005因为对任意的整数，2k2k21，0003所以对任意的正整数，都存在正整数xkk，使得sin4 2,2x．k00k5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x，使得g x00．【考点定位】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．【名师点睛】三角函数的定义域、值域、单调性、周期、奇偶性、对称性都是通过将解析式变形为f(x)A sin(x )进行；若三角函数图象变换是纵向伸缩和纵向平移，都是相对于f(x)而言，即f(x)Af(x)和f(x)f(x)k，若三角函数图象变换是横向伸缩和横向平移，都是相对于自变量而言，即f(x)f (x)和f(x)f(x a)；本题第（ⅱ）问是解三角不等式问题，由函数周期性的性质，先在一个周期内求解，然后再加周期，将存在无穷多个互不相同的正整数x，使得g x ，转化为解集长度大于1，是本题的核心．0038.【2015高考湖北，文18】某同学用“五点法”画函数πf(x)A sin(x )(0, ||)2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0 πx23π22ππ5π36A x0 5 50sin()（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；（Ⅱ）将y f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y g(x)图象，求y g(x)的图象离原点O最近的对称中心.【答案】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得πA5,2,.数据补全如下表：621πx23π22ππ12π37π125π61312πA x5sin()且函数表达式为f x x π；（Ⅱ）离原点O最近的对称中心为(π, 0)()5sin(2).f x x π；（Ⅱ）离原点O最近的对称中心为(π,0)612（Ⅱ）由（Ⅰ）知f x x π，因此()5sin[2(π)π]5sin(2π) ()5sin(2)g x x x .因为f x x π，因此()5sin[2(π)π]5sin(2π)6666yx的对称中心为(kπ,0)，k Z. 令2x πkπ，解得ππksin x ，k Z.即y g(x)图6212（ππ（（，k Z，其中离原点O最近的对称中心为(π,0)k象的对称中心为0.21212【考点定位】本题考查五点作图法和三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质，属基础题.【名师点睛】将五点作图法、三角函数图像的平移与三角函数的图像及其性质联系在一起，正确运用方程组的思想，合理的解三角函数值，准确使用三角函数图像的平移和三角函数的图像及其性质是解题的关键，能较好的考查学生基础知识的实际应用能力、准确计算能力和规范解答能力.39.【2016高考北京文数】（本小题13分）已知函数f(x)2sin x cos x cos 2x (0)的最小正周期为.（1）求的值；（2）求f(x)的单调递增区间.22【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ） 3 ,k k88（ k ）．sin 2x cos 2x2sin 2x 4，所以 fx的最小正周期2．2依题意，，解得 1．f xx4（II ）由（I ）知2 sin 2．函数 ysin x 的单调递增区间为 2k ,2k2 2（ k ）．由 2k 2x2k，2 4 2 3得kxk．88（k ）．所以f x的单调递增区间为3,k k88考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较，与1比较等)求解．的部分图象40.【2014高考北京文第16题】（本小题满分13分）函数3sin2f x x6如图所示.23（1）写出f x的最小正周期及图中x、y的值；（2）求f x在区间,212上的最大值和最小值.yy0O x0x【答案】（1），x7，6y ；（2）最大值0，最小值3.03（2）因为x[,]x，于是，所以2[5,0]21266当2x0，即时，f x取得最大值0；x612当2x，即x时，f x取得最小值3.623考点：本小题主要考查三角函数的图象与性质，求三角函数的最值等基础知识，考查同学们数形结合、转化与化归的数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.41.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设f(x)23sin(πx)sin x (sin x cos x)2.（I）求f(x)得单调递增区间；（II）把y f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y g(x)的图象，求(π)g的值.624【答案】（）f x的单调递增区间是,5,k k k Z1212（或5(k,k)k Z ）1212（） 3.5由222,即得2321212 k x k k Z k x kk Z,写出f x的单调递增区间（）由f x2s in231,x3平移后得g x2s in x 3 1.进一步可得g.6f x 23sinx sin x sin xcos x 试题解析：（）由223sin x 12s in x cos x231cos2x sin2x 1sin2x3cos2x312s in2x31,35由222,得2321212k x k k Z k x k k Z,所以，f x的单调递增区间是,5,k k k Z121225。
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2015-2017三角函数高考真题教师版2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）oo o osin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）32-（B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】原式=oo o osin 20cos10cos 20sin10+ =osin30=12，故选D.2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k-＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z∈，故选D.考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 . 【答案】626+2）【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BE E C =∠∠，即oo2sin 30sin 75BE=，解得BE 6+2平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得62AB 的取值范围626+2.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2tan 4tan PA PB x x+=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-++++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P在AD边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x+=+-，从点P 的运动过程可以看出，(D)(C)(B)(A)xyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxxyπ4π23π4π22π3π4π2π4yxD P C BOAx轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 【解析】（Ⅰ）1sin 2ABDS AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADCSAC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADCSS ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠． （Ⅱ）因为::ABDADC SS BD DC∆∆=，所以2BD =ABD ∆和ADC∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若7,c ABC=∆33求ABC V 的周长．试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据133sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据7c =可得C ∆AB 的周长为57+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=- ()tan tan A B C +=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈解析：平移后图像表达式为， 令，得对称轴方程：，故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【解析】D ∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()ππ26Z k x k =+∈3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2113∵，，，，，由正弦定理得：解得．11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825(C) 1(D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 12、（2016全国3卷8题）在ABC△中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）4cos 5A =5cos 13C =3sin 5A =12sin 13C =()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=sin sin b aB A =2113b =（A 310 （B 10 （C ）10-（D ）310-【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC =+=，2AB AD=．由余弦定理，知22222210cos 2225AB AC BC A AB AC AD AD+-===⋅⨯⨯，故选C ．考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin 3y x x=-的图像可由函数sin 3y x x=+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少． 14、（2017年全国1卷9题） 9、已知曲线1:cos C y x=，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x 首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. （1）∵ABC△面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A=∴21sin 3sin 2a bc A A =∴223sin 2a bc A=∵由正弦定理得223sinsin sin sin 2A B C A=，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin A ，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①由正弦定理得sin sin ab B A=⋅，sin sin ac C A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ② 由①②得33b c +=∴333a b c ++=+ABC △周长为333+16、（2017年全国2卷14题） 函数()23sin 34f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力 【解析】∵ ()23sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sincos 1x x +=∴ ()21cos3cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()2134f x t t =-+函数对称轴为[]30,1t =，∴ ()max1f x =17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形． 【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin8)sin(2BC A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sincos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin8sin 2B B =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b．（Ⅰ） 【基本解法1】 由题设及2sin8sin ,2BB C B A ==++π，故sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0解得 15cosB=cosB 171（舍去），=【基本解法2】由题设及2sin8sin ,2BB C B A ==++π，所以2sin82cos 2sin 22BB B =，又02sin ≠B ，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB（Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABCSc B ac ∆==又17=22ABC Sac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac ac ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πgxyO19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 30A A =，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 30A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,27,4AC BC AB ===，由余弦定理22227cos 2a b c C ab +-==.∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD =由勾股定理223AD CD AC -又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 326ABDS AD AB =⋅⋅=△。