三角函数高考试题精选含详细答案)
2016-2019年高考真题三角函数解答题全集(含详细解析)
2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C +的值．8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知222(sin sin )()sin A C a b B -=-． （1）证明222a b c ab +-=； （2）求角C 和边c ．10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =． （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32，求m 的最小值． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．17．（2018•上海）已知cos y x =（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3f πα-的值（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值18．（2017•上海）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2)4A π+的值．21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长．23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin()8sin 2B AC +=． （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π∈-，]4π时，1()2f x -…．25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积．26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，37c a =．（1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积．28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2()3f π的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间．30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cos C 的值． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A =．（1）求B ； （2）已知1cos 3A =，求sin C 的值．32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值． 33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π=．（1）求AB 的长； （2）求cos()6A π-的值．35．（2016•北京）在ABC ∆中，222a c b +=+． （Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C +的最大值．36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o ss i n A B Cab c+=．（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =； （Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B ．37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π-，]4π上的单调性． 38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n2(t a n t a n )c o s c o sA B A B B A +=+． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：EDC ABD ∠=∠．41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值．2016-2019年高考真题三角函数解答题全集（含详细解析）参考答案与试题解析1．（2019•全国）已知函数22()2sin 4cos 1f x x x =-+． （1）求()f x 的最小正周期；（2）设g ()()2x x f =，求()g x 在区间[0，]3π的最大值与最小值．【解答】解：22()2sin 4cos 11cos22(1cos2)13cos2f x x x x x x =-+=--++=-． （1）()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）g ()()3cos(2)3cos 22x xx f x ==-=-，[0x ∈，]3π，3cos [3x ∴-∈-，3]2-．即()g x 在区间[0，]3π的最大值为32-，最小值为3-．2．（2019•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【解答】解：（1）sin sin 2A C a b A +=，即为sin cos sin 22B Ba ab A π-==， 可得sin cossin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==， sin 0A >，cos2sin cos 222B B B ∴=， 若cos 02B=，可得(21)B k π=+，k Z ∈不成立， 1sin22B ∴=， 由0B π<<，可得3B π=；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得1cos3b a =，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<， 可得ABC ∆面积13sin 23S a π==∈． 3．（2019•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值． 【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23a c =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a ac b B ac aa +-+-===-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B ，从而sin 22sin cos B B B ==， 227cos2cos sin 8BB B =-=-，故71sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ+=+=-⨯=． 4．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．【解答】解：（1）由()sin f x x =，得 ()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+为偶函数，∴()2k k Z πθπ=+∈， [0θ∈，2)π，∴2πθ=或32πθ=， （2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 22sin ()sin ()124x x ππ=+++1cos(2)1cos(2)6222x x ππ-+-+=+11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ=---3sin 214x x =+)16x π=-+， x R ∈，∴sin(2)[1,1]6x π-∈-，∴)1[16y x π=-+∈， ∴函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域为：[1． 5．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C -的值．【解答】解：（Ⅰ）3a =，2b c -=，1cos 2B =-．∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin c bC B=，∴5sin 2sin 7c BC b=== b c >，B C ∴>，C ∴为锐角，11cos 14C ∴=， sin()sin cos cos sin B C B C B C ∴-=-111()142=--=． 6．（2019•江苏）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，b =，2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 【解答】解：（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 3a c =，b =，2cos 3B =， ∴由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，解得c =． （2）sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=，22sin cos 1B B +=，sin B ∴，cos B =sin()cos 2B B π∴+==． 7．（2019•北京）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin()B C +的值．【解答】解：（1）3a =，2b c -=，1cos 2B =-．∴由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-219(2)23(2)()2b b =+--⨯⨯-⨯-，7b ∴=，25c b ∴=-=；（2）在ABC ∆中，1cos 2B =-，sin B ∴=，由正弦定理有：sin sin a bA B =，3sin 2sin 7a BA b∴===，sin()sin()sin B C A A π∴+=-==8．（2019•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【解答】解：（1）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． 设22(sin sin )sin sin sin B C A B -=-C ．则222sin sin 2sin sin sin sin sin B C B C A B C +-=-，∴由正弦定理得：222b c a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，0A π<<，3A π∴=．（2）2b c +=，3A π=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 3C C π+-=解得sin()6C π-=64C ππ∴-=，46C ππ=+，1sin sin()sin cos cos sin 464646222C ππππππ∴=+=+=⨯=． 9．（2018•全国）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知222(sin sin )()sin A C a b B -=-． （1）证明222a b c ab +-=； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：22sin sin sin a b cR A B C====， sin 2aA ∴=，sin 2b B =，sin 2c C =，222(sin sin )()sin A C a b B -=-，222()()442a cb a b ∴-=-，化简，得：222a b c ab +-=， 故222a b c ab +-=． 解：（2）222a b c ab +-=，2221cos 222a b c ab C ab ab +-∴===，解得3C π=，32sin 23c C ∴===． 10．（2018•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，得sin sin b A a B =， 又sin cos()6b A a B π=-．sin cos()6a B a B π∴=-，即1sin cos()cos cos sin sin sin 6662B B B B B B πππ=-=+=+，tan B ∴又(0,)B π∈，3B π∴=．（Ⅱ）在ABC ∆中，2a =，3c =，3B π=，由余弦定理得b ==sin cos()6b A a B π=-，得sin A =，a c <，cosA ∴=，sin 22sin cos A A A ∴==， 21cos22cos 17A A =-=，11sin(2)sin 2cos cos2sin 27A B A B A B ∴-=-=-=11．（2018•北京）在ABC ∆中，7a =，8b =，1cos 7B =-．（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）a b <，A B ∴<，即A 是锐角， 1cos 7B =-，sin B ∴== 由正弦定理得sin sin a b A B =得7sin 7sin 8a BA b===， 则3A π=．（Ⅱ）由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即216449277c c =++⨯⨯⨯，即22150c c +-=， 得(3)(5)0c c -+=， 得3c =或5c =-（舍)， 则AC边上的高sin 3h c A ===12．（2018•江苏）已知α，β为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．【解答】解：（1）由22431sin cos sin cos ααααα⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为锐角，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，227cos225cos sin ααα∴=-=-； （2）由（1）得，24sin 22sin cos 25ααα==，则sin 224tan 2cos27ααα==-． α，(0,)2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，sin()αβ∴+= 则sin()tan()2cos()αβαβαβ++==-+．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+∴-=-+==-++．13．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解答】解：（1）90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．∴由正弦定理得：sin sin AB BD ADB A =∠∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，2sin 45sin 5ADB ︒∴∠==， AB BD <，ADB A ∴∠<∠，cos ADB ∴∠==（2）90ADC ∠=︒，cos sin BDC ADB ∴∠=∠=， 2DC =BC ∴=5==．14．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin()απ+的值； （Ⅱ）若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值． 【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y =-，||1r OP =，4sin()sin 5y r απα∴+=-=-=； （Ⅱ）由35x =-，45y =-，||1r OP ==，得4sin 5α=-，3cos 5α=-，又由5sin()13αβ+=，得12cos()13αβ+=±，则1235456cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-， 或1235416cos cos[()]cos()cos sin()sin ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=． cos β∴的值为5665-或1665．15．（2018•北京）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：()I 函数21cos2()sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin(2)62x π=-+，()f x 的最小正周期为22T ππ==； （Ⅱ）若()f x 在区间[3π-，]m 上的最大值为32， 可得52[66x ππ-∈-，2]6m π-，即有262m ππ-…，解得3m π…， 则m 的最小值为3π． 16．（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=，求方程()1f x =-[π-，]π上的解．【解答】解：（1）2()sin 22cos f x a x x =+，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，()f x 为偶函数， ()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+， 2sin20a x ∴=， 0a ∴=；（2）()14f π=，2sin2cos ()1124a a ππ∴+=+=，a ∴=，2()22cos 2cos212sin(2)16f x x x x x x π∴+++=++，()1f x =2sin(2)116x π∴++=sin(2)6x π∴+= 2264x k πππ∴+=-+，或52264x k πππ+=+，k Z ∈， 524x k πππ∴=-+，或1324x k ππ=+，k Z ∈， [x π∈-，]π， 1324x π∴=或1924x π=或524x π=-或1124x π=-17．（2018•上海）已知cos y x =（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，求()3f πα-的值（2）求函数(2)2()y f x f x =-的最小值 【解答】解：（1）若1()3f α=，且[0α∈，]π，则1cos 3α=，则sin 3α==，则111()cos()cos cos sin sin 3333326f ππππαααα-=-=+=⨯+=． （2）函数2213(2)2()cos22cos 2cos 2cos 12(cos )22y f x f x x x x x x =-=-=--=--，1cos 1x -剟，∴当1cos 2x =时，函数取得最小值，最小值为32-． 18．（2017•上海）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若f （A ）0=，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）函数221()cos sin 2f x x x =-+ 1cos22x =+，(0,)x π∈， 由222k x k πππ-剟，解得12k x k πππ-剟，k Z ∈，1k =时，12x ππ剟，可得()f x 的增区间为[2π，)π；（2）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =， 若f （A ）0=，即有1cos202A +=， 解得223A π=，即13A π=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 化为2560c c -+=， 解得2c =或3， 若2c =，则cos 0B =<，即有B 为钝角，2c =不成立， 则3c =，ABC ∆的面积为11sin 5322S bc A ==⨯⨯=． 19．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，222)ac a b c =--（Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin(2)B A -的值【解答】（Ⅰ）解：由sin sin a bA B=，得sin sin a B b A =， 又sin 4sin a A b B =，得4sin sin b B a A =， 两式作比得：4a bb a=，2a b ∴=．由222)ac a b c =--，得222b c a +-=，由余弦定理，得2225cos 2b c aA bcac +-===； （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sin A =，代入sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b ==． 由（Ⅰ）知，A 为钝角，则B 为锐角，∴cos B = 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos2sin (55B A B A B A -=-=⨯-= 20．（2017•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a b >，5a =，6c =，3sin 5B =． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin(2)4A π+的值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，a b >， 故由3sin 5B =，可得4cos 5B =． 由已知及余弦定理，有22242cos 2536256135b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b =b ∴=sin A （Ⅱ）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，12sin 22sin cos 13A A A ∴==， 25cos212sin 13A A =-=-．故125sin(2)sin 2cos cos2sin 44413213226A A A πππ+=+=⨯-=．21．（2017•山东）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<，已知()06f π=．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在[4π-，3]4π上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-sin cos cos sin sin()662x x x πππωωω=---3cos 2x x ωω=-)3x πω=-，又()3sin()0663f πππω=-=，∴63k ππωπ-=，k Z ∈，解得62k ω=+， 又03ω<<， 2ω∴=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，())3f x x π-，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数)3y x π-的图象；再将得到的图象向左平移4π个单位，得到)43y x ππ+-的图象，∴函数())12y g x x π=-；当[4x π∈-，3]4π时，[123x ππ-∈-，2]3π，sin()[12x π∴-∈1]，∴当4x π=-时，()g x 取得最小值是32-． 22．（2017•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得21sin 23sin ABC a S ac B A∆==， 3sin sin 2c B A a ∴=，由正弦定理可得3sin sin sin 2sin C B A A =， sin 0A ≠，2sin sin 3B C ∴=； （2）6cos cos 1B C =， 1cos cos 6B C ∴=， 121cos cos sin sin 632B C B C ∴-=-=-， 1cos()2B C ∴+=-，1cos 2A ∴=， 0A π<<，3A π∴=，2sin sin sin a b c R A B C ===== 2sin sin 22123(23)b c bc B C R R ∴====，8bc ∴=，2222cos a b c bc A =+-， 229b c bc ∴+-=，2()9392433b c cb ∴+=+=+=，b c ∴+=∴周长3a b c ++=23．（2017•新课标Ⅱ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2s i n ()8s i n 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．【解答】解：（1）2sin()8sin 2BA C +=， sin 4(1cos )B B ∴=-， 22sin cos 1B B +=，2216(1cos )cos 1B B ∴-+=， 2216(1cos )cos 10B B ∴-+-=，216(cos 1)(cos 1)(cos 1)0B B B ∴-+-+=， (17cos 15)(cos 1)0B B ∴--=， 15cos 17B ∴=； （2）由（1）可知8sin 17B =， 1sin 22ABC S ac B ∆==，172ac ∴=， 2222217152cos 2217b ac ac B a c ∴=+-=+-⨯⨯ 22215()2153617154a c a c ac =+-=+--=--=， 2b ∴=．24．（2017•北京）已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．()I 求()f x 的最小正周期； ()II 求证：当[4x π∈-，]4π时，1()2f x -…．【解答】解：（Ⅰ）())2sin cos 3f x x x x π=--，13(22)sin 22co x x x =+-，1sin 22x x =+， sin(2)3x π=+，22T ππ∴==， ()f x ∴的最小正周期为π，（Ⅱ）[4x π∈-，]4π， 2[36x ππ∴+∈-，5]6π， 1sin(2)123x π∴-+剟，1()2f x ∴-… 25．（2017•新课标Ⅲ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD ∆的面积． 【解答】解：（1）sin 0A A +=， tan A ∴=0A π<<，23A π∴=， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 即2128422()2c c =+-⨯⨯-，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =， 故4c =．（2）2222cos c b a ab C =+-， 1628422cos C ∴=+-⨯⨯，cos C ∴=22cos AC CD C∴===12CD BC ∴=11sin 4222ABC S AB AC BAC ∆=∠=⨯⨯=，12ABD ABC S S ∆∆∴=26．（2017•江苏）已知向量(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，[0x ∈，]π． （1）若//a b ，求x 的值；（2）记()f x a b =，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值． 【解答】解：（1）(cos ,sin )a x x =，(3,3)b =-，//a b ，3sin x x =，当cos 0x =时，sin 1x =，不合题意，当cos 0x ≠时，tan x =， [0x ∈，]π， 56x π∴=，（2）1()3cos sin ))26f x a b x x x x x π===-=+， [0x ∈，]π， [66x ππ∴+∈，7]6π，1cos()6x π∴-+剟 当0x =时，()f x 有最大值，最大值3，当56x π=时，()f x 有最小值，最小值- 27．（2017•北京）在ABC ∆中，60A ∠=︒，37c a =．（1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）60A ∠=︒，37c a =，由正弦定理可得33sin sin 77C A ==， （2）7a =，则3c =，C A ∴<，22sin cos 1C C +=，又由（1）可得13cos 14C =，131sin sin()sin cos cos sin 142B A C A C A C ∴=+=+=+=11sin 7322ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=28．（2017•浙江）已知函数22()sin cos f x x x x =--cos ()x x R ∈． （Ⅰ）求2()3f π的值． （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：函数22()sin cos f x x x x =--7cos 2cos22sin(2)6x x x x π=-=+ （Ⅰ）2275()2sin(2)2sin 23362f ππππ=⨯+==， （Ⅱ）2ω=，故T π=， 即()f x 的最小正周期为π， 由72[262x k πππ+∈-+，2]2k ππ+，k Z ∈得： 5[6x k ππ∈-+，]3k ππ-+，k Z ∈，故()f x 的单调递增区间为5[6k ππ-+，]3k ππ-+或写成[6k ππ+，2]3k ππ+，k Z ∈． 29．（2016•北京）已知函数()2sin cos cos2(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）求()f x 的单调递增区间．【解答】解：()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+， sin2cos2x x ωω=+，)4x πω=+，由于函数的最小正周期为π， 则：22T ππω==， 解得：1ω=．（2）由（1）得：函数())4f x x π=+，令222()242k x k k Z πππππ-+++∈剟，解得：3()88k x k k Z ππππ-++∈剟， 所以函数的单调递增区间为：3[,]()88k k k Z ππππ-++∈． 30．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （1）证明：2A B =； （2）若2cos 3B =，求cos C 的值． 【解答】（1）证明：2cos b c a B +=， sin sin 2sin cos B C A B ∴+=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B ∴=-=-，由A ，(0,)B π∈，0A B π∴<-<，B A B ∴=-，或()B A B π=--，化为2A B =，或A π=（舍去）． 2A B ∴=．()II 解：2cos 3B =，sin B ∴=．21cos cos22cos 19A B B ==-=-，sin A =．2122cos cos()cos cos sin sin ()3927C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯-+=． 31．（2016•天津）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin a B A=． （1）求B ； （2）已知1cos 3A =，求sin C 的值．【解答】解：（1）sin 2sin a B A =，2sin sin cos sin A B B B A ∴=，cos B ∴=6B π∴=．（2）1cos 3A =，sin A ∴，11sin sin()sin cos cos sin 23C A B A B A B ∴=+=++⨯=．32．（2016•山东）设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值． 【解答】解：（Ⅰ）221cos2()23sin()sin (sin cos )23sin 1sin 2231sin 22xf x x x x x x x x π-=---=-+=-+sin 212sin(2)13x x x π==-，令222232k x k πππππ--+剟，求得51212k x k ππππ-+剟， 可得函数的增区间为[12k ππ-，5]12k ππ+，k Z ∈． （Ⅱ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得2sin()13y x π=-+的图象；再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()2sin 1y g x x ==+的图象，()2sin 166g ππ∴==33．（2016•浙江）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=． （Ⅰ）证明：2A B =；（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：2cos b c a B +=， sin sin 2sin cos B C A B ∴+=，sin sin()2sin cos B A B A B ∴++=sin sin cos cos sin 2sin cos B A B A B A B ∴++=sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B ∴=-=-A ，B 是三角形中的角， B A B ∴=-， 2A B ∴=；（Ⅱ）解：ABC ∆的面积24a S =，∴21sin 24a bc A =， 22sin bc A a ∴=，2sin sin sin sin2B C A B ∴==， sin cos C B ∴=，90B C ∴+=︒，或90C B =+︒， 90A ∴=︒或45A =︒．34．（2016•江苏）在ABC ∆中，6AC =，4cos 5B =，4C π=．（1）求AB 的长； （2）求cos()6A π-的值．【解答】解：（1）ABC ∆中，4cos 5B =，(0,)B π∈， 3sin 5B ∴=， sin sin AB ACC B=，6235AB ∴==；（2）cos cos()cos()sin sin cos cos A A C B B C B C π==--=-+=-= A 为三角形的内角，sin A ∴=，1cos()sin 62A A A π∴-=+=35．（2016•北京）在ABC ∆中，222a c b +=+． （Ⅰ）求B ∠的大小；cos A C +的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，222a c b +=．222a c b ∴+-=．222cos 2a c b B ac +-∴==， 4B π∴=（Ⅱ）由()I 得：34C A π=-，∴3cos cos()4A C A A π++-A A A =A A =+ sin()4A π=+．3(0,)4A π∈， (44A ππ∴+∈，)π，故当42A ππ+=时，sin()4A π+取最大值1，cos A C +的最大值为1．36．（2016•四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c o s c o ss i n A B Cab c+=．（Ⅰ）证明：sin sin sin A B C =； （Ⅱ）若22265b c a bc +-=，求tan B ．【解答】（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，cos cos sin A B Ca b c+=， ∴由正弦定理得：cos cos sin sin sin sin A B C A B C+=， ∴cos sin cos sin sin()1sin sin sin sin A B B A A B A B A B++==，sin()sin A B C +=．∴整理可得：sin sin sin A B C =，（Ⅱ）解：22265b c a bc +-=，由余弦定理可得3cos 5A =．4sin 5A =，cos 3sin 4A A = cos cos sin 1sin sin sin AB CA B C +==，cos 1sin 4B B =， tan 4B =．37．（2016•天津）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）讨论()f x 在区间[4π-，]4π上的单调性．【解答】解：（1）()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--．2x k ππ∴≠+，即函数的定义域为{|2x x k ππ≠+，}k Z ∈，则1()4tan cos (cos )2f x x x x x =14sin (cos )2x x x =22sin cos x x x =+sin 2cos 2)x x =+--sin 2x x =2sin(2)3x π=-， 则函数的周期22T ππ==； （2）由222232k x k πππππ-<-<+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-<<+，k Z ∈，即函数的增区间为(12k ππ-，5)12k ππ+，k Z ∈， 当0k =时，增区间为(12π-，5)12π，k Z ∈， [4x π∈-，]4π，∴此时(12x π∈-，]4π， 由3222232k x k πππππ+<-<+，k Z ∈， 得5111212k x k ππππ+<<+，k Z ∈，即函数的减区间为5(12k ππ+，11)12k ππ+，k Z ∈，当1k =-时，减区间为7(12π-，)12π-，k Z ∈， [4x π∈-，]4π，∴此时[4x π∈-，)12π-，即在区间[4π-，]4π上，函数的减区间为[4π∈-，)12π-，增区间为(12π-，]4π．38．（2016•新课标Ⅰ）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =ABC ∆，求ABC ∆的周长． 【解答】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，0C π<<，sin 0C ∴≠已知等式利用正弦定理化简得：2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 整理得：2cos sin()sin C A B C +=， 即2cos sin(())sin C A B C π-+= 2cos sin sin C C C =1cos 2C ∴=， 3C π∴=；（Ⅱ）由余弦定理得221722a b ab=+-， 2()37a b ab ∴+-=，1sin 2S ab C ===6ab ∴=，2()187a b ∴+-=， 5a b ∴+=，ABC ∴∆的周长为5+．39．（2016•山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知t a n t a n2(t a n t a n )c o s c o sA B A B B A +=+． （Ⅰ）证明：2a b c +=； （Ⅱ）求cos C 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+得： sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+； ∴两边同乘以cos cos A B 得，2(sin cos cos sin )sin sin A B A B A B +=+；2sin()sin sin A B A B ∴+=+；即sin sin 2sin A B C +=（1）；根据正弦定理，2sin sin sin a b c R A B C ===； ∴sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===，带入（1）得：2222a b c R R R +=； 2a b c ∴+=；（Ⅱ）2a b c +=；2222()24a b a b ab c ∴+=++=；22242a b c ab ∴+=-，且244c ab …，当且仅当a b =时取等号； 又a ，0b >； ∴21c ab…； ∴由余弦定理，222223231cos 12222a b c c ab c C ab ab ab +--===-…； cos C ∴的最小值为12． 40．（2016•江苏）如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，D 为垂足，E 为BC 的中点，求证：EDC ABD ∠=∠．【解答】解：在ABC ∆中，由BD AC ⊥可得90BDC ∠=︒， 因为E 为BC 的中点，所以12DE CE BC ==， 则：EDC C ∠=∠，由90BDC ∠=︒，可得90C DBC ∠+∠=︒，由90ABC ∠=︒，可得90ABD DBC ∠+∠=︒，因此ABD C ∠=∠，而EDC C ∠=∠，所以，EDC ABD ∠=∠．41．（2016•上海）已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得最大值时x 的值．【解答】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+，∴函数的周期为2T π=，函数的最大值为2，且函数取得最大值时，232x k πππ+=+，即26x k ππ=+，k Z ∈．。
高考三角函数专题(含答案)
高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间 －6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋ ，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－ 时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。
高三三角函数试卷及详细答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17B．7C．－17D．－72．函数y＝sin2x cos2x的最小正周期是( ) A．2πB．4πC.π4 D.π23．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．函数y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)(x∈R)的最小值等于( )A．－3 B．－2C．－1 D．－ 55．已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sin B＋sin C＝2sin A，则角A的对边a的值为( )A．2 B．4C. 2 D．2 26．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋cos2B＝( )A．－12 B.12C．－1 D．17．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2D ．38．(2011·浙江)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝( )A.33 B ．－33 C.539D ．－699．已知θ为第二象限角，且cos θ2＝－12，那么1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．210．(2013·大纲全国)已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是( ) A ．y ＝f (x )的图像关于点(π，0)中心对称 B ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 C ．f (x )的最大值为32D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数11.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为( )A．1，π3B．1，－π3C．2，π3D．2，－π312．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则（)A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.15．(2013·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ＝________.16．下面有五个命题：①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}．③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像．⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．18．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间． 19．(本小题满分12分)(2013·大纲全国)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ； (2)若sin A sin C ＝3－14，求C .20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2. (1)求角B 的大小；(2)若|BA→－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)． (1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．答案一、选择题1．答案，A解析，∵α∈(π2，π)，sinα＝35，∴cosα＝－45，tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17.2．答案，D解析，y＝sin2x cos2x＝12sin4x，所以最小正周期为T＝2π4＝π2.3．答案，B解析，若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋2kπ，k∈Z；若α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．4．答案，A解析，y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)＝2cos[π2－(π3－x)]＋cos(π6＋x)＝2cos(π6＋x)＋cos(π6＋x)＝3cos(π6＋x)．当x＝56π＋2kπ，k∈Z时，y min＝－3. 5．答案，B解析，因为sin B ＋sin C ＝2sin A ，所以由正弦定理得b ＋c ＝2a ，又周长为4(2＋1)，所以a ＝4.6． 答案，D解析，∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B . ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1. 7． 答案，B解析，方法一：画图知[－π3，π4]内包含最小值点，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥32. 方法二：∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2时，ωx ＝2k π－π2，x ＝2k πω－π2ω(k ∈Z )，∴－π3≤2k πω－π2ω≤π4，得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥8k －2，ω≥－12k ＋32⇒ω≥32.8． 答案，C解析，根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63.所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 9． 答案，C解析，由θ为第二象限角知θ2在第一、三象限，又由cos θ2＝－12<0知θ2是第三象限角，且cos θ2>sin θ2.故1－sin θcos θ2－sin θ2＝(cos θ2－sin θ2)2cos θ2－sin θ2＝cos θ2－sin θ2cos θ2－sin θ2＝1. 10． 答案，C解析，由题意知f (x )＝2cos 2x ·sin x ＝2(1－sin 2x )sin x . 令t ＝sin x ，t ∈[－1,1]，则g (t )＝2(1－t 2)t ＝2t －2t 3. 令g ′(t )＝2－6t 2＝0，得t ＝±33. 当t ＝±1时，函数值为0； 当t ＝－33时，函数值为－439； 当t ＝33时，函数值为439.∴g (t )max ＝439，即f (x )的最大值为439.故选C. 11. 答案，D解析，由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.12． 答案，A解析，∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13. 又∵f (π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．∴f (x )的单调递增区间为[－52π＋6k π，π2＋6k π]，单调递减区间为[π2＋6k π，72π＋6k π]，k ∈Z .观察各选项，故选A. 二、填空题13．答案，0 解析，由tan 2θ＝2tan 2φ＋1，得cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－tan 2φtan 2φ＋1. ∴cos2θ＋sin 2φ＝－tan 2φtan 2φ＋1＋sin 2φ＝－sin 2φ＋sin 2φ＝0.14．答案，，255，210解析，∵tan A ＝sin A cos A ＝2，∴sin A ＝25 5.又∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝5×25522＝210.15．答案，－255解析，f (x )＝sin x －2cos x ＝5(15sin x －25cos x )， 令cos α＝15，sin α＝－25，则f (x )＝5sin(α＋x )． 当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )有最大值5，即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )，所以cosθ＝cos(2kπ＋π2－α)＝cos(π2－α)＝sinα＝－25＝－255.16．答案，①④解析考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．③由y＝sin x在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sin x与y＝x图像只有一个交点．④y＝3sin(2x＋π3)图像向右平移π6个单位得y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin2x.⑤y＝sin(x－π2)＝－cos x在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题17．答案，偶函数，{y|－1≤y<12或12<y≤2}解析，由cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z.所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．因为f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝6cos4(－x)＋5sin2(－x)－4cos(－2x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x≠kπ2＋π4，k∈Z时，f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝(2cos2x－1)(3cos2x－1)cos2x＝3cos2x－1，所以f(x)的值域为{y|－1≤y<12或12<y≤2}．18．答案，(1){x∈R|x≠kx，k∈Z}，T＝π(2)[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)解析，(1)由sin x≠0，得x≠kπ(k∈Z)．故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝(sin x－cos x)sin2x sin x＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin2x－cos2x－1＝2sin(2x－π4)－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π4≤2kπ＋3π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ＋3π8≤x≤kπ＋7π8(k∈Z)．所以f(x)的单调递减区间为[kπ＋3π8，kπ＋7π8](k∈Z)．19．答案，(1)120°(2)15°或45°解析，(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝－12，因此B＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C ＝12＋2×3－14＝32.故A －C ＝30°或C －A ＝30°，因此C ＝15°或C ＝45°.20．答案 (1)π3，(2) 3解析 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA→－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4.∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．答案 (1)16,0<θ<π3 (2)f (θ)min ＝2 f (θ)max ＝3解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16.∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3 ＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3 ＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1.∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1.当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2； 当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．答案 (1)[0，1＋22] (2)－2解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12.又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]．(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
2023年高考数学试题分项版——三角函数(解析版)
2023年高考数学试题分项版——三角函数（解析版）一、选择题1．(2023·新高考Ⅰ卷，8)已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【答案】B【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B.2．(2023·新高考Ⅱ卷，7)已知α为锐角，15cos 4α+=，则sin 2α=（）A.358- B.158- C.354D.14-+【答案】D【解析】因为215cos 12sin 24αα+=-=，而α为锐角，解得：sin 2α=14==．故选：D ．3．(2023·全国甲卷理，7)“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π,02αβ==但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选：B4．(2023·全国甲卷理，10)已知()f x 为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数，则() y f x =与1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.5．(2023·全国甲卷文，12)函数()y f x =的图象由cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.6．(2023·全国乙卷理，6)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B.12-C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.7．(2023·全国乙卷文，4)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.故选：C.8．(2023·全国乙卷文，10)已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.9．(2023·北京卷，7)在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.10．(2023·天津卷，5)已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（）A.sin 2x π⎛⎫⎪⎝⎭B.cos 2x π⎛⎫⎪⎝⎭C.sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭D.cos 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x =处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A 选项中242T ππ==，B 选项中242T ππ==，C 选项中284T ππ==，D 选项中284T ππ==，排除选项CD ，对于A 选项，当2x =时，函数值sin 202π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A ，对于B 选项，当2x =时，函数值cos 212π⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，故2x =是函数的一条对称轴，故选：B.二、填空题1．(2023·新高考Ⅰ卷，15)已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[2,3)【解析】因为02πx ≤≤，所以02πx ωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).2．(2023·新高考Ⅱ卷，16)已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．【答案】32【解析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，k ∈Z ，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，k ∈Z ．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()23πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：32．3．(2023·全国甲卷理，16)在ABC 中，2AB =，60,6BAC BC ∠=︒=，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+，由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C==，解得：sin 4B +=，sin 2C =，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．4．(2023·全国乙卷文，14)若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】55-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：55-.5．(2023·北京卷，13)已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β=_________．【答案】①.9π4②.π3【解析】【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02<<<αβ，则00tan tan <αβ，取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ，因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ，则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.三、解答题1．(2023·新高考Ⅰ卷，17)已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．解：（1）3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==.（2）由（1）知，10cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.2．(2023·新高考Ⅱ卷，17)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的面积D 为BC 中点，且1AD =．（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c ．解：（1）方法1：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1113313sin 12222822ADC ABC S AD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯==，解得4a =，在ABD △中，2π3ADB ∠=，由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠，即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=，解得c =，则cos 14B ==，21sin 14B ===，所以sin tan cos 5B B B ==.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，π3ADC ∠=，1AD =，则1113313sin 12222822ADC ABC S AD DC ADC a a S =⋅∠=⨯⨯==，解得4a =，在ACD 中，由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADB =+-⋅∠，即214122132b =+-⨯⨯⨯=，解得b =，有2224AC AD CD +==，则π2CAD ∠=，π6C =，过A 作AE BC ⊥于E ，于是33cos ,sin 22CE AC C AE AC C ====，52BE =，所以tan 5AE B BE ==.（2）方法1：在ABD △与ACD 中，由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩，整理得222122a b c +=+，而228b c +=，则a =，又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.方法2：在ABC 中，因为D 为BC 中点，则2AD AB AC =+ ，又CB AB AC =-，于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ，即2416a +=，解得a =，又131sin 22ADC S ADC =⨯∠=，解得sin 1ADC ∠=，而0πADC <∠<，于是π2ADC ∠=，所以2b c ===.3．(2023·全国甲卷文，17)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=．（1）求bc ；（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC 面积．【答案】（1）1（2）34【解析】【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出sin A 即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【小问1详解】因为2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos 22cos cos b c a bc A bc A A+-===，解得：1bc =．【小问2详解】由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A B a B b A c A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B B A B A B A B ---=-==+++，变形可得：()()sin sin sin A B A B B --+=，即2cos sin sin A B B -=，而0sin 1B <≤，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以3sin 2A =，故ABC 的面积为1133sin 12224ABC S bc A ==⨯⨯=△．4．(2023·全国乙卷理，18)在ABC 中，已知120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【答案】（1）14；（2）310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC 的值为BC =，然后由余弦定理可得57cos 14B =，最后由同角三角函数基本关系可得21sin 14B =；(2)由题意可得4ABD ACD S S =△△，则15ACD ABC S S =△△，据此即可求得ADC △的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：22222cos BC a b c bc A==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ，则BC =22257cos 214a c b B ac +-==，sin 14B ===.【小问2详解】由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△，则111321sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭ △△.5．(2023·北京卷，17)设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =-，求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3ϕ=-.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6ϕ=-.【解析】【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈，所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．6．(2023·天津卷，16)在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c ．已知2,120a b A ==∠=．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值；（3）求()sin B C -．【答案】（1）1313（2）5（3）26-【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sin C ，再由平方关系求出cos ,cos B C ，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】由正弦定理可得，sin sin a b A B =，即2sin120sin B = ，解得：sin 13B =；【小问2详解】由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+-，即21394222c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得：5c =或7c =-（舍去）．【小问3详解】由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即5sin120sin C =，解得：sin 26C =，而120A =o ，所以,B C 都为锐角，因此cos 26C ==，cos 13B ==，故()sin sin cos cos sin 1326132626B C B C B C -=-=⨯-⨯=-．。
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16
，
又 k∈Z，知 k＝5，由此可知在闭区间 4 4 上存在 f(x)的对称轴，其方程为 x＝ 3 .
题型三 三角函数的性质与图象的移动问题
例 3 把函数 f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x 的图象沿 x 轴向左平移 m 个单位(m>0)，
17π
所得函数的图象关于直线 x＝ 8 对称． (1) 求 m 的最小值；
例 2 函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ 是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1) 求 f(0)的值；
[ ]π
我去人(2也) 若就0<φ<有π，人求函！数 为f(x)在U区R间扼0，腕3 入上的站取值内范围信． 不存在向你偶同意调剖沙
建议解收：(1)由藏题图可下知 A＝载2，本文，以便随时学习！
8
8 上是减函数．所以当 x1、x2∈ 8
8 ，且 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，
f（x1）－f（x2）
从而经过任意两点(x1，f(x1))和(x2，f(x2))的直线的斜率 k＝ x1－x2 <0.
( )π
2
2x＋
(3) 解：令 f(x)＝1，所以 cos 4 ＝－ 2 .
( ) π π 9π ， 因为 x∈(0，π)，所以 2x＋4∈ 4 4 .
T 7π π π
7π
3π
∵ 4＝12－3＝4，∴ ω＝2.又 2×12＋φ＝2kπ＋ 2 ， π
∴ φ＝2kπ＋3(k∈Z)，
( )π 6
2kπ＋
∴ f(0)＝ 2sin
3＝2.
(2)
( ) π
π
π
π
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，则使等式成立的的集合为．【答案】【解析】令得：，令得：，由得：，又角的终边在第一象限，所以因而的集合为.【考点】抽象函数赋值法2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.若点在函数的图象上，则的值为 .【答案】.【解析】由题意知，解得，所以.【考点】1.幂函数；2.三角函数求值4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.已知向量，设函数.（1）求函数在上的单调递增区间；（2）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．【答案】（1）函数在上的单调递增区间为，；（2）边的长为.【解析】（1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为.通过研究的单调减区间得到函数在上的单调递增区间为，.（2）根据两角和的正弦公式，求得，利用三角形的面积，解得，结合,由余弦定理得从而得解.试题解析：（1）由题意得3分令,解得：，，，或所以函数在上的单调递增区间为， 6分（2）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边的长为. 12分【考点】平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，三角函数的图像和性质，正弦定理、余弦定理的应用.6.函数的最小正周期为，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，得，函数关于对称，所以，，又因为，解得，故选B.【考点】的图像和性质7.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，所以从而.将各选项代入验证可知选【考点】1、三角函数的周期；2、函数图象的变换8.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性9.在中，（1）求角B的大小;（2）求的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1)由正弦定理实现边角互化，再利用两角和与差的正余弦公式化简为,再求角的值；（2）二倍角公式降幂扩角，两角差余弦公式展开，同时注意隐含条件，即可化为一角一函数，再结合求其值域.求解时一定借助函数图象找其最低点与最高点的纵坐标.试题解析：(1）由已知得：，即∴∴ 5分（2）由（1）得：，故+又∴所以的取值范围是. 12分【考点】1.正余弦定理；2.三角函数值域；3.二倍角公式与两角和与差的正余弦公式.10.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.11.函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为．【答案】【解析】根据题意，由于函数，，在上的部分图象可知周期为12，由此可知，A=5，将（5,0）代入可知，5sin(+)=0，可知=，故可知==，故答案为【考点】三角函数的解析式点评：主要是考查了三角函数的解析式的求解和运用，属于基础题。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
三角函数高考试题精选(含详细答案)
三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若ta nθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。
高考三角函数历年真题汇总以及解析
1.若34cos,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上A. 2470x y -=B. 2470x y +=C. 7240x y +=D. 7240x y -=2.已知在△ABC 中，22tan tan A a B b =，判断△ABC 的形状为（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形3.已知函数()()cos 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移6π个单位后得函数()cos2g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线23x π=对称 B. 关于直线6x π=对称C. 关于点2-03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 D. 关于点5-012π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 4.已知2sin 1cos αα=+，其中α是第一象限角，则tan2α=（ ）A.12- B. 2C.12D.135.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，且函数()12f x π+是偶函数，则下列判断正确的是（ ）A. 函数f (x )的最小正周期为2πB. 函数f (x )在区间3[,]4ππ上单调递增 C. 函数f (x )的图象关于直线712x π=-对称 D. 函数f (x )的图象关于点7(,0)12π对称 6.在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C()sin sin A B A B+=+，3cos 5C =，且4ABCS=，则c =（ ）B. 4C.3D. 57.在△ABC 中，4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）8.将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，再把所得图象上的所有点向右平移4π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3x π=处取得最大值，则函数()f x 的图象（ ）A 关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线512x π=-对称 D. 关于直线6x π=对称9.当[,]33x ππ∈-时，函数2()cos 444x x x f x =+ ）A. C. 110.若1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ）A. 78- B.78C. 18-D.1811.函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为2x π=，则a =（ ）A. 1C. 2D. 312.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4A π=，12B π=，c =，则a =（ ）A. 2B. 22C. 32D. 4213.在直角坐标系xOy 中，如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点对(A ，B 与B ，A 为同一对).函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上关于原点成中心对称的点对有（ ）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对14.将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()0m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象．若()g x 为奇函数，则m 的最小值为_______． 15.给出下列四个命题正确的是______________： ①函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点； ②将函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12倍得到函数cos(2)3y x π=-； ③若1m ≥-，则函数22log (2)y x x m =--的值域为R ；④“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； 16.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则△ABC 的形状为_____________. 17.正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，则()f x 的解析式为_______________.18.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则[0,]a M =________；a 的取值范围为________．19.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，22a bc =且sin 2sin A C =，则cos C ________．20.△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b sin A a cos B +a sin B ． （1）求B ；（2）设b ＝，a ＝4，D 为线段BC 上一点，若S △ABD ，求AD 的长． 21.已知函数()()22sin cos f x x x x =++-（1）求它的单调递增区间； （2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求此函数的值域. 22.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22sin 30C C -++=． （1）求角C 的大小；（2）若b =，△ABC 的面积为sin 2A B ，求sin A 及c 的值． 23.已知函数()2cos 2sin 2x x f x x πωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值和函数f (x )的单调增区间； （2）求函数f (x )在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 24.已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 2a c Bb =+. （1）求cos C ；（2）若c =，求+a b 的取值范围.25.已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-（x ∈R ）. （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间；（2）若06()5f x =，0[,]42x ππ∈，求0cos2x 的值. 26.已知a ，b ，c 分别为说角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，满足222sin sin sin sin sin 0.A B C B C --+=（1）求A ；（2）若b =2，求△ABC 面积的取值范围. 27.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足下列3个条件中的2个条件：①函数f (x )的周期为π；②6x π=是函数f (x )的对称轴；③04f π⎛⎫=⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调； （Ⅰ）请指出这二个条件并说明理由，求出函数f (x )的解析式； （Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f (x )的最值.试卷答案1.B【详解】由条件可知2724cos 2cos1,sin 2sin cos 2252225θθθθθ=-=-==， 24tan 7θ-=．又24tan 7y x θ==-， 所以247x y =-，即2470x y +=. 故选：B ． 2.C 【分析】22tan tan A a B b=左边切化弦，右边用正弦定理化边为角可解 【详解】22tan tan A a B b =，22sin cos sin sin cos sin A B AB A B∴=cos sin cos sin B A A B∴=，sin cos sin cos A A B B ∴= sin 2sin 2A B ∴=22A B ∴=或2+2=A B πA B ∴=或+=2A B πABC 是等腰或直角三角形故选：C ． 3.D 由题意得22ππω=，故1ω=， ∴()cos(2)f x x ϕ=+， ∴()cos[2()]cos(2)cos 263g x x x x ππϕϕ=-+=-+=，∴3πϕ=，∴()cos(2)3f x x π=+．∵2251()cos(2)cos 133332f ππππ=⨯+==≠±，21()cos(2)cos 166332f ππππ=⨯+==-≠±， ∴选项A,B 不正确． 又22()cos(2)cos()10333f ππππ-=-⨯+=-=-≠， 55()cos(2)cos()0121232f ππππ-=-⨯+=-=， ∴选项C,不正确，选项D 正确．选D ． 4.C 【分析】由二倍角公式和平方关系可得22sincoscos 222ααα=，再由商数关系即可得解.【详解】因为2sin 1cos αα=+，所以224sin cos1cos sin 2222αααα=+-，所以22sincoscos 222ααα=，又α是第一象限角，所以cos02α≠，所以2sincos1222cos 2ααα=即1tan 22α=.故选：C.【点睛】本题考查了二倍角公式及同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 5.B图像相邻两条对称轴之间的距离为2π，即三角函数的周期为22,,22ππππωω⨯=∴==,所以sin 2sin 212126f x x x πππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，,62k k Z ππϕπ∴+=+∈,即,3k k Z πϕπ=+∈,又2πϕ<,解得3πϕ=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A项,最小正周期T π=,错误;B 项, 由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈,解得单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦,k=1时成立,故正确;;C 项, 2,32x k k Z πππ+=+∈,解得对称轴是,212k x k Z ππ=+∈,错误;D 项, 由2,3x k k Z ππ+=∈,解得对称中心是,0,26⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ,错误;综上所述,应选B. 6.B 【分析】由三角函数的基本关系式和4ABCS=，求得10ab =，再由正弦定理，得到a b =+，根据余弦定理，列出方程，即可求解.【详解】因3cos 5C =，则(0,)2C π∈，所以4sin 5==C ，又因为4ABCS=，即114sin 4225ab C ab =⨯=，解得10ab =，sin sin C A B =+a b =+， 由余弦定理，可得22222223162cos 2()33255c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-⨯=+-=-，整理得216c =，即4c =.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档题． 7.C试题分析：由余弦定理得22923cos5,4b b π=+-⋅==.由正弦定理得3sin sin 4BAC π=∠，解得sin BAC ∠=考点：解三角形. 8.C 【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到sin 2)2(x g x πϕ⎛⎫-+ ⎝=⎪⎭，函数()g x 在3x π=处取得最大值，求得3πϕ=，再求函数()f x 的对称轴和对称中心即可．【详解】由题意得，12sin 2sin (4)222x x x g ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=， 由函数()g x 在3x π=处取得最大值，得max sin 2sin 13326()g x g ππππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，23k πϕπ=+，k Z ∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由23x k ππ+=，k Z ∈，得26k x ππ=-，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象关于,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈对称， 故A ，B 选项错误； 由232x k πππ+=+，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈， 显然当1k =-时，函数()f x 的图象的对称轴为直线512x π=-， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的最值，三角函数图象的对称性等，考查的数学核心素养是数学运算、直观想象． 9.B【分析】由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值． 【详解】21()cos sin 4442222223x x x x x x x x f x π⎫⎛⎫=-=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,2362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以236x ππ+=，即3x π=-时，min ()2f x =． 故选：B ．【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式． 10.A 【分析】 根据1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，将sin 2α，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为2sin 22cos 14παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.【详解】因为1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， 所以27sin 2cos 22cos 1448ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 11. B 【详解】试题分析：()f x 的对称轴是2x π=2f π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭cos cos 36a ππ+=a =考点：三角函数性质点评：利用对称轴处取最值求解 12.C 【分析】先求得C ，然后利用正弦定理求得a . 【详解】因为,412A B ππ==，所以23C A B ππ=--=，所以sin sin c Aa C===故选：C【答案】 13.C 【分析】作出函数6log y x =，作出sin ,02y x x π=≤关于原点的对称图像，由图象交点个数即可得到结论.【详解】若()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩图象上有关于原点成中心对称的点， 则6log y x =与sin,02y x x π=≤关于原点对称图像有交点，作出6log y x =，sin(),02y x x π=--≥图象如图，由图象可知，有3个交点，从而()f x 有3对关于原点对称的点. 故选：C【点睛】本题主要考查了对数函数、正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，属于中档题. 14.3π 【分析】利用图象变换求得函数()y g x =的解析式，由函数()y g x =为奇函数，可得出关于m 的代数式，进而可求得正数m 的最小值. 【详解】将函数()sin 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数11sin 3sin 6626y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 再将所得函数图象向右平移()0m m >个单位长度，得到()()111sin sin 26262g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，由于函数()y g x =为奇函数，则()162m k k Z ππ-=∈，()23m k k Z ππ∴=-∈， 当0k =时，正数m 取得最小值3π. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用正弦型函数的奇偶性求参数，考查计算能力，属于中等题.①③④ 【分析】根据零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义判断各选项．【详解】①()ln 2f x x x =-+，(1)10f =-<，()10f e e =->，由零点存在定理得()f x 在(1,)e 上有零点，①正确；②函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②错误；③1m ≥-时，440m ∆=+≥，故函数值域为R ，③正确；④()1x x a e f x ae -=+是奇函数，则1()11x x xx x xa e ae a e f x ae e a ae------===-+++，22(1)(1)0xa e --=，1a =±，因此“1a =”是“函数()1xxa e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确． 故答案为：①③④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义是解题基础． 16. 直角三角形 【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos cos sin a B b A c A+=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=，即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=，0C π<<，则sin 0C >，sin 1A ∴=，0A π<<，2A π∴=.因此，ABC 为直角三角形. 故答案为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基17.()2sin(2)3f x x π=+【分析】由最值求得A ，由周期求得ω，由最高点或零点横坐标及ϕ的范围求得ϕ，得解析式．【详解】由题意1A =，4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴22πωπ==， 由正弦函数性质得，22122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∵2πϕ<，∴3πϕ=．∴()2sin(2)3f x x π=+．故答案为：()2sin(2)3f x x π=+【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键． 18. 1； 513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据三角函数的有界性易得[0,]1a M =，通过作图分析可得a 的取值范围. 【详解】作出函数sin y x =的图象，如图所示：显然，[0,]a M 的最大值为1，[0,][,2]2a a a M M ≥，∴[,2]a a M 的最大值为12， 作出直线12y =与sin y x =相交于,,A B C 三点，且151131(,)(,),(,)626262A B C πππ，由图形可得：5,513613662,6a a a ππππ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≤⎪⎩， 故答案为：513[,]66ππ. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意结合图象进行分析求解. 19.78【分析】根据正弦定理将角化成边得2a c =，结合2b c =，将边统一用c 表示，再利用余弦定理，即可得答案； 【详解】sin 2sin 2A C a c =⇒=，又22a bc =，∴2b c =，∴2222277cos 2248a b c c C ab c +-===⋅⋅， 故答案为：78. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将边统一用c 进行表示，进而求得角的余弦值. 20. （1）3π；（2） 【分析】（1）根据2b sin Aa cos B +a sin B ,利用正弦定理得到sin sin cos B A A B =,再根据sin 0A ≠求解.（2）在△ABC 中，利用余弦定理求得c ，再由S △ABD，求得BD ，然后 在△ABD 中，由余弦定理求解.【详解】（1）因为2b sin Acos B +a sin B ,所以2sin sin sin cos sin sin B A A B A B =+,sin sin cos B A A B =,sin 0A ≠tan B =()0,B π∈ 3B π=（2）在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，解得6c =或2c =-（舍去），因为S △ABD ＝1sin 22⨯⨯=BD c B ， 解得 3BD =，在△ABD 中，由余弦定理得：2222cos 27AD BD c BD c B =+-⨯⨯⨯=，解得AD =.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21.（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）(1⎤⎦.【分析】（1）化简()f x ，再根据正弦函数的单调增区间代入求解即可． （2）根据（1）的结果()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求出23x π+的范围结合sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的值域为,12⎛⎤-⎥⎝⎦，即可求出结果．【详解】（1）())21sin 22cos 1f x x x =+-1sin 212sin 23x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由222232k x k πππππ-+≤+≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈.故此函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）.（2）由02x π<<，得42333x πππ<+<.sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦.()12sin 23f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的值域为(1⎤⎦，故此函数的值域为(1⎤-⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中档题． 22.（1）34C π=；（2）sin 1A c ==. 【分析】（1）由三角恒等变形可得cos 2C =-，0C π<<又，即34C π=．（2）由余弦定理得c =，再由正弦定理及三角形面积公式可得：2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C==，即1c ==，得解.【详解】解：（1）22sin 30C C -++=，可得：22(1cos )30C C --++=，22cos 10C C ∴++=， cos C ∴=0C π<<，34C π∴=． （2）2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，c ∴，sin C A ∴，sinA C ∴==，1sin sin 2ABC S ab C A B ∆=，∴1sin sin 2ab C A B =，∴2sin ()sin sin sin sin a b c C C A B C=1c ∴=．【点睛】本题考查了三角恒等变形及正余弦定理，属中档题. 23.（1）1ω=；单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）[]0,3. 【分析】（1）先将函数解析式整理，得到()2sin 216f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭πω，根据最小正周期，即可求出1ω=，由正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调增区间； （2）先由3x ππ≤≤，得到7132666x πππ≤+≤，根据正弦函数的性质，即可求出结果. 【详解】（1）()2cos 2sin cos 1cos 22x x x x x f x x ⎛⎫=++=-+- ⎪⎝⎭πωωωωωω2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭πωωω，∵函数()f x 的最小正周期为22T ππω==， ∴1ω=；∴()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 由3222262k x k πππππ+≤+≤+()k ∈Z ，得263k x k ππππ+≤≤+()k ∈Z ，∴函数()f x 的单调增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （2）由2x ππ≤≤得7132666x πππ≤+≤， 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()[]2sin 210,36f x x ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭π. 即()f x 的取值范围为[]0,3.【点睛】本题主要考查由正弦型函数的周期求参数，考查求正弦型函数的单调区间，考查求正弦型函数在给定区间的值域，属于常考题型. 24.（1）12；（2）3【分析】（1）利用余弦定理将角转化为边，再利用余弦定理求得结果；（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的取值范围.【详解】（1）由1cos 2a c Bb =+，可得222222cos a ab ac B a c b -==+-， 整理得222a b c ab +-=，所以222cos 122a b c C ab +-==.（2）由（1）得1cos 2C =，0C π<<,3C π=，,sin 2C =，c = 由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===， ∴22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A π⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭3sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∵3C π=,∴203A π<<，5666A πππ<+<， 1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴+a b 的取值范围是3.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 25.（1）最小正周期是π，增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2 【分析】（1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解； （2）由（1）求得0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求出0cos 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭，然后用两角差的余弦公式求解．【详解】（1）1()2cos 222cos 22sin 2326f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤， 由72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤， 所以()f x 的增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）得062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0252,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦431552=-+⨯=【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解． 26.（1）3A π=；（2）(2【分析】 （1）利用正弦定理的边角互化可得222a b c bc =+-，再利用余弦定理即可求解. （2）利用正弦定理可得2sin sin C c B=，再利用三角形的面积公式可得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯，根据三角形的内角和性质以及两角差的正弦公式可将式子312tan B ⨯，结合B 的取值范围即可求解. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得， 222,a b c bc =+- 由余弦定理可得2221cos .22b c a A bc +-== 又0A π<<，.3A π∴=（2） 由已知及正弦定理得， 2sin ,sin C c B =由2,3B C π+=得12sin 2sin 2sin ABC C S A B=⨯⨯2sin()313.sin 2tan B B Bπ-==+⨯ ABC 是锐角三角形，得20,0,232B B πππ<<<-<得.62B ππ<<tan B >∴10tan B ∴<<ABC S <<所以ABC面积的取值范围是,2 【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、两角差的正弦公式，属于中档题.27.（Ⅰ）①②成立，理由见解析，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭；（Ⅱ）f (x )的最大值为1；最小值为12.【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域，即可得出最值. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=. 由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈ 由③得，44m m πωπωωπϕπ+=⇒=-，m Z ∈220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤ 若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭. 若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意. 若②③成立，则()1266264k m m k ππωπωππω+-=-⇒=--≥，k Z ∈与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立.所以，只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭. （Ⅱ）由题意得，()5102136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤. 所以，当6x π=时，函数()f x 取得最大值1；当0x =或3x π=时，函数()f x 取得最小值12.。
(完整word版)三角函数高考题及答案
1.（上海，15)把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程是（ ） A 。
（1－y ）sin x +2y －3=0 B.（y －1）sin x +2y －3=0 C 。
（y +1）sin x +2y +1=0D.－（y +1)sin x +2y +1=02.（北京,3）下列四个函数中，以π为最小正周期,且在区间（2π,π）上为减函数的是（ ） A.y =cos 2xB.y ＝2｜sin x ｜C.y ＝（31)cos xD.y =－cot x3。
（全国，5）若f （x ）sin x 是周期为π的奇函数，则f (x ）可以是（ ） A 。
sin x B 。
cos x C.sin2x D.cos2x4.（全国，6)已知点P （sin α－cos α，tan α）在第一象限,则在[0,2π］内α的取值范围是（ ） A.（2π,43π）∪(π，45π） B.（4π，2π)∪(π，45π） C.（2π，43π)∪（45π，23π）D 。
（4π,2π）∪（43π，π） 5.（全国）若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是（ ）A.{x |2k π－43π〈x 〈2k π+4π,k ∈Z }B 。
{x ｜2k π+4π<x 〈2k π+45π,k ∈Z } C.｛x |k π－4π<x 〈k π+4π，k ∈Z ｝ D.{x ｜k π+4π<x 〈k π+43π，k ∈Z ｝ 6.(全国，3）函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π)的最小正周期是（ ）A 。
6πB 。
2π C.32πD 。
3π7。
（全国，9）已知θ是第三象限角,若sin 4θ＋cos 4θ＝95，那么sin2θ等于（ ) A 。
322 B.－322 C 。
32D.－32 8。
(全国，14)如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称，那么a 等于（ ） A.2B.－2C 。
三角函数高考试题精选(含详细答案解析)
三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin 2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos （﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin （3x﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 1 ．【解答】解：f（x）=sin 2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t 2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 4 ．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x ﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
高考数学三角函数与解三角真题训练100题含参考答案
（2）求 在 上的单调增区间.
89．已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.
90．已知向量 ， ， .
(1)求函数 的最小正周期及 取得最大值时对应的 的值；
(2)在锐角三角形 中，角 、 、 的对边为 、 、 ，若 ， ，求三角形 面积的最大值并说明此时该三角形的形状.
A．90°B．60°C．45°D．30°
39．已知函数 的部分图像如图所示，将 图像上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得图像对应的函数 解析式为（）
A． B．
C． D．
40．函数 在 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
41．已知 ， ，则 的值为
A． B． C． D．
42．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ， 的面积 ，则 的外接圆的直径为（）
19．如图，在扇形OAB中， ，半径OA=2，在 上取一点M，连接OM，过M点分别向线段OA，OB作垂线，垂足分别为E，F，得到一个四边形MEOF.设 ，则四边形MEOF的面积为（）
A． B．
C． D．
20．设 ， ， 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 与 不共线，
， ，则 的值一定等于（）
55．在 中， ， ， ，则 ________.
56．在锐角 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 ， ，则 面积的取值范围为______．
57．用列举法写出 __________.
58．在△ABC中，∠B=75°，∠C=60°，c=1，则最小边的边长为______________________ .
高考三角函数(含答案)
三角函数习题一、选择题1、以下四个命题中：（1）第一象限的角一定不是负角；（2）小于90°的角是锐角；（3）锐角是第一象限的角；（4）第二象限期角是钝角，其中正确命题个数是 （ ）A 、1 ； B 、2； C 、3 ； D 、4。
2.下列角中终边与-300°的终边相同的角是 （ ）A-60°； B 、300°； C 、60°； D 、630°。
3.终边在坐标轴上角的集合可以表示成 （ ）。
A 、0{|90}2k k Z αα=⋅∈，； B 、 0{|180}k k Z αα=⋅∈，；C 、 0{|180}k k Z αα=⋅∈0+90，；D 、 {α| α=k ·360°+90°,k ∈Z }。
4.若α是第一象限的角,则2α所在的象限为（ ）。
A 、第一象限； B 、 第一或第二象限； C 、 第一或三象限； D 、 第一或四象限。
5.下列命题正确的是 （ ）。
A 、 用弧度制表示的角都是正角；B 、1弧度角的大小与圆的半径无关；C 、大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大；D 、圆心角为1弧度的扇形的弧长相等。
6、终边落在x 轴上的角的集合是（ ）。
A 、{α|α=2k π,k ∈Z}；B 、{α|α=k π,k ∈Z}；C 、{α|α=（2k+1）π,k ∈Z}；D 、{α|α=2k π,k ∈Z}7、若α的终边在y 轴上，则在α的六种三角函数中，函数值不存在的是（ ）。
A 、sin α与cos α ；B 、t a n α与cot α；C 、t a n α与sec α；D 、cot α与csc α。
8、若角α的终边经过点P （－3，－2），则（ ）A 、sin α·t a n α>0 ；B 、cos α·t a n α>0；C 、sin α·cos α>0 ；D 、sin α·cot α>0。
高中三角函数习题解析精选含详细解答
三角函数题解1.2003上海春;15把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位;再沿y 轴向下平移1个单位;得到的曲线方程是A.1－y sin x +2y －3=0B.y －1sin x +2y －3=0C.y +1sin x +2y +1=0D.－y +1sin x +2y +1=02.2002春北京、安徽;5若角α满足条件sin2α＜0;cos α－sin α＜0;则α在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.2002上海春;14在△ABC 中;若2cos B sin A ＝sinC;则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形4.2002京皖春文;9函数y =2sin x 的单调增区间是 A.2k π－2π;2k π＋2πk ∈ZB.2k π＋2π;2k π＋23πk ∈Z C.2k π－π;2k πk ∈Z D.2k π;2k π＋πk ∈Z5.2002全国文5;理4在0;2π内;使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为 A.4π;2π∪π;45πB.4π;π C.4π;45πD.4π;π∪45π;23π6.2002北京;11已知fx 是定义在0;3上的函数;fx 的图象如图4—1所示;那么不等式fx cos x ＜0的解集是A.0;1∪2;3B.1;2π∪2π;3图4—1C.0;1∪2π;3D.0;1∪1;37.2002北京理;3下列四个函数中;以π为最小正周期;且在区间2π;π上为减函数的是 A.y =cos 2xB.y ＝2|sin x |C.y ＝31cos xD.y =－cot x8.2002上海;15函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π的大致图象是9.2001春季北京、安徽;8若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角;则点P cos B －sin A ;sin B －cos A 在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.2001全国文;1tan300°+cot405°的值是 A.1＋3B.1－3C.－1－3D.－1＋311.2000全国;4已知sin α＞sin β;那么下列命题成立的是 A.若α、β是第一象限角;则cos α＞cos β B.若α、β是第二象限角;则tan α＞tan β C.若α、β是第三象限角;则cos α＞cos β D.若α、β是第四象限角;则tan α＞tan β12.2000全国;5函数y ＝－x cos x 的部分图象是13.1999全国;4函数fx =M sin ωx ＋ϕω＞0;在区间a ;b 上是增函数;且fa =－M ;fb =M ;则函数gx =M cos ωx ＋ϕ在a ;b 上A.是增函数B.是减函数C.可以取得最大值－D.可以取得最小值－m14.1999全国;11若sin α＞tan α＞cot α－2π＜α＜2π);则α∈A.－2π;－4π B.－4π;0C.0;4πD.4π;2π15.1999全国文、理;5若fx sin x 是周期为π的奇函数;则fx 可以是 A.sin x B.cos x C.sin2x D.cos2x16.1998全国;6已知点P sin α－cos α;tan α在第一象限;则在0;2π内α的取值范围是 A.2π;43π∪π;45πB.4π;2π∪π;45π C.2π;43π∪45π;23πD.4π;2π∪43π;π 17.1997全国;3函数y =tan 3121-x π在一个周期内的图象是18.1996全国若sin 2x >cos 2x ;则x 的取值范围是 A.{x |2k π－43π<x <2k π+4π;k ∈Z } B.{x |2k π+4π<x <2k π+45π;k ∈Z }C.{x |k π－4π<x <k π+4π;k ∈Z }D.{x |k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z }19.1995全国文;7使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是A.－43π;4πB.－2π;2πC.－4π;43πD.0;π20.1995全国;3函数y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是A.6πB.2πC.32πD.3π21.1995全国;9已知θ是第三象限角;若sin 4θ＋cos 4θ＝95;那么sin2θ等于 A.322 B.－322 C.32D.－32 22.1994全国文;14如果函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;那么a 等于A.2B.－2C.1D.－123.1994全国;4设θ是第二象限角;则必有 A.tan2θ>cot 2θ B.tan2θ<cot 2θC.sin2θ>cos 2θ D.sin2θ－cos 2θ 24.2002上海春;9若fx =2sin ωx 0＜ω＜1)在区间0;3π上的最大值是2;则ω＝ .25.2002北京文;13sin 52π;cos 56π;tan 57π从小到大的顺序是 .26.1997全国;18︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为_____.27.1996全国;18tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.28.1995全国理;18函数y ＝sin x －6πcos x 的最小值是 .29.1995上海;17函数y ＝sin 2x ＋cos 2x在－2π;2π内的递增区间是 .30.1994全国;18已知sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π;则cot θ的值是 .31.2000全国理;17已知函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到32.2000全国文;17已知函数y ＝3sin x ＋cos x ;x ∈R .1当函数y 取得最大值时;求自变量x 的集合；2该函数的图象可由y ＝sin xx ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到33.1995全国理;22求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值. 34.1994上海;21已知sin α＝53;α∈2π;π;tan π－β＝21; 求tan α－2β的值.35.1994全国理;22已知函数fx =tan x ;x ∈0;2π;若x 1、x 2∈0;2π;且x 1≠x 2;证明21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间； ⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.37. 求函数f x =121log cos()34x π+的单调递增区间38. 已知fx =5sin x cos x -35cos 2x +325x ∈R ⑴求fx 的最小正周期； ⑵求fx 单调区间；⑶求fx 图象的对称轴;对称中心..39若关于x 的方程2cos 2π + x - sin x + a = 0 有实根;求实数a 的取值范围..参考答案1.答案：C解析：将原方程整理为：y =x cos 21+;因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位;因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得y +1sin x +2y +1=0.评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解;可直接化为：y +1cos x －2π+2y +1－1=0;即得C 选项.2.答案：B解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号;∴α在二、四象限; 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α由图4—5;满足题意的角α应在第二象限3.答案：C解析：2sin A cos B ＝sin A ＋B ＋sin A －B 又∵2sin A cos B ＝sin C ; ∴sin A －B ＝0;∴A ＝B 4.答案：A解析：函数y =2x 为增函数;因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.5.答案：C解法一：作出在0;2π区间上正弦和余弦函数的图象;解出两交点的横坐标4π和45π;由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线;由正弦线、余弦线知应选C.如图4—7 6.答案：C图4—5解析：解不等式fx cos x ＜0⎪⎩⎪⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或∴⎩⎨⎧<<<<⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1010231x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.答案：B解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x+;x =π;但在区间2π;π上为增函数.B 项：作其图象4—8;由图象可得T =π且在区间2π;π上为减函数.C 项：函数y =cos x 在2π;π区间上为减函数;数y =31x 为减函数.因此y =31cos x 在2π;π区间上为增函数.D 项：函数y ＝－cot x 在区间2π;π上为增函数. 8.答案：C解析：由奇偶性定义可知函数y =x +sin|x |;x ∈－π;π为非奇非偶函数. 选项A 、D 为奇函数;B 为偶函数;C 为非奇非偶函数. 9.答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角;∴A ＋B ＞90°; ∴B ＞90°－A ;∴cos B ＜sin A ;sin B ＞cos A ;故选B. 10.答案：B 解析：tan300°＋cot405°＝tan360°－60°＋cot360°＋45°＝－tan60°＋cot45°＝1－3.11.答案：D解析：因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反;所以可排除A 、C;在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反;所以排除B.只有在第四象限内;正弦函数与正切函数的增减性相同.12.答案：D解析：因为函数y ＝－x cos x 是奇函数;它的图象关于原点对称;所以排除A 、C;当 x ∈0;2π时;y ＝－x cos x ＜0.13.答案：C图4—8解法一：由已知得M ＞0;－2π＋2k π≤ωx ＋ϕ≤2π＋2k πk ∈Z ;故有gx 在a ;b 上不是增函数;也不是减函数;且当ωx ＋ϕ＝2k π时gx 可取到最大值M ;答案为C.解法二：由题意知;可令ω＝1;ϕ＝0;区间a ;b 为－2π;2π;M ＝1;则gx 为cos x ;由基本余弦函数的性质得答案为C.评述：本题主要考查函数y =A sin ωx ＋ϕ的性质;兼考分析思维能力.要求对基本函数的性质能熟练运用正用逆用；解法二取特殊值可降低难度;简化命题. 14.答案：B解法一：取α＝±3π;±6π代入求出sin α、tan α、cot α之值;易知α＝－6π适合;又只有－6π∈－4π;0;故答案为B.解法二：先由sin α＞tan α得：α∈－2π;0;再由tan α＞cot α得:α∈－4π;0评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系;1995年、1997年曾出现此类题型;运用特殊值法求解较好.15.答案：B解析：取fx =cos x ;则fx ·sin x =21sin2x 为奇函数;且T =π. 评述：本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 16.答案：B解法一：P sin α－cos α;tan α在第一象限;有tan α＞0; A 、C 、D 中都存在使tan α＜0的α;故答案为B.解法二：取α＝3π∈2,4ππ;验证知P 在第一象限;排除A 、C;取α＝65π∈43π;π;则P 点不在第一象限;排除D;选B.解法三：画出单位圆如图4—10使sin α－cos α＞0是图中阴影部分;又tan α＞0可得24παπ<<或π＜α＜45π;故选B. 评述：本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用;突出考查了转化思想和转化方法的选择;采用排除法不失为一个好办法.17.答案：A解析：y ＝tan 3121-x π＝tan 21x －32π;显然函数周期为T ＝2π;且x ＝32π时;y =0;故选A.评述：本题主要考查正切函数性质及图象变换;抓住周期和特值点是快速解题的关键.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x =cos 2x －sin 2x <0;所以2k π+2π<2x <2k π+23π;k ∈Z .解得k π+4π<x <k π+43π;k ∈Z 注：此题也可用降幂公式转化为cos2x <0. 解析二：由sin 2x >cos 2x 得sin 2x >1－sin 2x ;sin 2x >21.因此有sin x >22或sin x <－22.由正弦函数的图象或单位圆得2k π+4π<x <2k π+43π或2k π+45π<x <2k π+47πk ∈Z ;2k π+45π<x <2k π+47π可写作2k +1π+4π<x <2k +1π+43π;2k 为偶数;2k +1为奇数;不等式的解可以写作n π+4π<x <n π+43π;n ∈Z . 评述：本题考查三角函数的图象和基本性质;应注意三角公式的逆向使用. 19.答案：A 解法一：由已知得：2 sin x －4π≤0;所以2k π＋π≤x －4π≤2k π＋2π;2k π＋45π≤x ≤2k π＋49π;令k =－1得－43π≤x ≤4π;选A. 解法二：取x ＝32π;有sin 2132cos ,2332-==ππ;排除C 、D;取x ＝3π;有sin3π＝213cos ,23=π;排除B;故选A. 解法三：设y ＝sin x ;y ＝cos x .在同一坐标系中作出两函数图象如图4—11;观察知答案为A.解法四：画出单位圆;如图4—12;若sin x ≤cos x ;显然应是图中阴影部分;故应选A.评述：本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象;属基本求范围题;入手容易;方法较灵活;排除、数形结合皆可运用.20.答案：C图4—12图4—11解析：y ＝4sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π＝554sin3x ＋4π＋53cos3x ＋4π＝5sin3x ＋4π＋ϕ其中tan ϕ＝43所以函数y ＝sin3x ＋4π＋3cos3x ＋4π的最小正周期是T ＝32π. 故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin α＋ϕ;其中sinϕ＝22ba b +;cos ϕ＝22ba a +;及正弦函数的周期性.21.答案：A解法一：将原式配方得sin 2θ＋cos 2θ2－2sin 2θcos 2θ＝95 于是1－21sin 22θ＝95;sin 22θ＝98;由已知;θ在第三象限; 故2k π＋π＜θ＜2k π＋23π从而4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π 故2θ在第一、二象限;所以sin2θ＝322;故应选A. 解法二：由2k π＋π＜θ＜2k π＋23π;有4k π＋2π＜4k π＋3πk ∈Z ;知sin2θ＞0;应排除B 、D;验证A 、C;由sin2θ＝322;得2sin 2θcos 2θ＝94;并与sin 4θ＋cos 4θ＝95相加得sin 2θ＋cos 2θ2＝1成立;故选A.评述：本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号的判别.22.答案：D解析：函数y =sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =－8π对称;表明：当x =－8π时;函数取得最大值12+a ;或取得最小值－12+a ;所以有sin －4π+a ·cos －4π2=a 2+1;解得a =－1.评述：本题主要考查函数y =a sin x +b cos x 的图象的对称性及其最值公式.23.答案：A解法一：因为θ为第二象限角;则2k π＋2π＜θ＜2k π＋πk ∈Z ;即2θ为第一象限角或第三象限角;从单位圆看是靠近轴的部分如图4—13;所以tan2θ＞cot 2θ. 解法二：由已知得：2k π＋2π＜θ＜2k π＋π;k π＋4π＜2θ＜ k π＋2π;k 为奇数时;2n π＋45π＜2θ＜2n π＋23πn ∈Z ； k为偶数时;2n π＋4π＜2θ＜2n π＋2πn ∈Z ;都有tan 2θ＞cot 2θ;选A.评述：本题主要考查象限角的概念和三角函数概念;高于课本.24.答案：43 解析：∵0＜ω＜1 ∴T ＝ωπ2＞2π ∴fx 在0;3π区间上为单调递增函数∴fx max ＝f3π即2sin23=ωπ又∵0＜ω＜1 ∴解得ω＝4325.答案：cos56π＜sin 52π＜tan 57π 解析：cos56π＜0;tan 57π＝tan 52π ∵0＜x ＜2π时;tan x ＞x ＞sin x ＞0 ∴tan 52π＞sin 52π＞0 ∴tan 57π＞sin 52π＞cos 56π26.答案：2－3解析：︒︒︒︒=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒=︒︒-︒︒︒+︒8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin图4—133230sin 30cos 115tan -=︒︒-=︒=.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.27.答案：3解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ;∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°;∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.28.答案：－43 解析：y ＝sin x －6πcos x ＝21sin2x －6π－sin 6π＝21sin2x －6π－21当sin2x －6π＝－1时;函数有最小值;y 最小＝21－1－21＝－43. 评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性或值域.29.答案：2,23ππ-解析：y ＝sin2x ＋cos 2x ＝2sin 42π+x ;当2k π－2π≤2x ＋4π≤2k π＋2πk ∈Z 时;函数递增;此时4k π－23π≤x ≤4k π＋2πk ∈Z ;只有k ＝0时;－23π;2π－2π;2π. 30.答案：－43 解法一：设法求出sin θ和cos θ;cot θ便可求了;为此先求出sin θ－cos θ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sin θcos θ＝251 变形得1－2sin θcos θ＝2－251;即sin θ－cos θ2＝2549 又sin θ＋cos θ＝51;θ∈0;π 则2π＜θ＜43π;如图4—14 所以sin θ－cos θ＝57;于是 sin θ＝54;cos θ＝－53;cot θ＝－43. 解法二：将已知等式平方变形得sin θ·cos θ＝－2512;又θ∈0;π;有cos θ＜0＜sin θ;且cos θ、sin θ是二次方程x 2－51x －2512＝0的两个根;故有cos θ＝－53; sin θ＝54;得cot θ＝－43. 评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力;方法较灵活. 31.解：1y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1＝412cos 2x －1＋41＋432sin x cos x ＋1 ＝41cos2x ＋43sin2x ＋45＝21cos2x ·sin 6π＋sin2x ·cos 6π＋45＝21sin2x ＋6π＋45y 取得最大值必须且只需2x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;图4—14即x ＝6π＋k π;k ∈Z .所以当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝6π＋k π;k ∈Z ｝.2将函数y ＝sin x 依次进行如下变换： ①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍纵坐标不变;得到函数 y ＝sin2x ＋6π的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍横坐标不变;得到函数 y ＝21sin2x ＋6π的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度;得到函数y ＝21sin2x ＋6π＋45的图象；综上得到函数y ＝21cos 2x ＋23sin x cos x ＋1的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力.32.解：1y ＝3sin x ＋cos x ＝2sin x cos6π＋cos x sin6π＝2sin x ＋6π;x ∈Ry 取得最大值必须且只需x ＋6π＝2π＋2k π;k ∈Z ;即x ＝3π＋2k π;k ∈Z .所以;当函数y 取得最大值时;自变量x 的集合为｛x |x ＝3π＋2k π;k ∈Z ｝2变换的步骤是：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移6π;得到函数y ＝sin x ＋6π的图象；②令所得到的图象上各点横坐标不变;把纵坐标伸长到原来的2倍;得到函数 y ＝2sin x ＋6π的图象；经过这样的变换就得到函数y ＝3sin x ＋cos x 的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质;利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.33.解：原式＝211－cos40°＋211＋cos100°＋21sin70°－sin30° ＝1＋21cos100°－cos40°＋21sin70°－41＝43－sin70°sin30°＋21sin70° ＝43－21sin70°＋21sin70°＝43. 评述：本题考查三角恒等式和运算能力.34.解：由题设sin α＝53;α∈2π;π; 可知cos α＝－54;tan α＝－43又因tan π－β＝21;tan β＝－21;所以tan2β＝34tan 1tan 22-=-ββtan α－2β＝2471134432tan tan 12tan tan =++-=+-βαβα 35.证明：tan x 1＋tan x 2＝2121212211cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x +=+ 2121cos cos )sin(x x x x +=)cos()cos()sin(2212121x x x x x x -+++=因为x 1;x 2∈0;2π;x 1≠x 2;所以2sin x 1＋x 2＞0;cos x 1cos x 2＞0;且0＜cos x 1－x 2＜1; 从而有0＜cos x 1＋x 2＋cos x 1－x 2＜1＋cos x 1＋x 2; 由此得tan x 1＋tan x 2＞)cos(1)sin(22121x x x x +++;所以21tan x 1＋tan x 2＞tan 221x x +即21fx 1＋fx 2＞f 221x x +.36.解1x 必须满足sin x -cos x >0;利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+;k ∈Z ∴函数定义域为)45k 2,4k 2(π+ππ+π;k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时;0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-∴121log 2y -≥∴ 函数值域为+∞-,213∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称;∴()f x 不具备奇偶性4∵ fx+2π=fx ∴ 函数fx 最小正周期为2π 注；利用单位圆中的三角函数线可知;以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准;可区分sin x -cos x 的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准;可区分sin x +cos x 的符号37.解：∵f x =121log cos()34x π+令431π+=x t ;∴y=t cos log 21;t 是x 的增函数;又∵0<21<1;∴当y=t cos log 21为单调递增时;cost 为单调递减 且cost>0;∴2k π≤t<2k π+2πk ∈Z;∴2k π≤431π+x <2k π+2π k ∈Z ;6k π-43π≤x<6k π+43π k ∈Z;∴f x =)431cos(log 21π+x 的单调递减区间是6k π-43π;6k π+43πk ∈Z38.解： 1T=π 2增区间k π-12π;k π+125π;减区间k π+]1211k ,125π+ππ 3对称中心62k π+π;0;对称轴π+π=1252k x ;k ∈Z39.解：原方程变形为：2cos 2x - sin x + a = 0 即 2 - 2sin 2x - sin x + a = 0;∴817)41(sin 22sin sin 222-+=-+=x x x a ;∵- 1≤sin x ≤1 ;∴81741sin m in -=-=a x 时，当； 11sin m ax ==a x 时，当; ∴a 的取值范围是1,817-。
三角函数部分高考题(带答案)
即 sin(B C) 0 ∴ B C
BC
6
A
(B
C)
2 3
由正弦定理
a sin A
b sin B
c sin C
得
1
b c a sin B 2 3 2 2
sin A
3
2
31.已知函数 f (t)
1 t 1 t ,
g ( x)
cos x
f
(sin
x)
sin
x
f
(cos x),
x ( ,
因此
0≤
sin
2πx 6
1 2
3≤
2
，即 f (x) 的取值范围 为320， ．
25.求函数 y 7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4 x 的最大值与最小值。
【解】： y 7 4sin x cos x 4cos 2 x 4cos 4 x
7 2sin 2x 4cos2 x 1 cos2 x
26.知函数
f (x) 2cos2x 2sinxcosx 1（ x R,
0 ）的最小值正周期是
2．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的最大值，并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合．
（17）本小题主要考查特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数
y Asin(x ) 的性质等基础知识，考查基本运算能力．满分 12 分．
4 3
，所以
tan
2
tan tan 2 1 tan tan2
1
∵,
为锐角，∴ 0
2
3 2
，∴
2 =
3 4
30.在 ABC 中，角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ， a 2
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三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017?山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π2．（2017?天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4π B．2π C．πD．4．（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左1平移个单位长度，得到曲线C26．（2017?新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016?上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016?新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016?新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2016?浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016?新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016?四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．（2016?新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s （s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016?四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．（2016?新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）18．（2016?新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．20．（2017?上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α|的最小值为．221．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016?上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017?北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016?山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016?北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017?山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017?天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017?新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4π B．2π C．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017?新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017?新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数【解答】解：把C1y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2，（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2故选：D．6．（2017?新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos （﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016?上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin （3x﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016?新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016?新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016?浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016?新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016?四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016?新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016?北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s （s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016?四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016?新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016?新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由?[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017?北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017?上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sin α1=﹣1，sin2α2=﹣1． 则：，k 1∈Z ．，即，k 2∈Z ．那么：α1+α2=（2k 1+k 2）π，k 1、k 2∈Z ．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k 1+k 2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017?新课标Ⅱ）函数f （x ）=sin 2x+cosx ﹣（x ∈[0，]）的最大值是 1 ．【解答】解：f （x ）=sin 2x+cosx ﹣=1﹣cos 2x+cosx ﹣，令cosx=t 且t ∈[0，1]， 则y=﹣t 2+t+=﹣（t ﹣）2+1，当t=时，f （t ）max =1，即f （x ）的最大值为1， 故答案为：122．（2017?新课标Ⅱ）函数f （x ）=2cosx+sinx 的最大值为 ． 【解答】解：函数f （x ）=2cosx+sinx=（cosx+sinx ）=sin （x+θ），其中tan θ=2， 可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016?上海）设a ，b ∈R ，c ∈[0，2π），若对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），则满足条件的有序实数组（a ，b ，c ）的组数为 4 ．【解答】解：∵对于任意实数x 都有2sin （3x ﹣）=asin （bx+c ），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），=，当k=0时，正数φmin故答案为：．26．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin （x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φ=，min故答案为：．27．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017?北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016?山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x ﹣1+sin2x=2?﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016?北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。