2018高考数学复习第十章圆锥曲线与方程10.3.1抛物线的标准方程撬题理
高考复习大纲
第1章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念及运算§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第二章函数§2.1 函数的概念及表示§2.2 函数的基本性质§2.3 二次函数与幂函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程§2.8 函数的应用第三章导数及其应用§3.1 导数§3.2 导数的应用第四章三角函数§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式§4.2 三角函数的图象和性质§4.3 三角函数的最值与综合应用§4.4 三角恒等变换第五章平面向量与解三角形§5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理§5.2 平面向量的数量积及其应用§5.3 正、余弦定理及解三角形第六章数列§6.1 数列的概念及其表示§6.2 等差数列§6.3 等比数列§6.4 数列求和、数列的综合应用第七章不等式§7.1 不等式的概念、性质§7.2 不等式的解法§7.3 简单的线性规划§7.4 基本不等式§7.5 不等式的综合应用第八章立体几何§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图§8.2 空间几何体的表面积和体积§8.3 空间点、直线、平面之间的关系§8.4 直线、平面平行的判定和性质§8.5 直线、平面垂直的判定和性质§8.6 空间直角坐标系第九章直线和圆的方程§9.1 直线方程和两直线的位置关系§9.2 圆的方程§9.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第十章圆锥曲线§10.1 椭圆§10.2 双曲线§10.3 抛物线§10.4 直线与圆锥曲线的位置关系§10.5 圆锥曲线的综合问题第十一章概率与统计§11.1 古典概型与几何概型§11.2 统计第十二章统汁案例第十三章算法初步第十四章推理与证明§14.1 合情推理与演绎推理§14.2 直接证明与间接证明第十五章数系的扩充与复数的引入第十六章几何证明选讲第十七章坐标系与参数方程。
高考数学《圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题》复习
高考考点
1. 圆锥曲线的定义、标准方程与性质 2. 圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 3. 直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 4. 圆锥曲线中的定点，定值问题
考点解读
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程 2.考查圆锥曲线的定义、性质
设 AB 是过抛物线 y2＝2 px p 0 焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2 ) ，
则
①x1x2＝
p2 4
，
y1 y2＝
p2
；
②弦长
AB
＝x1＋x2＋p＝
2 sin
p
2
( 为弦 AB 的倾斜角)；
③ 1 1 2 ；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切． | FA | | FB | p
y=
b a
x；
焦点坐标 F1(－c,0)，F2 c,0 ．
②双曲线
y2 a2
x2 b2
=1
(a
0，b
0) 的渐近线方程为
y=
a b
x，
焦点坐标 F1(0，－c)，F2 (0，c) ．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线 y2＝ 2 px p 0 的焦点坐标为 ( p ,0) ，准线方程为 x＝ p ．
3．与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时， 一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系， 再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系． 该问题主要有以下三种情况： （1）距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解； （2）若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程， 再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标， 这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上， 则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
圆锥曲线与方程抛物线及其标准方程
圆锥曲线和抛物线在数学领域的发展趋势
完善圆锥曲线和抛物线的定
义和性质
研究圆锥曲线和抛物线的几何特征，如对称性、仿射 性质、曲线长度等，进一步探索圆锥曲线和抛物线之 间的内在联系。
圆锥曲线和抛物线的组合与
分类
研究圆锥曲线和抛物线的组合问题，例如将圆锥曲线 和抛物线与其他曲线或曲面组合，形成新的曲线或曲 面，并对其进行分类和性质研究。
抛物线的性质
对于给定的抛物线，定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线的图形关于直线$l$对称
抛物线上的点到定点$F$和直线$l$的距离相等 抛物线焦点$F$在准线$l$上
抛物线的应用
光学反射和折射现象
抛物线在解析几何中的应用
物理学中的抛物线运动
圆锥曲线在几何学中的应用
抛物线在物理学中的应用
03
圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程的关系
1
圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，包含椭 圆、双曲线和抛物线等曲线类型。
2
圆锥曲线的方程是描述这些曲线特征的基本工 具。
3
通过圆锥曲线方程，可以研究曲线的几何性质 、位置关系等。
圆锥曲线方程的求解方法
根据曲线的定义或已知条件列出等式或不等 式。
对于参数的取值范围，要注意其几何意义和 实际背景。
天文学
圆锥曲线在描述行星和卫星的运动 轨迹方面有应用。
工程学
圆锥曲线在机械工程和水利工程等 领域有应用，例如抛物线形拱桥和 抛物线形隧道等。
数学
圆锥曲线是数学中的重要内容之一 ，可以用来研究图形的极坐标方程 、参数方程等。
02
抛物线的定义和性质
抛物线的定义
平面内一个定点$F$和一条直线$l$的距离相等 点$F$为抛物线焦点，直线$l$为抛物线的准线 抛物线是圆锥曲线的一种
圆锥曲线大题题型归纳
.圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5．有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆2100x+264y=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且12F PF ∠=120︒，求12F PF ∆的面积。
变式2、已知F 1，F 2为椭圆2221100x y b+=(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．（1）求|PF 1|?|PF 2|的最大值；（2）若∠F 1PF 2=60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值 题型二过定点、定值问题例2．（淄博市2017届高三3月模拟考试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点3(1,)2，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当0AP AQ •=u u u r u u u r时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：OPQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。
2018年高考“圆锥曲线与方程”专题解题分析
二、解法分析
1. 强调数学运算，利用“直译法”进行求解 近几年的高考数学试卷，对本专题的考查中，重
点考查学生的运算能力. 尤其是考查学生对含字母的 代数式的化简变形的能力，在2018年的高考数学试卷 中得到了很好的体现.
“直译法”就是在解决圆锥曲线试题的过程中，利
用数学运算程序，将条件中的文字描述都转化为数学
-
3 2
ö2 ø
+
æ ç è
3+
3 2
ö2 ÷ ø
关键词：圆锥曲线；几何特征；平面向量；试题综合；复习建议
2018年高考数学试卷中，圆锥曲线试题位置前移 是数学试卷结构上的重大调整，这种调整，在适当降 低圆锥曲线试题难度的同时仍然保证了对圆锥曲线主 干知识的考查，在强调通性、通法的基础上重视对数 学学科思想与核心素养的考查，重视对圆锥曲线核心 思想的考查.
8
=
0. 解得
y1
=
2，y2=
4
.
不妨令 M(1，2)，N(4，4)，所
以 FM = (0，2) ， FN = (3，4) . 所以 FM · FN = 8 . 故
答案选D.
【评析】 该题直接求出点 M，N 的坐标，然后利用
向量的基本概念及其运算进行求解.
得 yN =
y1 + y2 2
=1.
故k=
y1 - y2 x1 - x2
=
4 y1 + y2
=2.
y
A1
A
M
N
O
x
B1
B
图1
【评析】 该题主要考查圆锥曲线与平面几何图形的
联系. 数形结合，利用直角三角形的几何性质，问题
高三数学圆锥曲线与方程
圆锥曲线与方程1． 已知动抛物线的准线为x 轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。
解：设抛物线的顶点坐标为)2,(),,(y x y x 则焦点坐标为， ……………………3分由题意得4)22(22=-+y x ， ………………6分即顶点的轨迹方程为.1)1(422=-+y x ………………8分 2.动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）和直线l的距离之和为4．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y ）＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2（y ≤3）．…………………4分（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）．由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰ ………………… 10分 3．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1，0)．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．解：（方法一）（1）设圆M 的半径为r ． 因为圆M 与圆F 1相内切，所以MF 1＝4－r ． 因为圆M 过点F 2，所以MF 2＝r ．所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4．………2分 所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆．………且此椭圆的方程形式为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝3．……………4分所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．……………5分（方法二）设M (x ,y),由MF 1＋MF 2＝4得4= ……3分化简得x 24＋y 23＝1,所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．…5分（2）（方法一）当直线l 的斜率不存在时， A ，B 两点的坐标分别是(0，3)，(0，－3)，此时S △ABF 1＝3≠32，不合题意．………………………………………………………6分设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得y 1＝12k 23＋4k 2，y 2＝－12k 23＋4k 2．所以S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝12OF 1⋅∣y 1∣＋12OF 1⋅∣y 2∣＝12OF 1⋅(y 1－y 2)＝12k 23＋4k 2．……………………………………………7分因为S △ABF 1＝32，所以12k 23＋4k2＝32．解得k ＝±12． …………………………8分 故所求直线l 的方程为x ±2y ＝0．……………………………………………………10分 （方法二）因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S AOF 1．因为S △ABF 1＝32，所以S AOF 1＝34． ………………………………6分 不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S AOF 1＝12⋅OF 1⋅y 1＝34．所以y 1＝32，x 1＝±3，即点A 的坐标为(3，32)或(－3，32)． (8)分所以直线l 的斜率为±12．故所求的直线l 的方程为x ±2y ＝0．…………………………………………………10分 4. 点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上，曲线C 在n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1,2,3,n =L ）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =.（1）证明：11n n x x +=+； （2）求n S 关于n 的表达式；（3）若数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT x T x ++<（1,2,3,n =L ）.解（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以xy e -'=-，则切线n l 的斜率nx n k e -=-，所以切线n l 的方程为()nx n n y y ex x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+·2分（Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，所以11111(2)()()|222n nn x xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ·5分（Ⅲ）证明：因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--， 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e --++-++---===+---，又1111n nx n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+·7分下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1(1)n ee n e +>-+（略）·10分5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO ，NO 与抛物线C 的交点分别为点A 、B ．求证：动直线AB 恒过一个定点．解：（1）设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝1，p ＝2．所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ．………………………………………………3分 （2）(方法一)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)， 其中y 1y 2＝－4．则直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为(4y 21，－4y 1)．同理可得B 点坐标为(4y 22，－4y 2)．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0．由⎩⎨⎧y ＝0，－4x ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0．故动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………10分(方法二)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)． 由于y 1y 2＝－4，取y 1＝2，则y 2＝－2，可得M (－1，2)、N (－1，－2)．此时直线MO 的方程分别为y ＝－2x ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ．解得A 点坐标为(1，－2)．同理，可得B 点坐标为(1，2)．则直线AB 的方程为l 1：x ＝1． 再取y 1＝1，则y 2＝－4，同理可得A (4，－4)，B (14，1)．此时直线AB 方程为l 2：4x ＋3y －4＝0．于是可得l 1与l 2的交点为(1，0)． 下面验证对任意的y 1，y 2，当y 1y 2＝－4时，动直线AB 恒过一个定点(1，0)． 直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为（4y 21，－4y 1）．同理可得B 点坐标为（4y 22，－4y 2）．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0． 可得点(1，0)在直线AB 上．所以动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………………………………………10分 6.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点(2,2)A ，其焦点F 在x 轴上。
圆锥曲线(2018-2)
(3)已知双曲线xa22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的
切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，
且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x
B．y＝±2 2x
C．y＝±( 3＋1)x D．y＝±( 3－1)x
热点二 圆锥曲线的几何性质
直
相切
只有一个交点且 0
线 与
椭圆 两个交点 0
圆
锥
交于两点 0
曲 线
相交
双曲线 交于一点（直线与渐近线平行）
的
位
交于两点 0
置 关 系
抛物线 交于一点(直线平行于抛物线的对称轴)
相离
无公共点 0
热点三 直线与圆锥曲线
例 3. 椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.
(3)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点 A(－4,0)和 C(4,0)，顶点 B
在椭圆2x52 ＋y92＝1
上，则sin
A＋sin sin B
C＝________.
解析
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
例 2(4) 如图，过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点 F 的直线 交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C，若|BC|＝2|BF|， 且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝ 3x
抛物线的标准方程与几何性质解题方略 (1)求抛物线的标准方程的方法及流程 ①方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，
2023版高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线与方程第三讲抛物线课件理
1
x=-4的距离相等,
1
1
1
则圆心P的轨迹是以( ,0)为焦点,直线x=- 为准线的抛物线,故p= ,所以
4
4
2
动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.
考向2
抛物线的标准方程及几何性质
3.典例 (1)[2021合肥市三检]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直
线y=4与y轴的交点为P,与抛物线C的交点为Q,且|QF|=2|PQ|,则抛物线C
.
考向1
抛物线定义的应用
解析 （1）根据抛物线的定义及题意得,点A到C的准线x=- 的距离为12,
2
因为点A到y轴的距离为9,所以 =12-9,解得p=6.故选C.
2
(2)由题意可知,点A在抛物线的内部,抛物线的焦点F(2,0),抛物线的准
线方程为x=-2,△PAF的周长为
|PA|+|PF|+|AF|,|AF|= (6−2) 2 + (3−0) 2 =5.过点P作准线的垂线,交准
2
2
又|OF|= (O为坐标原点),直线y=4与x轴平行,∠POF=90°,所以四边形OFQP
2
为矩形,则QF⊥x轴,可得|QF|=p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.
(2)解法一
由题易得|OF|= ,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以
2
2
|| ||
tan∠OPF=tan∠PQF,所以
.
1
1
(2)已知动圆P恒过定点( ,0),且与直线x=- 相切,则动圆P的圆心轨迹M的
4
4
方程为
y2=x
.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.1
抛物线的标准方程撬题 理
1.已知抛物线C ：y 2
＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 A
解析 由y 2
＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A 点
到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝5
4
x 0，解得x 0＝1，故选A.
2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝－16x B ．y 2
＝12x C ．y 2＝16x D ．y 2
＝－12x
答案 C
解析 由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为
y 2＝16x .
3．若抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2
－y 2
＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2
解析 y 2
＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，又p >0，所以x ＝－p
2必经过双曲线x 2－y 2
＝1的左
焦点(－2，0)，所以－p
2
＝－2，p ＝2 2.
4．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．
答案 1.2
解析 建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2
＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2
＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠
⎛0
5
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为
＋
2
＝16，所以原始的最大流
量与当前最大流量的比值为16
403
＝
1.2.
5．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b(a<b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2
＝2px(p>0)经过C ，F 两点，则b a
＝
________.
答案 1＋ 2
解析 由题意，知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋a 2，b . 又C ，F 在抛物线y 2
＝2px(p>0)上， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＝2p×a
2， ①b 2
＝2p ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b ＋a 2，②由②÷①，得b 2
a 2＝2
b ＋a
a
，
即b 2－2ba －a 2
＝0，
解得b a ＝1±2(负值舍去)．故b
a
＝1＋ 2.
6．已知抛物线C ：y 2
＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝5
4
|PQ|.
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．
解 (1)设Q(x 0,4)，代入y 2
＝2px 得x 0＝8p .
所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
.
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.
所以C 的方程为y 2
＝4x.
(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2
＝4x 得y 2－4my －4＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D(2m 2
＋1,2m)， |AB|＝m 2
＋1|y 1－y 2|＝4(m 2
＋1)．
又l′斜率为－m ，所以l′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2
＋3.
将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m
y －4(2m 2
＋3)＝0.
设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2
＋3)．
故MN 的中点为E
( 2m 2＋2m 2
＋3，－2m )
，|MN|＝ 1＋1
m
2|y 3－y 4|＝2
＋
2m 2
＋1
m
2
.
由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而
1
4|AB|2＋|DE|2＝14
|MN|2
，
即4(m 2＋1)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m 2＋22
＝
2
＋
22
＋
m
4
，
化简得m 2
－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。