秋人教A版数学必修四3.1.1《两角和与差的余弦公式》word导学案
人教版高中数学必修四导学案：3.1.1两角和与差的余弦Word版
高一年级数学导学案3.1.1 两角和与差的余弦学习目标：1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用。
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题。
重点：运用两角和与差的余弦公式求值和证明难点：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式活动一：知识梳理：两角和与差的余弦公式：=-)cos(βα βα-C()=+βαcos βα+C活动二：合作探究用向量法证明公式βα-C 的过程中角α，β的终边与单位圆分别相交于点A, B ，向量A O ,B O 的坐标是如何得到的？活动三：要点导学要点一：求值问题例1：求 105cos 及15cos 的值要点二：给值求值例2：已知)2(54cos παπα<<-=，求)6cos(),6cos(απαπ+-。
要点三：公式的正用，逆用例3：求值：（1）)25sin()35sin()25cos()35cos(αααα+-++-（2）)3cos()3cos(ϕπϕπ-++（3） 313sin 253sin 223sin 163sin +要点四：给值求角例4：已知锐角βα,满足10103cos ,55sin ==βα，求βα+要点五：例5：设α为锐角，求证：（1）)6cos(sin 21cos 23απαα-=+（2）)4cos(2sin cos θπθθ+=-课堂小结：作业：P135练习A,B。
人教A版高中数学必修4 精选优课教案 3.1.1 两角差的余弦公式
两角和与差的余弦教学目标经历两角和与差余弦公式的推导过程，体会探究数学问题时猜想与证明的数学思想和方法。
大胆的猜想和严谨的证明相结合，培养学生从已知知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
从公式的正用，逆用以及变形用三个层面去引导学生掌握两角和与差的余弦公式。
教学重难点重点：两角和与差的余弦公式的推导及公式的运用；难点：两角和与差的余弦公式的推导过程教材分析两角和与差的余弦位于人教版必修四第三章第一节，教材分别利用三角函数线和向量方法对两角差的余弦公式进行了推导。
其中，利用三角函数线仅对αβαβ为锐角的情况进行了推导，而,αβ为任意角时教材指出公式的推导是,,-复杂的，并没有给出推导过程。
利用向量方法推导两角差的余弦公式简洁明了，充分的体现出了向量的工具性作用。
所以这也是教材在编排上的一个考虑：在学生学完第一章任意角的三角函数后没能直接学习第三章三角恒等变换，而是先学习第二章平面向量。
然而为了更好的构建学生的知识体系，在学生学习完第一章后，能够直接进入第三章的学习，就必须给出另外一种推导两角和与差的余弦公式的方法。
因为该公式是全部和、差角公式，以及倍角、半角等公式的基础，是本章公式推导的“源”。
所以两角和与差的余弦公式不仅起着承上启下的核心作用，也是高考的重点考点。
学情分析数学是严谨的，从猜想开始证明一个数学公式，学生在情感上是不容易接受的。
然而，猜想与证明却是发现数学问题的主要思想方法之一。
所以培养学生对数学问题的猜想能力是有必要的。
学生主要的困难表现在：不敢猜，怕出错。
而不会猜，主要是缺乏数学意识。
教学设计一、提出问题，引入课题通过如何计算75︒角的余弦值引出课题设置情景：（1）让学生举手回答如何计算cos75︒。
【设计意图】虽然75︒角不是特殊角，但是它很明显可以写成30︒和45︒角的和，于是学生非常想知道75︒角的余弦值到底与30︒和45︒角的余弦值有什么关系呢？这样引出课题很自然，也很清晰，简洁。
新人教A版必修四3.1.1《两角和与差的余弦》word教案
3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式)(βα+C ，求三角函数值.3．培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+反例：6cos 3cos )63cos(2cos πππππ+≠+=问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中α、β角构造α+β角3．探究：作单位圆，构造全等三角形4．探究：写出4个点的坐标)0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，5．计算31P P ，42P P31P P =42P P =6．探究 由31P P =42P P 导出公式[]22cos()1sin ()αβαβ+-++[][]22cos()cos sin()sin βαβα=--+--展开并整理得所以可记为 )(βα+C7．探究 特征①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意α、β都适用 ③公式记号)(βα+C8．探究 cos(α-β)的公式以-β代β得：公式记号)(βα-C【精典范例】例1 计算① cos105︒ ②cos15︒③cos5πcos 103π-sin 5πsin 103π 【解】例2已知sin α=53，cos β=1312求cos(α-β)的值. 【解】例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
高二数学人教版必修4学案：3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含解析
3.1.1 两角和与差的余弦明目标、知重点 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.两角和与差的余弦公式：C α＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.C α－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.[情境导学]我们在初中时就知道cos 45°＝22，cos 30°＝32，由此我们能否得到cos 15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos 45°－cos 30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式.探究点一 两角差余弦公式的探索思考1 有人认为cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试举两例加以说明.答 不正确.例如：当α＝π2，β＝π4时， cos(α－β)＝cos π4＝22， 而cos α－cos β＝cos π2－cos π4＝－22， cos(α－β)≠cos α－cos β；再如：当α＝π3，β＝π6时，cos(α－β)＝cos π6＝32， 而cos α－cos β＝cos π3－cos π6＝1－32， cos(α－β)≠cos α－cos β.思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想.①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos 0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°). 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.探究点二 两角差余弦公式的证明思考 如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，请回答下列问题：(1)P 点坐标是(cos α，sin α)，向量OP →＝(cos α，sin α)，|OP →|＝1.Q 点坐标是(cos β，sin β)，向量OQ →＝(cos β，sin β)，|OQ →|＝1.(2)当α为钝角，β为锐角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝〈OP →，OQ →〉；当α为锐角，β为钝角时，α－β和向量OP →与OQ →的夹角〈OP →，OQ →〉之间的关系是：α－β＝－〈OP →，OQ →〉；当α，β均为任意角时，α－β和〈OP →，OQ →〉的关系是：α－β＝2k π±〈OP →，OQ →〉，k ∈Z .(3)向量OP →与OQ →的数量积OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|·cos 〈OP →，OQ →〉＝cos(α－β)；另一方面，OP →与OQ→的数量积用点坐标形式表示：OP →·OQ →＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β.从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.例1 利用和、差角余弦公式求cos 75°、cos 15°的值.解 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24；cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题.然后利用公式化简求值.而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos 15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.跟踪训练1 求cos 105°＋sin 195°的值.解 cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105°＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2⎝⎛⎭⎫－22×32＋22×12＝2－62. 例2 已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α－β)的值. 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45. 由此得cos α＝－1－sin 2α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， 又因为cos β＝－513，β是第三象限角， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＋45×⎝⎛⎭⎫－1213＝－3365. 反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题.(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变换是最基本的变换.常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等.跟踪训练2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值.解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 探究点三 两角和与差的余弦公式的应用思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？答 cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β.思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？答 cos β＝cos[(α－β)－α]＝cos(α－β)cos α＋sin(α－β)·sin α.思考3 若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？答 cos(α－β)＝2－a 2－b 22. 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值. 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值.解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2.1.cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( )A.32B.12C.－32 D.－12 答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12. 3.12sin 60°＋32cos 60°＝ . 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4. [呈重点、现规律]1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用.要注意公式的结构特征. 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β).2.要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解.3.注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等.一、基础过关1.化简：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝12. 2.计算：cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是( )A.1B.22C.32D.12答案 B解析 原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos(70°－25°)＝cos 45°＝22. 3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 答案 D解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，∴cos C >0，∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2， ∴△ABC 为钝角三角形.4.已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|等于( )A.12B.22C.32D.1 答案 D解析 |AB →|＝(cos 80°－cos 20°)2＋(sin 80°－sin 20°)2 ＝2－2(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝2－2cos 60°＝ 2－2×12＝1. 5.若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( ) A.－55 B.55 C.11525D. 5 答案 B解析 ∵sin(π＋θ)＝－35，∴sin θ＝35， ∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.6.若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝ . 答案 83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 7.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β). 解 由cos α－cos β＝12两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 二、能力提升8.将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6. 9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是 .答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ ①cos α＋cos β＝－cos γ ②①2＋②2⇒2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－12. 10.已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为 .答案 －π4解析 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝255，sin β＝31010， ∵sin α<sin β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4. 11.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β). 解 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π. 因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π. 所以sin(2α－β)＝22. 因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2. 因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2， 所以cos(α－2β)＝22， 所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－22×22＋22×22＝0. 12.求2cos 50°－3sin 10cos 10°的值. 解 原式＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos αcos β－sin αsin β的值. (3)求f (x )的单调递增区间.解 (1)T ＝2πω＝10π，所以ω＝15. (2)f (5α＋53π) ＝2cos[15(5α＋53π)＋π6] ＝2cos(α＋π2)＝－2sin α＝－65， 所以sin α＝35， f (5β－56π) ＝2cos[15(5β－56π)＋π6] ＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817，因为α，β∈[0，π2] 所以cos α＝1－sin 2α＝45， sin β＝1－cos 2β＝1517， 所以cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.(3)f (x )＝2cos(x 5＋π6)， 由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ， 得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ， 所以单调递增区间为[10k π－35π6，10k π－5π6](k ∈Z ).。
人教版数学必修四：3.1.1课题两角和与差的余弦学案(教师版)
课题：§3.1.1两角和与差的余弦 总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系。
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
3．能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
【重点难点】学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。
学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1 设向量)75sin ,75(cos =，),15sin ,15(cos =试分别计算θb a =⋅及2121y y x x b a +=⋅，比较两次计算结果，你能发现什么？问题2 ()βα-cos 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示)cos(βα+？二、知识建构与应用：两角差的余弦公式：)(βα-C两角和的余弦公式：)(βα+C问题4：用“β-代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？三、例题例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）ααπcos )2sin(=-。
例2 （1）利用两角和（差）的余弦公式，求 75cos ， 15cos ， 15sin , 15tan ；（2）求值：)18sin()27sin()18cos()27cos( -++-+x x x x例3 （1）已知32sin =α，),2(ππα∈，53cos -=β，)23,(ππβ∈ 求)cos(βα+的值（2）已知：βα,为锐角，且54cos =α，6516)cos(-=+βα ，求βcos 的值例4 设βα,为锐角，且55sin =α，1010sin =β，求βα+的值四、巩固练习 1．利用两角和（差）的余弦公式证明：（1）ααπsin )23cos(-=- （2）ααπcos )23sin(-=-2．利用两角和（差）的余弦公式化简：（1）37sin 58sin 37cos 58cos +=（2）)60cos()60cos(θθ--+ =（3）)60cos()60cos(θθ-++ =（4）cos()cos sin()sin αββαββ---=3．利用两角和（差）的余弦公式，求cos1054．化简（1）cos100cos 40sin80sin 40+=（2）cos80cos55sin10sin35+=（32sin15+=（42cos15-= 5．已知53cos -=θ，),2(ππθ∈，求)3cos(θπ-的值6．已知1sin 3α=，(,)2παπ∈，求cos()4πα+和cos()4πα-的值五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。
高中数学人教版必修四学案：3.1.1 两角和与差的余弦
3．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦[学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[知识链接]1．当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如α＝π3，β＝π6时． 2．请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos_0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°)． 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[预习导引]1．两角差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α、β为任意角．2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即C α＋β：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_αcos(－β)＋sin_α·sin(－β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.要点一运用公式求值例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋2 4.方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋2 4.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值．跟踪演练1计算：(1)sin 75°；(2)sin x sin(x＋y)＋cos x cos(x＋y)．解(1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos[x －(x ＋y )]＝cos(－y )＝cos y .要点二 给值求值例2 设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[](α＋β)＋(α－β)，α＝12[](β＋α)－(β－α)等． 跟踪演练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 要点三 已知三角函数值求角例3 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值． 解 ∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4. 规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值．跟踪演练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，32π，∴2β＝π，则β＝π2.1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12. 3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________. 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征． 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等．。
高中数学人教A版必修4第三章 3.1.1两角差的余弦公式教学设计
人教A版高中数学必修4 3.1.1两角差的余弦公式
一、教材分析
人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换是在学习三角函数和平面向量两章内容后的延续和发展，共分两大节，4小节内容。
本节课是第一节中的第一小节，通过对两角差的余弦公式的探究和推导，掌握公式的灵活应用，为今后建立其他和差角公式打好基础。
转化和化归思想是本节学习的一个重要思想，在解题中会灵活应用。
二、教学目标
1．知识与技能
正确理解两角差的余弦公式的推导，掌握两角差余弦公式的应用。
2．过程与方法
通过两角差的余弦公式的推导及应用过程，感知应用数学解决问题的方法，体会数形结合的思想方法。
3．情感态度与价值观
通过公式的探究，使学生经历了发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到了数学学习的严谨、求实的科学态度。
三、教学重点、难点
重点：两角差的余弦公式的探究过程及公式的运用。
难点：探究过程的组织和引导；两角差余弦公式的探究思路的发现。
四、教学方法与手段
教学方法：诱思探究教学法
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学
五、教学过程
cos30
-的探究1：怎样联系单位圆上的三
（3）OA
设
的夹角公式得出
)
OA OB
β==
cos sin
αβ+
（以上推导是否有不严谨之处？应=cos cos
αβ+
45
sin
30
cos
45+。
新人教A版必修四3.1.1《两角和与差的余弦》word教案
3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式，求三角函数值.3•培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】1.探究cos(:亠〉)=cost 亠cos F反例：n Ji n n ncos cos( ) = cos cos —2 3 6 3 6问题：COS(圧亠『■), COS ,COS :的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线■-VP"2.探究：在坐标系中a、P角构造a+B角3.探究：作单位圆，构造全等三角形4•探究：写出4个点的坐标P (1,0) , P2 (cosa,sina)B(cosG ■ ■■),sin(二1■■- )),F4(cos(- ),sin(- )),5.计算PP3I , P2P4p B = -------------------------叨4 = 6.探究由P1P3= F2F4导出公式T2 2 2〔cos(：：) -1『si n2(：：)二〔cos(- ■) -cos ， si n( - ：)-si n ：丨展开并整理得 ________________________________所以 _______________________________________可记为C(：J7 •探究特征①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意：•、渚E 适用 ③公式记号&探究COS( 、£• I'.')的公式以'代一得： ___________________________公式记号【精典范例】例1计算①cos105 ②cos15… 3 二 二 3'：③cos — cos sin — sin -5 10 5 10【解】3 12例 2 已知 sin :■= ， cos 丄 求 cos( 的值.5 13【解】求cos( a + 3 )的值。
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第三章 三角恒等变换
3.1.1 两角和与差的余弦公式
【学习目标】
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式,并能初步运用解决具体问题；
2、应用公C )(βα+式，求三角函数值.
3、培养探索和创新的能力和意见.
【学习重点难点】
向量法推导两角和与差的余弦公式
【学习过程】
（一）预习指导
探究cos(α+β)≠cos α+cos β
反例：
cos =cos( + )≠cos + cos 问题：cos(α+β),cos α,cos β的关系
（二）基本概念
1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2.探究：在坐标系中α、β角构造α+β角
3.探究：作单位圆，构造全等三角形
探究：写出4个点的坐标
P 1(1,0),P(cos α,sin α)
P 3(cos(α+β),sin(α+β)),
P 4(cos(-β),sin(-β)),
2π
3π6π3π6
π
5.计算31p P ，42p p
31p P =
42p p =
6.探究：由31p P =
42p p 导出公式 [cos(α+β)-1]2+sin 2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2展开并整理
得
所以
可记为C )(βα+
7.探究：特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意α、β都适用
③公式记号C )(βα+
8.探究：cos(α+β)的公式
以-β代β得：
公式记号C )(βα+
（三）典型例题选讲：
例1不查表，求下列各式的值.
(1)cos105°
（2）cos15°
(3)cos (4)cos80°cos20°+sin80°sin20°
(5)cos 215°-sin 215°
(6)cos80°cos35°+cos10°cos55°
例2已知sin α= ，α∈ ，cos β= - ,β是第三象限角，求cos （α-β）的值. 103sin 5sin 103cos 5ππππ-54
⎝
⎛⎪⎭⎫ππ,2135
例3：已知cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,且 ， 求cos(α+β)的值.
例4：cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且
＜α＜π，0＜β＜ ，
求cos 的值.
【课堂练习】
1.求cos75°的值
2.计算：cos65°cos115°-cos25°sin115°
14
1173440,24π
βπαπ〈〈〈〈2
β912α32
2π2π2βα+
3.计算：-cos70°cos20°+sin110°sin20°
4.sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , α∈(0, ), β∈(0, ),
求cos(α-β)的值.
5.已知锐角α，β满足cos α= ,cos(α-β)=- ,求cos β.
6.已知cos(α-β)= ,求(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值.
【课堂小结】
21212π
2π53135
3
1。