基于投资的再保险定价模型研究

五邑大学学报（自然科学版）JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY (Natural Science Edition)第20卷第4期Vol.20No.4Jan.2007文章编号：1006-7302（2006）04-0057-051基于投资的再保险定价模型研究李秀华1，2（1.厦门大学数学科学学院，福建厦门361005；2.集美大学，福建厦门361021）摘要：从再保险人的立场出发，在投资基金服从对数正态分布的假定下，讨论了在投资收益影响下的再保险保费定价问题.对比例再保险和超额赔款再保险两种情况进行分析，得出了它们在一定的置信度下，再保险公司为达到或超过某利润率所应厘定的保费定价模型.所得结论对再保险公司稳健地经营具有重要的现实意义.关键词：投资收益；再保险；比例再保险；超额赔款再保险中图分类号：F840.69文献标识码：AA Stu dy of Rein su r a nce Pr icing Mod els Ba sed on In vestm entLI Xiu -h u a 1,2(1.Ma th.C olleg e ,Xia me n Un iv.,Xia me n 361005,Ch in a;2.J ime i Un iv.,Xia me n 361021,Ch ina )Ab s tra ct:O n th e a s s u mp tion th a t in ve s tm en t fu n d s follow lo g n orma l dis trib ut io n ,th e rein s u ran cep ricin g q u e s tiona ffe cte db y in ve s tme n t g ain sisd is cu s s edfromth erein s u rers ’a n g le.P rem iu m p ricin g m od e ls a ime d t o a ch ie ve or s u rp a s s a p ro fit ra te a t a ce rta in cred ib ilit y le ve l a re o b ta in e d fo r re ins ura n ce c o mp a nie s b as ed o n th e a n a ly s is o f p ro p o rt io n rein s u ran ce a n d ex ce s s -o f-lo s s re in s u ra n ce.T he re s u lt s a re o f imp o rt an trea lis tic s ig nifica n ce to th e s te a d y o p e ra tio n of re in s u ra n ce c om p an ie s.Ke ywo rds :in ve s tme n tga in s ;rein s u ran c e;p ro po rtio na lre in s u ra n ce ;e xce s s -o f-lo s srein s u ran ce1引言再保险，亦称分保，是保险人在原保险合同的基础上，通过签订分保合同，将其承担的风险和责任部分或全部转移给其他保险人的一种保险.一般来说，将承保的危险责任转移出去的一方，称为原保险人或分出人；而承受危险转移的一方称为再保险人或分入人.实际业务中也常分别称他们为分出公司和分入公司.近几年来，我国的再保险市场总体呈现稳步上升的趋势，特别是商业再保险业务增长迅速.另外，国内再保险市场已形成了众多主体竞争的格局.这给再保险公司带来了机遇，同时也迎来了新的挑战.再保险公司如何厘定合理的定价以在激烈竞争的保险市场环境中稳健地经营是至关重要的.收稿日期：2006-03-14作者简介：李秀华（1966-），女，福建仙游人，研究生，从事应用数学研究.五邑大学学报（自然科学版）2007年58再保险公司在保险风险的存在期间里通常将保费的一部分用于投资基金中以获取收益，但在再保险的定价中并未考虑其影响.本文从再保险人的立场出发，以保障再保险人的利益为基础，建立了在投资收益因素影响下的再保险保费定价模型.2投资收益影响下的再保险分析2.1比例再保险设索赔额为随机变量x 的保险，在比例再保险合同下，原保险人将承担自留比例为α的风险x α，再保险人承担剩余的部分x )1(α；再保险人向原保险人收取的保费是P .另外，再保险人承保期限为T ，)(x E m =，索赔发生概率为λ.保单规定：保费在期初缴纳，理赔则在期末进行；再保险公司的各种费用占再保险人保费的比例为h ，且它发生在期初.再保险公司除支付各种费用之外，剩余的保费全部用于投资基金上.假设投资基金价格遵循几何布朗运动z t s t t s t s d )(d )()(d σμ+=(σμ,分别是它的预期收益率及波动率)，从而)(ln t s 服从正态分布),)2((~))0()(ln(22t t N s t s σσμ.我们需要解决的的问题是：再保险公司该如何厘定再保险保费，才能保证再保险公司在经营期末有f （f 常取0.95）的把握达到或超过R 的利润率.由于再保险人支付各种费用后的收益为Ph P，因此，在期末，公司的利润为=)(T W m s T s P h Pλα)1()0()()(，从而它的利润率是Pma Ps T s Ph PT v λ)1()0()()()(=.为确保再保险公司在经营期末有f 的把握使R T v ≥)(，则应有f R T v P r =≥)((，即f R PmPs T s Ph PP r =≥))1()0()()((λα，,))1()0()()((f PmRP P s T s Ph PP r =+≥λαf PhPm RP s T s P r =+≥)))1()(0()((λα，∫∞+=TTPhPmRP z f z σσμλα)2()1(ln222d π2e，（令TT s T s z σσμ)2()0()(ln 2=）f TT PhPmRP Φ=+))2()1(ln (12σσμλα，f TT PhPmRP Φ=+1))2()1(ln (2σσμλα，查表得γσσμλα=+TT PhPmRP )2()1(ln2因此，可得RT T h mP +=])2(exp[)1()1(2σμγσλα第20卷第4期59李秀华：基于投资的再保险定价模型研究定理1在如上比例再保险合同的条款规定下，则为了保证再保险公司在经营期末有f 的把握达到或超过R 的利润率，再保险公司应厘定的再保险保费是RT T h mP +=])2(exp[)1()1(2σμγσλα2.2超额赔款再保险设保险标的的损失为随机变量X ，原保险公司的自留额为1d ，剩余的部分1x d 由1k 个再保险公司承担，现将损失的范围分为层，记为：012310kk d d d d d d =<<<<<<=+∞L L 这样，第i 个公司所需承担的损失为11110,,,,,i i i ii ii iX d Y Xd d X d d d X d ≤=<≤>其中1Y 表示原保险公司所需承担的损失[3].设损失X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，记0(,)()d [1()]dE X d xf x x dF d =+∫，索赔发生概率为λ，则第i 个再保险公司的赔款为：),,2,1()],,(),([)(1k i d X E d X E Y E i i i L ==λλ设第i 个再保险公司收取的保费是i P ，再保险人承保期限为T ，保单规定及投资基金价格与比例再保险时的情况相同.再保险公司该如何厘定再保险保费，才能保证再保险公司在经营期末有f (f 常取0.95)的把握达到或超过R 的利润率.由于再保险人在支付各种费用后的收益为h P P i i，因此，在期末，再保险公司的利润为)()0()()()(i i iY E s T s h P P T W λ=，从而它的利润率是ii ii i P Y E P s T s h P P T v )()0()()()(λ=.为确保再保险公司在经营期末有f 的把握使R T v ≥)(，则应有f R T v P r =≥))((，即f R P Y E P s T s h P P P ii i i ir =≥))()0()()((λ，,))()0()()((f P Y E RP P s T s h P P P ii i ii ir =+≥λf hP P Y E RP s T s P i i i i r =+≥))]()[0()((λ，222()l n()2ed 2πi i i i z RP E Y TP P hTz f λσμσ∞+=∫，（令TTs T s z σσμ)2()0()(ln2=）五邑大学学报（自然科学版）2007年60f TT hP P Y E RP Φi ii i =+))2()(ln (12σσμλ，f TT hP P Y E RP Φi ii i =+1))2()(ln (2σσμλ，查表得γσσμλ=+TT hP P Y E RP i ii i )2()(ln2因此，可得RT T h Y E P i i +=])2(exp[)1()(2σμγσλ定理2在如上超额赔款再保险合同的条款规定下，则为了保证再保险公司在经营期末有f的把握达到或超过R 的利润率，第i 个再保险公司应厘定的再保险保费是RT T h Y E P i i +=])2(exp[)1()(2σμγσλ，其中),2,1(),,(),()(1k i d X E d X E Y E i i i L ==3释例分析设保单规定和投资基金价格满足定理1和定理2的条件，并且已知T =1年、h =25%，λ=0.4，μ=10%，σ=15%.试在保证以f =95%的把握达到或超过R =12%的利润率的情况下，求出：1）索赔额密度函数0.02()0.02e xf x =，在原保险人自留比例为40%的比例再保险合同下，再保险公司应厘定的保费是多少.2）在超额赔款再保险合同下，已知损失X 服从对数正态分布，即)5419.0,104.8(~)ln(N X ，由三个公司参与再保险，损失分层范围为,,1000,5000321+∞===d d d 第一、第二再保险公司应厘定的保费是多少.解：因为0.02()0.02exf x =，所以50)(==x E m ；且05.011)(==f Φγ，故645.1=γ，可得：2exp[()]exp[0.15( 1.645)0.10.150.152]exp(0.158)0.85382T T σσγμ+=×+×÷==（1）根据已知条件由定理1可得：06.2312.08538.0)25.01(504.0)4.01(])2(exp[)1()1(2=×××=+=RT T h mP σμγσλα（2）根据已知条件可得：第20卷第4期61李秀华：基于投资的再保险定价模型研究,73832974035)5000,()1000,()(,3297)5000,()(21=====x E x E Y E x E y E 30140354336)1000,()()(3===x E x E Y E 代入定理2公式：31.56712.08538.075.07384.0])2(exp[)1()(222=××=+=RT T h Y E P σμγσλ38.23112.08538.075.03014.0])2(exp[)1()(233=××=+=RT T h Y E P σμγσλ所以，第一、第二再保险公司应厘定的再保险保费分别为2P =567.31，3P =231.38.4结束语保险资金的投资是保险业发展壮大的必然需要，投资收益的大小自然将影响到再保险公司的经营状况.因此，研究在投资收益因素影响下的再保险定价问题，对于再保险公司合理地厘订出能反映自身经济实力的再保险保费及提高市场竞争能力是有重要的现实意义的.参考文献：[1]王静龙,汤鸣,韩天雄.非寿险精算[M].北京:中国人民大学出版社,2004.[2]邓志民.再保险调整模型的研究[J].南开大学学报:自然科学版,2005,2:84-89.[3]吴礼斌.基于损失分布的再保险精算模型[J ].统计与决策,2004,2:24.（上接第27页）参考文献：[1]杨莘元，郑思海.基于运动辐射体TOA 和DOA 测量的单站被动定位算法[J].电子学报,1996,24(12):66-69.[2]孙仲康,周一宇.单多基地有源无源定位技术[M].北京:国防工业出版社,1996,196-312.[3]陈永光,孙中康.基于TOA Δ和方位角测量辅以间歇高度信息的双基地定位跟踪技术[J].国防科技大学学报,1993,15(3):65-73.[4]李宗华,冯道旺.一种固定单站对运动辐射源的无源定位跟踪算法[J].国防科技大学学报,2003,25(4):27-30.[5]李宗华,冯道旺.对空中辐射源的快速无源定位算法及其可观察性分析[J].宇航学报,2003,24(5):470-477.[6]胡来招.无源定位[M].北京:国防工业出版社,2004.。