模煳控制的数学基础1实用课件
模糊控制的基本思想与数学基础67页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人,才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭,生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍,就是一下子不要学很多。——洛克
模糊控制的基本思想与数学 基础
41、实际上,我们想要的不是针对犯 罪的法 律,而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民,就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律,法律受制于情 理。— —托·富 勒
毕业设计107模糊逻辑控制系统的数学基础1
2. 模糊控制系统数学基础2.1 模糊集合的定义及表示方法 2.1.1 模糊集合的定义扎德(Zadeh)曾对模糊集合作如下的定义:设给定论域U,U 到[0,1]闭区间上的映射μA 都确定U 的一个模糊子集μA : U →[0,1]U →μ(u)μA 称之为 A 的隶属函数,μA (u )称之为U 对A 的隶属度。
隶属函数μA (x )表示元素x 属于A 的程度,若μA (X )=1,则表示X 完全属于A ,若μA (X )=0,则表示X 完全不属于A ,若μA (x)=0.5,则表示x 属于A 的程度只有了0.5。
2.1.2 模糊子集的表示方法 模糊子集有如下的表示方法:1)、当论域U 为离散有限集{X1,X2,...,Xn},此时,A 有两种表示方法:(1) 扎德表示法A=a1/x1+a2/x2+...+an/Xn;若有ai=0时,则可以省略。
式中“ai/Xi ”不是分数,仅表示“元素Xi属于A 的隶属度为ai ”;符号“+”也不是普通加法,仅仅是一个记号。
(2) 向量表示法A=(a1,a2,....,an);式中向量的次序是不能颠倒的,并且隶属度为零也不能省略。
2). 论域是离散无限域(1) 可数情况:扎德表示法A~∑⎰∞∞∞===111)(~)(~)(~~uiui A ui ui A ui ui A A其中U={u1,u2,…,un},μA(ui)=A(ui)。
这里“∑”,“U ”,“∫”仅仅是符号;A (ui )/ui 也不是分数。
(2)、 不可数情况:扎德表示法其中“∫”不是积分号;A(u)/u 也不是分数; μA (u )=A(u)。
3)、论域是连续域扎德表示法特别当U 是一个实数区间时,其上的模糊集可用普通的实函数表示。
[9]2.2 模糊集合的运算以及性质 2.2.1 模糊子集的运算由于模糊子集的特征函数是它的隶属函数,所以,进行两个模糊子集运算时通常都是逐点对其隶属度进行相应的运算。
第2章 模糊控制- 数学基础
③
同一语言变量的所有语言值间要遵循语意顺 序、并避免其隶属函数间的不恰当重叠。
隶属度
很低 1 低 适中 高 很高
0
10
20
25
30
40
温度
25
1
重叠范围
两个隶属函数的全部范围
26
1
1
27
1
1
28
1
1
1
1
29
2.2.2 模糊关系(模糊推理的基础之一)
30
31
英 甲 乙 丙
2
模糊控制的特点
①
无需知道被控对象的数学模型
以人们的控制经验为基础设计的控制器
②
与人类脑力活动的特点一致
模糊性:人类思维中采用模糊量,如:高、中、 低、大、小等。
经验性:模糊控制的核心是控制规则,模糊控 制中的知识表示、模糊规则和模糊推理是基于专家 知识或熟练操作工的成熟经验。模糊控制规则是用 人类语言表示的,如:衣服较脏,则投入洗涤剂较 多,洗涤时间较长。
45
⑤
⑥ ⑦
全由所考虑问题的目的或属性这样的外界因素 决定。一旦所考虑问题的目的或属性确定,关 系就客观存在了,但模糊关系中隶属度的确定 仍具主观性。 要完整确定出两个论域中的元素之间的关联性 (也即这两个论域间存在的关系),应该逐个考 虑这两个论域中的所有元素间的所有可能的配 对情况(所有配对的集合即为直积)。 数学上,关系体现为定义在两个论域的直积上 的(模糊)集合,也是该直积的子集。 两个有限论域之间的关系可以用矩阵表示,但 要将处于直积中前面论域中的所有元素排成列、 而将后面论域中的所有元素排成行。
模糊控制数学基础
)
且定义g(vi /vj ) =1,当i=j时。
③以g(vi /vj ) (i , j=1,2)为元素构造相及矩阵G:
G
=
⎡1
⎢ ⎣
g
(v2
/
v1 )
g(v1 / v2 )⎤
1
⎥ ⎦
推广: n个元素 (v1 , v2 ,L , vn ) 的相及矩阵G:
⎡1
g(v1 / v2 ) g(v1 / v3 ) L g(v1 / vn ) ⎤
0
x ≤0
µF (u)=
1
1
+
100 u2
x>0
可算出µF (5)=0.2, µF (10)=0.5, µF (20)=0.8
可见µF (u)是U到闭区间[0,1]的映射。
U
µF (u)
5 10 20
[0,1]
0.2 0.5 0.8
模糊集合的表示方法:
1、论域U为离散域(即论域U是有限集合)
(1)查德表示法
两个模糊集A和B,若对所有元素u,它们的 隶属函数相等,则A和B也相等。即
A = B ⇔ µ A (u) = µ B (u)
设A、B为U中的两个模糊子集,隶属函 数分别为µA 和µB,则模糊集合中的并、交、 补等运算按如下定义: 并(析取):并(A∪B)的隶属函数µA∪B对 所有的u ∈U 被逐点定义为取大运算,即: µA∪B= µA(u)∨µB(u) 式中,符号“∨”为取大 值运算。
µF (u)=1:u完全属于U; µF (u)= 0:u完全不属于U; 0< µF (u)<1:u部分属于U。
U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度 来表示:
F={(u ,µF (u) )| u∈U}
第六章 模糊控制的数学基础
0.1)}
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2.
隶属函数
普通集合用特征函数来刻划,模糊集合用隶属函数 作定量描述。 特征函数的值域为集合{0, 1},隶属函数的置于为 区间[0, 1]。 隶属函数是特征函数的扩展和一般化。图6-4表示 了两种函数的关系。
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25
1.0
1.0
1.0
0 (a)三 角 形 1.0
0 ( b) 半 角 形 1.0
0 ( c) 梯 形 1.0
0 ( d) 钟 形 1.0
0 ( e) 矩 形 1.0
0 ( f) Z形
0 ( g) S形
0 ( h) 单 点 形
图 6- 5 常 用 的 隶 属 函 数 性 状
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IC Fuzzy
29
(3) S形隶属函数 S形函数sigmf(x,[a c])由参数a和c决定:
f ( x, a, c) 1 1 e
a ( x c )
其中参数a的正负符号决定了S形隶属函数 的开口朝左或朝右,用来表示“正大”或 “负大”的概念。Matlab表示为
sigmf(x,[a,c])
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6.2.2 模糊集合
1. 模糊集合的概念
定义6.1 模糊集合:设X是论域,X上的一个 实值函数用μA(x)来表示,即 μA(x):X→[0, 1] 对于x∈X,μA(x)称为x对A的隶属度,而 μA(x)称为隶属函数。
• •
•
模糊集合A:抽象的东西, 函数μA(x):具体的, 因此,我们只能通过μA(x)来认识和掌握A。
模糊控制的数学基础
关系:对于给定集合 X 、 Y 的直积 X Y 上的一个子集 R,
称为 X 到 Y 的二元关系,简称为关系。对于 X Y 的元
素 (x, y),若有 (x, y) R,则称 x 与 y 相关,记为 x R y
否则 (x, y) R ,记为 x R y 。 设 f : X Y ,显然有{(x, y) y f (x)} X Y ,可见
3. 集合(Set)
给定一个论域,其中具有相同属性的确定的可以彼此区别的元素的 全体称为集合。
4. 全集、空集、子集
全集:集合中包含了论域中的全部元素。
空集:不包含论域中任何元素的集合称为空集,记为Ø。
子集(Subset):对于x A x B , 称为A为B的一个子
集,
A B
7
二、集合的表示法 1. 列举法:
A (B C) (A B) (A C)
A (B C) (A B,) (A C)
A (A B) A
A (A B) A
AU U,
A U A
A Ø A , A Ø=Ø
7.复原律
(Ac )c A
12
8.互补律 A Ac U ,
A Ac Ø
9.对偶律
(A B)c Ac Bc (A B)c Ac Bc
4
美国加里福尼亚大学控制论专家扎德 (L.A.Zadeh)教授1965年创立了模糊集合论, 用隶属函数代替经典集合论中的特征函数,隶属 函数在[0, 1]间连续取值,以此来描述模糊现象的 中间过渡性,突破了经典集合论中或不属于的绝 对关系。
5
2.1.2 精确性、模糊性与随机性
确定性——经典数学
不确定性
Ac={x | x Α且x∈U}
4. 集合的直积 设有两个集合A和B,A和B的直积A×B定义为
智能控制02-模糊控制的数学基础ppt课件
x
5,
x 180
1,
x 150 x(150,180)
x 180
矮个子模糊集合 ppt精选版 高个子模糊集合 23
知识点:如何对变量进行模糊化
确定变量 定义变量的论域 定义变量的语言值(即模糊集合) 定义每个模糊集合的隶属函数
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24
An Example
1
速度:论域[0,200]
0
表 示 x完 全 不 属 于 A
A(x) 1
表 示 x完 全 属 于 A
0A(x)1 表 示 x部 分 属 于 A
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16
模糊集合的表示方法
Zadeh表示法 序偶表示法 隶属函数表示法
有限元素集合 连续元素集合
参见教材page13-14:例2-4,例2-5,例2-6.
ppt精选版
A1A(u)
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32
模糊集合运算举例
例:设论域为{u1,u2,u3,u4,u5}的两模糊集合分别为
A0.20.710.5, u1 u2 u3 u4
B0.10.30.810.5 u1 u2 u3 u4 u5
求
A B ,A B ,A ,和 B
完成教材P15:例2-7的练习
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33
模糊运算的性质
2.2 Fuzzy Sets
模糊集合是模糊控制的数学基础
经典集合 模糊集合
有明确分界限的元素 的组合
描绘模糊语言概念
ppt精选版
9
A={1,3,5,7, 9}
Classical Sets B={2,4,6,8,10}
十九世纪末,康托建立了经典集合理论 集合
具有某种特定属性的对象的全体。 通常用大写字母A, B, C, …表示
第六章_模糊控制的数学基础
1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.3 0.1 A 1 2 3 4 5 6
为简单起见,常把0的部分省去,即: .5 1 0.9 0.7 0
(2)向量表示法: { 1 ,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0,0,0,0} A 1 (3)序偶表示法: A {(1,1), (2,0.9), (3,0.7), (4,0.5), (5,0.3), (6,0.1), (7,0), (8,0), (9,0), (10,0)}
0 x 25 25 x 100
25
50
75
100
目前,确定隶属函数还没有一种成熟而有效的 方法,一般是根据经验或模糊统计的方法来确定。 因而隶属函数的确定并不是唯一的,把神经网络 与模糊逻辑结合,通过对神经网络的训练,由神 经网络直接自动地生成隶属函数是解决这一问题 的有效方法。
在实际控制问题中,根据能满足一般要求,又 可简化计算的原则,普遍选用的隶属函数有三角 形、半三角形、梯形、半梯形、钟形(正态型)、 矩形、Z形、S形和单点形等。
叫做A与B的并集,算符 表示析取。
…
(9)交集
设 A、B P(X),则
A B x x A x B
叫做A与B的交集,算符 xi 表示合取。
…
(10)补集
设 A、B P(X),则
Ac x x A
叫做A的补集。
…
(11)差集 设 A、B P(X),则
A B x x A x B
叫做B对A的差集,简称A-B,或A\B。
…
2.集合的运算性质
3.特征函数
模糊控制 - 数学基础
一、模糊集合
6、运算性质
F集幂等律: A A=A,A A=A F集两极律:A =,A U=U F集同一律: A U=A,A =A F集交换律: A B=B
A,A B =B A
F集结合律: A B C =A
B
C , A B C =A
4
一、模糊集合
例1 设集合U 由1到5的五个自然数组成,用上述前三 种方法写出该集合的表达式。
解:(1)列举法 U ={1,2,3,4,5} (2)定义法 U ={u|u为自然数 且 1u5 }
(3)归纳法 U ={ui+1 = ui+1, i = 1,2,3,4, u1 = 1}
(4)特征函数表示法:集合U通过特征函数来TU(u)表示 u U 1 TU (u) u U 0
A
其中隶属函数定义为
x, ( x) x U
A
A ( x)
1 1 10 x 2
“接近于0的实数”之模糊集合
12
一、模糊集合
例:拥有离散性论域的模糊集合 假设U ={ 0,1,2,...,9 } 为代表一个家庭中,所可能拥有子女个数的集 合,令三个模糊集合之定义为A:子女数众多,B:子女数适中,C:子 女数很少,其隶属函数的定义如表所示。
子女数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 子女众多 (A) 0 0 0 0 0 0.1 0.3 0.8 1 1 子女适中 (B) 0 0 0.2 0.7 1 0.7 0.2 0 0 0 子女很少 (C) 1 1 0.8 0.2 0.1 0 0 0 0 0
一、模糊集合
3、模糊集合的表示
当论域U由有限多个元素组成时,模糊集合可用向量表示法或扎德 表示法表示。设 U {x1 , x2 , , xn } { 0,1, 2,..., 9 }
模糊控制的理论基础.ppt
模糊控制还需要解决的问题
1、人的知识和经验的表达;
2、知识推理的方法;
3、人的知识的获得和总结; 4、模糊控制系统稳定性判据; 5、模糊控制系统的学习; 6、模糊控制系统的分析;
7、模糊控制系统的设计方法
模糊控制系统人性化——模糊控制容忍噪声的干 扰和元器件的变化——模糊控制适应性好
第二节 模糊集合论基础
(u )/u
i 1 F i
n
i
例2-2 考虑论域U={0,1,2,……10}和模糊集F”接近 于0的整数“,它的隶属度函数表示法
F 1 . 0 / 0 0 . 9 / 1 0 . 75 / 2 0 . 5 / 3 0 . 2 / 4 0 . 1 / 5
2、序偶表示法:
输出模糊集的精确化——将模糊控制量转化为清晰的、确定的输出控制量。
模糊控制技术需要解决的具体问题
1、模糊控制器的构造:单片机、集成电路、可编程控制器 (PLC); 2、模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法; 3、模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术(A/D和 D/A技术); 4、实现模糊控制系统的软技术(仿真软件); 5、模糊控制器和被控对象的匹配技术(依赖人们的经验)。
0 x 0 F 1 x0 100 1 2 x
可以算出u(5)=0.2; u(10)=0.5; u(20)=0.8;表示5属 于大于零的程度为0.2,也就意味5算不上是远远大 于0的数。
若U为离散域,即论域U是有限集合时,模糊集合可以有以下 三种表示方法: 1、查德表示法 即: F
1965年,Zadeh提出模糊集理论——模糊控制理论(以模 糊集合为数学基础); 1974年,E.H.Mamdani首先利用模糊数学理论进行蒸汽机 和锅炉控制方面的研究; 模糊控制依赖操作者的经验;(传统的控制依赖于微分 方程组等); 改善模糊控制性能最有效的方法是优化模糊控制规则; 模糊规则是通过将人的操作经验转化为模糊语言形式获 取的,带有一定的主观性。
模糊控制的数学基础-Read
模糊集合的表示法:各元素与隶属度结合在一起。
Zadeh表示法: A= μA(x1)∕x1 + μA (x2)∕x2 +… + μA (xn) ∕xn 论域E={x1,x2,…xn},A为E上的一个模糊集,xi的隶属度 为μA(Xi) “+”不是相加,“∕”也不是相除—分子:隶属度;分母 元素。 所以,前面的例子中, A1=0.1 ∕a +0.3 ∕b +0.4 ∕c +0.7 ∕d +1.0 ∕e A2=1.0 ∕a +0.8 ∕b +0.55 ∕c +0.3 ∕d +0.1 ∕e b) 序偶表示法: A1={ (a ,0.1),(b ,0.3),(c ,0.4), (d ,0.7),(e ,1.0)} A2={(a ,1.0),(b ,0.8),(c ,0.55), (d ,0.3),(e ,0.1)} 也可进一步化简为失量表示: A1={μA1(a) μA1(b) μA1(c) μA1 (d) μA1(e)} ={0.1 0.3 0.4 0.7 1.0} A2={1.0 0.8 0.55 0.3 0.1}
二元模糊关系R是定义在直积Z×Y上的模糊关系,用 矩阵表示 R ( x1 , y1) R ( x1 , y2) ... R ( x1 , ym ) R ( x2 , y1) R ( x2 , y2) ... R ( x2 , ym ) R : : : : ( xn , y ) ( xn , y ) ... ( xn , y ) 1 R 2 R m R 这样的矩阵就是模糊关系矩阵,它的各元素均为 隶属度函数。 E.g: 设Z={儿子,女儿} Y={父,母} 对于“子女与父母长得相象”的模糊集合为
第二章 模糊控制的数学基础课件
F {F (x1) F (x2 ) F (xn}) F {F (x1),F (x2 ),,F (xn })
对于上例的模糊集合“舒适温度”可以用矢量/向量表示法表示为
舒适温度 0.25,0.5,0.1,0.5,0.25
23
2.2 模糊集合
2.序偶表示法 当论域上的元素为有限个时,定义在该论域上的模糊集还可用序偶
的形式表示为:
F (x1, F (x1)),(x2 , F (x2 )),,(xn , F (xn ))
对于上例的模糊集合“舒适温度”可以用序偶法表示为
舒适温度 (0,0.25), (10,0.5), (20,1), (30,0.5), (40,0.25)
A {u u A}
15
2.1 经典集合的简要回顾
➢集合的直积
设A、B分别为论域U、V上的集合,由A和B的各自元素 a∈A及b∈B做成的序偶(a,b)组成的集合,称为A与B 的直积,记作A×B。即:
A×B={(a,b) a∈A,b∈B}
例:若A={a,b,c},B={1,2},则
A×B={(a, 1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2)}
❖ 模糊控制是建立在人工经验(定性的、不精确的)基础之 上的,模仿人类的思维方式,采用模糊数学对模糊现象进 行识别和判决,给出精确的控制量,对被控对象进行控制。 模糊数学是模糊控制的数学基础,
6
2.1 概述
模糊数学
➢模糊数学是模糊控制的数学基础,将模糊性和集合 论统一起来,在不放弃集合的数学严格性的同时,使 其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。
计算隶属度的函数称为隶属函数。用 A (x)表示。
模糊控制PPT课件
其他领域
如农业、医疗、环保等 领域的智能化控制。
模糊控制基本原理
01
02
03
04
模糊化
将输入变量的精确值转换为模 糊语言变量的过程,通过隶属
度函数实现。
模糊推理
根据模糊控制规则和当前输入 变量的模糊值,推导出输出变
量的模糊值。
去模糊化
将输出变量的模糊值转换为精 确值的过程,通过去隶属度函
数实现。
基于仿真实验的分析方法
通过搭建模糊控制系统的仿真模型,模拟系统的运行过程并观察其输出响应。根据输出响应的变化情况 来判断系统的稳定性。这种方法可以直观地展示系统的动态特性,但需要消耗较多的计算资源。
提高模糊控制系统稳定性措施
要点一
优化模糊控制规则
通过调整模糊控制规则中的参数和隶 属度函数形状,可以改善系统的控制 性能并提高稳定性。例如,增加控制 规则的数量、调整隶属度函数的分布 等。
借鉴物理退火过程,避免陷入局部最优解。
05
模糊控制系统稳定性分析
稳定性概念及判定方法介绍
稳定性概念
指系统受到扰动后,能够恢复到原来平衡状态的能力。对于模糊控制系统而言,稳定性是评价其性能的重要指标 之一。
判定方法
包括时域法、频域法和李雅普诺夫法等。其中,时域法通过观察系统状态随时间的变化来判断稳定性;频域法通 过分析系统频率响应特性来评估稳定性;李雅普诺夫法则是基于能量函数的概念,通过构造合适的李雅普诺夫函 数来判断系统的稳定性。
化工生产过程控制
采用模糊控制方法对化工生产过程 中的反应温度、压力、流量等参数 进行精确控制,确保生产安全和产 品质量。
智能交通系统领域应用案例
城市交通信号控制
运用模糊控制理论对城市交通信 号灯的配时方案进行优化设计, 提高道路通行效率和交通安全水
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2/150
2.1 清晰向模糊的转换
• (3)模糊控制易于被人们接受。模糊控制的核心是控制规则,模糊规则是用语言来表示的,如“今天气温 高,则今天天气暖和”,易于被一般人所接受。
• (4)构造容易。模糊控制规则易于软件实现。
• (5)鲁棒性和适应性好。通过专家经验设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有效的控制。
*相等
对于两个集合A和B,如果A B 和 B A同 时成立,则称A和B相等,记做A=B。此时A 和B有相同的元素,互为子集。
*有限集
如果一个集合包含的元素为有限个,就叫 做有限集;否则,叫做无限集。
23:39:21
10/150
2113/:13590:21
2.1.1 普通集合
2)集合的表示法
* 列举法
23:39:21
1/150
2.1 清晰向模糊的转换
二、模糊控制的特点
• (1)模糊控制不需要被控对象的数学模型。模糊控制是以人对 被控对象的控制经验为依据而设计的控制器,故无需知道被控 对象的数学模型。
• (2)模糊控制是一种反映人类智慧的智能控制方法。模糊控制 采用人类思维中的模糊量,如“高”、“中”、“低”、 “大”、“小”等,控制量由模糊推理导出。这些模糊量和模 糊推理是人类智能活动的体现。
的概念。
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4/150
2.1 清晰向模糊的转换
• 经典集合:具有某种特性的所有元素的总和。 • 模糊集合: 在不同程度上具有某种特性的所有元素的总和。
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5/150
2.1 清晰向模糊的转换
模糊集合论的诞生,解决了数值和模糊概念间 的相互映射问题。以模糊集合论为基础的模糊数 学,在经典数学和充满模糊性的现实世界之间,架 起了一座桥梁,使得模糊性事物有了定量表述的方 法,从而可以用数学方法揭示模糊性问题的本质和 规律。
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6/150
2.1 清晰向模糊的转换
• 三类数学模型
• 第一类是确定性数学模型 • 确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系
明确的事物。对这类事物可以用精确的数学函数予以描述,典型的代表学科就 是“数学分析”、“微分方程”、“矩阵分析”等常用的重要数学分支。
23:39:21
7/150
2.1 清晰向模糊的转换
• 模糊数学(模糊集)是模糊控制的数学基础,它是由美国
加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集
合论统一起来,在不放弃集合的数学严格性的同时,使
• “其模吸糊取”人,脑是思指维客中观对事于物模彼糊此现间象的认差识异在和中推间理过的渡优时点,。界 限不明显,呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于 “精确”而言的。 “精确”:“老师”、“学生”、“工人”
2.1 清晰向模糊的转换
一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在被控对象精确数学模型基 础上的,然而,随着系统复杂程度的提高,将难以建立系统的 精确数学模型。 在工程实践中,人们发现,一个复杂的控 制系统可由一个操作人员凭着丰富的实践经验得到满意的控制 效果。这说明,如果通过模拟人脑的思维方法设计控制器,可 实现复杂系统的控制,由此产生了模糊控制。
设A是论域X上的一个集合,定义论域X上的函数
1, x A
称
A(x)
μA(x)为集合A的特征函数。可简记为A(x)。
0, x
A
2.2 普通集合
3)集合的运算
* 集合交
设X,Y为两个集合,由既属于X又属于Y的元素组成的 集合P称为X,Y的交集,记作
“模糊”:“高个子”、“热天气”、“年 • 模糊数轻学人并”不是让数学变成模模糊糊的东西,而是用数学工
具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩 展,它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念, 来描述事物对模糊概念的从属程度。
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2.1.1 普通集合
集合是数学中最基本的概念之一。 任何一个概念都有它的内涵和外沿。 概念的内涵 指这一概念的本质属性; 概念的外沿 指这一概念的全体对象,即一个集合。 讨论某一概念的外沿时总离不开一定的范围。这个讨论的
* 论域 所研究的全部对象的总和,叫做论域, 也叫全集合。
* 空集 不包含任何元素的集合,称为空集, 记做Φ。
* 子集 集合中的一部分元素组成的集合,称 为集合的子集。
* 属于
若元素 a 是集合 A 的元素,则称元素 a 属于集合 A ,记为a∈A;反之,称a不属 于集合A,记做 a A。
*包含
若集合A是集合B的子集,则称集合A包含于 集合B,记为A B;或者集合B包含集合A, 记为 B 。 A
将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来,该方法只能用于有 限集的表示。 例如10-20之间的偶数组成集合A,则A可表示为
A={10,12,14,16,18,20}
* 表征法
表征法将集合中所有元素示为
A={a|a为偶数,10≤a ≤20}
*特征函数法:
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2.1 清晰向模糊的转换
为了对事物进行识别,必须对事物按不同的要求进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分类。用 于这种分类的数学工具就是集合论。
解决精确性的集合问题可以用经典集合论。
模 糊 集 合 世 界 上 大 多 数 事 物 具 有 模 糊 性 。 为 了 描 述 具 有 模 糊 性 的 事 物 , 引 入
范围,称为“论域”,论域中的每个对象称为“元素”。
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2.1.1 普通集合
1)集合的概念
* 集合 具有特定属性的对象的全体,称为集 合。例如: “湖南大学的学生”可以 作为一个集合。集合通常用大写字母 A,B,……,Z来表示。
* 元素 组成集合的各个对象,称为元素,也 称为个体。通常用小写字母a, b,……,z来表示。
• 第二类是随机性数学模型 • 随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物,这类事物本身是确
定的,但是它的发生与否却不是确定的。概率论、随机过程 • 第三类是模糊性数学模型
• 模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物,它的外延不 分明,在概念的归属上不明确。模糊数学、模糊逻辑、粗糙集、熵空间等