2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章 数列 5-2a Word版含解析
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-5a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4， ∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x 0∈(k －1，k )，则k 的取值集合是( )A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a>0.解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫12，2.12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x ＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小，∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1. 三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5] ，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第9章 统计与统计案例 9-1a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本答案 A解析 5000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选A.2．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，若第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为( )A ．700B ．669C ．695D ．676答案 C解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l ＝15，分段间隔k ＝N n ＝100050＝20，故抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.故选C.3．某月月底，某商场想通过抽取发票存根的方法估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票的存根进行了编号，1,2,3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．若从编号为1,2,3，…，10的前10张发票的存根中随机抽取1张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第2张、第3张、第4张、……，则抽样中产生的第2张已编号的发票存根，其编号不可能是()A．13 B．17C．19 D．23答案 D解析因为第一组的编号为1,2,3，…，10，所以根据系统抽样的定义可知第二组的编号为11,12,13，…，20，故第2张已编号的发票存根的编号不可能为23.故选D.4．从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号．如果从随机数表的第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是()附：随机数表第6行至第8行各数如下：A．217 B．245C．421 D．206答案 D解析产品的编号为3位号码，故每次读数取3位，第一个三位数为217，依次取出符合条件的号码为157,245,206，故第4个个体编号为206.故选D.5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A ．7B ．9C ．10D ．15答案 C 解析 由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．故选C.6．(2018·朝阳质检)某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品共3000件，且它们的数量成等比数列，现用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中从乙、丁两类产品中抽取的总数为100件，则甲类产品有( )A ．100件B ．200件C ．300件D ．400件 答案 B解析 设从甲、乙、丙、丁四类产品中分别抽取a 1，a 2，a 3，a 4件进行检测，由于四类产品的数量成等比数列且是分层抽样，所以a 1，a 2，a 3，a 4也成等比数列，设此等比数列的公比为q ，由⎩⎨⎧ a 1＋a 3＝50，a 2＋a 4＝100，即⎩⎨⎧ a 1(1＋q 2)＝50，a 1q (1＋q 2)＝100，解得⎩⎨⎧ a 1＝10，q ＝2.即从甲类产品中抽取10件，则甲类产品的数量为101503000＝200(件)，故选B.7．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )C ．02D ．17 答案 C解析 从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.故选C.8．(2018·包头检测)将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9答案 B解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.9．某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体状况，从中抽取一个容量为36的样本，则最适合抽取样本的方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样答案 D解析 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样．因为总人数为28＋54＋81＝163，样本容量为36，由于按36163抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除1人，将抽样比变为36162＝29.若从老年人中随机地剔除1人，则老年人应抽取27×29＝6(人)，中年人应抽取54×29＝12(人)，青年人应抽取81×29＝18(人)，从而组成容量为36的样本．故选D.10．(2017·山西阳泉调研)学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为( )A ．14C ．16D ．17答案 B解析 由已知高三女生数x ＝2000×0.18＝360.故高三年级总共有360＋340＝700(人)．而高一年级共有373＋327＝700(人)．所以高二年级共有2000－700－700＝600(人)．设高二年级应抽取的学生数为n ，则由分层抽样的特点知，n 50＝6002000，解得n ＝15.故选B.二、填空题11．(2017·郑州期末)已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为________．答案 1211解析 由系统抽样，抽样间隔k ＝3000150＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列，则a 61＝11＋60×20＝1211，故第61组抽取号码为1211.12．(2018·浙江五校模拟)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B 单位抽30份，则在D 单位抽取的问卷是________份．答案 60解析 由题意依次设在A ，B ，C ，D 四个单位回收的问卷数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则30a 2＝1501000，∴a 2＝200.又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1000，即3a 2＋a 4＝1000，∴a 4＝400.设在D 单位抽取的问卷数为n ，∴n 400＝1501000，解得n＝60.13．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．答案501015解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.14．(2017·临沂期末)某地区有居民100000户，其中普通家庭99000户，高收入家庭1000户．在普通家庭中以简单随机抽样的方式抽取990户，在高收入家庭中以简单随机抽样的方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地区拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．答案 5.7%解析99000户普通家庭中拥有3套或3套以上住房的约有99000×50990＝5000(户)，1000户高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的约有70100×1000＝700(户)，故该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例约为5000＋700100000×100%＝5.7%.三、解答题15．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解 总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n 36，抽取工程师人数为n 36×6＝n 6(人)，技术员人数为n 36×12＝n 3(人)，技工人数为n 36×18＝n 2(人)，所以n 应是6的倍数，36的约数，即n ＝6,12,18.当样本容量为(n ＋1)时，总体容量是35，系统抽样的间隔35n ＋1，因为35n ＋1必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量n ＝6.16．某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：(1)(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？解(1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为402000＝150.故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，抽取比例为252000＝180，故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．(3)用系统抽样，对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．。
高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列5-4aWord版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析 由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( )A.23B.278 C ．7 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102 答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ． 答案 C解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1， 即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前项的和S ＝1009×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n －1 D.14(3n －1)答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝ 2 (n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 的值为( )A.20142015B.20152016C.20162017D.20172018 答案 D解析 直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018 .故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a <0B ．若a 4>0，则a <0C ．若a 3>0，则S >0D ．若a 4>0，则S >0 答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a ＝a 1q >0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a ＝a 1q >0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S >0，当q ≠1时，S ＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．(·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22 C ．－22 D ．－3 答案 D解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan 2×7π31－(3)2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3 .故选D.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________.答案 10n ＋1－9n －108112．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 23＋13×42018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14 ·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝－13＋13×142018＝23＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 32解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S ＝________.答案 6720解析 当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝，∴S ＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2， 于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．(·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n an 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . (2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4. 1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。
教育最新K122019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-4a
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析 由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( )A.23B.278 C ．7 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102 答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n－1)2B.12(9n－1) C ．9n －1 D.14(3n －1)答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015B.20152016C.20162017D.20172018 答案 D解析 直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0 答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．(2017·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22 C ．－22 D ．－3 答案 D解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan 2×7π31－(3)2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.故选D.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________.答案 10n ＋1－9n －108112．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析 当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n)1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2＋，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2＋，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . (2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4. 1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，所以1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。
【K12教育学习资料】2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章数列5-1a
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·海南三亚一模)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的( )A ．第16项B ．第24项C ．第26项D ．第28项 答案 C解析 设题中数列为{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( )A.6116B.259C.2516D.3115 答案 A解析 解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.3．(2018·安徽江南十校联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130 答案 C解析 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.4．(2018·广东测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝S 1＝32(a 1－1)，a 1＋a 2＝32(a 2－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9，代入选项逐一检验，只有C 符合．故选C.5．(2018·金版原创)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1＞a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2＞|a 1|不成立 ，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东三校期末)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27 B.27 C ．－37 D.37 答案 D解析 a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n＝37.故a 1413－a 1314＝37.故选D.7．(2018·江西期末)定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5.则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21 答案 C解析 由n a 1＋a 2＋…＋a n＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n－1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，b 10＝2×10－1＝19.故选C.8．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3) D ．(1,3) 答案 C解析 因为{a n }是递增数列，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×2＋2<a 2×32－9×3＋11，解得2<a <3，所以实数a的取值范围是(2,3)．故选C.9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]答案 C解析 由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22<b n ＋1(n ≥3)，即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2<2t －t (n ＋1)－12n ， 即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2>t (n ＋1)－12n . 化简得t (n －2)>1.当n ≥3时，若t (n －2)>1恒成立，则t >1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．故选C.10．(2018·湖北八校模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．λ＜45B ．λ＜1C ．λ＜32D ．λ＜23 答案 A解析 ∵数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，∴a n >0，1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比数列，且首项为1a 1＋1＝2，公比为2，∴1a n＋1＝2n .∴b n ＋1＝(n －2λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝(n －2λ)·2n (n ∈N *)， ∴b n ＝(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)， ∵数列{b n }是单调递增数列， ∴b n ＋1＞b n ，∴(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)， 可得λ<n ＋12(n ≥2)，∴λ<32， 又当n ＝1时，b 2>b 1， ∴(1－2λ)·2>－32λ，解得λ<45， 综上，λ的取值范围是λ<45.故选A. 二、填空题11．(2018·厦门海沧实验中学联考)若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *解析 a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n (n ＋1)， 故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.12．(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0.设M (x )表示整数x 的个位数字，则M (a 2017)＝________.答案 6解析 由已知得(na n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0， ∵a n ＞0，∴a n ＋1－2a n ＝0，则a n ＋1a n＝2，∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝1×2n －1＝2n －1.∴a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝16，a 6＝32，a 7＝64，a 8＝128，…，∴n ≥2时，M (a n )依次构成以4为周期的数列．∴M (a 2017)＝M (a 5)＝6，故答案为6.13．(2017·吉林模拟)若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．答案 2解析 ∵a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴a 2＝1－1a 1＝1－112＝－1，∴a 3＝1－1a 2＝1－1－1＝2，∴a 4＝1－1a3＝1－12＝12，…，依此类推，可得a n ＋3＝a n ，∴a 2016＝a 671×3＋3＝a 3＝2.14．(2017·河南测试)已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞ 解析 由a n ＋1＝12a n ＋14，得a n ＋1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －12，且a 1－12＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以3为首项，12为公比的等比数列，则a n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12，所以S n ＝3×( 120＋12＋122＋…＋12n －1 )＋n2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2，则12＋n －2S n ＝122n .因为不等式12k12＋n －2S n＝k ·2n ≥2n －3，n ∈N *恒成立，所以k ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n max ，n ∈N *.令2n －32n ＝b n ，则b n ＋1－b n ＝2n －12n ＋1－2n －32n ＝5－2n 2n ＋1，则b 1<b 2<b 3>b 4>…，所以(b n )max ＝b 3＝38，故k ≥38.三、解答题15．(2017·河南百校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．解 在a n ＝34S n ＋2中，令n ＝1，得a 1＝8.因为对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立，所以a n ＋1＝34S n ＋1＋2， 两式相减得a n ＋1－a n ＝34a n ＋1，所以a n ＋1＝4a n ，又a 1＝8，所以{a n }是首项为8，公比为4的等比数列，所以a n＝8×4n －1＝22n ＋1，所以b n ＝log 222n ＋1＝2n ＋1.16．(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得1a n＝12n，所以T n＝12＋122＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－1 2n.由|T n－1|<11000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n≥10.于是，使|T n－1|<11000成立的n的最小值为10.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章 数列 5-1a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·海南三亚一模)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的( )A ．第16项B ．第24项C ．第26项D ．第28项 答案 C解析 设题中数列为{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( )A.6116B.259C.2516D.3115 答案 A解析 解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.3．(2018·安徽江南十校联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130 答案 C解析 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.4．(2018·广东测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝S 1＝32(a 1－1)，a 1＋a 2＝32(a 2－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9，代入选项逐一检验，只有C 符合．故选C.5．(2018·金版原创)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 当a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1＞a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2＞|a 1|不成立 ，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东三校期末)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27 B.27 C ．－37 D.37 答案 D解析 a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n＝37.故a 1413－a 1314＝37.故选D.7．(2018·江西期末)定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5.则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21 答案 C解析 由n a 1＋a 2＋…＋a n＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n－1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，b 10＝2×10－1＝19.故选C.8．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3) D ．(1,3) 答案 C解析 因为{a n }是递增数列，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×2＋2<a 2×32－9×3＋11，解得2<a <3，所以实数a的取值范围是(2,3)．故选C.9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]答案 C解析 由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22<b n ＋1(n ≥3)，即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2<2t －t (n ＋1)－12n ， 即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2>t (n ＋1)－12n . 化简得t (n －2)>1.当n ≥3时，若t (n －2)>1恒成立，则t >1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．故选C.10．(2018·湖北八校模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．λ＜45B ．λ＜1C ．λ＜32D ．λ＜23 答案 A解析 ∵数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，∴a n >0，1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比数列，且首项为1a 1＋1＝2，公比为2，∴1a n＋1＝2n .∴b n ＋1＝(n －2λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝(n －2λ)·2n (n ∈N *)， ∴b n ＝(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)， ∵数列{b n }是单调递增数列， ∴b n ＋1＞b n ，∴(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)， 可得λ<n ＋12(n ≥2)，∴λ<32， 又当n ＝1时，b 2>b 1， ∴(1－2λ)·2>－32λ，解得λ<45， 综上，λ的取值范围是λ<45.故选A. 二、填空题11．(2018·厦门海沧实验中学联考)若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *解析 a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)， 当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n (n ＋1)， 故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.12．(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0.设M (x )表示整数x 的个位数字，则M (a 2017)＝________.答案 6解析 由已知得(na n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0， ∵a n ＞0，∴a n ＋1－2a n ＝0，则a n ＋1a n＝2，∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝1×2n －1＝2n －1.∴a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝16，a 6＝32，a 7＝64，a 8＝128，…，∴n ≥2时，M (a n )依次构成以4为周期的数列．∴M (a 2017)＝M (a 5)＝6，故答案为6.13．(2017·吉林模拟)若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．答案 2解析 ∵a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴a 2＝1－1a 1＝1－112＝－1，∴a 3＝1－1a 2＝1－1－1＝2，∴a 4＝1－1a3＝1－12＝12，…，依此类推，可得a n ＋3＝a n ，∴a 2016＝a 671×3＋3＝a 3＝2.14．(2017·河南测试)已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞ 解析 由a n ＋1＝12a n ＋14，得a n ＋1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －12，且a 1－12＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以3为首项，12为公比的等比数列，则a n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12，所以S n ＝3×( 120＋12＋122＋…＋12n －1 )＋n2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2，则12＋n －2S n ＝122n .因为不等式12k12＋n －2S n＝k ·2n ≥2n －3，n ∈N *恒成立，所以k ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n max ，n ∈N *.令2n －32n ＝b n ，则b n ＋1－b n ＝2n －12n ＋1－2n －32n ＝5－2n 2n ＋1，则b 1<b 2<b 3>b 4>…，所以(b n )max ＝b 3＝38，故k ≥38.三、解答题15．(2017·河南百校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．解 在a n ＝34S n ＋2中，令n ＝1，得a 1＝8.因为对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立，所以a n ＋1＝34S n ＋1＋2， 两式相减得a n ＋1－a n ＝34a n ＋1，所以a n ＋1＝4a n ，又a 1＝8，所以{a n }是首项为8，公比为4的等比数列，所以a n＝8×4n －1＝22n ＋1，所以b n ＝log 222n ＋1＝2n ＋1.16．(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得1a n＝12n，所以T n＝12＋122＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－1 2n.由|T n－1|<11000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n≥10.于是，使|T n－1|<11000成立的n的最小值为10.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.4 数列求和 Word版含解析
5.4 数列求和[知识梳理]1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . (2)等比数列求和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．常见的裂项公式： ①1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)；④1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )．3．常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2； (3)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6； (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22. [诊断自测] 1．概念辨析(1)已知等差数列{a n }的公差为d ，则有1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1.( )(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是(n >1，n ∈N *)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√2．教材衍化(1)(必修A5 P 47T 4)数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为20172018，则项数n 为( )A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 答案 D解析 a n ＝1n －1n ＋1，S n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，又前n 项和为20172018，所以n ＝2017.故选D.(2)(必修A5 P 61T 4)已知数列：112，214，318，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．答案 n (n ＋1)2＋1－12n解析 将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即S n＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋1－12n .3．小题热身(1)数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2018等于( )A ．－1010B ．2018C ．505D ．1010 答案 A解析 易知a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cosπ＝－2，a 3＝0，a 4＝4，…. 所以数列{a n }的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S 2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a 2017＝0，a 2018＝2018×cos 2018π2＝－2018，∴S 2018＝S 2016＋a 2018＝1008－2018＝－1010.故选A.(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .题型1 错位相减法求和典例 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)、方程思想、错位相减法．解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n)1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2. 方法技巧利用错位相减法的一般类型及思路1．适用的数列类型：{a n b n }，其中数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q ≠1的等比数列．2．思路：设S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，(*) 则qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n －1b n ＋a n b n ＋1，(**)(*)－(**)得：(1－q )S n ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1，就转化为根据公式可求的和．提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误： (1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和．冲关针对训练已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a nb n ＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故c n＝2n－1.(2)由b n＝3n－1知a n＝c n b n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3S n＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，相减得－2S n＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)3n，所以S n＝(n－1)3n＋1.题型2裂项相消法求和典例S n为数列{a n}的前n项和，已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和．利用递推公式，a n＝S n－S n－1(n≥2)求通项，裂项相消求和．解(1)由a2n＋2a n＝4S n＋3，可知a2n＋1＋2a n＋1＝4S n＋1＋3.可得a2n＋1－a2n＋2(a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2(a n＋1＋a n)＝a2n＋1－a2n＝(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)．由于a n>0，所以a n＋1－a n＝2.又由a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…⎦⎥⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3(2n ＋3). [条件探究] 将典例中的条件变为：已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．求解仍为(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由a n ＝2n －1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. [结论探究] 条件探究中的条件不变，求解(2)变为：令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1.方法探究几种常见的裂项相消及解题策略(1)常见的裂项方法(其中n 为正整数)(2)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等．冲关针对训练已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，且满足S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3(－a n ＋1)，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋2的前n 项和为T n ，求证：T n <34.解 (1)∵S n ＝12a n ＋1＋n ＋1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，－2＝12a 2＋2，解得a 2＝－8， 当n ≥2时，S n －1＝12a n ＋n ，两式相减，并化简，得a n ＋1＝3a n －2， 即a n ＋1－1＝3(a n －1)，n ＝1时，a 2－1＝3(a 1－1)＝－9，所以{a n －1}是以－3为首项，3为公比的等比数列， 所以a n －1＝(－3)·3n －1＝－3n . 故a n ＝－3n ＋1.(2)证明：由b n ＝log 3(－a n ＋1)＝log 33n＝n ，得1b n b n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)<34. 题型3 分组转化法求和典例1在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1，求数列{c n }的前n 项和．分组求和，裂项相消法．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0， 在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4得，a 2＝2，① 又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，②把①代入②得，2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，所以a n ＝a 2q n －2＝2n －1，则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n .(2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1b 2n －1·b 2n ＋1＝2n＋1(2n －1)(2n ＋1)＝2n＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋ (2)＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n ＋1＝2(1－2n )1－2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1＝2n ＋1－2＋n2n ＋1.典例2设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .分组求和，分类讨论法．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n .∵T n －2b n ＋3＝0，①∴当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0，② ①－②，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， 则数列{b n }为等比数列， ∴b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数.当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝(4＋4n －4)·n22＋6⎝⎛⎭⎪⎫1－4n 21－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，n ＝1时，P 1＝c 1＝a 1＝4，解法一：n －1为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，解法二：P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝(4＋4n )·n ＋122＋6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－4n －121－4＝2n ＋n 2＋2n －1.∴P n ＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法技巧分组转化法求和的常见类型1．若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．如典例1.2．通项公式为a n ＝⎩⎨⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如典例2.冲关针对训练1．数列{(－1)n ·n }的前2018项的和S 2018为( ) A ．－2018 B ．－1009 C ．2018 D ．1009 答案 D2．已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，且1a 1－1a 2＝2a 3，S 6＝63.(1)求{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2n }的前2n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q . 由已知，有1a 1－1a 1q ＝2a 1q 2，解得q ＝2或q ＝－1.又由S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝63，知q ≠－1，所以a 1(1－26)1－2＝63，得a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由题意，得b n ＝12(log 2a n ＋log 2a n ＋1) ＝12(log 22n －1＋log 22n)＝n －12，即{b n }的首项为12，公差为1的等差数列．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫(－1)n b 2n 的前n 项和为T n ，则T 2n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n )＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝2n (b 1＋b 2n )2＝2n 2. 题型4 倒序相加法典例 设f (x )＝4x4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017，则S ＝________.利用函数性质f (x )＋f (1－x )＝1倒序相加求和．答案 1008解析 ∵f (x )＝4x4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x . ∴f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017，② ①＋②，得2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＝2016. ∴S ＝20162＝1008. 方法技巧如果一个数列{a n }，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．冲关针对训练已知定义在R 上的函数f (x )的图象的对称中心为(1008,2)．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝f (n )，n ∈N *，求S 2015.解 由条件得f (2×1008－x )＋f (x )＝2×2， 即f (2016－x )＋f (x )＝4. 于是有a 2016－n ＋a n ＝4(n ∈N *)． 又S 2015＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2014＋a 2015， S 2015＝a 2015＋a 2014＋…＋a 2＋a 1.两式相加得2S 2015＝(a 1＋a 2015)＋(a 2＋a 2014)＋…＋(a 2014＋a 2)＋(a 2015＋a 1)＝2015(a 1＋a 2015)＝2015×4.故S 2015＝2015×2＝4030.1．(2018·江西九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16 答案 C解析 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.2．(2017·湘潭三模)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1013恒成立，则整数m 的最小值为( )A ．1026B ．1025C ．1024D ．1023 答案 C解析 ∵2n ＋12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴T n ＝n ＋1－12n ，∴T 10＋1013＝11－1210＋1013＝1024－1210， 又m >T 10＋1013，∴整数m 的最小值为1024.故选C.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． 解 (1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎨⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6.解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23 ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－23＋(－1)n 2n ＋13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．4．(2018·河南质检)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3， 又因为q ＞0，所以q ＝2，所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n－1，得a 2nb 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1， 上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1＝12×(1－4n )1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8，得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3 答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n ＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案B解析 由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n Tn＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A.23 B.278 C ．7 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102 答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1， 即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n－1 D.14(3n－1)答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015B.20152016C.20162017D.20172018 答案 D解析 直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0 答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．(2017·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22 C ．－22 D ．－3 答案 D解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan2b 61－a 26＝tan 2×7π31－(3)2＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.故选D.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________.答案 10n ＋1－9n －108112．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析 当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2. 17．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n . (2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0， 所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1.(2)b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4. 1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋3， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3 ＝43×116－43×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3 ＝229－43×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3. 当n ＝1时，1S 1＝1<2<229；当n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝229－43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3<229<3. 故存在k ＝3时，对任意的n ∈N *都有 1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <3.。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-2a含解析
[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18 B．20 C．16 D．22答案 B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3答案 B解析{a n}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25答案 C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，a1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a30)2＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．选C.4．(2018·郑州质检)已知等差数列{a n}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝()A．100 B．958 C．948 D．18答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C.5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析 由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n ＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C.6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50 答案 B解析 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033 答案 C解析 因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县3月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸 答案 C解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0, a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C. 9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n.若对任意的n∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案 A解析 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a na n ，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0，解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 －32解析 若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为 b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n ≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ， 即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2. ∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2， 得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)证明：因为a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1＝112－a n －1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1，即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2， ∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝1920， m 20<1920，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章 数列 5-3a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( )A ．9或－9B ．9C ．27或－27D ．27答案 B解析 依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析 由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m ＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m－1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8，∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33.故选D. 6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析 由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10-9a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知ξ的分布列为则在下列式中：①E (ξ)＝－13；②D (ξ)＝2327；③P (ξ＝0)＝13.正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 E (ξ)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．故选C.2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.故选B.3．(2018·广东茂名模拟)若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A ．2 B ．2或12 C.12 D ．1 答案 C解析 因为分布列中概率和为1，所以a 2＋a 22＝1，即a 2＋a －2＝0，解得a ＝－2(舍去)或a ＝1，所以E (X )＝12.故选C.4．(2017·青岛质检)设随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的概率为( )A.12B.23C.34D.45 答案 A解析 函数f (x )＝x 2＋2x ＋ξ不存在零点的条件是 Δ＝22－4×1×ξ<0，解得ξ>1.又ξ～N (1，σ2)，所以P (ξ>1)＝12，即所求事件的概率为12.故选A.5．(2018·山东聊城重点中学联考)已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套 答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.6．(2018·皖南十校联考)在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( )A ．1500B ．1700C ．4500D ．8000 答案 A解析 因为学生的数学成绩X ～N (98,100)，所以P (X ≥108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名，故选A.7．(2017·银川一中一模)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮得分的数学期望是2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.163 答案 D解析 由数学期望的定义可知3a ＋2b ＝2，所以2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12( 6＋23＋4b a ＋a b )≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＋4＝163，当且仅当4b a ＝ab 即a ＝12，b ＝14时取得等号．故选D.8．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113 答案 C 解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. 又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.故选C.9．(2018·广州调研)已知随机变量x 服从正态分布N (μ，σ2)，且P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P (5<x <6)等于( )A ．0.1358B ．0.1359C ．0.2716D ．0.2718 答案B解析 由题知x ～N (4,1)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (2<x ≤6)＝0.9544，P (3<x ≤5)＝0.6826，即曲边梯形ABCD 的面积为0.9544，曲边梯形EFGH 的面积为0.6826，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是2,3,5,6，由曲线关于直线x ＝4对称，可知曲边梯形FBCG 的面积为0.9544－0.68262＝0.1359，即P (5<x <6)＝0.1359，故选B. 10．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案 B解析 根据题意，学生一次发球成功的概率为p ，即P (X ＝1)＝p ，发球二次的概率P (X ＝2)＝p (1－p )，发球三次的概率P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )>1.75，则p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，结合p 的实际意义，可得0<p <12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选B.二、填空题11．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝______.答案 53解析 ∵P (X ＝0)＝13×(1－p )2＝112，∴p ＝12. 则P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12×2＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12×2＋13×12×12＝512， P (X ＝3)＝23×12×12＝16.则E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.12．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可能看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16.∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．13．(2018·沧州七校联考)2017年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N (8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．答案 180解析 由题意可知ξ～N (8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P (7≤ξ≤9)＝0.7，故P (7≤ξ≤9)＝2P (8≤ξ≤9)＝0.7，所以P (8≤ξ≤9)＝0.35.而P (ξ≥8)＝0.5，所以P (ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15 ＝180辆．14．(2017·安徽蚌埠模拟)赌博有陷阱．某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5,6,7,8,9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则E (ξ)－E (η)＝________元．答案 3解析 ξ的分布列为E (ξ)＝15×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元)． η的分布列为E (η)＝2×25＋4×310＋6×15＋8×110＝4(元)， ∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)． 故答案为3.B 级三、解答题15．(2018·湖北八校第二次联考)某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查，随机抽取100名市民，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：(1)求频率分布表中x 、y 的值，并补全频率分布直方图； (2)在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加国产手机用户体验问卷调查，现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份，设这2名市民中年龄在[35,40)内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．解 (1)由题意知，[25,30)内的频率为0.01×5＝0.05，故x ＝100×0.05＝5.因[30,35)内的频率为1－(0.05＋0.35＋0.3＋0.1)＝1－0.8＝0.2，故y ＝100×0.2＝20，且[30,35)这组对应的频率组距＝0.25＝0.04.补全频率分布直方图略．(2)∵年龄从小到大的各层人数之间的比为5∶20∶35∶30∶10＝1∶4∶7∶6∶2，且共抽取20人，∴抽取的20人中，年龄在[35,40)内的人数为7. X 可取0,1,2，P (X ＝0)＝C 213C 220＝78190，P (X ＝1)＝C 113C 17C 220＝91190，P (X ＝2)＝C 27C 220＝21190，故X 的分布列为故E(X)＝91190×1＋21190×2＝133190.16．新生儿Apgar评分，即阿氏评分，是对新生儿出生后总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分，评分在8～10分者为正常新生儿，评分在4～7分的新生儿考虑患有轻度窒息，评分在4分以下的新生儿考虑患有重度窒息，大部分新生儿的评分在7～10分之间．某医院妇产科从9月份出生的新生儿中随机抽取了16名，表格记录了他们的评分情况．(1)现从这16名新生儿中随机抽取3名，求至多有1名新生儿的评分不低于9分的概率；(2)用这16名新生儿的Apgar评分来估计本年度新生儿的总体状况，若从本年度新生儿中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望．解(1)设A i表示所抽取的3名新生儿中有i名的评分不低于9分，“至多有1名新生儿的评分不低于9分”记为事件A，则由表格中数据可知P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝C312C316＋C14C212C316＝121140.(2)由表格数据知，从本年度新生儿中任选1名，评分不低于9分的概率为416＝1 4，由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764；P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫141⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764；P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫341＝964； P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以X 的分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75 ⎝ ⎛⎭⎪⎫或E (X )＝3×14＝0.75.17．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的数学期望和方差．解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A－1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2)＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.故X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35， 方差为D (X )＝3×15×45＝1225.18．(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N (120,25)，该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析，得到如图所示的频率分布直方图．(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩；(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的期望．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.03＋0.016＋0.008)＝0.12，该校高三年级数学的平均成绩为90×0.1＋100×0.24＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)．(2)由于1310000＝0.0013，由正态分布得P (120－3×5<X <120＋3×5)＝0.9974，故P (X ≥135)＝1－0.99742＝0.0013，即0.0013×10000＝13，所以前13名的成绩全部在135分以上，由频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上(包括135分)的有50×0.08＝4人，而在[125,145)的学生有50×(0.12＋0.08)＝10人，所以X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 310＝16，P (X ＝1)＝C 26C 14C 310＝12， P (X ＝2)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 310＝130， X 的分布列为数学期望值为E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝1.2.。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-5a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R上的偶函数f(x－2)，当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2(e为自然对数的底数)，若存在k∈Z，使方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k的取值集合是()A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f (0)＝3， ∴c ＝3.∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增． 若x ≥0，则3x ≥2x ≥1， ∴f (3x )≥f (2x )． 若x <0，则3x <2x <1， ∴f (3x )>f (2x )． ∴f (3x )≥f (2x )．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x (x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a >0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎨⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎨⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1.三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．11 解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ， 由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第2章 函数、导数及其应用 2-5a Word版含解析
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题 1．给出下列结论： ①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2)12 －(3x －7)0的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④ 答案 B 解析 当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，故①错误，∵a <0，b >0，∴ab <0，④错误．故选B.2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 B解析 如图所示，设f (x )＝x 3，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，f (0)<g (0)，f (1)<g (1)，f (2)>g (2)，f (3)>g (3)，…. ∴x 0∈(1,2)．故选B.3．(2017·北京模拟)已知函数f (x )＝a x ，其中a >0且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2 答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A. 4．(2018·沈阳模拟)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－8)∪[0，＋∞)B ．(－8，－4)C ．[－8，－4]D ．(－∞，－8]答案 D解析 ∵a ＋4＝－32x ＋43x ，令3x＝t (t >0)，则－32x ＋43x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ≥4，所以－32x＋43x ≤－4，∴a ＋4≤－4，所以a 的范围为(－∞，－8]．故选D.5．(2018·南昌质检)定义在R 上的偶函数f (x －2)，当x >－2时，f (x )＝e x ＋1－2(e 为自然对数的底数)，若存在k ∈Z ，使方程f (x )＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k的取值集合是()A．{0} B．{－3} C．{－4,0} D．{－3,0}答案 D解析∵偶函数f(x－2)的图象关于y轴对称，∴函数y＝f(x)的图象关于x＝－2对称．∵当x>－2时，f(x)＝e x＋1－2，∵f(x)＝e x＋1－2在(－2，＋∞)上单调递增，且f(－1)<0，f(0)＝e －2>0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝e x＋1－2在(－1,0)上存在零点．由函数图象的对称性可知，当x<－2时，存在唯一零点x∈(－4，－3)．由题意，方程f(x)＝0的实数根x0∈(k－1，k)，则k－1＝－4或k －1＝－1，k＝－3或k＝0.故选D.6．(2017·安徽三模)函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同答案 A解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f (3x )≥f (2x )．故选A.7．(2018·长春模拟)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 D解析 不等式2x(x －a )<1可变形为x －a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a <1，所以a >－1.故选D.8．(2017·江西南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18 答案 B解析 依题意，在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.9．(2018·宜宾模拟)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )答案 A解析 ∵x ∈(0,4)，∴x ＋1>1， ∴f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29x ＋1·(x ＋1)－5＝1， 当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1. ∴a ＝2，b ＝1，此时g (x )＝2|x ＋1|＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ≥－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x <－1，此函数可以看成函数y ＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x <0的图象向左平移1个单位，结合指数函数的图象及选项可知A 正确．故选A.10．(2018·蒙城模拟)设x 1，x 2∈R ，函数f (x )满足e x＝1＋f (x )1－f (x )，若f (x 1)＋f (x 2)＝1，则f (x 1＋x 2)最小值是( )A ．4B ．2 C.45 D.14 答案 C 解析二、填空题11．(2018·浦东检测)关于x 的方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，则a的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2解析 ∵方程πx＝a ＋12－a只有正实数解，∴a ＋12－a >1，即a ＋12－a －1>0，整理得2a －12－a >0. 解得12<a <2.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫12，2.12．(2018·东湖调研)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，且a >b >c >0，则f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小关系为________．答案 f (a )a <f (b )b <f (c )c解析 由题意f (x )x 可以转化为f (x )上的点与原点连线的斜率，根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，设A (a ，f (a ))，B (b ，f (b ))，C (c ，f (c ))， 观察图象知 k OA <k OB <k OC ， ∴f (a )a <f (b )b <f (c )c .13．(2018·深圳一模)下列四个函数中：①y ＝－x ；②y ＝log 2(x＋1)；③y ＝－1x ＋1；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，在(0，＋∞)上为减函数的是________．(填上所有正确选项的序号)答案 ①④解析 当x ∈(0，＋∞)时：①x 增大时，x 增大，－x 减小，即y 减小， ∴函数y ＝－x 在(0，＋∞)上为减函数；②x 增大时，x ＋1增大，log 2(x ＋1)增大，即y 增大， ∴函数y ＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数；③x 增大时，x ＋1增大，1x ＋1减小，－1x ＋1增大，即y 增大，∴函数y ＝－1x ＋1在(0，＋∞)上为增函数；④x 增大时，x －1增大，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1减小，即y 减小，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1在(0，＋∞)上为减函数．∴在(0，＋∞)上为减函数的是①④.14．(2018·济南模拟)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x <0，对任意x 1∈[－2,2]，存在x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意可得g (x )，x ∈[－2,2]的值域⊆f (x )，x ∈[－2,2]的值域．由函数图象可得f (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－4,3]，当a ＝0时，g (x )＝1，符合题意；当a >0时，g (x )，x ∈[－2,2]的值域是[－2a ＋1，2a ＋1]，所以[－2a ＋1，2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≥－4，2a ＋1≤3，则0<a ≤1；当a <0时，g (x )，x ∈[－2，2]的值域是[2a ＋1，－2a ＋1]，所以[2a ＋1，－2a ＋1]⊆[－4,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≥－4，－2a ＋1≤3，则－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤1. 三、解答题15．(2018·济南质检)已知函数f (x )＝4x ＋m2x 是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，即方程4x －12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x ＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x >0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)． 解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只需⎩⎨⎧Δ≥0，a2>0，解得a ≥2，∴a 的取值范围为[2，＋∞)．16．(2017·青岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0，此时f (x )＝32无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－12，∵2x ＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈ [1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0， ∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5] ， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章 数列 5-4a Word版含解析
[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 B解析 由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n Tn＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A.23 B.278 C ．7 D.214答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1 D.14(3n－1)答案 B解析 因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015B.20152016 C.20162017 D.20172018答案 D解析 直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0答案 C解析 等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100答案 C解析 由题意，可得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n－1n ＋1，∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.故选C.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋11…1n 个＝________. 答案 10n ＋1－9n －1081 解析 ∵a n ＝19(10n －1)， ∴S n ＝1＋11＋111＋…＋11…1n 个＝19[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)] ＝19[(10＋102＋…＋10n )－n ]＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤10(10n －1)9－n ＝10n ＋1－9n －1081. 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析 由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ， 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析 当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n)1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1， 所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n}满足a n2＝log2b n(n∈N*)，求数列{(an＋6)·b n}的前n项和．解(1)由已知得，a m＝S m－S m－1＝4，且a m＋1＋a m＋2＝S m＋2－S m＝14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m＋3d＝14，∴d＝2.由S m＝0，得ma1＋m(m－1)2×2＝0，即a1＝1－m，∴a m＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，∴m＝5.(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴a n＝2n－6，∴n－3＝log2b n，得b n＝2n－3，∴(a n＋6)·b n＝2n·2n－3＝n·2n－2.设数列{(a n＋6)·b n}的前n项和为T n，则T n＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①2T n＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②①－②，得－T n＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1＝2－1(1－2n)1－2－n×2n－1＝2n－1－12－n×2n－1，∴T n＝(n－1)×2n－1＋12(n∈N*)．18．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．解(1)设数列{a n}的公比为q，由题意可得a3＝16，a3－a2＝8，则a2＝8，q＝2，a1＝4，所以a n＝2n＋1.(2)b n＝log42n＋1＝n＋1 2，S n＝b1＋b2＋…＋b n＝n(n＋3)4.1S n＝4n(n＋3)＝43⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋3，所以1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。
2019年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理201805194269
5.4 数列求和[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(2017届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式， 所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1. 因为a n >0， 所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝n n ＋12>n 22＝n2，所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n2＝1＋2＋…＋n 2＝S n2. 又S n ＝n n ＋12< n ＋122＝n ＋12，所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12，所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-2a Word版含解析
[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18 B．20 C．16 D．22答案 B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3答案 B解析{a n}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25答案 C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，a1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a30)2＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．选C.4．(2018·郑州质检)已知等差数列{a n}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝()A．100 B．958 C．948 D．18答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C.5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析 由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n ＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C.6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50 答案 B解析 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033 答案 C解析 因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县3月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸 答案 C解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0, a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C. 9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n.若对任意的n∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案 A解析 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a na n ，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0，解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 －32解析 若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立， 所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0， 解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为 b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n ≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ， 即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2. ∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2， 得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)证明：因为a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1＝112－a n －1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1，即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2， ∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝1920， m 20<1920，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.。
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[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18 B．20 C．16 D．22答案 B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3答案 B解析{a n}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．(2018·郑州质检)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25答案 C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，a1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a30)2＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.4．已知等差数列{a n}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝() A．100 B．958 C．948 D．18答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C. 5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析 由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n 2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n 2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C. 6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50答案 B解析 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033答案 C解析 因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案 C解析 设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0，a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a n a n.若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案 A 解析 因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n＋a －1，因为b n ＝1＋a n a n，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0， 解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4答案 C解析 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 －32解析 若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n＝k ，因为b 1＝1， 则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ， 即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n ≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ， 即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2. ∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2，得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m 20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)因为a n ＋1＝12－a n， 所以1a n ＋1－1＝112－a n－1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1， 即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n－1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝n n ＋1. (2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ， 所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n}为单调递增数列，又∵n≥2，∴(B3n－B n)min＝B6－B2＝13＋14＋15＋16＝1920，m 20<1920，m<19.又m∈N*，所以m的最大值为18.。