11对数运算和对数函数

对数的运算与对数函数

1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做对数的。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。

⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。

特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】求下列各式中x 的取值范围。

（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-；（6）ln100=4.606【例3】计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】（1）（2 。

高三：对数与对数函数

这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.

对数运算及对数函数

学习内容一、对数概念二、对数的运算三、对数函数性质内容一：知识清单讲解一、对数概念1. 定义：一般地，如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x叫做以a为底N的对数，记作log(0)ax N N=>，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10log N简记为lg N，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作ln N。

3. 根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当0,1a a>≠时，log baN b a N=⇔=。

4. 负数与零没有对数；log10a=，log1aa=。

二、对数的运算对数的运算法则：其中0,1a a>≠且，0,0,M N n R>>∈，以下七条法则是有力的解题工具，能化简与求解复杂对数式的值；log()log loga a aM N M N∙=+log log loga a aMM NN=-log logna aM n M=log logbNaaNM Mb=换底公式：logloglogbabNNa=如果令b=N，得：1loglogabba=log a ba b=推论：log log log1a b cb c a∙∙=二、对数函数性质1．对数函数的概念：一般地，函数log(01)ay x a a=>≠且叫做对数函数，其中x表示自变量，定义域是（0，+∞），思考题：（1）为什么函数的定义域是（0，+∞）？（2）对数函数log(01)ay x a a=>≠且与指数函数(01)xy a a a=>≠且的定义域，值域之间有什么关系?结论：指数函数与对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y x=对称，它们具有相同的单调性。

2. 对数函数的图像的基本性质：其中性质（3）可用两句话概括：对数函数都必过（1，0）；其它部分都遵循“底真同范围函数值为正，底真异范围函数值为负”。

对数运算和对数函数

对数与对数函数一、相关知识点1.对数的定义：如果()1,0≠>=a a N a x 且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2.几种常见对数(1)()1,0≠>a a 且①01log =a ; ②1log =a a ; ③N a Na =log ; ④N a N a =log .（两个对数恒等式） (2)对数的重要公式：①换底公式：()0,1,log log log >=N b a b aN aNb均为大于零且不等于；②abba log 1log =，推广：da d c cb b a log log log log =⋅⋅. （3）对数的运算法则：如果0,0,1,0>>≠>N M a a 且，那么 ①()Na M a MN aloglog log += ; ②NaM a N Malog log log -=； ③()R n n MaM a n∈=log log ；④b a b a mnnm log log = . 3.反函数，只需了解：指数函数xa y =与对数函数xa y log =互为反函数，它们的图象关于直线x y =对称。

题型一：对数的化简和求值1.计算:(1)2110025lg 41lg ÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；(2)32log 2450lg 2lg 5lg +⋅+；(3)()232031027.0252lg 3.0lg 21000lg 8lg 27lg --⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-++-+；(4)()222lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++. 2.已知()[]0lg log log 25=x ，求x 的值.3.已知0>a ，且1≠a ，m a =2log ，n a =3log ，求nm a +2的值能力提高：(1).设m ba==52，且211=+ba ,则=m ; (2).若632==b a ，求证：c b a 111=+题型二：（1）对数函数的基本性质题型一：基本性质1.函数()()223lg +-=x x f 恒过定点_______________________2.如果0log log 2121<<y x ，那么（）(A)1<<x y ； (B)1<<y x ；(C)y x <<1； (D)x y <<1.3.已知()x x f a log =，()x x g b log =，()x x r c log =，()x x h d log =的图象如图所示则a ,b ,c ,d 的大小为A.b a d c <<<;B.a b d c <<<;C.b a c d <<<;D.d c b a <<<4.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛+≥=）（）（4214log 2x x f x x x f ,则⎪⎭⎫⎝⎛23f 的值是( ) A.21; B.1; C.23; D.2 5.若点()b a ,在x y lg =图像上,1≠a ,则下列点也在此图像上的是（）A.⎪⎭⎫⎝⎛b a ,1;B. ()b a -1,10;C.⎪⎭⎫⎝⎛+1,10b a ; D.()b a 2,2. 6.函数()()13log 2+=xx f 的值域为7.为了得到函数103lg+=x y 的图像,只需把函数x y lg =的图像上所有的点( ) A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度； C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度； D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度.8.若函数()()()101≠>--=a a a a k x f xx且在R 上既是奇函数,又是减函数()()k x x g a +=log 的图象是( )9.对于函数()x f 定义域中任意的()2121,x x x x ≠，有如下结论： ①()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ②()()()2121x f x f x x f +=⋅; ③()()02121>--x x x f x f ； ④()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 当()x x f lg =时，上述结论中正确结论的序号是. 能力提高：1.已知函数()22log 21+-=a y x 的值域是R ，求a 的取值范围.2.已知函数()()1log 22++=ax ax x f 的定义域为全体实数，求a 的取值范围.3.已知函数()()1log 22++=ax axx f 的值域域为全体实数，求a 的取值范围。

高中数学对数运算和对数函数

对数运算和对数函数要求层次重难点对数的概念及其运算性质B 理解对数的概念掌握当底数1a >与01a <<时，对数函数的不同性质掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题换底公式 A 对数函数的概念 B 对数函数的图象和性质C 指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数（0a >且1a ≠）B<教师备案>本讲的内容为对数和对数函数，关于对数的历史，在后面的小故事中有所体现，还有一部分可称为前转：“给我空间、时间和对数，我可以创造一个宇宙”，这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出，伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论.对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是16世纪瑞士钟表匠标尔基，当他结识了天文学家开普勒，看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以想象,于是便产生了简化计算的想法.从16031611年,标尔基用了八年的时间,一个数一个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决心出版.正在标尔基犹豫不决的时候,1614年6月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数.俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥知识框架例题精讲高考要求第5讲对数运算和对数函数思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人揭示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高.(一)知识内容<教师备案>在指数函数x y a =中，对于每个y +∈R ，存在唯一的x 与之对应，幂指数x 叫做以a 为底的y 的对数，这样从y 到x 的对应是指数运算的一个相反运算，让同学思考由函数的定义，判断这是否可以定义一种新的函数？这种运算和对应的函数有什么样的性质呢？1.对数：一般地，如果x a y =(0a >，且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底y 的对数，记作log a x y =，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数.关系式axy指数式 x a y =底数(0,1)a a >≠ 指数(R)x ∈ 幂（值）(R )y +∈对数式 log a y x = 底数(0,1)a a >≠ 对数(R)x ∈ 真数(R )y +∈ 对数恒等式及对数的性质，对数log (0,1)a N a a >≠满足： ⑴零和负数没有对数； ⑵1的对数是零，即log 10a =； ⑶底的对数等于1，即log 1a a =.2.常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .3.自然对数：在科学技术中常使用以无理数 2.71828e =为底的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并且把log e N 记为ln N .4.对数与指数间的关系：当0,1a a >≠时，log x a a N x N =⇔=.5.指数和对数的互化：log b a a N N b =⇔=.N a N a =log ，log N a a N =（二）主要方法：1.重视对数的概念，应用基础概念解决具体问题2.熟练运用指数和对数的互化板块一：对数的定义和相关概念（三）典例分析：【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.【例2】将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）2log 128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303【例3】 ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345(一)知识内容1.对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈ ⑷1log log naa N N n=（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数） <教师备案>以性质⑴为例进行证明如下：已知log a M ，log a N （M 、0N >），求log ()a MN 设log a M p =，log a N q =，根据对数的定义，可得p M a =，q N a = 由p q MN a a =⋅p q a +=∴log ()log log a a a MN p q M N =+=+2.换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） <教师备案>证明：法一：根据指数的运算性质推导设log b N x =，则x b N =.两边取以a 为底的对数，得log log a a x b N =，所以log log a a N x b =，即log log log a b a NN b=. 法二：根据对数恒等式及对数的运算性质推导由对数恒等式得：log log log log ()log bN b a a a N b b N ⋅==，所以有log log log a b a NN b=. 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的.<教师备案>常见错误：log ()log log a a a M N M N ±=±；log ()log log a a a MN M N =⋅；log log log a aa MM N N=. 3.关于对数的恒等式板块二：对数的运算性质和法则①log a N a N =②log n a a n =③1log log a b b a=④log log n n a a M M = ⑤log log log log a b a b M MN N=（二）主要方法1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的范围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.（三）典例分析【例4】求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵log ；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 3；⑺；⑻22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.【例5】求值：⑴2572lg3lg7lg lg 94++-；⑵32516log 4log 9log 5⋅⋅.【例6】若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则A.a b =B.1a b=C.a b =或1a b=D.a 、b 为一切非1的正数【例7】 ⑴8log 3p =，3log 5q =，那么lg5等于______（用p ，q 表示）；⑵知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45.【点评】⑴换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=⑵181818log 2log 9=，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用. 【例8】已知2log 3a =，37b =，求12log 56【例9】已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8.【例10】已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于A.1x -B.1x +C.1xD.1x -【例11】已知12()x f x a-=，且(lg )f a =a 的值.【例12】下列各式中，正确的是A.2lg 2lg x x =B.1log log a a x n =C.log log log a a a x xy y=1log 2a x =【例13】已知2(3)log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.【例14】设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.1.对数函数：我们把函数log (0a y x a =>且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R .2.对数函数的图象和性质：一般地，对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质如下表所示：01a <<1a >图象定义域 (0,)+∞值域 R性质⑴过定点(1,0)，即1x =时，0y =⑵在(0,)+∞上是减函数；（2）在(0,)+∞上是增函数.<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关，所以在学习对数函数的概念、图象与性质时，要处处与指数函数相对照.如：指数函数的值域(0,)+∞，变成了对数函数的定义域；而指数函数的定义域为实数集R ，则变成了对数函数的值域；同底的指数函数与对数函数的图象关于直线y x =对称等.y=log a x (0<a <1)O 1yx y=log a x (a >1)O 1yx板块三：对数函数【例15】求下列函数的定义域：⑴2log a y x =；⑵log (4)a x -；⑶y .【例16】求下列函数的定义域：⑴31log (32)y x =-；⑵1log (3)x y x -=-.【例17】已知()log (1)x a f x a =-(0,a >且1)a ≠，⑴求()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的单调性；【例18】求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的定义域和值域.【例19】函数2lg(20)y x x =-的值域是A.y ＞0B.y ∈RC.y ＞0且y ≠1D.y ≤2【例20】已知函数2()lg[2(1)94]f x mx m x m =++++，⑴若此函数的定义域为R ，求实数m 的取值范围；⑵若此函数的值域为R ，求实数m 的取值范围.【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法，可根据学生情况进行讲解.【例21】已知函数18log )(223+++=x nx mx x f 的定义域为R ，值域为[0，2]，求m ，n 的值.【例22】下面结论中，不正确的是A.若a ＞1，则x a y =与x y a log =在定义域内均为增函数B.函数x y 3=与x y 3log =图象关于直线x y =对称C.2log a y x =与2log a y x =表示同一函数D.若01,01a m n <<<<<，则一定有log log 0a a m n >>【例23】已知),,)(lg()(为常数b a b a x f xx-=①当a ，b ＞0且a ≠b 时，求f (x )的定义域；②当a ＞1＞b ＞0时，判断f (x )在定义域上的单调性，并用定义证明【例24】在函数10(log <<=a x y a ，)1≥x 的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4，（1）若△ABC 的面积为S ，求S ＝f （t ）；（2）判断S ＝f （t ）的单调性；（3）求S ＝f （t ）的最大值.【例25】已知函数22log )(+-=x x x f a的定义域为[],αβ，值域为[]log (1),log (1)a a a a βα--，且)(x f 在[],αβ上为减函数. （1）求证α＞2；（2）求a 的取值范围.【例26】对于212()log (23)f x x ax =-+，⑴函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；⑵结合“实数a 取何值时，()f x 在[1)-+∞，上有意义”与“实数a 取何值时，函数的定义域为(1)(3)-∞+∞，，”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别.⑶结合⑴⑵两问，说明实数a 的取何值时()f x 的值域为(1]-∞-，.【例27】 ⑷实数a 取何值时，()f x 在(1]-∞，内是增函数.⑸是否存在实数a ，使得()f x 的单调递增区间是(1]-∞，，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.【例28】比较下列各组数的大小：⑴2log 3.4，2log 8.5；⑵0.3log 1.8，0.3log 2.7；⑶log 5.1a ，log 5.9a (0,a >且1)a ≠;⑷20.3，2log 0.3，0.32.【点评】利用对数函数的性质比较大小的题，一般都可以通过对数函数的单调性，通过直接比较、中间值法或者图象法得到相关结论.如：设110a <<，比较2lg a ，2(lg )a ，lg(lg )a 的大小.1100lg 1a a <<⇒<<，于是22lg(lg )0(lg )lg a a a <<<.【例29】设2(log )2(0)x f x x =>，则f （3）的值是A.128B.256C.512D.8【例30】 a 、b 、c 是图中三个对数函数的底数，它们的大小关系是A.c ＞a ＞bB.c ＞b ＞aC.a ＞b ＞cD.b ＞a ＞c【例31】（2005年天津文）已知111222log log log b a c <<，则（）A.222b a c >>B.222a b c >>C.222c b a >>D.222c a b >>【例32】如果02log 2log <>D.1b a >> ⑵已知2log 13a <，求a 的取值范围.【点评】在上面的对数函数图象中，共有四条对数函数log a y x =，底数a 的大小比较可以通过作一条直线：1y =，于四条曲线分别交于点1234,,,P P P P ，易知，这四点的横坐标即对应相应的底数的值，故比较这四点的横坐标即可.【例34】已知函数()1log 3x f x =+，()2log 2x g x =，⑴试比较函数值()f x 与()g x 的大小；⑵求方程|()()|()()4f x g x f x g x -++=的解集.【例35】函数log a y x =在[2,)x ∈+∞上恒有||1y >，求a 的范围.【例36】已知a ＞0，a ≠1，10<<x ，比较|)1(log |x a +和|)1(log |x a -的大小.【例37】若23log 1a <，则a 的取值范围是 A.203a <<B.23a >C.213a <<D.203a <<或a ＞1【例38】若关于23lg lg )lg(=--x a x 至少有一个实数根，则求a 的取值范围.【例39】设a ，b 为正数，若lg()lg()10ax bx +=有解，则求b a 的取值范围.【例40】如果2112222log (1)log 2a a a a +++≤，求a 的取值范围.【例41】已知}2)385(log |{2>+-=x x x A x ，24{|210}B x x x k =-+-≥，要使A B ，求实数k 的取值范围.【例42】设正数a ，b ，c 满足222c b a =+. （1）求证：1)1(log )1(log 22=-++++bc a a c b ；（2）又设1)1(log 4=++a c b ，32)(log 8=-+c b a ，求a ，b ，c 的值.【例43】（1）已知0(2log log >=+a y x a a ，)1≠a ，求yx 11+的最小值. （2）已知2052=+y x ，求y x lg lg +的最大值.（3）已知4422=+y x ，求xy 的最大值.【例44】解方程)12(log 2)22(log 212+=++x x。

对数与对数函数

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa 就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yOxy<a <y = l o g x a111())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.（2005年春季北京，2）函数f （x ）=|log 2x |的图象是11xy y y y OA BC D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足=x z =x 7z =7x z=z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z=y ，即y =x 7z . 答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则＜b ＜c ＜c ＜b ＜a ＜c＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D6.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于 A.42B.22C.41D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 A.21B.－21D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21.8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是xyxyx yxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C9.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为 B.2解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3. 答案：C10.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2.∵x ＞0，∴x =2. 答案：2典型例题【例1】已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为 A.31B.61C.121D.241剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241. 答案：D【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.-1O y注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|.【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是（x ）=x 21（x ）=x 2（x ）=2x（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47.∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. 2.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点. （1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）的图象，若2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点.∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数 y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f －1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +xm +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +xm +2m ）min ≥3.又x +xm ≥2m （当且仅当x =xm ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.。

高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数

A．地震释放的能量为 1015.3 焦耳时，地震里氏震级约为七级 B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 6.3 倍 C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的 1000 倍 D．记地震里氏震级为 n(n＝1,2，…，9,10)，地震释放的能量为 an，则数列{an}是等比数列
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[解析] 由 y＝ln(1－x)可得 ey＝1－x，即 x＝1－ey，因为函数 f(x)与 y＝ln(1－x)的图象关于直线 y＝x 对称，所以 f(x)＝1－ex.
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核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
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考点一对数的运算——自主练透
对点训练
1．(2022·浙江卷)已知 2a＝5，log83＝b，则 4a－3b＝( C )
对点训练 1．函数 y＝lo1g3x的图象大致是( D )
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[解析] 当 x＝3 时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除 A；因为 y＝log3x 为增函数，所以 y＝lo1g3x在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除 B，C.故选 D.
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(新教材) 高三总复习•数学
只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)＝logax 图象的下方即可．
当 0<a<1 时，显然不成立；
当 a>1 时，如图，要使 x∈(1,2)时 f1(x)＝(x－1)2 的图象在 f2(x)＝logax 的图象下方，
只需 f1(2)≤f2(2)，
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
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对数公式及对数函数的总结

对数公式及对数函数的总结对数是数学中的一个重要概念。

如果一个数N可以表示为a的x次方（a>0且a≠1），那么x就是以a为底N的对数，记作x=logaN。

其中a称为底数，N称为真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式可以互相转化：x=logaN等价于ax=N （a>0，a≠1，N>0）。

常用的对数有lgN（即以10为底N的对数）和lnN（即以自然常数e为底N的对数）。

自然常数e≈2..对数函数是指函数y=logax（a>1或0<a<1）的图像。

它的定义域为正实数集，值域为实数集。

对数函数的图像经过点（1,0），在（0，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数。

当x=1时，y=0.对数函数既非奇函数也非偶函数。

对数公式在数学中有广泛的应用。

例如，可以用对数公式计算各种对数值，如log26-log23=2，log212+log25=log=3，等等。

还可以用对数公式来解对数的值，如lg14-2lg7+lg7/lg18-2lg2-(-1)=log0.5，以及2(lg2+lg5)+log3(4/27)的值等。

在第一象限内，a越大图像越靠下，在第四象限内，a越大图像越靠上。

总之，对数及其函数在数学中有着广泛的应用，是不可或缺的数学工具。

4、已知a>b>c，那么a>b>c。

3、设a=log3π，b=log23，c=log32，则a>b>c。

2、如果a>b>logc1，那么B选项___c。

5、如果a>1，且a-x-logaxy。

1、已知函数f(x)=logx，如果f(ab)=1，则f(a)+f(b)=2.6、设函数f(x)={x-1，x<2；2logx-1，x≥2}，那么f(f(2))=2log2-1.7、设函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=1/x；当x<4时，f(x)=f(x+1)，那么f(2+log23)=1/7.参数问题部分无需改写。

高考数学对数与对数函数复习课件

B
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.

对数运算与对数函数(修改版)

对数与对数运算一、对数的概念若N a x=)1,0(≠>a a ，则x 叫做以．a 为底．．N 的对数（Logarithm ），记作：N x a log = 其中a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：1、注意底数的限制0>a ，且1≠a ；2、x N N a a x=⇔=log ； 3、注意对数的书写格式．二、对数的基本运算法则如果0,1,0,0a a M N >≠>> 有：log ()log log log log log log log ()a a a aa a n a a MN M N MM N NM n M n R =+=-=∈三、对数的性质1、负数和零没有对数；0N >；2、1的对数是零：01log =a ；3、底数的对数是1：1log =a a ；4、对数恒等式：N a Na =log ； 5、n a n a =log ．四、一些推论1、对数换底公式： aNN m m a log log log = ( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)．2、两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ． ② b mnb a na m log log =（a ,b ＞0且均不为1）．五、两种特殊的对数： 1、常用对数10log lg N N 记为；2、自然对数 e log ln N N 记为；（无理数e=2.718 28……）六、典型例题例1、将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）45625=；（2）61264-=；（3）1() 5.733n=；(4) 12log 164=-；(5) lg0.012=-；(6) ln10 2.303=.例2、求下列各式中x 的值: (1) 82log 3x =-；(2) 3log 274x = ；(3) 25log log 1x =（）；(4) 3log lg 0x =（）。

对数运算与对数函数

§2.8 对数运算与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a (a >0，且a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 称为以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．以10为底的对数叫作常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫作自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M b ＝b log a M (b ∈R )．(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域 R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m n a b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .( × )(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．( × )(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1] D ．[1，＋∞)答案 A解析根据复合函数单调性同增异减可知f (x )在[0,1]上单调递增，因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，则log 21≤log 2(x ＋1)≤log 22，即f (x )∈[0,1]．2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________．答案 (3,2)解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3，y ＝2，∴函数的图象过定点(3,2)． 3．e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝________.答案 4 解析 e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝2＋log 416＝2＋2＝4.题型一对数式的运算例1 (1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是( )A ．－1 B.12 C.710 D ．1答案 D解析由2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5， ∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. (2)计算：log 535＋22log 2log 5150－log 514＝________.答案 2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a －3b＝________.答案925解析因为2a ＝3，所以a ＝log 23，又b ＝log 85，所以b ＝13log 25，所以a －3b ＝log 235，4a －3b ＝232log 52＝925.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.答案－1解析原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋12lg 4－2lg 2lg 3×lg 3lg 2＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1. 题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11. 函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a 0，所以0<a<1，b>1，所以－ln a＝ln b，所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，，所以ab＝1，则b＝1a，所以a＋2b＝a＋2a令g(x)＝x＋2x(0<x<1)，则g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，所以a＋2b>3，所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．xlog跟踪训练2(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝a x与g(x)＝1b的图象可能是()答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)， ∴ab ＝1，∴a ＝1b，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，∴函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx 的图象关于直线y ＝x 对称，且具有相同的单调性．(2)(2023·濮阳模拟)已知a >0且a ≠1，函数y ＝a x 的图象如图所示，则函数f (x )＝log a (－x ＋1)的部分图象大致为( )答案 D解析由函数y ＝a x 的图象可得a >1.当a >1时，y ＝log a x 经过定点(1,0)，为增函数．因为y ＝log a x 与y ＝log a (－x )关于y 轴对称，所以y ＝log a (－x )经过定点(－1,0)，为减函数．而f (x )＝log a (－x ＋1)可以看作y ＝log a (－x )的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f (x )＝log a (－x ＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数式的大小例3 (2023·武汉质检)已知a ＝log 30.5，b ＝log 3π，c ＝log 43，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a log 33＝1，即b >1； 0＝log 41<log 43<log 44＝1，即0<c <1， ∴a <c 0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析由题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数函数的性质及应用例5 (2023·郑州模拟)设函数f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减 B ．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C ．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D ．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增答案 A解析函数f (x )的定义域为{x |x ≠±3}， f (x )＝ln|x ＋3|＋ln|x －3|＝ln|x 2－9|，令g (x )＝|x 2－9|，则f (x )＝ln g (x )，函数g (x )的单调区间由图象(图略)可知，当x ∈(－∞，－3)，x ∈(0,3)时，g (x )单调递减，当x ∈(－3,0)，x ∈(3，＋∞)时，g (x )单调递增，由复合函数单调性同增异减得单调区间．由f (－x )＝ln|(－x )2－9|＝ln|x 2－9|＝f (x )得f (x )为偶函数．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．(1,3) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 A解析令t (x )＝6－ax ，因为a >0，所以t (x )＝6－ax 为减函数．又由函数f (x )＝log a (6－ax )在(0,2)上单调递减，可得函数t (x )＝6－ax >0在(0,2)上恒成立，且a >1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，6－2a ≥0，解得1<a ≤3.(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12(a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2) 解析令u (x )＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24，则u (x )有最小值12－a 24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．课时精练1．函数f (x )＝log 0.5(2x －1)的定义域为( ) A.⎝⎛⎦⎤12，1 B.⎣⎡⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎦⎤－∞，12 D ．[1，＋∞)答案 A解析由题意，要使函数f (x )＝log 0.5(2x －1)有意义，则满足log 0.5(2x －1)≥0，所以0<2x －1≤1，解得12<x ≤1，即函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．(2023·洛阳模拟)若函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f (log 28)等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 答案 B解析依题意，函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数，即函数y ＝a x 的图象过点(1,3)，则a ＝3，f (x )＝log 3x ，于是得f (log 28)＝log 3(log 28)＝log 33＝1，所以f (log 28)＝1.3．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为( )答案 A解析函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B ，C ；由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，可知函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D.4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：Ah)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式：C ＝I n ·t ，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝20 A 时，放电时间t ＝20 h ；当放电电流I ＝30 A 时，放电时间t ＝10 h ．则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为( ) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.43 B.53 C.83 D ．2 答案 B解析根据题意可得C ＝20n ·20，C ＝30n ·10，两式相比得20n ·2030n ·10＝1，即⎝⎛⎭⎫23n ＝12，所以n ＝23321log log 22＝＝lg 2lg32＝lg 2lg 3－lg 2≈0.30.48－0.3＝53.5．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－|x |，则不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．∅答案 B解析不等式f (x )>0⇔log 2(x ＋1)>|x |，分别画出函数y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象，由图象可知y ＝log 2(x ＋1)和y ＝|x |的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，由图象可知log 2(x ＋1)>|x |的解集是(0,1)，即不等式f (x )>0的解集是(0,1)．6．(多选)已知函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象恒过定点(0,0) B ．函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，1上的最小值为0 D ．若对任意x ∈[1,2]，f (x )≥1恒成立，则实数a 的取值范围是(1,2] 答案 ACD解析将(0,0)代入函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >1)，成立，故A 正确；当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1∈(1，＋∞)，又a >1，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)，由复合函数单调性可知，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)单调递增，故B 错误；当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，x ＋1∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以f (x )＝|log a (x ＋1)|≥log a 1＝0，故C 正确；当x ∈[1,2]时，f (x )＝|log a (x ＋1)|＝log a (x ＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log a 2≥1，解得1<a ≤2，故D 正确．7．(2023·淮北模拟)计算：⎝⎛⎭⎫12－2＋log4＝______. 答案 10解析 ⎝⎛⎭⎫12－2＋4log 2log 2422＝＋＝4＋2＋4＝10.8．函数f (x )＝()log 2x 的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．已知f (x )＝()213log 5.x ax a －＋(1)若a ＝2，求f (x )的值域；(2)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝()213log 210x x －＋，令t ＝x 2－2x ＋10＝(x －1)2＋9，∴t ≥9，f (x )≤13log 9＝－2，∴f (x )的值域为(－∞，－2]．(2)令u (x )＝x 2－ax ＋5a ，∵y ＝13log u (x )为减函数，∴u (x )＝x 2－ax ＋5a 在(1，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤1，1＋4a >0，解得－14<a ≤2， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，2. 10．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝log 3(9x ＋1)＋kx 是偶函数．(1)求k ；(2)解不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)．解 (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 3(9－x ＋1)－kx ＝log 3(9x ＋1)＋kx 对任意x ∈R 恒成立，∴2kx ＝log 3(9－x ＋1)－log 3(9x ＋1)＝log 39－x ＋19x ＋1＝log 33－2x ＝－2x ， ∴k ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝log 3(9x ＋1)－x ＝log 3(9x ＋1)－log 33x ＝log 39x ＋13x ＝log 3(3x ＋3－x )，则不等式f (x )≥log 3(7·3x －1)等价于3x ＋3－x ≥7·3x －1>0，由7·3x －1>0，解得x >－log 37；由3x ＋3－x ≥7·3x －1，得6·(3x )2－3x －1≤0，得0<3x ≤12，即x ≤－log 32，综上，不等式的解集为(－log 37，－log 32]．11．若非零实数a ，b ，c 满足2a ＝3b ＝6c ＝k ，则( ) A.1a ＋1b ＝1c B.2a ＋2b ＝1c C.1a ＋1b ＝2cD.2a ＋1b ＝2c答案 A解析由已知，得2a ＝3b ＝6c ＝k ，得a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，c ＝log 6k ，所以1a ＝log k 2，1b ＝log k 3，1c＝log k 6，而2×3＝6，所以1a ＋1b ＝1c. 12．(多选)关于函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )，下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )在区间(0,2)上为增函数C ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．f (x )的图象关于点(2,0)对称答案 BC解析函数f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)，当x ＝2 时，4x －x 2 取到最大值4，故此时f (x )＝log 2x ＋log 2(4－x )取到最大值log 24＝2 ，A 错误；f (x )＝log 2(4x －x 2)(0<x <4)可以看作是由函数y ＝log 2u ，u ＝－x 2＋4x (0<x <4) 复合而成，而y ＝log 2u 是定义域上的增函数，u ＝－x 2＋4x (0<x <4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故f (x )在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B 正确；因为函数f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )，故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，C 正确；因为f (4－x )＝log 2(4－x )＋log 2x ＝f (x )≠－f (x )，故f (x )的图象不关于点(2,0)对称，D 错误．13．(2023·宿州模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，图象恒过点(0,1)，对任意x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)的解集为( )A ．(ln 2，＋∞)B ．(－∞，ln 2)C ．(ln 2,1)D ．(0，ln 2)答案 D 解析因为f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>1，不妨设x 1>x 2，则f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，令g (x )＝f (x )－x ，则g (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，则不等式f (ln(e x －1))<1＋ln(e x －1)，等价于f (ln(e x －1))－ln(e x －1)<1＝f (0)－0，即g (ln(e x －1))<g (0)，所以ln(e x －1)<0，则0<e x －1<1，解得 0<x <ln 2.14．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2，若f (x )＝a 有四个解x 1，x 2，x 3，x 4且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A ．0<a <1B ．x 1＋2x 2∈(3，＋∞)C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212 D ．x 4∈[4，＋∞)答案 AC解析作函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x <2，x 2－8x ＋13，x ≥2的图象如图所示，f (x )＝a 有四个解，即y ＝a 与y ＝f (x )的图象有4个交点x 1，x 2，x 3，x 4且x 1<x 2<x 3<x 4，可得0<a <1，故选项A 正确；由图象可得x 1·x 2＝1，则1x 1＝x 2，∴x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1， ∵12<x 1<1，且1<x 2<2，对勾函数y ＝x ＋2x 在区间⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，故当12<x 1<1时，x 1＋2x 2＝x 1＋2x 1∈⎝⎛⎭⎫3，92，故B 错误； x 1＋x 2＝1x 1＋x 1，∵12<x 1<1，∴1x 1＋x 1∈⎝⎛⎭⎫2，52， ∵x 3＋x 4＝8，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4∈⎝⎛⎭⎫10，212，故选项C 正确；令x 2－8x ＋13＝0，解得x ＝4±3，由图象可知x 4∈(4＋3，6)，故选项D 错误．。

对数的运算法则及公式是什么

对数的运算法则及公式是什么对数是数学中比较重要的知识点之一，那么对数都有哪些公式呢?下面是由编辑为大家整理的“对数的运算法则及公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN；(n,M,N∈R)；如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。

定义：若an=b(a>0，a≠1)则n=logab。

换底公式logMN=logaM/logaN；换底公式导出：logMN=-logNM。

推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)；loga(b)*logb(a)=1；loge(x)=ln(x)；lg(x)=log10(x)。

拓展阅读：学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

“兴趣是最好的老师”。

做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。

但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。

有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。

如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。

建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。

2、要有端正的学习态度。

首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。

因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。

其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

3、要有“持之以恒”的精神。

要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。

即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。

考点11 对数与对数函数(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)

考向11 对数与对数函数1．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C 【分析】将t t *=代入函数()()0.23531t K I t e--=+结合()0.95I tK *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 4.识别对数函数图象时，要注意底数a 以1为分界：当a ＞1时，是增函数；当0＜a ＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y 轴为渐近线．5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．6. 比较对数值的大小（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较 7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤： (1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性1.对数的概念如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alog aN＝N ；②log a a b＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④log a m M n＝n mlog a M (m ，n ∈R，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞) 值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n＝n mlog a b .其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限.1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（） A ．[1,0)(0,1)- B ．[1,0)(0,1]-⋃ C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(0,1]-⋃2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知2log 3,37ba ＝＝，则21log 56＝（） A ．3ab a ab++B ．3a ba ab++C ．3ab a b++ D ．3b a ab++3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知4log 3a =，5log 3b =，4log 5c =，则（） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（）A ．-1B ．0C ．1D ．21．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()f x x =-；若0.250.3a -=，0.25log 0.3b =，0.3log 2.5c =，则（）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数()1y f x =-的图像关于1x =对称，满足()()2f x f x -=，且()f x 在()1,0-上递减，若125a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()12b f n =-，()3 log 18c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<3．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：S N 为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（） A ．2B ．99C ．101D ．99994．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（多选题）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数()21log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则不等式()lg 3f x >的解集为___________.8．（2021·全国高三其他模拟）已知不为1的正实数,m n 满足1133log log ,m n >则下列不等式中一定成立的是 _____.（将所有正确答案的序号都填在横线上） ①1111m n >--；②m n e e > ；③()ln 0n m ->；④31m n -<；⑤11m n>． 9．（2019·吉林高三其他模拟（理））已知等比数列{}n a 满足()212345log 5a a a a a =，等差数列{}n b 满足33b a =，则12345b b b b b ++++=___________.10．（2021·山东高三其他模拟）已知数列{}n a 满足22log 1n n a n +⎛⎫=⎪+⎝⎭．给出定义：使数列{}n a 的前k 项和为正整数的k ()*k ∈N 叫做“好数”，则在[]1,2021内的所有“好数”的和为______．11．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设()f x 定义域为R ，已知()f x 在[)1,+∞上单调递减，()1f x +是奇函数，则使得不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>成立的x 取值范围为___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()log 1a f x x =+，函数()y g x =的图象上任意一点P 关于原点的对称点Q 的轨迹恰好是函数()f x 的图象．（1）写出()g x 的解析式：（2）若1a >，[)0,1x ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围．1．（2020·全国高考真题（文））设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则（） A ．a c b <≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<3．（2013·辽宁高考真题（文））已知函数()()()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ⎛⎫=+-++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．24．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．（2020·海南高考真题）（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )6．（2020·北京高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 7．（2019·上海高考真题）函数()()20f x x x =>的反函数为___________8．（2014·重庆高考真题（理））函数22()log log (2)f x x x =⋅的最小值为__________．9．（2014·广东高考真题（理））若等比数列的各项均为正数，且，则1220ln ln ln a a a +++= .10．（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________1．【答案】C 【分析】根据题意列不等式组，化简得出结论. 【详解】由题意得10,10,0,x x x ->⎧⎪+>⎨⎪≠⎩解得10x -<<或01x <<.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)-.故选：C. 2．【答案】A 【分析】运用对数运算法则和换底公式进行求解. 【详解】由37b =，可得3log 7b =，所以()()33213log 72log 56log 37⨯=⨯33333log 7log 2log 3log 7+=+131b a b +⨯=+3ab a ab+=+. 故选：A 3．【答案】A 【分析】先由对数的性质可得01a <<，01b <<，1c >，然后利用作差法判断,a b 的大小即可【详解】首先01a <<，01b <<，因为lg 3lg 4a =，lg 3lg 5b =，所以()lg 3lg 5lg 4lg 3lg 30lg 4lg 5lg 4lg 5a b --=-=>⋅，所以01b a <<<，因为4log 51c =>，所以b a c <<.故选：A. 4．【答案】BCD 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】根据题意，作出()f x 的图像如下所示：令()0g x =，得()f x x a =+，所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，所以只需函数()f x 的图像与直线y x a =+有两个不同的交点，根据图形可得实数a 的取值范围为(1,)-+∞，故选：BCD ．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．1．【答案】D 【分析】由奇函数性质及0x >的解析式，求得()f x x =-，在实数范围内单调递减，比较数的大小a b c >>，从而有()()()f a f b f c <<. 【详解】当0x >时，()f x x =-，由奇函数的性质知，()f x x =-，x ∈R ，函数单调递减；又0.250.31a -=>，0.25log 0.3(0,1)b =∈，0.3log 2.50c =< 则a b c >>由函数单减知，()()()f a f b f c << 故选：D 2．【答案】A 【分析】根据题意得出()f x 是以2为周期的周期函数，且在()0,1上递增函数，再根据指数函数与对数函数的性质，32log 2ln 2<<<，结合单调性，即可求解. 【详解】由函数()1y f x =-关于1x =对称，可得函数()f x 关于0x =对称，即()()f x f x -=，又由函数()f x 满足()()2f x f x -=，可得()()2f x f x -=-，即()()2f x f x =+，所以函数()f x 是以2为周期的周期函数，则1122()552()a f f ==-，()1(ln2)2b f n f ==-，333log 18log 182()()(log 2)f c f f =-==，1222<=，且331log log 2ln 22=<，因为()f x 在()1,0-上递减，可得函数()f x 在()0,1上递增函数，所以3(log 18)(ln 2)f f f <<-，即a c b <<. 故选：A. 3．【答案】C 【分析】利用香农公式求1C 的值，根据12C 的值求SN的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍. 【详解】当99SN =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999SN =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍. 故选：C . 4．【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增，根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A 5．【答案】AD 【分析】分别考虑函数的定义域、单调性及对称性就可以对每一个选项作出判断. 【详解】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确； ()()12()ln 1ln 1ln ln(1)11x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211x y e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令)()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确. 故选：AD 6．【答案】()1,11,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式．【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，21()log 1f x x ⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭()f x =，()f x 是偶函数，0x >时，21()log 1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又(1)3f =，所以由(lg )3f x >得lg 1x <，1lg 1x -<<且lg 0x ≠，解得11010x <<且1x ≠．故答案为：()1,11,1010⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题关键是确定函数的奇偶性与单调性，然后利用函数的性质解不等式，解题时注意函数的定义域，否则易出错． 7．【答案】6 【分析】首先利用换底公式表示3log 2a =，再代入39a a +求值. 【详解】由条件得331log 4log 22a ==，所以3333log 2log 2log 2log 4393933246a a +=+=+=+=. 故答案为：6 8．【答案】④⑤. 【分析】根据对数函数单调性先分析出,m n 的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析. 【详解】因为1133log log m n >且,m n 不为1，由对数函数13log y x =的单调性可知0m n <<， ①当01,1m n <<>时，110,011m n <>--，所以1111m n <--，故①不一定成立； ②因为m n <，由指数函数xy e =的单调性可知m n e e <,故②不成立； ③当01m n <<<时，01n m <-<，所以()ln 0n m -<，故③不一定成立； ④因为0m n -<，所以0331m n -<=，故④一定成立； ⑤因为0m n <<，所以110m n>>，故⑤一定成立；故答案为：④⑤.9．【答案】10 【分析】由已知结合等比数列的性质可求3a ，然后结合等差数列的性质即可求解. 【详解】因为等比数列{}n a 中，()()521234523log log 5a a a a a a ==，所以32a =，因为332b a ==，则由等差数列的性质得123453510b b b b b b ++++==. 故答案为：10. 10．【答案】2026 【分析】先计算出数列{}n a 的前k 项和，然后找到使其为正整数的k ()*k ∈N ，相加即可得到答案．【详解】由题，22212222log log log 11211n n S n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭222342log log log 231n n +⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭()()22222log log 2log 2log 212n n n +==+-=+-．所以，()2log 21k S k =+-．因为k S 为正整数，所以()2log 210k +->，即220k k +>⇒>．令()2log 2m k =+，则22=-m k ．因为[]1,2021k ∈，所以[]23,2023m∈．因为2xy =为增函数，且12101122,24,,21024,22048====所以[]2,10m ∈．所以所有“好数”的和为210231022222222229202612-⨯-+-++-=-⨯=-．故答案为：2026．【点睛】本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前n 项和公式的灵活运用． 11．【答案】()3,4 【分析】根据()1f x +是奇函数判断函数的对称中心1,0（），()()120f x f x +>等价于122x x +<，()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<，即可得到关于x 的不等式，求出x 的范围. 【详解】因为()1f x +是奇函数，故()f x 图像关于()1,0 对称，由题设()()110f x f x -++=，因为()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()120f x f x +>等价于122x x +<，因此不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<，即22log [(3)]log 4x x -< ，即234x x -< 且30x -> ，解得x 取值范围为()3,4. 故答案为：()3,412．【答案】（1）()1log 1a g x x=-；（2）(],0-∞．【分析】（1）设(),P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标在函数()f x 的图象上得log (1)a y x =--+，再(),P x y 是函数()y g x =图象上的点，可得答案；（2）求[)0,1x ∈时，利用换元法求出()()f x g x +的最小值可得答案．【详解】（1）由题意，设(),P x y 是函数()y g x =图象上的任意一点，则P 关于原点的对称点Q 的坐标为(),x y --，因为已知点Q 在函数()f x 的图象上，所以()y f x -=-，而()()log 1a f x x =-+，所以()log 1a y x -=-+，所以log (1)a y x =--+，而(),P x y 是函数()y g x =图象上的点，所以()1log (1)log 1a a y g x x x==--+=-．（2）当[)0,1x ∈时，()()11log (1)log log 11a aa x f x g x x x x++=++=--，下面求当[)0,1x ∈时，()()f x g x +的最小值，令11x t x +=-，则11t x t -=+，因为[)0,1x ∈，即1011t t -≤<+，解得1t ≥，所以111xx+≥-，又1a >，所以1log log 111aa xx+≥=-，所以()()0f x g x +≥，所以[)0,1x ∈时，()()f x g x +的最小值为0，因为当[)0,1x ∈时，总有()()f x g x m +≥成立，所以0m ≤，即所求m 的取值范围为(],0-∞．1．【答案】A 【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a =，351log 33b =，再利用单调性比较即可.因为333112log 2log 9333a c =<==，355112log 3log 25333b c =>==，所以a c b <<. 故选：A. 【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 2．【答案】A 【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<，11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 3．【答案】D 【详解】试题分析：设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫+=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为D.考点：1.对数函数的运算律；2.换元法.4．【答案】A 【分析】由题意得到关于12,E E 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选A.本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 5．【答案】AC 【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出 ()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项. 【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确. 对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误. 对于C 选项，若()11,2,,i p i n n==，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且 ()21j m jP Y j p p +-==+（ 1,2,,j m =）.()2222111log log mmi i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑ 122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅.()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅++⋅+++⋅+++12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++由于()01,2,,2i p i m >=，所以2111i i m i p p p +->+，所以 222111log log i i m ip p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误. 故选：AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题. 6．【答案】(0,)+∞ 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．【答案】0y x => 【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当0x >时，20x >，即()0f x > 又x=y ⇒=∴反函数为：y x =，0x >【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域. 8．【答案】14- 【解析】试题分析：()()()2222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅+=+=+- ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以，当21log 2x =-，即22x =时，()f x 取得最小值14-. 所以答案应填：14-. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.9．【答案】50. 【详解】由得551011101122,a a e a a e ==，所以1220ln ln ln a a a +++=105012201011ln()ln()ln 50.a a a a a e ⋅⋅===【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 10．【答案】2 【详解】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===.。

对数与对数函数

A. ①③
4.若 0<a<1, 则函数 y=loga(x+5)的图象不经过( A ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如果 loga3>logb3>0, 则( B ) A. 0<a<b<1 B. 1<a<b C. 0<b<a<1 D. 1<b<a
6.函数 f(x)=ax+loga(x+1) 在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a, 则 a 的值为( B ) 1 A. 1 B. C. 2 D. 4 2 4
1.化简下列各式: (1) (lg5)2+lg2· lg50; (2) 2(lg 2 )2+lg 2 · lg5+ (lg 2 )2-lg2+1 ; (3) lg5(lg8+lg1000)+(lg2 3 )2+lg 1 +lg0.06. 6 解: (1)原式=(lg5)2+lg2(lg2+2lg5) =(lg5)2+(lg2)2+2lg2lg5 =(lg5+lg2)2 =1. (2)原式=lg 2 (2lg 2 +lg5)+ (lg 2 -1)2 =lg 2 (lg2+lg5)+(1-lg 2 ) =lg 2 +1-lg 2 =1. (3)原式=lg5(3lg2+3)+3lg22-lg6+lg6-2 =3lg5lg2+3lg5+3lg22-2 =3lg2(lg5+lg2)+3lg5-2 =3(lg2+lg5)-2 =1.
三、对数恒等式
alogaN=N(a>0 且 a1, N>0).

对数公式及对数函数的总结

对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数。

③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>。

常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数=-3log 6log 22 =⋅31l o g12log 2222=+2lg 5lg =61000lg=+64log 128log 22 =⨯)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++3log 23log 2242 =⋅16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333=++c b a 842log log log =+++200199lg 43lg 32lg=++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 22222 解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+- 0 =-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 8⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a aMM N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈ （4）log aN a N = （5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈（6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（7）1log log =⋅a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 --3函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ]1,0()0,1( - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。

高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值．（1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性）例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。

对数与对数运算

对于任意两个正实数a、b（a≠1， b≠1）及对数底数c（c>0，c≠1），有logc(a)=logb(a)/logb(c)。
换底公式推导
根据对数定义及指数运算规则，可以推导出换底公式。具体过程略。
换底公式在简化计算中作用
化简复杂对数式
利用换底公式可以将复杂对数式转化为简单对数式，从而简化计算过程。
复合函数处理方法
• 对于形如$f(g(x))$的复合函数，若外层函数$f(x)$和对内层函数$g(x)$都可导，则复合函数可导。在处理复合对数函数如$\ln(\sin x)$、$\log_2(\cos x)$等时，需利用链式法则求导。
04
换底公式推导及应用技巧
换底公式介绍和推导过程
换底公式定义
形如$a^x+b^x=c$或$a^x \times b^x = c$等更复杂的方程。
利用对数性质解指数方程步骤梳理
第一步
确定方程类型，选择合适的对数性质进行转换。
第二步
应用对数性质，消去指数，将方程转化为代数方程。
第三步
解代数方程，求得$x$的值。
第四步
验根，将求得的解代入原方程进行验证，确保解的正确性。
统一底数
在实际问题中，有时需要将不同底数的对数式统一为一个底数，以便进行计算和比较。换底公式可以实现这一目的。
实际应用案例展示
案例一
求解log5(25)+log2(32)-log3(9)。通过换底公式，可将原式转化为以10为底的对数式进行计算。
案例二
比较log0.5(0.4)与log0.4(0.5)的大小。通过换底公式将两个对数式转化为以10为底的
运算性质总结
正对数性质
若$a>0, a\neq1, M>0, N>0$，则$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M\log_a N$，$\log_a M^n=n\log_a M$。

高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log a =log a M －log a N .NM ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.bN a a log log 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是?2.若f－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log（3－x ）］的定21义域是__________.4.若log x =z ，则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 (x=-2非解)A.B.－C.2D.－221218.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB9.设f－1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题【例1】已知函数f （x ）=则f （2+log 23）的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四2121个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成21221x x 立的函数是A.f 1（x ）=x(平方作差比较)B.f 2（x ）21=x 2C.f3（x）=2xD.f4（x）=log x12探究创新1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f －1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求m实数m的取值范围.。