材料力学课件

面向21世纪课程教材材料力学李国清华中科技大学力学系第三章梁的弯曲3.1 梁的内力3.2 平面弯曲梁的正应力3.3 梁的弯曲剪应力3.4 梁的强度计算3.5 梁的合理强度设计3.6 梁的弹塑性弯曲3.7 梁的变形3.3 梁的弯曲剪应力梁中的剪应力矩形截面梁中的弯曲剪应力梁的横力弯曲梁的剪力图叠层梁的横力弯曲•层间光滑无磨擦•每层弯曲有各自的中性层两种梁的横力弯曲比较梁中的剪应力叠层梁的层间交界面上伸长正应变不连续梁的纵向截面之间有剪切作用，剪应力不为零剪应力互等定理梁的横截面剪应力不为零矩形截面梁的弯曲剪应力矩形截面梁的截面法儒拉夫斯基假设微元体的静力平衡矩形截面梁的弯曲剪应力矩形截面梁的截面法(1)矩形截面梁的截面法(2)儒拉夫斯基假设矩形横截面上的剪应力与剪力平行横截面上沿宽度方向剪应力均匀分布微元体的静力平衡dxdM Q =zI My -=σ*111zz A z A S I M ydA I M dA N -=-==⎰⎰σ*2z S zIdM M N +-=bdxbdx dF ττ='=0,012=--=∑dF N N F xzQS*=τ—沿矩形截面宽度线上的剪应力(Pa) —横截面上的剪力(N)—为所求剪力作用层以下(或以上)部分截面面积对中性轴的静面矩的绝对值( ) —整个横截面对中性轴的惯性矩( ) —矩形截面的宽度(m)τQ *z S zI b3m4m矩形截面梁的弯曲剪应力)4(222*1y h b ydA S A z-==⎰•整个图形对Z 轴的惯性矩3121bhI z =•矩形截面梁的弯曲剪应力τ=-Q I h y Z 2422()•图示阴影部分对Z 轴的静面矩•上、下边缘剪应力为0•中性层剪应力最大•讨论AQ5.1m ax =τ讨论(1)—弯曲正应力和剪应力任意截面上危险截面上312bhMyI My z -=-=σ)4(222*y h I Q bI QS Z z z-==τ2m ax m ax m ax6bhM W M z ==σAQ bI S Q z 23m ax *m axm ax m ax==τ讨论2分析流程•底部微元体示出x方向受力,求剪应力的过程讨论(3)—受均布载荷的悬臂梁aZx I My -=σ)3141121(2)(323y y h h I x q Z y -+=σ)4(222y h I Q Z xy -=τzEI MyE ==σε)4(222y h GI Q G z -==τγ任意截面的应力任意截面的应变讨论(4) —受均布载荷的悬臂梁bA 截面点的位置a b c d *xσ 75 -75 0 37.5 *xy τ 0 0 7.5 5.625 正则化应力 *y σ10.50.844 *x ε 75 -75 0 37.5正则化应变*xy γ18.75 14.1为了便于比较,将应力和应变进行正则化即各项应力除以q/b 各项应变除以q/(bE)讨论(5) —薄壁截面弯曲剪应力以工字形截面梁为例腹板和翼板的剪应力方向以及剪应力求解形式的异同截面上剪应力的合力高级问题翼板上沿与厚度垂直方向的剪应力大小 推广到其他薄壁截面的剪应力问题讨论(6) —圆截面弯曲剪应力❑弦端点m、n的剪应力方向❑弦上其余各点的剪应力方向❑弦上各点的剪应力大小例：薄壁圆环形截面平均半径R 0，壁厚t ，截面承受剪力Q,如图，试求截面上最大剪应力。

解：半个圆面积对中性轴的静面矩为于是对半个圆环面积332R S z =t R t R t R S z 203030m ax 2)2(32)2(32≈--+=整个圆环截面对中性轴的惯性矩是t R t R t R I z 304040)2(4)2(4πππ≈--+=可得最大剪应力A Q t R Q b I QS z z z 2220m ax m ax =⨯≈=πτ式中A=为薄壁圆环形截面的面积。

可见薄壁圆环形截面上的最大剪应力为平均剪应力的2倍。

t R 02π小结)4(222*y h I Q bI QS Z z z -==τ横力弯曲梁中的剪切变形相对较小,横力弯曲梁中平面假设近似成立横力弯曲梁中纵向纤维间挤压正应力相对较小,纵向纤维间相互无挤压近似成立矩形截面梁中的剪应力由下式计算:3.4 梁的强度计算弯曲正应力弯曲剪应力弯曲正应力强度条件][m ax m ax σ≤=σzW M 式中[σ]为材料在单向受力时的许用应力。

许用拉应力[σt]与许用压应力[σc]不相同时][m ax t t σ≤σ][m ax c c σ≤σ弯曲剪应力强度条件][m ax m ax m ax τ≤=τb I S Q z z讨论梁强度设计时，控制因素是什么？细长梁的强度控制因素通常是弯曲正应力。

根据正应力强度条件设计的梁截面，一般都满足剪应力强度条件下列几种情况需要校核梁的剪应力强度条件。

1）梁的跨度较小，或有较大的集中载荷靠近支座作用。

如此梁内最大弯矩较小而剪力却相对很大；2）薄壁截面梁的腹板部分通常可能出现较大的剪应力；3）木梁顺纹方向抗剪能力很差，可能沿中性层发生剪切破坏；如果是组合梁，在焊接或胶合的纵向截面处要校核其剪力流，在铆接或螺栓连接的纵向截面处，须对铆钉、螺栓等连接零件进行剪切强度校核。

例T 形截面铸铁梁所受载荷如图（a ）所示。

截面尺寸如图（d ）所示。

已知铸铁抗拉许用应力，抗压许用应力，形心主惯性矩，试求梁允许的最大载荷q max 。

MPa t 30][=σMPa c 60][=σ46109.25m I z -⨯=解：作出梁的剪力、弯矩图如图（b ）、（c ）所示。

最大弯矩发生在B 处，为负弯矩；而AB 跨内的弯矩极值点D 处之弯矩虽然小于B 处，但却是一正弯矩。

在正弯矩作用下截面上最大拉应力发生在下边缘，距中性轴较远，有可能存在最大拉应力。

因此应考虑可能的危险截面B和D 两处。

截面B 处：由][5.011m ax t z z B t I y q I y M σ≤⋅==σmkN y I q z t /5.32][21=≤σ得由得][5.022m ax c z z B c I y q I y M σ≤⋅==σm kN y I q z c /9.21][22=≤σ同理截面D 处：m kN y I q z t /5.1910142281.0109.251030281.0][3662=⨯⨯⨯⨯⨯=σ≤--故mkN q /5.19}5.19,9.21,5.32min{m ax ==3.5 梁的合理强度设计1．采用合理的截面形状2．采用变截面梁3．合理布置载荷和支座1．采用合理的截面形状梁的合理截面形状应该是使截面面积A 尽量小而抗弯截面模量Wz 尽量大，可引入一无因次的量Wz/A 为梁截面性能的优劣指标。

w z 称为单位抗弯截面模量，这个比值越大，梁的单位重量承载能力越高。

圆形截面的w z=0.141，当矩形截面高宽比h/b=1,2,10时，对应的w z=0.167，0.236，0.527，工字钢20b 的w z=1.007。

梁的合理截面形状，还应考虑到材料的力学性质。

对抗拉和抗压强度相等的材料（如碳钢），宜采用中性轴为对称轴的截面，这样可使截面上下边缘处的最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。

对抗拉和抗压强度不相等的材料（如铸铁）则应采用不对称于中性轴的截面，并使中性轴偏于受拉的一侧。

23A W zz =w2．采用变截面梁在横力弯曲的情况下，梁横截面上的弯矩是随位置而变化的。

从强度的观点，理想的设计应使所有横截面上的最大正应力均等于材料的许用应力，这种截面随弯矩变化的梁，称为等强度梁。

下面以悬臂梁为例说明等强度梁的设计。

一悬臂梁在自由端受集中力P 作用，如图（a ）所示。

现欲将其设计成矩形截面的等强度梁，截面的宽度b 为常量，只变高度h 。

梁的弯矩方程为M （x ）=－Px ，根据等强度梁的要求，应有][)()(m ax σ==σx W x M ][6)]([2σ=x h b Px ][6)(σ=b Px x h ][33m ax ττ===P Q 3P h =故将梁的自由端修改成如图（b ）所示的实线形状，以保证足够的剪切强度等强度梁是一种理想的变截面梁。

但是，考虑到加工制造及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强度梁。

例如图中所示摇臂钻床的摇臂（a），托架（b）、阶梯形轴（c）、车辆上的叠板弹簧（d）、及建筑上常用的鱼腹式梁（e）等。

习题3-13 3-14 3-16再见。