【精选】九年级数学上册第一章特殊平行四边形第1节菱形的性质与判定第3课时教案新版北师大版
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形教案1.1菱形的性质与判定综合
菱形性质的探究
教学过程
菱形的面积公式：
1.根据菱形是平行四边形求菱形的面积
2.求证：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半
已知：
求证：
例1.如图，菱形花坛ABCD的周长为80m，∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m）
A. B. C. D.3.
3.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()
A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°
4．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
5.如图所示,在菱形ABCD中,AE垂直平分BC,垂足为E,AB=4 cm.那么,菱形ABCD的面积是________,对角线BD的长是________.
6.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是．
7如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．
8.如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
求证：（1）求∠BGD的度片叠放在一起得到如图29所示的四边形ABCD.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
第一章特殊的平行四边形
课题
§1.1菱形的性质与判定
总课时
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定教案(新版)北师大版
1.1.1菱形的性质学习目标了解菱形的基本性质，掌握其特征．学习难点掌握菱形的性质．教学过程一、复习平行四边形有何特征？如何识别一个四边形是平行四边形？在学生思考、交流的过程中，老师适时进行指导．二、创设问题情境，导入新知出示可伸缩的衣帽架实物．老师在演示的过程中提问：图中的基本图形你熟悉吗？学生大多回答是平行四边形，让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边的长度（发现邻边相等这个特性）接着老师告诉学生，这种邻边相等的平行四边形，与一个角是直角的平行四边形一样也是一种特殊的平行四边形，这是今天我们要研究的课题．教师板书：菱形．那究竟什么是菱形呢？学生在思考、交流中，老师适时地进行指导，把正确的定义板书在黑板上：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．这里的“平行四边形”不能写成“四边形”．“一组邻边相等的四边形，不一定是菱形”．这点务必加以强调．如果要用四边形下菱形的定义就应该是“四边都相等的四边形是菱形”．三、学生动手操作1．画一个△ABC，取BC的中点M，把△ABC绕着M，旋转180°后得一个△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC拼成一个怎样的图形？（平行四边形）那么菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转180°后与原三角形拼成的？2．画一个等腰△ABC，取底边BC中点M，把△ABC绕着M旋转180•°后的三角形与原三角形拼成一个怎样的图形？（菱形）要说明它菱形，就应讲出根据来．•请一个同学说出根据：“它是邻边相等的平行四边形”．如图所示．3．观察图，思考：（1）图中有哪些三角形是等腰三角形？（2）图中有哪些直角三角形？在学生交流的基础教师板书：（1）△ABC，△A′BC，△ACA′，△ABA′都是等腰三角形．（2）△ACM，△CMA′，△ABM，△BMA′都是直角三角形．让学生想一想后继续操作．菱形是中心对称图形，这点大家是不会怀疑的，刚才的操作已经说明了这一点，•那么菱形是不是轴对称图形呢？•大家都知道菱形可以把等腰三角形绕着底边中点旋转180°后所得的三角形与原三角形拼成的．由于等腰三角形是轴对称图形，•所以我们也可以判断出菱形也是轴对称图形．请大家想一想：（1）直角△ACM，直角△CMA′，直角△ABM，直角△BMA′的形状、大小是否相同？（2）如何用剪刀的办法，得到一个菱形的纸片呢？如图所示．请大家按如下步骤操作：（1）将一张矩形纸对折再对折；（2）用尺在折后的矩形的一角上画一条直线；（3）用剪刀沿着这条线剪下，打开．你发现这是一个什么样的图形．（•如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的四边形，究竟在哪一角画线，请思考后再动手．）根据以上的操作与思考，你发现菱形它有哪些性质吗？教师让学生用语言进行表达出来，用边、角、对角线的顺序来阐明．教师板书：菱形性质：（边）：对边平行、四边都相等．（角）：对角相等．（对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角．由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一切性质，上述的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分，就是平行四边形的性质，而邻边相等、对角线互相垂直，是它与平行四边形不同的特殊性质．上述的菱形性质是两种性质的总和．同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形，其对称中心，就是它两条对角线的交点．四、范例分析，加深理解例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如图所示．试说明△ABC是等边三角形．学生观察图形并对照条件，进行思考、交流．师生共同分析：要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手：（1）说明AB=BC=AC；（2）说明∠BAC=∠ACB=∠ABC；（3）说明△ABC中，有两个角都等于60°．从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC，•现在只差AB=AC或BC=AC．要知道CB=AC，就要说明∠ABC=∠CAB；要知道BA=AC，就要说明∠ABC=∠ACB．由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，故3∠ABC=180°，∠ABC=60°．那么∠BAD=120°．由于菱形对角线平分内角．故∠BAC=60°，即∠BAC=∠ABC=60°．那么AB=AC．这样就可以得到△ABC是等边三角形．从第二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．这样△ABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，•第一条途径分析中已获得了．解：由于四边形ABCD是菱形，所以AB=BC，AD∥BC．即∠B+∠BAD=180°，∠BAC=∠BAC．又∠BAD=2∠ABC．所以3∠ABC=180°，即∠ABC=60°．因为∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，故∠BAC+∠BCA=120°．那么2∠BAC=120°．即∠BAC=60°，∠BCA=60°．因此三角形ABC为等边三角形．也可以说△ABC是一个角等于60°的等腰三角形，所以△ABC为等边三角形．五、随堂练习，巩固新知教材随堂练习六、全课小结，提高认识1．菱形有哪些特征？它与矩形的特征有何异同点？2．如何识别一个四边形是菱形？1.1.2菱形的判定学习目标1．经历菱形的判定定理的发现过程。
北师大版九年级数学上册教案：第一章 特殊平行四边形
第一章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时菱形的性质【知识与技能】理解菱形的概念，掌握菱形的性质.【过程与方法】经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法.【情感态度】培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识.【教学重点】理解并掌握菱形的性质.【教学难点】形成推理的能力.一、情境导入,初步认识四人为一小组先在组内交流自己收集的有关菱形的图片，实物等，然后进行全班性交流.引入定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【教学说明】认识菱形，感受菱形的生活价值.二、思考探究，获取新知教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是平行四边形的特例，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质.【教学说明】通过教师的教具操作感受菱形的定义.如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开.思考：1.这是一个什么样的图形呢？2.有几条对称轴？3.对称轴之间有什么位置关系？4.菱形中有哪些相等的线段？【教学说明】充分地利用学具的制作，发现菱形所具有的性质，激发课堂学习的热情.【归纳结论】菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.三、运用新知，深化理解1.见教材P3第1题.2.见教材P3例1 .3.如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（A）A.15B.153 2C.7.5D.153【教学说明】本题考查有一个角是60°的菱形的一条对角线等于菱形的边长.4.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC且交BC的延长线于点E.求证：DE=12 BE.分析：由四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，易得BD⊥AC，∠DBC=30°，又由DE∥AC，即可证得DE⊥BD，由30°所对的直角边等于斜边的一半，即可证得DE=12 BE.证明：方法一：如图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∠DBC=30°，∵DE∥AC，∴DE⊥BD，即∠BDE=90°，∴DE=12 BE.方法二：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AD∥BC，AC=AD，∵AC∥DE，∴四边形ACED是菱形，∴DE=CE=AC=AD，又四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴BC=EC=DE，即C为BE的中点，∴DE=BC=12 BE.【教学说明】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质等知识.此题难度不大，注意数形结合思想的应用.5.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E.（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长.分析：（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出.解：（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴∠ABD=60°；（2）由（1）可知BD=AB=4，又∵O为BD的中点，∴OB=2，又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，∴∠BOE=30°，∴BE=1.【教学说明】本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握.学生自主完成，如有一定难度可相互交流，最后由教师总结.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，教师作补充.1.布置作业:教材“习题1.1”中第1、2 题.2.完成练习册中相应练习.本节课中，重在探索菱形性质的过程，在操作活动和观察分析过程中发展学生的审美意识，进一步体会和理解说理的基本步骤，了解菱形的现实应用.第2课时菱形的判定【知识与技能】1.理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.【过程与方法】经历探索菱形判定思想的过程，领会菱形的概念以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法.【情感态度】培养良好的思维意识以及推理的能力，感悟其应用价值及培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【教学重点】菱形的两个判定方法.【教学难点】判定方法的证明及运用.一、情境导入，初步认识回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形.（2）菱形的性质：性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角.（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）【教学说明】通过对菱形的性质复习回顾，让学生养成勤复习的习惯.用以温故而知新.二、思考探究，获取新知活动1按下列步骤画出一个平行四边形：(1)画一条线段长AC=6cm；(2)取AC的中点O,再以点O为中点画另一条线段BD=8cm,且使BD⊥AC；(3)顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.猜猜你画的是什么四边形?【归纳结论】菱形的判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.【教学说明】首先教师活动让学生观察，然后让学生自己动手亲自体验活动从而猜想出结论来.已知：在□ABCD中，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC ⊥BD，∴□ABCD是菱形.活动2画一画：作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？【归纳结论】菱形的判定方法2：四条边相等的四边形是菱形.【教学说明】让学生亲自动手体验活动，猜想出结论来并进行证明.从而加深印象.三、运用新知，深化理解1.见教材P6例2 .2.如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG 与FH交点于O，则图中的菱形共有（B）A.4个B.5个C.6个D.7个3.下列说法正确的是（B）A.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD.求证：AD=CE；证明：∵MN是AC的垂直平分线.∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，∴△ADO≌△CEO，∴AD=CE.5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；证明：∵CE平分∠ACB，EA⊥CA，EF⊥BC，∴AE=FE，∵∠ACE=∠ECF，∴△AEC≌△FEC，∴AC=FC，∵CG=CG，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAG =∠CFG =∠B，∴GF∥AE，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AG∥EF，故四边形AGFE是平行四边形又∵AG=GF（或AE=EF），∴平行四边形AGFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.【教学说明】让学生先独立完成，然后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.让学生从题目中找解题信息，从图形中找解决问题的突破口.四、师生互动、课堂小结1.师生共同回顾判定一个四边形是菱形的方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.2”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课让学生动手操作，不仅可以调动学生的积极性，而且通过动手做一做，然后再说一说的过程，巩固了菱形的判定.只有这样，才能使学生在今后的学习中有更严密的思维，使他们的抽象概括能力有更好的提升.第3课时菱形的性质与判定的运用【知识与技能】能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.【过程与方法】经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化的思想.【情感态度】培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.【教学重点】利用菱形性质定理与判定定理解决一些相关问题.【教学难点】菱形性质的探究.一、情境导入，初步认识活动：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形的一个内角吗？【教学说明】通过折纸活动激发学生的兴趣，同时对于菱形的相关判定方法也进行了巩固.二、思考探究，获取新知如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？拓展：若纸条的宽度是4cm ，∠ABC=60°，你会求菱形的面积吗？你有几种不同的方法？与同学交流.【归纳结论】菱形面积的计算公式：①如图，S 菱形ABCD =AB ·DE ，即菱形的面积等于底乘高；②S 菱形ABCD =12AC ·BD ，即菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.【教学说明】对菱形性质的归纳是学生对菱形特征的认识、是知识的一次升华，有助于培养学生的概括能力，突出教学重点.三、运用新知，深化理解如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的重点.（1）求证：四边形BDEF 是菱形；（2）若AB=10cm ，求菱形BDEF 的周长.解：（1）证明：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点，∴EF=12BC ，EF ∥CB. 又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，∴DE=12AB ，DE ∥AB, ∴四边形BDEF 是平行四边形.又∵AB=BC ，∴EF=DE ，∴四边形BDEF 是菱形.（2）∵F 是AB 的中点，∴BF=12AB.又∵AB=10cm，∴BF=5cm.∵四边形BDEF是菱形，∴BD=DE=EF=BF，∴四边形BDEF的周长为4×5=20（cm）.【教学说明】菱形的性质与判定的综合应用，一般先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质进行求解或证明，要注意两者的区别与联系.四、师生互动、课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4题.2.完成练习册中相应练习.通过复习回顾菱形的性质和判定，唤醒学生的记忆，然后给学生设置好一个个有梯度的问题，调动学生的求知欲，树立勇于战胜自我的信念.2 矩形的性质与判定第1课时矩形的性质【知识与技能】了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.【过程与方法】经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.【情感态度】培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值.【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用.【教学难点】理解矩形的特殊性.一、情境导入，初步认识将收集来的有关长方形的图片给学生观察，让学生进行感性认识，引入新课——矩形.【教学说明】让学生体会到数学来源于生活，找到数学的价值.二、思考探究，获取新知1.拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）2.再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形?【归纳结论】矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形).让学生观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质.思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？【教学说明】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点.【归纳结论】矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.3.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？4.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，求AO与BD的数量关系.【归纳结论】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【教学说明】引导学生尽可能多地发现结论，养成善于观察的好习惯.三、运用新知，深化理解1.已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.分析：因为矩形是特殊的平行四边形，它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）.2.已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm ，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.分析：因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法.解：（1）设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：x2+82=（x+4）2，解得x=6. 则AD=6cm.（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE·DB＝AD·AB，解得AE ＝4.8cm.3.已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC.求证：CE=EF.分析：CE、EF分别是BC，AE线段上的一部分，若AF＝BE，则问题解决，而证明AF＝BE，只要证明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，且AD∥BC.∴∠1=∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°.∴∠B=∠AFD.又AD=AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）.∴AF=BE.∴EF=EC.此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC.【教学说明】给予学生足够的时间，让学生独立思考，小组合作，由不同学生表述自己的不同思路，展示不同的方法.使学生能做一题会一类，熟知矩形中的基本图形.4.若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20 cm.解：本题需分两种情况解答.即矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm，或者矩形的角平分线分一边为3cm和4cm.当矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×4=22cm；当矩形的角平分线分一边为3cm和4cm时，矩形的周长为2×（3+4）+2×3=20cm.【教学说明】本题考查的是矩形的基本性质，学生需要注意的是分两种情况作答即可.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形的性质.2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.4”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课以“平行四边形变形为矩形的过程”的演示引入课题，将学生的视线集中在数学图形上，思维集中在数学思考上，更好地突出了观察的对象，使学生更容易把握问题的本质，真实、自然、和谐，体现了数学学习的内在需要，加强了学生对知识之间的理解和把握.第2课时矩形的判定【知识与技能】1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.【过程与方法】经历探索矩形判定的过程，发展学生实验探索的意识；形成几何分析思路和方法.【情感态度】培养推理能力，会根据需要选择有关的结论证明，体会来自于实践的需要.【教学重点】理解并掌握矩形的判定方法及其证明，掌握判定的应用.【教学难点】定理的证明方法及运用.一、情境导入，初步认识事例引入：小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？【教学说明】事例引入，激发学生的兴趣.二、思考探究，获取新知动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点.思考：1.随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？2.当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？【教学说明】让学生动脑思考，动手操作.为下面的学习做准备.【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.证明：（见教材P14例题）矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】培养学生的归纳总结能力，同时也训练了学生的语言表达能力和分析问题的能力.三、运用新知，深化理解1. 对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.解析：矩形的判定定理有：（1）对角线相等的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形.2.下列说法正确的是（D ）A.一组对边平行且相等的四边形是矩形B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形解析：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；B、一组对边平行且相等并有一个角是直角的四边形是矩形，故B错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），故C 错误；D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D正确.【教学说明】让学生口答第1、2道题，训练学生的语言表达能力.3.如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，试说明四边形EFGH是矩形.解：∵∠HAB+∠HBA=90°.∴∠H=90°.同理可求得∠HEF=∠F=∠FGH=90°∴四边形EFGH是矩形.【教学说明】在黑板上展示第3题，有多种证明方法的题目学生口答展示，教师予以总结.既训练了学生的语言表达能力，也训练了学生的书写能力和分析问题的能力.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾矩形有哪些判定定理？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.5”中第2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课用逻辑推理的方法对以前曾用直观感知、操作说明得到的矩形判定进行的重新研究，让学生充分感受到逻辑推理是研究几何的重要方法.尽可能地提供多种机会让学生自己去理解、感悟、体验，从而提高学生的数学认识，激发学生的数学情感，促进学生数学水平的提高.第3课时矩形的性质与判定的运用【知识与技能】熟练运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【过程与方法】经历从性质到判定的转化过程，合理、准确地运用已有的知识进行推导、证明，体会数学知识之间的联系和区别.【情感态度】通过严谨的推理，强化学生的规范意识.【教学重点】灵活运用矩形的性质和判定定理进行相关的计算和证明.【教学难点】利用矩形的相关性质构造新的图形，进而对知识进行转化.一、情境导入，初步认识如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE的长.【教学说明】通过例题感受知识的应用的同时体会知识之间的联系及转化，并通过规范的步骤强调教学推理的严谨性.二、思考探究，获取新知已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形.【思考】在上例中，连接DE，交AC于点F.（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论；（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.【教学说明】让学生感受矩形与等腰三角形之间的联系，感受知识转化在解决问题中的作用.三、运用新知，深化理解1.见教材P16~P17例3.2.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，过点O的直线EF分别交AB、CD于点E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（B ）3.（一题多解）如图所示，△ABC为等腰三角形，AB=AC，CD⊥AB于D，P为BC上的一点，过P点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E，F，则有PE+PF=CD，你能说明为什么吗？解：解法一：能.如图所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H.可得四边形PHDE是矩形，∴PE=DH，PH∥BD∴∠HPC=∠B又∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠HPC=∠FCP.又∵PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°∴△PHC≌△CFP∴PF=HC∴DH+HC=PE+PF即：DC=PE+PF.解法二：能.如图，延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为点H，如图所示，可得四边形HEDC是矩形，∴EH=PE+PH=DC，CH∥AB∴∠HCP=∠B.∴△PHC≌△PFC∴PH=PF∴PE+PF=DC.【教学说明】通过应用性的练习，巩固基础知识的同时，感受知识的综合运用在解题过程中的重要性，使所学知识进行深化.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业：教材“习题1.6”中第1、2、3题.2.完成练习册中相应练习.本节课在复习前一节课内容的基础上利用矩形的性质和判定解决具体问题，在例题的选择和设计上，追寻知识向能力的转化，让学生主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，同时训练学生清晰、有条理地表达自己的思考过程，从而培养学生的推理能力和分析问题的能力.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质【知识与技能】使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.【过程与方法】学会用正方形的性质解决一些问题，进一步发展学生的推理能力，促进其逐步掌握说理的基本方法.【情感态度】通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别，对学生进行辩证唯物主义教育.【教学重点】正方形的性质.【教学难点】正方形的性质.一、情境导入，初步认识1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？2.展示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？【教学说明】学生回答后，再展示图片，使学生感受到生活中到处存在数学，激发学习热情.【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.二、思考探究，获取新知1.做一做：用一张长方形的纸片折出一个正方形.2.观察：这个正方形具有哪些性质？【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.三、运用新知，深化理解1.见教材P21例1 .2.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为（）A.12B.13C.26D.30解析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏.设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成102的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对.故选C.3.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为（1，0）和（1，1）.（只写一组）解析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标.∵正方形ABCD 的点A（0，1），点B（0，0），∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）.4.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE，所以可得∠EAF=45°.解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠G=90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF=∠GAF，同理易得：△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；即∠EAF=∠EAG+∠FAG=12（∠DAG+ ∠BAG）=12∠DAB=45°，故∠EAF=45°【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.5.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°.（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数.分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG.利用正方形的性质，证明△AGE≌△AFE，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠DFA=90°-∠DAF=75°，∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，∴∠EFC=30°.【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾正方形有哪些性质？2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.1.布置作业:教材“习题1.7”中第2 、3题.2.完成练习册中相应练习.本课虽然是学习正方形的性质，实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的性质与判定》精品教案
§1.1《菱形的性质与判定》教案第一课时一、教学内容分析：教材分析：《菱形的性质与判定》是北师版九年级数学上册第一章第一节的内容，《菱形的性质与判定》共2 个课时，本节课学习的是第一课时的内容——菱形的概念及菱形的性质。
学生分析：“菱形的性质与判定”是继学习了平行四边形以后，在此基础上进行研究的第一种特殊的平行四边形。
它既是对平行四边形认识的延续和深入，同时也为后面学习矩形和正方形奠定了基础，提供了有效的探索方法。
起到承上启下的作用。
二、教学目标分析：知识与能力目标：1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的“特殊与一般”的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中过程与方法目标：1、通过菱形的轴对称性发现菱形的特殊性质；2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何的思维方法。
情感态度价值观目标：在猜想与证明菱形性质的过程中，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力。
三、教学重点难点分析：教学重点：了解并掌握菱形的概念及其性质定理。
教学难点：菱形性质定理的应用。
四、教学准备：预备知识：平行四边形的性质；轴对称图形；等腰三角形性质；等边三角形性质及判定。
教学方法：启发式。
五、教学过程： 预计时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学评价 5 分一、引入问题：1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？1、请从对称性， 边，角，对角线的角度回答问题。
2、板书课题。
菱形是特殊的平行1、平行四边形是中心对称图形；两组对边平行且相等； 对角相等；对通过情景引 入，让学生体会到“一般”与“特殊”的关证明方法可证），所以，菱形的面积=三角形ABO 面积的4倍。
1注意：4×=1×2OB×2OA 2=1BD •AC2预计时间教学内容教师活动学生活动教学评价3分钟四、学以致用，随堂练习。
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD 的长. 独立完成，算出结果：BD=6cm检测教学效果，查看学生当堂掌握情况。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定教学案1 新版北师大版
菱形的性质与判定（一）
学习目标:
1.通过折、剪纸张的方法,探索菱形独特的性质；
2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳、运用已学过的知识总结菱形的特征.
学习过程:
一、自主学习:
自学课本例题以上的内容,完成下列问题:
1.如何从一个平行四边形中剪出一个菱形来？
？
菱形
平行四边形
的四边形叫做菱形,生活中的菱形有 .
2.按探究步骤剪下一个四边形.
①所得四边形为什么一定是菱形？
②菱形为什么是轴对称图形？
有对称轴.
图中相等的线段有:
图中相等的角有:
③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？自己完成证明.
性质:
证明:
二、课堂检测:
1.菱形的两条对角线长分别是12cm,16cm,它的周长等于 ,面积等于。
2.菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3:2,菱形的四个内角是 .
3.已知:菱形的周长是20cm,两个相邻的角的度数比为1:2,则较短的对角线长是。
4.已知:菱形的周长是52 cm,一条对角线长是24 cm,则它的面积是。
5．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（）．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
6.在菱形ABCD中,CE⊥AB,E为垂足,BC=2,BE=1,求菱形的周长和面积.
7.已知:如图,在菱形ABCD中,周长为8cm,∠BAD=1200 对角线AC,BD交于点O,求这个菱形的对角线长和面
积。
A
B
C D
O。
九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定教案(新版)北师大版
1.1.1菱形的性质学习目标了解菱形的基本性质，掌握其特征．学习难点掌握菱形的性质．教学过程一、复习平行四边形有何特征？如何识别一个四边形是平行四边形？在学生思考、交流的过程中，老师适时进行指导．二、创设问题情境，导入新知出示可伸缩的衣帽架实物．老师在演示的过程中提问：图中的基本图形你熟悉吗？学生大多回答是平行四边形，让一个同学用尺量出这个平行四边形的邻边的长度（发现邻边相等这个特性）接着老师告诉学生，这种邻边相等的平行四边形，与一个角是直角的平行四边形一样也是一种特殊的平行四边形，这是今天我们要研究的课题．教师板书：菱形．那究竟什么是菱形呢？学生在思考、交流中，老师适时地进行指导，把正确的定义板书在黑板上：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．这里的“平行四边形”不能写成“四边形”．“一组邻边相等的四边形，不一定是菱形”．这点务必加以强调．如果要用四边形下菱形的定义就应该是“四边都相等的四边形是菱形”．三、学生动手操作1．画一个△ABC，取BC的中点M，把△ABC绕着M，旋转180°后得一个△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC 拼成一个怎样的图形？（平行四边形）那么菱形也可以看作什么样的三角形通过绕着那一边的中点旋转180°后与原三角形拼成的？2．画一个等腰△ABC，取底边BC中点M，把△ABC绕着M旋转180•°后的三角形与原三角形拼成一个怎样的图形？（菱形）要说明它菱形，就应讲出根据来．•请一个同学说出根据：“它是邻边相等的平行四边形”．如图所示．3．观察图，思考：（1）图中有哪些三角形是等腰三角形？（2）图中有哪些直角三角形？在学生交流的基础教师板书：（1）△ABC，△A′BC，△ACA′，△ABA′都是等腰三角形．（2）△ACM，△CMA′，△ABM，△BMA′都是直角三角形．让学生想一想后继续操作．菱形是中心对称图形，这点大家是不会怀疑的，刚才的操作已经说明了这一点，•那么菱形是不是轴对称图形呢？•大家都知道菱形可以把等腰三角形绕着底边中点旋转180°后所得的三角形与原三角形拼成的．由于等腰三角形是轴对称图形，•所以我们也可以判断出菱形也是轴对称图形．请大家想一想：（1）直角△ACM，直角△CMA′，直角△ABM，直角△BMA′的形状、大小是否相同？（2）如何用剪刀的办法，得到一个菱形的纸片呢？如图所示．请大家按如下步骤操作：（1）将一张矩形纸对折再对折；（2）用尺在折后的矩形的一角上画一条直线；（3）用剪刀沿着这条线剪下，打开．你发现这是一个什么样的图形．（•如果在另一角画直线剪下的是两个等腰三角形要拼起来才可完成上面的四边形，究竟在哪一角画线，请思考后再动手．）根据以上的操作与思考，你发现菱形它有哪些性质吗？教师让学生用语言进行表达出来，用边、角、对角线的顺序来阐明．教师板书：菱形性质：（边）：对边平行、四边都相等．（角）：对角相等．（对角线）：对角线互相垂直平分，且平分各内角．由于菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一切性质，上述的对边平行、对边相等、对角相等、对角线互相平分，就是平行四边形的性质，而邻边相等、对角线互相垂直，是它与平行四边形不同的特殊性质．上述的菱形性质是两种性质的总和．同时菱形还是轴对称图形，它的对称轴有两条，是两条对角线所在的直线，它是中心对称图形，其对称中心，就是它两条对角线的交点．四、范例分析，加深理解例2 在菱形ABCD中，BAD=2∠B．如图所示．试说明△ABC是等边三角形．学生观察图形并对照条件，进行思考、交流．师生共同分析：要说明△ABC是等边三角形，可以从以下几条入手：（1）说明AB=BC=AC；（2）说明∠BAC=∠ACB=∠ABC；（3）说明△ABC中，有两个角都等于60°．从第一条途径出发：我们知道四边形ABCD是菱形，即可获得AB=BC，•现在只差AB=AC或BC=AC．要知道CB=AC，就要说明∠ABC=∠CAB；要知道BA=AC，就要说明∠ABC=∠ACB．由于AD∥BC，即可得到∠DAB+∠ABC=180°，故3∠ABC=180°，∠ABC=60°．那么∠BAD=120°．由于菱形对角线平分内角．故∠BAC=60°，即∠BAC=∠ABC=60°．那么AB=AC．这样就可以得到△ABC是等边三角形．从第二条途径出发：就要从三个角入手，上面分析已得到：∠BAC=∠ABC，由于BA=BC，故∠BAC=∠BCA．那么∠BAC=∠ABC=∠BCA．这样△ABC是等边三角形就可获得说明，从第三条途径出发，•第一条途径分析中已获得了．解：由于四边形ABCD是菱形，所以AB=BC，AD∥BC．即∠B+∠BAD=180°，∠BAC=∠BAC．又∠BAD=2∠ABC．所以3∠ABC=180°，即∠ABC=60°．因为∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，故∠BAC+∠BCA=120°．那么2∠BAC=120°．即∠BAC=60°，∠BCA=60°．因此三角形ABC为等边三角形．也可以说△ABC是一个角等于60°的等腰三角形，所以△ABC为等边三角形．五、随堂练习，巩固新知教材随堂练习六、全课小结，提高认识1．菱形有哪些特征？它与矩形的特征有何异同点？2．如何识别一个四边形是菱形？1.1.2菱形的判定学习目标1．经历菱形的判定定理的发现过程。
北师大版九年级数学上册第1章1.1菱形的性质与判定(3)教学设计
-各小组汇报讨论成果，教师进行点评和指导。
2.教学目标：
-培养学生的合作精神和团队意识，提高学生的沟通能力。
-通过小组讨论，使学生深入理解菱形的性质与判定方法，并能应用于实际问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：
-设计具有梯度、层次分明的习题，涵盖菱形的性质、判定方法以及相关计算。
-让学生感受菱形在生活中的广泛应用，培养学生的应用意识。
-激发学生对菱形性质与判定的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形称为菱形。
-菱形的性质：对角线互相垂直、对角线平一组对角、对角线长度关系等。-菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形等。
4.学会运用菱形的判定方法，判断一个四边形是否为菱形，并能熟练运用到实际问题中。
（二）过程与方法
1.通过实际操作，引导学生观察、探索、发现菱形的性质，培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
2.通过讲解、示范、练习，使学生掌握菱形的判定方法，提高学生的解题技巧和运用能力。
3.通过小组合作、讨论、交流，培养学生的合作精神和团队意识，提高学生的沟通能力。
-强调菱形在实际问题中的应用，培养学生的应用意识。
2.教学方法：
-通过提问、讨论等形式，引导学生自主总结菱形的相关知识。
-教师进行点评和补充，确保学生对本节课内容的全面掌握。
-鼓励学生提出疑问，为学生解答，消除学生的困惑。
五、作业布置
为了巩固学生对菱形的性质与判定的理解，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
2.学生对菱形判定方法的掌握情况：分析学生在判断一个四边形是否为菱形时，是否能够准确、快速地运用所学方法。
北师大版九年级数学上册《菱形的性质与判定》第3课时示范公开课教学设计
第一章特殊的平行四边形1 菱形的性质与判定第3课时一、教学目标1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.运用菱形知识解决具体问题，培养逻辑推理能力和演绎能力.3.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.4.体验数学活动来源于生活又服务于生活，体会菱形的图形美，提高学生的学习兴趣.二、教学重难点重点：理解并掌握菱形的面积公式.难点：运用菱形的性质定理与判定定理解决具体问题..三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：先提出问题让学生自由说一说，并填写表格，动画出示图形和符号语言.问题1：什么是菱形，菱形的性质有哪些？预设答案：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的性质：①具有平行四边形的所有性质，是轴对称图形②菱形的四条边都相等③菱形的对角线互相垂直且平分追问：菱形的判定方法有哪些？预设答案：菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形②四边都相等的四边形是菱形③对角线互相垂直的平行四边形是菱形【试一试】如图所示：在 ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：_________________ .添加方式2：_________________ .预设答案：方式1：一组邻边相等；方式2：AC⊥BD【合作探究】预设答案：求菜地的面积实际上是求菱形的面积.想一想：菱形的面积怎么求？预设答案：菱形是特殊的平行四边形，可以根据求平行四边形的面积方法来求.教师引导学生作出菱形另一边上的高，并交流反馈.预设答案：过点A作AE⊥BC于点ES菱形ABCD=底×高=BC·AE追问：你还有别的方法吗？教师提示学生，菱形的对角线具有什么样的关系，能否从对角线的角度进行探究.【思考】菱形的对角线互相垂直，能否利用对角线来计算菱形的面积呢？预设答案：每一条对角线将菱形分成两个全等的三角形.解：⊥四边形ABCD是菱形，⊥AC⊥BD,⊥S菱形ABCD=S⊥ABC+S⊥ADC=1122AC BO AC DO ⋅+⋅()1=21=2AC BO DO AC BD +⋅追问：你发现了什么？ 【归纳】求菱形面积的方法：菱形的面积=底×高菱形的面积=对角线乘积的一半.【典型例题】预设答案:重叠的部分ABCD是菱形.思考：说一说你的理由？预设答案：根据纸条的两长边互相平行得ABCD是平行四边形；再由纸条等宽得两条邻边上的高相等，进而利用平行四边形的面积得两邻边相等;从而可证ABCD是菱形.教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第9页。
北师大版九年级数学上册第一章第一部分 菱形的性质与判定教学设计(共3节)
北师大版九年级数学上册第一章第一部分菱形的性质与判定教学设计（共3节）一、教学目标1.了解菱形的定义和性质。
2.掌握菱形的判定方法。
3.能够灵活运用菱形的性质解决相关问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：菱形的定义和性质。
2.教学难点：菱形的判定方法。
三、教学准备1.教材：北师大版九年级数学上册。
2.教具：黑板、白板、彩色粉笔、直尺、量角器。
四、教学过程第一节：菱形的定义与性质1.导入（5分钟）–引入菱形的概念：请同学们想一想，什么是菱形？给出菱形的定义。
–引发思考：菱形和正方形有什么区别和联系？2.讲解（15分钟）–菱形的定义：四边形的四条边相等，相邻两边互相垂直，四个角相等的四边形为菱形。
–菱形的性质：•对角线互相垂直。
•对角线相等。
•对角线平分内外角。
3.操作（10分钟）–给出几个例子：让同学们观察并找出其中的菱形。
–利用直尺和量角器测量菱形的对角线长度和角度。
4.总结（5分钟）–提醒同学们记住菱形的定义和性质，并与正方形进行比较。
第二节：菱形的判定方法1.导入（5分钟）–复习上节课学习的内容：请同学们回答菱形的定义和性质是什么。
2.讲解（15分钟）–菱形的判定方法：•有一组对边相等，且相邻两边互相垂直的四边形是菱形。
•有一组对角线相等的四边形是菱形。
3.操作（10分钟）–给出一些四边形，让同学们根据判定条件判断其是否为菱形。
–给出一些菱形，让同学们找出其判定条件。
4.总结（5分钟）–强调菱形判定方法的重要性，同时提醒同学们要注意辨别和验证。
第三节：综合应用1.导入（5分钟）–复习上节课学习的内容：请同学们回答菱形的判定方法是什么。
2.讲解（15分钟）–利用菱形的性质解决问题的方法：•判断是否是菱形。
•利用菱形的对角线性质计算未知量。
•利用菱形的角度性质求解角度关系问题。
3.操练（10分钟）–给出一些练习题，让同学们利用菱形的性质解答问题。
4.总结（5分钟）–回顾本章学习的内容，并与同学们共同总结菱形的性质和判定方法。
北师大版九年级上数学第一章-特殊的平行四边形-1.1菱形的性质与判定(3)教案
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与其中，但我发现部分学生在讨论过程中还是显得有些拘谨，可能是因为他们对菱形的知识点还不够熟练。在今后的教学中，我应鼓励学生多发表自己的看法，增强他们的自信心。
关于学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论菱形在实际生活中的应用时，能够提出很多有趣的观点。但在分享成果时，有些学生表达不够清晰，这可能与他们的语言表达能力有关。在今后的教学中，我应加强学生的语言表达能力训练，提高他们的表述能力。
最后，在总结回顾环节，学生对菱形的性质与判定方法有了更深刻的认识，但我也发现部分学生还存在疑问。为此，我计划在课后加强个别辅导，帮助这部分学生巩固知识点。
1.教学重点
（1）菱形的性质：熟练掌握菱形的对角线互相垂直、对角线平分一组对角、对角线分成的四个三角形面积相等这三个性质，并能灵活运用。
举例：要求学生在纸上画出菱形，并用直尺和量角器验证对角线互相垂直的性质。
（2）菱形的判定：理解和掌握菱形的定义、四边相等、对角线互相垂直平分的四边形是菱形这三个判定方法。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“菱形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级上册数学《菱形的性质与判定》特殊平行四边形教学说课(第3课时)
D
A
C
B
例2、如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对
角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别
精确到0.01m和0.1m2 ）.
A
解：∵花坛ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC=30°.
B
O
D
在R
BO=(m)，
C
AC=2AO=20(m)，BD=2BO= ≈ 34.64(m).
证明：（1）∵E是AD的中点 ，∴AE＝DE ∵AF∥BC ， ∴∠AFE＝∠DBE 在△AEF和△DEB中： ∴△AEF≌△DEB（AA ∴AF＝DB ，∴四边形ADCF是平行四边形 ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点 ， ∴AD＝CD＝ BC ∴四边形ADCF是菱形；
A
F
E
B
D
C
例3、如图，在R （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
B
∵∠BAD=60°，
O
A
C
∴△ABD是等边三角形.
D
∴AB = BD = 6.
在R
B
OA2+OB2=AB2，
O
A
C
D ∴OA = AB2 OB2 = 62 32 = 3 3.
∴AC=2OA= 6 3 （菱形的对角线相互平分）.
课堂小结
菱形的面积
面积=底×高=两条对角线 乘积的一半
菱形的性质 与判定的综 合性问题
第一章 特殊平行四边形
菱形的性质与判定
第3课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第3课时 菱形的性质与判定的应用教案 (新
第3课时菱形的性质与判定的应用1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．重点菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法．难点等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．一、复习导入1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.(1)求AD，DC，BC的长．(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC＝120°，求AC的长．图①图②2．如图②，在▱ABCD中添加一个条件使其成为菱形．添加方式1：________________________________________________________________________.添加方式2：________________________________________________________________________.二、探究新知1．课件出示：如图，四边形ABCD 是边长为13 cm 的菱形，其中对角线BD 长10 cm .求：(1)对角线AC 的长度；(2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AED ＝90°(菱形的对角线互相垂直)，DE ＝12BD ＝12×10＝5(cm )(菱形的对角线互相平分)． ∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：AE ＝AD 2－DE 2＝132－52＝12(cm )．∴AC ＝2AE ＝2×12＝24(cm )(菱形的对角线互相平分)．(2)S 菱形ABCD ＝ S △ABD ＋ S △CBD＝2×S △ABD＝2×12×BD×AE ＝BD×AE＝10×12＝120( cm 2)．注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规X ；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点．2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：两X 等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD 是菱形吗？为什么？分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形．三、举例分析例(变式训练)如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12 cm，AC长16 cm.求：(1)菱形的边长；(2)菱形一条边上的高．分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高．教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路．四、练习巩固1．教材第9页“随堂练习”第1，2题．2．教材第10页习题1.3第5题．五、小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？六、课外作业1．教材第9页习题1.3第1～4题．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规X答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的．。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.1.1 菱形的性质与判定教案 (新版)北师大版
P26 1,4,15 题 选做 （写作业本上） 2.《全品学练考》作业手册
P1-2 1-13 必做
素养提升部分
选做
板书设计：
菱形的性质和判定（一）
（修改人：
）
一、 菱形的定义 二、 菱形的性质
1. 菱形具有平行四边形的所有性质； 2. 特殊性：
菱形的四条边相等（边） 菱形的对角线互相垂直 菱形的对角线平分每一组对角 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
支架式教学法，教师引导
准备平行四边形，菱形纸片
课前作业
1. 准备一张菱形纸片，并搜集菱形的相关图片； 复习回顾平行四边形的相关知识.
教学 环节
教学过程 课堂合作交流
二次备课
（修改人：
）
1. 通过观察菱形相关图片，和一般的平行四边形做比较后由观察对
比得出菱形的定义，强调菱形定义中必须同时具备两个条件，强
∴AB = CD， AD= BC . 又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD （2）∵AB=AD
∴△ABD 是等腰三角形 又∵四边形 ABCD 是菱形
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形 ABD 中，
∵OB=OD ∴AO⊥BD 即 AC⊥BD
中小学最新教育资料
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（在上一环节观察，测量，猜测的基础上，学生较易得出结论。但结 论是否真的正确，必须经过严谨的证明。该环节旨在训练学生规范写 出推理过程。教师要指出，经过严密论证过的命题才能作为定理运用。） 课中作业 1 分钟时间读背菱形定义及性质，提问检测学生理解掌握情况。
化定义
环
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（板书）
节
并引导板书菱形定义的几何语言表述。
北师版九年级数学上册教案：第1章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定(3课时)
1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质一、基本目标1．认识菱形,理解菱形的基本概念．2．理解菱形的性质,并能对菱形的性质进行证明．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握菱形的性质．【教学难点】用菱形的性质解决问题．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P4的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形具有平行四边形的一切性质．3．菱形是轴对称图形,它的对角线所在的直线就是它的对称轴,它有2条对称轴,两条对称轴互相垂直．4．菱形的四条边都相等.5．菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,已知菱形ABCD的周长为12,∠A＝60°,则BD的长为________.【互动探索】(引发学生思考)已知菱形ABCD的周长,结合菱形的性质可以得到哪些结论？【分析】∵菱形ABCD的周长为12,∴菱形ABCD的边长为12÷4＝3.∵∠A＝60°,AD＝AB,∴△ABD是等边三角形,∴AB＝BD,∴BD＝3.【答案】3【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质,且四条边都相等是菱形特有的性质,该性质经常用来构造等腰三角形解题．【例2】如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC＝8,BD＝6,求菱形的周长．【互动探索】(引发学生思考)由菱形的性质,要求周长,需要得到什么量？结合菱形对角线的性质,能得到△AOD是什么特殊三角形？【解答】∵四边形ABCD是菱形,AC＝8,BD＝6,∴AO＝OC＝4,BO＝OD＝3,AC⊥BD,AD＝DC＝BC＝AB,∴∠AOD＝90°,∴AD＝AO2＋DO2＝42＋32＝5,∴菱形ABCD的周长为5×4＝20.【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的对角线互相垂直,把菱形分成四个全等的直角三角形,所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．活动2巩固练习(学生独学)1．如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC2．如图,在菱形ABCD中,AC＝12,BD＝16,则菱形的边长为10.3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm,则菱形的面积为23cm2.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在平面直角坐标系中,菱形OACB的顶点O在原点,点C的坐标为(4,0),点B 的纵坐标是－1,则顶点A坐标是________.【互动探索】观察发现OC为一条对角线,连结AB能得另一条对角线．要确定点A的坐标,需要确定横坐标和纵坐标．【分析】连结AB交OC于点D.∵四边形OACB是菱形,∴AB⊥OC,OD＝CD,AD＝BD.∵点C的坐标是(4,0),点B的纵坐标是－1,∴OC＝4,BD＝AD＝1,∴OD＝CD＝2,∴点A的坐标为(2,1)．【答案】(2,1)【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的对角线互相垂直,在平面坐标系问题中,如果其中一条对角线在坐标轴上,作出另一条对角线,那么它与坐标轴垂直,这为我们求点的坐标提供了重要条件．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！第2课时菱形的判定一、基本目标1．掌握菱形的判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算．2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．二、重难点目标【教学重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法．【教学难点】明确推理证明的条件和结论,能用数学语言正确表达．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P7的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．3．四边相等的四边形是菱形．4．判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形．()(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．()(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形．()(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．()环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD,AC与BD互相平分B．AB＝BC＝CD＝DAC．AB＝BC,AD＝CD,AC⊥BDD．AB＝CD,AD＝BC,AC⊥BD【互动探索】(引发学生思考)迄今学过的菱形判定方法有哪些？【分析】选项分析A ∵AC与BD互相平分,∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD,∴四边形ABCD 为菱形,故正确B∵AB＝BC＝CD＝DA,∴四边形ABCD为菱形,故正确C AB＝BC,AD＝CD,AC⊥BD,不能判定四边形ABCD是平行四边形,故错误D∵AB ＝CD ,AD ＝BC ,∴四边形ABCD 为平行四边形．∵AC ⊥BD ,∴四边形ABCD 为菱形,故正确 【答案】C【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的判定方法有多种,可以从边、对角线、对角等多角度进行判断．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在□ABCD 中,添加下列条件不能判定□ABCD 是菱形的是( D )A ．AB ＝BC B ．AC ⊥BD C ．BD 平分∠ABCD ．AC ＝BD2．如图,在□ABCD 中,AC ⊥BD ,E 为AB 中点,若OE ＝3,则□ABCD 的周长是24.3．如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,DE ⊥AB ,DF ⊥BC ,垂足分别是E 、F ,并且DE ＝DF .求证：(1)△ADE ≌△CDF ； (2)四边形ABCD 是菱形．证明：(1)∵DE ⊥AB ,DF ⊥BC ,∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A ＝∠C .∵在△AED 和△CFD 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CFD ，∠A ＝∠C ，DE ＝DF ，∴△AED ≌△CFD (AAS)．(2)∵△AED ≌△CFD ,∴AD ＝CD .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是菱形．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,EF 垂直平分AD 交AB 于点E ,交AC 于点F .求证：四边形AEDF 是菱形．【互动探索】要证明四边形AEDF 是菱形,结合已知条件“EF 垂直平分AD 交AB 于点E ”,因此需先证明四边形AEDF 是平行四边形,从而可证得结论．【证明】∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD ＝∠CAD . 又∵EF ⊥AD ,∴∠AOE ＝∠AOF ＝90°. ∵在△AEO 和△AFO 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠F AO ，AO ＝AO ，∠AOE ＝∠AOF ，∴△AEO ≌△AFO (ASA),∴EO ＝FO . ∵EF 垂直平分AD , ∴EF 、AD 相互平分,∴四边形AEDF 是平行四边形．又∵EF ⊥AD ,∴平行四边形AEDF 为菱形．【互动总结】(学生总结,老师点评)在几何题中,如果垂直平分线段恰为四边形的对角线,那么应考虑先证这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直得菱形．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！第3课时 菱形的性质与判定的应用一、基本目标1．掌握菱形面积的两种计算方法．2．经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会数形结合、转化等思想方法．二、重难点目标 【教学重点】菱形面积计算的特殊方法——对角线计算法． 【教学难点】理解菱形面积计算的特殊方法的推导．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P8～P9的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】如图,在菱形ABCD 中,∠ADC ＝120°,AB ＝6.(1)AD ＝6,DC ＝6,BC ＝6.(2)对角线AC 与BD 的位置关系是互相垂直平分. (3)AC ＝63,S 菱形ABCD ＝18 3. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知菱形两条对角线的长分别为 5 cm 和12 cm,则这个菱形的面积是________cm 2.【互动探索】(引发学生思考)菱形面积的计算方法有哪些？ 【分析】菱形的面积为12×12×5＝30(cm 2)．【答案】30【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形面积的常用两种计算方法：(方法一)S 菱形＝底×高；(方法二)S 菱形＝12×两条对角线的乘积．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,菱形ABCD 的周长为40 cm,它的一条对角线BD 长10 cm,则∠ABC ＝120°,AC ＝103cm.2．如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC 和BD 相交于点O ,AC ＝4 cm,BD ＝8 cm,则这个菱形的面积是16cm 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,在菱形ABCD 中,点O 为对角线AC 与BD 的交点,且在△AOB 中,OA ＝12,OB ＝5,求菱形ABCD 两对边的距离h .【互动探索】求菱形ABCD 两对边的距离实际上是求菱形的高,已知菱形对角线的相关长,怎样建立等式解决问题？【解答】∵菱形的对角线互相垂直,∴AC ⊥BD .在Rt △AOB 中,OA ＝12,OB ＝5,由勾股定理,得AB ＝13.∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×12×5＝30,∴S 菱形ABCD ＝4S △AOB ＝4×30＝120.又∵菱形两组对边的距离相等,∴S 菱形ABCD ＝AB ·h ＝13h ,∴13h ＝120,解得h ＝12013.【互动总结】(学生总结,老师点评)菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边之间的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长乘积的一半．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)S 菱形＝底×高＝12×两条对角线的乘积请完成本课时对应训练！。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.1.3 菱形的性质与判定教案 (新版)北师大版
菱形的性质和判定
质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法
E
让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成
1)
三、拓展提高
图
规范写出辅助线作法，分析出关键信息，再让学生独立写出证明过
ABC=
为
的每一个题目、每一句话，不要轻易舍弃，同时也要重视学情，根据实际情况对教材进行合理搭配，比
者加速，一是针对学困生的补读帮困，两个环节的设置兼顾到了每一个层次的学生，让课堂效率进一步。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形全部教案
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定第1课时菱形的定义和性质1．经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系．2．体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理的能力．3．在证明菱形的性质和运用性质定理解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力．重点理解并掌握菱形的概念与性质定理．难点菱形性质定理的证明及运用．一、情境导入课件出示教材第2页情境图，提出问题：你能从这几幅图中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生：图片中有八年级学过的平行四边形．教师：请同学们观察，这些平行四边形与下图的平行四边形ABCD相比较，还有什么不同点吗？学生：这些平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等．教师：同学们观察得很仔细．像这样，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．二、探究新知1．菱形的性质教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分．教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流．学生讨论交流后，教师点评．教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？(2)菱形中有哪些相等的线段？学生分小组进行折纸活动后讨论交流，回答问题，教师点评，并进一步讲解：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴．对称轴是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直．②菱形的四条边相等．2．证明菱形的性质教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．课件出示：已知：如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：(1)AB ＝BC ＝CD ＝AD ；(2)AC ⊥BD.分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等． ②因为菱形是平行四边形，所以点O 是对角线AC 与BD 的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论．学生写出证明过程，进行组内交流对比，教师点评． 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC(菱形的对边相等)． 又∵AB ＝AD ，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD. (2)∵AB ＝AD ，∴△ABD 是等腰三角形． 又∵四边形ABCD 是菱形，∴OB ＝OD(菱形的对角线互相平分)． 在等腰三角形ABD 中， ∵OB ＝OD ， ∴AO ⊥BD ，即AC ⊥BD. 三、举例分析例 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O, ∠BAD ＝60°，BD ＝6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长．分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，所以可以得到等边△ABD ，BD ＝6，菱形的边长也是6.②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB ；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB ＝3，根据勾股定理可以求出OA 的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC ＝2OA ，求出AC 的长．解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD(菱形的四条边相等)， AC ⊥BD(菱形的对角线互相垂直)，OB ＝OD ＝12BD ＝12×6 ＝3(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD 中，∵∠BAD ＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝6.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，∴OA＝AB2－OB2＝62－32＝3 3.∴AC＝2OA＝63(菱形的对角线互相平分)．四、练习巩固教材第4页“随堂练习”．五、小结1．什么叫做菱形？2．菱形有哪些性质？六、课外作业教材第4～5页习题1.1第1～4题．本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质．学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节课的知识基础．关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上进一步强化条件得到的．课堂上通过折纸活动，让学生直观地感知图形的特点，激发学生学习的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质．在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平．第2课时菱形的判定1．探索证明菱形的判定方法，掌握证明的基本要求、方法及思路．2．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．3．经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理的能力．4．在具体问题的证明过程中，有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想，提高学生解决问题的能力．重点菱形判定定理的证明及应用．难点菱形的判定方法的综合运用．一、复习导入1．菱形的定义是什么？2．菱形有哪些性质？教师：同学们对菱形的性质都掌握得很好，那么怎样判定一个四边形是菱形呢？这就是我们这节课所要研究的内容．二、探究新知1．菱形的判定方法一教师：根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这可以作为菱形的第一种判定方法．2．菱形的判定方法二课件出示：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．教师转动木条，提出问题：(1)转动木条，这个四边形总有什么特征？(2)继续转动木条，什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形？引导学生猜想：当木条互相垂直时，平行四边形的一组邻边相等，此时四边形为菱形．教师：你能证明你的猜想吗？学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ⊥BD. 求证： ▱ABCD 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC. 又∵AC ⊥BD ，∴BD 是线段AC 的垂直平分线． ∴BA ＝BC.∴四边形ABCD 是菱形(菱形的定义)． 3．菱形的判定方法三教师：已知线段AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD ，使AC 为菱形的一条对角线吗？学生独立尝试作图，教师点评，并进一步讲解用尺规作菱形的方法：如图，分别以A ，C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B ，D ，依次连接A ，B ，C ，D.教师：你能说明得到的四边形为什么是菱形吗？学生小组讨论交流，找到原因：该四边形四边相等． 教师：你能证明四边相等的四边形是菱形吗？ 学生独立完成，指名板演，教师点评．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA. 求证： 四边形ABCD 是菱形．证明：∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义).教师：你能用折纸等办法得到一个菱形吗？学生动手操作，教师巡视指导．三、举例分析例已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，OA＝2，OB＝1.求证：▱ABCD是菱形．思考：(1)观察题目中的数据，AB，OA，OB有什么数量关系？(2)利用勾股定理的逆定理能否判定△ABO是直角三角形？(3)如果可以得到直角三角形，那么利用菱形的哪一个判定定理进行判断？四、练习巩固1．教材第7页“随堂练习”．2．教材第7页习题1.2第1题．五、小结1．怎样判定一个四边形是菱形？2．通过本节课的学习，你还学到了哪些知识？六、课外作业教材第7页习题1.2第2，3题．在本节课中，课前复习为本节课的探究作了有效的铺垫．学生资源的灵活运用提高了学生参与探究的兴趣，证明思路的分析过程让学生体会了逆向思维、一题多解等数学思想．另外，学生通过经历试验—猜想—证明—应用的探索过程提高了自身的科学素养．第3课时菱形的性质与判定的应用1．能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法．2．经历菱形的性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法．重点菱形的性质定理与判定定理的综合应用及菱形面积的求法．难点等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用．一、复习导入1．如图①，在菱形ABCD中，AB＝6.(1)求AD，DC，BC的长．(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC ＝120°，求AC 的长．图①图②2．如图②，在▱ABCD 中添加一个条件使其成为菱形．添加方式1：________________________________________________________________________.添加方式2：________________________________________________________________________.二、探究新知 1．课件出示：如图，四边形ABCD 是边长为13 cm 的菱形，其中对角线BD 长10 cm .求：(1)对角线AC 的长度； (2)菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AED ＝90°(菱形的对角线互相垂直)， DE ＝12BD ＝12×10＝5(cm )(菱形的对角线互相平分)．∴在Rt △ADE 中，由勾股定理可得：AE ＝AD 2－DE 2＝132－52＝12(cm )．∴AC ＝2AE ＝2×12＝24(cm )(菱形的对角线互相平分)． (2)S 菱形ABCD ＝ S △ABD ＋ S △CBD ＝2×S △ABD ＝2×12×BD ×AE＝BD ×AE ＝10×12 ＝120( cm 2)．注意：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论、交流、点拨后学生能接受这种方法．在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学生的思考，进而突破这一教学难点．2．课件出示教材第87页图1－7，提出问题：两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？分析：由图可知，重叠部分为平行四边形，且相邻的两边对应的高相等，由平行四边形的面积，可证平行四边形ABCD为菱形．三、举例分析例(变式训练)如上图，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长12 cm，AC长16 cm.求：(1)菱形的边长；(2)菱形一条边上的高．分析：灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积进而求出一边上的高．教师：同学们，在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么感悟或经验？教师引导学生总结经验，帮助学生形成解题思路．四、练习巩固1．教材第9页“随堂练习”第1，2题．2．教材第10页习题1.3第5题．五、小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑问？六、课外作业1．教材第9页习题1.3第1～4题．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．本节课的教学内容是菱形的性质定理与判定定理的综合运用．通过课前复习，加深学生对菱形的性质定理及判定定理的记忆．在教学中，通过例题讲解，帮助学生总结经验并形成解题思路．学生对于几何题的规范答题是在课堂上需要重点强调的，这是培养学生严谨细致的数学素养的一个手段．同时，在教学中应注意学生解题的反思过程，例如由例题及变式训练完成反思过程后，学生的思维得到了升华，同时对于同类题目的突破方式有了初步的框架，能促进以后的学习，从本质上讲学习就是在学生不断反思中完成的．2矩形的性质与判定第1课时矩形的定义和性质1．了解矩形的概念，理解并掌握矩形的性质定理．2．经历探索矩形的概念和性质定理的过程，发展学生合情推理的意识．3．培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值．重点矩形的性质定理的理解及应用． 难点矩形的性质定理的应用．一、情境导入课件出示教材第11页情境图，提出问题： 这三幅图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？学生讨论交流后汇报，教师点评，并进一步讲解：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 教师：你还能举出一些生活中矩形的例子吗？ 二、探究新知1．探究矩形的性质定理教师出示一个平行四边形活动框架，完成以下探究．(1)改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？学生：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有的性质． (2)用橡皮筋做出两条对角线，这两条对角线有什么关系？ 学生：橡皮筋的长度相等，因此矩形的两条对角线相等． (3)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 学生：矩形是轴对称图形，它有2条对称轴．(4)你认为矩形还具有哪些特殊性质？学生：矩形的四个角都是直角，对角线相等． 教师：你能证明这些结论吗？学生独立完成，指名板演，教师点评，得到如下定理：矩形的四个角都是直角． 矩形的对角线相等．2．探究直角三角形的性质定理课件出示教材第12页图1－9，提出问题：如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，那么BE 是Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段？它与AC 有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？学生观察、思考后发现：AE ＝12AC ，BE ＝12BD ，BE 是Rt △ABC 的中线．由此归纳直角三角形的一个性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 三、举例分析例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4 cm ，求这个矩形对角线的长．分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA ＝OB ，由于∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，则OA ＝AB ＝4 cm ，∴AC ＝BD ＝2OA ＝8 cm .例2 如图，在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是△ABC 的高，E 是AB 的中点，求证：DE ＝12AC.分析：本题可从E 是AB 的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．可以取BC 的中点F ，也可以取AC 的中点G.学生分四人小组，合作探究不同的证法．证法一：取BC 的中点F ，连接EF ，DF ，如图①. ∵E 为AB 中点，∴EF ∥AC.∴∠FEB ＝∠A.∵∠A ＝2∠B ，∴∠FEB ＝2∠B.∵DF ＝12BC ＝BF ，∴∠1＝∠B.∴∠FEB ＝2∠B ＝2∠1＝∠1＋∠2.∴∠1＝∠2.∴DE ＝EF ＝12AC.证法二：取AC 的中点G ，连接DG ，EG ，如图②. ∵CD 是△ABC 的高，∴在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝AG .∵E 是AB 的中点，∴GE ∥BC.∴∠1＝∠B. ∴∠GDA ＝∠A ＝2∠B ＝2∠1.又∠GDA ＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝2∠1. ∴∠2＝∠1.∴DE ＝DG ＝12AC.四、练习巩固1．教材第13页“随堂练习”．2．如图，从矩形ABCD 的顶点C 作对角线BD 的垂线与∠BAD 的平分线相交于点E.求证：AC ＝CE.分析：要证AC ＝CE ，可以考虑证明∠E ＝∠CAE.∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠BAE ，且∠CAE ＝∠DAE －∠DAC.另外一个条件是CE⊥BD，过点A作AF⊥BD于点F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE＝∠BAE－∠FAB.现在只要证明∠BAF＝∠DAC即可，而实际上，∠BAF ＝∠BDA＝∠DAC，问题迎刃而解．五、小结1．什么叫矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形有几条对称轴？六、课外作业教材第13～14页习题1.4第1～4题．本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究完成，提高学生的探索创新思维和创造能力．首先，从矩形的定义和平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望．教学过程中，先利用平行四边形活动框架，让学生通过观察、测量、思考、讨论等活动，得出矩形的性质．在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识．再引导学生进行推理证明及应用，通过探索证明，发展了学生的思维能力，帮助他们在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质定理，体验数学学习过程中的探索性、挑战性以及推理的严谨性．第2课时矩形的判定1．理解和掌握矩形的判定定理．2．经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力．3．通过对比已学的知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法．重点理解和掌握矩形的判定定理．难点矩形的判定定理的应用．一、情境导入课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形活动框架．用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？二、探究新知1．矩形的判定定理1根据上面的实践活动提出问题：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？学生讨论交流后回答，教师点评，并归纳：矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形的判定定理1的证明过程：(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；(3)请学生交流大体思路；(4)用规范的数学语言写出证明过程；(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．2．矩形的判定定理2教师：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．学生讨论交流后回答，教师点评，并引导学生归纳：矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2的证明过程：(1)学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；(2)对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；(3)请学生交流大体思路；(4)用规范的数学语言写出证明过程；(5)同学之间进行交流，找出自己还存在的问题．三、举例分析例1实际问题：(1)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？(2)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？(3)如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是矩形？学生分小组讨论后回答，教师点评，并总结：先利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明是平行四边形，再由“对角线相等的平行四边形是矩形”得证．例2如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB ＝4，求▱ABCD的面积．学生独立完成，指名板演，教师点评．四、练习巩固1．教材第16页“随堂练习”．2. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, CM∥BD，DM∥AC.求证：四边形OCMD是矩形．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．矩形的判定定理有哪些？六、课外作业教材第16页习题1.5第1～3题．对于本节课的知识，不能机械地照搬教材内容，而应该对教材内容进行再加工，灵活运用，使教材内容得到升华．课堂是学生展示自己的一个舞台，在课堂教学中，给予学生充分的时间和空间展示自己，不仅有利于提高学生学习的积极性，更有利于教师发现学生的独到见解和新思维、新想法，同时还能发现学生存在的问题，这对于课堂教学是非常有利的．几何教学对学生想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有些学生可能要差一点，课堂教学不能过急．此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法．还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生．第3课时矩形的性质与判定的应用1．能够运用矩形的性质定理和判定定理解决问题．2．经历矩形的性质与判定的应用过程，发展学生的推理论证能力．3．通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学的严谨性．重点矩形的性质定理与判定定理的应用．难点灵活地运用矩形的性质定理与判定定理解决问题．一、复习导入1．如图①，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，则∠DAO＝__________，AC＝__________ cm，S矩形ABCD＝__________ cm2.2. 如图②，四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件________________，可使它成为矩形．二、探究新知课件出示：如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．学生小组合作完成本题的求解，教师点评并板书：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO ＝BO ＝DO ＝12BD(矩形的对角线相等且互相平分)，∠BAD ＝90°(矩形的四个角都是直角)． ∵ED ＝3BE ， ∴BE ＝OE.又∵ AE ⊥BD ，∴AB ＝AO.∴AB ＝AO ＝BO.即 △ABO 是等边三角形． ∴∠ABO ＝60°.∴∠ADB ＝90°－∠ABO ＝30°. 在Rt △AED 中， ∵∠ADE ＝30°， ∴AE ＝12AD ＝12×6＝3.注意：本题的解法不唯一，采取小组合作时，应当鼓励学生提出自己不同的意见． 三、举例分析例 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形．证明：∵AD 平分∠BAC ，AN 平分∠CAM ， ∴∠CAD ＝12∠BAC ，∠CAN ＝12∠CAM.∴∠DAE ＝∠CAD ＋∠CAN ＝12(∠BAC ＋∠CAM)＝12×180°＝90°.在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线， ∴AD ⊥BC.∴∠ADC ＝90°. 又∵CE ⊥AN ，∴∠CEA ＝90°.∴四边形ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． 四、练习巩固1．在上一题中，条件不变，连接DE ，交AC 于点F(如图①)． (1)试判断四边形ABDE 的形状，并证明你的结论． (2)线段DF 与AB 有怎样的关系？请证明你的结论．图①2．如图②，四边形ABCD是由两个全等的等边△ABD和△CBD组成，点M，N分别是BC和AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑问？六、课外作业教材第18～19页习题1.6第1～5题．的培养提到首位，达到本节课所要完成的真正目标．3正方形的性质与判定第1课时正方形的定义和性质1．理解正方形的概念和性质定理，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．2．在探索正方形的性质定理的过程中，发展学生的合情推理能力．3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性．重点理解正方形的定义和性质．难点选择适当的方法解决有关正方形的问题．一、情境导入教师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候，我们往往会先折一张正方形的纸片．那么大家能用一张长方形的纸片折出一个正方形吗？学生动手操作，引导学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．教师：结合菱形和矩形的定义，想一想，什么样的四边形是正方形？学生思考后回答，教师点评，并归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．说明：其定义包括了两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)；②有一个角是直角的平行四边形(矩形)．所以说正方形既是菱形又是矩形．教师：这节课我们就来深入地了解正方形．(板书课题)二、探究新知教师：正方形都具有哪些性质呢？学生：由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．教师：你能详细说一说正方形的性质吗？学生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．由学生的回答归纳出：正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分．教师：同学们能尝试完成这两个定理的证明吗？学生独立完成，并相互交流，教师点评．教师：正方形有几条对称轴？学生思考或者画图验证．三、举例分析例1如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF.BE 与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE ＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC，∠BCE ＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．∴∠DCF ＝180°－∠ BCE ＝180°－90°＝90°.∴∠BCE ＝∠ DCF.又∵ CE ＝CF，∴△BCE ≌△DCF.∴BE ＝DF.(2)延长BE 交DF 于点M(如图)．∵△BCE ≌△DCF，∴∠CBE ＝∠ CDF.∵∠DCF ＝90°，∴∠CDF ＋∠ F ＝90°.∴∠CBE ＋∠ F ＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.例2平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．学生尝试画图，教师点评，并进一步讲解，课件出示如下图：四、练习巩固1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？。
北师大版九年级上数学第一章-特殊的平行四边形-1.1菱形的性质与判定(3)教案
北师大版九年级上数学第一章 特殊平行四边形
课题
1．1 菱形的性质与判定（3）
1.知识与技能目标
能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的 求法。
教学
2.过程与方法目标
目标
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
题：
目入手，不会显得
那么古板枯燥，不
仅能回顾相关知
识而且能激发学
生学习兴趣。
(1)其余三条边 AD、DC、BC 的长度分别是多少？
(2)对角线 AC 与 BD 有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求 AC 的长。
2. 如图 2 所示：在□ABCD 中添加一个条件使其成为菱 形：
添加方式 1：
知者加速 2：已知：如图 10，在 Rt△ABC=90°，∠BAC=60°，BC 的垂直平分线分别 交 BC 和 AB 于点 D、E，点 F 在 DE 延长线上，且 AF=CE,求证：四边形 ACEF 是菱形.
第五环节：课堂小结
内容：通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以下三个方面进行 总结：知识收获、方法收获、关注问题。总结完成后请小组内进行交流。最后教师应对本
(1)菱形的边长；
(2)求菱形一条边上的高。
3.知者加速与补读帮困：
知者加速 1：已知菱形的周长为 40cm，一条对角线长为
16cm，则这个菱形的面积是
cm2.
第三环节：拓展提高
很多学生在玩
耍的时候经常玩
1.如图 4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 纸条，学生非常熟
北师大版九年级上数学第一章特殊的平行四边形1.1菱形的性质与判定(3)教案
北师大版九年级上数学第一章特别的平行四边形课题 1.1 菱形的性质与判断 3 讲课时间主备人讲课人班级审查人目学习目标1．理解菱形的定义，掌握菱形的性质和判断；2．能运用菱形的性质和判断进行简单的计算与证明标导掌握矩形及直角三角形斜边上中线的性质定理，会用定学习要点理进行相关的计算与证明。
航【课前预习】Ⅰ.菱形两条对角线、边长之间的关系：1.如下图，在菱形ABCD中，两条对角线 AC＝6，BD＝8，则：①此菱形的边长为．周长为．②此菱形的面积为．③此菱形对角线的交点 O 到 AB 的距离为．第一阶段④菱形内部 (包含界限 )任取一点 P，使△ACP的面积大于 6 cm2的概预教案率为．2.已知菱形的边长是 5cm，一条对角线长为 8cm，则另一条对角线长为 ______cm．3．菱形 ABCD的周长为 40cm，两条对角线 AC:BD=4:3，那么对角线AC=_____cm，BD=_____cm．4．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为．合作研究：有一个内角为 60°的菱形：1.如图如下图，在菱形 ABCD中，若 AB＝6，∠ DAC＝60°则：①BD＝．②AC＝．③S 菱形ABCD＝．概括：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于；长的对角线等于．2.菱形的两邻角之比为1:2，边长为 2，则菱形的面积为 __________．第二阶段教教案精讲点拨：3.已知：如图，菱形 ABCD中，∠ B=60°， AB=4，则以 AC 为边长的正方形ACEF的周长为4． (11 南京 )如图，菱形ABCD的边长是 2 ㎝， E 是 AB 中点，且DE⊥ AB，则S 菱形ABCD=cm2．5． (10 荷泽 ) 如图，菱形 ABCD中，∠ B＝ 60°， AB＝ 2 ㎝， E、 F 分别是BC、 CD 的中点，连接 AE、 EF、 AF，则△ AEF的周长为 cm．第3题图第4题图第5题图第二阶段教教案【当堂达标】已知：如图，AD 均分∠ BAC， DE∥AB，DF∥AC．试判断四边形AFED 的形状，并加以证明．第三阶段检测案知识梳理 1：菱形的定义：菱形的性质：（边）（角）（对角线）（对称性）菱形的面积等于．知识梳理 2：如图，小聪在作线段 AB 的垂直均分线时，他是这样操作的：分别以A和 B为圆心，大于 1,2AB的长为半径画弧，两弧订交于 C、D，则直线 CD 即为所求．依据他的作图方法可知四边形形，你判断的原因是：．概括：的平行四边形是菱形的四边形是菱形ADBC必定是．．．课后反省。
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第一章《特殊平行四边形》
《菱形的性质与判定》(第3课时)
【教学目标】
1.知识与技能
（1）. 理解菱形的定义， 掌握菱形的性质和判定
（2）. 能运用菱形的性质和判定进行简单的计算与证明．
2.过程与方法
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3.情感态度和价值观
在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过 小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
【教学重点】
菱形的性质、判定的理解和掌握
【教学难点】
菱形的性质、判定的综合应用.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、复习引入
（1）菱形的定义；（2）菱形的性质；（3）菱形的判定；
二、探究新知
1.菱形的周长的计算公式
（1）菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关
系？ （两个全等的等腰三角形）
（2）菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？
（四个全等的直角三角形）
2.活动内容：菱形面积的计算
（1）尝试: 已知菱形的周长是12cm,一边上的高是6cm ，它的边长是____cm,面积是_______cm 2 菱形的周长=4×边长
（2）.如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm. 求 (1)对角线AC的长度； (2)
菱形ABCD的面积。
处理方式：先留给学生5分钟的时间自行思考，然后小组之间交流，最后找学生代表发言.在处理这道例题时，教师可引导学生从以下三个方面来分析：①审清题意，如何求平行四边形的面积，菱形是不是平行四边形？需要求那些量；②菱形对角线有哪些性质？③注意板书的规范性。
在讲解时教师可设置问题串来引导学生分解难点：
（1）如何求平行四边形的面积？
（2）菱形的对角线有什么性质？如应用勾股定理？
（3）菱形面积如何分割成直角三角形计算？三角形面积如何计算？
（4）谁能规范的写出求解过程？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的关键问题：
一般菱形求出底边和高的前提下，直接，S菱形=底×高
知道对角线长度可以利用菱形对角线的性质,在直角三角形中应用勾股定理,分割成两个或者四个直角三角形求整个菱形的面积,并让学生展示解答过程.
学生分析后展示解答过程：
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相较于点E
∴BO＝BD＝×10＝5cm(菱形的对角线互相平分)
∴AE===12cm
∴AC=2AE=2×12=24(cm)
(2)菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△CBD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2××BD×AE
＝ 2××10×12
＝120(cm2)
设计意图：让学生通过比较，总结菱形的面积计算方法，一是按平行四边形的面积计算方法，二是分割法。
让学生通过分析总结归纳，能够轻松的求菱形的面积.
三、例题讲解：
例1.如图所示，已知菱形ABCD的周长为40cm,两条对角线AC、BD之比为3：4，
求（1）两条对角线的长；（2）菱形ABCD的面积。
分析：（1）AC:BD=3：4，即OA:OB=3：4,利用勾股定理求出OA、OB的长，就求出了AC和BD的长；（2）对角线乘积的一半即为菱形的面积。
解：（1）∵菱形的周长为40cm,
∴AB=10cm，
∵AC:BD=3:4
∴OA：OB=3:4
∵AC⊥BD
∴在Rt△AOB中，有
设OA=3x，OB=4x
即
∴x=2,
∴OA=6cm,OB=8cm,
∴AC=12cm,BD=16cm
(2)
四、巩固练习：
1.已知菱形的周长是12，那么它的边长是( 3 )；
2..已知如图，菱形ABCD的边长和一条对角线AC的长均为2cm，则菱形的面积为（）。
3.菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm,（1）求这个菱形的每一个内角的度数；（2）求这个菱形另一条对角线的长.
解：由题意知AC=10cm，
（1）菱形周长为40cm，则AB=BC=10cm，
∵AC=10cm，
∴△ABC为等边三角形，
∠ABC=60°，
∠BAD=180°-60°=120°，
（2）在Rt△ABO中，AB=10cm,
则
另一条对角线长
菱形的对角线长分别为10cm,；
则菱形的面积。
4.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE 的延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.
证明：∵∠ACE=90°，DE垂直平分BC，
∴DF∥AC，BE=CE，
∴∠B=∠BCE，
∵∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠BAC=∠ACE，
∴AE=CE=AE，
∵∠BAC=60°，
∴ΔACE是等边三角形，
∴∠AEF=∠CAE=60°，
∵AF=CE=AE，
∴ΔAEF是等边三角形，
∴EF=AE=AF=AC=CE，
∴四边形ACEF是菱形
五．拓展提高：
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
解：依题意可知AB//CD，AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
分别作AB，BC边上的高为AF，AE，
∵两纸条相同，
∴纸条宽度AE=AF．
∵平行四边形的面积为AE×CD=BC×AF，
∴CD=BC．
∴平行四边形ABCD为菱形．
六、课堂总结
菱形的有关计算：菱形的周长=4×边长
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
七、作业布置
习题1.3第3、4题．
【板书设计】
【教学反思】
本节课是菱形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对菱形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了菱形的各项性质及判别方法。
在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。
在探究过程中学生积累了许多关于菱形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。