高中数学选修2-3 北师大版正态分布作业1(含答案)

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高中北师大数学选修2-3练习：第二章 §6 正态分布

[A 组基础巩固]1．下列函数中哪个是正态分布密度函数( ) A ．f (x )＝12πσe 222x μσ(-)-，μ和σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe 22x -C ．f (x )＝122πe214x (-)-D ．f (x )＝12πe 22x解析：仔细对照正态分布密度函数：f (x )＝12πσ·e 222x μσ-(-)，x ∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数分母上的σ要一致，且指数部分是一个负数．选项A 是错误的，错在系数部分中的σ应该在分母根号的外面．选项B 是正确的，它是正态分布密度函数N (0,1)．选项C 是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，不统一．选项D 是错误的，指数部分缺少一个负号．所以，选择B. 答案：B2．关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，这条曲线在x 轴的上方；(2)曲线关于直线x ＝0对称，这条曲线只有当x ∈(－3σ，3σ)时，才在x 轴的上方； (3)曲线关于y 轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x ＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； (5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是( ) A ．只有(1)(4)(5)(6) B ．只有(2)(4)(5) C ．只有(3)(4)(5)(6)D ．只有(1)(5)(6)解析：正态曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．答案：A3．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：由P (ξ>1)＝p ，知P (－1<ξ<1)＝1－2p ， ∴P (－1<ξ<0)＝12－p .答案：D4．设随机变量X 服从正态分布，且相应的分布密度函数为f (x )＝16πe －24+46x x -x 2－4x ＋46，则( )A ．μ＝2，σ＝3B ．μ＝3，σ＝2C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝ 3解析：由f (x )＝12π×3e 2，得μ＝2，σ＝ 3. 故选C. 答案：C5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π解析：由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴DX ＝σ2＝2π.答案：C6．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X <3)＝________. 解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴， P (X <3)＝P (X >3)＝12.答案：127．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )＝________.解析：由正态分布图像的对称性可得： P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36. 答案：0.368．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2) ＝0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.89．某批待出口的水果罐头，每罐净重X (g)服从正态分布N (184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g 的概率；(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g 小于等于189 g 的概率．解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5. (1)∵P (X ＞186.5)＝P (X ＜181.5)，又P (181.5≤X ≤186.5)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.683， ∴P (X ＞186.5)＝12[1－P (181.5≤X ≤186.5)]＝12(1－0.683)＝0.158 5. (2)P (179＜X ≤189)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954.10．某厂生产的圆柱形零件的外直径X (单位：cm)服从正态分布N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm ，试问该厂生产的这批零件是否合格？请说明理由．解析：由于随机变量X ～N (4,0.25)，由正态分布的性质和3σ原则可知，正态分布N (4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而 5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了小概率事件，所以据此可认为该批零件是不合格的．[B 组能力提升]1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝() A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C2．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于________．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.答案：23．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.683，又由于P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，所以此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954，那么此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954－0.683＝0.271，由正态密度曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 5.答案：0.135 54．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式；(2)求正态总体在(－4,4)内的概率．解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4，所以该函数的解析式为f(x)＝142πe232x，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4＜X<4)＝P(0－4＜X<0＋4)＝P(μ－σ＜X<μ＋σ)＝0.683.5．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？解析：①当选择X～N(8,32)的方案时，则有μ＝8，σ＝3.∴P (8－3<X <8＋3)＝P (5<X <11)＝0.683，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <8)＝12＋12P (5<X <11)＝0.5＋0.341 5＝0.841 5.即选择X ～N (8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5. ②当选择X ～N (7,12)的方案时，则有μ′＝7，σ′＝1.∴P (7－2×1<X <7＋2×1)＝P (5<X <9)＝0.954，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <7)＝12＋12P (5<X <9)＝0.5＋0.477＝0.977.即选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977. 综上可得选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率大．故他应该选择X ～N (7,12)的方案．由Ruize收集整理。

高中数学选修2-3 北师大版正态分布的应用课后作业(含答案)

04课后课时精练1. 设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：解法一：由P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)可知2＝(c ＋1)＋(c －1)2，解得c ＝2.解法二：∵P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，∴正态密度曲线关于x ＝c 对称，又N (2,9)，∴c ＝2. 答案：B2. [2014·广东高二检测]已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)等于( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585解析：由于X ～N (3,1)，故正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝3，所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P (2≤X ≤4)2＝0.1587，故选B.答案：B3. 设X ～N (10,0.8)，则D (2X ＋1)等于( ) A ．1.6 B ．3.2 C ．6.4D ．12.8解析：∵X ～N (10,0.8)，∴D (X )＝0.8，∴D (2X ＋1)＝4DX ＝3.2. 答案：B4. [2014·合肥高二检测]如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是() A．σ1>σ2>σ3B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2D．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图像越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.答案：A5. [2014·开封高二检测]为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()A．997 B．954C．819 D．683解析：由题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.答案：D6. 某厂生产的零件外径ξ～N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm,9.3 cm，则可认为()A．上午生产情况正常，下午生产情况异常B．上午生产情况异常，下午生产情况正常C．上午、下午生产情况均正常D．上午、下午生产情况均异常解析：因测量值ξ为随机变量，又ξ～N(10,0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4,10.6)，9．9∈I,9.3∉I，故选A.答案：A7. [2014·日照高二检测]设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ>3)＝P(ξ<－1)，则Eξ＝________.解析：ξ～N(μ，σ2)，∴μ＝3＋(－1)2，∴μ＝1，∴Eξ＝μ＝1.答案：18. 设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．。

高中数学选修2-3同步练习题库：正态分布(填空题：一般)

正态分布（填空题：一般）1、某班有名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，已知，估计该班学生数学成绩在分以上的有人；2、若随机变量服从正态分布，，，设，且则__________.3、在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则__________．4、在我校2017年高二某大型考试中，理科数学成绩，统计结果显示.假设我校参加此次考试的理科同学共有2000人，那么估计此次考试中我校成绩高于120分的人数是___________.5、已知正态总体落在区间上的概率是，则相应的正态曲线在__________时，达到最高点．6、若，，，则_____.7、某班有45名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．8、已知正态分布总体落在区间（0.2，+∞）的概率为0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x= ______时达到最高点．9、设随机变量，且，，则__________．10、设随机变量ξ～N（4，9），若P（ξ＞c+3）=P（ξ＜c﹣3），则c=-__________11、设随机变量服从正态分布，若，则_________12、在某次联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.6，则落在内的概率为__________．13、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为________．（精确到0.0001）注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974．14、已知随机变量服从正态分布，且方程有实数解得概率为，若，则__________．15、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．16、某地区数学考试的成绩服从正态分布，正态分布密度函数为，其密度曲线如图所示，则成绩位于区间的概率是__________．（结果保留3为有效数字）本题用到参考数据如下：，.17、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．18、若随机变量服从正态分布，，，设，且，在平面直角坐标系中，若圆上有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是__________．19、若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．20、某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________．21、在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.8，则ξ在(－∞，2]内取值的概率为________．22、在我校2015届高三11月月考中理科数学成绩（），统计结果显示，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有人．23、设随机变量服从正态分布，则函数不存在零点的概率为________．24、已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若，则．25、某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人．26、已知随机变量，，若，，则__________．27、在某市日前进行的2009年高三第二次模拟考中，参加考试的2000名理科学生的数学成绩在90—110分的人数为800人，统计结果显示，理科学生的数学成绩服从正态分布，则2000名理科学生的数学成绩不低于110分的人数是28、设随机变量，则______.29、已知随机变量服从正态分布. 若，则等于．30、已知随机变量服从正态分布，，则．31、设随机变量服从正态分布，若，则．32、设随机变量服从正态分布，若，则的值为 .33、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .34、已知正态分布密度曲线,且,则方差为 .35、商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为 .（精确到0.0001）36、设X～N(0,1)．①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，则P(X＜－1)＝0.1587；④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，则P(X＜2)＝0.9772；⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，则P(X＜3)＝0.9987.其中正确的有________(只填序号)．37、已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．38、已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．39、设，且总体密度曲线的函数表达式为：，x∈R求的值。

高中数学第二章概率课时1126正态分布作业课件北师大版选修23

数所占百分比约为( D )
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
解析：由条件知 μ＝90，P(ξ<60)＝0.1， ∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝12[1－2P(ξ<60)]＝12×(1 －0.2)＝0.4，故选 D.
6．把一正态曲线 C1 沿着横轴方向向右移动 2 个单位，得到
复习课件
高中数学第二章概率课时112.6正态分布作业课件北师大版选修23
2021/4/17
高中数学第二章概率课时1126正态分布作业课件北师大版选修23
课时作业11 正态分布
时间：45 分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．设一正态分布的分布密度曲线是函数 f(x)＝2 12πe－x－8102 的
解：由 ξ～N(1,22)知，μ＝1，σ＝2. (1)P( － 1<ξ≤3) ＝ P(1 － 2<ξ≤1 ＋ 2) ＝ P(μ － σ<ξ≤μ ＋ σ) ＝ 0.683.
(2)∵P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)， ∴P(3<ξ≤5)＝12[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)] ＝12[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12[0.954－0.683]＝0.135 5.
∴ x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋ 95×0.1＝70.5，
∴这 4 000 名考生的平均成绩为 70.5 分．
(2)依题意知 μ＝ x ＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ≈14.31， ∴z 服从正态分布 N(70.5,14.312)，而 P(μ－σ<z≤μ＋σ)＝P(56.19<z≤84.81)≈0.682 6， ∴P(z>84.81)≈1－0.2682 6＝0.158 7. 又 0.158 7×4 000＝634.8≈635. ∴竞赛成绩超过 84.81 分的人数估计为 635.

高中数学选修2-3课时作业：2.4 正态分布 Word版含解析

第二章§正态分布一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为()A．1 B．－1C．0 D．不确定解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0.答案：C2．[2014·深圳高二检测]正态总体N(0,1)在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不确定解析：根据正态曲线的特点，图象关于x＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．答案：C3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－＝，则P(|ξ|<＝()A. 0.025B.C. D.解析：ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<＝1－P(ξ≤－，从而P(|ξ|<＝P(－<ξ<＝P(ξ<－P(ξ≤－＝1－2P(ξ≤－＝1－2×＝.答案：C4．某厂生产的零件直径ξ～N(10,，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为()A．上午生产情况未见异常现象，下午生产情况出现了异常现象B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常C．上、下午生产情况均是正常D．上、下午生产情况均出现了异常现象解析：3σ原则：(10－3×,10＋3×，即,，∈,，∉,，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．答案：A二、填空题5．已知正态分布落在区间，＋∞)上的概率为，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时，达到最高点．解析：由于正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间，＋∞)上的概率为，得μ＝. 答案：6．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，正态曲线的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为.答案：7．若随机变量ξ～N (10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a ，a ∈(0,，则ξ在(－∞，15)上的概率等于________．解析：P (10<ξ<15)＝a ，故P (－∞<ξ≤5)＝12(1－2a )＝12－a ，所以ξ在(－∞，15)的概率等于12－a ＋a ＋a ＝12＋a . 答案：12＋a 三、解答题8．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如右图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8000～8500元之间的人数百分比．解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)，结合图象可知μ＝8000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为P (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 ＝15002πe －(x －8000)22×5002，x ∈(－∞，＋∞)． (2)∵P (7500<ξ≤8500)＝P (8000－500<ξ≤8000＋500)＝.∴P(8000<ξ≤8500)＝12P(7500<ξ≤8500)＝.即农民工年均收入在8000～8500之间的人数占总体的%.9．在某次数学测试中，考生的成绩ξ服从正态分布N(90,100)．(1)求考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率；(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]内的考生约有多少人？解：(1)∵ξ～N(90,102)，∴μ＝90，σ＝10，所以(1)P(70<ξ≤110)＝P(90－20<ξ≤90＋20)＝.(2)P(80<ξ≤100)＝P(90－10<ξ≤90＋10)＝，所以考试成绩在(80,100]内的考生约有2000×≈1365人．。

高中数学选修2-3同步练习题库：正态分布(简答题：一般)

正态分布（简答题：一般）1、已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0．9，则P（0＜ξ＜2）=（）A．0．2B．0．3C．0．4D．0．62、某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位：）进行测量，得出这批钢管的直径服从正态分布.（Ⅰ）如果钢管的直径满足为合格品，求该批钢管为合格品的概率（精确到0.01）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，现要从40根该种钢管中任意挑选3根，求次品数的分布列和数学期望.（参考数据：若，则；；）3、已知某厂生产的电子产品的使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且，.（Ⅰ）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在的概率；（Ⅱ）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在的件数为，求的分布列和数学期望.4、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的学科网数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量服从正态分布，则，，．5、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.6、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.7、从某企业生产的产品中抽取1000件测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，δ2)，其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(175.6<Z<224.4)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，估计其中质量指标值位于区间(175.6，224.4)的产品件数.（精确到个位）附：≈12.2，若Z～N(μ，δ2)，则P(μ－δ<Z<μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ<Z<μ＋2δ)＝0.95448、从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过的概率；（Ⅱ）假设该市高一学生的体重服从正态分布.（ⅰ）利用（Ⅰ）的结论估计该高一某个学生体重介于之间的概率；（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于之间的人数为，利用（ⅰ）的结论，求的分布列及.9、质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；（Ⅱ）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求的数学期望．注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得②若，则，．10、某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①回归方程中，，.②，，若～，则，.11、某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等极如下表：质量指标值从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定？（2）在样本中，按产品等极用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？12、某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：经计算：样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于或车速大于是需矫正速度.（1）从该快速车道上所有车辆中任取个，求该车辆是需矫正速度的概率；（2）从样本中任取个车辆，求这个车辆均是需矫正速度的概率；（3）从该快速车道上所有车辆中任取个，记其中是需矫正速度的个数为，求的分布列和数学期望.13、已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)＝0.682 6.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P(64<X≤72)．14、某县农民年均收入服从μ＝500元，σ＝20元的正态分布，求：(1)此县农民的年均收入在500～520元之间的人数的百分比；(2)此县农民的年均收入超过540元的人数的百分比．15、已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.(1)求概率密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？16、从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（用同一组数据用该区间的中点值用代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（i）的结果，求.附：，若，则，17、在某校举行的一次数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩X近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有16名．（1）试问此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生，试问此次竞赛获奖励的学生约为多少人? 附：P（｜X－μ｜＜σ）＝0．683，P（｜X－μ｜＜2σ）＝0．954，P（｜X－μ｜＜3σ）＝0．99718、（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.附：若则，。

北师大版数学【选修2-3】练习：2.6正态分布(含答案)

第二章§6一、选择题1．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c －1)，则c＝()A．1B．2C．3D．4[答案] B[解析]由正态分布的性质及条件P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)得，(c＋1)＋(c－1)＝2×2，∴c＝2.2．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝() A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585[答案] B[解析]P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.3．已知ξ～N(2，σ2)，P(ξ<4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84[答案] A[解析]因为ξ～N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.84＝0.16，故选 A.二、填空题4．已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.16，则P(2<X≤3)＝________.[答案]0.34[解析]如图可知P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.16，所以P(2<X<4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝1－0.16－0.16＝0.68，所以P(2<X≤3)＝12P(2<X<4)＝12×0.68＝0.34.5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．[答案]0.8[解析]由X～N(1，σ2)可知，密度函数关于x＝1对称，从而X在(0,1)内取值的概率就等于在(1,2)内取值的概率．。

2 .6正态分布-北师大版高中数学选修2-3练习

*§6 正态分布A组1.下列函数是正态分布密度函数的是( )A.f(x)=√2πσ-(x-μ)22σ2,μ和σ(σ>0)都是实数B.f(x)=√2π2πe-x22C.f(x)=2√2π-(x-1)24D.f(x)=√2πe x2 2解析:根据正态分布密度函数f(x)=σ√2π-(x-μ)22σ2进行判断.答案:B2.设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c=( )A.1B.2C.3D.4解析:因为ξ~N(2,9),所以正态密度曲线关于x=2对称,又概率表示它与x轴所围成的面积, 所以(c+1)+(c-1)2=2,所以c=2.答案:B3.服从正态分布N(0,1)的随机变量X在区间(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为P1,P2,则( )A.P1>P2B.P1<P2C.P1=P2D.不确定解析:∵X~N(0,1),∴正态曲线关于y轴对称.∴随机变量在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率相等,即P1=P2.答案:C4.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ<0)=( )A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84解析:由ξ~N(2,σ2),可知正态曲线的对称轴为直线x=2,易知P(ξ<0)=P(ξ>4)=1-P(ξ≤4)=1-0.84=0.16.答案:A5.在正态分布N(0,19)中,随机变量在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为( )A.0.997B.0.046C.0.03D.0.003解析:∵μ=0,σ=13,∴P(x<-1或x>1)=1-P(-1≤x≤1)=1-P(μ-3σ≤x≤μ+3σ)=1-0.997=0.003.答案:D6.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为.解析:∵ξ服从正态分布N(1,σ2),∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4.∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4+0.4=0.8.答案:0.87.若随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)=2√2π-(x+2)28(x∈R),则E(2X-1)=.解析:∵σ=2,μ=-2,∴EX=-2.∴E(2X-1)=2EX-1=2×(-2)-1=-5.答案:-58.在一次测试中,测量结果X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)内取值的概率为0.2,求:(1)X在(0,4)内取值的概率;(2)P(X>4).(1)由X~N(2,σ2),得对称轴为x=2,画出示意图,∵P(0<X<2)=P(2<X<4),∴P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.[1-P(0<X<4)](2)P(X>4)=12=1×(1-0.4)=0.3.29.已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布,某密度函数图像如图所示.(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式;(2)求此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数百分比.解设农民工年均收入ξ~N(μ,σ2),结合图像可知μ=8000,σ=500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式为P(x)=σ√2π-(x-μ)22σ2=500√2π-(x-8000)22×5002,x∈(-∞,+∞).(2)∵P(7500<ξ≤8500)=P(8000-500<ξ≤8000+500)=0.683,∴P(8000<ξ≤8500)=12P(7500<ξ≤8500)=0.3415.∴此地农民工年均收入在8000~8500元之间的人数百分比为34.15%.B组1.设随机变量X服从正态分布N(12,σ2),集合A={x|x>X},集合B={x|x>12},则A⊆B的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析:由A⊆B得X≥12.∵μ=12,∴P(X≥12)=12.答案:C2.关于正态曲线的性质:①曲线关于直线x=μ对称,并且曲线在x轴上方;②曲线关于y轴对称,且曲线的最高点的坐标是√2πσ);③曲线最高点的纵坐标是√2πσ,且曲线无最低点;④σ越大,曲线越“高瘦”;σ越小,曲线越“矮胖”.其中正确的是( )A.①②B.②③C.④③D.①③答案:D3.(2016·武汉市重点中学高二期末联考)随机变量ξ~N(2,10),若ξ落在区间(-∞,k)和(k,+∞)的概率相等,则k等于( )A.1B.10C.2D.√10解析:∵区间(-∞,k)和(k,+∞)关于x=k对称,∴x=k为正态曲线的对称轴,∴k=2,故选C.答案:C4.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为f(x)=√2π·10-(x-80)2200(x∈R),则下列命题不正确的是( )A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩方差为100解析:因为μ=80,σ=10,所以A,D正确,根据3σ原则知C正确.答案:B5.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为.解析:因为X~N(0,1),所以X在区间(-∞,-2)和(2,+∞)内取值的概率相等.又知X在(-2,2)内取值的概率是0.954,所以X在(-∞,-2)内取值的概率为1-0.9542=0.023. 答案:0.0236.已知随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且P(ξ<1)=12,P(ξ>2)=0.4,则P(0<ξ<1)=.解析:由P(ξ<1)=12得μ=1,所以随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),所以曲线关于x=1对称.因为P(ξ<2)=0.6,所以P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1. 答案:0.17.导学号43944046假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值;(参考数据:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ<X ≤μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997)(2)某客运公司用A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?解(1)由于随机变量X 服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700<X ≤900)=0.954.由正态分布的对称性,可得p 0=P(X ≤900)=P(X ≤800)+P(800<X ≤900)=12+12P(700<X ≤900)=0.977.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x,y,则相应的营运成本为(1600x+2400y)元.依题意,x,y 还需满足:x+y ≤21,y ≤x+7,P(X ≤36x+60y)≥p 0.由(1)知,p 0=P(X ≤900),故P(X ≤36x+60y)≥p 0等价于36x+60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件{x +y ≤21,y ≤x +7,36x +60y ≥900,x,y ≥0,x,y ∈N,且使目标函数z=1600x+2400y 达到最小的x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距z2400最小,即z取得最小值.故应配备A型车5辆、B型车12辆.8.导学号43944047为了解一种植物的生长情况,抽取一批该植物样本测量高度(单位:cm),其频率分布直方图如图所示.(1)求该植物样本高度的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,利用该正态分布求P(64.5<Z<96).附:√110≈10.5,若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954.解(1)x=55×0.1+65×0.2+75×0.35+85×0.3+95×0.05=75,s2=(55-75)2×0.1+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.35+(85-75)2×0.3+(95-75)2×0.05=110.(2)由题意知,Z~N(75,110),从而P(64.5<Z<75)=12×P(75-10.5<Z<75+10.5)=12×0.683=0.3415,P(75<Z<96)=12×P(75-2×10.5<Z<75+2×10.5)=12×0.954=0.477.所以P(64.5<Z<96)=P(64.5<Z<75)+P(75<Z<96)=0.3415+0.477=0.8185.。

2020北师大版高中数学选修2-3 课后习题：第二章正态分布

[A组基础巩固] 1．下列函数中哪个是正态分布密度函数()A．f(x)＝12πσe222xμσ(-)-，μ和σ(σ>0)都是实数B．f(x)＝2π2πe22x-C．f(x)＝122πe214x(-)-D．f(x)＝12πe22x解析：仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝12πσ·e222xμσ-(-)，x∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数分母上的σ要一致，且指数部分是一个负数．选项A是错误的，错在系数部分中的σ应该在分母根号的外面．选项B是正确的，它是正态分布密度函数N(0,1)．选项C是错误的，从系数方面看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，不统一．选项D是错误的，指数部分缺少一个负号．所以，选择B.答案：B2．关于正态曲线性质有下列叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这条曲线在x轴的上方；(2)曲线关于直线x＝0对称，这条曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时，才在x轴的上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6) B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)解析：正态曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ时处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸时，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x 轴的上方，曲线的形状由σ确定，而且当μ一定时，比较若干不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．答案：A3．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：由P (ξ>1)＝p ，知P (－1<ξ<1)＝1－2p ， ∴P (－1<ξ<0)＝12－p .答案：D4．设随机变量X 服从正态分布，且相应的分布密度函数为f (x )＝16πe －24+46x x -x 2－4x ＋46，则( ) A ．μ＝2，σ＝3 B ．μ＝3，σ＝2 C ．μ＝2，σ＝ 3D ．μ＝3，σ＝ 3解析：由f (x )＝12π×3e 2，得μ＝2，σ＝ 3. 故选C. 答案：C5．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，12)，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100 C.2πD.2π解析：由正态分布密度曲线上的最高点为(10，12)知12π·σ＝12，∴DX ＝σ2＝2π.答案：C6．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X <3)＝________. 解析：由正态分布图像知，μ＝3为该图像的对称轴， P (X <3)＝P (X >3)＝12.答案：127．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )＝________.解析：由正态分布图像的对称性可得： P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36. 答案：0.368．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内的概率为P (0<X <1)＋P (1<X <2) ＝0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.89．某批待出口的水果罐头，每罐净重X (g)服从正态分布N (184，2.52)，求： (1)随机抽取1罐，其实际净重超过186.5 g 的概率；(2)随机抽取1罐，其实际净重大于179 g 小于等于189 g 的概率．解析：由题意知μ＝184，σ＝2.5. (1)∵P (X ＞186.5)＝P (X ＜181.5)，又P (181.5≤X ≤186.5)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.683， ∴P (X ＞186.5)＝12[1－P (181.5≤X ≤186.5)]＝12(1－0.683)＝0.158 5.(2)P(179＜X≤189)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954.10．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？请说明理由．解析：由于随机变量X～N(4,0.25)，由正态分布的性质和3σ原则可知，正态分布N(4,0.25)在(μ－3σ，μ＋3σ)＝(4－3×0.5,4＋3×0.5)＝(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了小概率事件，所以据此可认为该批零件是不合格的．[B组能力提升]1．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝() A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：由ξ～N(0，σ2)，且P(ξ>2)＝0.023，知P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C2．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．解析：由于X的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k.而μ＝2，所以k＝2.答案：23．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，则此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为________．解析：由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.683，又由于P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954，所以此人在10分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954，那么此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954－0.683＝0.271，由正态密度曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 5.答案：0.135 54．若一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π .(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4)内的概率．解析：(1)由于该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图像关于y 轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4，所以该函数的解析式为f (x )＝142πe 232x ，x ∈(－∞，＋∞)．(2)P (－4＜X <4)＝P (0－4＜X <0＋4)＝P (μ－σ＜X <μ＋σ)＝0.683.5．某投资商制定了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量地大，他应该选择哪一个方案？解析：①当选择X ～N (8,32)的方案时，则有 μ＝8，σ＝3.∴P (8－3<X <8＋3)＝P (5<X <11)＝0.683，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <8)＝12＋12P (5<X <11)＝0.5＋0.341 5＝0.841 5.即选择X ～N (8,32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 5. ②当选择X ～N (7,12)的方案时，则有μ′＝7，σ′＝1.∴P (7－2×1<X <7＋2×1)＝P (5<X <9)＝0.954，∴P (X >5)＝12＋P (5<X <7)＝12＋12P (5<X <9)＝0.5＋0.477＝0.977.即选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977. 综上可得选择X ～N (7,12)的方案时，利润超过5万元的概率大．故他应该选择X ～N (7,12)的方案．。

高二数学北师大版选修2-3同步课时作业2.6正态分布(有答案)

高二数学北师大版选修2-3同步课时作业2.6正态分布一、选择题1.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X 且()28000~,5N X .记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .则0p 的值约为( )（参考数据：若()2~,X N μσ，有()0.683P X μσμσ-<≤+≈，()220.954P X μσμσ-<≤+≈， ()330.997P X μσμσ-<≤+≈） A.0.972 5B.0.683C.0.977D.0.9542.已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率大约为( ) A.0.85B.0.819 2C.0.86D.0.753.某工厂生产的零件外直径(单位：cm )服从正态分布()210,0.2N ，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45cm 和9.35cm ，则可认为( ) A.上午生产情况异常，下午生产情况正常 B.上午生产情况正常，下午生产情况异常 C.上午、下午生产情况均正常 D.上午、下午生产情况均异常4.某校有1 000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为( ) A.150B. 200C.300D.4005.随机变量 ξ服从正态分布()21,2,(2)0.3N P ξ=，则()01P ξ<<=( ) A.0.7B.0.4C.0.2D.0.156.已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P x >=，则实数a 的值为( ) A.1C.2D.47.已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ,若(4)0.9P ξ<=,则(21)P ξ-<<=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 8.设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若(5)(1)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于( )A.7B.6C.5D. 4二、填空题9.设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ,若()()11P c P c ξξ>+=<-，则c =___________.10.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则均值()E X =______________.(结果用最简分数表示)11.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分.已知()4004500.3P X <<=，则550(600)P X <<=______________. 三、解答题12.某公司开发了一种产品,有一项质量指标为“长度”（记为l,单位:cm),先从中随机抽取100件,测量发现全部介于 85 cm 和155 cm 之间，得到如下频数分布表：2(,)N μσ，其中2,x σ近似为样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (1)求(132.2144.4)P l <<(2)公司规定:当115l ≥时,产品为正品:当115l <时,产品为次品,公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利90元;若是次品,则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望.12.2若()2~,X N μσ,则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈,(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈参考答案1.答案：C解析：∵随机变量X 服从正态分布()2800,50N ，()800,50,7009000.954P X μσ∴==∴<≤≈，根据正态曲线的对称性可得()()()()0119008008009007009000.97722p P X P X P X P X =≤=≤+<≤=+<≤=，故选C. 2.答案：B解析：设运动员射击4次，击中目标的次数为X ，则443344(3)C 0.8C 0.80.20.8192P X ≥=+⨯=.3.答案：B解析：由题意，某工厂生产的零件外直径服从正态分布()210,0.2N ，根据3σ原则可得33X μσμσ-<<+，即1030.21030.2X -⨯<<+⨯，即生产的零件外直径在()9,4,10.6内是正常的.又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.45cm 和9.35cm ，所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B. 4.答案：C 解析：1233(90)(120),(90120)1,(90105)55510P X P X P X P X <=>==-=∴=.∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=.故选C. 5.答案：C解析：由题意，随机变量 ξ服从正态分布()21,2N ， ∴正态曲线的对称轴是直线1x =. 又(2)0.3,(0)0.3P P ξξ=∴=，11(01)(02)[1(0.30.3)]0.222P P ξξ∴<<=<<=⨯-+=，故选 C. 6.答案：A 解析：随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，()0.5P X a ∴>=.由(1)0.5P X >=，可知1a =.7.答案：C解析：由题意可知1μ=,正态曲线关于直线1x =对称,(4)1(4)0.1P P ξξ≥=-<=,根据对称性可知,(2)(4)0.1P P ξξ≤-=≥=,故(21)0.5(2)0.50.10.4P P ξξ-<<=-≤-=-=.故选C. 8.答案：B解析：由题意知，正态曲线关于直线4x =对称，∴5142a a -++=，∴6a = 9.答案：2解析：∵()()()2122,31113c N P c P c ξξ+-⎛⎫⇒>+=-≤+=Φ ⎪⎝⎭，()1213c P c ξ--⎛⎫<-=Φ ⎪⎝⎭，∴31311113333c c c c ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫Φ+Φ=⇒-Φ+Φ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2c =，故答案为：2.10.答案：47解析：用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，X 的所有可能取值为0,1,2.2115522277C C C 1010(0),(1)C 21C 21P X P X ∴======， 2227C 1(2)C 21P X ===.101014()0122121217E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 11.答案：0.3解析：∵某校高三学生成绩（总分750分）X 近似服从正态分布，平均成绩为500分，∴正态曲线的对称轴为直线500x =.(400450)0.3,(550600)(400450)0.3P X P X P X <<=∴<<=<<=.12.答案：(1)抽取产品质量指标值的样本平均数900.021000.091100.221200.331300.241400.081500.02120x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=抽取产品质盈指标值的方差29000.024000.091000.2200.331000.244000.089000.02150s =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以~(120,150)l N ,又12.2σ所以1()(120132.2)0.68270.34142P l P l μμσ<≤+=<≤≈⨯≈1(2)(120144.4)0.95450.47732P l P l μμσ<≤+=<≤≈⨯≈所以(132.2144.4)(120144.4)(12132.2)=0.13590P l P l P l <<=<≤-<≤(2) 由频数分布表得(115)0.020.090.220.33P l <=++=,(115) 10.330.67P l ≥=-= 随机变量ξ的取值为90,-30且(90)0.67,(30)0.33P P ξξ===-= 则随机变量ξ的分布列为:。

高中数学北师大版选修2-3同步训练：(11)正态分布

（11）正态分布1、在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布(0,1)N 的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附:若()2,X N μσ~,则()0.6826,(22)0.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=.A.2386B.2718C.3413D.47722、设()211,X N μσ~,()222,Y N μσ~,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B. 21()()P X P X σσ≤≥≤C.对任意正数t ,()()P X t P Y t ≤≥≤D.对任意正数t ,()()P X t P Y t ≥≥≥3、某厂生产的零件外直径()28.0,0.15X N (单位: mm ),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm 和7.5mm ,则可认为( )A.上、下午生产情况均为正常B.上、下午生产情况均为异常C.上午生产情况正常,下午生产情况异常D.上午生产情况异常,下午生产情况正常4、已知()20,N ξσ~,且()200.4P ξ-<<=,则()2P ξ>等于( )A.0.1B.0.2C.0.3D.0.45、如果随机变量()2,X N μσ~,且3,1EX DX ==,则()11P X -<<等于( )A.0.210B.0.003C.0.681D.0.02156、已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ且P(ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.27、随机变量X 服从正态分布()0,1N ,若X 落在区间()2,1--和()1,2上取值的概率分别为1P 、2P ,则( )A. 12P P >B. 12P P <C. 12P P =D.不确定8、设随机变量ξ服从正态分布()2,9N ,若()()2P c P c ξξ>=<-,则c 的值是( )A.1B.2C.3D.49、设随机变量ξ服从正态分布()0,1?N ,()1P p ξ>=,则0()1P ξ<<-等于( ) A.1 2p B. 1 2p - C. 12?p -D. 1?p -10、某校高考的数学成绩近似服从正态分布()100,100,N 则该校成绩位于()80,120内的人数占考生总人数的百分比约为( )A.22.8%B.45.6%C.95.44%D.97.22%11、已知ξ服从正态分布()5,8N ,则3ηξ=-服从__________.12、关于正态曲线,下列说法:①曲线()()222x x μσϕ--上任一点()00,M x y 的纵坐标0y 表示0X x =的概率;②()ax dx ϕ-∞⎰表示总体取值小于a 的概率;③正态曲线在 x 轴上方且与 x 轴一定不想交;④正态曲线关于x σ=对称;⑤μ一定时, σ越小,总体分布越分散, σ越大,总体分布越集中.其中正确的是__________.13、人从某城市的A 地乘公交车到火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从()50,102,X N 则他在时间段(]30,70内赶到火车站的概率是__________14、在某项测量中,测量结果X 服从正态分布()()21,0N σσ>,若X 在()0,1内取值的概率为0.4,则X 在()0,2内取值的概率为__________15、生产工艺工程中产品的尺寸误差()()20,1.5X mm N ,如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.?5mm 为合格品,求:1. X 的密度函数;2.生产的5件产品的合格率不小于80%的概率.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由正态分布的性质, ()()101110.342P x P x <<=-<<≈2答案及解析：答案：C解析：由正态密度曲线的性质可知, ()()221122,,,X N Y N μσμσ的密度曲线分别关于12,x x μμ==对称,因此结合所给图象可得12μμ<,且()211,X N μσ~得密度曲线较()222,Y N μσ~的密度曲线“瘦高”,所以12σσ<,所以对任意正数t ,()()P Xt P Y t ≤≥≤.3答案及解析：答案：C解析：根据3σ原则,在()830.15,830.15-⨯+⨯即()7.55,8.45之外时为异常.4答案及解析：答案：A解析：由()()()()2022021P P P P ξξξξ>+<<+-<<+<-=,又()()()()22,0220P P P P ξξξξ>=<-<<=-<<,所以()()1212200.12P P ξξ>=--<<=⎡⎤⎣⎦.5答案及解析：答案：D解析：由题意知3,1μσ==,所以()()060.9974,150.9544P X P X <<=<<=,又知其关于3x =对称,所以()()1110.99740.95440.02152P X -<<=-=.6答案及解析：答案：C解析：∵ξ服从正态分布()()()()2112,,240.80.3,240.80.3,020.3.22N P P P σξξξ∴<<=-=∴<<=-=∴<<=7答案及解析：答案：C解析：画出正态分布()0,1N 的密度函数的图象:由图象的对称性可得,因为()0,1N ξ~,所以()21P ξ-<<-()12P ξ=<<.故12P P =.8答案及解析：答案：C解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,9N ,且()()2P c P c ξξ>=<-,得24c c +-=,解得3c =,故选C.9答案及解析：答案：B解析：随机变量ξ服从标准正态分布,关于直线0?x =对称,()()()111001122P P P p ξξξ-<<=<<=->=-,故选B.10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：()2,8N 解析：由正态曲线特征可知, 3ηξ=-的密度曲线是ξ的密度曲线向左移一个单位,所以也服从正态分布,且32,E E ηξσησξ=-==,所以服从()2,8N .12答案及解析：答案：②③解析：①不对,因为密度曲线中面积代表概率而不是纵坐标;④不对,因为正态曲线关于x μ=对称;⑤不对,与之相反μ一定时, σ越大,总体分布越分散, σ越小,总体分布越集中.13答案及解析：答案：0.9544解析：∵()50,102,50,10.X N μσ∴==()()3070502050200.9544.P X P X ∴<≤=-<≤+=14答案及解析：答案：0.8解析：由()()21,0,X N σσ>知正态曲线的对称轴为1x =,从而由图像可知()()0112,P X P X <<=<<所以()()0220120.40.8.P X P X <<=<<=⨯=15答案及解析：答案：1.由题意知()20,1.5X N ~,即0, 1.5μσ==.所以密度函数()24.5x x ϕ-=.2.设Y 表示5件产品中的合格品数,每件产品是合格品的概率为()()1.5 1.5 1.50.6826P X P X ≤=-<≤=.而()5,0.6826Y B ~,合格率不小于80%,即50.84Y ≥⨯=.所以()()()445P Y P Y P Y ≥==+=()44550.682610.68260.6826C =⨯⨯-+0.4927=.解析：由Ruize收集整理。

北师大版高中数学选修2-3同步精练：6正态分布 Word版含解析

1．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ22．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ＞2)等于()．A．0.1B．0.2C．0.6D．0.83．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于()．A．10B．2C．2D．可以是任意实数4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()．A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]5．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()．A．0.477B．0.628C．0.954D．0.9776．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为______．7．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为______．8．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142.求该正态分布的概率密度函数的解析式．9.如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．10．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？参考答案1.答案：A解析：根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2，故选A．2.答案：A解析：由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ＞2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A．3.答案：B解析：由于ξ的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.所以k＝2.4.答案：C解析：由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.683,0.954,0.997.由于一共有60人参加考试，所以成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.683≈41(人),60×0.954≈57(人),60×0.997≈60(人)．5.答案：C解析：∵P(ξ＞2)＝0.023，∴P(ξ＜－2)＝0.023，故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝0.954.6.答案：1解析：正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，∴正态分布的数学期望就是1.7.答案：(24.94,25.06)解析：正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03,25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．8.解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像即正态曲线关于y轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12πσ，所以12πσ＝124π，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是f(x)＝2321e42xπ-，x∈(－∞，＋∞)．9.解：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线x=20对称，最大值为12π，所以μ=20，1122πσπ=⋅，解得σ=2.于是概率密度函数的解析式为φμ，σ(x)=2(20)41e2xπ--，x∈(-∞，+∞)．总体随机变量的期望是μ=20，方差是σ2=(2)2=2.10.解：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.997，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.997)＝1200×0.003≈4(人)．。

北师大版高中数学选修2-3正态分布同步练习.docx

正态分布同步练习【选择题】 1、若随机变，且则等于（） A ．B ．C ．D ．2、设随机变量的概率密度函数为：，则那么等于（）A ．B ．C ．D ．3、已知，那么下面哪个变量服从标准正态分布？（）A ．ξB ．μξ-C ．σμξ+ D ．σμξ-【填空题】4、若随机变量，且，则＝_________．5、设，求 = ____________.6、设，求= ____________.7、设，求= ____________.【解答题】8、若x～N（0，1），试求：(1) P（x>-1.77）；（2）P（x>2.89）；（3）P（|x|<2）9、设x～N（1.5，4），求：（1）P{x<3.5}；（2）P{x<-4}；（3）P{x>2}；（4）P{|x|<3}10、设x～N（μ，σ2），求P{|x-μ|<kσ}，其中k=1，2，311、设x～N（μ，σ2），则k分别取什么值时，P（x≥μ-kσ）=0.9505，0.8508，0.998612、某地区的月降水量（单位：㎝）服从正态分布，试求该地区连续10个月降水量都不起过50㎝的概率．13、某中学高考数学成绩近似地服从正态分布，求此校数学成绩在120分以上的考生占总人数的百分比．参考答案1、B2、B3、D 1、解答：因为如果，那么σμξ-)1,0(~N ，（在本题中，)1,3(~N ξ ）所以313-=-=ξξη)1,0(~N ，从而=)234(-≤-<-ξP=)24(-≤<-ηP =)42(<≤ηP =)2()4(Φ-Φ. 4、7.564 5、0.9861 6、0.0392 7、0.8788 5、解：6、解：（2）)76.1(1)76.1(≤-=>ξξP P7、解：（4）.8788.019394.021)55.1(2)]55.1(1[)55.1()55.1()55.1(=-⨯=-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 8、（1）0.9616；（2）0.0019；（3）0.95449、（1）0.8413；（2）0.003；（3）0.4013；（4）0.5467解：P{x<3.5}=F(3.5)= __φ(1)=0.8413 P{x<-4}=F(-4)= __φ(-2.75)=1-__φ(2.75)=0.003 P{x>2}=1-P{x≤2}=1-F(2)=1-__φ（0.25）=1-0.5987=0.4013 P{|x|<3}=F(3)-F(-3)= __φ(0.75)+ __φ(0.75)-1=0.5467 10、P{|x-μ|<k σ}=P{μ-k σ<x<μ+k σ}=__φ(k)- __φ(-k)=2__φ(k)-1 当k=1时，P{|x-μ|<1σ}=2__φ(1)-1=0.6827 当k=2时，P{|x-μ|<2σ}=2__φ(2)-1=0.9545 当k=3时，P{|x-μ|<3σ}=2__φ(3)-1=0.9973 11、P （x≥μ-k σ）=1-P(x<μ-k σ)=1-__φ)k (σμ-σ-μ=1-__φ(-k)=1-[1-__φ(k)]=__φ(k) 当__φ(k)=0.9505，0.8508，0.9986时，反查表得k=1.650 , 1.040, 2.989 12、9938.0)5.2()44050()50(==-=<P P P ξ，所以．即该地区连续10个月降水量都不超过50㎝的概率为．13、设表示学生高考数学成绩，根据题意知要求的值．因为，，所以，，故数学成绩在120分以上的考生占总人数的2.28％．。

2019-2020北师大版高中数学选修2-3练习：2.6 正态分布 Word版含解析

*§6正态分布课后作业提升1.若X~N,Y=6X,则EY等于()A.1B.C.6D.36解析:∵X~N,∴EX=1.∴EY=E(6X)=6EX=6×1=6.答案:C2.两个正态分布密度曲线如图所示,图形中分别对应的μ,σ满足()A.μ1>μ2,σ1>σ2B.μ2>μ1,σ2>σ1C.μ1>μ2,σ1<σ2D.μ2>μ1,σ2<σ1解析:由图知μ2>μ1.又∵σ越小,曲线越“瘦高”,σ越大,曲线越“矮胖”,故σ2>σ1.答案:B3.已知ξ~N(0,62),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()A.0.1B.0.2C.0.6D.0.8解析:由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)=0.4,∴P(-2≤ξ≤2)=0.8,∴P(ξ>2)=(1-0.8)=0.1.答案:A4.如果随机变量X~N(μ,σ2),且EX=3,DX=1,则P(0<X<1)等于()A.0.0215B.0.723C.0.215D.0.64解析:∵EX=μ=3,DX=σ2=1,∴X~N(3,1).∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=P(0<X<6)=0.997,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=P(1<X<5)=0.954,P(0<X<6)-P(1<X<5)=2P(0<X<1)=0.043.∴P(0<X<1)=0.0215.答案:A5.一批灯泡的使用时间X(单位:小时)服从正态分布(10000,4002),则这批灯泡使用时间超过10800小时的概率是.解析:∵X~N(10000,4002),∴灯泡的使用时间在区间(10000-2×400,10000+2×400)内的概率为0.954,则不在上述范围内的概率为0.046.由曲线的对称性知,超过10800小时的概率为×0.046=0.023.答案:0.0236.某地区高二女生的体重X(单位:kg)服从正态分布N(50,25),若该地区共有高二女生2000人,则体重在区间(50,65)内的女生人数为.解析:已知μ=50,σ=5,体重在区间(50,65)内的概率为P(50<X<65)=P(35<X<65)=P(μ-3σ<X<μ+3σ)==0.4985.所以体重在区间(50,65)内的女生人数为2000×0.4985=997.答案:9977.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于.求该正态分布的概率密度函数的解析式.解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图像即正态曲线关于y轴对称,即μ=0.而正态密度函数的最大值是,所以,因此σ=4,故该正态分布的概率密度函数的解析式是f(x)=-,x∈(-∞,+∞).8.某地区数学考试的成绩X服从正态分布,其分布密度函数图像如下图所示,成绩X位于区间(52,68)的概率是多少?解:设成绩X~N(μ,σ2),则正态分布密度函数f(x)=--.由题图可知参数μ=60,,即σ=8.所以P(52<X<68)=P(60-8<X<60+8)=0.683.。

2019-2020学年高中北师大版数学选修2-3学案：2.6正态分布含解析

§6正态分布Q错误!错误!高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线,这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中,对人类文明影响最大的是“正态分布"．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？X错误!错误!1．正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝错误!e－错误!,x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ（σ〉0）为参数，我们称φμ，σ(x）的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线．(2）正态曲线的性质:①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称;③曲线在x＝μ处达到峰值__错误!__；④曲线与x轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示;⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大,曲线越“矮胖”，总体分布越分散;σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示．甲乙2．正态分布一般地,如果对于任何实数a，b（a<b)，随机变量X满足P（a<X≤b)＝错误!φμ，σ（x）d x，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution）．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X~N（μ，σ2)．3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ〈X≤μ＋σ)＝__0。

682 6__;②P(μ－2σ〈X≤μ＋2σ)＝__0.954 4__；③P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）＝__0。

997 4__.4．3σ原则通常服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取（μ－3σ,μ＋3σ)之间的值．Y错误!错误!1．（2019·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N（μ,σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6）＝0。

15,则P(2≤ξ＜4)等于( B )A．0.3 B．0.35C．0。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3：课时跟踪训练(十五) 正态分布 Word版含解析

课时跟踪训练(十五)　正态分布2121．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ22．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( )A．0.1 B．0.2C．0.6 D．0.83．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( ) A．70个B．100个C．30个D．60个4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X≤1)等于( )A．0.021 5 B．0.723C．0.215 D．0.645．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．6．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.7．设X～N(0,1)．(1)求P(－1<X≤1)；(2)求P(0<X≤2)．8．某厂生产的T 型零件的外直径X ～N (10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T 型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．答案1．选A 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1<μ2，σ1<σ2.2．选A 由正态分布曲线的性质知P (0≤X ≤2)＝0.4，∴P (－2≤X ≤2)＝0.8，∴P (X >2)＝(1－0.8)＝0.1.123．选C 正态总体N (μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．4．选A 由EX ＝μ＝3，DX ＝σ2＝1，∴X ～N (3,1)．P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝P (0<X <6)＝0.997，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (1<X <5)＝0.954，P (0<X <6)－P (1<X <5)＝2P (0<X ≤1)＝0.043.∴P (0<X ≤1)＝0.021 5.5．解析：由于X 的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.所以k ＝2.答案：26．解析：∵P (X >2)＝0.023，∴P (X <－2)＝0.023，故P (－2≤X ≤2)＝1－P (X >2)－P (X <－2)＝0.954.答案：0.9547．解：(1)X ～N (0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，所以P (－1<X ≤1)＝0.683.(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f (x )关于直线x ＝0对称，所以P (0<X ≤2)＝P (－2<X ≤2)＝×0.954＝0.477.12128．解：∵X ～N (10,0.22)，∴μ＝10，σ＝0.2.∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，∴该厂全天的生产状况是正常的．。