离散数学第一章命题逻辑PPT课件
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离散数学课件第一章(第1讲)
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
《离散数学》课件-第1章命题逻辑基本概念
注：克里特岛是希腊东南沿海的一个岛屿，位于地中海东部。 它的迈诺斯文明是世界是最早的文明之一，是欧洲文明的发 源地，并在公元前17世纪纪达到其财富和权势的顶峰。克里 特岛先后被希腊人、罗马人、拜占廷人、阿拉伯人、威尼斯 人和奥托曼土耳其人攻陷。岛上居民在1908年宣布与现代的 希腊结成联盟。
6
二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
17
解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
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二、命题的分类
定义1.4 设p、q为任意命题，复合命题“如 果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，并称p 是蕴涵式的前件（hypothesis or premise），q为 蕴涵式的后件（conclusion or consequence）。 →称为蕴涵联结词。
规定：p→q为假当且仅当p为真q为假。即当 p为真q为假时，p→q为假；其它情况都为真。
（4）如果2是素数，则3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：如果，则
（5）2是素数当且仅当3也是素数。
简单命题：2是素数。3是素数。联结词：当且仅当
17
解：简单命题的符号化为：
p：3是偶数。 q：2是偶数。 r：2是素数。 s：4是素数。
为了得到复合命题的符号化 形式，我们还必须对五个联 结词进行符号化！
（6）a能被4整除仅当a能被2整除。 p→q
（7）除非a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 p→q
（9）只有a能被2整除，a才能被4整除。 p→q
（1）3不是偶数。 Î 非3是偶数。
简单命题：3是偶数。
联结词：非
（2）2是偶素数。
Î 2是偶数并且2是素数。
简单命题：2是偶数。2是素数。 联结词：并且
（3）2或4是素数。
Î 2是素数或4是素数。
简单命题：2是素数。4是素数。 联结词：或
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A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
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1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
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1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
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1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
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定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
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例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
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离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
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第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学命题符号化课件 21页PPT文档
人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧 。」
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！ • 大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒 有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
• 我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發 生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。 2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。 3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。 4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。 • 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
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0
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0
當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還 給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說 ：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢 ，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。
偽值表清楚的顯示只有在 3 的情形之下才會發生。所以，用「如果 p 就 q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使 承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準 的機準只有四分之一。小心別上當哦！ • 大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒 有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？
离散数学 第一章 命题逻辑
4
• 故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們 來研究一下他是如何辦到的。
• 我們考慮“ P= 碰上來自東方的人，Q= 賺到錢 ”有四種情形會發 生：
1. 碰到來自東方的人，而賺到錢。 2. 碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。 3. 沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。 4. 沒有碰到來自東方的人，也沒賺到錢。 • 然而，算命仙算不準的情形即是「如果 p 就 q」為偽的情形。上面的真
4. 蕴含“→”
定义1-4 由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合
命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
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离散数学-第1章
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练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
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0
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练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
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01 1 1
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11 0 1
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成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
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公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
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练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
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离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
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1
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0
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
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R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
《离散数学》课件-第1章命题逻辑
3
例题 • 判断下列句子中那些是命题？若是命题的，判断其真值。
1. 北京是中国的首都。 2. 2+3=6。 3. 3-x=5。 4. 请关上门。 5. 几点了？
Y真 Y假 N 真值不确定 N 祈使句
6. 除地球外的星球有生物。
N 疑问句
7. 多漂亮的花啊！
Y 真值确定, 但未知
8. 我只给所有不给自己理发的人理发。N 感叹句
p q pq
TT F TF T FT T FF T
23
其它联结词
• 定义1.1.10 设p、q是任意两个命题, p q可表示复合命题“p和q的或非”, 称为或非联结词。命题p q 称为p和q的或非式。当且仅当p和q的真值同时 为假时，p q的真值为真. Nhomakorabea•
p q的真值表
p q pq
TT F TF F FT F FF T
6
联结词
• （一）否定
• 定义1.1.4 设p是一个命题，p表示一个新命题“非p”。命题p 称为p的否定。当且仅当p的真值为假时，p的真值为真。
• p的真值表：
p p
T
F
F
T
• 例如：p：今天是晴天。则 p：今天不是晴天。 • “非”，“不”，“没有”，“无”，“并非”等都可用来表示。
7
联结词• （二）合取
•
p q :电灯不亮是灯泡或线路有问题所致。
•
p：派小王去开会，q：派小李去开会，
•
(p q)(p q): 派小王或小李中的一人去开会
10
联结词
• （四）蕴涵
• 定义1.1.7 设p、q表示任意两个命题, p q 可表示复合命
题“如果p，则q”。当且仅当p的真值为真，q的真值为假时，
例题 • 判断下列句子中那些是命题？若是命题的，判断其真值。
1. 北京是中国的首都。 2. 2+3=6。 3. 3-x=5。 4. 请关上门。 5. 几点了？
Y真 Y假 N 真值不确定 N 祈使句
6. 除地球外的星球有生物。
N 疑问句
7. 多漂亮的花啊！
Y 真值确定, 但未知
8. 我只给所有不给自己理发的人理发。N 感叹句
p q pq
TT F TF T FT T FF T
23
其它联结词
• 定义1.1.10 设p、q是任意两个命题, p q可表示复合命题“p和q的或非”, 称为或非联结词。命题p q 称为p和q的或非式。当且仅当p和q的真值同时 为假时，p q的真值为真. Nhomakorabea•
p q的真值表
p q pq
TT F TF F FT F FF T
6
联结词
• （一）否定
• 定义1.1.4 设p是一个命题，p表示一个新命题“非p”。命题p 称为p的否定。当且仅当p的真值为假时，p的真值为真。
• p的真值表：
p p
T
F
F
T
• 例如：p：今天是晴天。则 p：今天不是晴天。 • “非”，“不”，“没有”，“无”，“并非”等都可用来表示。
7
联结词• （二）合取
•
p q :电灯不亮是灯泡或线路有问题所致。
•
p：派小王去开会，q：派小李去开会，
•
(p q)(p q): 派小王或小李中的一人去开会
10
联结词
• （四）蕴涵
• 定义1.1.7 设p、q表示任意两个命题, p q 可表示复合命
题“如果p，则q”。当且仅当p的真值为真，q的真值为假时，
离散数学课件 第一章 命题逻辑_1
第一章内容提要
1 命题及其表示法
2
3
命题联结词
命题公式与翻译
4
5 6 7 8
真值表与等价公式
重言式与蕴含式 其他联结词 对偶与范式 推理理论
1-1 命题及其表示法
1、命题
具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以 取一个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用 “Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。
等价公式
观察表中公式┐(PQ)和公式(┐P┐Q)，它们的 真值完全相同（这两个公式对任何解释都必同为真 假），称┐(PQ)和(┐P┐Q)是相等（等价、等 值）的。 定义1-4.2 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ下， G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的，记作 G = H （或 G H）。
显然(1), (4)两种情况父亲都没失信。 情况(2)正好对应定义中“当前件P为真, 后件Q为假 时, (3)的情况与这位父亲原来的话没有抵触, 当然也不算失信。 命题P Q取值为假”的规定。
只有情况(2), 答应的事却没有做到, 应该算失信了。
5、双条件联结词
设P、Q是任意两个命题，复合命题“P当且仅当Q” 称为P与Q的双条件命题，记作PQ ，“”称为 当且仅当联结词。 PQ为真当且仅当P、Q同为真假。 若 则 P：2+2=4；Q：雪是白的。 PQ：2+2=4当且仅当雪是白的。
(P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R) 3. 如果明天上午七点下雨或下雪，则我将不去学校
命题联结词的应用
联结词“∧”、“∨”、“┐”与构成计算机 的与门、或门和非门电路是相对应的，从而命题逻 辑是计算机硬件电路的表示、分析和设计的重要工 具。
命题联结词的应用
离散数学第一章PPT课件
小张在教室上课或参加长跑比赛 去主楼需6分钟或8分钟
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可
兼或，即允许P∨Q中的P和Q同时为真。 例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。 （2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q： 今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为 (P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
5.双条件词(biconditional connective )
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条 件复合命题，记作 PQ ，读作 P 当且仅当 Q 。 PQ 为 真当且仅当P与Q的真值相同。 例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。 (2) 2＋2＝4当且仅当雪是黑的。 解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的 三组对应边相等，则(1)可符号化为PQ。 (2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)可符号 化为PQ。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
注：命题逻辑中的析取词∨表示的是可
兼或，即允许P∨Q中的P和Q同时为真。 例5(1)李强是100米或400米赛跑冠军。
(2)今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。
解（1）可兼或。设P：李强是100米赛冠军，Q：李 强是400米赛冠军，则(1)表示为P∨Q。 （2）排斥或。若设P：今天晚上我在家看电视，Q： 今天晚上我去剧场看戏，则(2)可以表示为 (P∧Q)∨(P∧Q)，也可用后面介绍的异或联结词表 示为PQ。
5.双条件词(biconditional connective )
定义1.8 复合命题“P当且仅当Q”称为P和Q的双条 件复合命题，记作 PQ ，读作 P 当且仅当 Q 。 PQ 为 真当且仅当P与Q的真值相同。 例7 (1)两个三角形全等当且仅当它们的三组对应 边相等。 (2) 2＋2＝4当且仅当雪是黑的。 解(1)设P：两个三角形全等，Q：两个三角形的 三组对应边相等，则(1)可符号化为PQ。 (2)设P：2＋2＝4，Q：雪是黑的，则(2)可符号 化为PQ。
1.1 命题与联结词 1.2 命题公式、翻译、真值表 1.3 公式分类与等价式 1.4 对偶式与蕴涵式 1.5 联结词的扩充与全功能联结词组 1.6 公式标准型——范式 1.7 公式主范式 1.8 命题逻辑的推理规则
1.1 命题与联结词
1.1.1 命题的基本概念 1.1.2 命题分类与命题标识符
1.1.3 命题联结词
1.1.1 命题的基本概念
定义1.1 能判断真假的陈述句称为命题。一 个命题的真或假称为命题的真值，分别用 T(或1)与F(或0)表示。真值为真的命题称为真 命题，真值为假的命题称为假命题。
注意：判断一个句子是否为命题应分为两步：首 先判断它是否为陈述句，其次判断它能否确定真假。 注意，一个陈述句能否判断真假，和我们是否知道 它的真假是两回事。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
离散数学 命题逻辑
(2) S∧R：李平与张明在吃饭.
“∧”与自然语言中“与”“和”的不同之处：
(1)逻辑学中允许两个相互独立无关的，甚至互为否定的
原子命题生成一个新的命题.(如上例的(1)).
(2)自然语言中有时在各种不同意义上使用联结词"与",
"和"，不能一概用 去翻译(如：我与你是兄弟.)
2020/5/11
25
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
(4)人固有一死，或重于泰山或轻于鸿毛.（排斥或） (5) ab=0, 即a=0 或 b=0. （可兼或）
由此可见, “P ∨ Q”表示的是“可兼或”.
2020/5/11
28
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
注意：当P和Q客观上不能同时发生时，“P或Q” 可以符号化为“P ∨ Q”。
“P与Q”)称为P与Q的合取式，记作P∧Q，符号“∧”
称为合取联结词。当且仅当P和Q同时为真时P∧Q
为真。
联结词“∧”的定义真值表
P
Q
P∧Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
2020/5/11
22
1-2 命题联结词(Logical Connectives)
“∧” 属于二元(binary)运算符. 合取运算特点：只有参与运算的二命题全为真时，
逻辑可分为：1.形式逻辑 2.辩证逻辑
❖辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的
人类思维的形态的。
❖形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，
它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构
方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第一章 命题逻辑
例1： 1. 2是素数。 2. 雪是黑色的。 3. 2+3=5 。 4. 明年十月一日是晴天。 5. 这朵花多好看呀！ 6. 3能被2整除. 7. 明天下午有会吗？ 8. 请关上门！ 9. x+y>5 。 10. 地球外的星球上也有人。
命题判断的关键： 1.是否是陈述句； 2.真值是否是唯一的。
1
前件，q称为条件命题p→q的后
1
件。
表1.4 q p→q 01 11 00 11
【例】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。 p→q：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。 联 结 词 “ → ” 与 汉 语 中 的 “ 如 果 … ， 那 么 …” 或
“若…，则…”相似，但又是不相同的。
• 例11：用等值演算法解决下面问题. A、B、C、D四人百米竞赛.观众甲、乙、丙预测比 赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四. 比赛结束后发现甲、乙、丙每人预测的情况都各对 一半，试问实际名次如何（假设无并列情况）？
1.4 联结词全功能集
• 一个n(n≥1)维卡氏积{0,1}n到{0,1}的函数称为一个 n元真值函数。设F是一个n元真值函数，则可记 为F：{0,1}n→{0,1}
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A,B为两个命题公式，若等价 式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记 作A⇔B.
• A⇔B不是命题公式 • 可通过判断A与B的真值表是否相同，来判
断A与B是否等值。
• 例8：判断下列命题公式是否等值 （1） ¬(p∨q)与¬p∨¬q ； （2） ¬(p∨q)与¬p∧¬q ；
• 在一个联结词的集合中，如果一个联结词可由集 合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余的 联结词，否则称为独立的联结词。
离散数学课件 第一章 命题逻辑-1st
• 我不承认你是对的，除非太阳从西边出来
– A：我不承认你是对的。 – B：太阳从西边出来。 – 翻译为： ¬B→ A
29/34
句子到逻辑表达式的翻译
• 如果你和他都不固执己见的话，那么不愉 快的事情就不会发生了。
– P：你固执己见。 – Q：他固执己见。 – R：不愉快的事情不会发生。 – 翻译为： (¬PΛ¬Q)→R
6/34
• 15岁时，进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年 级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利 略等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听 了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数 学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数 学，并获得了哲学硕士学位 。 • 19岁设计出世界第一台乘法器，被认为是现代机器数学的先驱 者。 • Leibniz(1646～1716年) 之梦：有一天所有的知识，包括精 神和无形的真理，能够通过通用的代数演算放入一个单一的演 绎系统。 • 1693年，发现了机械能的能量守恒定律。 • 与牛顿并称为微积分的创立者。 • 系统阐述了二进制记数法，并把它和中国的八卦联系起来。
734主要内容?主要内容命题命题逻辑联结词命题变元合式公式重言式永真蕴含恒等式带入规则替换规则对偶原理范式及其判定问题命题演算的推理83411概述?目标探索出一套完整的逻辑规则这些规则给出数学语句的准确定义按照这些规则可以确定任何特定的论证是否有效
离散数学
大连理工大学软件学院 陈志奎 教授 办公室： 综合楼411，Tel： 87571525 实验室：教学楼A318/A323，Tel：87571620/24 Mobile: 13478461921 Email: zkchen@ zkchen00@
相关主题
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P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
11/20/2020
chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
11/20/2020
chapter1
4
1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
11/20/2020
chapter1
6
1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
11/20/2020
chapter1
7
1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
种新命题叫复合命题（Compositional Proposition ）。例
第一章 命题逻辑
Proposition Logic
1.1 命题及其表示法 1.2 联结词 1.3 命题公式与翻译 1.4 重言式、矛盾式、可满足公式 1.5 等价与蕴含 1.6 推理理论
1.1 命题及其表示法
1、命题 命题——非真即假的陈述句。
命题的真值
对，成立，则真值为真，T，1 错，不成立，则真值为假，F，0
x+3 表示运算结果。在命题演算中, 联结词就是命题演算 中的运算符, 叫逻辑运算符或叫逻辑联结词。常用的有以 下 5 个。
11/20/2020
chapter1
9
1.2 联结词
1、否定 ┐ ┐P是P的否定，读作“非P”， “ P的否定” 。
p
p
0
1
1
0
如： P:成都是中国的首都。 ┐P：成都不是中国的首都。
否定与汉语中的“非”、“不是”、“否定”是一致 的。
11/20/2020
chapter1
10
1.2 联结词
2、合取 ∧ P∧Q是P和Q的合取, 读做“P与Q”或“P并且Q”。
PQ
P ∧Q
00
0
01
0
10
0
11
1
如： P: 王华的成绩很好。
Q: 王华的品德很好。
P∧Q: 王华的成绩很好并且品德很好。
11/20/2020
chapter1
5
1.1 命题及其表示法
【例2 】求公式(P∧Q)∧┐P的真值表。 解： 分以下３步求得: (1) 写出公式┐P的真值表; (2) 写出公式P∧Q的真值表; (3) 根据(1)和(2), 写出公式(P∧Q)∧┐P的真值表。
为清楚起见, 我们将这３步列在一个表内, 见下表。
(2)刘昕这次考试可能是全班第一也可能是全班第二。 这两例表示的均是排斥或，即两种情况不能同时出现， 这时便不能仅用析取词∨表示。
11/20/2020
chapter1
13
1.2 联结词
4、条件 → P→Q, 读做 “如果P, 那么Q”或“P则Q” 。 运算对象P叫做前提 , 假设或前件, 而Q叫做结论或后件。
【例4 】电灯不亮是电灯坏或电路有毛病。 解：设P—电灯不亮，Q—电灯坏，R—电路有毛病。 上述语句应表示为: (Q ∨ R) →P
如：
P: 明天下雪,
Q: 明天下雨
是两个命题, 利用联结词“不”, “并且”, “或”等可构成新
命题:
“明天不下雪”；
“明天下雪并且下雨”；
“明天下雪或下雨”等 。
11/20/2020
chapter1
8
1.2 联结词
即： “非P”； “P并且Q”； “P或Q”等 。 在代数式x+3 中, x , 3 叫运算对象, +叫运算符,
所以,“如果P则Q”, “只要P则Q”,只有Q才P”, “仅当Q 则P”都可符号化为P→Q 的形式。
11/20/2020
chapter1
15
1.2 联结词
如：小李对小王说：“如果天不下雨，我就来找你”。 ①天没下雨，小李去找了小王。 √ ②天没下雨，小李没去找小王。 × ③天下雨了，小李去找了小王。 √ ④天下雨了，小李没去找小王。 √
（是）
(d) 别的星球上有生物。 （是）
(e) 全体立正。
（否，祈使句）
(f) 明天是否开大会？ （否，疑问句）
(g) 天气多好啊！
（否，感叹句）
(h) 我正在说谎。
（否, 悖论）
(i) 如果天气好，那么我去散步。 （是,复合命题）
(j) x>3
（否，不能确定真值）
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合取与汉语中的“和”、“与”、“并且”是一致的。
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1.2 联结词
3、析取 ∨ P∨Q是P和Q的析取, 读做“P或Q”。
PQ
P∨Q
00
0
01
1
10
1
11
1
如： P:小王喜欢唱歌。
Q:小王喜欢跳舞 。
P ∨ Q:小王喜欢唱歌或喜欢跳舞 。
从真值表可知P∨Q为真, 当且仅当P或Q至少有一为真。
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1.2 联结词
“或”字常见的含义有两种: 一种是“可兼或”, 如上 例中的或, 它不排除小王既喜欢唱歌又喜欢跳舞这种情况。 一种是“排斥或”（异或）, 例如“人固有一死, 或重于泰 山, 或轻于鸿毛”中的“或”, 它表示非此即彼, 不可兼得。
运算符∨表示可兼或, 排斥或以后用另一符号表达。 如：(1)小李明天出差去上海或去广州。
断言是一陈述语句。一个命题是一个或真或假而不能 两者都是的断言。如果命题是真, 我们说它的真值为真； 如果命题是假，我们说它的真值是假。
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1.1 命题及其表示法
【例1 】判定下列各语句是否为命题：
(a) 巴黎在法国。
（是）
(b) 煤是白色的。
（是）
(c) 3+2=5