大连市2019年高三第一次模拟考试

大连市2019年高三第一次模拟考试数学（文科）能力测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}{}{}2,1,0,1,2,|1,2,0,2U A x x B =--=≤=-，则()U C A B = A. {}2,0- B.{}2,0,2- C. {}1,1,2- D. {}1,0,2-2.已知复数()1z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限3.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =A. 98B. 49C. 14D. 147 4.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. 200πB. 50πC. 100πD.6.函数22ln x x y x=的图象大致是7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为20,17，则输出的c =A. 1B. 6C. 7D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元）。

由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为A. 111.2B. 108.8C. 101.2D.118.29.如图以所示，由弧AB ，弧AC ，弧BC 所组成的图形叫做勒洛三角形，它由德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首项发现，它的构成如图所示，以正三角形ABC 的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形记为勒洛三角形；有一个如图一所示的靶子，某人向靶子射出一箭，若此箭一定能射中靶子且射中靶子的任意点是等可能的，则此箭恰好射中三角形ABC 内部（即阴影部分）的概率为A.B. C. D.10.已知函数()()sin 0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()203f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则ω的最小值为 A. 2 B. 32 C. 1 D. 1211.已知F 为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，线段PF 与E 相交于点Q,记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若2PF d =，则该双曲线的离心率为A.B. 2C. 3D. 412.以下四个命题： ①22ee > ②2ln 23>③33ππ> ④ln 2ln 2ππ< 其中，正确的个数为A. 1B. 2C. 3D.4二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.在如右图所示程序框图中，任意输入一次)10(≤≤x x 与)10(≤≤y y ，则能输出“恭喜中奖！”的概率为 .14.已知方程1)2(22=-+y m mx 表示双曲线，则m 的取值范围是 .15. 已知函数()sin x f x e x =，则)(x f 在0=x 处的切线方程为 .16. 若31)6sin(=+πx ，则=-)267sin(x π. 三.解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

第21~17题为必做题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分. 17. (本小题满分12分)已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列，首项11=a ，且421a a a 、、成等比数列.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n b 满足n an n a b 2+=，求数列}{n b 的前n 项和为n T .18．（本小题满分12分）已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为集合,A B ，设命题A x p ∈:,命题B x q ∈:，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.19.（本小题共12分）已知在△中，32π=∠C ． （Ⅰ）若225c a ab =+，求sin sin BA；（Ⅱ）求的最大值．20.（本小题共12分）如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，AB AE ⊥，且EM 2=，3=.（Ⅰ）求证：//MN 平面BEC ； （Ⅱ）求三棱锥BMC E -的体积.21.（本小题共12分）已知函数2(2)2()xx a x af x e+-+-=，0a ≤（e 为自然对数的底数）. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当0x ≤时，不等式e x f ≥)(恒成立，求实数a 的值.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，ABC sin sin A B⋅按所做的第一题计分。

22.选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4231（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ-=. (Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求AB .23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数|1||12|)(-+-=x a x x f（Ⅰ）当1=a 时，解关于x 的不等式4)(≥x f ；（Ⅱ）若|2|)(-≥x x f 的解集包含]2,21[，求实数a 的取值范围.大连市2019年高三第一次模拟考试答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.【答案】21【解析】【考点】几何概型与程序框图 14.【答案】),2()0,(+∞-∞【解析】1)2(22=-+y m mx 表示双曲线0)2(<-⇔m m 0<⇔m 或2>m . 【考点】双曲线方程的识别. 15.【答案】1y x =+【解析】()(sin cos ),(0)1,x f x e x x f ''=+=切线方程为1y x =+. 【考点】本题考查导数的几何意义.16.【答案】97-【解析】971)6(sin 2)32cos()26sin()267sin(2-=-+=+-=--=-ππππx x x x . 【考点】三角求值：诱导公式与二倍角公式.三.解答题：共70分。

解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。

17.解：（Ⅰ）由题设，得4122a a a =，即d d 31)1(2+=+化简，的02=-d d又0≠d ，1=∴dn a n =∴分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，nn n b 2+=)222321(2n n n T ++++++++= （）222)1(1-++=+n n n ……12分 18.解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1,0m m -=⇒=或2m =当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去∴0m =． (4)分（Ⅱ）当[1,2]x ∈时，()f x ，()g x 单调递增，∴[1,4],[2,4]A B k k ==--， 由命题p 是q 成立的必要条件，得B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩． ……………12分 19.解：（Ⅰ）由余弦定理及题设 22225c a b ab a ab =++=+，得2b a =． 由正弦定理，sin sin b B a A =， 得sin 2sin BA=． ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．，因为，所以当，取得最大值……………12分20.【答案】（Ⅰ）略； （Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）证明：过M 作DC MF //交CE 于F ，连接.,BF MF 因为DC MF //，2=，所以.32//DC MF ……2分又3=，所以.32//DC NB 故NB MF //，……4分 sin sin a b A B =3A B π∠+∠=sin sin sin sin()3A B A A π⋅=⋅-1sin sin )2A A A =⋅-112cos 2444A A =+-11sin(2)264A π=+-03A π<∠<6A π∠=sin sin A B ⋅14所以四边形NBFM 为平行四边形，故//MN BF ，……5分 而BF ⊆平面BEC ，MN ⊄平面BEC ， 所以//MN 平面BEC ；……6分（Ⅱ）因为//MN 平面BEC ，所以：1133 3.33E BMC M BEC N BEC C BEN BEN V V V V S CB ----∆====⋅=⨯⨯=……12分【考点】线面平行，求三棱锥的体积.21.【答案】（Ⅰ）当0a =时， ()f x 在(,)-∞+∞上为减函数； 当0a <时，则()f x 在(,],[0,)a -∞+∞上为减函数；在[,0]a 上为增函数； （Ⅱ）1a =-. 解：(Ⅰ) ()()xa x xf x e-'=，令12()00,f x x x a '=⇒==；……1分 ①当0a =时，则()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号）()f x ⇒在(,)-∞+∞上为减函数；……2分 ②当0a <时，则(,)(0,)()0()x a f x f x '∈-∞+∞⇒<⇒在(,],[0,)a -∞+∞上为减函数；……3分(,0)()0()x a f x f x '∈⇒>⇒在[,0]a 上为增函数；……4分(Ⅱ) 222(1)()(1)xx x a x f x f e e++-+=⇒-=，……6分 由题意可知：(1)01f a '-=⇒=-；……8分又当1a =-时，由(Ⅰ)可知：()f x 在(,1]-∞-上为减函数；()f x 在[1,0]-上为增函数；……10分∴当1x =-时，()f x 有最小值(1)f e -=，即有()f x e ≥.故1a =-适合题意.12分【考点】函数单调性及分类讨论；导数与不等式恒成立.22.【答案】（Ⅰ）:4320l x y +-=,22:220C x y x y +--=； （Ⅱ）.2=AB【解析】（Ⅰ）直线l :⎩⎨⎧-=+-=t y t x 4231（t 为参数），消去t 得)1(342+-=-x y ，即4320.x y +-= ……2分曲线C ：)4cos(22πθρ-=，即θθρsin 2cos 2+=， ……3分又cos ,sin x y ρρθρθ===，22cos 2sin ρρθρθ=+ ……4分 故曲线C ：22220.x y x y +--= ……5分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y tx 4231（t 为参数）⇒直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=--=//542531t y t x （/t 为参数）， ……7分 代入曲线C ：22220x y x y +--=，消去y x ,得034/2/=++t t 1,3/2/1-=-=⇒t t ，……9分由参数/t 的几何意义知，.213/2/1=+-=-=t t AB ……10分【考点】方程互化，圆的弦长问题.23.【答案】（Ⅰ）),2[]32,(+∞⋃--∞ （Ⅱ）3≥a【解析】（Ⅰ）原问题等价于4|1||12|≥-+-x x 若21≤x ，则432≥-x ，解得32-≤x ；若121≤<x ，则4≥x ，不符合题意，舍； 若1>x ，则63≥x ，解得2≥x ；不等式的解集为),2[]32,(+∞--∞ ……5分（Ⅱ） x x a 331-≥-∴对]2,21[∈x 恒成立121<≤x 时，x x a 33)1(-≥- 3≥∴a 21≤≤x 时，x x a 33)1(-≥- 3-≥∴a综上：3≥a ……10分。