计算方法-第2章-3、插值法(均差与牛顿插值公式)

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牛顿(newton)插值法

牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。

该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。

插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。

插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。

下面介绍牛顿插值法的基本原理。

插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。

在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。

一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。

每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。

在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。

差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。

具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。

牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。

具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。

请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。

计算方法 Newton插值

或者表示成
f[x0 , x1..., xn]
n k0
f(xk ) , ω(xk )
其中ω(xk
)
n
(xk
i0
xi)
ik
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi ) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。
这种求解差商的方法的优点是直接使用公式，缺点是计算量较大。
计算方法 (Numerical Analysis)
第2次 Newton 插值
1. 牛顿插值多项式的概念 2. 差商及其性质 3. 牛顿插值多项式的系数与误差余项的导出 4. 利用牛顿插值多项式近似求解的例子
牛顿插值多项式的概念
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点与缺点
➢ 优点：结构对称，使用方便。
无x n ,将出现在系数中（3.12）
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数。
它满足以下的递推公式：
Nn(x) Nn1(x) an(x x0 )(x x1) …(x xn1)
➢ 牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式,
➢ 与Lagrange多项式相比 • 它克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, • 节省乘除法运算次数, • 在Newton插值多项式中用到的差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.
a2
f( x2 ) f( x0 ) a1( x2 x0 ) ( x2 x 0 ) ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x0, x1] ( x2 x1)
f[x0, x 2 ] f[x1, x0 ] ( x2 x1)
f[x1, x 0, x 2 ]

牛顿插值法介绍

牛顿插值法介绍本文将介绍牛顿插值法的基本原理、计算过程、优缺点以及在实际问题中的应用。

首先，我们将简要介绍插值法的基本概念和牛顿插值法的由来，然后详细讨论牛顿插值法的计算步骤和算法，接着分析其优缺点以及适用范围，最后通过几个实际问题的例子展示牛顿插值法的应用场景。

一、插值法基本概念在数学和计算机领域，插值是指根据已知的离散数据点构造满足这些数据点的曲线或函数的过程。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们想要通过这些数据点构建一个函数f(x)，使得f(xi) = yi，其中i = 1, 2, ..., n。

这样的函数就是经过插值的函数，它代表了这些数据点的趋势和变化规律。

插值法通常用于寻找这样的函数，它能够通过已知的数据点来估计函数在其他位置的值。

常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。

在这些方法中，牛顿插值法是最为广泛使用的一种，因为它的计算效率高、精度较高，并且易于编程实现。

二、牛顿插值法的由来牛顿插值法由艾萨克·牛顿在17世纪提出，他是一位英国著名的数学家、物理学家和天文学家，在微积分、物理学和光学等领域都做出了重大贡献。

牛顿发展了牛顿插值法的理论基础和计算方法，并将其应用于数据分析和天体运动等问题中。

牛顿插值法基于牛顿插值多项式的概念，该多项式利用差商（divided differences）来表示，并具有易于计算和分析的优势。

牛顿插值多项式能够在已知的数据点上进行插值，并且还可以通过添加新的数据点来动态地更新插值结果。

因此，牛顿插值法成为了一种非常有用的数值计算工具，被广泛应用于工程、科学和金融等领域。

三、牛顿插值法的计算步骤1. 确定数据点首先，我们需要确定一组离散的数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，这些数据点是我们已知的数据，我们要通过它们来构建插值函数。

插值法的最简单计算公式

插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。

在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。

插值法的最简单计算公式是线性插值法。

线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。

其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。

通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。

举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。

假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。

根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。

通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。

除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。

在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。

在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。

通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。

插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。

通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。

插值法均差和牛顿插值公式PPT讲稿

f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
规定函数值为零阶均差
2020/6/2
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例1:已知下表，计算三阶差商
xi 1 f (xi ) 0
347 2 15 12
解：列表计算
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xi
f (xi )
一阶差商
二阶差商
三阶差商
10
32 1
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5 -1.25
7
例

f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
f0 f1 x0 x1 x1 x0
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 ] f [x0 , x2 ] x1 x2
1 ( f0 f1 ) 1 ( f0 f2 ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
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性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 ,K xn [a,b], 则n阶均差与导数关系如下：
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三、均差的计算方法(表格法): 均差表
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [x1 , x2 ]
插值法均差和牛顿插值公式课件
§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
2020/6/2

第2章_插值法

56
13.214 285 71

175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,

计算方法—插值法

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lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线性插值的误差很大。为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线，所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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2.2 拉格朗日插值
5
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2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值已知函数y=f(x)的函数插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。

计算方法(2)-插值法

2
2
yk1 2

f (xk

h
2
),
y
k

1 2

f (xk

h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn

th)

yn

tyn

t(t 1) 2!
2
yn

t(t

1)

(t n!

n

1)

n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn

th)

t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0

th)

y0

ty0

t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t

1)

(t n!

n

1)
n
y0
Rn (x0

th)

t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.

根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件设函数y f (x)在区间[a,b]上
连续, 且在n 1个不同点a x0 , x1, , xn b 上分别取值y0 , y1, , yn

计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)

为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
2018/11/7
5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]

j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分三阶差分四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.
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26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分

插值法的简便计算

插值法的简便计算插值法是一种常见的数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计未知函数的值。

在实际应用中，插值法的计算可能会比较复杂，但是有一些简便的计算方法可以帮助我们更快地完成插值计算。

一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它可以通过已知的数据点来估计未知函数的值。

其基本思想是：假设已知n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些点两两不同，那么可以构造一个n次多项式P(x)，使得P(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

然后，通过这个多项式来估计未知函数在某个点x0处的值f(x0)。

拉格朗日插值法的计算比较繁琐，但是可以通过一些简便的计算来减少计算量。

具体来说，可以使用以下公式来计算多项式P(x)：P(x)=Σ(yi*li(x))其中，li(x)是拉格朗日基函数，定义为：li(x)=Π((x-xj)/(xi-xj))(i≠j)这个公式中，Π表示连乘积，xi和xj是已知的数据点，i≠j。

通过这个公式，我们可以快速计算出多项式P(x)的值。

二、牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它也可以通过已知的数据点来估计未知函数的值。

其基本思想是：假设已知n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些点两两不同，那么可以构造一个n次插值多项式N(x)，使得N(xi)=yi(i=1,2,...,n)。

然后，通过这个多项式来估计未知函数在某个点x0处的值f(x0)。

牛顿插值法的计算也比较繁琐，但是可以通过一些简便的计算来减少计算量。

具体来说，可以使用以下公式来计算插值多项式N(x)：N(x)=b0+b1(x-x1)+b2(x-x1)(x-x2)+...+bn(x-x1)(x-x2)...(x-xn)其中，bi是牛顿插值系数，可以通过以下公式来计算：bi=Δyi/Δxi(i=1,2,...,n)其中，Δyi和Δxi分别表示相邻数据点的函数值和自变量之差。

数值分析课件-第02章插值法

数值分析课件-第02章插值法
目录
• 插值法基本概念与原理 • 拉格朗日插值法 • 牛顿插值法 • 分段插值法 • 样条插值法 • 多元函数插值法简介
01 插值法基本概念与原理
插值法定义及作用
插值法定义
插值法是一种数学方法，用于通过已知的一系列数据点，构造一个新的函数，使得该函数在已知点上取值与给定数据点相符，并可以用来估计未知点的函数值。
06 多元函数插值法简介
二元函数插值基本概念和方法
插值定义
通过已知离散数据点构造一个连续函数，使得该函数在已知点处
取值与给定数据相符。
插值方法分类
根据构造插值函数的方式不同，可分为多项式插值、分段插值、
样条插值等。
二元函数插值
针对二元函数，在平面上给定一组离散点，构造一个二元函数通过这些点，并满足一定的光滑性
差商性质分析
分析差商的性质，如差商的对称性、差商的差分表示等，以便更好地理解和应用差商。
差商与导数关系
探讨差商与原函数导数之间的关系，以及如何利用差商近似计算导数。
牛顿插值法优缺点比较
构造简单
牛顿插值多项式构造过程相对简单，易于理解和实现。
差商可重用
对于新增的插值节点，只需计算新增节点处的差商，原有差商可重用，节省了计算量。
要求。
多元函数插值方法举例
多项式插值
分段插值
样条插值
利用多项式作为插值函数，通过已知点构造多项式，使得多项式在已知点处取值与给定数据相符。该方法简单直观，但高阶多项式可能导致Runge现象。
将整个定义域划分为若干个子区间，在每个子区间上分别构造插值函数。该方法可以避免高阶多项式插值的Runge现象，但可能导致分段点处的不连续性。

计算方法第二章插值函数

第二章插值法教学目的与要求：了解插值问题的提法，掌握插值多项式的定义。

了解多项式插值、插值多项式的截断误差、余项和Lagrange 插值多项式的定义，理解插值多项式的唯一性、插值基函数的定义，掌握插值余项定理的证明、线性插值、抛物插值以及一般Lagrange 插值多项式的推导。

重点与难点：基函数思想及Lagrange 插值多项式■ 教学内容：§ 1 插值问题与插值多项式一、插值问题插值的基本思想二、插值函数的定义§ 2 Lagrange 插值一、多项式插值1．多项式插值的定义：用多项式函数来近似代替的插值方法，称之为多项式插值式 )(x f 2．插值多项式的唯一性二、插值多项式的误差估计1．定义：若在上用],[b a )(x n ϕ近似，则)(x f )()()(x x f x R n n ϕ−=称为插值多项式的截断误差，又称为插值多项式的余项。

关于插值余项的估计有下面的定理。

2．误差估计定理定理2.1 设在区间上连续，在内存在，是区间上的互异节点，)()(x fn ],[b a )()1(x f n +),(b a n x x x ,,,10L ],[b a )(x n ϕ是满足插值条件的插值多项式，则对任意的],[b a x ∈，插值余项)()!1()()()()(1)1(x n f x x f x R n n n n +++=−=ωξϕ,其中的],[b a ∈ξ且依赖于x ，。

∏=+−=ni i n x x x 01)()(ω三、Lagrange 插值多项式1．线性插值 2．插值基函数3．Lagrange 插值多项式小结：1．插值的基本思想；2. 插值多项式的存在性；3. Lagrange 插值多项式：注意它的规律；4. Lagrange 插值的余项和误差估计问题。

作业：习题2 第1、2题。

§ 3 Newton 插值教学目的与要求：了解Newton 插值的多项式的产生基础，理解差商的定义及性质、差分的定义及性质，掌握Newton 插值和等距结点插值多项式的推倒过程。

计算方法-第2章-插值法均差与牛顿插值公式

f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
x2 x1
依次可得到 a3, a4 , , an 。为写出系数的一般表达式，
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4
现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n 称
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5
-1.25 12
2.3.2 牛顿插值公式
2019/10/13
13
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14
Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!

n 1
(
x)
f [x, x0 , x1 ,, xn ]n1(x)
我们称 Nn(x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
f [x1 , x2 ]
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ]
三阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的.
但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.

第2章插值法

2.3.2 均差及其性质
差商的基本性质:
由(3.4)得差商表:
k xk f(xk) 一阶差商二阶差商三阶差商 …
0 x0 f(x0) 1 x1 f(x1) 2 x2 f(x2) 3 x3 f(x3) 4 x4 f(x4) ┆ ┆┆
f[x0, x1] f[x1, x2] f[x2, x3] f[x3, x4]
。
1.0
这说明用高次插值多项
式Ln(x)近似f(x)效果并不
0.5
好，因而通常不用高次
插值，而用分段低次插值。
-5
0
5x
二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).
二、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
yk
0
xk
y=L1(x) y=f(x)
yk+1
xk+1
x
y
1 1 图 2-3
1
0
xk
xk+1
x
几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。
y 1
0
Xk-1
x xk Xk+1
图 2-4
2.2.2 拉格朗日插值多项式
需要指出(2.3)式与（2.5）式是当n=1和n=2时的特殊情形。
例1 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36=
0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.
§2.3 差商与牛顿插值
2.3.1 插值多项式的逐次生成

牛顿插值法

x2-x1
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式,
➢差商(均差)定义
2.3.2 均差及其性质
1、差商（均差）的定义
称
f [x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x关) 于点 x的0 ,一xk阶差商。
称
f [ x0 , x1, xk ] =
-
f ( x1)
-பைடு நூலகம்
f ( x0 )
( x1 - x0 )( xk - x1) ( x0 - x1)( xk - x1)
=
f (x0 )
+
f (x1)
+
f (xk )
(x0 - x1)( x0 - xk ) (x1 - x0 )( x1 - xk ) (xk - x0 )( xk - x1)
一般有
f [ x0 , x1,, xk ] =
注：差商与节点的排列次序无关——差商的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x0 , x1,, xk ] = f [ x1, xk-1, x0 , xk ] = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x1, x2 ,, xk-1, x0 ] xk - x0 = f [ x1, x2 ,, xk-1, xk ] - f [ x0 , x1, x2 ,, xk-1] xk - x0
=
f[x0,x2] - f[x0,x1]
x2 - x1
= f[x0,x1,x2] ;
P2(x)=f(x0) + f[x0,x1](x-x0) + f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)

2.3均差与牛顿插值公式

● ● ● ● Newton插值多项式的构造差商的定义及性质差分的定义及性质等距节点Newton插值公式
2
基函数
{1, x - x0 ,( x - x0 )( x - x1 ),
构成 Pn ( x ) 的一组基函数？
,( x - x0 )( x - x1 )
( x - xn- 1 )} 是否
解：先构造差分表如下：
xk f ( xk ) f 0.00500 0.10 0.99500 0.01493 0.20 0.30 0.98007 0.02473 0.95534 0.03428 0.40 0.92106 0.04348 0.50 0.87758 0.00920 0.00955 0.00035 0.00980 0.00025 0.00993 0.00013 2 f 3 f
fi
3
fi
n
f1 f 0 f2 f3 fn f1 2 f 0 f 2 f1 f 0
2 3 2 3
f n 1 f n 2 f n 3
f0
n
17
利用这些性质,可将Newton公式进一步简化为
Nn ( x) Nn ( x0 th) t t (t 1) 2 t (t 1) (t n 1) n f0 f0 f0 f0 1! 2! n!
, xn1 ] f [ x0 , x1 ,

, xn ] f [ x, x0 , x1 ,
, xn ]( x xn ).
只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 ) f [ x , x0 ,, xn ] n1 ( x ) N n ( x ) Rn ( x ),

牛顿插值公式

end
2
for i=1:m
1.5
t0=t(i);s=f(n); 1
for k=n:-1:2
s=f(k-1)+s*(t0-x(k-1));
0.5
end
0
y1(i)=s; End
-0.5
-5
0
5
plot(x,y,'ko',t,y1,'r',t,y0,'k')
谢谢观看！ 2020
一阶差商 f [ x j , x j1]
f ( x j1) f ( x j ) x j1 x j
f ( x j ) f ( x j1) x j x j1 x j1 x j
( j = 0,1,…,n-1 )
二阶差商
f [x j , x j1, x j2 ]
f [x j1, x j2 ] f [x j , x j1] xj2 xj
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] x2 x0
a0 = f(x0), a1 = f[x1, x2], a2 = f[x0, x1, x2]
P(x)=a0 + a1(x – x0) + a2 (x – x0)(x – x1)
定义5.3 若已知函数 f(x) 在点 x0, x1, ···, xn 处的值 f(x0), f(x1), ···, f(xn).如果 i ≠ j ,则
N ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) f [ x0 , x1 , , xn ](x x0 )(x x1 ) ( x xn1 )