(高清打印版)2014华二自主招生数学试题

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华二初中自招培优讲义之自主招生考试数学试题

自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。

2014年华约自主招生数学试题(精校word版,有答案)-历年自主招生考试数学试题大全

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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。

华二初中自招培优讲义之自招真题试卷

自主招生数学试题5一、选择题（每小题6分，共计36分） 1、方程2681x x -+=实根的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分，那么下列分数中不可能的是（）A 、95B 、89C 、79D 、75 3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列6个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -，其值为正的式子的个数是（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个4、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是:1p ，而在另一个瓶子中是:1q ，若把两瓶溶液混合一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（）A 、2p q +B 、22p q p q++ C 、2pq p q + D 、22p q pq p q ++++ 5、已知直角三角形有一条直角边的长是质数n ，另外两条边长是两个自然数，那么它的周长是（）A 、21n +B 、21n -C 、2n n +D 、2n n - 6、如图，ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=，延长AC 到D ，使CD B C =，点P 是ABD∆的内心，则BPC ∠=（）A 、145B 、135C 、120D 、105二、填空题（共6小题，每题6分，共36分）7、设直线(1)10kx k y ++-=与坐标轴所构成的直角三角形的面积是k S ，则122008...___________S S S +++=。

8、已知方程121011x x x x m -+-+-+-=无解，则实数m 的取值范围___________。

9、已知11x x -=，则242____________20071x x x =++。

10、如图，电路中有4个电阻和一个电流表A ，若没有电流通过电流表A ，问电阻器断路的可能情况共有______________种。

2014年华约自主招生数学试题及参考解答

2014年“华约”自主招生数学试题1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合函数，即()()(())fg x f g x =（1）证明-111()()()()fg x g f x --=．（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．5、从椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的动点M 作圆222b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。

6、已知数列{}n a 满足nn n qa np a +=+1，01=a 。

（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；（2）若1||<p ，1||<q ，求证：数列{}n a 有界。

7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，21e nx x n n x n ⎛⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又12345444546474ax x x x x ++++=++++是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，574611-=，574710-=．[解法2]2 【解法1】设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,011113C ⨯,1010124C ⨯.()()2313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．则()()()2432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．由单调性可知，当11302430p =+-时，q p -取到最大值．【解法2】4、解析：5、解析：7 答案：原不等式等价于： 21e nxx n x n n ⎛⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；若2x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．若2x n ≤，则右边222221e 1111nnnxn x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．注：第7题证明中用了如下两个事实：（1）若0x ≥，则e 1xx ≥+；（2）若1x ≥-，1α≥，则()11x x αα+≥+．其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜．除上述两个结论外，（3）若0x ≥，则()ln 11xx x x ≥+≥+；（或()2ln 12x x x x-≤+≤）．（4）若0x ≥，则 3sin tan 6x x x x x-<<<；（5）若0x ≥，则 2cos 12x x ≥-．也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！。

(高清打印版)2014华二自主招生数学试题

JI H B D G E AF C B D A F E C /////////////////2014华二自主招生数学试题一、填空题1．已知a+a -1=4，则a 4+a -4=______．2．⊙O 为△ABC 外接圆，已知R=3，边长之比为3：4：5，S △ABC =_____．3．,4112222b a b a +=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛20142013b a a b _________．4．四个不相等的整数ABCD ，满足下式的关系，则D 可能有________个取值+DBDDD BCADA ABBCB5．有一个鱼缸它的底为100cm×40cm ，高50cm ，现在鱼缸内装水，水面高40cm ，将一个底为40cm×20cm ，高为10cm 的砖块扔到鱼缸中．缸内水面上升了________cm ．6．有一个正方形ABCD ，边长为1，其中有两个全等矩形BEFC ，GHIJ ，BE=_________．7．13+a=9+b=3+c ，求a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc=______．8．甲手上有1～5号牌，乙手上有6～11号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为_________．9．直角坐标系xOy 内有一个△OEF ，原点O 为位似中心，相似比为2，点E 的对应点为E′，已知E(2，1)，求E′的坐标_____．10．一辆车的计程车速度为55km/h ，出发时它的里程表上的里程数为abc ，n 小时(n 是整数)行程结束时里程表上的里程数是为cba ，其中a≥1，a+b+c≤7，a 2+b 2+c 2=_________．11．有一个多项式，除以2x 2-3，商式是7x-4，余式是-5x+2，多项式为__________．12．有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为_______．13．有一个矩形ABCD ，DC=2BC ，E 、F 为AB 边上点，DE 、DF 将∠ADC 三等分，S △DEF /S 矩=________．14．抛物线上两点A(-5，y 1)，B(3，y 2)，抛物线顶点在(x 0，y 0)，当y 1＞y 2＞y 0，求x 0的取值范围__________．15．l 1、l 2交于点O ，平面内有任意点M ，M 到l 1、l 2的距离分别为a 、b ，有序实数对(a ，b)为距离坐标，若有序实数对为(2，3)，这样的数有几个?___________二、选择题16．若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD 全等的有()A ．△BCE B ．△ADF C ．△ADE D ．△CDE 17．有一个长方形纸片，其长为a ，宽为b(a>b)，现将这种纸片按下图的方式拼成矩形ABCD ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S ，当BC 的长改变时，S 不变，a 和b 满足()A ．a=2b B ．a=3b C ．a=34b D ．a=4b 三、解答题18．解关于x 的方程a x =--3221．19．某商场购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价和售价如下图：进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元．(1)问该商场购进两种手机各多少台？(2)若现在进货资金不超过16万；且(1)的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货方案使得毛利最大．20．如图所示，C 在⊙O 上，OD ∥BC ，AD 是切线，延长DC 、AB 交于点Ｅ．(1)求证：DE 是切线；(2)32=DE CE ，求cos ∠ABC 的值．21．(1)设n 是给定的正整数，化简：()1111122-+++n n，(2)根据(1)的结果，计算2222221019113121121111+++++++++ 的值．22．已知抛物线过点A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)(1)求解析式；(2)P 是直线AB 上方抛物线上一点，不与A 、B 重合，PD ⊥AB 于D ，PF ⊥x 轴于F ，与AB 交于E ．①当C △PDE 最大时，求P 的坐标②以AP 为边作正方形APMN ，M 或N 恰好在对称轴上，求P 的坐标．单位(元)甲乙进价40002500售价43003000。

2014高中自主对外招生数学试卷和答案

高中自主招生考试数学(试卷满分：150分考试时间：120分钟)准考证号姓名座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1．如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示，则其左视图面积为（）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为（） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7．实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为．9．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b，例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14．若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分）如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点，交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。

2014华约自主招生数学解答

n 1 成立，于是 bn 在 n N 0 时单调递减，于是数列 n 1 t
以存在 N 0 ，使得对 n N 0 ，
我们设最大项为 bk ，那么 n 1 t n 有最大项，
n 1 t n
t 1
t tn

bk B (其中 B 是一个常数). t 1
2
b2 b , 0 , F 0, a cos sin
，所以 EOF
的面积 S
b3 b3 b3 ，所以 EOF 的面积的最小值为 . a a sin 2 a
n 6. 设数列 an 满足： an 1 np qan ， a1 0 .
n
x x 证明：记 f x x n 1 e n . n
2
n
那么 f ' x 2 x n 1

x x x e n 1 n n
n 1
n
n 1
x n1 e x x 2 1 e x ，我们证明对 n
情形(3)： b c a d ，同(1)亦有 4b 39 ，矛盾. 情形(4)： b c d a ，同(1)亦有 4b 38 ，矛盾. 综上所述， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的值为 x1 x2 11, x3 10, x4 12, x5 13 及其轮换. 2. 一场比赛在甲乙之间进行，采取五局三胜制，已知甲赢一局的概率为 p ( p 赢得比赛的概率是 q ，求 q p 的最大值，及取最大值的 p 值. 解：设比赛了局. 当甲用 3 局取胜，则 q 3 p ；当甲用 4 局取胜，则 q 4 C3 p 1 p ；

“华约”自主招生数学试题及解答(2010-2014...

2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（）（A ）2 （B （C ）1 （D 3。

缺 4。

缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tantan 22A C的值为（）（A ）15 （B ）14（C ）12（D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF垂直BC 于F ，OH 与AF相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)ax f x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（）（A ）（B ）2 （C ）（D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 10．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。

上海四校自招-数学华二卷解析

a - -1. a + a -1 = 4 , a 2 + a -2 =14 , 四校自招-数学·华二卷 a 4 + a -4 = 194学而思高中部胡晓晨老师 2. S = 1 ⨯(6 ⨯ 3) ⨯(6 ⨯ 4) = 216ABC 2 5 5 25【高中知识点】解三角形——三角形面积公式a 2 +b 2 3. a 2 a 2 + b 2+ = 4 , b 22 2 + = 2 , a 2 b 2 b 4 + a 4 = 2a 2b 2 ,a 2 =b 2若 a = b , ( b )2013 ( a )2014 = 0a b若 a = -b , ( b )2013 ( a )2014 = -2 a bans 0 或-24. 第五列B+A=D ，结合第一列A+B=D ，可得第二列B+C=B 没有进位∴ C = 0∴ A+B=D 也没有进位，算式即A B B 0 B+ B 0 A D AD B D D D 而 A ≥ 1, B ≥ 1，且 A ≠ B∴ D = A + B ≥ 3D 可取到3, 4,,9 ，共 7 个值5. 40 ⨯ 20 ⨯10= 2100 ⨯ 40 【注】我觉得答案也可以是-40 cm ，砖扔到鱼缸里，鱼缸就被砸破了 6. 连 BF , JH ，过 H 作 HM ⊥ AJ 于 M ，则FBE ≌HJM∴ MJ = BE∴ AJ - DH = AJ - AM = MJ = BE∴ AJ = DH + BE = JE + BE = BJ∴ AJ = 1 2b3 ∴ ∠GJA = 60︒ ∴ ∠IJE = 30︒ 设 IJ = x ，则 BE = x ， JE = 3 x ， BJ = x +2 3 x = 1 2 2∴ x = 2 - 7. 题目不全8. 【注】题目表述应为内切球，不是内切圆大正方体边长2 cm, 其内切球直径2 cm ，也作为小正方体的外接球2∴小正方体边长cm小正方体表面积6⨯( 2 )2 = 8 cm 23【高中知识点】立体几何——正方体与球(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 9. = 16 + 36 +100 = 8 +18 + 50 = 762 210. 1- 4 ⨯ 4 = 75 6 15【高中知识点】概率——对立事件发生的概率11. (-8, 4)12. 【注】题目应当补充条件：行驶的时间刚好为整数（单位：小时）(100c +10b + a ) - (100a +10b + c ) = 55t即99(c - a ) = 55t9(c - a ) = 5t∴ c - a = 5,t = 9∴ a = 1, c = 6∴ b = 033 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3713. (2x 2 - 3)(7 x - 4) + (-5x + 2) = 14 x 3 -8x 2 - 26 x +1414. 【注】题目意思应表述为，最大的正整数最大值可能为多少 ans 35 ；可构造出11个数分别为1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 3515. 设 AD = 1 , DC = 2 ，则 AE = 1 ,DF = 2AD = 2 , 3AF = ,EF = AF - AE = - 1 = 23 31⨯ 2 ∴ S DEF S ABCD = 2 3 = 1 = 3 2 2 3 6二、16. C17. x 0 > -118. 4【高中知识点】解析几何——点的轨迹问题19. 设 BC = x ，则S = (x - a )3b -(x - 4b )a = (3b - a )x + ab ，当a = 3b 时， S 不变ans B三、20. 1 x - 2 = a + 32若 a + 3 < 0 ，即a < -3 ，原方程无解若 a + 3 = 0 ，即a = -3，原方程即 1 x - 2 = 0 ， x = 4 2若 a + 3 > 0 ，即a > -3，原方程即 1 x - 2 = ±(a + 3) ， x = 2a +10 或-2a - 22【高中知识点】绝对值不等式⎩ ⎩ OE ⎬OA = ⎬O C21. ⑴设购进甲、乙两种手机分别 x , y 台，则⎧0.4x + 0.25y = 15.5⎨0.03x + 0.05y = 2.1⎧x = 20解得⎨ y = 30答：购进甲手机20 台，乙手机30 台⑵设增加购进乙手机数量为a 台，则甲手机减少 a 台，则2(20 - a ) ⨯ 0.4 + (30 + a ) ⨯ 0.25 ≤ 162解得a ≤ 10(20 - a) ⨯ 0.03 + (30 + a ) ⨯ 0.05 = 0.035a + 2.1 ≤ 2.452 ∴当a = 10 时，利润最大，此时乙手机共40 台，甲手机共15 台答：购进甲手机15 台，乙手机40 台，可达到利润最大，最大为2.45 万元22. ⑴设OD 与 AC 交于点 E ，连OC则 AC ⊥ CB ⎫⇒ OE ⊥ AC ⇒ EA = EC ⇒ DA = DC⎭DA = DC ⎫ ⇒DAO ≌DCO ⇒ ∠DCO = ∠DAO = 90︒⎭∴ DC 为切线，即 DE 为切线⑵ CE= 2 ，则 DC = 1DE 3 DE 3∠ODA = ∠ODE ⇒ OA= DA = DC = 1设OA = x ，则OE = 3x∴ OB = x , BE = 2xOE DE DE 3CE 为切线， ∠ECB = ∠CAE ⇒ ECB ∽EAC∴ EC = EB= CBEA EC AC 设CB = a ，则CA = ⇒ EC = 2 2x ⇒ 2aCB = 2CA 2CB 2 + CA 2 = AB 23 n 2 (n +1)2 + n 2 + (n +1)2 n 2 (n +1)2 + 2n (n +1) +1 (n (n +1) +1)22 ∴ a 2 + 2a 2 = 4x 2 ⇒ a = 2 x ⇒ cos ∠ABC = CB = CA 2 x3 = 32x 323.⑴-1 = -1 = -1n (n +1) = -1 = n (n +1) +1 -1 = 1= 1 -1n (n +1)n (n +1) n (n +1) n (n+1)n n +1⑵原式 = (1+1- 1) + (1 + 1 - 1) ++ (1+ 1 - 1 ) = 9 + (1 - 1 ) = 992 23 【高中知识点】数列——裂项求和9 10 10 1024. ⑴ y = -x 2 - 2x + 3⑵①PDE 为直角三角形，且∠P = ∠BAC = 45︒∴ PE = 2PD = 2DE∴ C PDE = PE + DE + PD = ( +1)PE设 P (m , -m 2 - 2m + 3) ，易求得直线 AB 解析式为 y = x + 3则 E (m , m + 3)∴ PE = -m 2 - 3m = -(m + 3)2 + 92 4∴当m =- 3 时， PE 取到最大值 9 ， C = ( +1)PE 取到最大值 9( 2 +1)2 此时 P (-3 , 15)2 44 PDE 4②若 N 在对称轴上，则 PF = 2 ，即-m 2 - 2m + 3 = 2∴ m = -1± 又-3 < m < 0∴ m = -1-∴ P (-1- 2, 2)若点 M 在对称轴上，则 AF + PF = 2∴ 3+ m - m 2 - 2m + 3 = 21+ 1 + n 2 1 (n +1)2 2 2217 -1 ∴ m = -1± 172又-3 < m < 0∴ m =-1- 17 2∴ -m 2 - 2m + 3 =17 -12∴ P (-1- 17 , ) 2 2【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从涉及到的重要高中知识点来说，二附中的考察并无明显针对性（例如上中的考点，明显针对不等式）本卷中考到的解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等等，涉及到的也非常非常浅，而且考试足以通过初中知识解决2. 初高衔接知识点分析高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主这在本试卷中，体现的非常非常明显，也说明了参加二附中的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢地打好基础即可考到的初高衔接的知识题目如第一、1, 3, 9, 12, 17第 20, 23 题等，全部都在考察“解方程”，“代数式变换”，“二次函数性质”这也与高中数学以代数为主切合因此，二附中的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势3. 初中知识点分析初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，考察了基本的知识与应用如第 2, 5, 6 题（本题难度较大，来源是 2014 年美国数学竞赛十二年级试题）第 15 题第二 16, 19 题, 第 22 题数论知识考察也少，如第4, 12 题建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。