第三节 条件概率
合集下载
概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式
第三节 条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念.内容分布图示★ 概念引入★ 条件概率的定义 ★ 例1 ★ 例2★ 乘法公式★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 全概率公式 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 贝叶斯公式 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-4内容要点：一、 条件概率的概念在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件A 发生的条件下,求事件B 发生的条件概率,记作)|(A B P .定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称)()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.相应地，把)(B P 称为无条件概率。
一般地，)|(A B P )(B P ≠.注: 1. 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间.2. 计算条件概率有两种方法:a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ；b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。
二、乘法公式由条件概率的定义立即得到:)0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2)注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:)0)(()|()()(>=B P B A P B P AB P (3)(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。
它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。
概率论与数理统计第3讲
3
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发 生的条件下事件B发生的概率称为条件概率 条件概率, 条件概率 记为P(B|A).
4
例1 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是 女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定 男生女生是等可能的)? 解 由题意, 样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两 个都是女孩", 则有 A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)} 由于事件A已经发生, 所以这时试验的所有可 能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只 占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
20
例5 已知某厂家的一批产品共100件, 其中有5 件废品. 为慎重起见, 某采购员对产品进行不 放回的抽样检查, 如果在被他抽查的5件产品 中至少有一件是废品, 则他拒绝购买这一产品. 求采购员拒绝购买这批产品的概率. 解设 Ai={被抽查的第i件产品是废品}, i=1,2,3,4,5, A={采购员拒绝购买}, 5 则 A= A
17
例3 活到50岁的概率为0.90718, 活到51岁的概 率为0.90135. 问现在已经50岁的人, 能够活到 51岁的概率是多少? 解 记A={活到50岁}, B={活到51岁}. 则B⊂A. 因此, AB=B. 要求P(B|A). 因为P(A)=0.90718, P(B)=0.90135, P(AB)=P(B)=0.90135, 从而 P ( AB ) 0.90135 P ( B | A) = = ≈ 0.99357 P ( A) 0.90718 由此可知, 该城市的人在50岁到51岁之间死亡 的概率约为0.00643. 在平均意义下, 该年龄段 中每千个人中约有6.43人死亡. 18
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
应用定义
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
第三节条件概率及相关公式
定理:设P ( B) > 0, 则条件概率P ( i B ) 满足概
1.非负性:对任一事件A,有0 ≤ P ( A B ) ≤ 1
率的公理化定义中的三个条件:
2.规范性:P ( Ω B ) = 1
3.可列可加性:对可列无限多个互不相容 的 事 件 A 1 , A2 , ⋯ ⋯ An , ⋯ ⋯
有 P ∪ Ak B = ∑ P ( Ak B ) k =1 k =1
=
P ( AB ) 6 8 6 ∴ P ( A B) = = = 7 P (B) 7 8
7 P ( B) = 8
3 3 6 + = 8 8 8
练习3:
设某厂生产的灯泡能使用1000小时以上的 概率为0.9,能使用1500小时以上的概率为 0.3,如果有一个灯泡已经了使用1000小时
没有损坏,
求它能使用1500小时以上的概率.
P ( AB) P( B | A) = P ( A)
为事件 发生的条件下事件 发生的条件概率 事件A发生的条件下事件 发生的条件概率. 事件 发生的条件下事件B发生的条件概率
“条件概率”是“概率”吗？ 条件概率” 概率” 1.何时 P(A|B)=P(A)? 1.何时 2.何时 2.何时 P(A|B)>P(A)? 3.何时 3.何时 P(A|B)<P(A)?
+ C 2 m −1
m 4 m −1
2 = 3
C
因为在B已发生的条件下,A1与A2互为对立
事件,故在取得的m个球是同一颜色的条
件下,球全是白色的条件概率为:
2 1 P ( A 2 B ) = 1 − P A2 B = 1 − P ( A1 B ) = 1 − = 3 3
第三节_条件概率
概率论
应用 定义
P( AB) 3 36 1 解法1: P( A | B) = 解法 = = P(B) 6 36 2 3 1 解法2: P( A | B) = = 解法 6 2
在B发生后的缩减样本 发生后的缩减样本 空间中计算
二、乘法公式(Multiplication Law of Probability) P( AB) 由条件概率的定义： 由条件概率的定义： P( A | B) = P(B)
)=3/10， 则 P(A )=3/10，
3 3 10 P( AB) = P(A|B) = = 7 7 10 P(B)
一、条件概率(Conditional Probability)
1. 条件概率的概念
概率论
在解决许多概率问题时， 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息(条件 下求事件的概率. 条件)下求事件的概率 加信息 条件 下求事件的概率 如在事件B发生的条件下求事件 发生的概率， 如在事件 发生的条件下求事件A发生的概率 发生的条件下求事件 发生的概率， 将此概率记作P(A|B). 将此概率记作
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大
概率论
表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” ＝ 解: 我们用 Ai 表示“第i个人抽到入场券”, i＝1,2,3,4,5. 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A 表示“第i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5 ， 1＝ 也就是说， 1个人抽到入场券的概率是 也就是说， 个人抽到入场券的概率是 第 个人抽到入场券的概率是1/5. 因为若第2个人 因为若第 个人 由乘法公式 抽到了入场券， 抽到了入场券， 个人肯定没抽到. 个人肯定没抽到 P( A ) = P( A )P( A | A ) 第1个人肯定没抽到 2 1 2 1 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到， 也就是要想第 个人抽到入场券, 必须第 个人未抽到， 个人抽到入场券 个人未抽到 计算得： 计算得：P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5 由于
概率论与数理统计 1-3
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
第三节 事件的条件概率和三个基本公式
∵ B ⊂ A ∴ B = BA .
P( B ) = P( BA) = P( A) ⋅ P( B A) = 0.96 × 0.75 = 0.72 ，
即一等品率为72%. 即一等品率为 %.
8
Hale Waihona Puke 一场精彩的足球赛将要举行， 一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 个球迷好不容易才搞到一张入场券. 个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去,只好用抽签的方法来解决 只好用抽签的方法来解决. 大家都想去 只好用抽签的方法来解决
P( A B ) ≥ 0 ；
P( B) = 1；
是两两不相容的事件， (3) 可列可加性 设 A ,⋯, An ⋯是两两不相容的事件，则 1
∞ ∞ P ∪ Ai B = ∑ P( Ai B ) i =1 i =1
并由此推出条件概率的其它性质： 并由此推出条件概率的其它性质：
0.1 = 0.25 . = 0.4
7
某厂产品的废品率为4%,而合格品在中有75% %,而合格品在中有 例2 某厂产品的废品率为 %,而合格品在中有 %是 一等品,求一等品率. 一等品,求一等品率. ：合格品； ：一等品， 解 记A：合格品；B：一等品， 由题意 , P( A) = 1 − 4% = 96% , P( B A) = 75% ，
P ( B ) = P ( A)P ( B A) + P ( A )P ( B A )
a a −1 b a a = ⋅ + ⋅ . = a + b a + b−1 a + b a + b−1 a + b
可以想见，第三次 第四次… 可以想见 ， 第三 次 、 第四次 … 摸出白球的概率仍为
第三节条件概率全概率公式
第三节条件概率全概率公式条件概率、全概率公式是概率论中两个重要的概念和方法。
在实际问题中，我们常常需要考虑一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，即条件概率。
而全概率公式则是一种根据一组互斥事件的概率可以计算出其他事件概率的方法。
本节将详细介绍条件概率和全概率公式的概念、性质以及应用。
一、条件概率条件概率是指在一个已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
记为P(A，B)，读作“A在B下的概率”。
其计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率具有以下性质：1.非负性：对于任意的事件A和B，有P(A，B)≥0。
2.规范性：当P(B)>0时，有P(B，B)=13.直积性：对于任意的事件A和B，有P(A∩B)=P(B)×P(A，B)。
4.反转性：若P(B)>0，有P(A，B)=P(A∩B)/P(B)=P(B，A)×P(A)/P(B)。
条件概率在实际应用中非常重要。
例如，在医学诊断中，我们常常需要计算一些疾病在一些检查结果呈阳性的条件下的概率，以判断该疾病的可能性大小。
全概率公式是指通过一组互斥事件的概率可以计算出另一个事件的概率的方法。
假设事件B1、B2、..、Bn互不相容且构成样本空间S，即B1、B2、..、Bn是一组完备事件，且P(Bi)>0，那么对任意事件A有：P(A)=P(A，B1)×P(B1)+P(A，B2)×P(B2)+...+P(A，Bn)×P(Bn)全概率公式的核心思想是将事件A在各个互斥事件的条件下进行考虑，并加权求和得到事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛。
例如，在市场营销中，一个产品的销量可能受到不同市场环境的影响。
我们可以通过对不同市场环境下产品销售的数据进行分析，运用全概率公式计算出在不同市场环境下产品销售的概率，进而制定相应的营销策略。
高等数学 第三节 条件概率
第三节 条件概率一）1、教学目的与要求：理解条件概率的概念，掌握乘法公式并会利用该公式进行计算2、教学重点：条件概率 乘法公式教学难点：条件概率3、教学课时：2课时4、授课手段：师生互动，讲练结合二）授课过程1、 回顾：上节课我们学习了概率的定义，其中最主要的有两个知识点：1）什么情况的事件概率适用古典概率去求？（生答）2)古典概率适用，则如何求其概率，关键是什么？（生答）2、 导入：前面我们学习了概率的相关概念，给出了概率的古典定义基本事件总数包含的基本事件个数事件）＝（A A P 但是很多时候有些事件的发生还被其他事件影响着，这样的事件概率如何求，就是本节我们要讨论的内容。
3、 新授：一 、 条件概率1、概念及计算公式引例：一批同类产品共14件，其中有甲厂提供的6件产品中有4件优质品；由乙厂提供的8件产品中有5件优质品。
试考察下列事件的概率：1)从全部产品中任抽1件是优质品2)从甲厂提供的产品中任抽1件而被抽的这1件为优质品解：设B ＝｛抽到产品是优质品｝，A ＝｛抽到甲厂提供的产品｝1)抽取在全部产品中进行，故样本空间 中有14个基本事件，B 中包括有9个，则所求概率为149； （此处为上一节课内容，可以让学生回答解决问题） 2)这里考察的是在事件A 发生下事件B 发生的概率，则此时概率为64 （生答）定义：一般地，若P （A ）>0，则把事件A 已经发生的条件下，事件B 发生的概率称为条件概率，记为：P （B|A ）。
说明：（重点、难点解决） 定义用图示法理解为：事件的样本点已落在图形A 中（事件A 已发生），问落在B （事件B ）中的概率。
由于样本点已经落在A 中，且又要求落在B 中，于是只能落在AB 中，则其概率计算公式为 P(A)AB P A |B P ）（）＝（ （P(A)>0）（给出结论之前，让学生思考试答） 类似地， P(B)AB P B |A P ）（）＝（ （P(B)>0）（学生思考试答） 注：1）注意P(B|A ）与P(B)的区别。
概率论与数理统计 第三节 条件概率与独立性
一、条件概率
4. 条件概率的计算
P ( AB ) 1) 用定义计算 P ( A | B ) P( B)
2)用缩减的样本空间计算
例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点} 掷骰子
1 P(A|B) = 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
一、条件概率
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10”的概率是多少?
一、条件概率
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称 P ( AB ) (1) P( A | B) P( B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此 点必属于AB. 由于我们已经知 道B已发生, 故B变成了新的样 本空间 , 于是有(1).
A={取到一等品}， B={取到正品} P(A ) =3/10，
3 10 P ( AB ) 3 P(A|B) 7 10 P( B) 7
一、条件概率
A={取到一等品}， B={取到正品}
P(A)=3/10， P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件 产品中一等品的比例. 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上 “事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题.
故抓阄与次序无关.
二、乘法公式
练习3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下 打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落 下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的 概率.
13条件概率全概公式贝叶斯公式
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
PB1 PA | B1 PBn PA | Bn n
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在 应用此全概率公式时 ,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系
第三节事件的条件概率和三个基本公式
第三节事件的条件概率和三个基本公式在概率论中，事件的条件概率是指在给定另一个事件发生的前提下，其中一事件发生的概率。
条件概率可以用来描述两个事件之间的相关性和依赖关系。
而条件概率的计算可以通过使用三个基本公式：乘法规则、加法规则和全概率公式。
1.乘法规则：乘法规则是最基本的计算条件概率的方法，它描述了两个事件同时发生的概率。
设A和B是两个事件，则A与B的交集（同时发生）的概率可以表示为P(A∩B)。
而A与B同时发生的概率可以表示为事件A发生的概率P(A)乘以事件B在前提A发生的条件下发生的概率P(B，A)，可以表示为：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)2.加法规则：加法规则用于计算两个事件中至少一个事件发生的概率。
设A和B是两个事件，则A与B的并集（至少一个事件发生）的概率可以表示为P(A∪B)。
而A与B同时发生的概率可以表示为事件A发生的概率P(A)加上事件B发生的概率P(B)，再减去事件A与B同时发生的概率P(A∩B)，可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)3.全概率公式：全概率公式用于计算一个事件在多个互斥事件发生情况下的总概率。
设A是一个事件，B1、B2、B3...是事件的一个划分（互斥且完备），则事件A发生的概率可以表示为每个事件Bi发生的概率P(Bi)与事件A在条件Bi下发生的概率P(A，Bi)的乘积之和，可以表示为：P(A)=P(B1)*P(A，B1)+P(B2)*P(A，B2)+P(B3)*P(A，B3)+...通过以上三个基本公式，可以在给定条件下计算事件发生的概率，进而用于推断和分析各种实际问题。
例如，假设有一批产品中有10%的次品，其中80%的次品是由机器A 生产的，20%的次品是由机器B生产的。
现在从产品中随机选择了一个并发现是次品，问这个次品是由机器A生产的概率是多少？解答：设事件A表示选择次品，事件B1表示次品由机器A生产，事件B2表示次品由机器B生产。
第3节 条件概率与独立性
B)P(C
),
P( AC ) P( A)P(C ),
则称事件 A, B, C 两两独立 .
注意 相互独立
两两独立
23
例 一个袋内装有4个球,其中全红、全黑、全白色的 球各一个，另一个是涂有红、黑、白三色的彩球. 从
中任取一个, 记事件A、B、C分别表示取到的球上涂 有红色、黑色、白色. 试判断事件A、B、C两两独立
5
例2 设袋中有7个黑球,3个白球, 不放回摸取两次， 如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的 概率. 若改为放回摸取，结果如何？ 解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
不放回: P(B | A) 2 . 9
放回: P(B | A) 3 . 10
6
例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄 段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料可 知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718， 存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人， 能够活到51岁的概率是多少？
25
四个推论
。
1
若事件
A1 ,
A2, ,
An
(n
2)
相互独立,
则
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
2。 若事件 A1, A2, , An (n 2) 相互独立, 则
其中任意k个事件也相互独立.
。
3
若事件A1
,
A2
,,
An
(n
2)相互独立,
则
将A1
例如, 将一颗均匀骰子连掷两次，
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
第三节 条件概率 事件的独立性分解
对于三个事
件的独立性， 要求其中任何 一事件发生的 概率不受其它
பைடு நூலகம்
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
事件发生与否 的影响。
同时成立，则称事件A、B、C相互独立。
n个事件的相互独立性
设 A1， A2， ， An 为n个 随 机 事 件 ， 如 果 下 列等 式 成 立 ：
PAi Aj PAi PAj 1 i j n
P( A)
P(A)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：B={掷出2点}，A={掷出偶数点} 掷骰子
P(B|A）= 1 3
A发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中B所含样本点
个数
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上 的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以 上的概率是多少？
（1）一年内该行计划贷款被突破的概率 ．
（2）乙申请贷款后甲也向该行申请贷款的概 率
解：设A={一年内甲申请更新设备贷款}， B={一年内乙申请更新设备贷款}
据题意有
P(A)=0.15 P(B)=0.2 P(B/A)=0.3 （1）若一年内该行计划贷款总额被突破，则事
件中至少有一个发生，故所求概率为
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
= P(A)+P(B)-P(A) P(B/A) = 0.15+ 0.2 –0.15×0.3
=0.305
(2) P( A | B) P( AB) P( A)P(B / A)
P(B)
P(B)
0.15 0.3 0.225 0.2
条件概率与概率的乘法公式的区别 ：
概率1-3
三、全概率公式与贝叶斯公式
定义2 Ω 为试验 E 的样本空间,B ,B2 ,…,Bn 是 E 的一组事件 ,若 1 (1) BBj = φ ( i ≠ j ) ( 2) B1 U B2 U…U Bn =Ω i 则称 B ,B2 ,…,Bn 为 Ω的一个划分 1
概率论
定理 2(全概率公式) 设试验 E 的样本空间为 Ω ,B ,B2 ,…,Bn 1 为 Ω 的 个 分 ,且 P( Bi ) > 0 ( i =1,2,…, n) ,则 一 划 P ( A) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) + P ( B2 ) P ( A | B2 ) +L+ P ( Bn ) P ( A | Bn )
(1)
非 性 : P( B | A) ≥ 0 负
( 2) ( 3)
∞ ∞ 可 可 性 : 设 B , B2 ,…两 互 , 有P U Bi A = ∑P( Bi A) 列 加 两 斥则 1 i=1 i=1
规 性 : P( Ω A) =1 范
计算条件概率P(B|A)的两种方法： 的两种方法： 计算条件概率 的两种方法 （1）在新样本空间ΩA= A中计算 ）在新样本空间Ω 中计算
P( AB) 计算 （2）在原样本空间Ω中，按 P(B | A) = ）在原样本空间Ω P( A)
概率论
例 2 3 例 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出 点,问“掷出点数之和不 掷两颗均匀骰子 已知第一颗掷出6点 问 已知第一颗掷出 小于10”的概率是多少 的概率是多少? 小于 的概率是多少 现有甲乙丙三个犯人，随机选择一个处决，释放两个人， 例 现有甲乙丙三个犯人，随机选择一个处决，释放两个人，典 狱长认为甲乙至少有一个被释放， 狱长认为甲乙至少有一个被释放，从而先释放了甲乙中一 你认为典狱长的做法对三个犯人公平吗？ 人，你认为典狱长的做法对三个犯人公平吗？ 袋中有2n-1个白球，2n个黑球，随机取 个，发现是同一 个白球， 个黑球 随机取n个 个黑球， 例 袋中有 个白球 种颜色，问这种颜色是黑色的概率？ 种颜色，问这种颜色是黑色的概率？
第三课时(条件概率)
令A={产品的长度合格}，B={产品的质量合格} AB={产品的长度，质量都合格} 问题1：求P(A),P(B),P(AB)
问题2：取一件产品，已知其质量合格，求它的 长度也合格的概率
全年级100名学生中，有男生（以事件A表示） 80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示） 有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语 的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名 女生。求
条件概率 Conditional Probability
思考：
❖ 抛掷一枚质地均匀的硬币2次： ❖ （1）2次都是正面向上的概率 ❖ （2）在已知有一次正面向上的条件下，2次
都是正面向上的概率是多少？
❖ （3）在第一次出现正面向上的条件下，第2 次出现正面向上的概率是多少？
基本定义
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
变式1：抛掷两颗质地均匀的骰子各1次 （1）向上的点数之和为7时，其中有1个的点数 是2的概率是多少？ （2）向上的点数不相同时，其中有1个的点数为 4的概率是多少？
变式2：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率
❖ 例2：在一Βιβλιοθήκη 盒子中有大小一样的20个球，其中 有10个红球，10个白球。某人无放回的依次从 中摸出1个球，第一次摸出红球且第2次摸出白 球的概率
❖ 变式：从一批含有10件合格品，3件不合格品 中随机的逐个抽取，抽出后的产品不放回，设 X表示直到取得合格品的抽取次数，试求：
❖ （1）直到第2次才取到合格品的概率P ❖ （2）直到第3次才取到合格品的概率P
问题2：取一件产品，已知其质量合格，求它的 长度也合格的概率
全年级100名学生中，有男生（以事件A表示） 80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示） 有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语 的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名 女生。求
条件概率 Conditional Probability
思考：
❖ 抛掷一枚质地均匀的硬币2次： ❖ （1）2次都是正面向上的概率 ❖ （2）在已知有一次正面向上的条件下，2次
都是正面向上的概率是多少？
❖ （3）在第一次出现正面向上的条件下，第2 次出现正面向上的概率是多少？
基本定义
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
变式1：抛掷两颗质地均匀的骰子各1次 （1）向上的点数之和为7时，其中有1个的点数 是2的概率是多少？ （2）向上的点数不相同时，其中有1个的点数为 4的概率是多少？
变式2：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率
❖ 例2：在一Βιβλιοθήκη 盒子中有大小一样的20个球，其中 有10个红球，10个白球。某人无放回的依次从 中摸出1个球，第一次摸出红球且第2次摸出白 球的概率
❖ 变式：从一批含有10件合格品，3件不合格品 中随机的逐个抽取，抽出后的产品不放回，设 X表示直到取得合格品的抽取次数，试求：
❖ （1）直到第2次才取到合格品的概率P ❖ （2）直到第3次才取到合格品的概率P
第三节条件概率09
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球， 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十 人依次从袋中各取一球(不放回) 人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？ 个人取得红球的概率是多少？ 第i个人取得红球的概率是多少？ 个人取得红球的概率是多少？
第一章 概率论的基本概念
对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好 例6 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好 而当机器发生某一故障时 故障时， 时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时， 产品的合格率为 合格率 每天早上机器开动时机器调整良好 合格率为 其合格率为 30% 。每天早上机器开动时机器调整良好 已知某天早上第一件产品是合格品， 的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品， 试求机器调整得良好的概率是多少？ 试求机器调整得良好的概率是多少？
两种做法！ 两种做法！
例 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两 一盒中混有100只新 旧乒乓球，各有红、 100 类如下表。从盒中随机取出一球， 色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的 是一只红球，试求该红球是新球的概率。 是一只红球，试求该红球是新球的概率。
红 白 30 10
设A--从盒中随机取到一只红球. --从盒中随机取到一只红球. 从盒中随机取到一只红球 B--从盒中随机取到一只新球. --从盒中随机取到一只新球. 从盒中随机取到一只新球
解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球； A2——从甲袋放入乙袋的是红球； B——从乙袋中任取一球是红球；
波利亚罐子模型
一个罐子中有t只白球和r只红球，随机从中 一个罐子中有t只白球和r只红球， 取出一只球，然后放回并加入a 取出一只球，然后放回并加入a只与所取出的 球同色的球；再第二次取球放回，并加入a 球同色的球；再第二次取球放回，并加入a只 同色的球….共取n次。求前n1次取出白球， 同色的球 .共取n 求前n 次取出白球， 次取出红球的概率。 后n2＝n－n1次取出红球的概率。
概率论第三节 条件概率
i 1 n
全概率公式
证明
B B B ( A1 A2 An ) BA1 BA2 BAn .
i 由 Ai Aj ( BAi )( BAj ) ， j , i , j 1,2,3 n.
P ( B ) P ( BA1 ) P ( BA2 ) P ( BAn )
10 9 90 由于 P ( A1 ) , P ( A2 A1 ) , P ( A3 A1 A2 ) , 100 99 98 所以 P ( A1 A2 A3 ) 10 9 90 0.0083 100 99 98 1 1 C10 C91 C90 或看做古典概型 P ( A) 100 99 98
2 1 3 1 P ( A) ， P ( B ) , P ( AB ) , 4 4 4 2 事件B已经发生的条件下事件A发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P ( A). P ( A B ), 则 P ( A B ) 3 34 P( B)
2. 定义
设 A, B 是两个事件, 且 P ( B ) 0, 称
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
例 (2006.ⅠⅣ)
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 )
P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( An A1 A2 An1 ).
全概率公式
证明
B B B ( A1 A2 An ) BA1 BA2 BAn .
i 由 Ai Aj ( BAi )( BAj ) ， j , i , j 1,2,3 n.
P ( B ) P ( BA1 ) P ( BA2 ) P ( BAn )
10 9 90 由于 P ( A1 ) , P ( A2 A1 ) , P ( A3 A1 A2 ) , 100 99 98 所以 P ( A1 A2 A3 ) 10 9 90 0.0083 100 99 98 1 1 C10 C91 C90 或看做古典概型 P ( A) 100 99 98
2 1 3 1 P ( A) ， P ( B ) , P ( AB ) , 4 4 4 2 事件B已经发生的条件下事件A发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P ( A). P ( A B ), 则 P ( A B ) 3 34 P( B)
2. 定义
设 A, B 是两个事件, 且 P ( B ) 0, 称
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 , 所以 P ( B) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) 1 7 9 3 (1 )(1 )(1 ) . 2 10 10 200
例 (2006.ⅠⅣ)
推广 设 A1 , A2 ,, An 为 n 个事件, n 2, 且 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则有 P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 A1 )
P ( An1 A1 A2 An 2 ) P ( An A1 A2 An1 ).
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球． （1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的 仍是黑球的概率； （2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的 也是黑球的概率．
解 记 Ai { 第 i 次取到黑球 } ( i 1, 2) （1）可以在缩减的样本空间 WA 上计算。
B6
B7 B8
Ω
20
设 B1 , B2 , , Bn 为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一 事 件 A， 有
A AΩ AB1 AB2 ABn
显 然 AB1 , AB2 ,, ABn 也 两 两 不 相 容 ，
由概率的可加性及乘法公式, 有
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( ABi )
加权平均
23
例2 袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问 第二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式,
P ( B ) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
a 1 a b a a . a b a b1 a b a b1 a b
后抽比先抽的确吃亏吗？
14
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概 率论的知识来计算一下,每个人抽到 “入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
15
用Ai表示“第i个人抽到入场券” ，i＝ 1,2,3,4,5. 则 表示“第i个人未抽到入场券 Ai ”. 因为若第2个人抽到 显然，P(A1)=1/5 . 了入场券，第1个人 由于 A2 A1 A2 肯定没抽到. 由乘法公式
于是
P( A ) 1 P( A ) 0.2304
13
一场精彩的足球赛将要举行， 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片, 只有一张上写有“入场券”, 其余的 什么也没写. 将它们放在一起, 洗匀, 让5个人依次抽 取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
P( A5 A1 A2 A3 A4 ) P( A4 A1 A2 A3 ) P( A3 A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) 95 94 93 92 91 100 99 98 97 96 0.7696
由乘法定理 P( A) P( A1 A2 A3 A4 A5 )
解
记 Ai { 第 i 次取到白球 }
要求 显然 因此
P( A1 A2 )
a P( A1 ) ab
( i 1, 2)
a 1 P( A2 A1 ) a b 1
a 1 a P( A1 A2 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) a b 1 a b
11
(1) 非负性 (2) 规范性
P( A B ) 0 ；
P( Ω B ) 1 ；
(3) 可列可加性 设 A1 ,, An 是 两 两 不 相 容的事件，则
P Ai B P( Ai B ) i 1 i 1
4
并由此推出条件概率的其它性质：
解 记 A { 活到50岁} B { 活到51岁} 显然 B
因此 AB B 要求 P( B A) 因为 P( A) 0.90718 P( B) 0.90135 P( AB) P( B) 0.90135
P( AB) 0.90135 0.99357 从而 P( B A ) P( A) 0.90718
P ( AB ) P ( C AB ) P ( A B ) P ( C A B )
a a 1 a2 b a a 1 a b a b1 a b 2 a b a b1 a b 2 a b a 1 b b1 a a b a b1 a b 2 a b a b1 a b 2 a . ab 25
一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 )
P( B1 )P( A B1 ) P( B2 )P( A B2 ) P( B3 )P( A B3 )
0.3 0.03 0.2 0.03 0.5 0.01 0.02 .
例5 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废 品．为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查， 如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则 他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品 的概率 解 设 Ai { 被抽查的第 i 件产品是废品 } (i 1, 2, 3, 4, 5)
18
定义
若 事 件 组 B1 , B2 , , Bn 满 足 以 下 两 个 条 件 ：
( 1 ) B1 , B2 ,, Bn 两 两 不 相 容 (即每次至多发生其中一个)
( 2 ) B1 B2 Bn Ω (即每次至少发生其中一个)
则称 B 1 , B 2 , , B n 为一个完备事件组 (样本空间 E 的一个划分).
A {采购员拒绝购买}
则 A Ai
i 1 5
从而 A A1 A2 A3 A4 A5
12
由题意，有 P( A1 ) 95
94 93 P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) 100 99 98 92 91 P( A4 A1 A2 A3 ) P( A5 A1 A2 A3 A4 ) 97 96
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
乘法 公式
P( ABC ) P( A) P( B A) P(C AB) ，
一般, P (A1A2…An )
=P(A1)P(A2|A1) …P(An| A1A2…An-1)
与次序无关。
10
例4 一袋中有a个白球和b个红球。现依次不放回地 从袋中取两球.试求两次均取到白球的概率 .
1
因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取 球时，所有可取的球只有9只．WA 中所含的基本事 件数为9，其中黑球只剩下2个．所以
2 P( A2 A1 ) 9
6பைடு நூலகம்
（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故 WA 的结构并不直观．因此，直接在W中用定义计算 P(A1 |A2)更方便些．
2
因为 所以
( 4 ) P( Ø B ) 0 ；
( 5 ) P( A B ) 1 P( A B ) ;
(6) P( A1 A2 B ) P( A1 B ) P( A2 B ) P( A1 A2 B )
根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算 条件概率P(B|A)
（1）在缩减后 WA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间W中，直接由定义计算．
3 P( A2 ) 10
3 2 1 P( A1 A2 ) 10 9 15
P( A1 A2 ) 2 P( A1 A2 ) P( A2 ) 9
7
例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年 龄段的人在下一年仍然存活的概率．根据统计资料 可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718， 存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人， 能够活到51岁的概率是多少？
P( A2 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) = (4/5)(1/4) = 1/5 .
同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、 第2个人都没有抽到. 因此
16
P( A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 . 继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
2 2 4 P( AB ) P( A B ) . 3 34 P( B )
3
定义1 设A, B是两个事件，且P( A) 0，称
P( AB ) P( B A ) P( A )
1 非负性 2 规范性 (3) 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 3 可列可加性
可以验证，条件概率P(•|A)满足概率公理化定义中的 三条公理
n
P( Bi )P( A Bi ) .
i 1
n
i 1
这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.
21
全概率公式
P( A) P( Bi )P( A Bi )
i 1 n
利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的 计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分 别求概率然后求和．
22
例1 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、 50％,且三家工厂的次品率分别为 3％、3％、1％， 试求市场上该品牌产品的次品率. 解 设A:买到一件次品；B1、B2 、B3分别表示买到
2
例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生 率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一样的。 若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2； 但如果预先知道至少有一男孩，则上述事件 的概率应为2/3.
我们将“已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生
的概率”称为条件概率，记为P (A | B)。 若记B为至少有一男孩，则上述概率为
集合的划分
B3
B1
A B4
B6
B7 B8
Ω
B2
B5
19
设 B1 , B2 , , Bn 为 一 个 完 备 事 件 组 ， 对 任 一 事 件 A， 有