【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第六章第三节等比数列及其前n项和文(全国通用)

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三年高考两年模拟高考数学专题汇编第六章数列3 文

第三节等比数列及其前n 项和A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A.2B.1C.12D.182.(2014·大纲全国，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A.31 B.32 C.63 D.643.(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.4.(2015·广东，13)若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.5.(2014·广东，13)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.6.(2016·新课标全国Ⅲ,17)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1,a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式.7.(2016·北京，15)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.8.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n .9.(2014·北京，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．10.(2014·福建，17)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北衡水中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝20，a 2＋a 4＝40，则公比q ＝( ) A.1 B.2 C.－2D.42.(2016·烟台诊断)已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.[3，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)3.(2016·安徽安庆第二次模拟)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为( ) A.24里 B.12里 C.6里D.3里4.(2015·河南省焦作市高三统考)已知正项等比数列{a n }满足a 3·a 2n －3＝4n(n ＞1)，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A.n 2B.(n ＋1)2C.n (2n －1)D.(n －1)25.(2015·山西省三诊)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8.设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和.若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为( )A.7B.9C.12D.156.(2016·江西八所重点中学一联)已知数列{a n }中，a 1＝a (a ≠1)，{b n }是公比为23的等比数列.记b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，若不等式a n >a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是________. 7.(2016·河南八市重点高中第二次质量检测)数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＋a n ＝n 2＋2n ＋2，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝a n －n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{nb n }的前n 项和T n .8.(2015·湖南十二校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并写出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n，求数列{b n }的前n 项和S n .答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.选C.答案 C2.解析方法一设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝a 1（1－q 2）1－q＝3，S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4.故q ＝2或q ＝－2.若q ＝2，代入解得a 1＝1，此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝1×（1－26）1－2＝63.若q ＝－2，代入解得a 1＝－3，此时S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝（－3）×[1－（－2）6]1－（－2）＝63.故选C.方法二因为数列{a n }为等比数列，若q ＝1，则有S n ＝na 1，显然不符合题意，故q ≠1. 设其前n 项和为S n ＝Aq n－A .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝A ×q 2－A ＝3S 4＝A ×q 4－A ＝15，两式相除得1＋q 2＝5，解得q 2＝4，代入解得A ＝1. 故S n ＝q n－1.所以S 6＝q 6－1＝(q 2)3－1＝43－1＝63.故选C. 方法三设等比数列的公比为q .则S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)(a 1＋a 2)＝(1＋q 2)×3＝15，解得q 2＝4.故S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(1＋q 2＋q 4)(a 1＋a 2)＝(1＋4＋42)×3＝63.故选C. 答案 C3.解析由a n ＋1＝2a n 知，数列{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，由S n ＝2（1－2n）1－2＝126，解得n ＝6.答案 64.解析 ∵三个正数a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ＝(5＋26)(5－26)＝1. ∵b 为正数，∴b ＝1. 答案 15.解析由等比数列的性质可知a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，于是由a 1a 5＝4得a 3＝2，故a 1a 2a 3a 4a 5＝32，则log 2 a 1＋log 2 a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 232＝5. 答案 56.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1). 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.7.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3. ∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…). (2)设数列{c n }的前n 项和为S n . ∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×（1－3n）1－3＝2×（n ＋1）n 2－n ＋3n－12＝n 2＋3n－12.即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n－12.8.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .9.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1，2，…)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1，b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1，2，…)，数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n－1，所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n－1.10.解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.所以a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析依题意得q ＝a 1q ＋a 3q a 1＋a 3＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝2，故选B.答案 B2.解析因为a 2＝1＝a 1q ，所以S 3＝a 1＋1＋a 1q 2＝1q＋q ＋1，当q >0时，1q ＋q ≥2，当q <0时，1q＋q ≤－2，所以S 3≥3或S 3≤－1，故选D. 答案 D3.解析记每天走的路程里数为{a n }，易知{a n }是公比q ＝12等比数列，S 6＝378，又S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.答案 C4.解析 ∵a 3·a 2n －3＝4n，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 2…a 2n －1)＝log 2(a 1a 2n －1a 3a 2n －3…)＝log 2(4n)n2＝n 2.答案 A5.解析 ∵q 3＝a 4a 1＝8，q ＝2，S 3n ＝1－23n 1－2，数列{a 3n }仍为等比数列，公比为q 3＝8，T n ＝1－8n1－8，∴1－8n －1＝t 1－8n－7，t ＝7. 答案 A 6.解析 ∵b n ＝a n －2a n －1(n ∈N *)，∴a n ＝b n －2b n －1. 由a n ＋1－a n ＝b n ＋1－2b n ＋1－1－b n －2b n －1＝1b n －1－1b n ＋1－1＝b n ＋1－b n（1－b n ＋1）（1－b n ）＝－13b n⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b n （1－b n ）<0，解得b n >32或0<b n <1.若b n >32，则b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>32对一切n ∈N *恒成立，显然不可能；若0<b n <1，则0<b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1<1对一切n ∈N *恒成立，只需0<b 1<1即可，即0<a 1－2a 1－1<1，解得a ＝a 1>2. 答案 (2，＋∞)7.解 (1)由2S n ＋a n ＝n 2＋2n ＋2， ① 得2S 1＋a 1＝5，∴a 1＝53，2S n ＋1＋a n ＋1＝(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋2， ② ②－①得3a n ＋1－a n ＝2n ＋3.∵b n ＝a n －n ，∴a n ＝b n ＋n ，a n ＋1＝b n ＋1＋n ＋1， ∴3b n ＋1＝b n ，b 1＝a 1－1＝23.∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列.∴b n ＝23n .(2)由(1)得b n ＝23n ，∴nb n ＝2n3n ，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋232＋333＋…＋n 3n ，∴13T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋233＋334＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1，两式相减得23T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n1－13－n 3n ＋1＝1－2n ＋33n ＋1， ∴T n ＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋33n ＋1.8.(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. ∴a n ＋1＝2n ，a n ＝2n－1.(2)解 ∵4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n， ∴4b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －n ＝2n 2， ∴2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )－2n ＝n 2，即2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n 2＋2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12n 2＋n .。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第六章数列2 理

第二节等差数列及其前n项和A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江,6)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n＋1|＝|A n＋1A n＋2|,A n≠A n＋n∈N*,|B n B n＋1|＝|B n＋1B n＋2|,B n≠B n＋2,n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合).若d n＝|A n B n|,S n为2,△A n B n B n＋1的面积，则( )A.{S n}是等差数列B.{S2n}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d2n}是等差数列2.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )A.100B.99C.98D.973.(2015·重庆，2)在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )A.－1B.0C.1D.64.(2015·北京，6)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞05.(2014·福建，3)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A.8B.10C.12D.142n a a}为递减数列，则( )6.(2014·辽宁，8)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{1A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>07.(2016·北京，12)已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.8.(2016·江苏，8)已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.9.(2016·全国Ⅱ，17)S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记b n＝[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1 000项和.10.(2015·广东，10)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.11.(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.12.(2015·新课标全国Ⅰ，17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.13.(2014·北京，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大.14.(2015·四川，16)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.15.(2014·大纲全国，18)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .16.(2014·江苏，20)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”.(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·黑龙江哈六中模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( )A.30B.45C.90D.1862.(2016·湖南岳阳二模)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织________尺布( )A.12B.815C.1631D.16293.(2016·广东东莞一模)设{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则数列{a n }前8项和为( ) A.128 B.80 C.64 D.564.(2015·云南省昆明模拟)已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9等于( )A.4B.5C.8D.105.(2015·浙江杭州一模)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0，2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12B.－12C.32D.－326.(2016·陕西八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________.7.(2016·河北唐山统考)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.8.(2015·福建厦门质检)公差不为零的等差数列{a n }的三项a 1，a 4，a 16成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是________.9.(2015·河北衡水模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝6, S n 为其前n 项和，S 5＝353.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2),b 1＝3,S n ＝b 1+b 2+…＋b n ,若S n <m 对一切n ∈N *成立,求最小正整数m .答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）(2016年高考题6月底更新)1.A [S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半,即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.]2.C [由等差数列性质,知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27,得a 5＝3,而a 10＝8,因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1,∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.]3.B [由等差数列的性质,得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0,选B.]4.C [A,B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立.]5.C [设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.]6.C [{2a 1a n }为递减数列，可知{a 1a n }也为递减数列，又a 1a n ＝a 21＋a 1(n －1)d ＝a 1dn ＋a 21－a 1d ，故a 1d <0，故选C.]7.6 [∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×（6－1）2×(－2)＝6.]8.20 [设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.]9. (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.10.10 [因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.]11.5 [由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a 1＝5.] 12.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ). 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3（2n ＋3）. 13.8 [∵数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大.]14.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n. (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.15.解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）. 16.(1)证明由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n＝a m .所以{a n }是“H 数列”.(2)解由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1.从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”.因此d 的值为－1.(3)证明设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *). 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 下证{b n }是“H 数列”. 设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *).于是对任意的正整数n ，总存在正整数m＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”.同理可证{c n }也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.C [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . ∴b n ＝a 2n ＝6n ，∴b 1＝a 2＝6，∴数列{b n }是首项为6，公差为6的等差数列.∴数列{b n }的前5项和S 5＝5×6＋5×42×6＝90，故选C.]2.D [设从第2天起每天比前一天多织d 尺布，则30×5＋30×292d ＝390.解得d ＝1629，故选D.]3.C [法一因为S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 2＋a 7)＝4×16＝64，法二 {a n }是等差数列，且a 2＝3，a 7＝13，则公差d ＝2，a 1＝1，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8＋56＝64，故选C.]4.A [由a 10＝S 4得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d9d＝4，选A.]5.D [若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32，故选D.] 6. 37 [a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，∴m ＝37.]7.－1 [∵2S n －na n ＝n ①∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1② ∴①－②得，(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1③ ∴(1－n )a n ＋1＋na n ＝1④∴③－④得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴数列{a n }为等差数列，∵当n ＝1时，2S 1－a 1＝1，∴a 1＝1， ∵S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2.∴a 2＝1－2＝－1.]8.34 [由已知得a 24＝a 1·a 16，即(a 1＋3d )2＝a 1·(a 1＋15d )，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝3a 33a 4＝34.] 9.解 (1)由a 2＋a 6＝6，得a 4＝3，又由S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝353，得a 3＝73，设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝73，a 1＋3d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝23，∴a n ＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1，又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜92≤m ， ∴m ≥5，m min ＝5.即最小正整数m 的值为5.。

高三数学一轮复习3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升第6章数列第四讲数列的综合应用

第六章·第三讲等比数列及其前n项和
考点 2016全国 2015全国 2014全国
等差、等比数列的综合
应用【15%】
数列与函数、不等式等的综合【15%】
·全国Ⅰ,17,12分
自主命题地区
·2016北京,15,13分 ·2016天津,18,13分 ·2016浙江,17,15分 ·2015天津,18,13分 ·2014山东,19,12分 ·2014北京,15,13分
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题型全突破
数学
题型全突破
第六章·第四讲
1
考法一
数列的综合应用等差、等比数列的综合应用
继续学习
数学
第六章·第四讲
题型全突破 2
数列的综合应用
考法示例1 数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列, 求Tn. 思路分析 (1)根据已知的递推关系求通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n 项和易求. 解析 (1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n≥2), 两式相减得an+1-an=2an,则an+1=3an (n≥2). 又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1. 故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n-1. (2)设{bn}的公差为d.
数学
考情精解读 3
考纲解读
命题规律
命题趋势
第六章·第三讲等比数列及其前n项和
1.热点预测 (1)预计高考仍会对本讲重点考查,多为等差、等比数列基本运算的综合题以及相互之间的转化.(2)适度创新的数列综合题与数列应用题可能会成为高考命题的新热点.题型为解答题,分值约为12分. 2.趋势分析数列的应用及数列与函数等的综合命题趋势较强,2018年高考复习时应予以高度关注.

【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第六章第一节数列的概念及简单的表示方法

第一节数列的概念及简单的表示方法A 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1.(2015·杭州七校联考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，若a 1＝1，a 5＝8，则a 3＝( ) A.1 B.2 C.3 D.72解析 a 3＝a 2＋a 1＝a 2＋1，a 4＝a 3＋a 2＝2a 2＋1，a 5＝a 4＋a 3＝2a 2＋1＋a 2＋1＝3a 2＋2，故a 2＝2，因此a 3＝a 2＋a 1＝3. 答案 C2.(2015·郑州市一测)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝10，且5S 1S 5＝15，则a 2＝( )A.2B.3C.4D.5解析依题意得55a 1a 3＝15，a 1a 3＝5，a 2＝10a 1a 3＝2.答案 A3.(2014·四川广安诊断)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为πn ，则π2 011的值为( )A.－12 B.－1C.12D.2 解析由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而π2 011＝2×(－1)670＝2. 答案 D4.(2014·大连模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( )A.2＋ln nB.2＋(n －1)ln nC.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析由已知得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左右分别相加，得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝2＋ln n .故选A.答案 A 二、填空题5.(2014·吉林重点中学联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则a 2＝________，a n ＝________. 解析由a n ＝n (a n ＋1－a n )，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×21×1＝n ，∴a 2＝2，a n ＝n . 答案 2 n6.(2014·广东佛山调研)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为a n ＝________；数列{na n }中数值最小的项是第________项.解析当n ≥2时，S n －S n －1＝2n －11，n ＝1时也符合，则a n ＝2n －11，∴na n ＝2n 2－11n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1142－1218，且n ∈N *，故n ＝3时，na n 最小.答案 2n －11 3一年创新演练7.若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则向量m ＝(a 1，a 4)的模为( ) A.53 B.50 C.53 D.5 2解析依题意得，a 1＝S 1＝2，a 4＝S 4－S 3＝(42＋1)－(32＋1)＝7，故m ＝(2，7)，|m |＝22＋72＝53，故选C. 答案 C8.已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.解析 ∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2， ∴a 2＝2， ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案 64B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2015·河北五市一中监测)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 B ．(－1，－1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，4a 1＋6d ＝36，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.所以a n ＝4n －1，PQ →＝(n ＋2－n ，a n ＋2－a n )＝(2，8)＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选A.答案 A10．(2015·泰安市检测)在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( )A.－2B.0C.1D.2 解析 ∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n ，又∵a n ＋1＋a n －1＝a 2n ，∴a 2n ＝2a n ，∵a n ≠0，∴a n ＝2，故S 2n －1－4n ＝(2n －1)·2－4n ＝－2. 答案 A 二、填空题11.(2013·河南南阳三模)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2且n ∈N *)，则数列{a n }中项的最大值为________.解析 a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ⇒3n a n ＝3n －1·a n －1＋1⇒3n a n －3n －1a n －1＝1⇒{3na n }是公差为1的等差数列，∴3na n ＝3a 1＋n －1＝n ＋2⇒a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，设a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ＋3－3n －6)＜0，∴数列{a n }单调递减，∴最大值的项为a 1＝1. 答案 1 三、解答题12.(2014·吉林一中月考)根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n （3n ＋1）2(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.一年创新演练13.已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为( ) A.12 B.7 C.5 D.6 解析由题知y ′＝2a n x ， ∴2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，∴a n －a n －1＝12，又n ＝1时其图象过点(2，8)，∴a 1×22＝8，得a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公差为12的等差数列，a n ＝n 2＋32，得a 7＝5.故选C.答案 C14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1f （x －1）＋1（x ≤0），（x ＞0），把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( ) A.a n ＝n （n －1）2(n ∈N *)B.a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C.a n ＝n －1(n ∈N *) D.a n ＝2n－2(n ∈N *)解析作为选择题，本题有一种有效的解法是先确定函数的第1，2，3，…有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，据已知函数关系式可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（x ≤0），2x －1（0＜x ≤1），2x －2＋1（1＜x ≤2），…此时易知函数g (x )＝f (x )－x 的前几个零点依次为0，1，2，…，代入验证只有C 符合.答案 C。

(课标专用 5年高考3年模拟A版)高考数学第六章数列 3 等比数列及其前n项和试题文-人教版高

等比数列及其前n项和挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点等比数列的定义及通项公式①理解等比数列的概念.②掌握等比数列的通项公式.③了解等比数列与指数函数的关系2018课标全国Ⅰ,17,12分等比数列判定及通项公式递推公式★★★2017课标全国Ⅱ,17,12分等比数列基本量计算等差数列基本量计算等比数列的性质及其应用能利用等比数列的性质解决相应的问题2015课标Ⅱ,9,5分等比数列下标和定理等比数列通项公式★★☆等比数列的前n项和掌握等比数列的前n项和公式2016课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和等差数列基本量计算★★★2018课标全国Ⅲ,17,12分等比数列前n项和公式等比数列通项公式2017课标全国Ⅰ,17,12分等比数列前n项和计算等差数列的判定2015课标Ⅰ,13,5分等比数列前n项和计算等比数列定义分析解读本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.破考点【考点集训】考点一等比数列的定义及通项公式1.(2019届某某某某模拟,6)已知等比数列{a n}各项均为正数,满足a1+a3=3,a3+a5=6,则a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7=( )A.62B.62√2C.61D.61√2答案 A2.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}是等比数列;(2)求{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n)=22(a n-2a n-1)=…=2n(a2-2a1)≠0,∴a a+2-2a a+1a a+1-2a a=2,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴a a+12a+1-a a2a=12,∴{a a2a}是首项为12,公差为12的等差数列,∴a a2a=a2,则a n=n·2n-1.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某马某某第二次教学质量监测,5)已知等比数列{a n}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为( )A.2B.4C.92D.6答案 B2.(2019届某某某某新华区模拟,9)已知正数组成的等比数列{a n}的前8项的积是81,那么a1+a8的最小值是( )A.2√3B.2√2C.8D.6答案 A考点三等比数列的前n项和1.(2018某某某某教学质量检测(二),16)数列{a n}满足a1+3a2+…+(2n-1)a n=3-2a+32a,n∈N*,则a1+a2+…+a n=.答案1-12a2.(2019届某某某某模拟,15)设等比数列{a n}的前n项和为S n,8a2-a5=0,则公比q的值为,若-a a2a有最大值-2,则a1的值为.答案2;43.(2018某某(长郡中学、某某八中)、某某(某某二中)等十四校第二次联考,17)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,a1=1,b1=2,b2=2a2,b3=2a3+2.(1)求{a n },{b n }的通项公式; (2)若{a aa a}的前n 项和为S n ,求证:S n <2.解析 (1)设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q, 由题意得{2a =2(1+a ),2a 2=2(1+2d)+2,解得{a =1,a =2或{a =-1,a =0(舍), ∴a n =n,b n =2n. (2)证明:由(1)知a a a a =a2a, ∴S n =12+222+323+…+a -12a -1+a2a, 则12S n =122+223+324+…+a -22a -1+a -12a+a 2a +1,两式相减得12S n =12+122+123+…+12a -a2a +1=12[1-(12)a ]1-12-a2a +1,∴S n =2-(12)a -1-a2a ,∴S n <2.炼技法【方法集训】方法等比数列的判定方法1.(2019届某某某某模拟,15)如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形两直角边上再连接正方形,……,如此继续下去,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为√2,则最小正方形的边长为.答案 1162.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足:a 1=1,a 2=2,S n +1=a n+2-a n+1(n∈N *),若不等式λS n >a n 恒成立,则实数λ的取值X 围是. 答案 (1,+∞)过专题【五年高考】A 组统一命题·课标卷题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2018课标全国Ⅰ,17,12分)已知数列{a n }满足a 1=1,na n+1=2(n+1)a n .设b n =a aa. (1)求b 1,b 2,b 3;(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由; (3)求{a n }的通项公式. 解析 (1)由条件可得a n+1=2(a +1)aa n .将n=1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以a 2=4. 将n=2代入得,a 3=3a 2,所以a 3=12. 从而b 1=1,b 2=2,b 3=4.(2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得a a +1a +1=2a aa,即b n+1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a a a=2n-1,所以a n =n·2n-1.2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n ,a 1=-1,b 1=1,a 2+b 2=2.(1)若a 3+b 3=5,求{b n }的通项公式; (2)若T 3=21,求S 3.解析设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则a n =-1+(n-1)d,b n =q n-1. 由a 2+b 2=2得d+q=3①. (1)由a 3+b 3=5得2d+q 2=6②. 联立①和②解得{a =3,a =0(舍去),或{a =1,a =2.因此{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由b 1=1,T 3=21得q 2+q-20=0. 解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S 3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S 3=-6.考点二等比数列的性质及其应用(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2=( ) A.2B.1C.12D.18答案 C考点三等比数列的前n 项和1.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n=. 答案 62.(2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解. 若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.3.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并判断S n+1,S n ,S n+2是否成等差数列. 解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设可得{a 1(1+q)=2,a 1(1+q +a 2)=-6.解得q=-2,a 1=-2.故{a n }的通项公式为a n =(-2)n. (2)由(1)可得S n =a 1(1-a a )1-a =-23+(-1)n·2a +13. 由于S n+2+S n+1=-43+(-1)n·2a +3-2a +23=2[-23+(-1)a·2a +13]=2S n ,故S n+1,S n ,S n+2成等差数列.B 组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2018,5,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A.√23fB.√223f C.√2512fD.√2712f答案 D2.(2014某某,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC 中,斜边BC=2√2.过点A 作BC 的垂线,垂足为A 1;过点A 1作AC 的垂线,垂足为A 2;过点A 2作A 1C 的垂线,垂足为A 3;……,依此类推.设BA=a 1,AA 1=a 2,A 1A 2=a 3,……,A 5A 6=a 7,则a 7=.答案 14考点二等比数列的性质及其应用(2015某某,13,5分)若三个正数a,b,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b=. 答案 1考点三等比数列的前n 项和1.(2017某某,9,5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74,S 6=634,则a 8=. 答案 32解析设等比数列{a n }的公比为q. 当q=1时,S 3=3a 1,S 6=6a 1=2S 3,不符合题意,∴q≠1,由题设可得{a 1(1-a 3)1-a =74,a 1(1-a 6)1-a=634,解得{a 1=14,a =2,∴a 8=a 1q 7=14×27=32.2.(2018某某,18,13分)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.解析 (1)设等比数列{b n }的公比为q.由b 1=1,b 3=b 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故b n =2n-1.所以,T n =1-2a1-2=2n-1.设等差数列{a n }的公差为d.由b 4=a 3+a 5,可得a 1+3d=4. 由b 5=a 4+2a 6,可得3a 1+13d=16,从而a 1=1,d=1,故a n =n, 所以,S n =a (a +1)2.(2)由(1),有T 1+T 2+…+T n =(21+22+ (2))-n=2×(1-2a )1-2-n=2n+1-n-2.由S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n 可得a (a +1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n 2-3n-4=0,解得n=-1(舍),或n=4. 所以,n 的值为4.3.(2016,15,13分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设=a n +b n ,求数列{}的前n 项和. 解析 (1)等比数列{b n }的公比q=a 3a 2=93=3,(1分)所以b 1=a 2a=1,b 4=b 3q=27.(3分)设等差数列{a n }的公差为d. 因为a 1=b 1=1,a 14=b 4=27, 所以1+13d=27,即d=2.(5分) 所以a n =2n-1(n=1,2,3,…).(6分) (2)由(1)知,a n =2n-1,b n =3n-1. 因此=a n +b n =2n-1+3n-1.(8分)从而数列{}的前n 项和S n =1+3+…+(2n -1)+1+3+…+3n-1=a (1+2a -1)2+1-3a1-3=n 2+3a -12.(13分)C 组教师专用题组考点一等比数列的定义及通项公式1.(2014某某,17,12分)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设{a n }的公比为q,依题意得{a 1q =3,a 1a 4=81,解得{a 1=1,a =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =a (a 1+a a )2=a 2-n2.2.(2014,15,13分)已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由题意得 d=a 4-a 13=12-33=3.所以a n =a 1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n -a n }的公比为q,由题意得 q 3=a 4-a 4a 1-a 1=20-124-3=8,解得q=2.所以b n -a n =(b 1-a 1)q n-1=2n-1. 从而b n =3n+2n-1(n=1,2,…). (2)由(1)知b n =3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n 项和为32n(n+1),数列{2n-1}的前n 项和为1×1-2a1-2=2n-1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n(n+1)+2n-1.3.(2013某某,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.解析设该数列的公比为q.由已知,可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.故公比q=3,首项a1=1.所以数列的前n项和S n=3a-12.4.(2013某某,19,14分)已知首项为32的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明S n+1a a ≤136(n∈N*).解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q=a4a3=-12.又a1=32,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=32×(-12)a-1=(-1)n-1·32a.(2)证明:S n=1-(-12)a,S n+1a a=1-(-12)a+11-(-12)a={2+12a(2a+1),n为奇数,2+12a(2a-1),n为偶数.当n为奇数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S1+1a1=136.当n为偶数时,S n+1a a 随n的增大而减小,所以S n+1a a≤S2+1a2=2512.故对于n∈N*,有S n+1a a ≤136.考点二等比数列的性质及其应用1.(2018某某,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则( )A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案 B2.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31B.32C.63D.64答案 C3.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案63考点三等比数列的前n项和1.(2013课标Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )3A.S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n答案 D2.(2013某某,12,5分)某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于.答案 63.(2013,11,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-24.(2015某某,16,12分)设数列{a n}(n=1,2,3,…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;}的前n项和为T n,求T n.(2)设数列{1a a解析(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n =2n.(2)由(1)得1a a=12a .所以T n =12+122+…+12a =12[1-(12)a ]1-12=1-12a .5.(2015某某,16,13分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设{a n }的公差为d,则由已知条件得 a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=32, 解得a 1=1,d=12, 故通项公式a n =1+a -12,即a n =a +12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q,则q 3=a 4a 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =a 1(1-a a )1-a =1×(1-2a )1-2=2n-1.6.(2014某某,19,12分)设等差数列{a n }的公差为d,点(a n ,b n )在函数f(x)=2x的图象上(n∈N *). (1)证明:数列{b n }为等比数列;(2)若a 1=1,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1ln2,求数列{a n a a 2}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:由已知可知,b n =2a a >0, 当n≥1时,a a +1a a=2a a +1-a a =2d, 所以数列{b n }是首项为2a 1,公比为2d的等比数列.(2)函数f(x)=2x的图象在(a 2,b 2)处的切线方程为y-2a 2=(x-a 2)2a 2ln 2,该切线在x 轴上的截距为a 2-1ln2.由题意知,a 2-1ln2=2-1ln2,解得a 2=2. 所以d=a 2-a 1=1,a n =n,b n =2n,a n a a 2=n·4n.于是,S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)×4n-1+n×4n,4S n =1×42+2×43+…+(n -1)×4n +n×4n+1, 因此S n -4S n =4+42+ (4)-n×4n+1=4a +1-43-n×4n+1=(1-3a )4a +1-43.所以S n =(3a -1)4a +1+49.7.(2013某某,19,13分)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2+a 3+a 4=-18. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)是否存在正整数n,使得S n ≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.解析 (1)设数列{a n }的公比为q,则a 1≠0,q≠0.由题意得{a 2-a 4=a 3-a 2,a 2+a 3+a 4=-18,即{-a 1a 2-a 1a 3=a 1a 2,a 1q(1+q +a 2)=-18, 解得{a 1=3,a =-2.故数列{a n }的通项公式为a n =3×(-2)n-1. (2)由(1)有S n =3·[1-(-2)a]1-(-2)=1-(-2)n.若存在n,使得S n ≥2 013,则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.当n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立;当n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,则n≥11.综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N ,k≥5}.【三年模拟】时间:45分钟分值:55分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018某某某某一模,3)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2=3,S 6=63,则S 5=( ) A.-33 B.15 C.31 D.-33或31 答案 D2.(2018某某某某调研,4)已知等比数列{a n }的公比为正数,前n 项和为S n ,a 1+a 2=2,a 3+a 4=6,则S 8等于( ) A.81-27√3 B.54C.38-1D.80 答案 D3.(2019届某某模拟,6)设数列{(n 2+n)a n }是等比数列,且a 1=16,a 2=154,则数列{3na n }的前15项和为( )A.1415B.1516C.1617D.1718答案 B4.(2019届某某渝中区模拟,7)已知各项均为正的等比数列{a n }中,a 2与a 8的等比中项为√2,则a 42+a 62的最小值是( ) A.1B.2C.4D.8答案 C5.(2019届某某双台子区模拟,5)已知等比数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且满足:a 1+3a 3=72,S 3=73,则a 4=( ) A.14B.18C.4D.8答案 A6.(2019届某某杨浦区模拟,11)在数列{a n }中,a 1=1,a 2=64,且数列{a a +1a a}是等比数列,其公比q=-12,则数列{a n }的最大项等于( ) A.a 7B.a 8C.a 6或a 9D.a 10答案 C二、填空题(共5分)7.(2019届某某某某模拟,15)已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n+r,则a 3-r=,若数列{a (a +4)(23)a}的最大项是第k 项,则k=. 答案 19;4三、解答题(共20分)8.(2018某某福安一中考试,17)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 2=4,a 3+a 4=24. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }的前n 项和S n =n 2+n+2n+1-2(n∈N *),求证:数列{a n -b n }是等差数列. 解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0. 因为{a 2=4,a 3+a 4=24,所以{a 1q =4,a 1a 2+a 1a 3=24,两式相除得q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以a 1=a2a =2. 所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n.(2)证明:当n=1时,b1=4;当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n+2n+1-2-(n-1)2-(n-1)-2n+2=2n+2n,又b1=4符合此式,∴b n=2n+2n(n∈N*).设=a n-b n,则=-2n,当n≥2时,--1=-2,∴{}即{a n-b n}是等差数列.9.(2019届某某模拟,18)已知等比数列{a n}的公比q>1,且满足:a2+a3+a4=28,a3+2是a2,a4的等差中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=a n lo g12a n,S n=b1+b2+…+b n,求使S n+n·2n+1>62成立的正整数n的最小值.解析(1)由a3+2是a2,a4的等差中项,得a2+a4=2(a3+2).因为a2+a3+a4=28,所以a2+a4=28-a3,所以2(a3+2)=28-a3,解得a3=8,所以a2+a4=20,所以{a1q+a1a3=20,a1a2=8,解得{a1=2,a=2,或{a1=32,a=12.又q>1,所以{a n}为递增数列. 所以a1=2,q=2,所以a n=2n.(2)b n=a n lo g12a n=2n·log122n=-n·2n.S n=b1+b2+…+b n=-(1×2+2×22+…+n×2n)①,则2S n=-(1×22+2×23+…+n×2n+1)②,②-①,得S n=(2+22+…+2n)-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 即数列{b n}的前n项和S n=2n+1-2-n·2n+1,由S n+n·2n+1=2n+1-2>62,得n>5,所以正整数n的最小值为6.。

高考总复习一轮数学精品课件第六章数列第三节等比数列

= √2,
解得
1 = 5√2-5.
(2)由题意,a2=2a1+2,即a1q=2a1+2,①
a3=2(a1+a2)+2,即a1q2=2(a1+a1q)+2,②
联立①②可得a1=2,q=3,则a4=a1q3=54.故选C.
考点二
等比数列的判断与证明
典例突破
例2.已知数列{an}中,a1=1,它的前n项和Sn满足2Sn+an+1=2n+1-1.
则a6+a8=(a1+a3)q5=1×q5=-32,
所以q5=-32,
10 + 12
故
5 + 7
=
( 5 + 7 ) 5
=q5=-32.
5 + 7
(2)方法一:设等比数列{an}的公比为q,则由a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,
1 = 1,
1 ·1 3 ·1 4 = 1 2 ·1 5 ,
)
D.2
答案 A
解析由已知 a3=S3-S2=2,公比
4
q=
3
=
4
=2,所以
2
3
a1= 2

=
2
22
=
1
.
2
3.(2023全国甲,理5)设等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,若
a1=1,S5=5S3-4,则S4=(
15A. 8) Nhomakorabea65
B. 8
C.15
D.30
答案 C
解析设等比数列{an}的公比为q,易知q>0,且q≠1.
得
可得 5
8

新高考数学第6章第3讲等比数列及其前n项和

第六章数列
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(4)当 q≠－1 或 q＝－1 且 k 为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．当 q＝－1 且 k 为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．
(5)等比数列{an}的单调性
①满足a1>0， q>1
或a1<0， 0<q<1
＝－18，若 Sk＝－181，则 k＝_5__.
(4)(2020·课标Ⅱ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a5－a3＝12，
a6－a4＝24，则Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
(B )
C．2－2n－1
D．21－n－1
第六章数列
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[解析] (1)解法一：设等比数列{an}的公比为 q，由 a1＝14，a3a5＝4(a4 －1)，知 q≠1，则 a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴116×q6＝414×q3－1，∴q6 －16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，即 q3＝8，∴q＝2，∴a2＝12，故选 C．
返回导航[解析]源自解法一：设等比数列{an}的公比为
q，
所
以
a2＋a3＋a4 a1＋a2＋a3
＝
aa11＋＋aa22＋＋aa33q＝q＝2，由 a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1 解得
a1＝17，所以 a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2
第六章数列
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6．(2019·全国卷Ⅰ，14,5 分)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 a1

高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和教学案理

第3讲等比数列及其前n 项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示．(2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N +(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ． (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．常用结论1．正确理解等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列；当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列；当q ＝1时，{a n }是常数列；当q ＝－1时，{a n }是摆动数列． 2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． (2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.(3)一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 次幂．(4){a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列．(5)当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n(k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．二、教材衍化1．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48. 答案：12，482．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________．解析：由题意知q 3＝a 5a 2＝18，所以q ＝12.答案：123．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.答案：－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( )(2)公比q 是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视项的符号判断； (2)忽视公比q ＝1的特殊情况； (3)忽视等比数列的项不为0.1．在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 3与a 7的等比中项为________．解析：设a 3与a 7的等比中项为G ，因为a 3＝4，a 7＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±82．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n(a ≠0)，则其前n 项和S n ＝________．解析：因为a ≠0，a n ＝a n，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时S n ＝a （1－a n ）1－a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，a （1－a n ）1－a，a ≠0，a ≠13．已知x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则x的值为________．解析：因为x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，不是等比数列，舍去．答案：－4等比数列基本量的运算(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝( ) A．16 B．8C．4 D．2(2)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.①求{a n}的通项公式；②记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m.【解】(1)选C.设等比数列{a n}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.(2)①设{a n}的公比为q，由题设得a n＝q n－1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.②若a n ＝(－2)n －1，则S n＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－qn n 前n 项和，若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________．解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12132．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0，解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.等比数列的判定与证明(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．【解】 (1)由条件可得a n ＋1＝2（n＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比数列的4种常用判定方法定义法若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N +)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N +)，则{a n }是等比数列中项公式法若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N +)，则数列{a n }是等比数列通项若数列通项公式可写成a n ＝c ·qn －1(c ，q 均是不为0的常数，证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)，若b n＝a n＋1－2a n，求证：{b n}是等比数列．证明：因为a n＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－4a n－2＝4a n＋1－4a n，所以b n＋1b n＝a n＋2－2a n＋1a n＋1－2a n＝4a n＋1－4a n－2a n＋1a n＋1－2a n＝2a n＋1－4a na n＋1－2a n＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{b n}是首项为3，公比为2的等比数列．2．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－3n(n∈N+)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．解：(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.(2)假设{a n＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.下面证明{a n ＋3}为等比数列：因为S n ＝2a n －3n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1，所以2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1＋3a n ＋3＝2，所以存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列．所以a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n－1)(n ∈N +)．等比数列的性质(多维探究) 角度一等比数列项的性质(1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________．【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31.【答案】 (1)50 (2)31角度二等比数列前n 项和的性质(1)(一题多解)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n项和为60，则其前3n 项和为________．(2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式为a n ＝________．【解析】 (1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n . 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q ＝48，①a 1（1－q 2n）1－q＝60，②②÷①，得1＋q n＝54，所以q n＝14.③将③将入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q ＝64×⎝⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝（S 2n －S n ）2S n ＋S 2n ＝（60－48）248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q nS n ，所以q n＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q2nS n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.【答案】 (1)63(2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．(一题多解)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D ．18解析：选C.法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.数列与数学文化及实际应用1．等差数列与数学文化(2020·陕西汉中二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( )A ．6斤B ．7斤C ．9斤D ．15斤【解析】设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n }，则有a 1＝4，a 5＝2，所以a 1＋a 5＝6，数列{a n }的前5项和为S 5＝5×a 1＋a 52＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.【答案】 D以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n 项和等．2．等比数列与数学文化(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为( )A.253 B ．503C.507D ．1007【解析】 5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则a 1（1－23）1－2＝50，解得a 1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a 2＝2a 1＝1007，故选D.【答案】 D以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n 项和等．3．递推数列与数学文化(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N +)个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为( )A ．7B ．10C ．12D ．22【解析】因为数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，所以a 2＝2a 1－1＝2－1＝1，所以a 3＝2a 2＋2＝2×1＋2＝4，所以a 4＝2a 3－1＝2×4－1＝7.故选A.以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，求a 4的问题．4．周期数列与数学文化(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N +)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( )A ．672B ．673C ．1 346D ．2 019【解析】由于{a n }是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{a n }是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2. 因为2 019＝673×3，所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果．5．数列在实际问题中的应用私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3 000元的等差数列，第一年维修费为3 000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是________年．【解析】设这辆汽车报废的最佳年限为n 年，第n 年的费用为a n ，则a n ＝1.5＋0.3n .前n 年的总费用为S n ＝15＋1.5n ＋n2(0.3＋0.3n )＝0.15n 2＋1.65n ＋15，年平均费用：S n n ＝0.15n ＋15n＋1.65≥20.15n ×15n ＋1.65＝4.65，当且仅当0.15n ＝15n，即n＝10时，年平均费用S nn取得最小值．所以这辆汽车报废的最佳年限是10年．【答案】 10数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．[基础题组练]1．(2020·江西宜春一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( )A ．{6}B ．{－8，8}C ．{－8}D ．{8}解析：选D.因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}，故选D.2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．135B ．100C ．95D ．80解析：选A.由等比数列前n 项和的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32，所以a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.3．(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( )A ．1B ．2 C.22D ．2解析：选D.设公比为q ，由正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，可得a 23＋2a 3a 7＋a 27＝(a 3＋a 7)2＝16，即a 3＋a 7＝4，由a 5与a 9的等差中项为4，得a 5＋a 9＝8，则q 2(a 3＋a 7)＝4q 2＝8，则q＝2(舍负)，故选D.4．(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里解析：选A.由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则q ＝12，依题意有a 1（1－q 6）1－q ＝378，解得a 1＝192，则a 6＝192×(12)5＝6，最后一天走了6里，故选A.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．10解析：选B.设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n，即7292＝3n，所以n ＝12.6．(2020·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________．解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16[1－（12）5]1－12＝31.答案：317．(一题多解)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________．解析：法一：设数列{a n }的公比为q ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.答案：－78．(2020·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N +，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.答案：29．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.10．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.[综合题组练]1．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ，则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1q ＋1＋q )＝1＋q ＋1q.当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；当公比q <0时，S 3＝1－(－q －1q)≤1－2（－q ）·（－1q）＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q 等于( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选C.{b n }有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且b n ＝a n ＋1.a n ＝b n －1，则{a n }有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．因为{a n }是等比数列，等比数列中有负数项，则q <0，且负数项为相隔两项，所以等比数列各项的绝对值递增或递减．按绝对值的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，相邻两项相除－2418＝－43，36－24＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，则可得－24，36，－54，81是{a n }中连续的四项．q ＝－32或q ＝－23(因为|q |>1，所以此种情况应舍)，所以q ＝－32.故选C.3．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64. 又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2.又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1qn －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3. 答案：34．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N +，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋ma m＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－25．(2020·湖北武汉4月毕业班调研)已知正项等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2＋4S 4＝S 6，a 1＝1.(1)求数列{a n }的公比q ；(2)令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值．解：(1)由题意可得q ≠1，由S 2＋4S 4＝S 6，可知a 1（1－q 2）1－q ＋4·a 1（1－q 4）1－q ＝a 1（1－q 6）1－q，所以(1－q 2)＋4(1－q 4)＝1－q 6，而q ≠1，q >0，所以1＋4(1＋q 2)＝1＋q 2＋q 4，即q 4－3q 2－4＝0，所以(q 2－4)(q 2＋1)＝0，所以q ＝2.(2)由(1)知a n ＝2n －1，则{a n }的前n 项和S n ＝1－2n1－2＝2n－1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15>0，n ≤4时，b n ＝2n －1－15<0，所以T ＝－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6＋…＋b 10)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6) ＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90＝S 10－2S 4－30＝(210－1)－2(24－1)－30 ＝210－25－29＝1 024－32－29＝963.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N +.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .解：(1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，所以b 1＝a 1＋a 2＝32.所以{b n }是首项为32，公比为12的等比数列．所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n .(2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。

高考数学一轮复习第六章数列第3讲等比数列及其前n项和配套课时作业理(含解析)新人教A版-新

第3讲等比数列及其前n 项和配套课时作业1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.2．(2019·某某调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，a 4＝24，则S 6＝( ) A ．93 B ．189 C ．99 D ．195答案 B解析 ∵a 4＝a 1q 3＝3q 3＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 11－q 61－q＝189.故选B.3．已知正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析由等比数列性质可知a 2a 8＝a 4a 6＝6，故a 4，a 6分别是方程x 2－5x ＋6＝0的两根．因为a n ＋1<a n ，所以a 4＝3，a 6＝2，故a 5a 7＝a 4a 6＝32.故选D.4．(2019·某某模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12. a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.5．(2019·某某某某中学调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36答案 B解析由a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，得a 4＝ 2.又a 4＋2a 7＝2×54，所以a 7＝14，又因为a 7＝a 4q 3，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选B.6．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案 B解析设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，即q 4＋q 2＋1＝7，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)×q 2＝21×2＝42.故选B.7．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64(n >2)，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析由a 1＋a n ＝34，a 1a n ＝a 3a n －2＝64及{a n }为递增数列，得a 1＝2，a n ＝32＝a 1qn －1，又S n ＝a 11－q n1－q＝42，∴q ＝4，n ＝3.故选A.8．(2019·某某模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B ．73 C ．310 D ．1或2答案 B解析设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.9．(2019·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n n ＋12D ．n n －12答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n n －1·22＝n (n ＋1)．故选A.10．(2019·北大附中模拟)若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案 A解析 ∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1＝4a n ，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 4，S 4＝4，则S 8的值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 7a 1q 3＝2，a 11－q 41－q＝4，解得q 4＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 11－q 81－q＝－41－q 1－221－q＝12.故选D.12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12答案 A解析因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.故选A.13．(2019·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×1－331－3＝66.14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析由3S 1,2S 2，S 3成等差数列可得4S 2＝3S 1＋S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3－S 2，即3a 2＝a 3，a 3a 2＝3.所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. 15．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 2n解析 ∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n.∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a n ＝2n.16．(2019·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．答案 5解析设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q n －3，∴不等式的左端＝q －21－q n1－q－q 21－q －n 1－q －1＝1－q n1－q q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2018·高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e an . 解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为ea 1＝eln 2＝2，eane a n －1＝e an －an －1＝eln 2＝2，所以{e an }是首项为2，公比为2的等比数列．所以ea 1＋ea 2＋…＋e an ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设＝b n4n 2－12n，求数列{}的前n 项和S n .解 (1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n ＝2a n ＋1－a na n ＋1－a n＝2，又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为＝b n4n 2－12n，所以＝122n ＋12n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n4n ＋2.19．(2019·某某省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2，代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.20．(2019·正定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值．解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝13.所以数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列．所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由题意，可知对于任意n ∈N *，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，故实数k 的最大值为1.。

高考数学复习第六章数列6

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课前自助餐
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数列的概念按一定次序排成的一列数叫做数列．
数列的通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．
若已知Sn，则an＝Sn－S1Sn－1
（n＝1），（n≥2）.
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数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 {1，2，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图像是一群孤立的点．
的通项公式为an＝(－1)n·（n＋2n1＋）12－1＝(－1)nn22n＋＋21n.
【答案】 (1)an＝2n＋1 (2)an＝(－1)nn22n＋＋21n
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题型二 Sn与an的关系
例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝－1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. ∴an＝4n－5. (2)当n≥2时， Sn－Sn－1＝an＝3n＋b－3n－1－b＝2·3n－1.
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【解析】 ∵an＋1－an＝(n＋2)(1110)n＋1－(n＋1)(1110)n＝ (1110)n·9－11n，
∴当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…， ∴数列{an}有最大项a9或a10，其值为10·(1110)9，其项数为9或10. 【答案】 9或10

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第03节等比数列及其前n项和

高考数学高三模拟考试试卷压轴题第03节等比数列及其前n 项和一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题】已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b 等于（）A ．1B ．2C ．4D ．82.【宿州高三第一次教学质量检测数学】已知{}n a 为等差数列，其公差为2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 前n 项和，*n N ∈则10S 的值为（） A.110 B.90 C.90 D.1103. 【海淀区高三年纪第二学期其中练习】在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（）A ．31B ．36C ．42D ．485. 【改编题】函数21(3)y x =--图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（） A ．21B ．2C ．1D ．336. 【高考天津卷卷第5题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（）A.2B.2C.21 D .12- 7. 【衡水中学高三上学期第五次调研考试】已知(1)log (2)n n a n +=+*()n N ∈．我们把使乘积123n a a a a •••为整数的数n 叫做“优数”，则在区间(1,)内的所有优数的和为( )A ．1024B ．C ．2026D ．20488. 【嘉兴市高三3月教学测试（一）】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列一定成立的是( ) A.若30a >,则20130a < B.若40a >,则20140a < C.若30a >,则20130S > D.若40a >.则20140S >9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （） A.3 B.4C.5 D.610.【九江市都昌一中湖口中学彭泽一中瑞昌一中修水一中永修一中德安一中高三七校联考】数列{}n a 为各项为正数的等比数列，且,24=a 已知函数x x f 21log )(=，则()()=+++373231)(a f a f a f （） A 、﹣6 B 、﹣21 C 、﹣12D 、2111．若数列{}n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列{}n a 为“等比和数列”，k 称为公比和，已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中11a =，22a =，则2015a = （）A. 1B. 2C. 10062D. 10072 已知等差数列的公差，且成等比数列，若是数列的前项的和，则的最小值为（）A ．4B ．3C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 【改编题】设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，若,13221=+a a 433a a =，则=+n n a S 2．14. 【改编题】已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为.15. 【高考安徽卷第12题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设92232-*216()3n n S n N a +∈+n {}n a 11,na S =1313,,a a a 0d ≠{}n a1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.16．已知{}n a 满足()*+∈⎪⎭⎫⎝⎛=+=N n a a a nn n 41,111， +⋅+⋅+=232144a a a S n 14-⋅n n a 类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得=-n n n a S 45___________．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【高考福建卷第17题】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ；（2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271. （1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T19．各项为正的数列{}n a 满足112a =,21,()n n n a a a n λ*+=+∈N ，（1）取1n a λ+=，求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求其公比；（2）取2λ=时令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1231n n a a a a n a ++++++=，*n ∈N ．（Ⅰ) 求证：数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ) 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，11b =，点1(,)n n T T +在直线112x y n n -=+上，若不等式1212911122n n nb b bm a a a a +++≥-++++对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值．高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

《大高考》2016届高考复习数学理五年高考真题第六章数列第三节

第三节等比数列及其前n 项和考点一等比数列中的运算问题1．(2015·新课标全国Ⅱ，4)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21B ．42C ．63D ．84解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B2．(2014·重庆，2)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D. 答案 D3．(2013·江西，3)等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24B ．0C ．12D ．24解析由题可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(舍)，故第四项为－24. 答案 A4．(2015·安徽，14)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎨⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎨⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案 2n －15．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析设等比数列{a n }的公比为q ，q >0.则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4. 答案 46．(2012·浙江，13)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________．解析由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 327．(2014·新课标全国Ⅱ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.8．(2013·陕西，17)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． (1)解设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)证明假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k ＋1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾， ∴数列{a n ＋1}不是等比数列．考点二等比数列的性质1．(2014·大纲全国，10)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6B ．5C ．4D ．3解析 lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C. 答案 C2．(2012·安徽，4)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4B ．5C ．6D ．7解析由题意可设a n ＝a 1×2n －1，且a 1>0， ∵a 3a 11＝16，∴a 1＝116，∴log 2a 10＝log 2116×29＝log 225＝5，故选B. 答案 B3．(2014·天津，11)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．解析由已知得S 1·S 4＝S 22，即a 1·(4a 1－6)＝(2a 1－1)2，解得a 1＝－12. 答案－124．(2014·广东，13)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．解析由等比数列的性质可知a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5⇒a 1a 20＝e 5，于是a 1a 2…a 20＝(e 5)10＝e 50，ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln e 50＝50. 答案 505．(2015·湖南，14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．解析由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案 3n －16．(2011·北京，11)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．解析 ∵q 3＝a 4a 1＝－8，∴q ＝－2，则a n ＝12×(－2)n －1，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12＋1＋2＋…＋2n －2＝12（1－2n ）1－2＝2n －1－12.答案－2 2n －1－127．(2011·新课标全国，17)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6，得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13. 由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n . (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2，故1b n＝－2n （n ＋1）＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝－2n n ＋1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1. 考点三等比数列的综合应用1．(2014·安徽，12)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．解析法一因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5也成等差数列，又a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，所以a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5是常数列，故q ＝1.法二因为数列{a n }是等差数列，所以可设a 1＝t －d ，a 3＝t ，a 5＝t ＋d ，故由已知得(t ＋3)2＝(t －d ＋1)(t ＋d ＋5)，得d 2＋4d ＋4＝0，即d ＝－2，所以a 3＋3＝a 1＋1，即q ＝1. 答案 12．(2013·湖南，15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则： (1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．解析 (1)∵S n ＝(－1)n a n －12n . 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－18，① 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116， ∴a 1＋a 2＋a 3＝－116，②由①②知a 3＝－116.(2)∵S n ＝(－1)n a n －12n①当n 为奇数时，⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝a n ＋1－12n ＋1，S n ＝－a n －12n ，两式相减得a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋12n ＋1，∴a n ＝－12n ＋1；②当n 为偶数时，⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝－a n ＋1－12n ＋1，S n ＝a n －12n ，两式相减得a n ＋1＝－a n ＋1－a n ＋12n ＋1，即a n ＝－2a n ＋1＋12n ＋1＝12n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，n 为奇数，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，n 为偶数.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n ＋1，n 为奇数，0，n 为偶数.∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋124＋126＋…＋12100 ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121001－14＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12100 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－13．(2015·湖北，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有，⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.。

【走向高考】高三数学一轮基础巩固第6章第3节等比数列(含解析)北师大版

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第6章第3节等比数列北师大版一、选择题1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243[答案] A[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， ∴由a 1＋a 1q ＝3得a 1＝1，∴a 7＝1×27－1＝64.2．(文)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( ) A ．2 B ． 2 C ．22D ．12[答案] B[解析] ∵a 3·a 9＝(a 6)2＝2a 25， ∴(a 6a 5)2＝2，又{a n }的公比为正数， ∴q ＝a 6a 5＝ 2.∴a 1＝a 2q＝ 2.(理)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2[答案] A[解析] ∵{a n }为正项等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，且a 4a 5a 6>0， ∴a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3a 7a 8a 9＝52，故选A ．3．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则 a 20a 10＝( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3 D ．－1或3[答案] A[解析] 由a 2a 6＝16，得a 24＝16⇒a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8，∵q 4>0，∴a 4＝4. ∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1. 4．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] C[解析] 由a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，得a 2n ＝22n，∵a n >0，∴a n ＝2n.易得结论． 5．(文)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， a 4＝4，a 7＝－2⇔a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7.(理)(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A ．2n ＋1－13B ．2n ＋1－23C ．22n－13D ．22n－23[答案] C[解析] 依题意，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n ＝2n －1也适合a 1.因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列．数列{a n }的奇数项的前n 项和为－22n1－22＝22n－13.6．等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0，且q >1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1>a n ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 [答案] A[解析] 易知，当a 1>0且q >1时，a n >0，所以a n ＋1a n＝q >1，表明a n ＋1>a n ；若对任意自然数n ，都有a n ＋1>a n 成立，当a n >0时，同除a n 得q >1，但当a n <0时，同除a n 得0<q <1. 也可举反例，如a n ＝－12n .二、填空题7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n＋1－2a n ＝0，则S 5＝________. [答案] 11[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等，设{a n }公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1 －2a n ＝a 1qn ＋1＋a 1q n －2a 1qn －1＝0，所以q 2＋q －2＝0，即q＝－2，q ＝1(舍去)，∴S 5＝1－－51－－＝11.8．在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于________．[答案] 13(4n－1)[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1， ∴a 1＝1，a 2＝2，q ＝2 又∵{a n }是等比数列∴{a 2n }也是等比数列，首项为1，公比为4 ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．9．(文)(2014·广东高考)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.[答案] 5[解析] 本题考查等比中项及对数的运算．∵a n >0，a 1a 5＝4，{a n }为等比数列，∴a 23＝4，∴a 3＝2. ∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 2a 53＝log 225＝5.(理)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.[答案] 50[解析] ∵a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 1·a 20＝e 5. 又∵ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20) ＝ln[(a 1a 20)(a 2a 19)…(a 10a 11)] ＝ln(e 5)10＝ln e 50＝50.注意等比数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ，对数的性质log a m n＝n log a m . 三、解答题10．(文)(2014·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n 2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列． [解析] (1)∵S n ＝3n 2－n 2(n ∈N *)∴S n －1＝n －2－n －2(n ≥2)∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n －－12＝3n －2当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－12＝1，也符合上式∴a n ＝3n －2，(n ∈N *)(2)要使a 1，a n ，a m 成等比数列，只需a 2n ＝a 1.a m 即(3n －2)2＝1·(3m －2)即m ＝3n 2－4n ＋2，∵n >1，∴3n 2－4n ＋2>1，而此时，m ∈N *，且m >n ∴对任意的n >1，都存在m ∈N *，使a ，a n ，a m 成等比数列．(理)(2014·江西高考)已知首项都是1的两个数列{a n }、{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1.∴数列{a n }前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1.∴3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n.相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n＝－2－(2n －2)3n.所以S n ＝(n －1)3n＋1.一、选择题1．(文)在正项等比数列{a n }中，若a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，则log 2a 7－12log 2a 8＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12[答案]D[解析] ∵a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，∴a 6＝2，∴log 2a 7－12log 2a 8＝log 2a 7a 8＝log 2a 6a 8a 8＝log 2a 6＝log 22＝12.(理)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A ．5－12B ．5＋12C ．1－52D ．5－12或5＋12 [答案] B[解析] 设{a n }的公比为q ，则q >0.∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∵a 1≠0，∴1＋q ＝q 2，又∵q >0，∴q ＝5＋12， ∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝5＋12. 2．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A ．32B ．53C ．94D ．不存在[答案] A[解析] 因为a 7＝a 6＋2a 5，所以q 2－q －2＝0，q ＝2或q ＝－1(舍去)．又a m a n ＝a 21qm ＋n －2＝4a 1，所以m ＋n ＝6.则1m ＋4n ＝16(1m ＋4n )(m ＋n ) ＝16(1＋n m ＋4m n ＋4)≥32. 当且仅当n m＝4mn，即n ＝2m 时，等号成立．此时m ＝2，n ＝4.故选A ．二、填空题3．(2014·安徽高考)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.[答案] 1[解析] 设数列{a n }的公差为d ，则a 1＝a 3－2d ，a 5＝a 3＋2d ，由题意得，(a 1＋1)(a 5＋5)＝(a 3＋3)2，即(a 3－2d ＋1)·(a 3＋2d ＋5)＝(a 3＋3)2，整理，得(d ＋1)2＝0，∴d ＝－1，则q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 3＋3a 3＋2＋1＝1，故q ＝1. 4．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a n 等于________．[答案] 2n－1 [解析] a n －a n －1＝a 1qn －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2a 3－a 2＝22…a n －a n －1＝2n －1相加：a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n－2，∴a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1. 三、解答题5．(文)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.(理)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13，由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.故1b n ＝－2nn ＋＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2n n ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.6．(文)(2014·湖南高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和． [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2＋n2－n －2＋n －2＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，b n ＝2n＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.(理)(2014·新课标Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.[解析] (1)∵a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1，n ∈N *. ∴a n ＋1＋12＝3a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．∴{a n ＋12}是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列．(2)由(1)知，a n ＋12＝3n2，∴a n ＝3n－12，1a n ＝23n －1.1a 1＝1，当n >1时，1a n ＝23n －1<13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1＋131＋132＋…＋13n －1 ＝1－13n1－13＝32(1－13n )<32.所以，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <32，n ∈N *.。

【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第六章第三节等比数列及其前n项和文(全国

第三节等比数列及其前n 项和A 组专项基础测试三年模拟精选选择题1.(2015·某某市一诊)设各项均为不为0的数列{a n }满足a n ＋1＝2a n (n ≥1)，若a 2a 4＝2a 5，则a 3＝( )A. 2B.2C.2 2D.4解析由a n ＋1＝2a n (n ≥1)知数列{a n }是以2为公比的等比数列，因为a 2a 4＝2a 5，所以a 1q ·a 1q 3＝2a 1q 4⇒a 1＝2，所以a 3＝4.答案 D2.(2015·某某省某某市高三统考)已知正项等比数列{a n }满足a 3·a 2n －3＝4n (n ＞1)，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝( )A.n 2B.(n ＋1)2C.n (2n －1)D.(n －1)2解析 ∵a 3·a 2n －3＝4n ，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 2…a 2n －1) ＝log 2(a 1a 2n －1a 3a 2n －3…)＝log 2(4n )n 2＝n 2. 答案 A3.(2014·马某某模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( ) A.158或4 B.4027或4C.4027D.158解析设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.当S 6＝6，两者不相等，因此不合题意.当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q. 解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 答案 C4.(2013·潍坊模拟)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，∴有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18. 答案 A一年创新演练5.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1) C.9n －1 D.14(3n －1)解析因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2).当n ≥2时，a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *).则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n －1).故选B. 答案 B6.已知两个等比数列{a n }，{b n }满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，则a ＝________.解析设等比数列{a n }的公比为q ，则有b 1＝a ＋1，b 2＝aq ＋2，b 3＝aq 2＋3，(aq ＋2)2＝(a ＋1)·(aq 2＋3)，即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.因为数列{a n }是唯一的，因此由方程aq 2－4aq ＋3a －1＝0解得的a ，q 的值是唯一的. 若Δ＝0，则a 2＋a ＝0，又a ＞0，因此这样的a 不存在.故方程aq 2－4aq ＋3a －1＝0必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a －1＝0，a ＝13，此时q ＝4，数列{a n }是唯一的，因此满足题意的a ＝13. 答案 13B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题7.(2015·某某省三诊)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8.设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和.若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为( )A.7B.9C.12D.15解析 ∵q 3＝a 4a 1＝8，q ＝2，S 3n ＝1－23n 1－2，数列{a 3n }仍为等比数列，公比为q 3＝8，T n ＝1－8n1－8，∴1－8n －1＝t 1－8n－7，t ＝7. 答案 A二、填空题8.(2014·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析由已知可得：S n ＝3n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，2·3n －1＝2. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32·3n －1 （n ＝1），（n ≥2）. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧32·3n －1 （n ＝1）（n ≥2）三、解答题9.(2015·某某十二校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列，并写出数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列. ∴a n ＋1＝2n ，可得a n ＝2n －1.(2)解 ∵4b 1－1·4b 2－1·4b 3－1·…·4b n －1＝(a n ＋1)n ， ∴4b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －n ＝2n 2，∴2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )－2n ＝n 2，即2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n 2＋2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12n 2＋n . 10.(2014·某某重点中学联考)已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列.设b n ＋2＝3log 14a n (n ∈N ＋)，数列{}满足＝a n ·b n . (1)求证：数列{b n }成等差数列；(2)求数列{}的前n 项和S n ；(3)若≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，某某数m 的取值X 围. (1)证明由已知可得，a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， b n ＋2＝3log 14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝3n ， ∴b n ＝3n －2.∵b n ＋1－b n ＝3，∴{b n }为等差数列，其中b 1＝1，d ＝3.(2)解＝a n b n ＝(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，S n ＝1·14＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7·⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，①14S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7·⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，② ①－②得34S n ＝14＋ 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1 ＝14＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫142·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－（14）n －11－14－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1 ＝12－(3n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－12n ＋83·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1. (3)解＝(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，＋1－＝(3n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1－(3n －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n ＋14－（3n －2）＝－9·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1(n －1). 当n ＝1时，＋1＝，当n ≥2时，＋1≤，∴()max ＝c 1＝c 2＝14. 若≤14m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，则14m 2＋m －1≥14即可， ∴m 2＋4m －5≥0，即m ≤－5或m ≥1.一年创新演练11.已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 13＋2a 27＝4π，则tan(a 2a 12)的值为( ) A.± 3 B.－ 3 C. 3 D.－33解析 ∵a 1a 13＝a 27，a 2a 12＝a 27，∴a 27＝4π3， ∴tan(a 2a 12)＝tan 4π3＝tan π3＝3，故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝x 2－ax ＋a (x ∈R )同时满足：①函数f (x )有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x 1＜x 2，使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立.设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *).(1)求函数f (x )的表达式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)在各项均不为零的数列{}中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数的个数称为数列{}的变号数.令＝1－4a n，求数列{}的变号数. 解 (1)∵f (x )有且只有一个零点，∴Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝0或a ＝4.当a ＝4时，函数f (x )＝x 2－4x ＋4在(0，2)上递减，故存在0＜x 1＜x 2，使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立；当a ＝0时，函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上递增，故不存在0＜x 1＜x 2，使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立. 综上，得a ＝4，f (x )＝x 2－4x ＋4.(2)由(1)可知S n ＝n 2－4n ＋4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(n 2－4n ＋4)－[(n －1)2－4(n －1)＋4]＝2n －5，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2n －5， n ＝1，n ≥2，(3)由题设得＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，1－42n －5， n ＝1，n ≥2， ∵n ≥3时，＋1－＝42n －5－42n －3＝8（2n －5）（2n －3）＞0， ∴n ≥3时，数列{}递增.∵c 4＝－13＜0，由1－42n －5＞0⇒n ≥5，可知c 4·c 5＜0，即n ≥3时，有且只有1个变号数. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，∴此处变号数有2个.综上，数列{}的变号数为3.。

【大高考】(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第六章第一节数列的概念及简单的表示方法

解析n1 n － 11nn n n － 1 n － 1n nn －1 n － 1 {3n n1 的等差数a ＝3a＋ 3? 3 a ＝3 · a ＋ 1? 3 a －3 a＝ 1? a }是公差为列，∴ 3n n ＝31＋－1＝＋2?n＝( ＋ 2)nn 1 ，aanna3设 a－ a ＝( n ＋3)1 n ＋11n1 n ＋13－ ( n ＋2) ·3＝3( n ＋ 3－ 3n － 6) ＜ 0，∴数列 { a } 单调递n ＋ 1nn减，∴最大值的项为 a ＝1.1答案1三、解答题12. (2021·XX 一中月考 ) 根据以下条件，确定数列 { a n } 的通项公式： (1) a 1＝1， a n ＋1＝3a n ＋2；n －1(2) a 1＝1， a n ＝n a n －1( n ≥2)；(3) 数列 { a n } 满足a n ＋1＝a n ＋ 3n ＋2，且a 1＝2，求a n .解 (1) ∵a n ＋1＝ 3a n ＋ 2，∴ a n ＋1＋1＝3( a n ＋1)，∴ a n ＋1＋1＝ 3，∴数列 { n ＋ 1} 为等比数列，公比q ＝ 3，a ＋1annn － 1 n n － 1又 a 1＋1＝2，∴ a ＋1＝2·3，∴a ＝2·3 － 1. (2) ∵n ＝ n －1 n － 1( ≥2) ，anann －21∴ a n －1＝a n －2，⋯， a 2＝ a 1.n －12以上 ( － 1) 个式子相乘得n1 2n －1 a 11a n ＝ a 1· · ·⋯·＝＝ .2 3nn n(3) ∵ a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴ a n － a n －1＝3n －1( n ≥2)，∴ a ＝( a － a －1)＋( a －1－ a －2)＋⋯＋( a 2－a 1)＋ a 1＝〔3 ＋ 1〕nn( n ≥2).nnnnn21当 n ＝1时， a 1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，22n∴ a n ＝2n ＋2.3一年创新演练n 2n* x ＝1处的切线斜率为 n *13. 函数y ＝a x ( a ≠0，n ∈ N ) 的图象在 2a －1＋ 1( n ≥2，n ∈N ) ，且当 n ＝1时其图象过点(2，8)，那么 a 7的值为()1A. 2B.7C.5D.6解析由题知 y ′＝2a n x ，∴ 2a n ＝2a n －1＋1( n ≥2，n ∈ N * ) ，1∴ a n －a n －1＝2，又 n ＝1时其图象过点(2，8)，∴ a 1×22＝8，得 a 1＝2，1∴ { a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，n 3a n ＝2＋2，得 a 7＝5.应选C.答案Cx－ 1〔 x ≤0〕， 2 14. 函数f ( x ) ＝把函数 g ( x )＝f ( x )－ x 的零点按从小到大f 〔 x －1〕＋1〔 x ＞0〕，的顺序排列成一个数列，那么该数列的通项公式为()A. a n ＝n 〔n －1〕( n ∈N *)2*nn ∈N)B. a ＝n ( n －1)(n*C. a ＝n －1( n ∈N )D. a n ＝2n －2( n ∈ N * )解析作为选择题，此题有一种有效的解法是先确定函数的第1， 2， 3，⋯有限个零点，即数列的前几项，然后归纳出其通项公式，或代入选项验证即可，2x － 1〔x ≤0〕，2 x － 1据函数关系式可得f ( x )＝〔 0＜x ≤1〕，2 x －2＋ 1〔 1＜x ≤2〕，⋯此时易知函数( ) ＝ f ( ) －x 的前几个零点依次为 0， 1， 2，⋯，代入验证只有 C 符合 .g xx答案C。

(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习第六章第三节等比数列及其前n项和理(全国通用)

第三节等比数列及其前n 项和A 组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2015·江西赣州模拟)在公比大于1的等比数列{a n }中，a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，则a 12＝( ) A ．96B ．64C ．72D ．48解析 ∵a 3a 7＝a 2a 8＝72，a 2＋a 8＝27，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝24，a 8＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 8＝24，又∵公比大于1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 8＝24，∴q 6＝8，即q 2＝2，∴a 12＝a 2q 10＝3×25＝96. 答案 A2．(2015·山东日照模拟)设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172解析设此数列的公比为q (q ＞0)由已知，a 2a 4＝1，得a 23＝1，所以a 3＝1，由S 3＝7，知a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，进而a 1＝4.所以S 5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝314，选B.答案 B3．(2014·潍坊模拟)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18C.578D.558解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，∴有8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.答案 A4．(2014·北大附中模拟)已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( ) A ．16B ．8C ．6D ．4解析 ∵a 4a 14＝(22)2＝8，即a 4a 14＝a 29＝8，∴a 9＝2 2.则2a 7＋a 11＝2a 9q2＋a 9q 2≥22a 9q 2×a 9q 2＝22×a 9＝8，当且仅当2a 9q2＝a 9q 2，即q 4＝2时取等号．答案 B 二、填空题5．(2014·云南大理二模)若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则该数列的通项公式为________．解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为4，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－1.答案 a n ＝2n ＋1－1三、解答题6．(2014·陕西师大附中模拟)已知数列{a n }的各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2，a 3＋a 4＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n } 的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则a n ＝a 1qn －1，且a n >0，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q （q ＋1）＝2（q ＋1），a 21q 5（q ＋1）＝32（q ＋1），即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 5＝32. 又∵a 1>0，q >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝a 2n ＋log 2a n ＝4n －1＋n －1，∴T n ＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(0＋1＋2＋3＋…＋n －1)＝4n －14－1＋n （n －1）2＝4n－13＋n （n －1）2. 一年创新演练7．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( ) A ．16B ．8C ．2 2D ．4解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可知数列{a 2n }是等差数列，且以a 21＝1为首项，公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3，所以数列的通项公式为a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 26＝3×6－2＝16，即a 6＝4.选D. 答案 D8．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则b 2a 1＋a 2的值为________．解析 ∵1，a 1，a 2，9是等差数列， ∴a 1＋a 2＝1＋9＝10.又1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，∴b 22＝1×9＝9， ∵b 21＝b 2>0，∴b 2＝3，∴b 2a 1＋a 2＝310. 答案310B 组专项提升测试三年模拟精选一、选择题9．(2015·山东菏泽二模)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a n ，a m 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在解析 ∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2，q ＝－1(舍)．若存在两项a n ，a m ，有a m a n ＝4a 1，即a m a n ＝16a 21，a 21q m ＋n －2＝16a 21，即2m ＋n －2＝16，∴m ＋n －2＝4，m ＋n ＝6，即m ＋n6＝1.∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 6＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋24m n ×n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m，即n 2＝4m 2，n ＝2m 时取等号，此时m ＋n ＝6＝3m ，∴m ＝2，n ＝4时取最小值，∴最小值为32.答案 A 二、解答题10．(2014·陕西宝鸡4月)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列． (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设3nb n ＝n (3n－a n )，求|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |. (1)证明 ∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)．又a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)解由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．(3)解由(2)及3nb n ＝n (3n－a n )可得 3nb n ＝－n (a n －3n)＝－n [2×(－2)n －1]＝n (－2)n，∴b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n ，∴|b n |＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n. ∴T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n | ＝23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，①①×23，得23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋ n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，②①－②，得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，∴T n ＝6－2(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n. 11．(2014·马鞍山模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2na n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n＝1，∴数列{2na n}是公差为1的等差数列．(2)解由(1)可得2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝2nn ＋1.(3)解由(2)知，b n ＝n ·2n，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n， 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．(2014·广西钦州二模)设S n 是数列{a n }的前n 项和，满足S n ＝a1－a(1－a n )(a >0且a ≠1，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝a n lg a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }中的每一项总小于它后面的项，求a 的取值范围．解 (1)∵S n ＝a1－a(1－a n )(a >0且a ≠1，n ∈N *)，∴S n ＋1＝a 1－a (1－a n ＋1)，由S n ＋1－S n ＝a n ＋1，得a n ＋1＝a1－a (a n －a n ＋1)，∴a n ＋1＝a ·a n ，即a n ＋1a n＝a (a ≠0，n ∈N *)；当n ＝1时，a 1＝a1－a(1－a 1)，即a 1＝a .于是，数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列，其通项公式为a n ＝a n (n ∈N *)． (2)依题意，得b n ＝na nlg a ，令b k ＋1>b k (k ∈N *)，则(k ＋1)·ak ＋1lg a >ka klg a .∵a >0且a ≠1，∴a k>0，即(k ＋1)a lg a >k lg a . ①当a >1时，lg a >0，则(k ＋1)a >k ，即a >kk ＋1.∵0<kk ＋1<1，∴a >1时，b k ＋1>b k (k ∈N *)恒成立． ②当0<a <1时，lg a <0，则(k ＋1)a <k ，即a <kk ＋1.为了使不等式对任意的正整数k 都成立，只需a <⎝ ⎛⎭⎪⎫k k ＋1min.∵kk ＋1＝11＋1k≥12，∴0<a <12. 综上可知，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >1，或0<a <12.一年创新演练13．已知正项数列{a n }满足：a 2n －(n 2＋n －1)a n －(n 2＋n )＝0(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足b 1＝1，2S n ＝1＋b n (n ∈N ＋)． (1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝（2n ＋1）b na n，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T 2n ＜1.(1)解由a 2n －(n 2＋n －1)a n －(n 2＋n )＝0，得[a n －(n 2＋n )](a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝n 2＋n .由2S n ＝1＋b n 可得当n ≥2时，2S n －1＝1＋b n －1，两式相减得b n ＝－b n －1， ∴数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列， ∴b n ＝(－1)n －1.(2)证明 ∵ c n ＝（2n ＋1）b na n＝(－1)n －1·2n ＋1n （n ＋1）.法一 ∴c 2n －1＋c 2n ＝4n －12n （2n －1）－4n ＋12n （2n ＋1）＝（4n －1）（2n ＋1）－（4n ＋1）（2n －1）2n （2n －1）（2n ＋1）＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1， ∴T 2n ＝(c 1＋c 2)＋(c 3＋c 4)＋…＋(c 2n －1＋c 2n )＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＜1. 法二 ∵c n ＝（2n ＋1）b n a n ＝(－1)n －1·2n ＋1n （n ＋1）＝(－1)n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1， ∴T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋15＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12n ＋1 ＝1－12n ＋1＜1.。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第六章数列1 理-人教版高三全册数学试题

第一节数列的概念及简单表示法A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·某某，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.2.(2015·某某，11)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.3.(2015·某某，18)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n.4.(2014·某某，19)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·某某某某一模)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( )A.a 9>a 10B.a 9＝a 10C.a 9<a 10D.大小关系不确定2.(2016·某某某某模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·某某一中模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n （n 为正奇数），a n ＋1 （n 为正偶数），则其前6项之和是( ) A.16B.20 C.33D.1204.(2015·某某南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ) A.a n ＝1B.a n ＝（－1）n＋12 C.a n ＝2－|sin n π2|D.a n ＝（－1）n －1＋325.(2016·某某某某模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________.6.(2016·某某某某模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.7.(2015·某某质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于________.8.(2015·某某新华中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn≤2的正整数n 的集合为________.9.(2015·某某一中模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若存在n ∈N *，使得a n ≤(n ＋1)λ成立，某某数λ的最小值.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.1121 [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得：a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列. ∴S 5＝1－1×351－3＝121.]2.2011[∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n－1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n )(n －1)2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.]3.(1)解 y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1,曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1). 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. (2)证明由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.4.解 (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①∴当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1).② ①－②并整理得a n ＋1＝（2n －1）a n ＋6n ＋12n .由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明. 当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立；假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝（2k －1）a k ＋6k ＋12k ＝（2k －1）（2k ＋1）＋6k ＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立. 综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.C [n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24；n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17.所以a 9<a 10.故选C.]2.A [若数列{a n }为递增数列,则a n ＋1－a n >0,即2n ＋1>2λ对任意n ∈N *都成立,于是有3>2λ,λ<32,由λ<1可得λ<32;反之由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.]3.C [a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，∴S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.]4.C [A 项显然不成立;n ＝1时,a 1＝－1＋12＝0,故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝（－1）2－1＋32＝1,故D 项不正确.由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.]5. 3 [由题意可得，a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2＝a 1，所以{a n }是以4为周期的数列，而2015＝4×503＋3，a 1a 2a 3a 4＝1，则前2 015项的乘积为1503·a 1·a 2·a 3＝3.] 6.2n －1[(1)∵S n ＝2a n －1，∴n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2). ∵n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是1为首项，2为公比的等比数列.∴a n ＝2n －1.]7. 5或6 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥（n ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.]8.{1，2，3，4}[因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列.又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1，而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1，2，3，4}.]9.解(1)当n ≥2时，由题可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n .①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，②②－①得na n ＝n ＋12a n ＋1－n2a n ，即(n ＋1)a n ＋1＝3na n ，（n ＋1）a n ＋1na n＝3，∴{na n }是以2a 2＝2为首项，3为公比的等比数列(n ≥2)， ∴na n ＝2·3n －2，∴a n ＝2n·3n －2(n ≥2)，∵a 1＝1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n·3n －2，n ≥2. (2)a n ≤(n ＋1)λ⇔λ≥a n n ＋1，由(1)可知当n ≥2时，a nn ＋1＝2·3n －2n （n ＋1），设f (n )＝n （n ＋1）2·3n (n ≥2，n ∈N *)，则f (n ＋1)－f (n )＝2（n ＋1）（1－n ）2·3n ＋1<0， ∴1f （n ＋1）>1f （n ）(n ≥2)，又1f （2）＝13及a 12＝12，可得λ≥1f （2），∴所某某数λ的最小值为13.。

《2016届走向高考》高三数学一轮(人教B版)基础巩固第6章第3节等比数列

第六章第三节一、选择题1．(2014·山西大学附中月考)在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项为3，前3项和为21，则a 3等于( )A ．15B ．12C ．9D ．6[答案] B[解析] 设公比为q (q >0)，则3＋3q ＋3q 2＝21，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝3×4＝12.2．(文)(2014·宁夏银川市一中二模)已知等比数列{a n }的公比大于1，a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，则a 12＝( )A ．96B ．64C ．72D ．48[答案] A[解析] a 2a 8＝a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，∵q >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3a 8＝24，∴q 2＝2，∴a 12＝a 8q 4＝96. (理)(2014·山西重点中学四校联考)等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N ＋，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2[答案] A[解析] ∵a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，∴a n ＝2n ，∴log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 2…a 2n －1)＝log 2a 2n －1n＝(2n －1)log 2a n ＝n (2n －1)． 3．(文)(2013·北大附中河南分校月考)已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．2 2D ．4[答案] B[解析] 因为a 4a 14＝(22)2＝8，即a 29＝8，所以a 9＝2 2.则2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2≥22a 9q 2×a 9q 2＝22×a 9＝8，当且仅当2a 9q2＝a 9q 2，即q 4＝2时取等号，选B. (理)在由正数组成的等比数列{a n }中，设x ＝a 5＋a 10，y ＝a 2＋a 13，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＝yB ．x ≥yC ．x ≤yD ．不确定[答案] C[解析] x －y ＝a 1q (1－q 3)(q 8－1)．当q ＝1时，x ＝y ；当q >1时，1－q 3<0而q 8－1>0，x －y <0；当0<q <1时，1－q 3>0而q 8－1<0，x －y <0.故选C.4．(文)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 [答案] D[解析] a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， a 4＝4，a 7＝－2⇒a 1＝－8，a 10＝1⇒a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇒a 1＋a 10＝－7.(理)设{a n }是公比为q 的等比数列，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q 等于( )A ．－43B ．－32C ．－23或－32D ．－34或－43[答案] C[解析] 集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q ＝－32或－23.5．一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为( ) A.5－12 B ．12C.5－14D ．5＋14 [答案] A[解析] 设三内角A <B <C ，∵sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，∴⎝⎛⎭⎫a c 2＋ac －1＝0. ∵a c >0，∴a c ＝5－12＝sin A ，故选A. [点评] 在△ABC 中，由正弦定理a ＝2R sin A 、b ＝2R sin B 可知，a <b ⇔A <B ⇔sin A <sin B . 6．(2015·石家庄五校联合体摸底)若各项均为正数的等比数列{a n }满足a 2＝1，a 3a 7－a 5＝56，其前n 项的和为S n ，则S 5＝( )A ．31B ．292C.312 D ．以上都不对[答案] C[解析] ∵a 3a 7＝a 25，a 3a 7－a 5＝56，a 5>0，∴a 5＝8， ∵a 2＝1，∴q 3＝a 5a 2＝8，∴q ＝2，a 1＝12，∴S 5＝12(25－1)2－1＝312.二、填空题7．(2014·河北衡水中学二调)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________. [答案] －53[解析] ∵1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，而a 8a 9＝a 7a 10，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝158－98＝－53. 8．(2013·浙江湖州中学)已知数列{a n }是正项等比数列，若a 1＝32，a 4＝4，则数列{log 2a n }的前n 项和S n 的最大值为________．[答案] 15[解析] ∵a 1＝32，a 4＝4，∴q ＝12，a n ＝32·(12)n －1，log 2a n ＝log 2[32·(12)n －1]＝5＋(n －1)log 212＝6－n ，由6－n ≥0，得n ≤6，∴前5项(或6项)和最大，S 5＝5×(5＋1)2＝15.9．如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1，a 2，…，a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．三、解答题10．(文)(2013·合肥模拟)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，c n ＝a n ＋b n ，T n 是数列{c n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上， ∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1，(n >1，且n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，n >1. 又∵a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列． (2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ， b n ＝log 4a n ＋1＝n ，c n ＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋(1＋n )n2.(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －3，所以n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝(43)n －1，b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝(43)n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时符合上式，∴b n ＝3·(43)n －1－1.一、选择题11．(2015·浙江桐乡四校期中)已知{a n }是等比数列，其中a 1，a 8是关于x 的方程x 2－2x sin α－3sin α＝0的两根，且(a 1＋a 8)2＝2a 3a 6＋6，则锐角α的值为( )A.π6 B ．π4C.π3 D ．5π12[答案] C[解析] 由条件知，⎩⎨⎧a 1＋a 8＝2sin α，a 1a 8＝－3sin α，∵a 3a 6＝a 1a 8，(a 1＋a 8)2＝2a 3a 6＋6， ∴4sin 2α＝－23sin α＋6， ∵α为锐角，∴sin α＝32，∴α＝π3. 12．(文)(2013·泉州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，且它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12[答案] C[解析] 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n＝2，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1025的最小n 值为11.(理)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝a 3na 2n ＋1，且{b n }的前n 项和为T n ，若对一切正整数n 都有S n >T n ，则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A ．0<q <1B ．q >1C ．q > 2D ．1<q < 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列，公比为q ，所以b n ＝a 3na 2n ＋1＝1q 2a n ，于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝1q 2(a 1＋a 2＋…＋a n )，即T n ＝1q 2·S n .又S n >T n ，且T n >0，所以q 2＝S nT n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立，所以q >0，因此公比q 的取值范围是q >1.13．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 最大时，n的值等于( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17[答案] C[解析] ∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又q ∈(0,1)，∴a 3>a 5， ∵a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ，b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2，∴S n n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，S n n >0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n >9时，S nn <0，∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．14．(2014·上海虹口二模)已知数列{a n }是首项为a 1，公差为d (0<d <2π)的等差数列，若数列{cos a n }是等比数列，则其公比为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2[答案] B[解析] 因为数列{cos a n }是等比数列，所以cos 2(a 1＋d )＝cos a 1·cos(a 1＋2d )＝cos(a 1＋d －d )·cos(a 1＋d ＋d )＝cos 2(a 1＋d )cos 2d －sin 2(a 1＋d )sin 2d ，所以sin 2d [cos 2(a 1＋d )＋sin 2(a 1＋d )]＝0，所以sin 2d ＝0，sin d ＝0，因为0<d <2π，所以d ＝π.公比q ＝cos (a 1＋d )cos a 1＝cos (a 1＋π)cos a 1＝－1.二、填空题15．(2014·湖南岳阳质检)已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n )(n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________.[答案] 2×(32)n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，(32)n －2，n ≥2[解析] 由a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n )(n ∈N *)，可得a n ＋1＝12S n ，所以S n ＋1－S n ＝12S n ，即S n ＋1＝32S n ，由此可知数列{S n }是一个等比数列，其中首项S 1＝a 1＝2，公比为32，所以S n ＝2×(32)n－1，由此得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，(32)n －2，n ≥2.16．(2014·辽宁抚顺六校联合体期中){a n }为等比数列，若a 3和a 7是方程x 2＋7x ＋9＝0的两个根，则a 5＝________.[答案] －3[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 7＝－7，a 3·a 7＝9，∴a 3，a 7均为负数，那么这个等比数列的奇数项应都为负数，a 5＝－a 3·a 7＝－3. 三、解答题17．(2015·沈阳铁路实验中学期中)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在直线y ＝32x－1上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差类d n 的等差数列，求数列{1d n}的前n 项和T n .[解析] (1)由条件知，S n ＝32a n －1，∴n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，两式相减得，a n ＝32a n －32a n －1，∴a n ＝3a n －1，又a 1＝S 1＝32a 1－1，∴a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2×3n －1.(2)由(1)知，a n ＝2×3n －1，a n ＋1＝2×3n ，∵a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)d n ，∴d n ＝4×3n －1n ＋1，∴1d n ＝n ＋14×3n －1， ∴T n ＝1d 1＋1d 2＋…＋1d n＝24×30＋34×31＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1， 13T n ＝24×31＋34×32＋44×32＋…＋n4×3n －1＋n ＋14×3n，两式相减得，23T n ＝12＋14×31＋14×32＋…＋14×3n －1－n ＋14×3n ＝12＋112(1－13n －1)1－13－n ＋14×3n ＝58－2n ＋58×3n， ∴T n ＝1516－2n ＋516×3n －1.18．(文)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1－6a 2＋a 3＝－7，⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 1(1－6q ＋q 2)＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln23n ＝3n ln2，又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴{b n }是以b 1＝3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列． ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n (3ln2＋3n ln2)2＝3n (n ＋1)ln22即T n ＝3n (n ＋1)2ln2.(理)(2014·四川“联测促改”)学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择．调查表明，凡是在这星期一选A 菜的，下星期一会有15改选B 菜；而选B 菜的，下星期一会有310改选A 菜．用a n ，b n 分别表示第n 个星期选A 的人数和选B 的人数．(1)试用a n －1(n ∈N *，n ≥2)表示a n ，判断数列{a n －300}是否成等比数列并说明理由； (2)若第1个星期一选A 种菜的有200人，那么第10个星期一选A 种菜的大约有多少人？ [解析] (1)由题知，对n ∈N *有b n ＝500－a n ，所以当n ∈N *且n ≥2时，a n ＝45a n －1＋310(500－a n －1)，即a n ＝12a n －1＋150.∴a n －300＝12(a n －1－300)，∴当a 1＝300时，{a n －300}不是等比数列；当a 1≠300时，{a n －300}是以a 1－300为首项，12为公比的等比数列．(2)当a 1＝200时，a n －300＝(12)n －1(a 1－300)，即a n ＝300－1002n －1，∴a 10＝300－10029≈300.∴第10个星期一选A 种菜的大约有300人．。

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