通信原理第2章知信号2

2.5 傅里叶变换（Fourier Transform）
2.5.1 周期信号的傅里叶级数 2.5.2 傅里叶变换 2.5.3 傅里叶变换的基本性质 2.5.4 卷积特性 2.5.5 周期信号的傅里叶变换
Fourier Transform
• 傅里叶变换在物理学、电子类学科、 数论、组合数学、信号处理、概率 论、统计学、密码学、声学、光学、 海洋学、结构动力学等领域都有着 广泛的应用
• 任何周期函数都可以用正弦函数和 余弦函数构成的无穷级数来表示 （选择正弦函数与余弦函数作为基 函数是因为它们是正交的）
（1）三角函数形式的傅里叶级数
若f(t)的周期为T1，角频率ω1=2π/T1，频率 f1=1/T1，傅里叶级数展开表达式为： f(t) = a0+a1cos(ω1t)+ b1sin(ω1t) +a2cos(2ω1t)
n
n
[∑aifi(t)] = ∑aiFi(ω)
i=1
i=1
其中ai为常数，为n正整数。
（3）奇偶虚实性
• 若 [f(t)]=F(ω)，无论f(t)为实函数或复函数，
都具有以下性质： [f(-t)] = F(-ω) [f (t)] = F (-ω) [f (-t)] = F (ω)
（4）尺度变换特性
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉 冲幅度为E, 重复周期为T1, 此信号在一个周期 内(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为 f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]，其中u(t)单位阶跃信 号
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t

f(t)=a0+∑n=0[ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)]
dt
= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt

f(t)=
F(nω1)
e-jnω1t
n-

=nω1F-(nω1)
/
ω1•
e-jnω1t
Δ(nω1)
在极限情况下， nω1ω， Δ(nω1) dω1,
F(nω1) / ω1F(ω) / 2π

nω1-
∫∞-∞
f(t)=1/(2π) ∫∞-∞F(ω)ejωt dω
或：

f(t)=d0+∑n=0dnsin(nω1t+θ) 其中：
a0=d0 dn=√an2+bn2 an= dncosθn bn= dnsinθn tanθn= bn/an
(n=1, 2, …)
频谱图：
幅度谱（幅频特性）
相位谱（相频特性）
例2.5.1 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 （三角形式）
+b2sin(2ω1t)+…+ ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)+…

= a0+n∑=0[ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)]
各次谐波成分的幅度值计算公式为：
直流分量为
a0=1/T1∫t0t0+T1 f(t)dt
余弦分量的幅度为
an=2/T1∫t0t0+T1 f(t)cos(nω1t) dt
例2.5.3 矩形脉冲信号的频谱
f(t)
f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]
E
解： F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωt dt
=∫τ/2-τ/2 Ee-jωt dt =(2E/ω)sin(ωτ/2) = Eτ·Sa(ωτ/2)
0
-τ/2 τ/2 t
例2.5.4 钟形(高斯)脉冲信号的频谱
频谱图上第一个零点频率，记作B。信号功率 主要部分（90%）集中的频率范围（Hz）
例：对周期矩形脉冲信号，
Bω=2 π /τ
即
Bf=1/τ = B
• 基带信号：信号功率集中在零频率附近
• 频带信号：信号功率集中在某一载频附近
2.5.2 傅里叶变换
• 傅里叶正变换（频谱密度函数，简称频谱函数）
F(ω)= [f(t)]= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
τ
t
f(t)
E
E/e
0
τ
t
F(ω)
√ πEτ
√πEτ/e 0
2/τ ω
例2.5.5 升余弦脉冲信号的频谱
f(t)
f(t)=E/2[1+cos(πt/τ)] (0≤t≤τ)
E
解： F(ω)
0
=∫∞-∞f(t)e-jωt dt
-τ -τ/2 τ/2 τ t
=∫τ-τE/2[1+ cos(πt/τ)]e-jωt dt
其中： a0=1/T1∫T1/2-T1/2f(t)dt=1/T1∫τ/2-τ/2Edt=Eτ/T1 an= 2/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)cos(nω1t)dt = 2/T1∫τ/2-τ/2E cos(nω1t) dt = 2E/ (nπ) ·sin(nπτ/T1) = 2Eτ/T1·Sa(nπτ/T1) bn=0
(n=1, 2,…)
例2.5.2 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 （指数形式）
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉 冲幅度为E, 重复周期为T1, 此信号在一个周期 内(-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为 f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
• 信号处理中，傅里叶变换的典型应 用将信号分解成幅值分量和频率分 量
2.5.1 周期信号的傅里叶级数
（1）三角函数形式的傅里叶级数 （2）指数形式的傅里叶级数 （3）周期信号的平均功率 （4）频带宽度（带宽）
傅里叶级数（ Fourier Series ）
• 如果一个给定的非正弦周期函数f(t) 满足狄利克雷（ Dirichlet）条件， 它能展开为一个收敛的级数
f(t)
E
0 -τ -τ/2 τ/2 τ
t
例2.5.6 冲激信号的频谱
F(ω)=∫∞-∞ δ (t)e-jωt dt=1
f(t)
(1)

0
t
F(ω)
1
0
ω
2.5.3 傅里叶变换的基本性质
（1）对称性 （2）线性（叠加性） （3）奇偶虚实性 （4）尺度变换特性 （5）时移特性 （6）频移特性 （7）微分特性 （8）积分特性
= E/2∫τ-τe-jωt dt+E/4∫τ-τ ejπt/τ·e-jωt dt
+ E/4∫τ-τ e-jπt/τ·e-jωt dt
= EτSa(ωτ)+(Eτ/2)Sa[(ω-π/τ)τ]
+ (Eτ/2)Sa[(ω+π/τ)τ]
= Esin(ωτ)/ ω[1-(ωτ/π)2]
= EτSa(ωτ)/[1-(ωτ/π)2]
F(ω)=|F(ω)|e jφ(ω)
• 傅里叶逆变换
f(t)= -1 [F(ω)]= 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω
傅里叶变换
• 周期函数的傅里叶级数是存在的，非周 期函数未必存在傅里叶级数
• 非周期函数的傅里叶变换是存在的，更 具有普遍意义
• 重要特性：傅里叶变换可以化复杂的卷 积运算（时域）为简单的乘积运算（频 域），从而提供了计算卷积的一种简单 方法；傅里叶变换属于谐波分析；离散 形式的傅里叶变换可以利用计算机快速 算出（快速傅里叶变换FFT算法）等。 r(t)=e(t)*h(t) R(ω)=E(ω)H(ω)
（1）对称性
• 若F(ω)= [f(t)]，则
[F(t)]=2πf(- ω) • 当f(t)是偶函数时，则
[F(t)]=2πf(ω)
证明：
f(t) = 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω f(-t) = 1/(2π)∫∞-∞F(ω)e-jωt dω
将变量t与ω互换,可以得到
2π f(-ω) = ∫∞-∞F(t)e-jωt dt
T1
t
（3） 周期性功率信号[Parseval（帕 塞瓦尔）]定理：方均值，均方值
Pf2(t)T 1 T T /2 /2f2(t)dt F n2
此式表明：周期信号的功率等于该信号在 完备正交函数集中各分量功率之和，即时 域和频域的能量守恒（f(t)为周期性功率 信号）。
推导过程：
F(nω1)=1/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t dt
F(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1 =∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t dt
F(ω)=lωim102πF(nω1)/ω1
=lim T1
F(nω1)/T1
=lim T1
∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t
例2.5.10 矩形调幅信号的频谱
f(t)=g(t)cos(ω0t)
G(ω)
g(t)
E
0
-τ/2
τ/2 t
例2.5.11 余弦和正弦信号的频谱
F(ω)
(π)
(π)
-ω1 0 ω1 ω
jF(ω)
(π)
-ω1 0 ω1 ω
(-π)
（7）微分特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则时域微分特性为
[df(t)/dt] = jωF(ω) [df n(t)/dtn] = (jω)n F (ω) 频域微分特性为 -1[dF(ω)/dω] = (-jt)f(t) -1[dFn(ω)/dωn] = (-jt)n f (t)
• 若 [f(t)]=F(ω)，则
其中，α为非零的实常数。
例2.5.9 尺度变换特性的实例

（5）时移特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则
[f(t-t0)] = e –jωt0 ·F(ω) [f (t+t0)] = e jωt0 ·F (ω)