22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)(一)
二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
然后描点、连线，得到图象如下图.
y
-4 -2 O 2 4
-2 4 6 8
由图象可知，这个函数 具有如下性质： 当x＜-1时，函数值y随x
x
的增大而增大； 当x＞-1时，函数值y随x 的增大而减小； 当x=-1时，函数取得最 大值，最大值y=3.
练一练 已知二次函数y＝x2﹣6x+5． （1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a(x﹣h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
( C) A．直线x＝2
B．直线x＝－2
C．直线x＝1
D．直线x＝－1
4．【2020·温州】已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛 物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( B )
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点 P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的 说法如下，
6．【中考·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函 数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( D)
A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2
7．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( B)
(1)求 b、c 的值；
解：把 A(0，3)，B－4，－92的坐标分别代入
y＝－136x2＋bx＋c，得 c－＝1336，×16－4b＋c＝－92，解得bc＝＝398.，
(2)二次函数 y＝－136x2＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？ 若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．
22.1.4二次函数的图像与性质
（配方）
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
开口方向 增减性
直线x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利 润最大？最大利润是多少？
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
a b c 10， a b c 4， 4a 2b c 7.
解这个方程组，得
a＝2，b＝－3，c＝5．
所求二次函数是y＝2x2－3x＋5．
22.1.4二次函数Y=ax2+bx+C(1)
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾反思
y=a(x-h)2+k
顶点式
a>0 a<0
开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性
向上 (h ,k) x=h
向下 (h ,k) x=h
倍 极值 速 x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 课 时 2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 抛物线 y=a(x-h) 学 练 得到的。 x:左加右减
8 x顶 2 2 2
4 2 8 82 y顶 0 4 2
顶点坐标为 2,0
倍 速 课 时 学 练
对称轴x 2
当x 2时，y最大值＝0
2.将下列函数化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，并指出 其对称轴与顶点坐标：
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化 而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为l， 60 则另一边长为 l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) 100 即 S＝－l 2 +30l O 5 10 15 20 25 30 ( 0 < l < 30 )
2
b 时， 2a
4ac b 2 4a
倍 速 课 时 学 练
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的 值最小（大）？
（ 1） y 3 x 2 x
2
2 y x 2x （ 2）
（3） y 2 x 8x 8
22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(教案)
-当a>0时，函数图象开口向上，如y=x^2，图象在x轴上方；
-当a<0时，函数图象开口向下，如y=-x^2，图象在x轴下方；
- b、c的取值会影响图象的平移，如y=x^2+3，图象沿y轴向上平移3个单位；
-通过具体函数如y=x^2-4x+3，演示如何使用顶点公式(-b/2a, c-b^2/4a)求顶点坐标和判别式Δ=b^2-4ac判断与x轴的交点情况。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，它描述了许多自然现象和工程技术问题中的抛物线变化规律。它是数学中的一个重要部分，因为它可以帮助我们解决最值问题、预测物体运动轨迹等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次函数在物理学中的应用，比如计算抛物线运动的最高点和落点。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数y=ax^2+bx+c的标准形式及其图象特征，特别是a、b、c的符号对图象形状和位置的影响。
-掌握二次函数的对称性、最值性、顶点坐标和与x轴的交点的判定方法。
-学会运用顶点公式和判别式进行二次函数的图象分析和性质判断。
-能够将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点公式的推导和应用，我会通过图象示例和实际计算来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最大高度计算。
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(一) 公开课精品课件
点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下
列结论正确的是
( B)
A.y1<y2<y3
B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
〔解析〕因为A(1,2),B(3,2)在抛物线上,所以该抛物线的对称轴为 直线x=2,且C(5,7)在该抛物线上,所以抛物线的开口向上.因为抛物 线上到对称轴的距离越大的点,其纵坐标越大,又因为点M到对称 轴的距离为2-(-2)=4,点N到对称轴的距离为2-(-1)=3,点K到对称轴 的距离为8-2=6,所以y2<y1<y3.
学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内
容既有考查基础知识的试题,又有考查自学能力和探
索能力等综合素质的试题.解决阅读理解题的关键是
把握实质,并在其基础上作出回答,首先仔细阅读信息, 收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法, 然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的 思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和
∴得到的图象对应函数的特征数为[2,-3]
②∵一个函数的特征数是[2,3],
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∵另一个函数的特征数是[3,4],
∴y=x2+3x+4=
x
3 2
2
+
7 4
=
x
1
1 2
2
+2
1 4
.
1
∴将抛物线y=x2+2x+3先向左平移
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1-������ + ������ = -1, 1 + ������ + ������ = 3,
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
利用待定系数法求二次函数的解析式时,如果已知三个条 件,通常列三元一次方程组求解,如果a,b,c中其中一个已知, 则列二元一次方程组求解.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
分析:(1)将A点坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解 析式; (2)在抛物线解析式中令x=0求出y的值,即OC的长,根据对称轴求 出CD的长,根据抛物线的对称性确定出OB的长,利用梯形面积公式 即可求出梯形COBD的面积. 解:(1)将A(-1,0)代入y=a(x-1)2+4中,得0=4a+4,解得a=-1,则抛物 线解析式为y=-(x-1)2+4. (2)对于抛物线解析式,令x=0,得y=3,即OC=3, ∵抛物线y=-(x-1)2+4的对称轴为直线x=1,∴CD=1. ∵A(-1,0), ∴B(3,0),即OB=3, 1 则S梯形COBD= (1+3)×3=6.
2
������ ������
������ − 4������+c
即 y=ax2+bx+c(一般式)可以配方成 y=a
������ 2 ������ + 2������ 4������������-������ + 4������
2
(顶点式).
由以上可以得出:确定二次函数的顶点,可以先配方,配成顶点式 后,由顶点式 y=a(x-h)2+k,直接得出顶点为(h,k),也可以直接根据顶 点的公式得出顶点为
知识点一
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习，而22.1.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》是这一章的重要内容。
这部分教材主要通过分析二次函数的图象和性质，使学生能够理解和掌握二次函数的基本特征，以及如何运用这些特征解决实际问题。
教材通过详细的理论推导和丰富的例题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等关键性质，并能够运用这些性质对二次函数进行分析和判断。
二. 学情分析在九年级的学生已经具备了一定的函数基础，他们已经学习了线性函数和一些非线性函数的知识，对函数的概念和性质有一定的理解。
但是，对于二次函数的图象和性质，他们可能还存在一些困惑和误解。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知基础，通过复习和引导，帮助他们巩固已有的知识，并建立起二次函数图象和性质的知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质，培养他们的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过学习二次函数的图象和性质，增强对数学的兴趣和自信心，培养他们的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：学生对于二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质。
同时，我将利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生进入对二次函数图象和性质的学习。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析二次函数的图象，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
22.1.4二次函数的图像和性质 1
课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1主备人签字课型新授授课人学案编号授课日期核心素养通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.2.通过学生共同观察和讨论,培养合作交流意识.重点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.难点二次函数y=ax2+bx+c的性质.学习过程及内容备注一、复习回顾1.完全平方公式是什么?2.利用完全平方公式将下列代数式配方.(1)x2+2x+=()2;(2)x2-x+=()2;(3)2x2-4x+=()2.二．共同探究1二次函数y=x2-6x+21的图象和性质1.思考回答下列问题(1)你能说出二次函数y=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?(2)二次函数y=(x-6)2+3的图象与二次函数y=x2的图象有什么位置关系?(3)不画图象,你能直接说出二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?万全区第三初级中学2018—2019学年第二学期初二数学导学案2.利用描点法画出图像(1)画出二次函数y=x2-6x+21的图象.(2)通过观察函数图象,这个函数具有哪些性质?三、合作交流你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗?(1)如何把一个二次三项式配方?(2)你能将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方吗?y=ax2+bx+c=a +c=a +c=a +c=a.(3)你能说出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(当a>0时,抛物线的开口 ,当a<0时,抛物线的开口.对称轴是直线x= ,顶点坐标是.（4）你能说二次函数图像的增减性吗？四、拓展延伸已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1的图象的顶点P,求m的值.源:学科五、展示帮扶1.二次函数y=-x2-4x-3图象的顶点坐标是()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象上,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-13.已知抛物线y=-x2+4x-4,则下列说法正确的是()A.当x=-2时,y有最大值B.当x=2时,y有最大值C.当x=-2时,y有最小值D.当x=2时,y有最小值3.将二次函数y=x2+2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为()A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D.y=(x-1)2+24.二次函数y=-x2+2x的图象可能是下列选项中的()5.二次函数y=x2+bx+c的图象上有(3,4)和(-5,4)两点,则此拋物线的对称轴是直。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质(1)
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（8）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴 位置
b
4ac b2 ,
2a 直线x
4ab
2a
由a,b和c的符号确定
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
配方: y 3x2 6x 5
3 x2 2x 5
3
提取二次项系数
老师提示:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次 项系数绝对值一半的 平方
3x
12
2 3
整理:前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
配方后的表达 3x 12 2. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ↔图象与y轴交点在x轴上
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(1)》名师课件
∵点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=x2﹣2x+1的图象上 两点， 1＜2＜3， ∴y1＜y2. 【思路点拨】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴， 再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系.
4.你能归纳总结二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性 质吗？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究三：二次函数的图象及性质 活动 师生共研，探究性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质： (1)当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上无限延伸. a＞0 b (2)对称轴是直线 x , 2a b 4ac b 2 顶点坐标为 ( , ). 2a 4a b (3)在对称轴的左侧，即相当于 x＜ 时， 2a y随x的增大而减小； b 在对称轴的右侧，即相当于 x 时， 简记为“左减右增”. 2a y随x的增大而增大；
1 2 解： y x 6 x 21 2 1 2 ( x 12 x 42) 2 1 2 ( x 12 x 36 6) 2 1 ( x 6)2 3 2
所以它的开口向上，对称轴是x=6， 顶点坐标是（6，3）.
对称轴和顶点坐标．
同学们自己画图！ 归纳： 一般式化为顶点式的思路：
b 4ac b 2 则： h , k . 2a 4a
2.在二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y＝a(x－h)2＋k中，
b 4ac b 2 h ,k . 2a 4a
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测