华师版九年级数学(上)教案(全册)
华师版九年级数学教案(大全8篇)
华师版九年级数学教案(大全8篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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华师大版九年级上册数学全册教案(2022年月修订)
华师大版九年级上册数学全册教案（2022年月修订）第二十一章二次根式21.1二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解（a≥0）是非负数和()2=a.3.理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出()2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度与价值观】通过具体的数据从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.1.形如（a≥0）的式子叫做二次根式.2.（a≥0）是一个非负数；()2=a（a≥0）及其运用.3.利用“（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出多媒体课件.回顾：当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.一、思考探究，获取新知概括：（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）≥0；（2）()2=a（a≥0）.形如（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a.【教学说明】针对上述问题可给予时间让学生讨论，让学生独立思考。
1．下列计算正确的是A．B．C．D．=±32．已知=2是一元二次方程=0的一个解，则m的值是A．-3B．3C．0D．0或33．视力表对我们来说并不陌生。
华师大版九年级上册数学说课稿含反思全册+教学计划+教学进度表
华师大版九年级上册数学说课稿含反思全册+教学计划+教学进度表一. 教材分析华师大版九年级上册数学教材，是在遵循《九年制义务教育数学课程标准》的基础上，结合学生的认知发展水平和心理特点，以及教育教学的实际需要进行编写的。
本册教材内容丰富，结构清晰，既有对基础知识与基本技能的巩固，又有对数学思想与方法的渗透，还有对实际应用能力的培养。
教材共分为九个单元，分别是：一元一次方程、平面几何、数据的收集与处理、代数式、一元一次不等式、函数、立体几何、概率初步、综合与应用。
这些内容既涵盖了初中数学的基础知识，又注重培养学生的数学思维和实际应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对数学知识有一定的了解和认识。
然而，由于个体差异，学生的数学学习水平不尽相同，有的学生基础扎实，有的学生则存在明显的知识漏洞。
此外，学生的学习兴趣、学习习惯、学习方法等方面也存在差异。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教，努力激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，本节课的教学目标如下：1.知识与技能：使学生掌握一元一次方程的解法，能够运用一元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力和团队合作精神。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元一次方程的解法及其应用。
2.教学难点：一元一次方程在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流的教学方法，借助多媒体教学手段，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入一元一次方程，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究一元一次方程的解法，总结解题步骤。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，共同提高。
华师大版九年级数学上册全册教案(用)
华师大版九年级数学上册全册教案(用)22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义；能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中；使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具；增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题；把实际问题转化为数学模型；引入一元二次方程的概念；让学生认识一元二次方程及其相关概念；提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学；并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后；还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入；初步认识问题1 绿苑小区住宅设计；准备在每两幢楼房之间；开辟面积为900平方米的一块长方形绿地；并且长比宽多10米；那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米；不难列出方程x（x+10）=900；整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册；预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x；我们知道；去年年底的图书数是5万册；则今年年底的图书数是5（1+x）万册；同样；明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍；即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2；整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程；解决问题.二、思考探究；获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然；这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2；这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数；a≠0）.其中ax2叫做二次项；a叫做二次项系数；bx叫做一次项系数；c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式；并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2；-13；11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时；通常要将首项化负为正；化分为整.三、运用新知；深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式；并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5；-4；-1；（2）4x2-81=0；4；0；-81（3）4x2+8x-25=0；4；8；-25（4）3x2-7x+1=0；3；-7；1.2.根据下列问题；列出关于x的方程；并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25；求正方形的边长x；（2）一个长方形的长比宽多2；面积是100；求长方形的长x；（3）把长为1的木条分成两段；使较短一段的长与全长的积；等于较长一段的长的平方；求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0； （2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0； （3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根；求a 的值. 解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43.四、师生互动；课堂小结1.只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的整式方程；叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0）；一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的；这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中；体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0；ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境；综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程；激发求知的欲望；体验求知的成功；增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入；初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方；得x+1=±16所以原方程的解是x1=15；x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0；方程左边分解因式；得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15；x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法；教师板书.二、思考探究；获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时；最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时；注意整体划归的思想.三、运用新知；深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地；场地面积增加了一倍；求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.=5+52；x2=5-52（舍去）.解得x1答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题；分小组展示结果；教师点评.四、师生互动；课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0；b≥0）的方程；只要把（x-k）看作一个整体；就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时；切不可约去相同因式；而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程；熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想；掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程；让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦；并体验数学的价值；增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入；初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m；并且面积为16m2；场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm；则长为（x+6）m；根据矩形面积为16m2；得到方程x（x+6）=16；整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境；让学生感受到生活中处处有数学；激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究；获取新知 探究如何解方程x 2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习；我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆；明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式；右边是一个非负常数；即（x+m ）2=n （n ≥0）；运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？ （1）（x+3）2=25 （2）x 2+6x+9=25 （3）x 2+6x=16 （4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式；将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式；从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16；两边都加上9即（26）2；使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式；得： x 2+6x+9=16+9；左边写成完全平方形式；得：（x+3）2=25；开平方；得：x+3=±5；（降次） 即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2；x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式；右边是一个非负常数；从而可以直接开平方求解；这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2（3）4x 2+4x+1=（2x+1）2 例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题；小组展示；教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： （1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0； （2）把常数项移到方程的右边； （3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式；然后利用直接开平方法来解. 三、运用新知；深化理解 1.用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0（3）x 2-21x-1=02.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0；求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答；小组内交流；上台展示并讲解思路. 四、师生互动；课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取. 2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程；引导学生推导出求根公式；使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程；培养学生抽象思维能力；渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入；初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1；x2=-2 （2）无解二、思考探究；获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）；你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0）；试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多；现在不妨把a；b；c也当成具体数字；根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a；b；c而定；因此:（1）解一元二次方程时；可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0；当b2-4ac≥0时；将a；b；c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根；当b2-4ac＜0时；方程没有实数根.（2）a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式；体验获取知识的过程；体会成功的喜悦；可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0解：①x1=1+26；x2=1-26②x1=2；x2=-31③x 1=2；x 2=35④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a ；b ；c 的值；注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值；再代入公式.三、运用新知；深化理解 1.用公式法解下列方程： （1）x 2+x-12=0（2）x 2-2x-41=0（3）x 2+4x+8=2x+11 （4）x （x-4）=2-8x （5）x 2+2x=0 （6）x 2+25x+10=0 解：（1）x 1=3；x 2=-4;（2）x 1=232+；x 2=232-；（3）x 1=1；x 2=-3;（4）x 1=-2+6；x 2=-2-6； （5）x 1=0；x 2=-2; （6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动；课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式；判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神. 【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入；初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2；x2=-3（2）x1=x2=31（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况；回顾已有知识.二、思考探究；获取新知观察解题过程；可以发现:在把系数代入求根公式之前；需先确定a；b；c的值；然后求出b2-4ac的值；它能决定方程是否有解；我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式；通常用符号“Δ”来表示；即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时；方程有两个不相等的实数根: a acbbx24 21-+-=；a acbbx24 22---=;（2）当Δ=0时；方程有两个相等的实数根；x1=x2=-ab2; （3）当Δ＜0时；方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时；方程（m+1）x2-（2m-3）x+m+1=0；（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41;（3）m ＞41.【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知；深化理解1.方程x 2-4x+4=0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根2.已知x 2+2x=m-1没有实数根；求证：x 2+mx=1-2m 必有两个不相等的实数根. 【答案】1.B2.证明：∵x 2+2x-m+1=0没有实数根；∴4-4（1-m ）＜0；∴m ＜0.对于方程x 2+mx=1-2m ；即x 2+mx+2m-1=0；Δ=m 2-8m+4；∵m ＜0；∴Δ＞0；∴x 2+mx=1-2m 必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动；课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时；一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时；一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时；一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时；要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论；回忆整理；再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上；探索出一元二次方程根与系数的关系；及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动；经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系；培养学生观察分析和综合判断的能力；激发学生发现规律的积极性；鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时；初步体验发现问题；总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入；初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）②设方程x2+px+q=0的两根为x1；x2；用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p；x1·x2=q）2.完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax2+bx+c=0的两根为x1；x2；用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-ab；x 1·x2=ac）二、思考探究；获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax2+bx+c=0的两根a acbbx24 21-+-=；aacbbx2422---=；x1+x2=-ab；x 1·x2=ac.【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系；体会知识形成的过程；加深对知识的理解.例1 不解方程；求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x2-6x-15=0;（2）3x2+7x-9=0;（3）5x-1=4x 2.解：（1）x1+x2=6；x1·x2=-15;（2）x1+x2=-37；x1·x2=-3； （3）x1+x2=45；x1·x2=41.【教学说明】先将方程化为一般形式；找出对应的系数. 例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3；求另一根及k 的值.解：另一根为23；k=3.【教学说明】本题有两种解法；一种是根据根的定义；将x=-3代入方程先求k ；再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α；β是方程x2-3x-5=0的两根；不解方程；求下列代数式的值.三、运用新知；深化理解1.不解方程；求下列方程的两根之和与两根之积: （1）x 2-3x=15 （2）5x 2-1=4x 2 （3）x 2-3x+2=10 （4）4x 2-144=0（5）3x （x-1）=2（x-1） （6）（2x-1）2=（3-x ）22.两根均为负数的一元二次方程是（ ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数；两根之积为正数.【答案】1.（1）x 1+x 2=3；x 1x 2=-15 （2）x 1+x 2=0；x 1x 2=-1 （3）x 1+x 2=3；x 1x 2=-8 （4）x 1+x 2=0；x 1x 2=-36（5）x 1+x 2=35；x 1x 2=32（6）x 1+x 2=-32；x 1x 2=-382.C【教学说明】可由学生自主完成抢答；教师点评. 四、师生互动；课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.3 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题；学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程；领悟数学建模思想；体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值；培养学生的创新意识和实践能力；通过交流互动；逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入；初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m；宽20m的矩形试验田；为了管理方便；准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道；要使种植面积为540m2；小道的宽应是多少？问题2 某药品经过两次降价；每瓶零售价由56元降为31.5元；已知两次降价的百分率相同；求每次降价的百分率.二、思考探究；获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显；即抓住种植面积为540m2来列方程；设小道的宽为xm；如何来表示种植面积？方法一：如图；由题意得；32×20-32x-20x+x2=540方法二：如图；采用平移的方法更简便.由题意可得：（20-x）（32-x）=540解得x1=50；x2=2由题意可得x＜20；∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解；同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题；问题中的数量关系很明了；即原价56元经过两次降价降为31.5元；设每次降价的百分率为x；由题意得56（1-x）2=31.5解得 x1=0.25；x2=1.75（舍去）三、运用新知；深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg；2013年平均每公顷产量为8450kg；求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形；要求长方形的面积为75cm2.（1）求此长方形的宽.（2）能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能；说明围法.（3）若设围成一个长方形的面积为S（cm2）；长方形的宽为x（cm）；求S与x的函数关系式；并求出当x为何值时；S的值最大；最大面积为多少.【答案】1.解：设年平均增长率为x；则有7200（1+x）2=8450；解得x1=121≈0.08；x 2=-1224≈-2.08（舍去）.即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解：（1）设此长方形的宽为xcm；则长为（20-x）cm.根据题意；得x（20-x）=75解得：x1=5；x2=15（舍去）.答：此长方形的宽是5cm.（2）不能.由x（20-x）=101；即x2-20x+101=0；；知Δ=202-4×101=-4＜0；方程无解；故不能围成一个面积为101cm2的长方形.（3）S=x（20-x）=-x2+20x.由S=-x2+20x=-（x-10）2+100可知；当x=10时；S的值最大；最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3）问中的应用.四、师生互动；课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时；通常要先画出图形；利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长（降低）率为x；增长（或降低）前的基数是a；增长（或降低）n次后的量是b；则有：a（1±x）n=b（常见n=2）.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习。
HS华师版 初三九年级数学 上册第一学期秋(教学设计 教案)第23章 图形的相似(全章教案 分课时 含反思)
第23章 图形的相似 23.1 成比例线段 1.成比例线段1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2.理解成比例线段的概念；（重点）3.掌握成比例线段的判定方法.（难点）一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比 【类型一】 求线段的比已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比.解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一.解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ，∴AB CD ＝250400＝58. 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】 比例尺在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m.解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离”可求解.设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段【类型一】判断线段成比例下列四组线段中，是成比例线段的是（）A.3cm，4cm，5cm，6cmB.4cm，8cm，3cm，5cmC.5cm，15cm，2cm，6cmD.8cm，4cm，1cm，3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有25＝615.故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.【类型二】由线段成比例求线段的长已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：（1）由a、b、c、d是成比例线段，得ab＝cd，即38＝6d，解得d＝16.故线段d的长度为16cm；（2）由b、a、c、d是成比例线段，得ba＝cd，即83＝6d，解得d＝94.故线段d的长度为94cm.方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.已知三条线段长分别为1cm，2cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x：1＝2：2，则x＝22；若1：x＝2：2，则x＝2；若1：2＝x：2，则x ＝2；若1：2＝2：x，则x＝2 2.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么 这两条线段的比就是它们长度的比， 即AB ：CD ＝m ：n ，或写成AB CD ＝mn成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d ，如果a 与b 的比 等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.2.平分线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC ＝DEEF ，即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AFBE 可知B选项不成立；由CE DF ＝BCAD可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”.探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC ，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP CP ＝BDCE.解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BDDF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AE CE. ∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BD CE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.23.2 相似图形1.了解相似多边形和相似比的概念；2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；（重点）3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.（难点）一、情景导入观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？二、合作探究探究点一：相似多边形的判定下列图形都相似吗？为什么？ （1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可.解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°，所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等，所以对应边成比例；（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°，对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等；（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等； （7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°，45°，90°，所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1：1：2，所以对应边成比例； （8）相似，因为正五边形的各角都等于108°，所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边成比例.方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.探究点二：相似多边形的性质已知四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，试根据图中所给出的数据求出四边形EFGH 和四边形ABCD 的相似比.解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，且∠A ＝∠E ＝80°，∠B ＝∠F ＝75°， ∴AB 与EF 是对应边.∵EF AB ＝68＝34，∴四边形EFGH 与四边形ABCD 的相似比为34.方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法.探究点三：相似多边形的应用如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若AD＝3，BC＝4，求AE：EB的值.解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到ADEF＝EFBC，可以求出EF的长，从而可求AE：EB的值.解：因为四边形AEFD∽四边形EBCF，所以ADEF＝EFBC，所以EF2＝AD·BC＝3×4＝12，所以EF＝12＝2 3.因为四边形AEFD∽四边形EBCF，所以AE：EB＝AD：EF＝3：23＝3：2.方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式求解.在AB＝20m，AD＝30m的矩形花坛ABCD的四周建筑小路.（1）如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值.解：（1）矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似.理由如下：假设两个矩形相似，不妨设小路宽为x m，则30＋2x30＝20＋2x20，解得x＝0.∵由题意可知，小路宽不可能为0，∴矩形A′B′C′D′和矩形ABCD不相似；（2）当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似.理由如下：若矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似，则30＋2x30＝20＋2y20，所以xy＝32.∴当x 与y 的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似. 方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似.三、板书设计相似多边形⎩⎪⎨⎪⎧相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形相似比：相似多边形对应边的比性质：相似多边形的对应角相等，对 应边成比例判定：各角分别相等，各边成比例， 二者缺一不可在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察－比较－猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质.23.3 相似三角形 1.相似三角形1．了解相似三角形的有关概念；(重点)2．掌握利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求： (1)△OAC 和△OBD 的相似比； (2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21；(2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OAOB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1.方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．探究点二：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O . (1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AFEB .又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念； 2．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围2.相似三角形的判定第1课时利用两角判定两个三角形相似1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC∽△A′B′C′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：两角分别相等的两个三角形相似的应用已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：AFBF＝EFDF.解析：要证明AFBF＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AEF ＝∠BDF ＝90°. 又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴△AFE ∽△BFD ，∴AF BF ＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ， 所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ， 所以四边形DFCE 是平行四边形， 所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B . 又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ， 所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.第2课时利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似1.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.（难点）一、情景导入画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？二、合作探究探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（）A.AB·CD＝BD·BCB.AC·CB＝CA·CDC.BC2＝AC·DCD.BD2＝CD·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即CDCB＝CBAC或BC2＝AC·DC.故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510， 所以△ABC 与△DEF 相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC 是否相似.解：由甲图可知AC ＝12＋12＝2，BC ＝2，AB ＝12＋33＝10. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5； 同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2， ∴图②中的三角形与△ABC 相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.如图所示，零件的外径为a ，要求它的厚度x ，需求出内孔的直径AB ，但不能直接量出AB ，现用一个交叉长钳（AC 和BD 相等）去量，若OA ：OC ＝OB ：OD ＝n ，且量得CD ＝b ，求厚度x .解析：欲求厚度x ，而x ＝a －AB2，根据题意较易推出△AOB ∽△COD ，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB 的比例式，解之即可.解：因为OA ：OC ＝OB ：OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ， 故AB CD ＝OAOC＝n ，可得AB ＝bn ，所以x ＝a －bn2.方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解析：要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似.（1）当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC . 此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似； （2）当BP BC ＝BQBA 时，△PBQ ∽△CBA .此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似.综上可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似.易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS ）、两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS ）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.3.相似三角形的性质1．理解相似三角形的性质；(重点)2．会利用相似三角形的性质解决简单的问题．(难点)一、情境导入 两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC 和△A ′B ′C ′是两个相似三角形，相似比为k ，其中AD 、A ′D ′分别为BC 、B ′C ′边上的高，那么AD 、A ′D ′之间有什么关系？二、合作探究探究点一： 相似三角形的性质【类型一】 利用相似比求三角形的周长和面积如图所示，平行四边形ABCD 中，E 是BC 边上一点，且BE ＝EC ，BD 、AE 相交于F 点．(1)求△BEF 与△AFD 的周长之比； (2)若S △BEF ＝6cm 2，求S △AFD .解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解． 解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴△BEF ∽△AFD .又∵BE ＝12BC ，∴BE AD ＝BF DF ＝EF AF ＝12，∴△BEF 与△AFD 的周长之比为BE ＋BF ＋EF AD ＋DF ＋AF ＝12； (2)由(1)可知△BEF ∽△DAF ，且相似比为12，∴S △BEF S △AFD ＝(12)2，∴S △AFD ＝4S △BEF ＝4×6＝24cm 2.方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．【类型二】 利用相似三角形的周长或面积比求相似比若△ABC ∽△A ′B ′C ′，其面积比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为( )A ．1∶2 B.2∶2 C ．1∶4 D.2∶1解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2＝2∶2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．【类型三】利用相似三角形的性质和判定进行计算如图所示，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．解析：求AC边上的高，先将高线作出，由△ABC的面积为18，求出AC的长，即可求出AC边上的高．解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F.∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB，∴BDBE＝ABCB，即BDAB＝BECB，且∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA, ∴S△BEDS△BCA＝(DEAC)2＝818.又∵DE＝3，∴AC＝4.5.∵S△ABC＝12AC·BF＝18, ∴BF＝8.方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．【类型四】利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题如图所示，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D.(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；(2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求AEAD的值．解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四边形PBCN的面积比可得△APN与△ABC的面积比，进而可得其对应边的比．解：(1)因为PN∥BC，所以∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C，△APN∽△ABC，所以S△APNS△ABC＝(APAB)2.因为AP∶PB＝1∶2，所以AP∶AB＝1∶3.又因为S△ABC＝18，所以S△APNS△ABC＝(13)2＝19，所以S△APN＝2；(2)因为PN∥BC，所以∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB，所以△APE∽△ABD，所以APAB＝AEAD，S△APNS△ABC＝(APAB)2＝(AEAD)2.因为S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，所以S△APNS△ABC＝13＝(AEAD)2，所以AEAD＝13＝33.方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．【类型五】利用相似三角形的性质解决动点问题如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C 不重合)，Q点在BC上．(1)当△PQC的面积是四边形P ABQ面积的13时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形P ABQ的周长相等时，求CP的长．解析：(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，当△PQC的面积是四边形P ABQ面积的13时，△CPQ与△CAB的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP 的长；(2)由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形P ABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝13S四边形P ABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4，∵14＝12，∴CP＝12CA＝2；(2)∵△PQC∽△ABC，∴CPCA＝CQCB＝PQAB，∴CP4＝CQ3，∴CQ＝34CP.同理可知PQ＝54CP，∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋54CP＋34CP＝3CP，C四边形P ABQ＝P A＋AB＋BQ＋PQ＝(4－CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－34CP＋54CP＝12－12CP，∴12－12CP＝3CP，∴72CP＝12，∴CP＝247.方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．三、板书设计1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；3．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：。
最新版华师版九年级上册数学全册教案
华师版九年级上册全册教案第21章二次根式21.1 二次根式教学目标：知识与技能：1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质。
过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力。
情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。
教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号a，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、a表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时，a表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为：a(a≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a(a≥0)是一个非负数，即a≥0(a≥0)。
问题2 (a)2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：(a)2=a(a≥0)，如(4)2=4，(2)2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是(a)2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把(a)2＝a(a≥0)写成a=(a)2(a ≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=(3)2，0.3= (0.3)2提问：(1)0=(0)2对不对?(2)－5=(－5)2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如a(a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5，a(a<0)、3a、－a(a<o)是不是二次根式。
华师大版九年级上册数学全册教案设计
第1课时教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标（a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题． 教学方法：讲解 教学过程 一、回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有： （1）a ≥0（a ≥0）； （2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意 在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数． 例x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？思考：2a 等于什么？概括:当a ≥0时，a a =2； 当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）； 2224)(x x x ==．练习1.x 取什么实数时，下列各式有意义.（1）x 43-； （2）23-x ；（3）2)3(-x ； （4）x x 3443-+-拓展在实数范围内有意义？例当x11x+例(1)已知，求x的值．(答案:2)y(2)，求a2004+b2004的值．(答案:2)5归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1a≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．布置作业教材P41.2教学后记：第2课时教学内容1（a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）．教学目标a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2（a≥0）是一个非负数；•教学方法）2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0叫什么？当a<0有意义吗？［老师点评（略）．］二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；）2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．总结： 例1 计算1．2 2．（2 3．2 4．（2）2解：略三、巩固练习 计算下列各式的值：2 ）2 （4）2 ）2 （222- 四、应用拓展 例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．）2 4．）2解：略例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3五、归纳小结1a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）;反之:a=）2（a ≥0）． 六、布置作业1．教材P4.3.4 教学后记：第3课时教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2（a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=______；．（老师点评）例1 化简（1（2（3（4解：略三、巩固练习教材P4.3.4．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？解：略例3当x>2五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．先化简再求值：当a=9时，求甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│教学后记：第4课时教学内容·a≥0，b≥0），反之（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简教学重难点关键a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．（a≥0，b≥0）．a⨯．教学方法探究练习教学过程一、1.（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空并比较左右两边式子的大小（1，=______；（2=_______，．（3，．2．利用计算器计算填空（1，（2（3______（4，一般地，对二次根式的乘法规定为反过来:1. 计算（1（2（3（42 化简（1（2（3（4（5二、质疑：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！三、应用拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②×(2) 化简: ; ;五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、作业设计略教后后记：第5课时教学内容a≥0，b>0）（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．a≥0，b>0（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．教学重难点关键a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．1教学方法探究、练习教学过程一、1.（学生活动）请同学们完成下列各题：1．填空并比较每一组的大小；（2=_____；（1；（4=________，．（3=_____，（2=_____，（3=____，（4=_____．（1一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．（2（3（41．计算：（12．化简：（1（2（3（4三、探究：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展，且x为偶数，求（1+x=，只有a≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．五、归纳小结（师生共同归纳）a≥0，b>0a≥0，b>0）及其运用．六、作业设计略教后反思：第6课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键B A C1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学方法置疑探究教学过程一、1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）计算（1（2，（3（老师点评略）2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．1.把下面的二次根式化为最简二次根式：(1); (2)2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．132====6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、总结：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：=-1，32=-从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、作业设计略教后反思：第7课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法．重难点关键1．重点：二次根式化简为最简根式．2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．教学方法探究练习教学过程一、1、（学生活动）：计算下列各式．（1）（2）（3（4）因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如（板书）所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．1．计算（1（22．计算（1）（2）+三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展+y）-（x已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．六、作业设计 略教后反思：第8课时教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题．教学目标 运用二次根式、化简解应用题．重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．教学方法 探究、练习教学过程一、上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）B A CQP解：设x 后△PBQ 的面积为35平方厘米． 则有PB=x ，BQ=2x依题意，得：12x ·2x=35 x 2=35PBQ 的面积为35平方厘米．===PBQ 的面积为35平方厘米，PQ 的距离为厘米．）2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？BA C 2m1m 4mD 解：由勾股定理，得所需钢材长度为+7≈3×2.24+7≈13.7（m ）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材．）三、同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展若最简根式3aa 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）由题意得432632a b a b a b +=-+⎧⎨-=⎩ ∴24632a b a b +=⎧⎨-=⎩ ∴a=1，b=1 五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、作业 略教后反思：第9课时教学内容二次根式的乘除教学目标含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．重难点关键重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．教学方法 置疑 探究 练习教学过程一、 1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:（1）（2x+y ）·zx （2）（2x 2y+3xy 2）÷xy（3）（2x+3y ）（2x-3y ） （4）（2x+1）2+（2x-1）2老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．思考：如果把上面的x 、y 、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•（仍成立．）2.计算:（1） （2）（）÷3. 计算:（1））（） （2）））总结：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．五、归纳小结（师生共同归纳）本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．六、作业 略教后记：第10课时教学内容：一元二次方程教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。
华师版九年级数学(上)教案(全册)
第22章二次根式22.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、 a 表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a (a≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。
问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a )2=a(a≥0)，如( 4 )2=4，( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把( a )2＝a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 )2，0.3= (0.3 )2提问：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5 ， a (a<0)、3a 、－a (a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子x－1 有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子x－1 改为1－x ，则字母x的取值必须满足什么条件?五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?2、在a2中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
数学华师大版九年级上册教案5篇
数学华师大版九年级上册教案5篇数学华师大版九年级上册教案篇1二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化。
4、经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。
教学过程一、创设问题情境问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则?问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢?二、加强合作，探索规律让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：提问：1、a和b有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么?2、= (a≥0，b0)成立吗?为什么?请举例。
三、范例例1、计算。
教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范;(2)对于(2)可由学生自己计算。
提问：1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。
2、哪种方法更简便?例2、化简：(要求分母不带根号)说明：二次根式的化简要求满足以下两条：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
四、做一做化简：教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。
五、课堂练习P12 练习1、(3)、(4)六、小结本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即= (a≥0，b0)，并利用它进行计算和化简。
化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
华东师大版九年级上册数学全册教案【全套】
备课本华师大版九年级上册数学全册教案班级______ 教师______ 日期______华师大版九年级上册教学计划教师_______日期_______一、教学理念数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者；要善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；要重视现代教育技术在教学中的应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益对数学学习的评价要关注对学生学习过程的评价；恰当评价学生基础知识和基本技能的理解和掌握；重视对学生发现问题和解决问题能力的评价；评价结果以定性描述的方式呈现；更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。
二、指导思想初中数学是义务教育的一门主要学科。
它是学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活,生产和进一步学习的基础。
对学生良好的个性品质和辩证唯物主义世界观的形成有积极的作用。
数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
三、教材内容及重难点分析（—）教材内容本掌期教学内容，共计五章。
第二十二章《二次根式》，本章通过平方根的有关性质的回顾建立了二次根式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习根式的化简、求值。
华师大版九年级数学上册【教案】概率及其意义【新版】
概率及其意义【知识与技能】通过试验，理解事件发生的可能性问题，感受理论概率的意义.【过程与方法】经历试验等活动过程，学会用分析的方法在较为简单的问题情境下预测概率.【情感态度】发展学生合作交流的意识和能力.【教学重点】运用分析的方法在较为简单的问题情境下预测概率.【教学难点】对概率的理解.一、情境导入,初步认识教师活动：拿出一枚硬币抛掷，提问：结果有几种情况？学生活动：拿出一枚硬币抛掷，发现结果只有两种情况——“出现正面”和“出现反面”，而且发生的可能性均等，各占50%的机会.教师引入：一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率.学生联想：抛掷一枚硬币出现正面的概率是12，出现反面的概率是12.教师引导：可记作P(出现正面)=12,P(出现反面)=12.二、思考探究，获取新知抛掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字为5”的概率为多少？学生回答：16，可记作P(出现数字5)=16.上述例子可以经过分析很快地得出概率，但是实际中，许多问题是要进行重复实验、观察频率值的办法来解决的，请看下面一个例子，见课本P136表25.2.1.学生活动：对表25.2.1中的问题进行试验.思路点拨：(1)关注的是哪个或哪些结果;(2)注意所有机会均等.(1)、(2)这两种结果个数的比就是所关注的结果发生的概率.【教学说明】引导学生在实验中寻找方法.问题情境1：课本P137问题1学生活动：分四人小组展开对“问题1”的试验，并从中得到规律：如果掷的次数很多，试验的频率渐趋稳定，平均每6次就有1次掷出“6”.【教学说明】通过试验，让学生逐步计算一个随机事件发生的试验频率，并观察其中的规律性，从而归纳出试验概率趋于理论概率这一规律.例1见课本P 139例1思路点拨：本题是简单的古典概率，理论上很容易求出其概率.P(抽到男同学名字)=12242112=; P(抽到女同学名字)=101121221204=＜，得出结论为抽到男同学名字的概率大 【教学说明】让学生感受到古典概率的内涵以及计算方式.拓展延伸：课本P 140“思考”【教学说明】分小组进行讨论，然后再在全班进行发言.例2 见课本P 140例2思路点拨：这是一个理论概率问题，袋中球的总数为8+16=24只，由于红球有8只，因此，P(取出红球)=81243=，黑球16只，P(取出黑球)= 162243=.也可以这样计算黑球：P(取出黑球)=1-P(取出红球)=121-33=. 例3见课本P 140例3思路点拨：这是一道通过比较取出黑球的概率大小进行判断的题目，首先要计算从甲、乙两只口袋中取出黑球的概率,P 甲(取出黑球)843015==,P 乙(取出黑球)=80842902915=＞,所以选乙袋成功机会大. 三、运用新知，深化理解1.任意投掷均匀的骰子，4朝上的概率是______.2.袋中装有6个红球和7个白球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中任意摸出红球的概率是______.3.一副扑克牌(去掉大王和小王)，随机抽取一张，抽取红桃的概率是______.4.如图，有一个被等分为8个扇形的转盘，转动转盘，指针落在白色区域的概率是( )A.1B.1/3C.5/8D.3/85.袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球:(1)摸到红球的概率是多少？(2)摸到白球的概率是多少？(3)摸到黄球的概率是多少？(4)哪一个概率最大?【答案】1.1/6 2.6/13 3.1/4 4.C5.(1)1/9 (2)1/3 (3)5/9 （4）摸到黄球的概率最大四、师生互动，课堂小结1.什么叫概率？2.本节中的试验结果所产生的趋势与理论概率之间有什么关系？3.试验次数的大小与所得的“估计值”有什么关系？4.谈谈你对概率的理解和体会.1.布置作业：从教材相应练习和“习题25.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.通过抛掷硬币，用学生喜欢的掷骰子和扑克牌试验导入新课，吸引学生迅速进入状态，让学生充分认识概率的意义;由学生自主探索，合作交流运用分析的方法预测概率，使学生掌握本节课的知识.学生在解决问题的过程中，提高了思维能力，增强思维的缜密性，并且培养了学生解决问题的能力和信心.。
华师大版九年级数学上册教案(全册)
第22章一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）.2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0.（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）·（1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5（1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究，获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）.其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.【教学说明】（1）一元二次方程为整式方程；（2）类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0；2，-13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.（1）5x2-1=4x（2）4x2=81（3）4x（x+2）=25（4）（3x-2）（x+1）=8x-3解：（1）5x2-4x-1=0；5，-4，-1；（2）4x2-81=0；4，0，-81（3）4x 2+8x-25=0；4，8，-25（4）3x 2-7x+1=0；3，-7，1.2.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.解：（1）4x 2=25；4x 2-25=0；（2）x （x-2）=100；x 2-2x-100=0；（3）x=（1-x ）2；x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根，求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得：a=-43. 四、师生互动，课堂小结1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a ≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2：原方程可变形为：（x+1）2-256=0，方程左边分解因式，得（x+1+16）（x+1-16）=0 即（x+17）（x-15）=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例1 用直接开平方法解下列方程（1）（3x+1）2=7;（2）y2+2y+1=24;（3）9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1）5x2-4x=0（2）3x（2x+1）=4x+2（3）（x+5）2=3x+15【教学说明】解这里的（2）（3）题时，注意整体划归的思想.三、运用新知，深化理解1.用直接开平方法解下列方程（1）3（x-1）2-6=0（2）x2-4x+4=5（3）（x+5）2=25（4）x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程：3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π（x+5）2.=5+52,x2=5-52（舍去）.解得x1答：小圆形场地的半径为（5+52）m.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a（x-k）2=b（a≠0,b≥0）的方程，只要把（x-k）看作一个整体，就可转化为x2=n（n≥0）的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m2,得到方程x（x+6）=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）2=n（n ≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）2=25（2）x 2+6x+9=25（3）x 2+6x=16（4）x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x 2+6x-16=0转化为（x+3）2=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（26）2,使左边配成x 2+bx+（b2）2的形式，得： x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式，得：（x+3）2=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5解一次方程得：x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x 2+8x+16=（x+4）2（2）x 2-x+41=（x-21）2 （3）4x 2+4x+1=（2x+1）2例2 列方程：（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x+2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a ；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x 2-4x-8=0（2）x 2-4x+2=0（3）x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0，求（xy ）z 的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时,方程没有实数根.（2）a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式.（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程：①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③（x-2）（3x-5）=0 ④4x2-3x+1=0解：①x1=1+26,x2=1-26②x1=2,x2=-31③x1=2,x2=35④无解【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c的值，注意它们的符号；（3）先计算b2-4ac的值，再代入公式.三、运用新知，深化理解1.用公式法解下列方程：（1）x2+x-12=0（2）x 2-2x-41=0 （3）x 2+4x+8=2x+11（4）x （x-4）=2-8x（5）x 2+2x=0（6）x 2+25x+10=0解：（1）x 1=3,x 2=-4;（2）x 1=232+,x 2=232-； （3）x 1=1,x 2=-3;（4）x 1=-2+6，x 2=-2-6；（5）x 1=0,x 2=-2;（6）无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动，课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程；2.向学生渗透分类讨论的数学思想；3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入，初步认识用公式法解下列一元二次方程（1）x2+5x+6=0（2）9x2-6x+1=0（3）x2-2x+3=0解：（1）x1=-2,x2=-3（2）x1=x2=31（3）无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回顾已有知识.二、思考探究，获取新知观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现：【归纳结论】（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-ab 2; （3）当Δ＜0时，方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况：解：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；（4）有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时，方程（m+1）x 2-（2m-3）x+m+1=0,（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？解：（1）m ＜41且m ≠-1; （2）m=41; （3）m ＞41. 【教学说明】注意（1）中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B2.证明：∵x2+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4（1-m）＜0,∴m＜0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0，Δ=m2-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况（1）Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.（3）Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律？①用语言叙述你发现的规律：（两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项）②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2，用式子表示你发现的规律.（x1+x2=-p,x1·x2=q）2.完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗？（不成立）请完善规律：①用语言叙述发现的规律：（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2，用式子表示你发现的规律.（x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac ） 二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系，体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：（1）x 2-6x-15=0;（2）3x 2+7x-9=0;（3）5x-1=4x 2.解：（1）x1+x2=6,x1·x2=-15;（2）x1+x2=-37,x1·x2=-3； （3）x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 解：另一根为23，k=3.【教学说明】本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值.三、运用新知，深化理解1.不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积:（1）x2-3x=15（2）5x2-1=4x2（3）x2-3x+2=10（4）4x2-144=0（5）3x（x-1）=2（x-1）（6）（2x-1）2=（3-x）22.两根均为负数的一元二次方程是（）A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.【答案】1.（1）x1+x2=3,x1x2=-15（2）x1+x2=0,x1x2=-1（3）x1+x2=3,x1x2=-8（4）x1+x2=0,x1x2=-36（5）x1+x2=35,x1x2=32（6）x1+x2=-32,x1x2=-382.C【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.3 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入，初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m 2，小道的宽应是多少？问题2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.二、思考探究，获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540m 2来列方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得，32×20-32x-20x+x 2=540方法二：如图，采用平移的方法更简便.由题意可得：（20-x ）（32-x ）=540解得x 1=50,x 2=2由题意可得x ＜20,∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价56元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得56（1-x）2=31.5解得 x1=0.25,x2=1.75（舍去）三、运用新知，深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg,2013年平均每公顷产量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2.（1）求此长方形的宽.（2）能围成一个面积为101cm2的长方形吗？如能，说明围法.（3）若设围成一个长方形的面积为S（cm2）,长方形的宽为x（cm），求S 与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少.【答案】1.解：设年平均增长率为x，则有7200（1+x）2=8450，解得x1=121≈0.08,x 2=-1224≈-2.08（舍去）.即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解：（1）设此长方形的宽为xcm，则长为（20-x）cm. 根据题意，得x（20-x）=75解得：x1=5,x2=15（舍去）.答：此长方形的宽是5cm.（2）不能.由x（20-x）=101，即x2-20x+101=0,，知Δ=202-4×101=-4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.（3）S=x（20-x）=-x2+20x.由S=-x2+20x=-（x-10）2+100可知，当x=10时，S的值最大，最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3）问中的应用.四、师生互动，课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：a（1±x）n=b（常见n=2）.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习【知识与技能】掌握一元二次方程的基本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过程，加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学来源于生活又应用于生活，增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣.【教学重点】一元二次方程的解法及应用.【教学难点】一元二次方程的应用.一、知识框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.一元二次方程的解法【教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法.2.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ＜0时，方程无实数根.在应用时，要根据根的情况限定Δ的取值，同时应注意二次项系数不为0这一条件.3.一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）的根与系数的关系，在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：（1）a≠0，（2）Δ≥04.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.三、典例精析，复习新知例1 用适当的方法解下列方程（1）x2-7x=0（2）x2+12x+27=0（3）x（x-2）+x-2=0（4）x2+x-2=4（5）4（x+2）2=9（2x-1）2解：（1）x1=0,x2=7;（2）x1=-3,x2=-9;（3）x1=2,x2=-1;（4）x1=2,x2=-3;（5）x1=47,x2=-81.【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.例2 关于x的方程ax2-（3a+1）x+2（a+1）=0，有两个不相等的实数根x 1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a，则a的值是（）.A.1B.-1C.1或-1D.2例3 （2012·江苏徐州）为了倡导节能低碳生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a 千瓦时，则除交20元外，超过部分每千瓦时要交100a元，某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元.（1）求a 的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？解：（1）由题意得20+（80-a ）×100a=35，解得a 1=30,a 2=50,∵a ＞45，∴a=50.（2）设5月份用电x 千瓦时，依题意得20+（x-50）×10050=45，解得x=100，则该宿舍当月用电量为100千瓦时.【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上构建方程模型.四、复习训练，巩固提高. 1.方程x 2-3x=0的解为（ ）A.x=0B.x=3C.x 1=0,x 2=-3D.x 1=0,x 2=32.（2012·河北）用配方法解方程x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ） A.（x+2）2=3 B.（x-2）2=3 C.（x-2）2=5 D.（x+2）2=53.（2012·辽宁本溪）已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个根恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ）A.13B.11或13C.11D.124.（2012·山东日照）已知关于x 的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜34且k ≠2 B.k ≥34且k ≠2 C.k ＞43且k ≠2 D.k ≥43且k ≠2 5.设α，β是一元二次方程x 2+3x-7=0的两个根，则α2+4α+β= . 6.（2012·内蒙古包头）关于x 的两个方程x 2-x-2=0与ax x +=+211有一个解相同，则a= .7.（2012·湖北鄂州）设x 1,x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根，且2x 1（x 22+6x 2-3）+a=4，则a= .8.（2012·山东济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【答案】1.D 2.A 3.B 4.C 5.4 6.4 7.108.解：∵60棵树苗的售价为120×60=7200（元），而7200＜8800，∴该校购买的树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗，由题意得x［120-0.5（x-60）］=8800，解得x1=220,x2=80，当x1=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100，∴x=220不合题意，舍去；当x=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，∴x=80，即该校共购买了80棵树苗.五、师生互动，课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知识吗？你还有哪些困惑与疑问？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中“本章热点专题训练”.第23章图形的相似23.1 成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.一、情境导入，初步认识 挂上两张照片，问： 1.这两个图形有什么联系？它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形. 2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例.二、思考探究，获取新知 1.两条线段的比（1）回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ，或写成ABCD=nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. （2）做一做。
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25.1 测量教学目标1、在探索基础上掌握测量。
2、掌握利用相似三角形的知识教学重难点重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
教学过程当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）（第3题）2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．小结与作业:小结本节内容:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边 作业:一课一练25.2 .1锐角三角函数第二课时教学目标1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。
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第22章一元二次方程22。
1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。
2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根。
【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后,还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少？【分析】设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程x（x+10）=900，整理可得x2+10x-900=0。
（1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7。
2万册.求这两年的年平均增长率。
解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1+x）万册，同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x)·(1+x）=5（1+x）2万册.可列得方程5(1+x）2=7.2，整理可得5x2+10x—2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究,获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程(1）和(2）。
华东师大版九年级数学上全册完整教案
2018年 9月华东师大初中九年级数学上册教课设计21．1.二次根式（1）教课目： 1、理解二次根式的看法，并利用 a （a≥0）的意解答详细目．2、提出，依据出看法，用看法解决．教课重点关：1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的看法；2．点与关：利用“ a （a≥0）”解决详细．教课程：一、回首当 a 是正数， a 表示a 的算平方根，即正数 a 的正的平方根．当 a 是零， a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算平方根．当 a 是数， a 没存心．二、归纳： a （a≥0）表示非数 a 的算平方根，也就是， a （a≥0）是一个非数，它的平方等于a．即有：（ 1） a ≥0（a≥0）；（ 2）( a ) 2=a（a≥0）．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式．注意：在二次根式 a 中，字母a必足a≥0，即被开方数必是非数．三、例题解说例题：x 是怎的数，二次根式x 1 存心？剖析要使二次根式存心，必且只被开方数是非数．解：被开方数 x-1≥ 0，即 x≥1．所以，当 x≥ 1，二次根式x 1 存心．思虑： a 2等于什么？我不如取 a 的一些，如2，-2， 3， -3，⋯⋯分算的a2 的，看看有什么律：归纳 :当 a≥0 ， a 2 a ；当 a＜ 0 ，a2 a ．是二次根式的又一重要性．假如二次根式的被开方数是一个完好平方，运用个性，能够将它“开方”出来，从而达到化的目的．比如：4x 2(2x)2=2x （ x≥0）；x 4( x2 ) 2x 2．四、练习 : x 取什么数，以下各式存心.（ 1）3 4x；（ 2）3x 2；（ 3）(x3) 2；（4） 3x 44 3x2018年 9月例：当 x 是多少时，2x3 +1在实数范围内存心义？x 1剖析：要使 2x3 + 1在实数范围内存心义，一定同时知足2x 3 中的≥ 0 和1中的 x+1≠ 0．x1x12x 3 0解：依题意，得1x3由①得： x ≥ -2由②得： x ≠ -1当 x ≥ -3且 x ≠-1 时，2x 3 +1 在实数范围内存心义．2x 1例： (1)已知 y= 2 x + x2 +5，求 xy的值． (答案 :2)(2)若2004 2004的值． (答案 :2a 1 +b 1 =0，求 a+b)5六、 归纳小结 （学生活动，老师评论）本节课要掌握：1．形如a （ a ≥ 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内存心义，一定知足被开方数是非负数．七、部署作业：教材P4： 1、 221.1二次根式（ 2）教课目的： 1、理解a （ a ≥ 0）是非负数和（a ） 2=a （ a ≥ 0），并利用它们进行计算和化简．2、 经过复习二次根式的看法，用逻辑推理的方法推出 a （ a ≥ 0）是一个非负数，用详细数据联合算术平方根的意义导出（a ） 2=a （ a ≥ 0）；最后运用结论谨慎解题．教课重难点重点： 1．重点：a （ a ≥ 0）是一个非负数； （ a ） 2=a （ a ≥0）及其运用．2．难点、重点：用分类思想的方法导出a （ a ≥ 0）是一个非负数； ?用研究的方法导出（a ）2=a（ a ≥ 0）．教课过程：一、复习引入 （学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当 a ≥0 时， a 叫什么？当 a<0 时，a 存心义吗？二、研究新知议一议：（学生疏组议论，发问解答）a （ a ≥ 0）是一个什么数呢？老师评论：依据学生议论和上边的练习，我们能够得出2018年 9月做一做：依据算术平方根的意义填空：（ 4 ）2=_______；（2 ）2=_______；（9 ）2=______；（3 ）2=_______；（1）2 =______；（7）2=_______ ；（0 ）2=_______．32老师评论：①、4是 4 的算术平方根，依据算术平方根的意义，②、4是一个平方等于 4 的非负数，所以有（4）2=4．同理可得：（ 2 ）2=2，（9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（1）2=1，（7）2=7，（0 ）2=0，所以：（a ）2 = 3322a（a ≥ 0）三、例题解说例 1计算：1．（ 3 ）2， 2．（35 ）2，3．（ 5 ）2，4．（7 ）2262剖析：我们能够直接利用（2a ）=a（a≥0）的结论解题．解：1. （3）2= 3 ， 2.（ 35）2 =32·（ 5 ）2=32·5=45，223.（5）25， 4.（7）2(7) 276=2=22．64四、稳固练习计算以下各式的值：（ 18）2（ 2 ）2（9 ）2（ 0）2（ 47）2(3 5)2(5 3)2348五、应用拓展例2计算1．（x 1）2（x≥ 0），2．（a2）2， 3．（a22a 1 ）2，4．（ 4x2 12 x9）2剖析：（ 1）因为 x≥0，所以 x+1>0 ；（2） a2≥0；（3） a2+2a+1=（ a+1）≥ 0；（4） 4x2-12x+9= （ 2x）2-2·2x· 3+3 2=（2x-3 ）2≥ 0．所以上边的 4 题都能够运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（ 1）因为 x≥ 0，所以 x+1>0, （x 1 ）2=x+122018年 9月（3）∵ a2+2a+1=（ a+1）2 , 又∵（ a+1）2≥ 0，∴ a2+2a+1≥0 ，∴a22a 1 =a2+2a+1（4）∵ 4x2-12x+9= （ 2x）2-2· 2x· 3+32=（ 2x-3）2 , 又∵（ 2x-3 ）2≥ 0∴ 4x2-12x+9 ≥ 0，∴（4x212x 9 ）2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解以下因式:（1）x2-3（ 2） x4-4(3) 2x2-3六、归纳小结：本节课应掌握：1．a（a≥ 0）是一个非负数；2．（a）2=a（ a≥ 0） ;反之 :a=（a）2（ a≥0）．七、部署作业：教材 P4： 3、421.1二次根式（3）教课目的： 1、理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、经过详细数据的解答，研究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决详细问题．教课重难点重点：1．重点：a2＝a（a≥0）．2．难点：研究结论．3．重点：讲清a≥ 0 时，a2＝a才成立．教课过程：一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式；2． a （a≥0）是一个非负数；3． ( a )2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥ 0 时，a2=a能否也成立呢？下边我们就来研究这个问题．二、研究新知：（学生活动）填空：22=_______；0.012=_______ ；(1 )210=______；(2)2 3=________ ；02=________ ；( 3)27=_______．（老师评论）：依据算术平方根的意义，我们能够获取：22=2；0.012=0.01 ；(1)2=1 ；(2)2=2 ；02=0；(3)2=3 ．10103377所以，一般地：a2 =a（a≥0）2018年 9月例 1 化简：（1）9（2）( 4)2（3）25（4）( 3)2剖析：因为（ 1） 9=-3 2，（2）（ -4）2=42，（ 3） 25=52，（ 4）（ -3）2=32，所以都可运用a2 =a（ a≥ 0） ?去化简．解：（ 1）9= 32=3（2）( 4)2=42=4（ 3）25= 52=5 （4）( 3)2= 32=3四、稳固练习：（见小黑板）五、应用拓展例 2填空：当 a≥ 0 时，a2=_____ ；当 a<0 时，a2=____ ， ?并依据这一性质回答以下问题．（ 1）若a2=a，则a能够是什么数？（ 2）若a2=-a，则a能够是什么数？（3）a2>a，则a能够是什么数？剖析：∵ a2=a（ a≥ 0），∴要填第一个空格能够依据这个结论，第二空格就不可以，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤ 0 时，a2= ( a)2，那么 -a≥ 0．（1）依据结论求条件；（ 2）依据第二个填空的剖析，逆向思想；（ 3）依据（ 1）、（2）可知a2 =│a│，而│ a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？ a<0．解：（ 1）因为a2=a，所以a≥ 0；（ 2）因为a2=-a，所以a≤ 0；（ 3）因为当a≥ 0 时a2=a，要使a2>a，即便a>a 所以 a 不存在；当 a<0 时，a2=-a ，要使a2>a，即便 -a>a，a<0 综上， a<0例 3 当x>2，化简2)2-(1 2x) 2．六、归纳小结：本课掌握：a2=a（ a≥ 0）及运用，同时理解当a<0 时，a2＝－ a 的应用拓展．七、部署作业:1．先化简再求值：当a=9 时，求a+12a a2的值，甲乙两人的解答以下：甲的解答为：原式=a+(1a) 2=a+（ 1-a） =1；乙的解答为：原式=a+(1 a)2=a+（ a-1） =2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原由是__________ ．2．若│1995-a│ +a2000 =a，求a-19952的值．（提示：注意根式存心义的隐含条件）3.若 -3≤ x≤ 2 时，试化简│ x-2 │ + ( x 3)2 + x210x 25。
华师版九年级数学(上)教案
九年级上册数学教案第21章二次根式21.1 二次根式教学目标1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、 a 表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a (a ≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。
问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a )2=a(a≥0)，如( 4 )2=4，( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把( a )2＝a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 )2，0.3= (0.3 )2提问：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5 ， a (a<0)、3a 、－a (a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子x－1 有意义，字母x的取值必须满足什么条件? 提问：若将式子x－1 改为1－x ，则字母x的取值必须满足什么条件?五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么?提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?2、在a2中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
华师版九年级数学上册(HS)教案 公式法
3.公式法1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程.(重点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根？请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，且b 2－4ac≥0，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a.二、合作探究探究点一：用公式法解一元二次方程方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是__________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8，因为b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.故答案分别为3x 2－7x －8＝0，3，－7，－8，7±1456. 方法总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．用公式法解下列方程：(1)－3x 2－5x ＋2＝0; (2)2x 2＋3x ＋3＝0；(3)x 2－2x ＋1＝0.解析：先确定a ，b ，c 及b 2－4ac 的值，再代入公式求解即可．解：(1)－3x 2－5x ＋2＝0，3x 2＋5x －2＝0.∵a＝3，b ＝5，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝52－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x＝－5±492×3＝－5±76， ∴x 1＝13，x 2＝－2； (2)∵a＝2，b ＝3，c ＝3，∴b 2－4ac ＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根；(3)∵a＝1，b ＝－2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×1＝0，∴x＝2±02×1＝2±02， ∴x 1＝x 2＝1.方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a ，b ，c 的值，再求出b 2－4ac 的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2－10x ＋21＝0的解，则第三边的长为( )A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定解析：解一元二次方程x 2－10x ＋21＝0，得x 1＝3，x 2＝7.根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x ＜8.所以第三边的长x ＝7.故选A.方法总结：解题的关键是正确求解一元二次方程，并会运用三角形三边的关系进行取舍．三、板书设计经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯。
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第21章二次根式21.1 二次根式教学目标：1、了解二次根式的概念、2、掌握二次根式的基本性质、教学过程一、提出问题上一节我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个新的记号 a ，现在请同学们思考并回答下面两个问题：1、 a 表示什么?2、a需要满足什么条件?为什么?二、合作交流，解决问题让学生合作交流，然后回答问题(可以补充)，归纳为；1、当a是正数时， a 表示a的算术平方根，即正数a的两个平方根中的一个正数；2、当a是零时， a 表示零，也叫零的算术平方根；3、a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零、三、归纳特点，引入二次根式概念1、基本性质、问题1 你能用一句话概括以上3个结论吗?让一个学生回答、其他学生补充，概括为： a (a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说， a (a≥0)是一个非负数，即 a ≥0(a≥0)。
问题2 ( a )2(a≥0)等于什么?说说你的理由并举例验证。
让学生小组讨论或自主探索得出结论：( a )2=a(a≥0)，如( 4 )2=4，( 2 )2=2等、以上两个问题的结论就是基本性质，特别是( a )2=a(a≥0)可以当公式使用，直接应用于计算。
反过来，把( a )2＝a(a≥0)写成a=( a )2(a≥0)的形式，这说明：任何一个非负数a 都可以写成一个数的平方的形式、例如：3=( 3 )2，0.3= (0.3 )2提问：(1)0=(0 )2对不对?(2)－5=(－5 )2对不对?如果不对，错在哪里?2、二次根式概念形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式、说明:二次根式必须具备以下特点；(1)有二次根号；(2)被开方数不能小于0。
让学生举出二次根式的几个例子，并判断－5 ， a (a<0)、3a 、－a (a<o)是不是二次根式。
四、范例例1、要使式子x－1 有意义，字母x的取值必须满足什么条件?提问：若将式子x－1 改为1－x ，则字母x的取值必须满足什么条件?五、课堂练习Pl0页练习1、2、六、思考提高我们已经研究了( a )2(a≥0)等于a，现在研究a2等于什么、提问：1、对于抽象问题的研究，常常采用什么策略?2、在a2中，a的取值有没有限制?3、取一些数值来验证。
通过验证，你能发现什么规律？因此，今后我们遇到a2时，可先改写成a的绝对值｜a｜，再按照a取正数值，0还是负数值来取值、例如当x<0时，16x2＝｜4x｜＝－4x4、( a )2与a2是一样的吗?说说你的理由，并与同学交流。
七、小结1、什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?2、二次根式有哪两个形式上的特点?3、二次根式有哪些性质?八、作业习题22.1第1、2、3、4题、教学反思：通过本节的学习学生认识了二次根式的概念，但是对二次根式的判断和应用还有待多做题才能使知识掌握跟牢固。
22.2 二次根式的乘除法第一课时二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生掌握积的算术平方根的性质、会根据这一性质熟练地化简二次根式、3、培养学生合情推理能力。
教学过程一、复习提问1、什么叫做二次根式?下列式子哪些是二次根式，哪些不是二次根式?160 －130 327 a2、二次根式有哪些性质?计算下列各题：(0.5)2144 (7 )2(－5)2二、提出问题，导入新知1、试一试计算：(1) 4 ×25 ＝( )＝( )4×25 =( )=( )(2) 16 ×9 =( )=( )16×9 =( )=( )提问：观察以上计算结果，你能发现什么?2、思考2 ×3 与2×3 是否相等?提问：(1)你将用什么方法计算?(2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?3、概括让学生观察以上计算结果、归纳得出结论： a ×b =a×b (a≥0，b≥0) 注意，a，b必须都是非负数，上式才能成立。
三、举例应用例1、计算。
7 ×6 12×32说明：二次根式运算的结果，应该尽量化简、如(2)结果不要写成16 ，而应化简成4。
等式 a ×b =a×b (a≥0，b≥0)，也可以写成ab ＝ a ×b (a≥0，b≥0)利用它可以进行二次根式的化简，例如：a4b =a4×b =(a2)2 b =a2 b例2、化简12 4a3说明：(1)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简；(2)在化简时，一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就将能开得尽方的因式(偶次方因式)或因数用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出方来。
四、课堂练习1、计算下列各式，将所得结果化简：3 ×6 3a ×15a2、P12页练习1(1)、(2)、2五、想一想1、 a ×b ×c 与a·b·c 是否相等?a、b、c有什么限制?请举一个例子加以说明。
2、a·b·c 等于 a ×b ×c 吗?3、化简：4a4bc4六、小结这节课我们学习了以下知识：1、二次根式的乘法运算法则，即 a × b ＝a·b (a≥0，b≥0)2、积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即a·b ＝ a × b (a≥0，b≥0)……)要特别注意，以上(1)、(2)中，a、b必须都是非负数，如果a、b中出现了负数，等式就不成立、想一想，(－4)×(－9) ＝－4 ×－9 成立吗?为什么?3、应用(1)、(2)进行计算和化简，在计算和化简中，复习了性质a2＝a(a≥0)，加深了对非负数a的算术平方根的性质的认识、七、作业习题22.2第2、(1)，(2)题，第3、(1)、(2)题、第4题教学反思：本节主要要掌握二次根式的乘除法的计算，在这里就会出现最简二次根式，要求学生掌握最简二次根式的划法和运用。
第二课时 二次根式的乘除法教学目标1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。
2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。
3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化、4。
经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。
教学过程一、创设问题情境问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则? 问题2 是否也有二次根式的除法法则呢?问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢?二、加强合作，探索规律让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为：b a ＝ba 提问：1、a 和b 有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么?2、b a ＝ba (a ≥0，b>0)成立吗?为什么?请举例。
三、范例例1、计算。
315324教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范；(2)对于(2)可由学生自己计算。
提问：1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。
2、哪种方法更简便?例2、化简21：(要求分母不带根号)说明：二次根式的化简要求满足以下两条：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
(2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。
四、做一做化简：51208教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。
五、课堂练习P12 练习1、(3)、(4)六、小结本节课，我们学习了二次根式的除法法则，即b a ＝ba (a ≥0，b>0)，并利用它进行计算和化简。
化简要做到“被开方数不含分母”和“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。
具体办法是：化去根号下的分母；并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面、化简的具体方法可用于计算。
七、作业P14页习题22.2 2(3)、3(3)22.3二次根式的加减法教学目标1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式．2、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加法与减法运算．3、使学生通过二次根式的加减，进一步了解归类的思想方法．教学过程一、创设问题情境1、化简：18 27 12 82．试一试计算： 3 3 －2 3 3 a ＋2 a二、做一做1．观察以上两道计算题，你联想到什么?让学生类比、联想，讨论、交流，然后举手回答，老师归纳，评价．2．你能试着解决它吗?让学生动手计算，鼓励学生加强合作，同桌，上下桌同学可以互相交流，并请两位同学上台板演，教师进行讲评．上面两个例子表明．遇到两个二次根式相加(或加减)时，我们希望利用分配律．这里利用分配律的实质是要求这两个二次根式的被开方数相同．这种类似的情况我们过去也遇到过：将两个单项式相加，如果想利用分配律的话，那就应当要求两个单项式除了系数以外，其余部分完全相同．这就启发我们，类似在整式的加减中依靠“同类项”那样，能不能在二次根式的加减中，也依靠一种“同类二次根式”呢?3．同类二次根式像33和－23，3a和2a这样的两个二次根式，称为同类二次根式．说明：(1)被开方数相同．问：3·5与315是不是同类二次根式?(2)二次根式不能再化简．(3)与二次根式的系数无关．(4)你还能说出几个与33同类的二次根式吗?三、举例与应用二次根式的加减，与整式的加减相类似，只需对同类二次根式进行合并．例1：计算32＋3－22－3 3例2．计算8＋18＋12提问：1．这里三个加项中有同类二次根式吗?2．能否将它们化简?化简情况详见上面，可以发现，有些二次根式是同类二次根式，而有些不是，将同类二次根式合并，就可以得到最后的结果。
小结：先化简，再合并同类二次根式。
例3．计算：（1）50＋32（2）27－23＋45让学生试试看，完成例3的计算．四、课堂练习P14页练习1、2；思考：P14页打开计算黑盒。
五、小结这节课，我们学习了同类二次根式概念，同类二次根式必须满足两个条件：(1)它们都是最简二次根式，(2)它们被开方数必须完全相同．同时，我们还学习了二次根式的加法与减法运算。