高考数学三轮复习精品专练—选择题(详解详析)
2020年全国高考三轮复习信息卷 理科数学(附答案+全解全析)01
2020年全国高考三轮复习信息卷数 学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ={x ∈N||x −1|≤1 }, B ={x|y =√1−x 2}，则A ∩B 的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．82．若复数22252x 2i 2x x x x -++---（）为纯虚数，则x 的值为（ ） A ．2． B ．-1. C ．12-． D ．12． 3．若347log log log 2x y z ==<-，则（ ）A ．347x y z <<B ．743z y x <<C ．437y x z <<D ．734z x y <<4．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是（ ）A ．13B ．16C ．14D ．1125．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ）A ．128.5米B ．132.5米C ．136.5米D ．110.5米 6．函数1()log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．128．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，13AP AB =u u u r u u u r ，12AQ AD =u u u r u u u r ，若12CP CQ ⋅=u u u r u u u r ，则BAD ∠=（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．23π 9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?10．中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A ．43πB ．4πC ．8πD ．64π11．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，A 是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．12D ．212．已知f(x)={e x ,x ≤01−x,0<x <1√x −1,x ≥1 ,若a <b <c,f(a)=f(b)=f(c),则实数a +3b +c 的取值范围是。
2021年高考数学三轮复习试题汇编 专题4 数列、推理与证明 第2讲 推理与证明(A卷)理(含解析)
2021年高考数学三轮复习试题汇编专题4 数列、推理与证明第2讲推理与证明（A卷）理（含解析）一、选择题（每题5分，共25分）1. (江西省新八校xx学年度第二次联考·11)已知数列为依它的前10项的规律，则应为（）A. B. C. D.2. ( xx`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·10)若对于定义在R上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x都成立，则称是一个“特征函数”.下列结论中正确的个数为（）①是常数函数中唯一的“特征函数”；②不是“特征函数”；③“特征函数”至少有一个零点；④是一个“特征函数”.A.1B.2C.3D.43．（xx·陕西省安康市高三教学质量调研考试·12）对于函数为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）4.(xx·北京市东城区综合练习二·8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（）（A）（B）（C）（D）5．(xx·漳州市普通高中毕业班适应性考试·9)对于一个有限数列，的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中．若一个99项的数列（的蔡查罗和为1000，那么100项数列的蔡查罗和为（）A．991 B．992 C．993 D．999二、非选择题（75分）6．(xx·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·13)设为正整数，，计算得，，观察上述结果，可推测一般的结论为。
7．在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝▲ _．8．(xx·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·16)将全体正整数排成如图的一个三角形数阵，按照此排列规律，第10行从左向右的第5个数为．9.（xx.成都三诊·15）10．（xx ·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·15）已知数列满足．定义：使乘积为正整数的叫做“易整数”．则在内所有“易整数”的和为________．11．(xx.绵阳市高中第三次诊断性考试·15)用｜S ｜表示集合S 的元素个数，由n 个集合为元素组成的集合称为“n 元集”，如果集合A, B, C 满足为最小相交“三元集”．给出下列命题：①集合｛1，2}的非空子集能组成6个目“二元集”②若集合M 的子集构成的“三元集”存在最小相交“三元集”，则3:③集合（1，2． 3． 4）的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有16个书④若集合｜M ｜＝n ，则它的子集构成所有“三元集”中，最小相交“三元集”共有个．其中正确的命题有 ．（请演上你认为所有正确的命题序号）12. (xx ·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·21)（本小题共12分）（Ⅰ）已知正数、满足，求证：；（Ⅱ）若正数、、、满足，求证：121222323424log log log log 2a a a a a a a a +++≥-．13．（本小题满分14分）已知数列的前和，数列的通项公式．（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：；（3）若数列与中相同的项由小到大构成的数列为，求数列的前项和．14.（xx ·山西省太原市高三模拟试题二·21）15.(xx ·盐城市高三年级第三次模拟考试·23)（本小题满分10分）设123*12341()(1)(2,)n n n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈．（1）若数列的各项均为1，求证：；（2）若对任意大于等于2的正整数，都有恒成立，试证明数列是等差数列．16、(xx ·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·21)（13分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：且，求证：；（3）求证：。
山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 整理、分析、数据、估计、推断练习(含解析)
整理、分析、数据、估计、推断一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 某高校调查了200名学生每周的自习时间单位：小时，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，根据直方图，若这200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164，则m的值约为A. B. C. D. 27（正确答案）B解：因为200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164，则自习时间不超过m小时的频率为：，第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，其中前三组的频率之和，其中前四组的频率之和，则落在第四组，故选：B．根据频率分布直方图，计算出每组的频率，再求出对应的频数，求出自习时间不超过m小时的频率为，即可求出答案本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．2. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是A. ，B. ，C. ，D. ，2，（正确答案）A解：两个小组的平均成绩相同，，解得：，由茎叶图中的数据可知，甲组的数据都集中在72附近，而乙组的成绩比较分散，根据数据分布集中程度与方差之间的关系可得，故选：A．根据两个小组的平均成绩相同，得到甲乙两组的总和相同，建立方程即可解得X的值，利用数据集中的程度，可以判断两组的方差的大小．本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握平均数和方差的定义和判断方法，比较基础．3. 如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图单位：秒，则A. 平均数为64B. 众数为7C. 极差为17D. 中位数为（正确答案）D解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，所以中位数是，众数是67，平均数是，极差为，故选：D．根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．4. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为，则x，y的值分别为A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8（正确答案）C解：乙组数据平均数；；甲组数据可排列成：9，12，，24，所以中位数为：，．故选：C．求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可．本题考查了中位数和平均数的计算平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．5. 在如图所示一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后而模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为61，则被污染的数字为A. 1B. 2C. 3D. 4（正确答案）B解：设被污染的数字为x，则该组数据的中位数为，极差为，，解得；则被污染的数字为2．故选：B．设出被污染的数字为x，根据题意写出中位数与极差，列方程求出x的值即可．本题考查了茎叶图以及中位数和极差的应用问题，是基础题．6. 若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为A. 8B. 15C. 16D. 32（正确答案）C解：样本数据，，，的标准差为8，，即，数据，，，的方差为，则对应的标准差为，故选：C．根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7. 某校高二班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为A. 20，2B. 24，4C. 25，2D. 25，4（正确答案）C解：由频率分布直方图可知，组距为10，的频率为，由茎叶图可知的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则，所以，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样，都是2，故选：C．先由频率分布直方图求出的频率，结合茎叶图中得分在的人数求得本次考试的总人数，根据频率分布直方图可知内的人数与的人数一样．本题考查了茎叶图和频率分布直方图，茎叶图中，茎在高位，叶在低位，频率分布直方图中要注意纵轴的单位，同时掌握频率和等于1，此题是基础题．8. 甲乙两名篮球运动员在4场比赛中的得分情况如图所示，分别表示甲、乙二人的平均得分，，分别表示甲、乙二人得分的方差，那么和，和的大小关系是A. ，B. ，C. ，D. ，（正确答案）C解：由茎叶图性质得：，，，．，．故选：C．由茎叶图先求出平均数，再计算方差．本题考查两组数据的平均数和方差的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质的合理运用．9. 在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在分的学生人数是A. 15B. 18C. 20D. 25（正确答案）A解：根据频率分布直方图，得；第二小组的频率是，频数是40，样本容量是；成绩在分的频率是，对应的频数学生人数是．故选：A．根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出结果即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，是基础题目．10. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温单位：的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10月的最高气温不低于5月的最高气温C. 月温差最高气温减最低气温的最大值出现在1月D. 最低气温低于的月份有4个（正确答案）D解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温单位：的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差最高气温减最低气温的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于的月份有3个，故D错误．故选：D．由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温单位：的数据的折线图，得最低气温低于的月份有3个．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．11. 某公司10位员工的月工资单位：元为，，，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为A. ，B. ，C. ，D. ，（正确答案）D【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．【解答】解：由题意知，则，方差．故选D．12. 某校100名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是A. 130B. 140C. 133D. 137（正确答案）C解：由题意可知：分的频率为，频数为5人则分的频率为，频数为18人分的频率为，频数为30人分的频率为，频数为22人分的频率为，频数为15人分的频率为，频数为10人而优秀的人数为20人，分有10人，分有15人，取后10人分数不低于133即为优秀，故选：C．由频率分布直方图分析可得每一个分数段上的频率，再由频率与频数的关系，以及获得优秀的频数可得a 的值．本题要看清纵坐标表示，组距为10；不然很容易做错，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 统计某学校高三年级某班40名学生的数学期末考试成绩，分数均在40至100之间，得到的频率分布直方图如图所示则图中a的值为______．（正确答案）解：由，解得．故答案为：．利用频率为1，建立方程，即可得出结论．本题考查了利用频率分布直方图求频率的问题，是基础题．14. 如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为______ ．（正确答案）解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，则乙的平均成绩：，当，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当，甲的平均数乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为故答案为：．由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大属简单题．15. 某次体检，5位同学的身高单位：米分别为，，，，则这组数据的中位数是______ 米．（正确答案）解：将5位同学的身高按照从小到大进行排列为，，，，．则位于中间的数为，即中位数为，故答案为：将数据从小到大进行重新排列，根据中位数的定义进行求解即可．本题主要考查中位数的求解，根据中位数的定义，将数据从小到大进行排列是解决本题的关键．16. 统计某校1000名学生的数学学业考试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若规定不低于80分的为优秀，则优秀学生人数为______．（正确答案）350解：由频率分布直方图得，优秀的频率，优秀的人数．故答案为：350．利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组据求出频率；再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀等级的人数．本题考查频率分布直方图中的频率公式：频率纵坐标组据；频数的公式：频数频率样本容量．三、解答题（本大题共3小题，共40分）17. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如图：设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量旧养殖法新养殖法根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值精确到．附：K．（正确答案）解：记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由，则旧养殖法的箱产量低于50kg：，故的估计值，新养殖法的箱产量不低于50kg：，故的估计值为，则事件A的概率估计值为；发生的概率为；列联表：箱产量箱产量总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则，由，有的把握认为箱产量与养殖方法有关；由题意可知：方法一：，，．新养殖法箱产量的中位数的估计值方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：，箱产量低于55kg的直方图面积为：，故新养殖法产量的中位数的估计值为：，新养殖法箱产量的中位数的估计值．由题意可知：，分布求得发生的频率，即可求得其概率；完成列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有的把握认为箱产量与养殖方法有关：根据频率分布直方图即可求得其平均数．本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．18. 绿色出行越来越受到社会的关注，越来越多的消费者对新能源汽车感兴趣但是消费者比较关心的问题是汽车的续驶里程某研究小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程单次充电后能行驶的最大里程，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．求直方图中m的值；求本次调查中续驶里程在的车辆数；若从续驶里程在的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车续驶里程在的概率．（正确答案）解：有直方图可得：得分由题意知续驶里程在的车辆数为分由题意知，续驶里程在的车辆数为3，设为a，b，c，续驶里程在的车辆数为2，设为d，e，共有10个基本事件：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，设“其中恰有一辆车续驶里程在”为事件A，则事件A包含6个基本事件：ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，则分利用小矩形的面积和为1，求得m值；求得续驶里程在的车辆的频率，再利用频数频率样本容量求车辆数；利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．本题考查了频率分布直方图，古典概型的概率计算，在频率分布直方图中频率小矩形的面积小矩形的高组距．19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．Ⅰ现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；Ⅱ若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；Ⅲ求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率．（正确答案）解：Ⅰ派甲参加比较合适，理由如下：，，，，，，故甲的成绩比较稳定，Ⅱ；Ⅲ从不小于80分的成绩中抽取2个成绩，所有结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15个，其中，满足2个成绩均大于85分的有，，共3个，故，所求的概率是．Ⅰ分别求出，，判断即可；Ⅱ求出满足条件的概率即可；Ⅲ求出小于80分的成绩的个数，求出满足2个成绩均大于85分的个数，求出满足条件的概率即可．本题考查了茎叶图的读法，考查求平均数和方差问题，考查概率问题，是一道中档题．。
2020—2021年新高考总复习数学(理)三轮复习模拟试题及答案解析.docx
2018年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B铅笔涂黑．1．（5分）已知i是虚数单位，则=（）A．1 B．i C．﹣i D．﹣1【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数代数形式的乘除运算化简括号内部的代数式，然后利用虚数单位i的运算性质得答案．【解析】：解：∵，∴=（﹣i）3=i．故选：B．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（）A．B．y=x3 C．y=log2x D．y=tanx【考点】：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解析】：解：A.为奇函数，在定义域上不是增函数．B．y=x3是奇函数在其定义域上是增函数，满足条件．C．y=log2x为增函数，为非奇非偶函数．D．y=tanx为奇函数，在定义域上不是增函数．故选：B【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3．（5分）若a＞0，b＞0，且a≠1，则log a b＞0是（a﹣1）（b ﹣1）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点．【专题】：计算题．【分析】：先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．然后判断“log a b＞0”⇒“（a﹣1）（b﹣1）＞0”与“（a﹣1）（b﹣1）＞0”⇒“log a b＞0”的真假即可得到答案．【解析】：解：因为a＞0，b＞0，a≠1，则若log a b＞0成立，当a＞1时，有b＞1；当0＜a＜1，有0＜b ＜1，则“（a﹣1）（b﹣1）＞0”成立；若“（a﹣1）（b﹣1）＜0”，有a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b ＜1则“log a b＞0”故“log a b＞0”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充要条件故选C【点评】：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p 为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．（5分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？【考点】：循环结构．【专题】：阅读型．【分析】：先根据S的值和循环体得到循环的次数，从而确定出判断框中应填入关于k的判断条件．【解析】：解：S=720=1×10×9×8所以循环体执行三次则判断框中应填入关于k的判断条件是k≥8或k＞7故选C【点评】：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．5．（5分）已知函数的图象经过点（0，1），则该函数的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【考点】：正弦函数的对称性．【专题】：计算题．【分析】：点在线上，点的坐标适合方程，求出φ，然后确定函数取得最大值的x值就是对称轴方程，找出选项即可．【解析】：解：把（0，1）代入函数表达式，知sinφ=因为|φ|＜所以φ=当2x+=+2kπ（k∈Z）时函数取得最大值，解得对称轴方程x=+kπ（k∈Z）令k=0得故选C【点评】：本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，是基础题．取得最值的x值都是正弦函数的对称轴．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离；立体几何．【分析】：如图，可跟据题意得到该几何体的直观图，然后利用切割的方法求其体积．【解析】：解：由题意，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，由题意可得到所求几何体的几何直观图．由题意可知：多面体ADD′﹣EFC即为所求的几何体．由题意作EM⊥DC于M，则由已知得MC=1，EM=3．FM=3，DM=3．则V=V三棱柱ADD′﹣FME+V三棱锥E﹣FMC=S△EMF×DM=．故选A．【点评】：本题考查了三视图的识图问题，体积以及表面积的计算问题，属于中档题．7．（5分）已知直线（t为参数）与曲线M：ρ=2cosθ交于P，Q两点，则|PQ|=（）A．1 B．C．2 D．【考点】：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：运用代入法和x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，将参数方程和极坐标方程，化为普通方程，由于圆心在直线上，可得弦长即为直径．【解析】：解：直线（t为参数）即为直线y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，由x=ρcosθ，x2+y2=ρ2，曲线M：ρ=2cosθ，可化为x2+y2﹣2x=0，即圆心为（1，0），半径r=1，由圆心在直线上，则|PQ|=2r=2，故选C．【点评】：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆的位置关系，属于基础题．8．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解析】：解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＜0时，函数f（x）=，此时，f（1）==0，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】：题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168【考点】：计数原理的应用．【专题】：计算题．【分析】：根据题意，分2步进行【分析】：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解析】：解：分2步进行【分析】：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．【点评】：本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）已知F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点A（0，b），过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，求出AF的方程与y=x，联立可得B，利用，可得a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率．【解析】：解：设F（c，0），A（0，b），渐近线方程为y=x，则直线AF的方程为，与y=x联立可得B（，﹣），∵，∴（c，﹣b）=（+1）（，﹣﹣b），∴c=（+1），∴e==，故选：A．【点评】：本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11．（5分）设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X≤a2﹣1）=P（X＞a﹣3），则正数a= ﹣3或2 ．【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：根据正态曲线关于x=1对称，得到两个概率相等的区间关于x=1对称，得到关于a的方程，解方程即可．【解析】：解：∵随机变量X服从正态分布N（1，σ2），且P（X ≤a2﹣1）=P（X＞a﹣3），∴a2﹣1+a﹣3=2，∴a=﹣3或2，故答案为：﹣3或2．【点评】：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=1对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题．12．（5分）已知二项式（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是10 ．【考点】：二项式定理．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：先求得n=5，以及二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：由题意可得2n=32，n=5，展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣2r•x﹣r=•x10﹣3r．令10﹣3r=1，r=3，故展开式中含x项的系数是=10，故答案为10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解析】：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．14．（5分）设a，b为正实数，则的最小值为2﹣2 ．【考点】：基本不等式．【专题】：不等式．【分析】：把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值【解析】：解：==1﹣=1﹣，∵a，b为正实数，∴≥2=2，当且仅当a=b时取等号，∴≥1﹣=1﹣（3﹣2）=2﹣2，故的最小值为：，故答案为：2﹣2【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的形式，可以应用基本不等式求最值．15．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，以AD为直径作半圆DEA（其中E是的中点），若动点P从点A出发，按如下路线运动：A→B→C→D→E→A→D，其中（λ、μ∈R），则下列判断中：①不存在点P使λ+μ=1；②满足λ+μ=2的点P有两个；③λ+μ的最大值为3；④若满足λ+μ=k的点P不少于两个，则k∈（0，3）．正确判断的序号是②③．（请写出所有正确判断的序号）【考点】：向量的线性运算性质及几何意义．【专题】：综合题；压轴题；平面向量及应用；直线与圆．【分析】：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示得出；讨论点P在AB、BC、CD以及弧DEA和AD上运动时，λ、μ的取值范围，对给出的命题进行分析、判断，从而得出正确的结论．【解析】：解：建立平面直角坐标系，如图所示；设点A（0，0），B（1，0），∴点C（1，1），D（0，1），E（﹣，），延长AE至F，使AF=2AE，∴点F（﹣1，1），∴=（1，0），2==（﹣1，1）；∴=λ（1，0）+μ（﹣1，1）=（λ﹣μ，μ）；当点P在AB上运动时，=λ，λ从0增大到1，μ=0，∴λ+μ∈[0，1]；当点P在BC上运动时，λ从1增大到2，μ从0增大到1，∴λ+μ∈[1，3]；当点P在CD上运动时，λ从2减小到1，μ=1，∴λ+μ∈[1，3]；当点P在弧DEA上运动时，﹣≤λ≤，0≤μ≤，∴λ+μ∈[﹣，1]；当点P在AD上运动时，0≤λ≤1，0≤μ≤1，0≤λ+μ≤2；综上，对于①，不妨令λ=1，μ=0，则λ+μ=1，=（1，0），P与点B重合，∴①错误；对于②，当λ=μ=1时，λ+μ=2，=（0，1），点P与点D重合，当λ=，μ=时，λ+μ=2，=（1，），点P是BC的中点，∴满足条件的点P有两个，②正确；对于③，当点P与点C重合时，==（1，1），∴，得λ=2，μ=1，此时λ+μ取得最大值为3，③正确；对于④，当满足λ+μ=k的点P不少于两个时，则k∈（﹣，3），∴④错误；综上，正确的命题是②③．故答案为：②③．【点评】：本题考查了平面向量运算问题，也考查了线性规划的应用以及直线与圆位置关系的应用问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B=，S=4求b．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式变形，整理后再利用正弦定理化简，利用等差数列的性质判断即可得证；（2）利用三角形面积公式列出关系式，把sinB与已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，整理得出b的值即可．【解析】：解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA•+sinC•=sinB，∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化简得：a+c=2b，∴a，b，c成等差数列；（2）∵S=acsinB=ac=4，∴ac=16，又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c=2b，∴b2=4b2﹣48，即b2=16，解得：b=4．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，等差数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．（Ⅱ）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望E（X）．附：，n=a+b+c+d【考点】：独立性检验的应用．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题设条件作出列联表，根据列联表中的数据，得到．由此得到有99%的把握认为环保知识测试与专业有关．（2）由题设知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解析】：解：（Ⅰ）2×2列联表如下由算得，，所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关 (5)分（Ⅱ）设A，B，C成绩优秀分别记为事件M，N，R，则∴随机变量X的取值为0，1，2，3…6分，…10分所以随机变量X的分布列为：E（X）=0×+1×+2×+3×=…12分．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的合理运用．18．（12分）如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC，CD 的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=2NC，M是PA中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）求二面角M﹣EF﹣N的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间角．【分析】：（Ⅰ）连结BD，利用线面垂直的判定定理及中位线定理即可；（Ⅱ）连OM，建立空间直角坐标系，所求值即为平面NEF的一个法向量与平面MEF一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．【解析】：解法1：（Ⅰ）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵BD⊥AC，AC⊥PA=A，∴BD⊥平面PAC，又∵E，F分别是BC、BD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥平面PAC，又EF⊆平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）设AB=4，建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），M（0，0，2），N（4，4，2），∴，，则，=（0，2，2），设平面NEF的法向量为，则，令x=1，得y=1，z=﹣1，即，同理可求平面MEF一个法向量，∴，∴二面角M﹣EF﹣N的余弦值为．【点评】：本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，考查求二面角，涉及到向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．【考点】：等比关系的确定；等差数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．【解析】：解：（1）当n≥2时，，（2分）即（n≥2）．（4分）所以数列是首项为的常数列．（5分）所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（7分）（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．（8分）因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．（13分）这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．（14分）【点评】：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．20．（13分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c时，|AF|=|DF|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，通过|AF|=|FD|化简得a=2c，结合a2=3+c2得a2=4，进而可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．设点P的坐标为（x0，y0），联立，结合韦达定理及点F（1，0），分、两种情况讨论即可．【解析】：解：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，由|AF|=|FD|，得，化简得a=2c，由a2=3+c2得a2=4，故所求椭圆C的方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．结论：以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0．设点P的坐标为（x0，y0），由韦达定理：．所以，．因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：（1）当时，点P的坐标为，直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y∓1）2=1与直线PF相切；（2）当时，直线PF的斜率．所以直线PF的方程为，即．故点E到直线PF的距离d===|2k|；综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到中点坐标公式、韦达定理、点到直线的距离公式等知识，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）的图象在x=1处的切线经过点（3，4），求a的值；（Ⅱ）若0＜a＜1，求证：；（Ⅲ）当函数f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（1）=1﹣2a，又，得1﹣2a=2，求得a=；（Ⅱ）求出，构造函数，由导数求得得答案；（Ⅲ）求出原函数的导函数，然后分a≤0，a，0三种情况讨论f（x）的零点的个数．【解析】：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax+，∴，∴f'（1）=1﹣2a，又，∴1﹣2a=2，a=；（Ⅱ），令，则，∴x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，故x∈（0，1）时，，∴当0＜a＜1时，；（Ⅲ）∵，①当a≤0时，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；②当a时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；③当0时，令f′（x）=0，得，此时，f（x）在（0，x1）上递减，（x1，x2）上递增，（x2，+∞）上递减，∴f（x）至多有三个零点．∵f（x）在（x1，1）递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又∵，∴，使得f（x0）=0，又，∴恰有三个不同零点：，∴函数f（x）存在三个不同的零点时，a的取值范围是．【点评】：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)三轮复习模拟试题及答案解析二.docx
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．124．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g（x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．47．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c ＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f （x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是______，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于______．10．设定义域为R的函数f（x）=，则f（f（﹣1））=______；函数y=f（f（x））的零点共有______个．11．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是______．12．已知单调递增的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=12，a3•a6=﹣18，则数列{a n}的通项公式为a n=______；若数列{b n}的通项公式为b n=2n，则数列{a bn}的前n项和T n=______．13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为______．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为______．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x+y+z，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b ﹣17）2的最小值．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．2．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．4．下列命题正确的是（）A．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题B．函数f（x）=x2﹣x﹣6的零点是（3，0）或（﹣2，0）C．对于命题p：∃x∈R，使得x2﹣x﹣6＞0，则￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0，则x≠3”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据复合命题的真假关系进行判断．B．函数的零点是横坐标x，不是点．C．根据特称命题的否定是全称命题进行判断．D．否命题是同时否定条件和结论．【解答】解：A．若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故A错误，B．由f（x）=x2﹣x﹣6=0得x=3或x=﹣2，则函数的零点为3和﹣2，故B错误，C．特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2﹣x﹣6≤0，故C正确，D．命题“若x2﹣x﹣6=0，则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0，则x≠3”，故D错误，故选：C．5．将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．在（0，）上单调递增，为奇函数B．周期为π，图象关于（）对称C．最大值为，图象关于直线x=对称D．在（﹣）上单调递增，为偶函数【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：将函数f（x）=sin（+x）（cosx﹣2sinx）+sin2x=﹣cosx （cosx﹣2sinx）+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin2x的图象，则g（x）为奇函数，且在（0，）上单调递增，故A正确、D 不正确；由于当x=时，函数g（x）取得最大值为，故它的图象不关于（）对称，故排除B；当x=时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=对称，故C不正确；故选：A．6．已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），g（x）=f（f（x）），若g（x）的值域为[2，+∞），f（x）的值域为[k，+∞），则实数k的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】函数的值域．【分析】设t=f（x），即有g（x）=f（t），t≥k，可得函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f（x）的值域的子集，即有k的范围，可得最大值为2．【解答】解：设t=f（x），由题意可得g（x）=f（t）=at2+bt+c，t≥k，函数y=at2+bt+c，t≥k的图象为y=f（x）的图象的部分，即有g（x）的值域为f（x）的值域的子集，即[2，+∞）⊆[k，+∞），可得k≤2，即有k的最大值为2．故选：C．7．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c ＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．【解答】解：设右焦点为F′，则∵=2﹣，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．8．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f （x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x ﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．【解答】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．二、填空题（本题共7小题，满分36分，9-12题每题6分，13-15题每题4分．）9．已知函数y=log a（x﹣1）+3，（a＞0且a≠1）的图象恒过点P，则P的坐标是（2，3），若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】令x﹣1=1求出x和y，可求出函数y=log a（x﹣1）+3图象过的定点P的坐标，由三角函数的定义求出sinα、cosα，由二倍角的正弦公式化简所求的式子，将数据代入计算即可．【解答】解：令x﹣1=1得，x=2，则此时y=log a1+3=3，∴函数y=log a（x﹣1）+3的图象过定点P（2，3），∵角α的终边经过点P，∴sinα==，cosα=，∴sin2α﹣sin2α=sin2α﹣2sinαcosα==，故答案为：（2，3）；．10．设定义域为R的函数f（x）=，则f（f（﹣1））= 0 ；函数y=f（f（x））的零点共有7 个．【考点】根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．【分析】利用分段函数的表达式直接代入即可求值，利用换元法令t=f（x），先求出函数f（x）的零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：f（﹣1）=﹣1+2=1，f（1）=|lg1|=0．故f（f（﹣1））=f（1）=0，若x＞0，则f（x）=|lgx|=0得x=1，由x≤0，则由f（x）=﹣x2﹣2x=0得x=0或x=﹣2，令t=f（x），则y=f（f（x））=f（t），由y=f（f（x））=f（t）=0，则t=1或t=0，或t=﹣2，作出函数f（x）的图象，以及t=1或t=0，或t=﹣2，则t=1时，两个函数有3个交点，当t=0时，两个函数有3个交点，当t=﹣2时，两个函数有一个交点，则共有7个交点，即函数y=f（f（x））的零点共有7个，故答案为：0，7；11．设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，结合的几何意义求出其范围即可．【解答】解：画出满足约束条件的平面区域，如图示：而的几何意义表示过平面区域内的点和A（﹣1，1）的直线的斜率，由图象得：K AB==﹣，故的取值范围是．12．已知单调递增的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=12，a3•a6=﹣18，则数列{a n}的通项公式为a n= 3n﹣12 ；若数列{b n}的通项公式为b n=2n，则数列{a bn}的前n项和T n= 6•2n﹣12n﹣6 ．【考点】数列的求和．【分析】（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q＞0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设单调递增的等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d＞0），由S8=12，a3•a6=﹣18，得解得d=3，d=﹣2（舍去），a1=﹣9，∴a n=﹣9+3（n﹣1）=3n﹣12，（2）由b n=2n，∴a bn=3×2n﹣12，∴T n=（3×21﹣12）+（3×22﹣12）+（3×23﹣12）+…+（3×2n﹣12）=3（21+22+…+2n）﹣12n=3×﹣12n=6•2n﹣12n﹣6；故答案为：3n﹣12，6•2n﹣12n﹣6．13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点建立坐标系，设正方体边长为1，求出平面ACD1的法向量和的坐标，则|cos＜＞|即为所求．【解答】解：以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：设正方体棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），M（1，1，）．∴=（﹣1，1，0），=（﹣1，0，1），=（﹣1，0，﹣）．设平面ACD1的法向量为=（x，y，z），则，∴，设x=1得=（1，1，1）．∴cos＜＞===﹣．∴直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为|cos＜＞|=．故答案为：．14．已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，则3|AF|+4|BF|的最小值为7+4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线方程为x=my+1，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出3|AF|+4|BF|关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），设直线AB的方程为x=my+1．联立方程组，得x2﹣（4m2+2）x+1=0．设A（，y1），B（，y2），则=1．∴y22=．由抛物线的性质得|AF|=，|BF|==．∴3|AF|+4|BF|=+3++4=7++≥7+2=7+4．故答案为：．15．已知，，是空间两两垂直的单位向量，=x+y+z，且x+2y+4z=1，则|﹣﹣|的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），求出=（x，y，z），表示出|﹣﹣|，根据x+2y+4z=1表示一个平面，（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的值表示空间中的点（x，y，z）到点D（1，1，0）的距离，利用点D到此平面的距离，即可求出|﹣﹣|的最小值．【解答】解：设=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1），则=x+y+z=（x，y，z），且x+2y+4z=1，则﹣﹣=（x﹣1，y﹣1，z），∴|﹣﹣|=；又x+2y+4z=1表示一个平面，（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的值表示空间中的点（x，y，z）到点D （1，1，0）的距离，这样的点在以点D（1，1，0）为球心的球面上，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+z2的最小值是球与此平面相切时切点与D点的距离平方，即点D到此平面的距离的平方；又点D（1，1，0）到平面x+2y+4z=1的距离是d===；∴|﹣﹣|的最小值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A，B，C的大小．（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，化简得sinB=cosB，即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A，得===+1又由≤A≤，知1≤tanA≤，故c∈[2，]．17．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若=λ（0＜λ＜1），当二面角E﹣AM﹣D大小为时，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出BM⊥AM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明AD⊥BM．（Ⅱ）法一：过点E作MB的平行线交DM于F，过点F作AM 的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D 的平面角，由此能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．法二：以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当二面角E﹣AM﹣D大小为时λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴BM⊥AM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM．又AD⊂平面ADM，∴AD⊥BM．解：（Ⅱ）（方法一）过点E作MB的平行线交DM于F，由BM⊥平面ADM，得EF⊥平面ADM，在平面ADM中过点F作AM的垂线，垂足为H，连接HE，则∠EHF即为二面角E﹣AM﹣D的平面角，大小为．设FM=x，则，在Rt△FHM 中，由∠EFH=90°，∠EHF=60°，则．由EF∥MB，MB=2，则，即，解得x=4﹣2．故当二面角E﹣AM﹣D 大小为时，，即．（方法二）以M为原点，MA，MB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系，M（0，0，0），，，，且，所以，，设平面EAM 的法向量为，则，，所以，．又平面DAM 的法向量为，所以，，解得，或（舍去）．所以，．18．已知函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R）（1）若f（x）在R上不单调，求实数a的取值范围；（2）若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，求a2+（b ﹣17）2的最小值．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）由函数f（x）去掉绝对值，得f（x）=，又由f（x）在R上不单调，列出不等式组求解即可得答案；（2）由f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，可得，再由线性规划可得答案．【解答】解：（1）由函数f（x）=（x+a）（|x|+2）+b（a，b∈R），得f（x）=，若f（x）在R上不单调，得或，实数a的取值范围为：a＜﹣2或a＞2；（2）f（x）=，若a≤﹣4且y=f（x）在[﹣1，1]上有两个零点，且，则，即，a2+（b﹣17）2的几何意义为定点（0，17）与可行域内动点距离的平方，由，得a2+（b﹣17）2的最小值为=40．19．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据点是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程，计算出三角形的面积，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2∴a=2，，∴椭圆方程为．…（Ⅱ）设直线BD的方程为由，消去y可得∴，，由△=﹣8b2+64＞0，可得∴，设d为点A到直线BD：的距离，∴∴，当且仅当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．…20．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=λa n2+a n．（1）若λ=，求证：a n＜1；（2）若λ=n，求证：++…+＜2．【考点】数列与不等式的综合；不等式的证明．【分析】（1）通过变形可知数列{a n}为正项递增数列，通过放缩、变形可知﹣≤﹣，进而并项相加即得结论；（2）通过放缩、变形可知﹣≥，进而并项相加即得结论．【解答】证明：（1）易知a n＞0，∵，∴，∴﹣≤=﹣，累加，得：﹣≤1﹣（n≥2），又∵a1＜1满足上式，∴∴a n＜1；（2）易知a n＞0，∵a n+1=na n+a n，∴=﹣，∴﹣=≥，累加，得：++…+＜﹣＜=2．2016年9月26日。
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习训练试题含答案
【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习精典试题巩固训练(1)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a b ＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2x 2－（x 2）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)． 解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23__． 解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称；②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2， 所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意． 故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)． 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ① 所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f(x)＝1x .② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x .因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝2x 2－13x 是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2. 因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22. 巩固训练(2)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__． 解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎨⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎨⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c. 因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2， 所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0.集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0. 因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34； 当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时， 因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值． 解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0.又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2， 即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ；②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.巩固训练(3)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n 的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．巩固训练(4)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n的值只有－1和2.2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为． 解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当nm 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13， 所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．随堂巩固训练(5)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__． 解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a 12b b －123a－2÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －1b a －23＝． 解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a. 4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16b 56＝__－9a__． 解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623＝16． 解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎪⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1.9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.11. 化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数)解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x ＝3；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程： (1) 43x ＋2＝256×81－x ； (2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ， 所以26x ＋4＝28×23－3x ， 所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0， 所以4×2x －3×2x －8＝0， 所以2x ＝8，所以x ＝3.巩固训练(6)1. 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a 、b 、c 的大小关系为__c<b<a__．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在R 上单调递减，且－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14>⎝ ⎛⎭⎪⎫340，即a>b>1.又0<c<1，所以c<b<a. 2. 已知函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围为__(－1，1)__．解析：易知函数y ＝|2x －1|在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<0<k ＋1，解得－1<k<1.3. 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝__{－1}__．解析：由题意得⎩⎨⎧2x ＋1>12，2x＋1<4，解得－2<x<1.又因为x ∈Z ，所以N ＝{－1，0}，所以M ∩N ＝{－1}．4. 定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，则函数f(x)＝12x 的值域为__(0，1]__．解析：当x<0时，0<2x <1，此时f(x)＝2x ∈(0，1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f(x)＝1，所以f(x)＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x<0，1， x ≥0，其值域为(0，1]．5. 若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12__．解析：方程|a x －1|＝2a 有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，当a>1时，如图1；当0<a<1，如图2.由图象可知当0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.图1 图2 6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x<0，a x ， x ≥0(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1__． 解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3a ≥a 0，即13≤a<1.7. 设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝__－1__． 解析：设g(x)＝e x ＋ae －x ，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝e x ＋ae －x (x ∈R )是奇函数，所以g(0)＝e 0＋ae －0＝1＋a ＝0，即a ＝－1.8. 若函数f(x)＝a x －1(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 的值为__3__．解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a 2－1＝2，解得a ＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)＝2，即1－1＝2，无解．所以a ＝ 3.9. 函数y ＝2x2x －1的值域为__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．解析：由题意得2x －1≠0，解得x ≠0，所以函数的定义域为{x|x ≠0}，y ＝2x x 2x －1＝1＋12x －1，因为2x >0，所以2x －1>－1且2x －1≠0，所以12x －1∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y ＝1＋12x －1∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．10. 设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 由(1)可知f(x)＝3x ＋13x .设x 2＞x 1≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 2－3x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1＋x 2－1. 因为y ＝3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝3x ，f(a ＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax －4x 的定义域为[0，1]．(1) 求实数a 的值；(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1) 由已知得3a ＋2＝18，解得a ＝log 32.故实数a 的值为log 32.(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1.因为函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g(x 1)－g(x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x .因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g′(x)＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，所以λ≤2·2x 在区间[0，1]上恒成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．12. 已知函数y ＝1＋2x ＋4x ·a 在x ∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a 的取值范围．解析：由题意得1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a>－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．令f(x)＝－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ≥12，则f(t)＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12， 所以当t ＝12，即x ＝1时，函数f(t)取到最大值－34，所以a>－34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 13. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1) 若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a 的值；(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a 的值．解析：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h(x)＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ）， 因为函数f(x)有最大值3，所以函数h(x)有最小值－1，所以3a －4a ＝－1，且a>0，解得a ＝1，即当函数f(x)有最大值3时，实数a 的值为1.(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R .若a ≠0，则h(x)＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R ， 所以a ＝0.随堂巩固训练(7)1. 已知a 23＝49(a>0)，则log 32a ＝__－3__．解析：因为a 23＝49(a>0)，所以a 13＝23，所以a ＝827，所以log 32827＝－3.2. (lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝__2__．解析：原式＝lg 2×(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.3. 2lg 5＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝__3__．解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2＋(lg5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.4. log 2748＋log 212－12log 242－1＝__－32__．解析：原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 212 2＝log 22－32＝－32. 5. lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝__0__．解析：原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.6. 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__12__．解析：原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12lg 10＝12.7. 已知log 37×log 29×log 49a ＝log 412，则实数a 的值为2． 解析：原等式可化为lg 7lg 3·lg 9lg 2·lg a lg 49＝－12，即lg a lg 2＝－12，所以log 2a ＝－12，所以a ＝22.8. log 2(2＋3－2－3)＝__12__． 解析：原式＝12log 2(2＋3－2－3)2＝12log 2[4－2（2＋3）（2－3）]＝12log 2(4－2)＝12log 22＝12.9. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645＝__a ＋b 2－a__．(用字母a ，b 表示)解析：因为18b ＝5，所以b ＝log 185，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 181829＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b2－a .10. 计算：(1) lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2) 2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.解析：(1) 原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2) 原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋1－lg 2＝1.11. 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log a b.解析：因为log a x ＋log a x log a c ＝2log a x log ab ，且x ≠1， 所以log a x ≠0，所以1＋1log a c ＝2log a b ， 所以2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，所以log a c 2＝log a b·log a (ac)＝log a (ac)log a b ，所以c 2＝(ac)log a b.12. 已知loga 1b 1＝loga 2b 2＝…＝loga n b n ＝λ，a 1a 2…a n ≠0，n ∈N *，求证：loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.解析：由换底公式，得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ， 由等比定理得lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n＝λ， 所以lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ， 所以loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ. 13. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，求x y 的值．解析：由2lg x －y 2＝lgx ＋lgy 得lg （x －y ）24＝lg(xy)，x>y ， 所以x 2－2xy ＋y 2＝4xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，所以x 2y 2－6x y ＋1＝0，所以x y ＝3＋22或x y ＝3－22(舍去)， 所以x y ＝3＋22＝（2＋1）2＝2＋1.随堂巩固训练(8)1. 设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈(0，1]}，则集合M ∪N ＝__(－∞，1]____．解析：因为x ≥0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(0，1]，所以M ＝(0，1]．因为0<x ≤1，所以y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1]．2. 设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为__c<a<b__．解析：因为1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e ，所以1a >1b >1，所以0<a<b<1.因为a ＝log 32>log 33＝12，所以a>12.因为b ＝ln 2>ln e ＝12，所以b>12.因为c ＝5－12＝15<12，所以c<a<b.3. 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为__a<b<c__．解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以log 12a ＝2a >1，log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)，log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ∈(0，1)，所以0<a<12，12<b<1，1<c<2，故a<b<c. 4. 已知0<a<b<1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__m>n__．解析：由题意得1m ＝log c a ，1n ＝log c b.因为0<a<b<1<c ，所以log c a<log c b<0，即1m <1n <0，所以n<m.5. 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则实数a 的值为__2__．解析：当x>0时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f(x)＝a x ＋log a x 是区间(0，＋∞)上的单调函数，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a ＋a 2＋log a 2.由题意得a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故实数a 的值为2.6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ， x>0，log 12（－x ）， x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：①当a>0时，f(a)＝log 2a ，f(－a)＝log 12a.因为f(a)>f(－a)，即log 2a>log 12a ＝log 21a ，所以a>1a ，解得a>1；②当a<0时，f(a)＝log 12(－a)，f(－a)＝log 2(－a)．因为f(a)>f(－a)，即log 12(－a)>log 2(－a)＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以－a<－1a ，解得－1<a<0.由①②得－1<a<0或a>1.7. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝__2__008__． 解析：令3x ＝t ，则f(t)＝4log 2t ＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8. 下列命题为真命题的是__①②③__．(填序号)①若函数f(x)＝lg(x ＋x 2＋a)为奇函数，则a ＝1；②若a>0，则关于x 的方程|lg x|－a ＝0有两个不相等的实数根； ③方程lg x ＝sinx 有且只有三个实数根；④对于函数f(x)＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 解析：①因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以lg(－x ＋x 2＋a)＋lg(x ＋x 2＋a)＝lg [(x 2＋a)－x 2]＝lg a ＝0，所以a ＝1.故①正确；②因为|lg x|－a ＝0，所以|lg x|＝a.作出y ＝|lg x|，y ＝a 的图象，由图象可知，当a>0时两函数图象有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根．故②正确；③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，由图象可知在y 轴的右侧有三个交点，故方程有三个实数根．故③正确；④对于f(x)＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，y A >y B ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.故④错误． 9. 若函数f(x)＝log －(ax ＋4)在区间[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__(－2，－3)∪(2，4)__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>1，－a ＋4>0，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2－3<1，a ＋4>0，a<0，解得2<a<4或－2<a<－3，所以实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2，4)．10. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解析：因为f(x)＝2＋log 3x ，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.所以当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值13.11. 已知函数f(x)＝log a (1－a x )(a>0且a ≠1)．(1) 解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f(1)；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于零．解析：(1) 因为f(x)＝log a (1－a x )，所以f(1)＝log a (1－a)，所以1－a>0，所以0<a<1.所以不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a ，解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0，1)．(2) 设x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1. 因为1－a x >0，所以a x <1.所以当a>1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当0<a<1时，因为x 2>x 1>0，所以ax 2<ax 1<1，所以1－ax 21－ax 1>1， 所以log a 1－ax 21－ax 1<0， 所以f(x 2)<f(x 1)，即y 2<y 1；同理可证，当a>1时，y 2<y 1.综上，y 2<y 1，即y 2－y 1<0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0， 所以直线AB 的斜率小于零．12. 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1) 求y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴？(3) 当a ，b 满足什么条件时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值？解析：(1) 由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.因为a>1>b>0，所以ab>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>1，bx1<bx2<1，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，故f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与函数f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知函数f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．因为f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值，所以f(1)＝lg(a－b)≥0，所以a≥b＋1，即当a≥b＋1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值．随堂巩固训练(9)1. 由y ＝3x 的图象，将其图象向__右__平移__1__单位长度，再向__上__平移__1__个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象． 解析：由题意得，y ＝x ＋2x －1＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1，所以由y ＝3x 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到y ＝3x －1＋1的图象，即为y ＝x ＋2x －1的图象． 2. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，则函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点__(3，2)__．解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象必过原点(0，0)，而函数y ＝f(x －3)＋2的图象是由函数f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点(3，2)．3. 已知f(x)为R 上的奇函数，则F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点__(a ，b)__对称．解析：因为函数f(x)为R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，而函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象是由函数f(x)的图象向右平移a 个单位长度，再向上平移b 个单位长度得到的，所以函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点(a ，b)对称．4. 对任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ， a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__．解析：由题意得h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ）.因为f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，所以画出h(x)的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为h(x)的最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝log 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故h(x)的最大值为1. 5. 函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图象的交点。
2021年高考数学三轮专项模拟试卷 理（概率与统计）（含解析）(1)
概率与统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份，共150分，考试时刻120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·安徽高考)已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，那么(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}【解析】 ∵A ＝(－1，＋∞)，B ＝{－2，－1,0,1}， ∴∁R A ＝(－∞，－1]，故(∁R A )∩B ＝{－2，－1}． 【答案】 A2．为了解某地域的中小学生视力情形，拟从该地域的中小学生中抽取部份学生进行调查，事前已了解到该地域小学、初中、高中三个学段学生的视力情形有较大不同，而男女视力情形不同不大．在下面的抽样方式中，最合理的抽样方式是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【解析】 不同的学段在视力状况上有所不同，因此应该依照学段分层抽样． 【答案】 C3．使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B4．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，那么甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )图1【解析】设被污损的数字为a(0≤a≤9且a∈N)，那么由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a，解得8＞a，即得0≤a≤7且a∈N，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P＝810＝45，故应选C.【答案】C5．(2021·山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，假设第一次输入的a的值为－，第二次输入的a的值为，那么第一次，第二次输出的a的值别离为( )图2A．, B．,C．, D．,【解析】第一次a＝－时，输出a＝.第二次a＝时，输出a＝.【答案】C6．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率散布直方图是( )图3【解析】由于频率散布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A.【答案】A7．体育课的排球发球项目考试的规那么是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，那么停止发球，不然一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，假设X的数学期望E(X)＞，那么p的取值范围是( )【解析】 X 的可能取值为1,2,3，∵P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2， ∴E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3， 由E (X )＞，即p 2－3p ＋3＞，得p ＜12或p ＞52(舍)，∴0＜p ＜12.【答案】 C8．(2021·安徽高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有两个极值点x 1，x 2，假设f (x 1)＝x 1＜x 2，那么关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ；由已知x 1，x 2是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的不同两根， 当f (x 1)＝x 1＜x 2时，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点． 即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根． 【答案】 A 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．(2021·广东高考改编)假设i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，那么复数x ＋y i 的模是________． 【解析】 由题意知x ＋y i ＝3＋4i i ＝4－3i.∴|x ＋y i|＝|4－3i|＝5. 【答案】 510．6位选手依次演讲，其当选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，那么不同的演讲顺序共有________种．【解析】 第一步先排甲，共有A 14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A 55种不同的排法，因此不同的演讲顺序共有A 14·A 55＝480(种)．【答案】48011．(2021·东北四市联考)已知x，y取值如下表：从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y＝＋a，那么a＝________.【解析】∵x＝4，y＝，因线性回归方程通过样本点中心(x，y)，故有＝×4＋a，∴a＝.【答案】12．(2021·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发觉其用电量都在50至350度之间，频率散布直方图如图4所示．图4(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．【解析】(1)依照频率散布直方图中各个小矩形的面积之和等于1，可求出x的值；(2)求出月用电量落在[100,250)内的频率，即可求得月用电量在[100,250)内的户数．(1)由于4＋6＋0＋x＋4＋2)×50＝1，解得x＝4.(2)数据落在[100,250)内的频率是6＋0＋4)×50＝，因此月用电量在[100,250)内的户数为100×＝70.【答案】(1) 4 (2)7013．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)【解析】(x＋y)5展开式的通项是T r＋1＝C r5x5－r y r，令r＝3得T4＝C35x2y3＝10x2y3，∴二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10.【答案】1014．(2021·东城模拟)已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1,3}，y随机选自集合{1,3}，那么a⊥b的概率是________．【解析】依题意，所有(x，y)的结果为C13C12＝6种．若a⊥b ，那么a·b ＝0，即3x －y ＝0，而知足a⊥b 的结果只有(1,3)．由古典概型概率计算公式得P ＝16.【答案】 1615．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，那么这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4. 又s ＝ 14[x 1－22＋x 2－22＋x 3－22＋x 4－22]＝12x 1－22＋x 2－22＋4－x 2－22＋4－x 1－22＝122[x 1－22＋x 2－22]＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2.同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,3三、解答题(本大题共6小题，共75分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时刻段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，取得下面的数据表：休闲方式看电视看书合计(1)设调查的3人在这一时刻段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的散布列和数学期望；(2)依照以上数据，咱们可否在犯错误的概率不超过的前提下，以为“在20：00－22：00时刻段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0) k 0【解】 (1)依题意，随机变量X 的取值为0,1,2,3，且每一个男性在这一时刻段以看书为休闲方式的概率为P ＝56.依照题意可得X ～B (3，56)，∴P (X ＝k )＝C k 3(16)3－k (56)k ，k ＝0,1,2,3. ∴E (X )＝np ＝3×56＝52.(2)提出假设H 0：休闲方式与性别无关系． 依照样本提供的2×2列联表得K 2＝n ad －bc2a ＋bc ＋da ＋cb ＋d＝80×10×10－10×50260×20×20×60＝809≈>. 因为当H 0成立时，K 2≥的概率约为，因此咱们在犯错误的概率不超过的前提下，能够以为“在20：00－22：00时刻段性别与休闲方式有关”．17．(本小题总分值12分)(2021·北京高考)如图5是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天抵达该市，并停留2天．(1)求这人抵达当日空气质量优良的概率；(2)求这人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判定从哪天开始持续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，因此这人抵达当日空气质量优良的概率为613.(2)依照题意，事件“这人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“这人抵达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，因此这人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始持续三天的空气质量指数方差最大．18．(本小题总分值12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现别离从他们的强化训练期间的假设干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：,,,,,,, 乙：,,,,,,,(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从当选派一人参加奥运会封锁集训，从统计学角度，你以为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)假设将频率视为概率，对选手乙在尔后的三次竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于分的次数为ξ，求ξ的散布列及均值E (ξ)．【解】 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图： (2)因为x甲＝x 乙＝，又s 2甲＝，s 2乙＝，得s 2甲＜s 2乙，相对来讲，甲的成绩加倍稳固，因此选派甲适合．(3)依题意得，乙不低于分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，那么ξ～B (3，12)．因此P (ξ＝k )＝C k 3(12)3－k (1－12)k ＝C k 3(12)3，k＝0,1,2,3.因此ξ的散布列为∴E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×8＝2.图619．(本小题总分值13分)如图6所示，已知椭圆E 通过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，核心F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，斜率为2的直线l 过点A (2,3)．(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆E 上是不是存在关于直线l 对称的相异两点？假设存在，请找出；假设不存在，说明理由．【解】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意e ＝c a ＝12，4a 2＋9b 2＝1，又∵c 2＝a 2－b 2， 解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23，∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，且PQ 的中点为R (x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，∴k PQ ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y2212＝1，①②两式相减得：x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0.∴x 2＋x 1y 2＋y 1＝－16y 2－y 112x 2－x 1＝－1612×(－12)＝23， 即x 0y 0＝23，③ 又∵R (x 0，y 0)在直线l 上， ∴y 0＝2x 0－1，④由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，因此点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．20．(本小题总分值13分)(2021·福州调研)受轿车在保修期内维修费等因素的阻碍，企业生产每辆轿车的利润与该轿车第一次显现故障的时刻有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其第一次显现故障发生在保修期内的概率；(2)假设该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，别离求X 1，X 2的散布列；(3)该厂估量尔后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．假设从经济效益的角度考虑，你以为应生产哪一种品牌的轿车？说明理由．【解】 (1)设“甲品牌轿车第一次显现故障发生在保修期内”为事件A ，那么P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的散布列为X 2的散布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×50＋3×10＝50＝(万元)，E (X 2)＝×110＋×910＝(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，因此应生产甲品牌轿车．21．(本小题总分值13分)(2021·四川高考)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图7(1)别离求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同窗依据自己对程序框图的明白得，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部份数据．甲的频数统计表(部份)当n ＝i (i ＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判定两位同窗中哪一名所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的散布列及数学期望．【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.因此输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29， P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127. 故ξ的散布列为因此E (ξ)＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.。
高考数学三轮专项模拟试卷 理(数列推理与证明)(含解析)新人教A版
数列、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N 等于( )A．[0，＋∞)B．[0,1)C．(1，＋∞) D．(0,1]【解析】由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C.【答案】 C2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题，则( )A．命题p、q均为假命题B．命题p、q均为真命题C．命题p、q中至少有一个是真命题D．命题p、q中至多有一个是真命题【解析】命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.【答案】 D3．(2013·宁波模拟)等差数列{a n}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得a n＞0的最小正整数n 为( )A．7 B．8C．9 D．10【解析】由S 13＝a1＋a132＝0得a1＋a13＝2a7＝0，所以a7＝0，又a1＝－12，故n≥8时，a n＞0.【答案】 B4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )A.13B．－13C.19D．－19【解析】设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19，故选C.【答案】 C5．下列函数中与函数y ＝－3|x |奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1【解析】 函数y ＝－3|x |是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C6．(2013·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)【解析】 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10). 【答案】 C7．已知向量a 、b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为( ) A ．48 B ．32 C ．1D ．0【解析】 b ·(2a ＋b )＝2a·b ＋b 2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D 8．已知f (x )＝12 013＋log 2x 1－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014的值为( )A ．1B ．2C ．2 013D ．2 014【解析】 对任意0＜x ＜1，可得f (x )＋f (1－x )＝22 013.设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014则S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 1022 014＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014于是2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋⎣⎢⎡f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 014＋⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0122 014＋…＋[f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014]＝22 013×2 013＝2，所以S ＝1. 【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上) 9．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，55，则sin 2α的值为________．【解析】 由已知得sin α＝55，cos α＝－255， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45. 【答案】 －4510．(2013·昆明模拟)已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，当整数n ＞1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15等于________．【解析】 由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得，(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21111．(2013·东城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 013的值是________．【解析】 a 1a 2＝2×7＝14，所以a 3＝4,4×7＝28，所以a 4＝8,4×8＝32，所以a 5＝2,2×8＝16，所以a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，a 11＝2，所以从第三项起，a n 成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a 2 013＝a 3＝4.【答案】 412．由直线y ＝2与函数y ＝2cos 2x2(0≤x ≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．【解析】 y ＝2cos 2x2＝cos x ＋1，则所求面积为S ＝∫2π0[]2－x ＋d x ＝(x －sin x )|2π0＝2π.【答案】 2π13．(2013·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cosA ＝c sin C ，b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则角B ＝________.【解析】 由b 2＋c 2－a 2＝3bc 得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝30°.由a cos B ＋b cos A ＝c sin C 得 sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin 2C ，即sin(A ＋B )＝sin 2C ， 所以sin C ＝sin 2C . 因为0°＜C ＜180°， 所以sin C ＝1， 即C ＝90°， 所以B ＝60°. 【答案】 60°14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n (n ≥2)行的第2个数为________．图1【解析】 由已知得第n (n ≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n －2)＋1]＝3＋n －n2＝n 2－2n ＋3.【答案】 n 2－2n ＋315．(2013·孝感模拟)现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.【解析】 设对应的数列为{a n }，公差为d (d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n ，由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )，即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.【答案】 16三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f (x )＝()a n －a n ＋1＋a n ＋2x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)由题设可得f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x . 对任意n ∈N *，f ′(π2)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列． 由a 1＝2，a 2＋a 4＝8解得{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1. (2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12n1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知A (－1,3)．(1)若OA ⊥OB ，求tan α的值； (2)若B 点横坐标为45，求S △AOB .【解】 (1)由题可知：A (－1,3)，B (cos α，sin α)， OA →＝(－1,3)，OB →＝(cos α，sin α)，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.(2)∵cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴OA →＝(－1,3)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，∴|OA |＝－2＋2＝10，|OB |＝1，得cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－1×45＋3×3510×1＝1010，∴sin ∠AOB ＝1－cos 2∠AOB ＝31010， 则S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n＝－1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25(a ＞0，a ≠1)，记数列{d n }的前n 项和为S n ，若S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ.【解】 (1)由题知a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－1，① 所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－1.② 由①－②得：a n ＋1－2a n ＝0，即a n ＋1a n＝2(n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－1， 因为a 1＝1，所以a 2＝2，a 2a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n －1，所以d n ＝1＋log aa 2n ＋1＋a 2n ＋25＝1＋2n log a 2.因为d n ＋1－d n ＝2log a 2，所以{d n }是以d 1＝1＋2log a 2为首项，以2log a 2为公差的等差数列， 所以S 2nS n＝2n＋2log a ＋2n n －2×2log a 2n ＋2log a＋n n －2×2log a 2＝2＋n ＋a21＋n ＋a 2＝λ ⇒(λ－4)n log a 2＋(λ－2)(1＋log a 2)＝0， 因为S 2nS n恒为一个与n 无关的常数λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－a2＝0，λ－＋log a ＝0，解得λ＝4，a ＝12.19．(本小题满分13分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式． (2)设该生产线前n 年的维护费用为S n ，求S n .【解】 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， 故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7，n ≥8.(2)当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n n －2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －71－54＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，所以该生产线前n 年的维护费用为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋3n ，1≤n ≤7，80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10，n ≥8.20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝1，且点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式． (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和D n . (3)设c n ＝a n ·sin2n π2－b n ·cos2n π2(n ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n .【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n， 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上，所以b n ＋1＝b n ＋2， 所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)×2n，所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n＋(2n －1)×2n ＋1.②①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n－(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×－2n －11－2－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )2n ＋1－6，则D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n， n 为奇数，－n －， n 为偶数，T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n . 21．(本小题满分13分)(2013·杭州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2(n∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2na n .(1)求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n a n 的前n 项和为T n ，证明：n ∈N *且n ≥3时，T n ＞5n2n ＋1.(3)设数列{c n }满足a n (c n －3n)＝(－1)n －1λn (λ为非零常数，n ∈N *)，问是否存在整数λ，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1＞c n .【解】 (1)在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，即a 1＝12，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋2，所以a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.因为b n ＝2na n ，所以b n ＝b n －1＋1，即当n ≥2时，b n －b n －1＝1. 又b 1＝2a 1＝1，所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2na n ，所以a n ＝n2n (n ∈N *)．(2)由(1)得c n ＝n ＋1n a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以T n ＝2×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，①12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.②由①－②得12T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1， 所以T n ＝3－n ＋32n，T n －5n 2n ＋1＝3－n ＋32n －5n 2n ＋1＝n ＋n－2n －2n n＋，于是确定T n 与5n 2n ＋1的大小关系等价于比较2n与2n ＋1的大小， 由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；… 可猜想当n ≥3时，2n＞2n ＋1，证明如下： 方法一：①当n ＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1(k ≥2)时， 2k ＋1＝2·2k＞2(2k ＋1)＝4k ＋2＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)＞2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立．综合①②可知，对一切n ≥3的正整数，都有2n＞2n ＋1. 方法二：当n ≥3时，2n＝(1＋1)n＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C nn ＝2n ＋2＞2n ＋1， 综上所述，当n ≥3时，T n ＞5n2n ＋1. (3)因为c n ＝3n＋－n －1λ·na n＝3n＋(－1)n －1λ·2n，所以c n ＋1－c n ＝[3n ＋1＋(－1)n λ·2n ＋1]－[3n ＋(－1)n －1λ·2n]＝2·3n－3λ(－1)n －1·2n＞0，所以(－1)n －1·λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.①当n ＝2k －1(k ＝1,2,3，…)时，①式即为λ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －2，②依题意，②式对k ＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，当n ＝2k ，k ＝1,2,3，…时，①式即为λ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫322k －1，③依题意，③式对k ＝1,2,3，…都成立， 所以λ＞－32，所以－32＜λ＜1，又λ≠0，所以存在整数λ＝－1，使得对任意n ∈N *有c n ＋1＞c n .。
山东省齐河县高考数学三轮冲刺专题椭圆练习(含解析)
椭圆一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A. B. C. D.（正确答案）A解：由题意可设，，，令，代入椭圆方程可得，可得，设直线AE的方程为，令，可得，令，可得，设OE的中点为H，可得，由B，H，M三点共线，可得，即为，化简可得，即为，可得．故选：A．由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为，分别令，，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2. 已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.（正确答案）A解：的周长为，的周长，，，离心率为，，，，椭圆C的方程为．故选：A．利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程．本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．3. 曲线的方程为，若直线l与曲线有公共点，则k的取值范围是A. B.C. D.（正确答案）A试题分析：方程表示的是动点到点，的距离之和为2，即有P的轨迹为线段，直线l为恒过定点的直线，，，直线l与曲线有公共点，等价为，即为．4. 若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A. B. C. D.（正确答案）C解：依题意可知，而椭圆的离心率．故选：C．先根据题意可知，进而求得a和c的关系，离心率可得．本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题．5. 已知中，A、B的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是A. B.C. D.（正确答案）B解：，三角形的周长为10，，根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，，，故椭圆的方程为，故选：B．根据三角形的周长及，可得，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程．本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．6. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是，，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D.（正确答案）A解：依题意，作图如下，，，，直线AB的方程为：，整理得：，设直线AB上的点则，，，，令，则，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又椭圆的离心率，，椭圆的离心率为．故选A．由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为A. B. C. D.（正确答案）C解：椭圆的焦点，可得，设椭圆的方程为：，可得：，，解得，，所求的椭圆方程为：．故选：C．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作一条直线不与x轴垂直与椭圆交于A，B两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为A. B. C. D.（正确答案）C解：可设，，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，，由椭圆的定义可得的周长为4a，即有，即，，则，在中，，直线AB的斜率为，故选：C．假设构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得，，则直线AB的斜率为．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．9. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为A. B. C. D.（正确答案）D解：椭圆的焦点坐标，离心率为：，双曲线的焦点，，双曲线的离心率为2．可知，则，双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为：．故选：D．求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为A. B. C. 3 D. 6（正确答案）A解：椭圆，P为椭圆上一点，设，，，到直线的距离：，当且仅当时取得最小值．点P到直线的距离的最小值为．故选：A．设，，，求出P到直线的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值．本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A、B两点，若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为A. B. C. D.（正确答案）D解：如图，设，，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，，由椭圆的定义可得的周长为4a，即有，即，则，在直角三角形中，，即，，则，．故选：D．设，，若构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则，，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，开方得答案．本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题．12. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是，，在线段AB 上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D.（正确答案）D解：依题意，作图如下：由，，，，可得直线AB的方程为：，整理得：，设直线AB上的点，则，，由，，令，则，由得：，于是，，整理得：，又，，，，又椭圆的离心率，，可得，故选：D．由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，运用导数求得极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且，则该椭圆的离心率是______．（正确答案）【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简整理的运算能力，设右焦点，将代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合离心率公式，计算即可得到所求值方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求属于中档题．【解答】解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，，由，可得，即有，化简为，由，即有，由，可得，可得，另解：设右焦点，将代入椭圆方程可得，可得，，，，，则十，因为，代入得，由，可得，可得．故答案为．14. 已知，为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，，成等差数列，则C的离心率为______ ．（正确答案）解：，，成等差数列，，即，．故答案为：．根据等差中项的定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率．本题考查了椭圆的定义，等差中项的性质，属于基础题．15. 椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，，右顶点为A，直线与交于点若，则C的离心率等于______ ．（正确答案）解：如图所示，设，由，得：，根据三角形相似得：，求得：，又直线的方程为将点代入，得：，．故答案为：．由，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得e的值．本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题．16. 已知椭圆经过点，且点A到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率 ______ ．（正确答案）解：根据题意，椭圆上A到椭圆两焦点的距离之和为4，则，即，又由椭圆经过点，则有，又由，解可得，则，则该椭圆的离心率；故答案为：．根据题意，由椭圆的定义分析可得，将点A的坐标代入椭圆方程可得，由a的值解可得b的值，计算可得c的值，由椭圆离心率公式计算可得答案．本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式．三、解答题（本大题共3小题，共30分）17. 已知椭圆E：的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，．Ⅰ当，时，求的面积；Ⅱ当时，求k的取值范围．（正确答案）解：Ⅰ方法一、时，椭圆E的方程为，，直线AM的方程为，代入椭圆方程，整理可得，解得或，则，由，可得，由，，可得，整理可得，由无实根，可得，即有的面积为；方法二、由，可得M，N关于x轴对称，由可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，，，则的面积为；Ⅱ直线AM的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，，由，可得，整理得，由椭圆的焦点在x 轴上，则，即有，即有，可得，即k的取值范围是．Ⅰ方法一、求出时，椭圆方程和顶点A ，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M ，运用弦长公式求得，由垂直的条件可得，再由，解得，运用三角形的面积公式可得的面积；方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM 的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N 的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；Ⅱ直线AM 的方程为，代入椭圆方程，求得交点M，可得，，再由，求得t，再由椭圆的性质可得，解不等式即可得到所求范围．本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. 设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F 到抛物线的准线l的距离为．求椭圆的方程和抛物线的方程；设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP 与椭圆相交于点异于，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP 的方程．（正确答案）Ⅰ解：设F 的坐标为．依题意可得，解得，，，于是．所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．Ⅱ解：直线l 的方程为，设直线AP 的方程为，联立方程组，解得点，故11联立方程组，消去x，整理得，解得，或．令，解得，故D．．又的面积为，，整理得，解得，．直线AP的方程为，或．根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b ，p即可得出方程；设AP方程为，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．19. 已知椭圆E：的离心率为，右焦点为．求椭圆的方程；设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N 两点，若，求直线l 的方程．（正确答案）解：依题意得，，；分解得，；椭圆E 的标准方程为；分设，，当MN 垂直于x轴时，MN的方程为，不符题意；分当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为；分由得：，分，；分；又，；，解得，分12直线l的方程为：分根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；讨论直线MN 的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问题，平面向量的应用问题，是综合题．13。
【名师推荐资料】山东省齐河县高考数学三轮冲刺 专题 排列组合练习(含解析)
排列组合一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种（正确答案）D【分析】本题考查排列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，考查计算能力．把工作分成3组，然后安排工作方式即可．【解答】解：4项工作分成3组，可得：，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：种．故选D．2. 5位同学站成一排照相，其中甲与乙必须相邻，且甲不能站在两端的排法总数是A. 40B. 36C. 32D. 24（正确答案）B解：分类讨论，甲站第2个位置，则乙站1，3中的一个位置，不同的排法有种；甲站第3个位置，则乙站2，4中的一个位置，不同的排法有种；甲站第4个位置，则乙站3，5中的一个位置，不同的排法有种，故共有．故选：B．分类讨论，对甲乙优先考虑，即可得出结论．本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，比较基础．3. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 96（正确答案）D解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有种情况，、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种选法，则此时共有种选法，则有种不同的参赛方案；故选：D．根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，、选出的4人没有甲，、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．4. 为了迎接一年一度的元宵节，某商场大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A. 1190秒B. 1195秒C. 1200秒D. 1205秒（正确答案）B解：根据题意，共有5种不同的颜色，其闪烁的顺序有个不同的闪烁，而每个闪烁时间为5秒，闪烁的时间共秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，闪烁间隔的时间秒．那么需要的时间至少是秒．故选：B．根据题意，先依据排列数公式计算彩灯闪烁时间的情况数目，进而分析可得彩灯闪烁的总时间以及闪烁之间的间隔总时间，将其相加即可得答案．本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题．5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A. 24B. 48C. 60D. 72（正确答案）D解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个．故选：D．用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．6. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个（正确答案）B解：因为，，，，，，，所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个，当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个，当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个，当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个，当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有．故选B．根据，，，，，，，所以可以分为7类，分别求出每一类的三位数，再根据分类计数原理得到答案．本题主要考查了分类计数原理，关键是找到三个数字之和为6的数分别是什么，属于中档题．7. 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为A. 40B. 60C. 120D. 240（正确答案）B解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，故不同的安排方案有种，故选：B．本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有种，然后再排到5个部门的两个部门中，排列方法有，计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解事件“某公司共有5个部门，有4名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排2名，”将问题分为两步来求解．8. 世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种（正确答案）C解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，其中有一个人与甲在同一个场馆，有种情况，没有人与甲在同一个场馆，则有种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有种；故选C．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，，其中有一个人与甲在同一个场馆，没有人与甲在同一个场馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合运用，注意题意中“每个展馆至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论．9. 五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同的排法共有A. 48种B. 24种C. 20种D. 12种（正确答案）B解：根据题意，先将A、B看成一个“元素”，有2种不同的排法，将C、D单独排列，也有2种不同的排法，进而分2种情况讨论：若A、B与第5个元素只有一个在C、D之间，则有种情况，若A、B与第5个元素都在C、D之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有种情况；故选：B．根据题意，首先分析A、B与C、D的安排情况：A，B两种必须连排，将A、B看成一个“元素”，而C，D 两种不能连排，将C、D单独排列；进而根据题意分2种情况讨论A、B与第5个元素与C、D的关系，进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类讨论，注意要优先满足受到限制的元素．10. 在2016年巴西里约奥运会期间，6名游泳队员从左至右排成一排合影留念，最左边只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为A. 216B. 108C. 432D. 120（正确答案）A解：根据题意，最左边只能排甲或乙，则分2种情况讨论：、最左边排甲，则先在剩余5个位置选一个安排乙，乙有5种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有种安排方法，此时有种情况，、最左边排乙，由于最右端不能排甲，则甲有4个位置可选，有4种情况，再将剩余的4个人全排列，安排在其余4个位置，有种安排方法，此时有种情况，则不同的排法种数为种；故选：A．根据题意，分2种情况讨论：、最左边排甲，、最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的实际应用，注意要先分析特殊元素，由本题的甲、乙．11. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个（正确答案）B解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有种情况，此时有个，共有个．故选：B根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．12. 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是A. 40B. 60C. 80D. 100（正确答案）A解：根据题意，有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种选法，剩下的3个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这3个盒子的编号为4、5、6，则4号小球可以放进5、6号盒子，有2种选法，剩下的2个小球放进剩下的2个盒子，有1种情况，则不同的放法总数是；故选：A．根据题意，分2步进行分析：、在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，由组合数公式可得放法数目，、假设剩下的3个盒子的编号为4、5、6，依次分析4、5、6号小球的放法数目即可；进而由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，关键是编号与放入的小球编号不相同的情况数目的分析．二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种（正确答案）30解：因为甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，、2、1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：种；、1、1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：种；所以，选派方案共有种．故答案为30．甲和乙同地，甲和丙不同地，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于中档题．14. 现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______ 种（正确答案）1080解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次被测出，第六次，或者第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有故答案为：1080．第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，有分步原理计算即可本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，对问题的理解、转化也很关键．15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_________种用数字填写答案（正确答案）16解：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有根据分类计数原理可得，共有种，方法二，间接法：种，故答案为：16方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．本题考查了分类计数原理，属于基础题16. 用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个用数字作答（正确答案）1080解：根据题意，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有种取法，将取出的4个数字全排列，有种顺序，则有个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有个；故答案为：1080．根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：、四位数中没有一个偶数数字，、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．。
高三数学三轮复习常用逻辑用语高频考点新题演练含解析
【原创】《博雅高考》2021届高三数学三轮高频考点新题演练：常用逻辑用语（含解析）一、选择题：共7题每题5分共35分1．下列命题中正确命题的个数是(1)命题“若则x=1”的逆否命题为“若1，则”；(2)在回归直线中，x增加1个单位时，y必然减少2个单位；(3)若p且q为假命题，则p，q均为假命题；(4)命题使得，则均有；(5)设随机变量坚守正态分布N(0,1)，若，则；A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】本题考查命题及其关系，全称量词与特称量词，正态分布，回归直线.(1)正确；在回归直线中，x增加1个单位时，y必然增加2个单位，(2)错误；若p且q为假命题，则p，q至少一个为假命题，(3)错误；特称命题的否认是全称命题，(4)正确；，(5)正确；所以命题中正确命题的个数是3个. 选B. 2．对任意，函数不存在极值点的充要条件是A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.当，不存在极值点，满足题意，排除B,C；当,因为函数不存在极值点，所以中，或，解得；所以.选A.3．设a>0且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数f(x)=ax在R上为减函数,则有0<a<1.若函数g(x)=(2-a)x3为增函数,则有2-a>0,所以a<2,所以“函数f(x)=ax 在R 上为减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3为增函数”的充分不必要条件,选A.4．下列叙述正确的是 A.命题：，使的否认为：，均有. B.命题：若，则或的逆否命题为：若或，则.C.己知，则幂函数为偶函数，且在上单调递减的充分必要条件为D.把函数的图象沿轴向左平移个单位,可以获得函数的图象【答案】C【解析】本题主要考查命题真假的判断。
高考数学三轮专项模拟试卷理(解析几何)(含解析)新人教A版
高考数学三轮专项模拟试卷理（分析几何）（含分析）新人教 A版本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分，共150 分，考试时间120 分钟．第Ⅰ卷一、选择题 ( 本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．(2013 ·济南模拟) 若k，－ 1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点() A． (1 ，－ 2)B． (1,2)C． ( － 1,2)D．( － 1，－ 2)【分析】依题意，k ＋＝－ 2，∴ ＝－ 2－，b b k∴y＝ kx＋b＝ k( x－1)－2，∴直线 y＝k( x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】A2．(2013 ·福建高考) 已知会合A＝ {1 ，a} ，B＝ {1,2,3}，则“ a＝3”是“ A?B”的() A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件【分析】∵ A＝{1， a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴ a∈B且a≠1，∴ a＝2或3，∴“ a＝3”是“ A? B”的充足而不用要条件．【答案】A3．(2013 ·陕西高考) 设z1，z2是复数，则以下命题中的假．命题是 ()A．若 | z1－z2| ＝ 0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若 | z1| ＝ | z2| ，则z1·z1＝z2·z2D．若 | z1| ＝ | z2| ，则22 z1＝ z2【分析】A， |z 1－2|＝0?z1－2＝0?z1＝ 2?z1＝z2，真命题；z z zB，z＝z2? z＝ z＝ z ，真命题；1122C， | z1| ＝ | z2| ?| z1| 2＝ | z2| 2?z1· z 1＝ z2· z2，真命题；D，当 | z1| ＝ | z2| 时，可取z1＝2222，假命题．1，z2＝i ，明显z1＝ 1，z2＝－ 1，即z1≠z2【答案】Dx2y24．(2013 ·北京高考 ) 若双曲线a2－b2＝ 1 的离心率为3，则其渐近线方程为 () A．y＝±2x B．y＝±2x12C．y＝±2x D．y＝±2x【分析】∵ e ＝ 3，∴ c＝2＋23，即 a2b＝ 3，aa2 2∴ b 2＝ 2a 2，∴双曲线方程为 x2－ y2＝ 1， a2a∴渐近线方程为y ＝± 2.x【答案】B5．(2013 ·课标全国卷Ⅱ ) 设抛物线 C ：y 2＝2px ( p ≥0) 的焦点为 F ，点 M 在 C 上， | MF |＝ 5.若以为直径的圆过点 (0,2) ，则C 的方程为 ()MFA ． y 2＝ 4x 或 y 2＝ 8xB ． y 2＝ 2x 或 y 2＝ 8xC ． y 2＝ 4x 或 y 2＝ 16xD ． y 2＝ 2x 或 y 2＝ 16x【分析】 设 M ( x ，y ) ， A (0,2) ， MF 的中点为 N .0 0由 y 2＝ 2px ， F p， 0 ，2py 0∴ N 点的坐标为x ＋22 ， 2 .p由抛物线的定义知，x 0＋ ＝ 5，2pp∴ x 0＝ 5－ . ∴ y 0＝2p5－ .22| |5 25∵| AN | ＝ MF ＝，∴|AN | 2＝ .224px 0＋y 025∴22 ＋22－2＝ .245－ p ＋p 22 5－p2 2p2225即 4＋2－2 ＝ 4 .p∴2p 5－ 2 － 2＝ 0. 整理得 p 2－ 10p ＋16＝0. 2解得 p ＝ 2 或 p ＝ 8. ∴抛物线方程为 y 2＝ 4x 或 y 2＝ 16x .【答案】Cx ＋ y ≤2，6．若变量 x ， y 知足拘束条件 x ≥1，y ≥0，则 z ＝ 2x ＋y 的最大值和最小值分别为 () A ．4和 3B ．4和2C ．3和 2D ．2和0【分析】作直线 2＋ ＝ 0，并向右上平移， 过点A 时 z 取最小值， 过点B 时 z 取最大值，x y可求得 A (1,0) ， B (2,0) ，∴ z min ＝2， z max ＝ 4.【答案】 B7．(2013 ·北京高考 ) 直线 l 过抛物线 C ： x 2＝4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ()4A. 3B ． 2816 2 C. 3D. 3【分析】由 C ： x 2＝ 4y ，知焦点 P (0,1) ．直线 l 的方程为 y ＝1.所求面积＝2－1－ x 2d x ＝x －x 32 ＝824 12－ 23.S【答案】C8．(2013 ·杭州质检 ) 已知椭圆 C 的方程为x 2 ＋ y 22 x 与椭圆的16 2＝ 1( m ＞0) ，假如直线 y ＝ 2m一个交点 M 在 x 轴上的射影恰巧是椭圆的右焦点F ，则 m 的值为 ()A ． 2B ． 2 2C ． 8D ． 2 3【分析】依据已知条件 c ＝222 2x 2y 216－ m ，则点 (16－ m ，16－ m ) 在椭圆＋ 2＝ 1( m ＞216m0) 上，22∴ 16－ m ＋16－2m ＝ 1，可得 m ＝ 2 2.162m【答案】B第Ⅱ卷二、填空题 ( 本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分，把答案填在题中横线上 )9．若圆心在 x 轴上、半径为 5的圆 O 位于 y 轴左边，且与直线 x ＋ 2y ＝ 0 相切，则圆 O的方程是 ________．【分析】设圆心为 (a, 0)( a <0) ，则 r＝ | a ＋2×0| ＝ 5，解得＝－ 5，所以，所求圆的12 ＋22 a方程为： ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 5，应选 D.【答案】( x ＋ 5) 2＋y 2＝ 52x210．已知点 M ( 3， 0) ，椭圆 ＋ y ＝ 1 与直线 y ＝k ( x ＋3) 交于点 A 、 B ，则△ ABM 的周长为 ________．【分析】因为直线过椭圆的左焦点( － 3，0) ，所以△ ABM 的周长为 | AB | ＋ | AM |＋ | BM |＝ 4a ＝8.【答案】 82 211．(2013 ·皖南八校联考 ) 双曲线 x－y ＝ 1( ＞ 0， ＞ 0) 的离心率为 2，有一个焦点与抛mn mn物线 y 2＝ 4mx 的焦点重合，则 n 的值为 ________．【分析】抛物线焦点 F ( m,0) 为双曲线的一个焦点，2∴ m ＋ n ＝ m . 又双曲线离心率为 2，n∴ 1＋ ＝ 4，即 n ＝ 3m .m2所以 4m ＝ m ，可得 m ＝ 4， n ＝12.【答案】1212． 1， l 2 是分别经过(1,1)， (0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当l1， 2 间的距离最大时，l ABl直线 l 1 的方程是 ________．【分析】当 AB ⊥ l 1，且 AB ⊥l 2 时， l 1 与 l 2 间的距离最大．－ 1－1又 k AB ＝ 0－ 1 ＝ 2，∴直线 l11的斜率 k ＝－ 2，则 l11的方程是 y － 1＝－ 2( x － 1) ，即 x ＋2y － 3＝ 0.【答案】x ＋ 2y －3＝ 0x 2213．(2013 ·福建高考改编 ) 双曲线 4 －y ＝ 1 的极点到其渐近线的距离等于 ________．x 22【分析】由 4 － y ＝1 知极点 (2,0)，渐近线 x ±2y ＝ 0，22 5∴极点到渐近线的距离 d ＝ 5＝ 5 .2 5 【答案】514．履行如图 1 所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为 ________．图 1【分析】i ＝1， s＝1→ s＝1， i ＝2→ s＝2， i ＝3→ s＝4， i ＝4→ s＝7，i ＝5结束．【答案】715．三角形中，已知→·→＋→·→＋→·→＝－ 6，且角C为直角，则角C的对边cABC AB BC BC CA CA AB 的长为 __________ ．【分析】→→→→→ →由 AB· BC＋ BC· CA＋CA· AB＝－6，得→→→＋→·→＝－ 6，·( ＋)AB BC CA BC CA→→→→即 AB· BA＋BC· CA＝－6，∵＝90°，∴－c 2＝－ 6，c＝ 6.C【答案】6三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16． ( 本小题满分12 分 ) 已知圆C的方程为：x2＋y2－ 2mx－ 2y＋ 4m－ 4＝ 0( m∈R) ．(1)试求 m的值，使圆 C的面积最小；(2)求与知足 (1) 中条件的圆C相切，且过点 (1 ，－ 2) 的直线方程．【解】圆 C的方程：( x－m)2＋ ( y－ 1)2＝ ( m－ 2) 2＋ 1.(1)当 m＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小．(2)当＝ 2时，圆的方程为 (－ 2)2＋ (y －1) 2＝1，m x设所求的直线方程为y＋2＝ k( x－1)，即 kx－ y－k－2＝0，|2 k－ 1－k－ 2|4由直线与圆相切，得k2＋1＝1，k＝3，所以切线方程为4y＋2＝( x－1)，即4x－3y－10＝0，3又因为过点 (1 ，－ 2) 且与x轴垂直的直线x＝1与圆也相切，所以所求的切线方程为x＝1或4x－3y－10＝0.17．( 本小题满分12 分)(2013 ·山东高考改编 ) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为 2，离心率为2.O2(1)求椭圆 C的方程；(2) 设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为6. 若A、B两点对于x轴对称，E为线段4AB 的中点，射线交椭圆C于点. 假如→＝→ ，务实数t的值．OE P OP tOE22【解】(1)设椭圆C的方程为：x2＋y2＝1(＞＞0) ，a b a bc2＝a2－ b2，则c2解得 a＝2，b＝1，a＝2，2b＝2，x22故椭圆 C的方程为＋ y＝ 1.2(2) 因为、B两点对于x轴对称，可设直线的方程为x＝ ( －2＜＜2，且≠0) ．A AB m x m2将 x＝ m代入椭圆方程得| y|＝2－m2，所以 S＝ | m|2＝ .△AOB2－m6242321解得 m＝2或 m＝2.①又→ ＝→＝ 1(→＋→)＝1(20) ＝(mt,0) ，OP tOE2tOA OB2tm,mt2又点 P 在椭圆上，所以＝1. ②2由①②得 t 2＝4或 t2＝4.32 3又因为 t ＞0，所以 t ＝2或 t ＝3.18． ( 本小题满分12 分 ) 如图 2，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形， O为底面中心， A1O⊥平面 ABCD， AB＝ AA1＝ 2.图 2(1)证明： A1C⊥平面 BB1D1D；(2)求平面 OCB1与平面 BB1D1D的夹角θ的大小．【解】(1) 证明法一：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以 O为原点成立如下图的空间直角坐标系．6∵AB＝ AA1＝2，∴OA＝ OB＝OA1＝1，∴ A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(－1,0,0)， D(0，－1,0)， A (0,0,1)．1→→－ 1,1,1) ．由AB＝AB，易得 B(111→→，－ 2,0)→，∵AC＝( －1,0 ，－ 1) ， BD＝ (0，BB＝ ( －1,0,1) 11→·→→·→∴ 1＝0，11＝0，A C BD AC BB∴AC⊥BD，AC⊥BB，111又 BD∩ BB1＝ B， A1C?平面BB1D1D，∴ A1C⊥平面 BB1D1D.法二：∵ A1O⊥平面 ABCD，∴ A1O⊥ BD.又∵ ABCD是正方形，∴ BD⊥ AC，∴BD⊥平面 A1OC，∴ BD⊥ A1C.又 OA1是 AC的中垂线，∴ A1A＝ A1C＝2，且AC＝ 2，222∴ AC＝ AA1＋A1C，∴△ AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.又 BB1∥ AA1，∴ A1C⊥ BB1，∴ A1C⊥平面 BB1D1D.(2) 设平面OCB1的法向量n＝ ( x，y，z) ．→→，∵ OC＝(－1,0,0)，OB1＝(－1,1,1)→n· OC＝－ x＝0，∴→n· OB1＝－ x＋ y＋z＝0，x＝0，∴y＝－ z.取 n＝(0,1，－1)，由(1)→知， A1C＝(－1,0，－1)是平面 BB1D1 D的法向量，→11∴ cos θ＝|cos 〈n，A1C〉 | ＝＝ .2× 22ππ又∵ 0≤θ≤2，∴θ＝3 .19．( 本小题满分13 分)(2013 ·广东高考 ) 设各项均为正数的数列{ a n } 的前n项和为S n，满足 4n＝2n *，且2， 5， 14 组成等比数列．n＋ 1－4－1，∈NS a n a a a (1) 证明：a＝4a＋ 5；21(2) 求数列 { a n } 的通项公式；(3) 证明：对全部正整数，有1111＋＋ ＋< .na 1a 2 a 2a 3a n a n ＋1 2【解】(1) 证明：由224S ＝ a－ 4n － 1，得 4S ＝a － 4－ 1，nn ＋ 11 22 2即 4a ＝ a －4－ 1，所以 a ＝ 4a ＋ 5.1221因为 a n >0，所以 a 2＝4a 1＋ 5.2(2) 因为 4S n ＝ a n ＋1－ 4n － 1，①2所以当 n ≥2时， 4S n －1＝ a n －4( n － 1) － 1，②由①－②得 224a n ＝ a n ＋ 1－ a n － 4，即 a 2 2 a 2n ≥2) ．n ＋ 1＝ n ＋ 4 n ＋ 4＝( n ＋ 2) (a a因为 a n >0，所以 a n ＋ 1＝ a n ＋ 2，即 a n ＋ 1－a n ＝ 2( n ≥2) ．因为 a ， a ，a 成等比数列，所以 2 14 a ＝ a a ，2 5 52 14即 ( a 2＋3×2) 2＝ a 2( a 2＋12×2) ，解得 a 2＝ 3.又由 (1) 知 a 2＝4a 1 ＋5，所以 a 1＝ 1，所以 a 2－a 1 ＝2. 综上知 a n ＋ 1－ a n ＝2( n ∈ N * ) ，所以数列 { a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列．所以 a n ＝ 1＋ 2( n － 1) ＝ 2n － 1.所以数列 { a n } 的通项公式为a n ＝ 2n － 1( n ∈N * ) ．(3) 证明：由 (2)11知n n ＋ 1＝2 － 12 ＋ 1a ann11－12n ＋ 1 ，＝2 2n － 1所以 1＋ 1＋ ＋1a a a a a an ＋11 22 3n11－ 1 1 1 ＋ ＋ 1 1＝＋ － －2 3 3 5 2n － 1 2n ＋ 1 11－1111＝2n ＋ 1＝ －< .22 4n ＋ 2 2x 2 y 220． ( 本小题满分 13 分)(2013 ·安徽高考 ) 设椭圆 E ： a 2＋ 1－a 2＝ 1 的焦点在 x 轴上． (1) 若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2) 设 F 1、 F 2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线F 2P 交 y 轴于点 Q ，而且 F 1P ⊥ F 1Q . 证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上．【解】(1) 因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为 1，所以 221 a 25 － 1＝ ，解得＝ .a488x 2 8y 2故椭圆 E 的方程为 5 ＋ 3 ＝1.(2) 证明设 P ( x 0， y 0) ， F 1( － c, 0) ， F 2( c, 0) ，此中 c ＝ 2a 2 －1.y 0由题设知 x 0≠ c ，则直线 F 1P 的斜率 kF 1P ＝x 0＋ c ，y 0直线 F 2P 的斜率 kF 2P ＝x 0－ c .y 0故直线 F 2P 的方程为 y ＝ x 0－ c ( x － c ) ．当 x ＝ 0 时， y ＝cy 00，cy 0 ，即点 Q 坐标为 .c －x 0c － x 011y 0所以，直线 F Q 的斜率为 k Q ＝c － x 0y 0y 0因为 F 1P ⊥ F 1Q ，所以 kF 1 P · kF 1Q ＝ x 0＋c · c － x 0＝－ 1.2 ＝x 22化简得 y－ (2 a － 1) ．①将①代入椭圆 E 的方程，因为点 022P ( x ，y ) 在第一象限，解得 x ＝ a ，y ＝ 1 － a ，即点 P 在定直线 x ＋ y ＝ 1 上．21．( 本小题满分 13 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中， F 是抛物线 C ：x 2＝2py ( p >0) 的焦点， M是抛物线 C 上位于第一象限内的随意一点，过 M ， F ， O 三点的圆的圆心为 Q ，点 Q 到抛物线 C3的准线的距离为 4.(1) 求抛物线 C 的方程；(2) 能否存在点 M ，使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ？若存在， 求出点 M 的坐标； 若不存在，说明原因．pp【解】(1) 依题意知 F (0 ， 2) ，圆心 Q 在线段 OF 的垂直均分线 y ＝ 4上，p因为抛物线C 的准线方程为y ＝－，23p 3所以 4 ＝ 4，即 p ＝ 1.所以抛物线 C 的方程为 x 2＝ 2y .2x 0(2) 假定存在点 M ( x 0， 2 )( x 0>0) 知足条件，抛物线C 在点 M 处的切线斜率为 y ′|x ＝ x 0＝x 2( 2 ) ′|x ＝ x 0＝ x 0，2x 0所以直线 MQ 的方程为 y － 2 ＝x 0( x － x 0) ．1 x 0 1 令 y ＝ 得 x ＝＋，4Q24x 0x 011所以 Q ( ＋， ) ．2 4x 0 4 又 || ＝ | | ，QM OQ高考数学三轮专项模拟试卷理(分析几何)(含分析)新人教A版1－x1211 020202故 () ＋ ( －x) ＝ (＋x) ＋，4x02424x021621x029所以(－)＝.4 216又 x0>0，所以 x0＝2，此时M(2， 1) ．故存在点 M(2， 1) ，使得直线MQ与抛物线 C相切于点 M.10。
高考数学三轮冲刺试卷 理(含解析)
2016年江西省南昌一中高考数学三轮冲刺试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．2．“0≤a≤4”是“命题‘∀x∈R，不等式x2+ax+a＞0成立’为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2x+5y）2016展开式中第k+1项的系数为（）A．B．C．D．4．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且=0，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．5．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知等腰直角△ABC，AB=AC=4，点P，Q分别在边AB，BC上， =0，，=，直线MN经过△ABC的重心，则||=（）A．B．2 C．D．18．若f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，则f（x﹣1）＜的解集为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）9．如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．D．810．等差数列{a n}的公差d＜0且，则数列{a n}的前n项和s n有最大值，当s n取得最大值时的项数n是（）A．6 B．7 C．5或6 D．6或711．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a∈R）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[﹣，] C．（，+∞）D．（﹣∞，）12．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数f（x）=1+为奇函数，g（x）=，则不等式g（x）＞1的解集为_______．14．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为_______．15．己知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，对一切n∈N*，都有=b n，则数列{b n}的通项公式为_______．16．已知抛物线y2=4x与经过该抛物线焦点的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C， =2，则直线l的斜率为_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．18．骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．k2=．19．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．20．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．21．对于函数y=F（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•F（x0）=1成立，则称x0为函数F（x）的“反比点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣1（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．四、请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F．（1）求证：S四边形CEDF=BF•AE；（2）求证：．23．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016年江西省南昌一中高考数学三轮冲刺试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．B．﹣2 C．2 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣2﹣i是纯虚数，则a﹣2=0，解得a=2，故选：C．2．“0≤a≤4”是“命题‘∀x∈R，不等式x2+ax+a＞0成立’为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由∀x∈R，不等式x2+ax+a＞0成立，可得△=a2﹣4a＜0，解出即可判断出结论．【解答】解：由∀x∈R，不等式x2+ax+a＞0成立，可得△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4．∴“0≤a≤4”是“命题‘∀x∈R，不等式x2+ax+a＞0成立’为真命题”的必要不充分条件．故选：B．3．（2x+5y）2016展开式中第k+1项的系数为（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】T k+1=（2x）2016﹣k（5y）k，化简整理即可得出．【解答】解：T k+1=（2x）2016﹣k（5y）k=22016﹣k5k x2016﹣k y k，∴（2x+5y）2016展开式中第k+1项的系数为22016﹣k5k，故选：D．4．已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且=0，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出A，F的坐标，结合向量垂直的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的左顶点为A（﹣a，0），右焦点为F（c，0），点B（0，b），且=0，∴（﹣a，﹣b）•（c，﹣b）=0，即﹣ac+b2=0，即c2﹣a2﹣ac=0，即e2﹣e﹣1=0，得e=，故选：A．5．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1﹣x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为y=±x，把y=1﹣x代入y=±x，可得A（，），B（，），可得AB的中点M为（，）由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，即有k OM===，故选：A．6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求y=的值，分当x＞5时、当2＜x≤5时和当x≤2时求得满足条件的解的个数，从而得到答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求y=的值，当x＞5时，lnx+5=x⇒lnx=x﹣5，∵函数y=x﹣5与y=lnx的图象有两个交点，其中x＞5的交点只有1个，∴有1解；当2＜x≤5时， =x⇒x=±1（舍去）；当x≤2时，x3=x⇒x=0或1或﹣1，有三个解，综上满足条件的x有4个解．故选：D．7．已知等腰直角△ABC，AB=AC=4，点P，Q分别在边AB，BC上， =0，，=，直线MN经过△ABC的重心，则||=（）A．B．2 C．D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，根据条件便可得出PM⊥BC，Q为PM的中点，可设△ABC的重心为G，则由题意即可得到AG⊥BC，从而有AG∥PM，而由条件可以得到点A为PN的中点，并可求得，从而便可得到，这样由△PBQ为等腰直角三角形即可求出PB的值，而AB=4，从而便可得出的值．【解答】解：如图，设△ABC的重心为G，由条件知BC=，△ABC为等腰直角三角形，∴；；∴PQ⊥BC，且；∴PM⊥BC，且Q为PM的中点；又AG⊥BC；∴AG∥PM；由得，；∴A为PN的中点；∴PM=2AG；∴；△PBQ为等腰直角三角形，∠B=45°，∠PQB=90°；∴，AB=4；∴；即．故选：C．8．若f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，则f（x﹣1）＜的解集为（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=e x+ae﹣x为偶函数，∴f（﹣x）=e﹣x+a•e x=f（x）=e x+ae﹣x，∴a=1，∴f（x）=e x+e﹣x，在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，则由f（x﹣1）＜=e+，∴﹣1＜x﹣1＜1，求得0＜x＜2，故选：B．9．如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度、判断出线面的位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面是等腰三角形，AB=BC=2，棱长是4，其中D是CG的中点，∵BF⊥平面EFG，∴BF⊥EF，∵EF⊥FG，BF∩FG=F，∴EF⊥平面BFGC，∴组合体的体积：V=V三棱柱ABC﹣EFG﹣V三棱锥E﹣DFG═=，故选：C．10．等差数列{a n}的公差d＜0且，则数列{a n}的前n项和s n有最大值，当s n取得最大值时的项数n是（）A．6 B．7 C．5或6 D．6或7【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意得出a1+a13=0，由此能求出数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n．【解答】解：等差数列{a n}中，公差d＜0，且，∴a1=﹣a13＞0，即a1+a13=0，又a1+a13=2a7=0；∴数列{a n}的前6或7项最大．故选：D．11．已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a∈R）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．[﹣，] C．（，+∞）D．（﹣∞，）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．【解答】解：已知函数f（x）=（a﹣）x2+lnx（a∈R）．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即（a﹣）x2+lnx﹣2ax＜0恒成立．设g（x）=（a﹣）x2+lnx﹣2ax（x∈（1，+∞））．即g（x）的最大值小于0．g′（x）=（x﹣1）（2a﹣1﹣）（1）当a≤时，g′（x）=（x﹣1）（2a﹣1﹣）＜0，∴g（x）=（a﹣）x2+lnx﹣2ax（x∈（1，+∞））为减函数．∴g（1）=﹣a﹣≤0∴a≥﹣，∴≥a≥﹣，（2）a≥1时，g′（x）=（x﹣1）（2a﹣1﹣）＞0．g（x）=（a﹣）x2+lnx﹣2ax（x∈（1，+∞））为增函数，g （x ）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当＜a ＜1时，g （x ）在（1，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意；综上，实数a 的取值范围是[﹣，]．12．如图所示，函数离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f （x ）=（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f （x ）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f （x ）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f （x ）离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x 2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f （x ）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代人②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x 2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数f（x）=1+为奇函数，g（x）=，则不等式g（x）＞1的解集为（﹣∞，0）∪（0，e﹣1）．【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质．【分析】利用函数奇偶性的性质利用f（0）=0求出a的值，利用分段函数的不等式进行求解即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=1+=0，得a=﹣1，则g（x）=，若x＞0，由g（x）＞1得﹣lnx＞1，即lnx＜﹣1，得0＜x＜e﹣1，若x≤0，由g（x）＞1得e﹣x＞1，即﹣x＞0，则x＜0，此时x＜0，综上不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，e﹣1），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，e﹣1）14．已知x、y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，平移直线y=﹣x，结合图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+2y得：y=﹣x+，平移直线y=﹣x，结合图象直线过A（0，1）时，z最大，z的最大值是2，故答案为：2．15．己知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，对一切n∈N*，都有=b n，则数列{b n}的通项公式为b n=1 ．【考点】数列递推式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，化简a n+3a n+1=q（a n+2）2，从而可得a n+3a3n+1=（a n+2）3a n，从而化简可得a n d=0，从而求得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵=b n，∴=b n+1，∴=q，∴a n+2a n=q（a n+1）2，∴a n+3a n+1=q（a n+2）2，∴=，即a n+3a3n+1=（a n+2）3a n，即（a n+3d）（a n+d）3=（a n+2d）3a n，化简可得，a n d=0，∵a n≠0，∴d=0，故数列{a n}是常数列，故b n==1，故答案为：b n=1．16．已知抛物线y2=4x与经过该抛物线焦点的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C， =2，则直线l的斜率为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用=2，求出A的坐标，利用斜率公式求出直线l的斜率．【解答】解：设A的横坐标为x，则∵=2，BC=1，∴AB=2，∴A（2，2），∵F（1，0），∴直线l的斜率为=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由余弦定理可以得到，而由a+b≥2c即可得出﹣c2的范围，从而得出a2+b2﹣c2的范围，进一步便可得到，从而有，这便说明角C的最大值为；（2）时便可得出△ABC为等边三角形，从而可求得外接圆半径为1，并可求得，从而对两边平方便可得到x2+y2=xy+1≥2xy，这样便可得出xy 的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，；∵a+b≥2c；∴；∴；∴；∵，当且仅当a=b时取“=”；∴；即；∴；∴角C的最大值为；（2）当角C取最大值时，∵；∴△ABC为等边三角形；∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：OD⊥AB，且；∴OA=1，即外接圆半径为1，且∠AOB=120°；∴；∴对两边平方得，；∴1=x2+y2﹣xy；∴x2+y2=xy+1≥2xy，当且仅当x=y时取“=”；∴xy≤1；∴x•y的最大值为1．18．骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．k2=．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据列联表中的数据，计算K2的值，即可得到结论；（2）X可能取值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望E（X）．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．）（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种∴X可能取值为0，1，2，，，∴．19．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．（Ⅰ）求证：PM∥平面AFC；（Ⅱ）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结OM并延长交BF于H，连结OP，PH．则由中位线定理得出OP∥AC，PH∥CF，故而平面OPH∥平面AFC，于是有PM∥平面AFC；（II）取CD的中点G，EF的中点N，连接OG，ON．则ON，OB，OG两两垂直，以O为原点建立坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC与平面CEF所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】解：（Ⅰ）连结OM并延长交BF于H，连结OP，PH．∵M为△OBF的重心，∴H为BF的中点，又P为BC的中点，O为AB的中心，∴PH∥CF，OP∥AC，又∵CF⊂平面AFC，AC⊂平面AFC，OP∩PH=P，OP⊂平面OPH，PH⊂平面OPH，OP∩PH=P，∴平面OPH∥平面AFC，又∵PM⊂平面OPH，∴PM∥AFC．（Ⅱ）取CD的中点G，EF的中点N，连接OG，ON．∵四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是等腰梯形，平面ABCD⊥平面ABEF，∴ON，OB，OG两两垂直．以O为原点，以ON，OB，OG为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示：则A（0，﹣1，0），C（0，1，1），E（，，0），F（，﹣，0）．∴=（0，2，1），=（0，1，0），=（﹣，，1）．设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则．∴．令x=2则=（2，0，）．∴cos＜＞===．∴直线AC与平面CEF所成角的正弦值为．20．已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x 轴，计算即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．因为cos∠F1AF2=，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，则4•=2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2，即有e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=（x﹣b），代入椭圆方程得（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，可得y0y2=﹣，又λ2===，同理λ1=，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．21．对于函数y=F（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•F（x0）=1成立，则称x0为函数F（x）的“反比点”．已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣1（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．【分析】（1）利用函数的导数，求出函数的最值，然后求解满足题意的点的个数．（2）转化表达式通过构造函数，求解函数的导数，然后对λ分类讨论，求解λ的最小值．【解答】解（1）证明：设h（x）=xlnx﹣1，h′（x）=lnx﹣1，h′（x）＞0得x∈（e，+∞），h′（x）＜0得x∈（0，e）∵h（e）=elne﹣1=e﹣1＞0，，∴在（0，+∞）上有解，所以函数f（x）具有“反比点”．且有且只有一个；（2）x•f（x）≤λ（g（x）+x）⇔xlnx≤λ（﹣1+x）⇔xlnx≤λ（x2﹣）⇔lnx﹣λ（x﹣），令，1°当λ≤﹣1时，△=4﹣4（﹣λ）（）﹣λ≤0，故恒有﹣λx2+2x﹣λ≥0．则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；2°当﹣1＜λ＜0时，x==＜0，故恒有y=﹣λx2+2x﹣λ≥0．在区间[1，+∞）上是增函数．﹣λx2+2x﹣λ≥2﹣2λ＞0，则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；3°当λ=0时，G′（x）=＞0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；4°当0＜λ＜1时，设﹣λx2+2x﹣λ=0．的两个根x1，x2，x1＜x2，∵x1+x2=＞2，x1x2=1，∴0＜x1＜x2＜1，故有x∈（1，x2）时，﹣λx2+2x﹣λ＞0，在区间（1，x2）上是增函数．∴G（x）≥G（1）=0，这与条件矛盾；5°当1≤λ时，△=4﹣4（﹣λ）（﹣λ）≤0则G′（x）≤0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是减函数．∴G（x）≤G（1）=0，命题恒成立；综上所述λ≥1，所以λ的最小值为1 ．四、请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC 于E、F．（1）求证：S四边形CEDF=BF•AE；（2）求证：．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）由圆的直径所对的圆周角为直角，可得四边形CEDF为矩形，再由直角三角形射影定理和平行线分线段成比例定理，即可得到S四边形CEDF=BF•AE；（2）运用直角三角形的射影定理和圆的切割线定理，可得．【解答】证明：（1）∵CD为圆的直径，∴三角形FCD和三角形ECD分别是以∠CFD和∠CED为直角的直角三角形．又∠ACB=90°，可得四边形CEDF为矩形，S四边形CEDF=DF•DE．在直角三角形BDF和直角三角形DAE中，∠DFC=∠DEA，∠BDF=∠DAE，即有△BDF∽△DAE，即为=，即DE•DF=BF•AE．∴S四边形CEDF=BF•AE．（2）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA．∴（1），又∵BD2=BC•BF，AD2=AC•AE（切割线定理）∴，（2）由（1）与（2）可得，∴．23．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ=α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆C的参数方程为（θ为参数），利用三角函数基本关系式可得：椭圆C的普通方程．把代入直角坐标方程可得极坐标方程．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为．由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：可得，．即可得出．【解答】解：（1）∵椭圆C的参数方程为（θ为参数），∴椭圆C的普通方程为．把代入直角坐标方程可得：，化为：ρ2+ρ2sin2θ=2．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为，由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入中：有，，∴，．则即．故为定值．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…。
高考数学三轮专项模拟试卷 理(解析几何)(含解析)新人教A版
解析几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·济南模拟)若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【解析】 依题意，k ＋b ＝－2，∴b ＝－2－k ， ∴y ＝kx ＋b ＝k (x －1)－2，∴直线y ＝k (x －1)－2必过定点(1，－2)． 【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且 a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2013·陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【解析】 A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 【答案】 D4．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B5．(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x【解析】 设M (x 0，y 0)，A (0,2)，MF 的中点为N .由y 2＝2px ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，∴N 点的坐标为x 0＋p 22，y 02. 由抛物线的定义知，x 0＋p2＝5，∴x 0＝5－p2.∴y 0＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. ∵|AN |＝|MF |2＝52，∴|AN |2＝254.∴x 0＋p222＋y 02－22＝254. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2＋p 224＋2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 22－22＝254. ∴2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 22－2＝0.整理得p 2－10p ＋16＝0. 解得p ＝2或p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 【答案】 C6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( ) A ．4和3 B ．4和2 C ．3和2D ．2和0【解析】 作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4. 【答案】 B7．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623【解析】 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)． 直线l 的方程为y ＝1.所求面积S ＝⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3122－2＝83.【答案】 C8．(2013·杭州质检)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3【解析】 根据已知条件c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m22m 2＝1，可得m ＝2 2.【答案】 B第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是________．【解析】 设圆心为(a,0)(a <0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为：(x ＋5)2＋y 2＝5，故选D.【答案】 (x ＋5)2＋y 2＝510．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．【解析】 因为直线过椭圆的左焦点(－3，0)，所以△ABM 的周长为|AB |＋|AM |＋|BM |＝4a ＝8.【答案】 811．(2013·皖南八校联考)双曲线x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，则n 的值为________．【解析】 抛物线焦点F (m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m ＋n ＝m 2.又双曲线离心率为2， ∴1＋nm＝4，即n ＝3m .所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12. 【答案】 1212．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【解析】 当AB ⊥l 1，且AB ⊥l 2时，l 1与l 2间的距离最大． 又k AB ＝－1－10－1＝2，∴直线l 1的斜率k ＝－12，则l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.【答案】 x ＋2y －3＝013．(2013·福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】 由x 24－y 2＝1知顶点(2,0)，渐近线x ±2y ＝0，∴顶点到渐近线的距离d ＝25＝255.【答案】25514．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．图1【解析】 i ＝1，s ＝1→s ＝1，i ＝2→s ＝2，i ＝3→s ＝4，i ＝4→s ＝7，i ＝5结束． 【答案】 715．三角形ABC 中，已知AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6，且角C 为直角，则角C 的对边c 的长为__________．【解析】 由AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6， 得AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝－6， 即AB →·BA →＋BC →·CA →＝－6， ∵C ＝90°，∴－c 2＝－6，c ＝ 6. 【答案】6三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R )． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程． 【解】 圆C 的方程：(x －m )2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1. (1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k (x －1)， 即kx －y －k －2＝0，由直线与圆相切，得|2k －1－k －2|k 2＋1＝1，k ＝43，所以切线方程为y ＋2＝43(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.17．(本小题满分12分)(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的两点，△AOB 的面积为64.若A 、B 两点关于x 轴对称，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .如果OP →＝tOE →，求实数t 的值．【解】 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于A 、B 两点关于x 轴对称，可设直线AB 的方程为x ＝m (－2＜x ＜2，且m ≠0)． 将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝2－m22， 所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64. 解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP →＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)，又点P 在椭圆上，所以mt22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t ＝233.18．(本小题满分12分)如图2，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB＝AA 1＝ 2.图2(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．【解】 (1)证明 法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD . 又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ， ∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C .又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2， ∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z .取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19．(本小题满分13分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12. 【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1， 即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5. 因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5. (2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，①所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，② 由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)． 因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14， 即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3. 又由(1)知a 2＝4a 1＋5， 所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2. 综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12. 20．(本小题满分13分)(2013·安徽高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．21．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)是否存在点M ，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)依题意知F (0，p 2)，圆心Q 在线段OF 的垂直平分线y ＝p4上，因为抛物线C 的准线方程为y ＝－p2，所以3p 4＝34，即p ＝1.因此抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)假设存在点M (x 0，x 202)(x 0>0)满足条件，抛物线C 在点M 处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝(x 22)′|x ＝x 0＝x 0， 所以直线MQ 的方程为y －x 202＝x 0(x －x 0)．令y ＝14得x Q ＝x 02＋14x 0，所以Q (x 02＋14x 0，14)．又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116， 因此(14－x 202)2＝916.又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .。
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(27)(含答案解析)
2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练（27）1. 已知全集U 为实数集，集合{}|13A x x =-<<，(){}|ln 1B x y x ==-，则集合A B 为（ ）A. {}|13≤<x xB. {}|3x x <C. {}|1x x ≤-D. {}|11x x -<<【答案】D 【解析】分析：由题意首先求得集合A 和集合B ，然后结合集合运算的定义进行交集运算即可求得最终结果. 详解：求解对数函数()ln 1y x =-的定义域可得：{}|1B x x =<， 结合交集的定义可得：集合A B ⋂为{}|11x x -<<. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查结合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12z i =-，则复数12z z =（ ） A 1- B. 1C. 3455i -+ D.3455-i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到22z i =--，再根据复数的乘除法运算法则可得结果. 【详解】依题意可得22z i =--，所以122(2)(2)342555z i i i i z i ---+===-+--， 故选：C .【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.3. 已知直线1l ：sin 10x y α+-=，直线2l ：3cos 10x y α-+=，若12l l ⊥，则sin 2α=（ ）A.23B. 35±C.35D.35【答案】D 【解析】分析：根据直线的垂直，即可求出tanα=3，再根据二倍角公式即可求出． 详解：因为l 1⊥l 2，所以sinα﹣3cosα=0， 所以tanα=3， 所以sin2α=2sinαcosα=2222sin cos 2tan 3.sin cos 1tan 5αααααα==++故选D ．点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式，本题利用了sin 2θ+cos 2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般sin cos sin cos αααα+-，，sin *cos αα，这三者我们成为三姐妹，结合22sin cos 1αα+=，可以知一求三.4. 泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A. 甲走桃花峪登山线路 B. 乙走红门盘道徒步线路 C. 丙走桃花峪登山线路 D. 甲走天烛峰登山线路【答案】D 【解析】 【分析】甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确. 综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.5. 已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，则“a =“0OA OB ⋅=”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420,0y xy a -+-=∆>，由121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=，可得()21212520y y a y y a -++=，根据韦达定理解出a ，进而可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，联立22202x y a x y -+=⎧⎨+=⎩，化为225420y xy a -+-=， 直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于,A B 两点，(O 为坐标原点），()22162020a a ∴∆=-->，解得210a <，2121242,55a a y y y y -∴+==， 121200OA OB x x y y ⋅=⇔+=， ()()1212220y a y a y y ∴--+=， ()21212520y y a y y a ∴-++=，222452055a aa a -∴⨯-⨯+=，解得a =则“a =0OA OB ⋅=”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.6. 如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A. (2,6)B. (6,8)C. (8,12)D. (10,14)【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义可得2A AF x =+，从而FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+，确定B 点横坐标的范围，即可得到结论． 【详解】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，），由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+，由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，确定B 点横坐标的范围是关键，属于中档题.7. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为2143R π,设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则12V V =（ ）A. 2B.32C. 1D.34【答案】A 【解析】 【分析】先求出酒杯下部分（半球）的表面积为22R π，得到圆柱侧面积为283R π，进一步得到酒杯上部分（圆柱）的高为43R ，然后分别求出1V ，2V ，得到答案. 【详解】设酒杯上部分（圆柱）的高为h球的半径为R ，则酒杯下部分（半球）的表面积为22R π酒杯内壁表面积为2143R π，得圆柱侧面积为223214R R ππ-=283R π，酒杯上部分（圆柱）的表面积为2283R h R ππ⨯=，解得43h R =酒杯下部分（半球）的体积332142233V R R ππ=⨯⨯= 酒杯上部分（圆柱）的体积2314433R V R R ππ=⨯= 所以133224323R V V R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积和体积、圆柱侧面积和体积，属于中档题.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ）A.B.C.D.53【答案】B 【解析】 【分析】先由120MF MF ⋅=，得12F MF ∠为直角，可得1212OM F F =，即可得(),M a b ，然后利用直线斜率公式求解即可.【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率23b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率22211c bea a==+=.故选：B.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式，属中档题. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则（）A. P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商B. 三家设备商的产品组合指标得分相同C. 在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商D. 除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商【答案】ABD【解析】【分析】根据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知ABD均正确.【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，P 设备商的研发投入在最外边，即P 设备商的研发投入超过Q 设备商与R 设备商，故A 正确； 三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B 正确；R 设备商的研发投入优于Q 设备商，故C 错误；除产品组合外，P 设备商其他4项指标均在最外边，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查对数表的综合观察能力，属于基础题.10.已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =⋅⋅⋅，12,,FP FP 3,FP ⋅⋅⋅组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ）A. 该椭圆的焦距为6B. 1FP 的最小值为2C. d 的值可以为310D. d 的值可以为25【答案】ABC 【解析】 【分析】先由椭圆2212516x y +=，得到焦距，判断A 是否正确，椭圆上的动点P ，分析1||PF 的取值范围，判断BCD 是否正确，得到答案.【详解】由椭圆2212516x y +=，得5a =，4b =，3c =，故A 正确； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有12||8PF ≤≤， 故1FP 的最小值为2，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12,8n a a ≥≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310， 故C 正确，D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题以椭圆知识为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关知识，属于中档题. 11.对于四面体ABCD ，下列命题正确的是（ ） A. 由顶点A 作四面体的高，其垂足是BCD 的垂心B. 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点C. 若分别作ABC 和ABD △的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面D. 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意画出图形，数形结合一一分析可得；【详解】解：如图取AB 、AC 、AD 、BC 、BD 、DC 的中点,,,,,F E I J H G对于A .三角形的垂心是三条高线的交点，而A 点的位置可以任意变化，故A 错误；对于B.////EI CD JH ，////JE AB IH ，JEIH 为平行四边形，同理EFGH 也是平行四边形，FG ，EH 的交点为平行四边形EFGH 对角线EH 的中点，EH ，JI 的交点为平行四边形JEIH 对角线EH 的中点，故三条线段交于一点，故B 正确；若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于AB 的中点，故C 为错误；对于D.假设D 错误，设AB 最长，则AC AD AB +≤，BC BD AB +≤，相加得2AC AD BC BD AB +++≤，在ABC ，ABD △中，AC BC AB +>，AD BD AB +>，所以2AC AD BC BD AB +++>矛盾， 故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象能力逻辑思维能力，属于中档题． 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.己知函数()421xxe f x e =-+，则（ ）A. x R ∀∈，[][]1x x x ≤<+B. ()()g x f x =⎡⎤⎣⎦是偶函数C. ,x y R ∀∈，[][][]x y x y +≤+D. 若()f x 的值域为集合M ，t M ∃∈，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】ACD 【解析】 【分析】由取整函数的定义判断.【详解】由定义得[][]1x x x ≤<+，故 A 正确；因为()442211x x xe f x e e=-=-++.易知()421x f x e =-+在R 上是增函数； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()22f x -<<，∴()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域为{}2,1,0,1--，故B 错误.,x y R ∀∈，[]x x a =+，[]y y b =+，[),0,1a b ∈，∴[][]x y x a y b +=+++，[][][]x y x y +=++[]a b +， ∴[][][]x y x y +≤+，故C 正确；若t M ∃∈，()2,2M =-，使得31t ⎡⎤=⎣⎦，42t ⎡⎤=⎣⎦，53t ⎡⎤=⎣⎦，…，2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立，则1t ≤<t ≤<t ≤<t <…t ≤<=若6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <只有5n ≤时，存在t ∈故D 正确； 故答案为：ACD .【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知tan 1α=，则2cos sin cos 3sin αααα+=+______.【答案】34【解析】 【分析】利用商数关系，由tan 1α=得到sin cos αα=代入2cos sin cos 3sin αααα++求解.【详解】方法一：sin tan 1sin cos cos ααααα==⇒=，则2cos sin 2cos cos 3cos 3sin cos 3cos 4αααααααα++==++. 方法二：分子分母同除cos α，得2cos sin 2tan 213cos 3sin 13tan 134αααααα+++===+++.故答案为：34【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知单位向量a ，b 满足3a b -=，则向量a 与b 的夹角为______.【答案】23π 【解析】 【分析】首先根据平面向量的运算律求出a b ⋅，再根据夹角公式计算可得；【详解】解：由单位向量a ，b 满足3a b -=，得23a b -=，所以2223a a b b -⋅+=，12a b ⋅=-，所以1cos ,2a ba b a b⋅==-⋅，又[],0,πa b ∈,所以2,3a b π=. 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.15.设函数()()142302x x xf x x +-+=≤的最小值为m ，且()()()1101112mx x a a x +++=+++()()()2101121011222a x a x a x ++⋅⋅⋅++++，则m =______，1a =______.【答案】 (1). 2 (2). 9【分析】化简函数()f x ，换元后利用32y t t=+-的单调性求出最小值即可得出2m =，将()()21111x x +++转化为()()2112121x x +-++-，再利用展开式的通项即可得到答案.【详解】由()142332222x x xx xf x +-+==+-， 令(]20,1xt =∈，因为函数32y t t=+-，(]0,1t ∈为减函数， 所以当1t =时，min 2y =， 即2m =，所以()()()()11211112121mx x x x +++=+-++-， 因为()1121x +-的展开式通项为：()()111121rrrC x -+⨯-，所以当111r -=，即10r =时，展开式的项为()112x +， 又()()()22212221x x x +-=+-++，所以11129a =-=. 故答案为：2；9【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项展开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.16.已知函数()cos2f x x =，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作yg x ，己知常数R λ∈，*n N ∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,n π内恰有2021个零点，则n =______. 【答案】1347【分析】先求出()sin g x x =，()22sin sin 1F x x x λ=-++，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，则关于t的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号，再对1t 、2t 分四种情况讨论得解.【详解】将函数()cos2y f x x ==的图象向右平移4π个单位，得到函数 cos 2cos 2sin 242y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，令()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得2210t t λ--=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根1t ，2t ，又1212t t =-，则1t 、2t 异号， （ⅰ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅱ）当101t <<且21t >时，则方程1sin x t =在区间()()*0,n n π∈N 有偶数个根，2sin x t =无解，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,n n π∈N 有偶数个根，不合题意；（ⅲ）当11t =，则2102t =-<，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上只有一个根，在区间()1347,1348ππ上无实解，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数解，在区间()1347,1348ππ上有两个根，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2020个根，在区间()0,1348π上有2022个根，不合题意； （ⅳ）当11t =-时，则212t =， 当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在0,2上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1346π上有36732019⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1346,1347ππ上无实数根，在区间()1347,1348ππ上只有一个实数根，方程2sin x t =在区间()1346,1347ππ上有两个实数解，在区间()1347,1348ππ上无实数解，因此关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1347π上有2021个根，在区间()0,1348π上有2022个根， 此时，()()2211110λλ⨯--⨯--=+=，得1λ=-. 所以1347n =. 故答案为：1347.【点睛】本题主要考查三角函数的图象的变换，考查正弦函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
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2010年高考数学三轮复习精品专练——选择题（详解详析）1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A ．5)2(22=+-y xB ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．=-+2005)11(ii （ ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－200523．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量与DA 的夹角为（ ）A ．54arccos 2-πB ．54arccosC ．)54arccos(-D ．－)54arccos(- 5．若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 （ ）A ．3B ．27C ．4D ．29 6．已知α、β均为锐角，若:sin sin(),:,2p q p q πααβαβ<++<则是的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l//α，l//β，m//α，m//β， 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．109．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b10．已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U ，则()()U UA B ⋃痧＝（ ）（A ）{}6,1 （B ）{}5,4 （C ）{}7,5,4,3,2 （D ）{7,6,3,2,1} 11．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ） （A ）48 (B)54 (C)60 （D ）6612．过坐标原点且与圆2254202x y x y +-++=相切的直线方程为（ ） （A ）x y x y 313=-=或 （B ）x y x y 313-==或（C ）x y x y 313-=-=或 （D ）x y x y 313==或13．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线14．若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）（A ）－540 （B ）－162 （C ）162 （D ）54015．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数是（）（A）20 （B）30 （C）40 （D）5016．与向量7117,,,2222a b⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量是（）（A）⎪⎭⎫⎝⎛-53,54（B）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-53,5453,54或（C）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,322（D）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,32231,322或17．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种18．如图所示，单位圆中 AB的长为x，()f x表示弧 AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数()y f x=的图像是（）19．若,,a b c>且()4a abc bc+++=-则2a b c++的最小值为（）（A1（B1（C）2（D）220．若等差数列{n a}的前三项和93=S且11=a，则2a等于（）A．3 B.4 C. 5 D. 621．命题“若12<x，则11<<-x”的逆否命题是（）A．若12≥x，则1≥x或1-≤x B.若11<<-x，则12<xC.若1>x或1-<x，则12>x D.若1≥x或1-≤x，则12≥x22．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分23．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.120 24．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =（ ）A.33-B.2C.2D.33+25．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张， 则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） A ．41 B ．12079 C ． 43 D ．2423 26．若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab+的最大值为（ ）A.1552 B.42 C.55 D.2227．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax xx , 则=++--+∞→nn n n n ba ab a 2111lim（ ） A ．0 B ．41 C ．21D ．1 28．已知定义域为R 的函数f(x)在),8(+∞上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数， 则（ ）A.f(6)>f(7)B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9)D.f(7)>f(10)29．如图，在四边形ABCD 中，||||||4,0,AB BD DC AB BD BD DC →→→→→→→++=⋅=⋅=→→→→=⋅+⋅4||||||||DC BD BD AB ，则→→→⋅+AC DC AB )(的值为（ ）A.2B. 22C.4D.24 30．复数321i += (A)1+2i (B)1-2i (C)-1(D)331．设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件32．圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是 (A)相离(B)相交(C)外切(D)内切33．已知函数y =M ,最小值为m ,则mM的值为(A)14(B)1234．已知随机变量ζ服从正态分布2(3,)N σ,则(3)P ζ<= (A)15(B)14(C)13(D)1235．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈，有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是 (A) ()f x 为奇函数（B ）()f x 为偶函数 (C) ()1f x + 为奇函数（D ）()1f x +为偶函数36．若过两点1(1,2)P -,2(5,6)P 的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12P P所成的比λ的值为 (A)－13(B) －15(C)15(D)1337．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为(0)y kx k =>,离心率e =,则双曲线方程为 （A ）22x a －224y a=1 (B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=38．如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ） （A ）12V V >(B) 22V V <（C ）12V V >（D ）12V V <39．函数()2)f x x π=≤≤ 的值域是（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]40．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a =( A )（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-241．已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()u u A C B B C A = ( ) （A ）∅ （B ）{}|0x x ≤ （C ）{}|1x x >- （D ）{}|01x x x >≤-或 42．已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 43．在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 44．在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象 和直线21=y 的交点个数是( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）445．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++ =( ) （A ）16（n --41） （B ）16（n --21）（C ）332（n --41） （D ）332（n --21）46．若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( )（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）547．若cos 2sin αα+=则tan α=( )（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- 48．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ,则c的最大值是( )（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 49．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动， 使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线50．i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i51．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 52．设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是 (A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数 (C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数 53．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 (A) βαβα⊥⊥,//,b a (B) βαβα//,,⊥⊥b a (C) βαβα//,,⊥⊂b a (D) βαβα⊥⊂,//,b a54．设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 (A) 6 (B) 2 (C)21 (D) 772 55．设集合{}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|，则a 的取值范围是 (A) 13-<<-a (B) 13-≤≤-a(C) 3-≤a 或1-≥a (D) 3-<a 或1->a 56．设函数()()1011<≤-=x xx f 的反函数为()x f 1-，则(A) ()x f 1-在其定义域上是增函数且最大值为1 (B) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最小值为0 (C) ()x f 1-在其定义域上是减函数且最大值为1 (D) ()x f1-在其定义域上是增函数且最小值为057．已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是(A) {}121|-≤≤-x x (B) {}1|≤x x(C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x58．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a <<59．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 (A) 1344种 (B) 1248种 (C) 1056种 (D) 960种60．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B = ð( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,5 61．复数()221i i +=( )（Ａ）4- （Ｂ）4 （Ｃ）4i - （Ｄ）4i 62．()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x 63．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+64．若02,sin απαα≤≤>，则α的取值范围是：( )（Ａ）,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （Ｂ）,3ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｃ）4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ｄ）3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭65．从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有( )（Ａ）70种 （Ｂ）112种 （Ｃ）140种 （Ｄ）168种 66．已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞67．设,M N 是球心O 的半径OP 上的两点，且NP MN OM ==，分别过,,N M O 作垂线于OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：( D )（Ａ）3,5,6 （Ｂ）3,6,8 （Ｃ）5,7,9 （Ｄ）5,8,968．设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( ) （Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条69．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f=（Ｄ）()'00f=70．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）21371．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK ∆的面积为( )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）32 72．复数(2)12i i i +-等于（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-73．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()U A B ð中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．474．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B === ，则a 等于（ ）AB ．2CD75．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64B ．100C ．110D ．120760y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A B ．C ．-D ．-77．“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件78．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2-B ．1C ．4D ．1079．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ） ABCD．380．如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>，81．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．382．定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ ） A ．2B ．3C ．6D ．9 83．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，），传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ） A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011 84．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 85．设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b =86．函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称A B a b lαβC ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称87．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a88．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-89．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A ．929B ．1029C ．1929D ．202990．64(1(1+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．491．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1BCD ．292．设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A．B．C ．(25)，D．(293．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B．3C．3D ．2394．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3B ．2C ．13-D ．12-95．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．296.已知集合{}30,31x M xN x x x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭…,则集合{}1x x …为( )A.M NB.M NC.()R M N ðD.()R M N ð97.135(21)lim(21)n n n n →∞++++-+ 等于( )A.14 B.12C.1D.2 98.圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充要条件是( )A.(k ∈B.(,)k ∈-∞+∞C.(k ∈D.(,)k ∈-∞+∞99.复数11212i i +-+-的虚部是( ) A.15i B.15 C.15i - D.15-100.已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2AC CB +=0 ,则OC等于( )A.2OA OB -B.2OA OB -+C.2133OA OB -D.1233OA OB -+101.设P 为曲线2:23C y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4π,则点P 横坐标的取值范围是( )A.1[1,]2--B.[1,0]-C.[0,1]D.1[,1]2102.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34103.将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12x y +=的图象,则a 等于( ) A.(1,1)-- B.(1,1)- C.(1,1) D.(1,1)-104.生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人,则不同的安排方案有( )A.24种B.36种C.48种D.72种105.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )B.3 D.92106.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱11,AA CC 的中点,则在空间中与三条直线11,,A D EF CD 都相交的直线( )A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条107.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为( )A.3-B.3C.8-D.83(5)8.-+-=-108．12．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．48选择题参考答案详解详析1． 解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y2=5,选(A). 2．解：∵11i i+-=-i,∴=-+2005)11(i i (-i)2005=i ,选(A) 3．解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x 的取值范围为(-2,2),选(D)4．解：∵(1,2),AC = D(5,2),(2,1)DA =,∴cos(180°-∠DAC)=45||||AC DA AC DA ⋅==,∴∴∠DAC=4arccos()5-,即向量AC 与的夹角为4arccos()5-,选(C) 5．解：22)21()21(x y y x +++≥2(x+12y )(y+12x)≥8=4当且仅当11221212x y y x x y y x ⎧+=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得x=y=2时等号成立,选(C) 6．解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π就是一个反例,选(C) 7．解：命题①③是真命题,选(B)8．解：211()(2)()2k k n k kk n k n k k n n T C x C x x---+=-=-令n-2k=-2,n=2k-2,21()2rrn rn r r n T C x --+=-,令n-2r=-4,n=2r-4由题意得(1)25(1)2k k n k n r r n r n C C ---=--,(1)25kk r r kn rnC C ---=-,∵r-k=1,∴化简得2(1)5,(2)k k +=-解得k=4,∴n=6.选(B)9．解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x2+2y=4cos2α+2bsin α=-4sin2α+2bsin α+4=-2(sin2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A) 10．解：已知集合{}{}{}5,4,3,7,5,4,2,7,6,5,4,3,2,1===B A U ，U A ð={1，3，6}，U B ð={1，2，6，7}，则()()U UA B ⋃痧＝{1，2，3，6，7}，选D.11．解：在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，则56a =，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S =1959()92a a a +==54，选B. 12．解：过坐标原点的直线为y kx =，与圆2254202x y x y +-++=相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径，则|02=，解得1或33k k ==-，∴ 切线方程为x y x y 313=-=或，选A. 13．解：对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直，综上所述，选C. 14．解：若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为2n =64，6n =，则展开式的常数项为3336(C ⋅=－540，选A. 15．解：根据该图可知，组距=2，得这100名学生中体重在[)5.64,5.56的学生人数所占的频率为(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以该段学生的人数是40，选C.16．解：与向量7117,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的夹角相等，且模为1的向量为(x ，y)，则cba22171172222x y x y x y ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，选B. 17．解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215C C A ⋅=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，选B.18．解：如图所示，单位圆中 AB 的长为x ，()f x 表示弧 AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，当 AB 的长小于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越快，当 AB 的长大于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越慢，所以函数()y f x =的图像是D.19．解：若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=- 所以24a a b a c b c +++=，22222114(44422)(4442)44a ab ac bc a ab ac bc bc a ab ac bc b c -=+++=+++++++++≤∴222)(2)a b c ++≤，则(2a b c ++)≥2，选D. 20．【答案】：A【分析】：由3133339S a d d =+=+=可得 2.d =21 3.a a d ∴=+= 21．【答案】：D【分析】：其逆否命题是：若1≥x 或1-≤x ，则12≥x 。