导数及其应用.板块三.导数的应用3-最值.学生版

题型四：函数的最值【例1】 函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值和最小值分别是（ ）A ．11-，B ．117-，C ．317-，D ．919-，【例2】 已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5- B ．11- C ．29- D ．37-【例3】 设函数1()22(0)f x x x x=+-< 则()f x 的最大值为 ．【例4】 函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-【例5】 设函数1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x （ ）A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【例6】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数()f x 的“下确界”，则函数221()(1)x f x x +=+的下确界为 ．【例7】 设函数()y f x =在()-∞+∞，内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x Kf x K f x K ⎧=⎨>⎩≤， 取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，，恒有()()K f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2B ．K 的最小值为2C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1【例8】 下列说法正确的是（ ）A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点D ．函数()f x 在区间()a b ，上一定存在最值【例9】 函数42()25f x x x =-+在区间[22]-，上的最大值是 ；最小值是 ．典例分析板块三.导数的应用【例10】 对于函数22e ,0()12,02x x x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩≤，有下列命题： ①过该函数图象上一点()()2,2f --的切线的斜率为22e -； ②函数()f x 的最小值为2e-；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(,1]-∞-上为减函数，在(0,1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是 ．【例11】 已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．【例12】 已知32()21f x x bx cx =+++在区间[]12-，上是减函数，那么2b c +（ ） A ．有最大值152- B ．有最大值152 C ．有最小值152- D ．有最小值152【例13】 求32()395f x x x x =--+在[44]-，上的最大值和最小值．【例14】 已知函数24()f x x x=+．⑴ 求函数()f x 的单调递减区间； ⑵ 当[14]x ∈，时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例15】 已知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．【例16】 已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．【例17】 已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？【例18】 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1(1))f ，处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为12-． ⑴求a ，b ，c 的值；⑵求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[13]-，上的最大值和最小值．【例19】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． ⑶若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，时的最大值为1，求a 的值．【例20】 已知函数()3239f x x x x a =-+++，⑴ 求()f x 的单调递减区间；⑵ 若()f x 在区间[]22-，上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【例21】 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，，．⑴ 当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值；⑵ 是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【例22】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．⑴ 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； ⑵ 当3a =时，求函数()f x 的单调性； ⑶ 当4a =，[1)x ∈+∞，时，求函数()f x 的最小值．【例23】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．⑴求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；⑵设0a >，225()e 4xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若存在12[04]ξξ∈，，使得12()()1f g ξξ-<成立， 求a 的取值范围．【例24】 已知函数247()2x f x x-=-，[01]x ∈，．⑴求()f x 的单调区间和值域；⑵设1a ≥，函数32()32g x x a x a =--，[01]x ∈，．若对于任意1[01]x ∈，，总存在0[01]x ∈，，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．【例25】 已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，，且()f x 有极值．⑴求实数a 的取值范围； ⑵求函数()f x 的值域；⑶函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ∀∈，，0(1)x e ∃∈，，使得01()()g x f x =成立．【例26】 已知函数()()1ln 1af x x ax a x-=-+-∈R ． ⑴ 当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；⑵ 设()224g x x bx =-+．当14a =时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．【例27】 设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>⑴当1a =时，求()f x 的单调区间；⑵若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．【例28】 已知函数()ln af x x x=+． ⑴当0a <时，求函数()f x 的单调区间；⑵若函数()f x 在[]1,e 上的最小值是3,2求a 的值．【例29】 已知a 是实数，函数()()2f x x x a =-．⑴若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； ⑵求()f x 的极值．⑶求()f x 在区间[]02，上的最大值．【例30】 已知函数()21ln f x x a x x=-+-，0a >．⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 设3a =，求()f x 在区间21e ⎡⎤⎣⎦，上的值域，其中e=2.71828是自然对数的底数．【例31】 已知a 为实数，2()(4)()f x x x a =--．⑴求导数()f x '；⑵若(1)0f '-=，求()f x 在[22]-，上的最大值和最小值； ⑶若()f x 在(2)-∞-，和(2)+∞，上都是递增的，求a 的取值范围．【例32】 已知函数32()2f x x ax x =+-+，()a R ∈⑴ 若()f x 在()01，上是减函数，求a 的最大值； ⑵ 若()f x 的单调递减区间是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求函数()y f x =图像过点()11，的切线与两坐标轴围成图形的面积．【例33】 设曲线e (0)x y x -=≥在点(e )t M t -，处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积为()S t ， ⑴求切线l 的方程；⑵求()S t 的最大值．【例34】 已知函数323()2f x x mx n =-+，12m <<，⑴ 若()f x 在区间[11]-，上的最大值为1，最小值为2-，求m 、n 的值； ⑵ 在⑴的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程；⑶ 设函数()f x 的导函数为()g x ，函数2()31()6xg x x F x e ++=⋅，试判断函数()F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．【例35】 在实数集R 上定义运算(1)x y x a y ⊗⊗=+-：（），若()2f x x =，()g x x =，若()()()F x f x g x =⊗．⑴求()F x 的解析式；⑵若()F x 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围；⑶若53a =，()F x 的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．【例36】 已知函数()2()ln 12axf x x a x =+-+，a ∈R ，且0a ≥． ⑴若(2)1f '=，求a 的值；⑵当0a =时，求函数()f x 的最大值； ⑶求函数()f x 的单调递增区间．【例37】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围．【例38】 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， ①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．【例39】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【例40】 已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【例41】 已知函数()ln f x x =-，(0)x e ∈，．曲线()y f x =在点(())t f t ，处的切线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值．【例42】 已知函数()2142f x x =- ⑴写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；⑵设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标．【例43】 函数2()1(00)f x ax a x =->>，，该函数图象在点P 200(1)x ax -，处的切线为l ，设切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M 和N ．⑴将MON ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示为0x 的函数0()S x ；⑵若1(0)M x ，，函数()y f x =的图象与x 轴交于点(0)T t ，，则1x 与t 的大小关系如何？证明你的结论；⑶若在01x =处，0()S x 取得最小值，求此时a 的值及0()S x 的最小值．【例44】 如图，曲线段OMB 是函数2()(06)f x x x =≤≤的图象，BA x ⊥轴于点A ，曲线段OMB 上一点2()M t t ，处的切线PQ 交x 轴于点P ，交线段AB 于点Q ，⑴若t 已知，求切线PQ 的方程；⑵求QAP ∆的面积的最大值．PQMB AO yx。