九年级数学上册23.3相似三角形学相似三角形对应边角要分清华东师大版
23.3 第7课时 相似三角形的应用(数学华师大版九年级上册)
C
图2
D
2.如图所示，钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造
一个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这
样可以节省成本。
学
（1）请你设计一下水厂应该建造在哪里？ （2）若AE=0.5千米，BD=1.5千米，且DE=3千米。求水厂C距离
以
D处有多远?
致
B
A
用
E.
C
.D
F
例 3 如图，有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子DF，那么
度？
方法1：构造“X”型的相似三角形
A
B
E
D
A
C
△ABE∽△CDE
AB BE
B
E
D
CD DE
C
方法2：构造“A”型的相似三角形
A
B
C
D
E
△ABC∽△ADE AB BC AD DE
测量不能直接达到的两点间的距离，我们通常构造 相似三角形，利用相似三角形的性质求解。
常有以下两种的测量方法：
方法1：构造“A”型图； 方法2：构造“X”型图；
A
A
C
C
M
B
D
F
B
D
FGΒιβλιοθήκη H变式2：如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小 明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点G处再测得自己的 影长GH=4cm，如果小明的身高为1.6m，GF=2m.你能求出路灯杆AB的 高度吗？
例 4 如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他
变式2：在变式1的基础上，若小明沿BD方向到达点G处再测得自己的影 长GH=4cm，如果小明的身高为1.6m，GF=2m.你能求出路灯杆AB的高 度吗？
23.3.2 相似三角形的判定——利用角的关系 华师大版数学九年级上册课件
（来自教材）
知1－导
2、常见的相似三角形类型： (1) 平行线型：如图(1)，若DE∥BC，则，△ADE∽△ABC. (2) 相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. (3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC.
我们在判断两个三角 形全等时，使用了哪 些方法？判定三角形 相似是否有类似的方
法？
知1－导
让我们先从最常见的三角尺开始. 观察你和同伴的直角三角尺，同样角度（30°与 60°，或45°与45°)的三角尺看起来是相似的.这样 从直观来看，一个三角形的三个角分别与另一个三角 形的三个角对应相等时，它们就“应该”相似了.确实 是这样吗？
知1－导
知识点 1 用两角对应相等判定两三角形相似
回顾
你还记得八年级上学期学习全等三角形的判定时，曾就
边与角分类考察的几种不同情况吗？它们是:两边一角，两角
一边，三角，三边.从这几种情况出发，我们得到了一些重要
的判定三角形全等的方法. 那么，对于相似三角形的判定，是否
也存在类似的分 类与判定方法呢？
知识点 2 判定两直角三角形相似
知2－讲
【例2】 如图23.3.8，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中， ∠C
与 ∠C ′都是直角， ∠ A = ∠ A ′ .
求证： △ABC ∽ △A ′ B ′ C ′.
证明：∵ ∠C= ∠C ′=90°. ∠A=∠A′，
∴△ABC ∽ △A ′ B ′ C ′ （两角分别相等的两个三角
∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可 得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可 得△ABF∽△CAF.
23.3.3 相似三角形的性质(5) 华东师大版数学九年级上册教案
23.3.3相似三角形的性质一、学情分析本班学生已经建立了学习小组，经历了很多合作学习的过程，所以学生参与有关性质探究活动的热情应该比较高，但是基于本班学生平常学习的状况，部分学生的逻辑推理能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力还有待提高，期待在小组学习中，通过互助学习解决这部分同学的困惑。
二、教案1、教材分析本节教学内容是本章的重要内容之一。
本节内容是在完成对相似三角形的判定条件进行研究的基础上，进一步探索研究相似三角形的性质，从而达到对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究。
从知识的前后联系来看，相似三角形可看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性质研究也可看成是对全等三角形性质的进一步拓展研究。
另外相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础，也是研究圆中线段关系的有效工具。
2、教学目标1．经历“直观感觉――尝试猜想――合情推理――知识应用”的活动过程，探索相似三角形的性质，并会用相似三角形的性质解决相应的数学问题。
2．通过运用相似三角形的性质解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力。
3．在探究中，开发、培养学生的逻辑推理能力，进一步发展学生的探究意识。
3、重点难点重点：探索并掌握相似三角形的性质，并进行简单运用难点：探索相似三角形性质的过程。
4、授课类型：新授课5、学法指导运用观察猜想、合作探究、总结归纳等方法来解决问题6、教学课时：1课时7、教学过程（详案）个人智慧展示一、知识引入相似三角形有何性质？想一想：在三角形中，除了边，角，还有哪些量？思考: 如果两个三角形相似，那么以上这些量之间有什么关系呢？设计意图：本环节采用开门见山，以旧知识引入本节课的当分猜想：当两三角形相似时，相应高、中线、角平分线的比与相似比有什么关系？设计意图：引导学生对全等三角形的对应边和对应线段的比的分析，通过分析发现规律，并由此猜想相似三角形的相应，相似比满足吗？相似三角形面积的比等于相似比的平方设计意图：对相似三角形面积之比的证明既需要运用三角形面积公式，又需要运用相似三角形对应高之比与对应边之比等于相似比的结论，使新旧知识有机地结合在一起，增强了学，分别等于多少？设计意图：提升运用的给出，作为课后思考，鼓励学生整合所学习的知识，也体现了分层教学，照顾学有余力的同学。
华东师大版数学九年级上册 23.3.3 相似三角形的性质教案
23.3.3相似三角形的性质教学目标：知识与技能说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
数学思考与问题解决培养由特殊到一般的思维方法，培养逻辑思维能力和应用能力。
情感态度经历探索相似三角形性质的过程，并在探索研究过程中发展积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
重点：相似三角形性质的应用。
难点：相似三角形的判定和性质的综合应用。
教学过程：一、复习引入1.三角形中的主要线段有哪些？2.全等三角形有哪些性质？类比全等三角形你能说说相似三角形的性质吗？二、自主探索1.根据相似三角形的定义我们可以知道哪些性质？对应角相等，对应边成比例。
2.相似三角形还有哪些性质呢？3.我们把相似三角形对应边的比值称为相似比4.猜想相似三角形对应高的比是否等于相似比性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．教师启发学生自己写出“已知、求证”，然后教师分析证题思路，这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时，是根据相似三角形的性质得到的，这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚，而证明过程可由学生自己完成．分析示意图：结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)后两个定理的证明可以由学生独立完成。
5.相似三角形周长的比等于多少？（教师指导学生进行猜想、证明，让学生用类比的方法进行研究，培养推理能力。
）6.相似三角形面积的比等于多少？（指导学生猜想结论并加以证明）7.知识运用例：小王有一块三角形余料ABC，它的边BC=60cm，高线AD=40cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形SPQR的面积。
三、巩固练习．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角的角平分线的比等于多少？2．相似三角形对应边的比为2:5，那么相似比为______，对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．3、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____四．小结这节课你有什么收获？五．布置作业课本习题23的6、7、8板书设计23.3.3相似三角形的性质1.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。
华东师大版数学九年级上册23.3.3相似三角形的性质教学设计
（5）小组合作：组织学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
（6）总结提升：对本节课所学内容进行总结，强调相似三角形性质的重要性，激发学生学习兴趣。
3.教学评价：
（1）课堂问答：通过提问，了解学生对相似三角形性质的理解程度，及时发现问题并进行针对性指导。
1.导入新课：通过复习相似三角形的判定方法，引出相似三角形的性质，激发学生的好奇心。
2.自主探究：让学生观察、分析、归纳相似三角形的性质，引导学生发现并理解相似三角形的性质。
3.例题讲解：结合实际例题，讲解相似三角形性质的应用，帮助学生掌握解题方法。
4.小组合作：组织学生进行小组合作，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
1.培养学生对几何学的兴趣，激发学生学习数学的热情，使其树立正确的数学观念。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，使其在解决问题的过程中，体验到数学的乐趣和成就感。
3.通过相似三角形性质的学习，使学生认识到几何图形之间的内在联系，培养学生的审美观念和审美情趣。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动参与，发挥学生的主体作用，使学生在探索、发现、应用相似三角形性质的过程中，不断提高自己的数学素养。以下是根据上述教学目标制定的教学设计：
3.对学生练习情况进行评价，及时反馈，纠正错误。
（五）总结归纳，500字
1.对本节课所学内容进行总结，强调相似三角形的性质及其应用。
2.引导学生回顾学习过程，总结学习相似三角形性质的方法和技巧。
3.提醒学生关注相似三角形在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。
4.鼓励学生在课后继续探索相似三角形的性质，为今后的数学学习打下坚实基础。
23.3.2 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定(一) 课件 数学华东师大版九年级上册
ABB '＝45°.又∵ DF ⊥ AB ，∴∠ FDB ＝45°，∴ DF ＝
BF . ∵ S△ ADB ＝ BC × AD ＝ DF × AB ，∴ AD ＝
DF . ∵∠ C ＝∠ AFD ＝90°，
∠ CAB ＝∠ FAD ，∴△ AFD ∽△ ACB ，
AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延长线于
点 E ，交 DC 于点 N .
（1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；
（第5题）
典例导思
（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB ＝ AD ，∠ B ＝90°，
AD ∥ BC ，
∴∠ AMB ＝∠ EAF .
又∵ EF ⊥ AM ，
典例导思
4. （2023·内蒙古）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝
90°， AC ＝3， BC ＝1，将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向
旋转90°，得到△AB'C'，连结BB'交 AC 于点 D ，则
的值为 5 .
（第4题）
典例导思
解析：如图，过点 D 作 DF ⊥ AB 于点 F . 易知 AB ＝ AB '
典例导思
1. 如图， AB 、 CD 相交于点 O ，添加一个条件 ∠ A ＝
∠ C 或∠ B ＝∠ D （答案不唯一） ，可以使△ AOD
∽△ COB .
（第1题）
典例导思
2. （2023·凉山州）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC 与
BD 相交于点 O ，∠ CAB ＝∠ ACB ，过点 B 作 BE ⊥ AB
23.3.3 相似三角形的判定——利用边角关系 华师大版数学九年级上册课件
1. “相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽然它们都表示 两个图形相似，但前者对应关系固定，后者对应关系不 固定．
2. 如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不明确时，从 对应角入手，相等的角或公共角为对应角，则夹对应角的 两边成比例，根据对应分两种情况讨论．
（来自教材）
下面我们来证明上述猜想.
知1－讲
已知：如图23.3.11，在△ABC和△ A1B1C1中，∠A=∠A1，
AB AC .
A1B1 A1C1
求证：△ABC∽△ A1B1C1.
（来自教材）
证明： 在边AB或它的延长线上截取AD=A1B1， 过点D作BC的平行线交AC于点E,则
△ADE∽△ABC
知2－讲
【例2】 如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP ＝3PC，Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP.
导引： 要证△ADQ与△QCP相似， 已知这两个三角形分别有一 个角为直角，只需证明夹这 对直角的两组对应边成比例 即可．
知2－讲
证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD＝CD＝BC
边AD与AB的长度的比值为
1 3
.
将
点E由点A开始在AC上移动，可以
发现当AE
=
1 3
AC时， △ADE与
△ ABC似乎相似.此时
AD AB
.
（来自教材）
知识点 1 相似三角形的判定定理 2
猜想
知1－导
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两 条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似.
2 能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是(
AB A . A 'B '
AC A 'C
九年级数学上册23.3相似三角形你会判定两个三角形相似吗素材新版华东师大版20220908270
你会判定两个三角形相似吗相似三角形的判定方法可由全等三角形的判定方法类推，但比判定全等三角形更灵活，图形的变换也更复杂，为了帮助同学们更好地学好三角形相似的判定方法，现归纳如下.三角形相似的判定方法一：两角对应相等的两个三角形相似.说明：这种方法在运用时只需求出两个角对应相等，就可判定这两个三角形相似，推理时，关键是寻找对应角.一般地，在判定过程中要特别注意“公共角”、“对顶角”、“同角（或等角）、同角（或等角）的余角（或补角）”都是相等的.例1 下列各组图形可能不相似的是（）A.各有一个角是45°的等腰三角形B.各有一个角是60°的等腰三角形C.有一个锐角相等的两个直角三角形D.各有一个角是95°的两个等腰三角形分析：两个三角形是否相似，关键是看是否有两个角对应相等.A中的45°角可能为顶角，也可能为底角，故A中的两个等腰三角形可能不相似；B中是有一个角为60°的等腰三角形，则该三角形为等边三角形，显然等边三角形都是相似三角形；C中有一个锐角相等，则这样的直角三角形中的三个角就都相等，故C中的两个三角形相似；D中的95°只能为顶角，故这样的两个等腰三角形显然相似.解：应选A.点评：有两个角相等，那么这两个三角形相似，这是判定两个三角形相似最常用的方法.事实上，依据三角形的内角和是180°，第三个角也相等，故此判定条件是三个角对应相等，从而与相似三角形的定义衔接起来.三角形相似的判定方法二：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SAS”，要特别注意“夹角”的含义.例2 如图1，已知△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC 的是（）A.AB ·CD=BD ·BCB.AC ·CB=CA ·CDC.BC 2=AC ·DCD.BD 2=CD ·DA分析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C 是△ABC 与△BDC 的公共角，关键是找出角∠C 的两边对应成比例，即ACCB CB CD =. 点评：此判定中的角必须是成比例两边的夹角，否则两个三角形不一定相似.如图2，易判定△ABC ∽△A 1B 1C 1，而在△ABC 和△A 2B 2C 2中，虽然有2222C B BC B A AC =，∠C=∠C 2=90°，但是△ABC 和△A 2B 2C 2并不相似.三角形相似的判定方法三：三边对应成比例的两个三角形相似.说明：这种方法类似于全等三角形判定的“SSS ”定理.例3 已知△ABC 的三边长分别为1，2，5，△DEF 的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC 是否与△DEF 相似.分析：因为已知两个三角形的三边长，所以可考虑根据三边间的关系来判定是否相似. 解：因为1052221==，所以△ABC ∽△DEF. 点评：已知两个三角形的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边；所以在判定两个三角形A CB 8 6 4 3 43 A 1B 1C 1A 2B 2C 2 图2的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.小结：判定三角形相似，通常按下列思路分析：（1）若有一组角相等，可再找一组角相等或再找这组角的邻边对应成比例.（2）若已有两组边对应成比例，可再找其夹角相等或第三组边对应成比例.但要注意找准对应关系.。
23.3.3 相似三角形的性质 华师大版数学九年级上册课件
23.3.3 相似三角形的性质
23.3.3 相似三角形的性质
复习导入
1.相似三角形的判定方法有 哪些？ 2.相似三角形有哪些性质？ 3.三角形中的主要线段有哪 些？
探索新知
如图：△ABC和△A'B'C'是两个相似三角形，相似比为k，其中 AD、A'D'分别为BC、B'C'边上的高，那么AD、A'D'之间有什么 关系。
答案:1.3∶5. 2.0.4 0.4 0.4 0.16. 3.100cm 4.32 16
归纳小结
利用相似三角形的性质解题时，应特别注意 “对应”，切忌混淆对应边的比与相似比中的 前后项的位置。
课后作业
观察可能导致发现,观察将揭示某 种规则、模式或定律。
——波利亚
谢谢大家！
3.相似三角形的周长比等于相似比.
4.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
巩固练习
1.教材第72页练习第1、2题。
3.若两个相似三角最大边长分别为35cm和 14cm，它们的周长差为60cm，则较大的 三角形的周长是多少？
4.在△ABC中，已知D在AB上，E在AC上， 且DE∥BC，AB=30m，BD=18m， △ABC的周长为80m，面积为100m2，求 △ADE的周长和面积。
相似三角形的对应高的比等于相似比.
证明：∵AD⊥BC，A'D'⊥B;B'D'，且∠B=∠B'
∴△ABD∽△A'B'D'
∴
AD AB k AD AB
2.若将上图中的高改为中线、角分线，那么 它们对应中线的比，对应角平分线的比等于 多少？
九年级数学上册23.3相似三角形学相似三角形对应边角要分清素材华东师大版(new)
学相似三角形 对应边角要分清学习相似三角形时，为了强调对应关系,记两个三角形相似要求把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．本文对如何识别相似三角形的对应边与对应角认真解读，希望能对同学们有所帮助．一般来说，两个相似三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边;反过来，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；一对最长（短）的边是对应边，一对最大(小）的角是对应角．当两个相似三角形具有一定位置关系时，（1）如图1,△ABC 与△AED 的公共角∠A 一定是对应角，∠A 所对的边DE 与CB 是对应边；（2)如图2，△ABO 与△DCO 中，∠AOB 和∠DOC 一定是对应角,因为它们是对顶角． 但要注意,两个相似三角形中，公共边不一定是对应边(想一想为什么？）．如图3，AB 是△ACB 与△DBA 的公共边,但它不是对应边．另外，在记两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．如图3,在△ACB 和△DBA 中，A 与D 对应,C 与B 对应,B 与A 对应，则记为△ACB ∽△DBA ,这样写的好处是可以不看图形而直接找出它们的对应边和对应角．例 如图4所示，分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式。
（1)△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC;(2） △ABC ∽△EDCE D C B A (1) E D C B A (3) E D C B A(2) 图4(3） △ABC ∽△ADE ，其中∠ADE=∠B分析：利用相似三角形的定义，找准对应顶点，确定正确的对应边。
解：（1）DE BC AE AC AD AB ==；(2)DC BC CE AC DE AB ==；（3)DEBC AE AC AD AB == 尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
华东师大版九年级上册数学23.3.1相似三角形——相似三角形
思考：如果是这样的呢？
两个三角形是否还是 相似呢？
灿若寒星
典例分析
例2.如图是两个相似的三角形. (1)求：AED 和ADE 的大小； (2)求：DE 的长.
分析：（1）由三角形内角和定B律求95出 角A形ED的性C质得40出，AED B 95，
可得。
，由相似三 （2）可由相似
灿若寒星
解：（1）BAC 45，C 40，
B (180 45 40) 95， △ABC∽△ADE, AED C 40， ADE B 95.
(2)△ABC ∽△ADE,
AE DE , AC BC
，并分A别B，交AC 是A 否相似.
D
E
B
C
F
D，于E点
，ABC
分析：可由平分线的性质，得到角之间的关系，然后 根据对应角相等的三角形是相似三角形。
灿若寒星
证明：DE // BC,
DE // BC, DF // AC,
ADE B,AED C,
四边形DECF是平行四边形，
AD AE (平行线分线段成比例） DB EC
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
第23章 相 似三角形
23.3.1相似三 角灿形若寒星——相似
复习导入
• 什么是相似察下图：
它们的形状都相同， 对应边成比例
灿若寒星
新知探索
• 相似三角形：
•
对应角相等，对应边成比例的三角形， 叫A做相似三角形.（A如 图）
解得DE 35 cm. 8
从上面的例 题，你学到 了什么？
灿若寒星
考题导练
1.如图，指出图中的相似三角形.
华东师大版九年级数学上册23.3.3相似三角形的性质 课件
为
2
（2）已知△ABC∽△A'B'C'，对应中线之比 .且BC边上的高是6，则B'C' 边上的高为 9 .
3
应用：求三角形的边长、高、角平分线、高.
2. 解答题
（1）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD= 1 AB. 若△ABC的周长是15，求△ADE的周长. 3
A
解：∵DE∥BC
∴△ABC∽△A′B′C′
解：∵ △ABC∽△A′B′C′
∴ ∠B=∠B′
B
又∵∠ADB=∠A′D′B′=90°
∴ △ABD∽△A′B′D′
A A'
C B' D
C' D'
∴ AD AB k A'D' A'B'
结论：相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
如图，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k.
（1）那么它们对应边上的高之比等于相似比.
C'
CABC AB BC AD k(A' B ' B 'C ' A'C ') k CA'B'C' A ' B ' B 'C ' A ' D ' A' B ' B 'C ' A'C '
结论：相似三角形的周长之比等于相似比.
三、典型习题，运用性质
1. 填空题
（1）两个三角形相似，如果它们的相似比 是 3:5 ，那么对应边上的高之比是3:5 ，对应 角的平分线之比是 3:5 ，对应边上的中线之比 为 3:5 ，周长之比是3:5 ，面积之比是 9:25 .
九年级数学上册-相似三角形23.3.2相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定教案新版华东师大版
23．3.2 相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)会判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似．会用这种方法判断两个三角形是否相似．重点相似三角形的判定定理1以及推导过程,并会用判定定理1来证明和计算．难点相似三角形的判定定理1的运用．一、情境引入教师展示课件,提出问题．1．两个矩形一定会相似吗？为什么？2．如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等,对应边成比例．3．如图,△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法．二、探究新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺,及老师用的三角板,如有一个角是30°的直角三角尺,它们的大小不一样,这些三角形是相似的,我们就从平常所用的三角尺入手探索．(1)45°角的三角尺是等腰直角三角形,它们是相似的；(2)30°的三角尺,另一个锐角为60°,有一个直角,因此它们的三个角都相等,同学们量一量它们的对应边,是否成比例呢？这样,从直观上看,一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等,它们好像就会“相似”,是这样吗？请同学们动手试一试：1．画两个三角形,使它们的三个角分别相等．画△ABC与△DEF,使∠A＝∠D,∠B＝∠E,∠C＝∠F,在实际画图过程中,同学们画几个角相等？为什么？实际画图中,只画∠A＝∠D,∠B＝∠E,则第三个角∠C与∠F一定会相等,这是根据三角形内角和为180°所确定的．2．用刻度尺量一量各边长,它们的对应边是否会成比例？与同伴交流,是否有相同结果．3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等,那么这两个三角形相似．4．两个矩形的四个角也都分别相等,它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质,三角形有稳定性,而四边形有不稳定性．于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似,简单地说,两角对应相等,两三角形相似．同学们思考,能否再简便一些,仅有一对角对应相等的两个三角形,是否一定会相似呢？教师再展示课件,展示例1,例2,教师引导学生分析,学生完成．例1 在△ABC与△A′B′C′中,∠A＝∠A′＝50°,∠B＝70°,∠B′＝60°,这两个三角形相似吗？解：由三角形的内角和定理知∠C′＝180°－∠A′－∠B′＝180°－50°－60°＝70°,∴∠C′＝∠B,又∵∠A＝∠A′,∴△ABC∽△A′C′B′.例2 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC,∴∠AED＝∠C.又∵EF∥AB,∴∠CEF＝∠A.∴△ADE∽△EFC.三、练习巩固教师用多媒体展示习题,第1题由学生自主完成,第2题教师可适当点拨,注意分类讨论．1．在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,找出图中所有的相似三角形．第1题图第2题图2．在△ABC中,点D是AB边上的一点,过点D作一直线与AC相交于点E,要使△ADE与△ABC相似,你怎样画这条直线？说明理由,和你的同伴交流作法是否一样．【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC.2．有两种不同的画法：①过点D作DE∥BC,DE交AC于点E：②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE＝∠C,另一边DE交AC于点E.四、小结与作业小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑,说说看．布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手,通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1,从中感受学习几何的乐趣,从而激发学生学习兴趣,培养学生的几何推理能力．。
华师大版-数学-九年级上册-23.3 相似三角形的判定 利用边角关系 教案
相似三角形的判定——利用边角关系教学目标【知识与技能】1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；2.能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.【过程与方法】在推理过程中学会灵活使用数学方法.【情感态度】培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.教学重点相似三角形的判定定理2的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2并能灵活应用. 教学难点相似三角形的判定定理的推导及应用.教学过程一、情境导入，初步认识复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据定义；（2）有两个角对应相等的两个三角形相似.2.如图△ABC 中，D.E 是AB.AC 上三等分点（即AD=31AB ，AE=31AC)，那么△ADE 与△ABC 相似吗？你用的是哪一种方法？由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它们是否相似？【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪一种方法判断出的.二、思考探究，获取新知同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE ∽△ABC.从已知条件看，△ADE 与△ABC有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一个条件是AD=31AB ，AE=31AC ，即是31=AB AD ，31=AC AE ，因此AC AE AB AD =.△ADE 的两条边AD.AE 与△ABC 的两条边AB.AC 会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E 在边AC 上，那么点E 应该在什么位置才能使△ADE 与△ABC 相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD 与AB 的长度的比值为31，将点E 由点A 开始在AC 上移动，可以发现当AE=31AC 时，△ADE 与△ABC 相似，此时AC AE AB AD =.猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？【教学说明】引导学生证明上述猜想.【归纳结论】 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？（画顶角与底角相等的两个等腰三角形）∠B=∠B ′，C A AC B A AB ''=''.例1（课本中例4）判断图中△AEB 与△FEC 是否相似.例2 如图△ABC 中，D.E 是AB.AC 上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，试判断△ADE 与△ABC 是否会相似，小张同学的判断理由是这样的:解：因为AC=AE+CE ，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于AC AE AB AD ≠，所以△ADE 与△ABC 不相似.你同意小张同学的判断吗？请你说说理由.解：小张同学的判断是错误的.因为63=AC AD ，218.79.3==AB AE ，所以AB AE AC AD ≠，而∠A 是公共角，∠A=∠A ，所以△ADE ∽△ACB.三、运用新知，深化理解1.如图，△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由.【教学说明】引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评.四、师生互动，课堂小结1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.教学反思本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2的认识，加深对判定定理的理解.教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力.。
23.3 第2课时 相似三角形的判定(数学华师大版九年级上册)
A
D
O EG
B
F
C
感谢观看
AD
FC
AB BC
DE=FC
DE//BC，DF//AC
四边形DFCE是□
平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
已知DE∥BC，并分别交AB、AC延长线于点D、E. 试问：△ADE和△ABC相似吗？
A
D
E
D
E
A
F
G
B
C
B
C
平行于三角形一边的直线，和其他两边的延 长线相交所构成的三角形与原三角形相似。
A
ED
A
D
O
B
C
O
B
C
E
A
F
D
O
B
C
1.如图，AB//CD//EF，请你找出图中的相似三角形。
F
经
B
典
D
习
AC
E
题
例 2 在△ABC中，点D是AB的三等分点，DE∥BC，DE=5.
（1）求BC的长；
（2）连结DC、BE交于点O，求OE:OB的值。
A
A
D
E
D
E
O
F
G
B
C
B
C
拓展：如图，D、F是AB的三等分点，DE//FG//BC.
平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的 延长线）相交所构成的三角形和原三角形相似。
A DE
DE
∵ DE//BC
A
∴ △ADE∽△ABC
B “A”型C
B “X”型C
这是我们以后经常研究的两种基本图形。
23.3.3 相似三角形的性质 华东师大版数学九年级上册教案1
相似三角形的性质【教学目标】会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【教学重难点】1．相似三角形中对应线段比值的推导；2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；3．运用相似三角形的性质解决实际问题。
4．相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用。
【教学过程】一、复习1．识别两个三角形相似的简便方法有哪些？2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝l0cm，AC＝6cm，BC＝8cm，A′B′＝5cm，A′C′＝3cm，B′C′＝4cm，这两个三角形相似吗？说明理由。
如果相似，它们的相似比是多少？二、新课讲解1．两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为ACA′C′＝2。
2．相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还会得出什么结果呢？3．一个三角形内有三条主要线段；高、中线、角平分线。
如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系。
4．同学画出上述的两个三角形，作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，CDC′D′等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：5．相似三角形对应高的比等于相似比。
我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？同学们用上面类似方法，得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
两个相似三角形的周长比会等于相似比吗？两个相似三角形的面积之间有什么关系呢？6．假设三角形（2）的各边长分别是（1）的2倍，（3）的各边长分别是（1）的3倍，所以它们都是相似的，填空：（2）与（1）的相似比为( )，（2）与（1）的面积比为( )；（3）与（1）的相似比为( )，（3）与（1）的面积比为( )；（3）与（2）的相似比为( )，（3）与（2）的面积比为( )。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学相似三角形 对应边角要分清
学习相似三角形时，为了强调对应关系，记两个三角形相似要求把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．本文对如何识别相似三角形的对应边与对应角认真解读，希望能对同学们有所帮助．
一般来说，两个相似三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；反过来，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角．
当两个相似三角形具有一定位置关系时，
（1）如图1，△ABC 与△AED 的公共角∠A 一定是对应角，∠A 所对的边DE 与CB 是对应边；
（2）如图2，△ABO 与△DCO 中，∠AOB 和∠DOC 一定是对应角，因为它们是对顶角． 但要注意，两个相似三角形中，公共边不一定是对应边（想一想为什么？）．如图3，AB 是△ACB 与△DBA 的公共边，但它不是对应边．
另外，在记两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．如图3，在△ACB 和△DBA 中，A 与D 对应，C 与B 对应，B 与A 对应，则记为△ACB ∽△DBA ，这样写的好处是可以不看图形而直接找出它们的对应边和对应角．
例 如图4所示，分别根据下列已知条件，写出各组相似三角形的对应边的比例式.
(1)△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC ；
(2) △ABC ∽△EDC
(3) △ABC ∽△ADE ，其中∠ADE=∠B
分析：利用相似三角形的定义，找准对应顶点，确定正确的对应边
.
解：(1)DE BC AE AC AD AB ==；(2)DC BC CE AC DE AB ==；(3) DE BC AE AC AD AB ==。