山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

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小学奥数构造与论证精选例题练习习题(含知识点拨)

构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

山东省威海市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

山东省威海市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）根据陈述，在（）里填写名字，芳芳比红红重，静静比芳芳重。

2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分） (2019四上·景县期中) 磊磊在一次参加数学竞赛时，遇到一个很有意思的考号：这个考号是个七位数，百万位上的数字是 4，万位上的数宇是 9，任意相邻的三个数位上的数字之和是 18，请你猜猜这个考号是多少?4. （5分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？5. （10分）老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了．现在知道：⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）．问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？6. （5分）小明到面包店甜甜圈买面包：甜甜圈每个2元，三明治每个10元，巧克力面包每个3元，如果小明买一些甜甜圈和三明治，他付给售货员50元，找回11元，她找对了吗？为什么？7. （5分）一口井7米深，有只蜗牛从井底往上爬，白天爬3米，晚上往下坠2米。

小学数学《构造与论证》练习题

构造与论证1.完成下面的表格，请你填写奇数，偶数，奇数或偶数，不可能。

2.是否存在这样的4个自然数，它们的和是205，乘积是2009？请简单的说明理由。

3.判断1+2+3+4+……+2009的结果是奇数还是偶数？4.□+□=□；□-□=□；□×□=□；□÷□=□。

每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数。

那么12个数中一共有多少个偶数？5.已知两个两位数之差是39，下面5种说法正确的有：①这两个数的和可能是67。

②这两个数的和可能是88。

③这两个数的4个数字之和有可能是12。

④这两个数的4个数字之和有可能是15。

⑤这两个数的4个数字之和有可能是22。

6.能否在1、2、3、4、……、100之间填入99个“+”，“-”号，使得计算的结果为2009？7.是否有可能将自然数1—100排成一排，使得任意相邻的3个自然数之和全都是奇数？如果可以请给出排列方法，如果不可以请说明理由。

8.已知a，b，c，d，e中有一个是2004，一个是2005，一个是2006，一个是2007，一个是2008，求证a+2004，b+2005，c+2006，d+2007，e+2008的乘积一定为偶数。

9.有一个数列，前4项是2，0，0，5。

从第5项开始，每一项都是前面4项平方和的个位。

那么在这个数列中是否存在连续的4个数，它们分别为2，0，0，8？10.一个游戏的规则为：在黑板上写3个自然数，然后随便擦掉其中的一个数，换上未擦去的2个数的和减1，这样做了多次以后，黑板上得到17、123、139这3个数，请问黑板上开始写的三个数可以是2、2、2？11.能否用1，1，2，2，3，3，4，4，5，5组成一个十位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字，两个4之间有4个数字，两个5之间有5个数字？请说明理由。

小学奥林匹克数学竞赛数学五年级第23讲-构造论证

图8-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．图8-6小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，都不必再分割蛋糕．这7块蛋糕的重量分别是多少？300克500克300、300、200、200、300、100、100有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻．请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有1颗假的呢？请设计出方案．两两分组三三分组较轻的组较轻的组两次两次图8-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线．用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度．右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？3厘米1厘米2厘米图8-71，2，3，31，1，3，4请将8个1，8个0填入图8-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数．图8-8 8-23+3+1+1=81 1 11 1 111有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6，而任意4个相连的数之和都小于8．这个数列最多能有几项？最多，数字越小越好全是1，和小于62 2 2 24个数之和不小于81 2 3 2 1 4个数之和不小于81 1 4 1 1 最多有5个用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000，例如．试用8个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算1000．11111111000-=AAAA+AA+ ……A=1000=5×5×5×8A=5或者8 1000÷5=2001000÷8=125 111+11+1+1+1=1251的个数不够 888+88+8+8+8=1000有12根小木棍，长度分别为1，2，3，4，……，12厘米．（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；（2）能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．【例8】高思学校竞赛数学导引第23讲（1）1+2+……+12=78长+宽=39=13×3长=26:1+12+2+113+10+4+9宽=13:5+86+7 （2）1+2+……+12=7878÷4=19.5 不可能【例9】高思学校竞赛数学导引第23讲（1）请在1，2，3，……，19，20的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序），使得结果是0．（2）能否在1，2，3，……，20，21的相邻两个数之间填入“+”或者“-”（不能改变数的顺序），使得结果是0？（1）1+2+……+20=2101+20+2+19+3+18+4+17+5+16-6-15-7-14-8-13-9-12-10-11=0 210÷2=105（2）1+2+……+20+21=231加减的和不可能相等有四个算式：，，，．如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？+=□□□-=□□□⨯=□□□÷=□□□+=□□□-=□□□⨯=□□□÷=□□□至少1奇1偶无限制最多无限制最少奇+偶=奇奇+奇=偶奇-偶=奇奇-奇=偶奇×偶=偶偶÷奇=偶偶÷偶=奇共6个偶数偶+偶=偶奇+偶=奇奇+奇=偶偶-偶=偶奇-偶=奇奇-奇=偶偶×偶=偶奇×奇=奇偶÷偶=偶奇÷奇=奇最多共12个偶数最少共2个偶数有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制．每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态．能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？5个亮加减偶数个奇+偶=奇奇-偶=奇得不到0 不可能都变暗桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1，2，3，4，5，然后冬冬在背面也分别写上1，2，3，4，5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘．问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？不可能o(╯□╰)o正面数字+背面数字=（1+2+3+4+5）×2=30奇+奇+奇+奇+偶=偶五个和中，至少有一个偶数，所以最后乘积一定是偶数有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，，14．能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．=偶数五组和为偶数1+2+3+……+14=105不可能o(╯□╰)o将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于999？如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由．A B C + C B A --------------- 9 9 9 没有进位，数字和不变9+9+9=27 奇数奇+奇=偶偶+偶=偶不可能o(╯□╰)o下节课见！。

(小学奥数)构造与论证

構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題．知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼於極端情形，或從整體把握．設計最佳安排和選擇方案的組合問題，這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小．解題時，既要構造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優性進行論證．論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計．組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼於極端情況，或從整體把握。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題，這裏宜從特殊的點或線著手進行分析．各種以染色為內容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色．知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷．如果每次只能調換相鄰的兩卷，那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷，將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次，得到的順序為51234；現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次，得到的順序為54123；現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次，得到的順序為54312；最後將第1卷和第2卷對調即可．所以，共需調換4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009，現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009．然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮．所得的2009個和相加，便等於1～2009的所有數的總和的2倍，是個偶數．2009個數的和是偶數，說明這2009個數中必有偶數，那麼這2009個數的乘積是偶數．本題也可以考慮其中的奇數．由於1～2009中有1005個奇數，那麼正反兩面共有2010個奇數，而只有2009張卡片，根據抽屜原理，其中必有2個奇數在同一張卡片上，那麼這張卡片上的數字的和是偶數，從而所有2009個和的乘積也是偶數．【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下麵我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”)．【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補白子1枚，“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白，那麼此時拿出的白子數為0枚．可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚，而由於起初白子有200枚，是偶數枚，所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚，因此最後1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數123200820091004變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕．按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為不亮，或由不亮變為亮．如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態，由不亮變成亮．而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮．如果少於1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數，要麼不變．現在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場．為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加2分，每勝業餘選手一場加1分；專業選手每負一場扣2分，業餘選手每負一場扣1分．問：一位業餘選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時，如果只勝了另兩位業餘選手，那麼他得10+2-3=9(分)．此時，如果專業選手間的比賽均為一勝一負，而專業選手與業餘選手比賽全勝，那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位業餘選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業選手高．當一位業餘選手勝3場時，得分最少時是勝兩位業餘選手，勝一位專業選手，得10+2+2-2=12(分)．此時，三位專業選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業選手之間的三場比賽共得0分，專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分，34÷3=111，推知，3必有人得分不超過11分.也就是說，一位業餘選手勝3場，能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽，比賽採用單迴圈制，即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊至少勝一場，並且所有各隊的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個隊共進行了24C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場，所以得分最低的4隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以4個隊得分最少2+3+4+5=14＞12，不滿足.即n=4不可能。

小学奥数六年级上第24讲《构造论证》教学课件

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
答案：
巩固提升
mathematics
作业3：《三国英雄传》共有10篇故事，这些故事占的篇幅从2页到11页各不相同，如果从书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有多少篇，最少有多少篇? 答案：
巩固提升
mathematics
作业1：桌上放有5枚硬币，正面朝上，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚，第五次翻动5枚，能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都正面朝下? 答案：
巩固提升
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作业2：把1、2、3、…、13按合适的顺序填在图中第二行的空格中、使得每列两个数字之和都是平方数.
例题讲解
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练习4：黑板上写着3个数9、18、27，老师请一些同学上黑板对这3个数进行操作，进行一次操作是指：把3个数进行如下变化，一些数减1、其他数加2；或者都减1；或者都加2；请问： (1)能否经过若干次操作后得到11、12、13? (2)能否经过若干次操作后得到8、8、8？答案：
是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢?
答案：
例题讲解
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练习2：能否将1至41排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数? 答案：
例题讲解
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例题3：有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(每次这个数目可以改变)，也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中，请问： (1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? (2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由. 分析：每次从这三堆中同时拿走相同数目的石子意味着每次拿走的石子数是3的倍数，所

小学奥数构造与论证精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题．知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。

若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．板块一、最佳安排和选择方案【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．知识点拨知识点拨教学目标构造与论证所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

山西省太原市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

山西省太原市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共19题；共98分)1. （1分）已知甲、乙两数的和为8，乙、丙两数的和为6，甲、丙两数的和为4，甲、乙、丙三个数各是多少?甲数是________乙数是________ 丙数是________2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）在方格里填上1～9中的数字，每个算式中的数字不能重复。

4. （5分）张红因病在家休息了几天，这期间的气候是：⑴下了8次雨，时间是上午或下午；⑵当下午下雨时，当天上午是晴天；⑶有9个下午是晴天；⑷有13个上午是晴天。

问她一共在家休息了几天？5. （10分）甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高．”乙说：“我不最矮．”丙说：“我没甲高，但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．6. （5分）有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，试说明在200个信号中至少有四个信号完全相同。

7. （5分）有三个小朋友在猜拳，，一个出剪刀，一个出石头，一个出布，请问三个人共有几根指头？8. （10分）三张分别写有2，1，6的卡片，能否排成一个可以被43除尽的整数？9. （5分）小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。

问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？10. （2分）五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．11. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？12. （5分）一斤白菜5角钱，一斤萝卜6角钱，那一斤排骨多少钱？13. （5分）、、、、五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，已经赛盘，赛盘，赛盘，赛盘．问：此时同学赛了几盘？14. （5分）一个苹果减去一个苹果，猜一个字。

小学奥数系列8-6-1构造与论证及参考答案

小学奥数系列8-6-1构造与论证一、最佳安排和选择方案1. 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是________颜色（填“黑”或者“白”）．2. 在黑板上写上、、、、……、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？3. 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?4. 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?5. 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：（1）某2堆石子全部取光?（2） 3堆中的所有石子都被取走?6. 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？7. 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?8. n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1） n=4是否可能？（2） n=5是否可能？9. 如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。

安徽省亳州市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

安徽省亳州市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）动物村开运动会，在1000米跑比赛中，小马比小鹿跑得慢，小马不如小兔跑得快，小鹿比小兔跑得快．小朋友，请你当裁判，金牌应该发给________？2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）三（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢局得分，输局倒扣分，平局各得分．小晴共参加了局比赛，结果胜了局，平了局，那么小晴的最后得分是多少？4. （5分）给三个非常聪明的人各戴了一顶帽子．并且告诉他们，他们的帽子的颜色可能是红色的，也可能是蓝色的，没有其他颜色．且三人中至少有一个人的帽子是红色的．三人互相看了看，没有人能很快地说出自己戴的是什么颜色的帽子．三人又冥思苦想了一阵，几乎同时都猜到了自己戴了什么颜色的帽子．你知道他们三人各戴了什么颜色的帽子吗？请说明理由．5. （10分）(2018·江宁) 一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数。

6. （5分）有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?7. （5分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。

崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后，突然突发奇想，让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中，自己认识的人数。

崔老师把同学们写好的纸条收走后，看了一遍，说：“真巧，咱们所有同学在这里认识的人数都刚好不一样。

小学六年级奥数天天练：构造与论证

小学六年级奥数天天练：构造与论证教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有_89块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：
(1)某2堆石子全部取光?
(2)3堆中的所有石子都被取走?
【答案】
(1)可以，如(_89，989，89) (__，9_，0) (950，9_，950)
(50，0，50) (25，25，50) (O，0，25).
(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.
现在共有_89+989+89=3_7，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.
小学六年级奥数天天练：构造与论证.到电脑，方便收藏和打印：。

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）小强、小明、小勇三人参加数学竞赛，他们分别来自甲、乙、丙三个学校，并分别获得一、二、三等奖．已知：⑴小强不是甲校选手；⑵小明不是乙校选手；⑶甲校的选手不是一等奖；⑷乙校的选手得二等奖；⑸小明不是三等奖．根据上述情况，可判断出小勇是________校的选手，他得的是________等奖．2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地．甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．”乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．”丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．”丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．”假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？4. （5分）有三个小朋友在猜拳，，一个出剪刀，一个出石头，一个出布，请问三个人共有几根指头？5. （10分）在期末考试前，学生、、、分别预测他们的成绩是、、或，评分标准是比好，比好，比好．说：“我们的成绩都将不相同．若我的成绩得，则将得．”说：“若的成绩得，则将得．的成绩将比好．”说：“若的成绩不是得到，则将得．若我的成绩得到，则的成绩将不是．”说：“若的成绩得到，则我将得到．若的成绩不是得到，则我也将不会得到．”当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么？6. （5分）某次数学竞赛有6个同学参加，总分是547分，则至少有一个同学的得分不低于92分．为什么？7. （5分） 3个人3天用3桶水，9个人9天用几桶水?8. （10分）东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果人获胜的场数各不相同．问第一名胜了几场？9. （5分）小白买了一盒蛟香，平均一卷蛟香可点燃半个小时。

a小学数学奥赛8-6 操作找规律.教师版

知识点说明在奥数中有一类“不讲道理”的题目，我们称之为“简单操作找规律”。

有一些对小学生来说很难证明的，但与证明相比，发现却是比较容易的。

这也是数学中的一种重要的思想，在以后的数学学习中会有一种先猜后证的解题方法。

这类题主要考查孩子们的发现能力。

模块一，周期规律【例 1】四个小动物换座位．一开始，小鼠坐在第1号位子，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号．以后它们不停地交换位子．第一次上下两排交换．第二次是在第一次交换后再左右两排交换．第三次再上下两排交换．第四次再左右两排交换……这样一直换下去．问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看下图）【考点】操作找规律【难度】2星【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛【解析】根据题意将小兔座位变化的规律找出来．可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每4次交换座位，小兔的座位又转回原处．知道了这个规律，答案就不难得到了．第十次交换座位后，小兔的座位应该是第2号位子。

【答案】第2号【例 2】在1989后面写一串数字。

从第5个数字开始，每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数字。

这样得到一串数字：1 9 8 9 2 8 6 8 8 4 2 ……那么这串数字中，前2005个数字的和是____________。

【考点】操作找规律【难度】2星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，初试【解析】由题意知，这串数字从第5个数字开始，只要后面的连续两个数字与前面的连续两个数字相同，后面的数字将会循环出现。

1989︱286884︱28……由上图知，从第5个数字开始，按2,8,6,8,8,4循环出现。

()2005463333-÷=⋯，前2005个数字和是()()()1989286884333286+++++++++⨯+++27119881612031=++=。

【答案】12031例题精讲知识点拨操作找规律【例 3】先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是。

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理(一)

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共34题；共175分)1. （5分）一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣 1分，不答不得分。

问：要保证至少有4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？2. （5分）一个盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球各20个．最少要拿几个球，就能保证有两对同色的球？最少要拿出几个球，就能保证有3对同色的球？解答了前两个问题，你发现有什么规律吗？你能根据规律迅速地写出要保证有4对同色的球，最少要拿出多少个球吗？(所谓“同色的球”指的是每对中的两个球同色，不是指所有取出的球同色)3. （5分）某校六年级有367名学生，有没有两名学生的生日是同一天？为什么？4. （5分）六(1)班有49名学生，数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外，均在86分以上后就说：“我可以断定，本班至少有4人成绩相同”。

王老师说的对吗?为什么?5. （5分）在1m长的线段上任意点7个点，不管怎样点，至少有两点之间的距离小于17cm．在纸上画一画，并和同桌同学说一说．6. （5分） 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本．试说明：必有两个学生所借的书的类型相同。

7. （5分）在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．8. （5分）某次数学竞赛有6个同学参加，总分是547分，则至少有一个同学的得分不低于92分．为什么？9. （5分）海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在厘米到厘米之间（包括厘米到厘米），那么，至少从多少个学生中保证能找到个人的身高相同？10. （5分）任意10个正整数，每一个都用9来除，其中必有两个余数相同．请说明你的理由．11. （5分）时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．12. （5分）五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。

山东省莱芜市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

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小学奥林匹克数学竞赛数学五年级第23讲-构造论证

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