广西南宁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
小学奥数 构造与论证 精选例题练习习题(含知识点拨)
构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
广东省揭阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）先找规律,填好幻方,使下面幻方中竖的、横的、斜的3个数的和都是18．然后按从上到下，从左到右的顺序,填写结果.________2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）由，，三个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8分，第三名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是班的，第二名是班的．那么最后一名是哪个班的？4. （5分）四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得分，平一场得分，负一场得分，有一个队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由．5. （10分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？6. （5分）把4支铅笔放进3个文具盒里，不管怎么放总有一个文具盒里至少放进2支铅笔，为什么？7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数．8. （10分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果）9. （5分）架子上摆着大、中、小三种皮球，只知道小皮球每只20元，每层皮球的价钱同样多，每只中皮球和大皮球各需要多少元？10. （2分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）．11. （5分）重阳节，25位老人来品茶，25位老人的年龄是连续数，也是自然数，两年后25位老人年龄和是2000，问25位老人最大的一位是多大？12. （5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？13. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？14. （5分） 5只鸡，5天生了5个蛋。
小学奥数课本06-01(上)附答案和详解
＝4∶3，所以甲与乙的工效比是3∶4．这个间接条件一旦揭示出来，问题就得到解 决了．
甲与乙的时间比是4∶3． 工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例，所以甲与乙的工效比是时间比 的反比，为3∶4．
答：这批树一共252棵．
例9 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成．现在由甲先做16天，
例5 筑路队预计30天修一条公路．先由18人修12天只完成全部工程
之几（即一人的工效）． 解：①1人1天完成全部工程的几分之几（即一人的工效）： ②剩余工作量若要提前6天完成共需多少人：
＝36（人）． ③需增加几人：
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36－18＝18（人）． 答：还要增加18人． 例6 蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小 时．排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水， 进水，排水…的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确 到分钟） 分析与解答 ①在解答“水管注水”问题时，会出现一个进水管，一个出水管的情 况．若进水管、出水管同时开放，则积满水的时间＝1÷（进水管工效－出水管工 效）， 排空水的时间＝1÷（出水管工效－进水管工效）． ②这道应用题是分析推理与计算相结合的题目．根据已知条件推出水池
4．水箱上装有甲、乙两个注水管．单开甲管20分钟可以注满全箱．现
满水箱？ 5．一项工程，甲、乙单独做分别需要18天和27天．如果甲做若干天后，乙接 着做，共用20天完成．求甲乙完成工作量之比．
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7．做一批儿童玩具．甲组单独做10天完成，乙组单独做12天完成，丙组每天 可生产64件．如果让甲、乙两组合作4天，则还有256件没完成．现在决定三个组合 做这批玩具，需要多少天完成？
贵州省贵阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
贵州省贵阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）小刚、小强和小丁在100米赛跑中取得了前三名的成绩。
已知小刚不是第一名，小强不是前两名。
第一名是________。
2. （5分）文老师到文化用品商店买奖品。
钢笔每支8元，笔记本每本4元。
她付给营业员100元，营业员找给文老师25元。
你能很快地判断找回的钱对吗？请说明理由。
3. （5分）王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？4. （5分）给三个非常聪明的人各戴了一顶帽子．并且告诉他们，他们的帽子的颜色可能是红色的，也可能是蓝色的，没有其他颜色．且三人中至少有一个人的帽子是红色的．三人互相看了看，没有人能很快地说出自己戴的是什么颜色的帽子．三人又冥思苦想了一阵，几乎同时都猜到了自己戴了什么颜色的帽子．你知道他们三人各戴了什么颜色的帽子吗？请说明理由．5. （10分）浪费掉人的一生的三分之一时间的会是什么东西？6. （5分）在1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34中任选出7个不同的数，其中必有两个数的和为35.7. （5分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．8. （10分）有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？9. （5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？10. （2分）在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是的倍数？11. （5分） A、B、C、D四人在一场比赛中得了前4名．已知D的名次不是最高，但它比B、C都高，而C的名次也不比B高．问：他们各是第几名？12. （5分）想一想，请你继续写！149________2536________________________噢！我发现了：________．13. （5分）甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．14. （5分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果）15. （5分）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。
广西贺州市小学数学小学奥数系列8-3-1逻辑推理(三)
广西贺州市小学数学小学奥数系列8-3-1逻辑推理（三）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共33题；共117分)1. （5分）红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、、、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包．猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的；猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的；猜：第二包是黄的，第五包是紫的．猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对．请你判断他们各猜对了其中的哪一包？2. （5分）有三个小朋友在猜拳，，一个出剪刀，一个出石头，一个出布，请问三个人共有几根指头？3. （5分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间?4. （5分）(2013·广州) 有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥——1分钟；爸爸——2分钟；妈妈——5分钟；爷爷——10分钟。
若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？请写出你设计的方案：第一步，________与________过桥，________回来；第二步，________与________过桥，________回来；第三步，________与________过桥，共耗时________分钟。
5. （5分）王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？6. （5分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，使两个人的回答相同吗？这个问题可以是7. （1分） A、B、C、D四支球队进行循环赛（即每两队赛1场），比赛进行一段时间后，A赛了3场，B赛了2场，C赛了1场，这时，D赛了________场。
广东省云浮市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
广东省云浮市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）动物村开运动会，在1000米跑比赛中，小马比小鹿跑得慢，小马不如小兔跑得快，小鹿比小兔跑得快．小朋友，请你当裁判，金牌应该发给________？2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）三个小朋友去买文具，他们分别要买铅笔、转笔刀和尺子。
4. （5分） 3个人3天用3桶水，9个人9天用几桶水?5. （10分），，，分别是中国、日本、美国和法国人.已知：⑴ 和中国人是医生；⑵ 和法国人是教师；⑶ 和日本人职业不同；⑷ 不会看病.问：，，，各是哪国人，6. （5分）从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数．8. （10分）(2013·广州) 有一家四口人要走过一座窄桥，窄桥一次最多只可允许两个人一起过桥，由于天色很暗，同时他们又只有一只手电筒，行人过桥时必须持有手电筒，以防止跌落水中，因此就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端，四个人的步行速度各不相同，已知每人过桥所需要使用的时间分别为：哥哥——1分钟；爸爸——2分钟；妈妈——5分钟；爷爷——10分钟。
若两人同行则以较慢者的速度为准，请问一家四口人全部过桥的总用时至少是几分钟？请写出你设计的方案：第一步，________与________过桥，________回来；第二步，________与________过桥，________回来；第三步，________与________过桥，共耗时________分钟。
小学奥数六年级上第24讲《构造论证》教学课件
答案：
巩固提升
mathematics
作业3：《三国英雄传》共有10篇故事，这些故事占的篇幅从2页到11页各不相同，如果从 书的第1页开始印第一个故事，每一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头 的最多有多少篇，最少有多少篇? 答案：
巩固提升
mathematics
作业1：桌上放有5枚硬币，正面朝上，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚， 第四次翻动4枚，第五次翻动5枚，能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的 硬币都正面朝下? 答案：
巩固提升
mathematics
作业2：把1、2、3、…、13按合适的顺序填在图中第二行的空格中、使得每列两个数字之 和都是平方数.
例题讲解
mathematics
练习4：黑板上写着3个数9、18、27，老师请一些同学上黑板对这3个数进行操作，进行一 次操作是指：把3个数进行如下变化，一些数减1、其他数加2；或者都减1；或者都加2；请 问： (1)能否经过若干次操作后得到11、12、13? (2)能否经过若干次操作后得到8、8、8？ 答案：
是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢?
答案：
例题讲解
mathematics
练习2：能否将1至41排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数? 答案：
例题讲解
mathematics
例题3：有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(每次这个数目可以改变)， 也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中，请问： (1)如果开始时，3堆石子的数目分别是34、55、82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? (2)如果开始时，3堆石子的数目分别是80、60、50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光? 如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由. 分析：每次从这三堆中同时拿走相同数目的石子意味着每次拿走的石子数是3的倍数，所
跃峰奥数PPT8组合构造1-6(特例归纳之局部高斯排法)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合构造1-6（特例归纳之局部高斯排法）●冯跃峰本讲内容本节为第8板块（组合构造）第1专题（特例归纳）的第6小节（局部高斯排法），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、流畅、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【组合构造（特例归纳）】所谓特例归纳，就是先研究n取一些特殊数值的情况下的构造，由此迁移到一般情形n的构造。
通常有以下3种方式：三种归纳方式（1）逐一试验尝试多个特例：n=1，2，…发掘相邻构造的关系。
（2）穷举构造对某个特例n=n，考察所有可能的构造，优选其“好的”。
（3）换元改造先构造一个合乎要求的特例，然后将某些元素更换表现形式，使之具有一般性。
本小节介绍“逐一试验”的相关例子。
【构造1-6】是否存在1，2，…，2005的一个排列a1，a2，…，a2005，使得f（n）=n+a n（n=1，2，…，2005）都是完全平方数？（中等数学2005年10月号问题162）【题感】从目标看，属于探索性问题【1】。
这通常假定结论是肯定的，由此得出若干性质。
进而由性质导出矛盾（反面推理模式）；或由性质指导构造（先满足若干必要条件）。
从规则看【1】，只要求排列：a1，a2，…，a2005满足f（n）=n+an都是完全平方数，并不要求各平方数互异。
小学奥数 构造与论证 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题．知识点说明 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．知识点拨知识点拨教学目标构造与论证所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 (1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
云南省丽江市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
云南省丽江市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是________；第三是________．2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）三个小朋友跳绳，分别跳了65下、60下和56下，他们三人各跳了多少下?4. （5分）怎样使用最简单的方法使X+I=IX等式成立？5. （10分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？6. （5分）一个盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球各20个．最少要拿几个球，就能保证有两对同色的球？最少要拿出几个球，就能保证有3对同色的球？解答了前两个问题，你发现有什么规律吗？你能根据规律迅速地写出要保证有4对同色的球，最少要拿出多少个球吗？(所谓“同色的球”指的是每对中的两个球同色，不是指所有取出的球同色)7. （5分）四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。
陆老师问：“是谁打破了玻璃？”宝宝说：“是星星无意打破的。
”星星说：“是乐乐打破的。
”乐乐说：“星星说谎。
”强强说：“反正不是我打破的。
”如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？8. （10分） 5只鸡，5天生了5个蛋。
小学奥数系列8-6-1构造与论证及参考答案
小学奥数系列8-6-1构造与论证一、最佳安排和选择方案1. 一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是________颜色（填“黑”或者“白”）．2. 在黑板上写上、、、、……、，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数和，然后写上它们的差（大数减小数），直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？3. 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?4. 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?5. 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：（1）某2堆石子全部取光?（2） 3堆中的所有石子都被取走?6. 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？7. 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?8. n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1） n=4是否可能？（2） n=5是否可能？9. 如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。
五年级数学思维训练导引(奥数)第16讲 构造论证一
第十六讲构造论证一1．如图16-1，用l×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）就把整个3x3的棋盘控制了．为了控制一个4x4的棋盘至少要放几个皇后？3．图16-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？5．把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？6．请在9，8，…，3，2，1的相邻两个数之间填入“+”或者“－”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0呢？9 8 7 6 5 4 3 2 l =l9 8 7 6 5 4 3 2 1 =07．如图16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由．8．四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场．这四位同学回答分别比了1、2、3、3场，老师说：“你们肯定有人记错了．”请问：老师是怎么知道的呢？9．有四个算式：□+□=□，□一□=□，□×□=□，□÷□=□．如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？10.有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，…，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．1．图16-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．2．小明买来一个1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7块，使得无论是3个人还是5个人平分，都不必再分割蛋糕．这7块蛋糕的重量分别是多少？3．有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的，已知假珍珠比真的要轻，请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里有l颗假的呢？请设计出方案．4．图16-7中，左边是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线．用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度．右图为一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从l至9厘米中任意整数厘米的长度．5．请将8个1，8个0填入图16-8的16个空格中，使得每行、每列的4个数之和都是奇数．6．有一列自然数，其中任意3个相连的数之和都不小于6，而任意4个相连的数之和都小于8．这个数列最多能有几项？7．用7个相同的数字并且适当使用加、减号，可以计算出1000，例如1111 -111=1000.试用8个相同的数字（并且适当使用加号、减号）来计算1000.8．有12根小木棍，长度分别为1，2，3，4，…，12厘米．(1)能否用这1 2根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲；(2)能否用这12根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都得用上且不能折断或弯曲．9．(1)请在1，2，3，…，19，20的相邻两个数之间填入“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使得结果是0．(2)能否在1，2，3，…，20，21的相邻两个数之间填入“+”或者“一”（不能改变数的顺序），使得结果是0．10.有5个亮着的灯泡，每个灯泡都由一个开关控制．每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态，能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗？11.桌上放有5张卡片，小悦先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5，然后冬冬在背面也分别写上1、2、3、4、5，写完后计算每张卡片上两数之和，再把5个和相乘．问：冬冬能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？12.将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数．请问：这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于9997如果能，请举出例子；如果不能，请说明理由．1．桌上放有5枚硬币，第一次翻动其中1枚，第二次翻动其中2枚，第三次翻动其中3枚，第四次翻动其中4枚，第五次翻动其中5枚．能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？如果桌上放有6枚硬币，按类似的方法翻动六次，能否找到一种翻动硬币的方法，使得最后所有的硬币都翻过来？2．甲、乙、丙、丁四个人，每个人都有一条消息．他们之间通过电话传递消息：当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲，请你设计一种方案，使得只需打电话4次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．3．天平称物体的原理是：在天平的左右两个托盘中放人物品和砝码，当天平平衡时，我们可以根据砝码的重量来知道物品的重量．(1)在某一类天平中，物品只能放在左边的托盘中，砝码只能放在天平右端的托盘中．至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出l至20克之间的任意整数克的物品？(2)在某一类天平中，砝码可以放在天平两端的托盘中，物品也可以放在两边的托盘中，那么至少需要准备多少个砝码，才能保证一次称出1至32克之间的任意整数克的物品？4．如图16-9所示，18个孩子站在24个方格中，每格最多站1人．要使得每行每列站的孩子数都是偶数．请在图中标出这些孩子的站法（只需给出一种站法即可）．5．如图16-10所示，有3个3×3的方格表，每个都已经填入了9个整数．如果将表中同一行或同一列的3个数加上相同的整数称为一次操作．问：(1)下列三个方格表中，是否有某个方格表能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数？若有请指出是哪个或哪个或哪些表格，若没有则说明理由；(2)是否有某些方格表能够通过若干次操作变得完全一样？若有请指出是哪个或哪些表格，若没有则说明理由．6．(1)能否将l、2、3、4、5围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？(2)能否将1、2、3、4、5、6、7围成一个圆圈，使得相邻两个数的差都是2或者3？7．旅店现在有9个单人间，10名旅客可能人住．这10名旅客每次有9个人同时入住，管理员想事先给每个人配一些钥匙，使得无论是哪9个人入住，总能正好入住这9个房间，而且不用找别人借钥匙．请问：最少需要多少把钥匙？8．如图16-11，在五角星图案中共有10个节点（用黑色实心圆点表示），以这些节点为顶点的三角形共有10个，现在将自然数l至10分别填在10个节点上，将每个三角形中三个顶点处所标数的和称为此三角形的“特征值”，请问：(1)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值均为偶数；(2)是否存在一种填数方法，使得每个三角形的特征值都能被3整除．能则举出例子，不能请说明理由.。
广东省佛山市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
广东省佛山市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环（每两个队之间都踢一场）比赛，每组的前两名可以出线.其积分方法为：每胜一场得分，平一场得分，负一场得分．当两个组的积分相同时，以净胜球数（总进球数减去总失球数的差）的多少来定名次，净胜球多的队排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那么这个队在小组赛中的积分是________分．2. （5分） (2020五下·汉寿期中) 35名学生分成甲、乙两队。
如果甲队人数为偶数，乙队人数为奇数还是偶数？如果甲队人数为奇数呢？3. （5分）三个小朋友跳绳，分别跳了65下、60下和56下，他们三人各跳了多少下?4. （5分）甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？5. （10分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间?6. （5分）教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．7. （5分）有A、B、C、D、E、F六人围一张圆桌而坐，已知E与C相隔一人并坐在C的右面（如图），D坐在A的对面，B与F相隔一人并坐在F的左面，F与A不相邻。
试定A、B、C、D、E、F的位置。
8. （10分） (2020五上·白云期末) 阅读全文后帮小雨解决以下问题：小雨分水果：一共有60个樱桃，小雨自己留下10个，剩下的分给三个小朋友，每个小朋友可以分到几个？小雨打算这样分：每个小朋友可分到：60-10=50（个）50÷3=16.66…（个）小雨想：如果按上面这样算，每个小朋友分到的就不是整数了，那么要把自己留下的樱桃调整成多少才能使每个小朋友分到的变为整数，而又与原来的数量最接近呢？请你帮小雨解决这个问题，并写出思考过程。
广西百色市数学小学奥数系列8-3-1逻辑推理(三)
广西百色市数学小学奥数系列8-3-1逻辑推理（三）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共33题；共117分)1. （5分）甲、乙、丙三人分别是二年级一班、二班、三班的学生，在学校运动会上，他们分别获得了跳高、百米赛跑和铅球冠军。
已知：二班的是百米冠军；一班的不是铅球冠军；甲不是百米冠军；乙既不是二班的也不是跳高冠军。
他们三人分别是哪个班的?获得了哪项冠军?2. （5分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．3. （5分）老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了．现在知道：⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）．问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？4. （5分）想一想，小动物们怎样才能过河？只有下面两艘船，5只小动物要同时过河，该怎样乘船？5. （5分）张老师把红、白、蓝三种颜色的气球分给三位小朋友，根据下面的对话，你能猜出他们分到的各是什么颜色的气球吗?6. （5分）有三个盒子，甲盒装了两个克的砝码，乙盒装了两个克的砝码，丙盒装了一个克、一个克的砝码．每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的．聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了．你知道这是为什么吗？7. （1分）动物村开运动会，在1000米跑比赛中，小马比小鹿跑得慢，小马不如小兔跑得快，小鹿比小兔跑得快．小朋友，请你当裁判，金牌应该发给________？8. （1分）甲、乙、丙、丁四个人在一场比赛中排在前四名，已知丁的名次并不高，但他比乙、丙名次高，而丙的名次也比乙高，则：甲第________；乙第________；丙第________；丁第________。
广西南宁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
广西南宁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分） (2019六下·蓝山期中) A、B、C、D、E五位小朋友之间进行象棋比赛，每两个人都要比赛一场．到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了________场．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分） 4名小朋友丁丁、淘气、冬冬、笑笑站成两排、两列，丁丁和淘气在左面一列，淘气不在第一排。
冬冬在淘气的旁边，这4名小朋友是怎样站的？4. （5分）小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。
问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？5. （10分）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。
一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的，但不知哪一个姓王，哪一个姓李，哪一个姓刘。
只知道姓刘的不喜欢穿红色的，姓王的既不穿红裙子，也不穿花裙子。
你能猜出这三个女孩各姓什么吗？6. （5分）任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．7. （5分）分配角色二年级二班同学们开班会，张强、王刚、李红、刘丽分别担任主持人、歌唱演员、相声演员。
李红的歌唱得很好，张强不是相声演员又不会跳舞，刘丽只会跳舞。
你知道他们可能担任什么角色吗?画一个表来帮助你分析，把你知道的信息记录下来。
张强担任（），王刚担任（），李红担任（），刘丽担任（）。
8. （10分）买一双高级女皮鞋要214元5角6分钱，请问买一只要多少钱？9. （5分）小王、小李、小张的职业是医生、教师、司机中的一种．小王不会开车，小张从不给人看病，小李在学校上班．通过上面几句话可以知道他们三人的职业吗？（先根据题意列表，再解答）10. （2分）把红色、绿色、黄色和蓝色的小棒各8根混在一起。
小学六年级奥数天天练：构造与论证
小学六年级奥数天天练：构造与论证教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时，第一堆有_89块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子.问能否做到：
(1)某2堆石子全部取光?
(2)3堆中的所有石子都被取走?
【答案】
(1)可以，如(_89，989，89) (__，9_，0) (950，9_，950)
(50，0，50) (25，25，50) (O，0，25).
(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变.
现在共有_89+989+89=3_7，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走.
小学六年级奥数天天练：构造与论证.到电脑，方便收藏和打印：。
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广西南宁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！
一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)
1. （1分）请根据甲、乙、丙三人说的话判断他们年龄的大小，①甲：我比乙大3岁；②乙：我比丙小2岁；
③丙：我比甲小1岁，判断________＞________＞________
2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根，最下层有20根。
（1）这堆原木堆放了多少层?
（2）一共有多少根原木?
3. （5分）甲、乙、丙、丁在谈论他们及他们的同学何伟的居住地．
甲说：“我和乙都住在北京，丙住在天津．”
乙说：“我和丁都住在上海，丙住在天津．”
丙说：“我和甲都不住在北京，何伟住在南京．”
丁说：“甲和乙都住在北京，我住在广州．”
假定他们每个人都说了两句真话，一句假话．问：不在场的何伟住在哪儿？
4. （5分）张强、王明、李红三个同学都喜欢球类运动．他们分别喜欢足球、篮球和乒乓球．
已知：
①没有两个人喜欢同一种球．
②张强不喜欢足球．
③喜欢篮球的同学比李红小．
④张强比喜欢乒乓球的同学大一岁．
你知道这三位同学分别喜欢哪项球类运动吗？
5. （10分）四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？
6. （5分）任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数（单独一个数也当做和）．
7. （5分）五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的岁，最小的岁，最大的女孩比最小的男孩大岁，最大的男孩比最小的女孩也大岁，求最大的男孩的岁数．
8. （10分）某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。
甲判断：不是铁，也不是铜。
乙判断：不是铁，而是锡。
丙判断：不是锡，而是铁。
经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。
你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？
9. （5分）在路上，它翻了一个跟斗，接着又翻了一次（猜4字成语）?
10. （2分）张老师说北京市的所有人中一定有两个人头发根数一样多．你觉得张老师说的话有道理吗？为什么？(人的头发约有十万根)
11. （5分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，使两个人的回答相同吗？
这个问题可以是
12. （5分）甲，乙，丙，丁四个同学中有两个同学在假日为街道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下．甲：“丙、丁两人中有人做了好事．”
乙：“丙做了好事，我没做．”
丙：“甲、丁中只有一人做了好事．”
丁：“乙说的是事实．”最后通过仔细分析调查，发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事
实有出入．到底是谁做了好事？
13. （5分）有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。
14. （5分）、、、、五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定胜者得分，负者不得分，已知比赛结果如下：① 与并列第一名② 是第三名③ 和并列第四名。
求得多少分？
15. （5分）将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二，需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢？
16. （5分）刘老师、李老师和张老师三位老师中一位教语文，一位教数学，一位教英语。
请你根据下面的对话判断这三位老师各教什么学科。
(仿练教材第110页思考题)
17. （5分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果）
18. （5分）四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。
陆老师问：“是谁打破了玻璃？”
宝宝说：“是星星无意打破的。
”
星星说：“是乐乐打破的。
”
乐乐说：“星星说谎。
”
强强说：“反正不是我打破的。
”
如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？
19. （5分）三（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢局得分，输局倒扣分，平局各得分．小晴共参加了局比赛，结果胜了局，平了局，那么小晴的最后得分是多少？
20. （5分）老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了．现在知道：
⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；
⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；
⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；
⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；
⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）．
问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？
二、染色与赋值问题 (共12题；共65分)
21. （5分）学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分，如果大明得分，且知他有个球没有投进，那么大明共投了几个球？
22. （5分）老师在3个小箱中各放一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球．
小明说：“ 号箱中放的是黄色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是红色的．”
小亮说：“ 号箱中放的是橙色的，号箱中放的是黑色的，号箱中放的是绿色的．”
小强说：“ 号箱中放的是紫色的，号箱中放的是黄色的，号箱中放的是蓝色的．”
小佳说：“ 号箱中放的是橙色的，号箱中放的是绿色的，号箱中放的是紫色的．”
老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余的三人都只猜对一个．”
那么号箱子中放的是________色的球．
23. （5分）三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多，其次是第二名，第三名得分最少。
各科都是如此记分.已知甲最后得分，乙最后得分，丙也是得分.并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？
24. （5分）一口井7米深，有只蜗牛从井底往上爬，白天爬3米，晚上往下坠2米。
问蜗牛几天能从井里爬出来？
25. （5分）三张分别写有2，1，6的卡片，能否排成一个可以被43除尽的整数？
26. （5分）小亮、小敏、东东、小华都称了体重，而记录单上只记录了29.38千克，31.26千克，30.56千克，28.34千克，但从表面上估计小亮比东东轻，又比小敏重，并且小华比小敏轻。
（1）按体重从重到轻排列：________千克＞________千克＞________千克＞________千克
（2）按体重从轻到重排列（填名字）：________＜________＜________＜________
（3）你知道他们四个人的体重各是多少吗？
（4）如果31.26千克改为29.78千克，你知道他们四个人的体重各是多少吗?
27. （5分）王老师、李老师和张老师分别教足球、信息、美术中的一门学科。
王老师不是美术老师，李老师从不在操场上课，张老师上课经常用电脑。
他们分别是哪一学科老师?(画“√”)
足球信息美术
王老师
李老师
张老师
28. （10分）“上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如，，等），上升数不包括一位数。
求所有上升数的个数。
29. （5分）王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？
30. （5分）张红因病在家休息了几天，这期间的气候是：⑴下了8次雨，时间是上午或下午；⑵当下午下雨时，当天上午是晴天；⑶有9个下午是晴天；⑷有13个上午是晴天。
问她一共在家休息了几天？
31. （5分）篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上，还有一个不知掉到哪去了，飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里，又吃了一个，请问篮子里还剩下几个苹果？
32. （5分）什么时候，四减一等于五？
参考答案
一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)
1-1、
2-1、
2-2、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
二、染色与赋值问题 (共12题；共65分)
21-1、
22-1、
23-1、
24-1、
25-1、
26-1、
26-2、
26-3、
26-4、
27-1、
28-1、
29-1、
30-1、
31-1、32-1、。