六年级奥数.杂题.构造与论证(ABC级).教师版

（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.

（2） 利用基本染色去解决相关图论问题．

各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

一、 最佳安排和选择方案

【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到

第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；

最后将第1卷和第2卷对调即可．

所以，共需调换4+3+2+1=10次．

例题精讲

重难点

知识框架

构造与论证

【答案】10次

【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．

本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．

【答案】偶数

【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有

10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一

场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜

几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答

【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．

当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得

10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛

共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111

3

，推知，必

有人得分不超过11分.

也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

【答案】胜3场

【巩固】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，

平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n =4是否可能？

（2）n =5是否可能？

【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 （1）我们知道4个队共进行了2

4C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为

24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，

所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

（2）我们知道5个队共进行25C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为25C ×2=20.

因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n =5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A 得2分，C 得3分，D 得4分，B 得5分，E 得6分.其中“A B ”表示A 、B 比赛时，A 胜B ；“B --C ”表示B 、C 比赛时，B 平C ，余下类推.

【答案】（1）不可能 （2）可能

【例 3】 如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任

意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M .求M 的最小值并完成你的填图.

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)=275．

每次和都小于等于朋，所以10M大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为1，这样从1填起，容易排出适当的填图.

【答案】

【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【关键词】2009年，清华附中，入学测试

【解析】略．