小学奥数构造与论证第一讲

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小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）王红、陈阳、李玉分别参加了少年宫的合唱团、舞蹈队和乐队。

王红参加的不是舞蹈队，陈阳不在合唱团，李玉天天背着小提琴。

这三名同学分别在哪一个团队里?王红在________，陈阳在________，李玉在________。

2. （5分） (2020五下·汉寿期中) 35名学生分成甲、乙两队。

如果甲队人数为偶数，乙队人数为奇数还是偶数？如果甲队人数为奇数呢？3. （5分）小朋友们在比身高，三个小朋友的身高分别是142厘米、138厘米、145厘米。

仔细观察，在正确的答案下打“√”。

①小浩：②小玉：4. （5分）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。

一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的，但不知哪一个姓王，哪一个姓李，哪一个姓刘。

只知道姓刘的不喜欢穿红色的，姓王的既不穿红裙子，也不穿花裙子。

你能猜出这三个女孩各姓什么吗？5. （10分）小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。

太阳帽有三种颜色：红、黄、蓝。

他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。

6. （5分）证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

7. （5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得分，平者各得分，负者得分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？8. （10分）光明幼儿园有三个班。

根据下面三句话，请你猜一猜，哪个班人数最少？哪个班人数最多？①中班比小班少；②中班比大班少；③大班比小班多。

9. （5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？10. （2分）篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？11. （5分）(2018·江宁) 一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数。

贵州省贵阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

贵州省贵阳市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）小刚、小强和小丁在100米赛跑中取得了前三名的成绩。

已知小刚不是第一名，小强不是前两名。

第一名是________。

2. （5分）文老师到文化用品商店买奖品。

钢笔每支8元，笔记本每本4元。

她付给营业员100元，营业员找给文老师25元。

你能很快地判断找回的钱对吗？请说明理由。

3. （5分）王平、宋丹、韩涛三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴韩涛比大队长的成绩好．⑵王平和中队长的成绩不相同．⑶中队长比宋丹的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？4. （5分）给三个非常聪明的人各戴了一顶帽子．并且告诉他们，他们的帽子的颜色可能是红色的，也可能是蓝色的，没有其他颜色．且三人中至少有一个人的帽子是红色的．三人互相看了看，没有人能很快地说出自己戴的是什么颜色的帽子．三人又冥思苦想了一阵，几乎同时都猜到了自己戴了什么颜色的帽子．你知道他们三人各戴了什么颜色的帽子吗？请说明理由．5. （10分）浪费掉人的一生的三分之一时间的会是什么东西？6. （5分）在1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34中任选出7个不同的数，其中必有两个数的和为35.7. （5分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．8. （10分）有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水？9. （5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？10. （2分）在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是的倍数？11. （5分） A、B、C、D四人在一场比赛中得了前4名．已知D的名次不是最高，但它比B、C都高，而C的名次也不比B高．问：他们各是第几名？12. （5分）想一想，请你继续写！149________2536________________________噢！我发现了：________．13. （5分）甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员．已知：⑴甲不是辽宁人，乙不是广西人；⑵辽宁人不是演员，广西人是教师；⑶乙不是工人．求这三人各自的籍贯和职业．14. （5分）一个篮子里装着五个苹果，要分给五个人，要求每人分的一样多，最后篮子里还要剩下一个苹果，如何分（不能切开苹果）15. （5分）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。

(小学奥数)构造与论证

構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題．知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼於極端情形，或從整體把握．設計最佳安排和選擇方案的組合問題，這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小．解題時，既要構造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優性進行論證．論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計．組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼於極端情況，或從整體把握。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題。

若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題，這裏宜從特殊的點或線著手進行分析．各種以染色為內容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色．知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷．如果每次只能調換相鄰的兩卷，那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷，將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次，得到的順序為51234；現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次，得到的順序為54123；現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次，得到的順序為54312；最後將第1卷和第2卷對調即可．所以，共需調換4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009，現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009．然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮．所得的2009個和相加，便等於1～2009的所有數的總和的2倍，是個偶數．2009個數的和是偶數，說明這2009個數中必有偶數，那麼這2009個數的乘積是偶數．本題也可以考慮其中的奇數．由於1～2009中有1005個奇數，那麼正反兩面共有2010個奇數，而只有2009張卡片，根據抽屜原理，其中必有2個奇數在同一張卡片上，那麼這張卡片上的數字的和是偶數，從而所有2009個和的乘積也是偶數．【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下麵我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”)．【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補白子1枚，“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白，那麼此時拿出的白子數為0枚．可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚，而由於起初白子有200枚，是偶數枚，所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚，因此最後1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數123200820091004變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕．按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為不亮，或由不亮變為亮．如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態，由不亮變成亮．而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮．如果少於1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數，要麼不變．現在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場．為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加2分，每勝業餘選手一場加1分；專業選手每負一場扣2分，業餘選手每負一場扣1分．問：一位業餘選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時，如果只勝了另兩位業餘選手，那麼他得10+2-3=9(分)．此時，如果專業選手間的比賽均為一勝一負，而專業選手與業餘選手比賽全勝，那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位業餘選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業選手高．當一位業餘選手勝3場時，得分最少時是勝兩位業餘選手，勝一位專業選手，得10+2+2-2=12(分)．此時，三位專業選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業選手之間的三場比賽共得0分，專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分，34÷3=111，推知，3必有人得分不超過11分.也就是說，一位業餘選手勝3場，能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽，比賽採用單迴圈制，即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊至少勝一場，並且所有各隊的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個隊共進行了24C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場，所以得分最低的4隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以4個隊得分最少2+3+4+5=14＞12，不滿足.即n=4不可能。

河北省保定市小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省保定市小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加推铅球比赛，通过抽签决定出赛顺序．在未公布顺序前每人都对出赛顺序进行了猜测．甲猜：乙第三，丙第五．乙猜：戊第四，丁第五．丙猜：甲第一，戊第四．丁猜：丙第一，乙第二．戊猜：甲第三，丁第四．老师说每人的出赛顺序都至少被一人所猜中，则出赛顺序中，第一是________；第三是________．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）一个数若去掉前面的第一个数字是11，去掉最后一个数字为50，原数是多少？4. （5分）四个孩子老孙和老陈两家都有两个年龄不到9岁的男孩，四个孩子的年龄各不相同．一位邻居这样介绍：①小明比他哥哥小3岁．②海涛的年龄最大．③小峰的年龄恰好是老陈家其中一个孩子的年龄的一半．④奇志比老孙家第二个孩子大5岁．⑤他们两家五年前都只有一个孩子．谁是哪一家的孩子？每个孩子的年龄各是多少？5. （10分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间?6. （5分）一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色，至少有三个面是同一颜色。

为什么？7. （5分）将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二，需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢？8. （10分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．9. （5分）从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。

奥数讲义-数论--综合-第1讲stu

第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

河北省邯郸市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

河北省邯郸市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分） 5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得________分．2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分） 22名家长(爸爸或妈妈，他们都不是老师)和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有一名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人?4. （5分）张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？5. （10分）名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的？6. （5分）某次数学竞赛有6个同学参加，总分是547分，则至少有一个同学的得分不低于92分．为什么？7. （5分）(2011·广州模拟) 某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？8. （10分）去年学而思杯颁奖大会上，很多同学都过来领奖了。

浙江省台州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

浙江省台州市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共19题；共98分)1. （1分）六年级四个班进行数学竞赛，小明猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名．小华猜想比赛的结果是：班第一名，班第二名，班第三名，班第四名．结果只有小华猜到的班为第二名是正确的．那么这次竞赛的名次是________班第一名，________班第二名，________班第三名，________班第四名。

2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）一位法官在审理一起盗窃案中，对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问．四人分别供述如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中．”乙说：“我没有作案，是丙偷的．”丙说：“在甲和丁中间有一人是罪犯．”丁说：“乙说的是事实．”经过充分的调查，证实这四人中有两人说了真话，另外两人说的是假话．同学们，请你做一名公正的法官，对此案进行裁决，确认谁是罪犯？4. （10分）一个挂钟敲六下要30秒，敲12下要几秒？5. （5分）求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．6. （5分）什么时候，四减一等于五？7. （10分）传说有个说谎国，这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话，在星期一、二、三说假话；女人在星期一、二、三、日说真话，在星期四、五、六说假话．有一天，一个人到说谎国去旅游，他在那里认识了一男一女．男人说：“昨天我说的是假话”，女人说：“昨天也是我说假话的日子”．这下，那个外来的游人可发愁了，到底今天星期几呢？请同学们根据他们说的话，判断一下今天是星期几呢？8. （5分）从A，B，C，D，E，F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。

根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（1）A，B两种产品中至少选一种；（2）A，D两种产品不能同时入选；（3）A，E，F三种产品中要选两种；（4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（5）C，D两种产品中选一种；（6）若D种产品不入选，则E种也不能入选。

第01讲构造论证二-高思数学_6年级下第一讲构造论证二

在现实生活中，我们经常需要自己设计一些方案来解决问题，设计方案的过程就是构造．但仅仅构造出一种方案是不行的，我们还要对方案的可行性进行分析，严格的讨论方案的正确与否，有的时候还需考虑方案是否最优，这个过程就是论证．构造与论证经常是合在一起的，没有构造出方案，也就无从论证，但仅仅构造出方案也是不行的，我们还需要证明方案是正确的．很多时候，构造论证问题都和最值问题结合在一起，这时我们就需要找到最优解．分析要破坏一个三角形，只需去掉三角形的一条边就可以了，但要求我们去掉的线段最少，那么我们就应该更多地去掉多个三角形的公共边，那么去掉多少个边才行呢？练习1. 如图33×的表格中，最少去掉多少条线段，才能使图中没有正方形？很多问题中，不仅需要构造出方案，还需要讨论方案是否正确，有的时候还需要论证方案是否存在．下面我们来看这样的一道问题．分析（1）对于1~15的数来说，能凑成平方数的情况并不多．我们可以从这里入手分析．同学们尝试一下看能不能得到一种合适的方案．线段．请问：这5（2）注意到除了2以外，质数只能是奇数，那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢？练习2.能否将1至12重新排列，使得任意相邻两数的和都是质数？如果能请写出一组，如果不能请说明理由．构造论证的问题中，经常会用到很多其他的知识，例如数论的分析、抽屉原理、奇偶性分析等．分析我们从第一页开始考虑．如果第二篇故事是奇数页开头的，那么第一篇故事一定是偶数页的，如果第三篇故事是奇数页开头的，那么前两篇的和一定是偶数页的，而故事最多有几篇是奇数页开头的，就需要考虑前面几篇的和，最多有多少个是偶数．练习3. 一个数列有7项，每相邻两项作差，发现所得的6个差里面有3个是1，3个是2．问：这个数列中最多有几个奇数，最少有几个奇数？构造与论证中有一类操作问题，需要我们对已有的对象进行操作和变化，以期得到需要的结果，在解决这类问题的时候，一定要考虑问题是否可行，不要上来就开始操作．而在分析问题的可行性时，不变量经常是解决问题的关键．页各不相同．如果从书的第一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？最少有几篇？分析首先，同学们可以尝试着变化一下，看看能不能得到想要的结果，但在变化的过程中，能发现三个数有什么是没有变化的吗？怎么能说明是否能得到8、8、8呢？练习4. 黑板上写着9、18、27这三个数，老师现在请一些同学上黑板对这两个数进行操作，进行一次操作是指把两个数都进行如下变化：或者减2，或者加1．请问：能否经过若干次操作后得到11、12、13？能否经过若干次操作后得到8、8、8？下面我们来看一下构造与论证中常用的方法——染色法．我们举个例子来说明：在一个55×的方格表（图1）中放入25枚棋子，每格1枚；接着将所有棋子都移动到相邻方格中，且仍然每格1枚，能否办到？答案是不能．如果用一般的方法来说明将会变得非常复杂，但如果我们将方格阵按照如图2的方式染色，那么将所有棋子都放入到相邻的位置中，一定是黑格的棋子进白格，白格的棋子进黑格，但是共有13个黑格，只有12个白格，黑格的棋子不可能全部转移，所以我们的要求是达不到的．通过例子，同学们对于染色法有了初步的了解．但在实际的问题中，我们要根据题目的要求采用不同的染色方式，同学们一定要在做题的过程中积累不同的染色方法，这样才能做到有备无患．黑板对这三个数进行操作，进行一次操作是指把三个数都进行如下变化：者减若干次操作后得到 21分析碰到这样的问题，我们首先要考虑的是能不能填出，而不是一上来就去试，这时就需要我们进行染色分析了．同学们可以先尝试一下黑白相间染色，论述一下是否成立？如果成立，那就需要找到一种合适的拼法．练习5. （1）能否用12个如图1所示的“T 型”拼成一个68×的长方形？（2）能否用12个如图2所示的“L 型”拼成一个68×的长方形？（3）能否用8个如图1所示的“T 型”和4个如图2所示的“L 型”拼成一个68×的长方形？棋盘？拼成一个图212本讲知识点汇总一、构造合理的方案．二、奇偶性的分析方法．三、操作中的不变性．四、经典的染色问题．作业1.如图，平面上有9个点，他们之间连着16条线段，从而围出了8个三角形．请问：至少要去掉多少条线段，才能使得其中没有以这9个点为顶点的三角形？2.能否将1~15排成一行，使得任意相邻两数之差都为质数？3.（1）能否将1 ~ 7这7个数放在一条直线上，使得任意三个相邻数的和都不大于12？（2）能否将1 ~ 7这7个数放在一个圆圈上，使得任意三个相邻数的和都不大于12？4.黑板上写着两个数9、99，现在老师请一些同学上黑板对这两个数进行操作是指把两个数都进行如下变化：或者减1，或者加3．请问：能否经过若干次操作后得到11、22？能否经过若干次操作后得到1、11？能否经过若干次操作后得到2、22？5.（1）能否用若干个图2的“L型”不重叠地拼出图1？（2）能否用若干个图3的“L型”不重叠地拼出图1？第1题1 2 3第5题。

内蒙古通辽市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

内蒙古通辽市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比赛，每场比赛胜者得分，负者得分，平局两队各得分．比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是________分．2. （5分）三个连续偶数的和是54，这三个偶数分别是多少？3. （5分）王老师带着阳阳、小宇、小力、小颖和贝贝围成一圈做游戏(如下图)，贝贝在王老师对面，王老师的两边是小力和小颖，小宇在贝贝的左边，小力正好在小宇对面．你能把他们的名字写在括号里吗？4. （5分）将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二，需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢？5. （10分）有一个骗子和一个老实人，骗子永远讲假话，老实人永远讲真话，你能提出一个尽量简单的问题，使两个人的回答相同吗？这个问题可以是6. （5分）任意10个正整数，每一个都用9来除，其中必有两个余数相同．请说明你的理由．7. （5分）买一双高级女皮鞋要214元5角6分钱，请问买一只要多少钱？8. （10分）小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。

现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。

问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？9. （5分）在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？10. （2分）一个袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球若干，如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后剩2个.这个袋中至少有多少个小球？一次至少取几个小球可以保证有两个是同色的？11. （5分）学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分，如果大明得分，且知他有个球没有投进，那么大明共投了几个球？12. （5分）小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。

5年级奥数秋季同步课程-13 构造论证(一)

构造论证（一）主讲：五豆
方案设计奇偶分析
方案设计
方案设计
【例题】有4颗外形完全相同的珍珠，其中3颗是真的，另1颗是假的。

已知假珍珠比真的要轻，请问：用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠？如果是9颗珍珠里，有1颗假的呢？请找出称量次数最少的方案。

方案设计
【例题】下图是一把长为6厘米的直尺，其中已标出2条刻度线。

用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度。

现有一把长为9厘米的直尺，请你在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度。

1厘米3厘米2厘米
【例题】有12根小木棍，长度分别为1、2、3、4、⋯、12厘米。

方案设计
（1）能否用这12根小木棍拼成一个长方形，要求木棍都用上且不能折断和弯曲；2根小木棍拼成一个正方形，要求木棍都用上且不能折断和弯曲。

奇偶分析
奇偶分析
【例题】能否在1，2，3，⋯，19，20的相邻两个数之间填上“+”或“−”（不能改变数的顺序），使得结果是0。

奇偶分析
【例题】能否在1，2，3，⋯，20，21的相邻两个数之间填上“+”或“−”（不能改变数的顺序），使得结果是0。

奇偶分析
【例题】桌上放有7张卡片，小高先在卡片的正面分别写上1、2、3、4、5、6、7，然后小娅在背面也分别写上1、2、3、4、5、6、7 。

写完后计算每张卡片上两数之和，再把7个和相乘。

问：小娅能否找到一种写法，使得最后的乘积是奇数？为什么？
中小学数学精品视频课程。

宁夏中卫市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

宁夏中卫市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）王红、陈阳、李玉分别参加了少年宫的合唱团、舞蹈队和乐队。

王红参加的不是舞蹈队，陈阳不在合唱团，李玉天天背着小提琴。

这三名同学分别在哪一个团队里?王红在________，陈阳在________，李玉在________。

2. （5分）有10张，卡片分别标有从2开始的10个连续偶数。

如果将它们分成5组，每组两张，计算同组中两个偶数和分别得到①34，②22，③16，④30，⑤8。

那么每组中的两张卡片上标的数各是多少？3. （5分）三个小朋友跳绳，分别跳了65下、60下和56下，他们三人各跳了多少下?4. （5分）想一想，请你继续写！149________2536________________________噢！我发现了：________．5. （10分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．6. （5分）“华罗庚”杯数学竞赛获奖的87名学生分别来自12所小学。

试说明至少有8名学生来自同一所学校。

7. （5分）一个乡村小学，A、B、C三位老师共同承担全校语文、数学、品德、体育、音乐、美术六门课，每人教两门．根据下列条件判断他们分别教哪两门课．①A喜欢和体育老师、数学老师游泳．②B和音乐老师、语文老师都喜欢踢足球．③体育老师比语文老师年龄大．④B不是体育老师．⑤品德老师和数学老师喜欢下棋．(提示：是某个学科的老师就在下面用“√”表示，不是就用“×”表示，根据上面的条件，填写下表．)8. （10分）一斤白菜5角钱，一斤萝卜6角钱，那一斤排骨多少钱？9. （5分）老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了．现在知道：⑴小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；⑵小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；⑶小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；⑷小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；⑸小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的．另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）．问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？10. （2分）在米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于厘米．11. （5分）有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。

贵州省铜仁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

贵州省铜仁市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分） (2020二下·开福期末) 有黄球、白球、绿球各1个，丁丁、淘淘、平平3个小朋友每人分1个。

丁丁分到的是黄球，淘淘分到的不是白球。

那么，淘淘分到的是________球，平平分到的是________球。

2. （5分）对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止. 求经过9次操作变为1的数有多少个？3. （5分）以小胜大。

每人出3次牌，不准重复，小强先出牌，小明要想取胜，应该采用怎样的策略来应对？4. （5分）三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁．”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁．”李丽说：“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁．”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？5. （10分）甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。

赛前甲、乙、丙分别做了预测。

甲说：“丙第名，我第名。

”乙说：“我第名，丁第名。

”丙说：“丁第名，我第名。

”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？6. （5分）教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．7. （5分）甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说．他们在一起交谈可有趣啦：⑴乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；⑵甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；⑶乙、丙、丁找不到三人都会的语言；⑷没有人同时会日、法两种语言．请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？8. （10分）娟娟、可可、婷婷、佳佳四人画鸡，一人画1只，有黑公鸡、黑母鸡、白公鸡、白母鸡，又知：可可和娟娟的鸡都是黑色的，婷婷和娟娟画的都是母鸡，问：白公鸡是谁画的？9. （5分）在期末考试前，学生、、、分别预测他们的成绩是、、或，评分标准是比好，比好，比好．说：“我们的成绩都将不相同．若我的成绩得，则将得．”说：“若的成绩得，则将得．的成绩将比好．”说：“若的成绩不是得到，则将得．若我的成绩得到，则的成绩将不是．”说：“若的成绩得到，则我将得到．若的成绩不是得到，则我也将不会得到．”当期末考试的成绩公布，每位学生所得到的成绩都完全符合他们的预测．请问这四位学生的成绩分别是什么？10. （2分）某小学即将开运动会，一共有十项比赛，每位同学可以任报两项，那么要有多少人报名参加运动会，才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的比赛项目相同?11. （5分）小白买了一盒蛟香，平均一卷蛟香可点燃半个小时。

陕西省延安市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

陕西省延安市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）请根据甲、乙、丙三人说的话判断他们年龄的大小，①甲：我比乙大3岁；②乙：我比丙小2岁；③丙：我比甲小1岁，判断________＞________＞________2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次，填出空格里缺少的数。

224314. （5分）三个孩子吃三个饼要用3分钟，九十个孩子九十个饼要用多少时间?5. （10分）甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长．一次数学测验，这三个人的成绩是：⑴丙比大队长的成绩好．⑵甲和中队长的成绩不相同．⑶中队长比乙的成绩差．请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？6. （5分）某校六年级有367名学生，有没有两名学生的生日是同一天？为什么？7. （5分）振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得分，投不进倒扣分．小亮投了个球，投进了个．那么，他应该得多少分？8. （10分）四对夫妇坐在一起闲谈．四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍．四对夫妇共吃了个梨．问：丙的妻子是谁？9. （5分）宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳的高⑵跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影⑶短跑健将请小画家画贺年卡⑷数学博士和小画家关系很好⑸贝贝向大作家借过书⑹聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？10. （2分）在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．11. （5分）一斤白菜5角钱，一斤萝卜6角钱，那一斤排骨多少钱？12. （5分）东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另一个人胜了几场？13. （5分）三年级一班新转来三名学生，班主任问他们三人的年龄．刘强说：“我12岁，比陈红小2岁，比李丽大1岁．”陈红说：“我不是年龄最小的，李丽和我差3岁，李丽是15岁．”李丽说：“我比刘强年岁小，刘强13岁，陈红比刘强大3岁．”这三位学生在他们每人说的三句话中，都有一句是错的．请你帮助班主任分析出他们三人各是多少岁？14. （5分）一次数学考试，共六道判断题．考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“ ”．记分的方法是：答对一题给2分；不答的给1分；答错的不给分．已知、、、、、、七人的答案及前六个人的得分记录在表中，请在表中填出的得分．并简单说明你的思路．15. （5分）浪费掉人的一生的三分之一时间的会是什么东西？16. （5分）四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得分，负者不得分，平局得分．比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名．已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？17. （5分），，，分别是中国、日本、美国和法国人.已知：⑴ 和中国人是医生；⑵ 和法国人是教师；⑶ 和日本人职业不同；⑷ 不会看病.问：，，，各是哪国人，18. （5分）先填一填，再说说我的新发现．观察表，我发现了：________19. （5分）在下面的方格中，每行、每列都有1～4这四个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。

内蒙古包头市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证

内蒙古包头市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分） (2019二上·江干期末) 丁丁、东东、乐乐三位小朋友分别获得不同数量的“数学之星”卡，乐乐比东东少3张，东东比丁丁多2张，________的“数学之星”卡最多，________的“数学之星”卡最少。

2. （5分）木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示)，每上一层都比原来一层少4根。

已知最上层有4根，最下层有20根。

（1）这堆原木堆放了多少层?（2）一共有多少根原木?3. （5分）甲、乙、丙三人进行田径比赛，比赛项目有60米、100米、200米、跳高、跳远五项，已知每项第一名、第二名、第三名各得5分、2分、1分。

乙200米得第一名。

比赛结束后，每人的总得分是：甲得22分，乙、丙各得9分，想一想，这三人在五项比赛中各得到多少分？4. （5分）四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。

陆老师问：“是谁打破了玻璃？”宝宝说：“是星星无意打破的。

”星星说：“是乐乐打破的。

”乐乐说：“星星说谎。

”强强说：“反正不是我打破的。

”如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？5. （10分）甲和乙做猜数的游戏。

首先，甲在纸上写个各位数字都不同的四位数，写好后将纸翻过来。

不让乙看到，然后让乙猜这个四位数的各位数字。

如果数字和位数都猜对了就是○，如果数字对而位数不对就是△。

例如：甲写的是，乙猜的是，那么就是个○，个△。

请阅读以下对话并回答问题：乙：“我猜”，甲：“ 个○，个△。

”乙：“ ？”，甲：“也是个○，个△。