1.1-1.2平面直角坐标系和极坐标系(4-4)
平面直角坐标系与极坐标系的应用知识点总结
平面直角坐标系与极坐标系的应用知识点总结平面直角坐标系是二维几何中最基本的坐标系，它由两个垂直的轴构成，通常称为x轴和y轴。
平面直角坐标系可以用来描述平面上的点的位置，通过坐标(x,y)表示一个点在x轴和y轴上的投影长度。
而极坐标系则通过一个点到原点的距离和到正半轴的夹角来表示点的位置。
本文将总结平面直角坐标系与极坐标系的应用知识点。
一、平面直角坐标系的应用知识点1. 坐标的表示和计算：在平面直角坐标系中，点的位置可以通过坐标表示。
对于给定的点P(x,y)，x坐标表示点P在x轴上的投影长度，y坐标表示点P在y轴上的投影长度。
通过坐标的运算，可以计算出两点之间的距离、斜率等。
2. 直线方程：平面直角坐标系还可以用来表示直线的方程。
一般而言，直线的方程可以表示为y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为y轴截距。
通过直线的方程，可以确定直线的位置和性质。
3. 圆的方程：平面直角坐标系也可以用来表示圆的方程。
一般而言，圆的方程可以表示为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2的形式，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径。
通过圆的方程，可以确定圆的位置和性质。
4. 曲线的图像：平面直角坐标系可以通过曲线的方程来描绘曲线的图像。
通过对方程进行变形和求解，可以绘制出各种曲线的图像，如抛物线、椭圆、双曲线等。
二、极坐标系的应用知识点1. 坐标的表示和计算：在极坐标系中，点的位置可以通过距离和角度来表示。
对于给定的点P(r,θ)，r表示点P到原点的距离，θ表示点P到正半轴的夹角。
通过距离和角度的运算，可以计算两点之间的距离、夹角等。
2. 极坐标与直角坐标的转换：通过一些数学关系，可以将极坐标与直角坐标进行转换。
可以通过给定的极坐标(r,θ)计算直角坐标系下的点的坐标表示，也可以通过给定的直角坐标系下的点的坐标(x,y)计算极坐标的表示。
3. 曲线的方程：极坐标系也可以用来表示曲线的方程。
一般而言，曲线的方程可以表示为r = f(θ)的形式，其中r为极坐标系下点到原点的距离，f(θ)为关于θ的某个函数。
平面直角坐标系和极坐标
第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的建立为了确定平面上点的位置：（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。
反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点.由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。
就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。
我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。
根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II 象限内的是（—，+），第III 象限内的是（—，—），第IV 象限内的是（+，—）。
坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。
同理， 在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。
1.1-1.2平面直角坐标系和极坐标系(4-4)
0 . 因此，BE与CF互相垂直.
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
建立适当的极坐标系，写 出A,B,C,D,E的极坐标. (0≤θ＜2π)
办公 楼E
D实பைடு நூலகம்楼
C图书馆
120m 45° 60° A教 60m 学楼 B体育馆
50m
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A ( 3, 0 ), D (5, 4 3 ), B (6, 2 ), E ( 3, 19 6 ), C ( 3, 3 2 F (4, 3 ) )
P
y C
B
A
o
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 2 y 上， x 2 y
a 680 , c 1020 b c a 1020
2 2 2 2
a
2
b
2
1
P B
C o A
680
2
5 340
2 2
2
x
故双曲线方程为
x
2 2
y
680
x 680 即 P ( 680
题组一. 如图，写出各点的极坐标： 2 4 5 6 D •Q C •P • B A E 。 • • x O
F 4 3
在 图 中 描 出 点 P (3 ,
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 ) 5 D(5, ) 6 E(4.5, )
选修4-4第一章《平面直角坐标系与极坐标系》
学科教师辅导讲义学员编号：年 级： 辅导科目： 课时数：3 课 题平面直角坐标系与极坐标系教学目的1、 回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法2、 掌握极坐标系中刻画点的位置的方法。
3、 体会坐标系的作用4、 平面图形的伸缩变换及伸缩变换下的图形的变化规律。
教学内容一、 课前检测1．已知⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是 A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆 4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为A ．2sin =θρB ．2cos =θρC ．4cos =θρD ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为A 、正三角形B 、直角三角形C 、锐角等腰三角形D 、直角等腰三角形 参考答案：1、A 2、C 3、D 4、A 5、B 6、 D二、 知识梳理1、 平面直角坐标系：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3．极坐标系在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
高中数学选修4-4知识点(坐标系与参数方程)
这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引 入参数，也可把普通方程化为参数方程． 2．圆的参数方程
1．圆心在坐标原点，半径为 r 的圆的参数方程 如图圆 O 与 x 轴正半轴交点 M0(r，0)．
α α (t
为参数)
称为直线参数方程的标准形式，此时的参数 t 有明确的几何意义．
一般地，过点 M0(x0，y0)，斜率 k＝ba(a，b 为常数)的直线，参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt(t 为参
数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数 t 不具有标准式中参数的几何意义． 四 渐开线与摆线（了解）
x＝rsin φcos θ (2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为y＝rsin φsin θ ．
z＝rcos φ
第二讲：
第4页
一 曲线的参数方程
1．参数方程的概念 1．参数方程的概念
(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变
2．参数方程与普通方程的区别与联系 (1)区别：普通方程 F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，它含有
x，y 两个变量；参数方程xy＝ ＝fg（（tt））(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标 x，y 之间的关系，
它含有三个变量 t，x，y，其中 x 和 y 都是参数 t 的函数． (2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一
就可得到普通方程． (3)普通方程化参数方程，首先确定变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，
高中数学选修4-4习题(含答案)
统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。
曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。
直线的极坐标方程为：，点，参数．（I ）求点轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点到直线距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++= （2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为222=， 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+ 2、解：（Ⅰ）设，则，且参数，消参得：所以点的轨迹方程为（Ⅱ）因为所以所以，所以直线的直角坐标方程为法一：由（Ⅰ）点的轨迹方程为圆心为（0,2），半径为2．，点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和， 所以点到直线距离的最大值．法二：当时，，即点到直线距离的最大值为．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，t 为参数）.(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)设P 为曲线上的动点，求点P 到上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】 （1）对曲线：，，∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又，从而曲线的极坐标方程为。
《1.2.2 极坐标与直角坐标的关系》课件2-优质公开课-人教B版选修4-4精品
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3.能利用已知条件求出曲线方程.
-2-
2.1 极坐标系的概念 2.2 点的极坐标与直角
坐标的互化
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12
1.极 坐 标系的概念 (1)极坐标系的建立. 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从点 O 引一条射线 Ox,叫作极轴,选 定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面 极坐标系,简称为极坐标系. (2)点的极坐标的规定. ①如图所示,对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边的角,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实 数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ).
的坐标重合的是( ).
A.
5,-
π 3
B.
5,
4π 3
C.
5,-
2π 3
D.
5,-
5π 3
解析:与点 M重合的极坐标可以表示为
5,2������π
+π
3
(k ∈Z),即极径相等,
极角相差 2π 的整数倍.根据选项,当 k=-1 时,2kπ+π3=-2π+π3=-53π,即
平面直角坐标系与极坐标系
极坐标系在某些特定领域如物理学 和工程学中更常见，而直角坐标系 在数学和科学研究中更为通用。
汇报人：XX
极坐标系中的极径可以与平面直角坐标系中的距离概念相对应。
通过适当的变量转换，可以将平面直角坐标系中的函数表示为极坐标系中的函数。
区别
定义不同：平面直角 坐标系是二维坐标系， 而极坐标系是二维或 三维坐标系
变量不同：平面直 角坐标系的变量是x 和y，而极坐标系的 变量是r和θ
单位不同：平面直角坐 标系的单位是长度单位 ，而极坐标系的单位是 角度和长度单位
特点：平面直角坐标系是一种绝对位置描述方法，它可以用来描述平面内任意一点的准确位置。 通过坐标系的伸缩、平移和旋转等变换，可以描述物体的运动和变化。
应用：平面直角坐标系广泛应用于数学、物理、工程技术和地理等领域，是描述二维平面内物 体位置和运动的基础工具。
坐标表示方法
定义：平面直角坐标系由两条垂直相交的数轴构成，横轴为x轴，纵轴为y轴
极坐标的性质
极坐标系中，点用极角和极径 表示
极角是点在极坐标系中的角度， 范围是0到2π
极径是点在极坐标系中的距离， 范围是0到正无穷
在极坐标系中，线用极角表示， 面用极角和极径表示
联系
平面直角坐标系与极坐标系都是用来描述平面内点的位置的数学工具。
平面直角坐标系与极坐标系都由两个数来确定一个点的位置，这两个数被称为坐标。
坐标表示：任意一点P在平面上的位置可以用有序实数对(x, y)表示，其中x为点P到x轴的距离，y为点P到y轴的 距离
坐标原点：平面直角坐标系的原点O是两条数轴的交点，其坐标为(0,0)
象限划分：平面直角坐标系将平面分为四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限
平面直角坐标系与极坐标系的转换
平面直角坐标系与极坐标系的转换平面直角坐标系和极坐标系是数学中常用的两种坐标系，它们在不同的情境下具有不同的优势和应用。
理解和掌握这两种坐标系之间的转换方法，对于解决各种数学问题和实际应用至关重要。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是最常见的坐标系，也是我们日常中最常用的坐标系。
它由两个互相垂直的直线构成，其中一个直线被称为x轴，另一个直线被称为y轴。
这两个直线的交点被称为原点，用O表示。
我们可以用有序对(x, y)来表示平面上的任意一点，其中x表示从原点沿x 轴的水平距离，y表示从原点沿y轴的垂直距离。
平面直角坐标系的转换是相对简单的，我们可以根据已知的直角坐标(x, y)来计算出对应的极坐标(r, θ)。
其中r表示点到原点的距离，Θ表示点所在的极角。
转换方法如下：1. 计算距离r：r = √(x^2 + y^2)我们可以利用勾股定理来计算点到原点的距离。
通过计算x轴和y轴之间的直角三角形的斜边长度，即可得到距离r的值。
2. 计算极角θ：θ = arctan(y/x)极角θ可以通过计算直角三角形的夹角来得到。
利用反三角函数arctan的计算，我们可以得到y轴和x轴之间的夹角。
二、极坐标系极坐标系则是另一种常用的坐标系，特点是以点到原点的距离和点所在的极角来确定一个点的位置。
在极坐标系中，我们用有序对(r, θ)表示一个点，其中r为点到原点的距离，θ为点所在的极角。
在实际应用中，极坐标系常用于描述圆形、扇形等几何图形的位置和性质。
同时，在一些物理问题的求解中，采用极坐标系也能简化计算过程。
对于给定的极坐标(r, θ)，我们可以通过以下公式将其转换为平面直角坐标(x, y)：1. 计算x坐标：x = r * cos(θ)通过极角θ和距离r的乘积，我们可以计算出点在x轴上的坐标。
2. 计算y坐标：y = r * sin(θ)同样地，通过极角θ和距离r的乘积，我们可以计算出点在y轴上的坐标。
这样，我们就完成了从极坐标系到平面直角坐标系的转换。
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第1章 坐标系
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1.1 坐标系的作用
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1.2 平面直角坐标系中的伸缩变 换
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1.3 极坐标系
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1.4 极坐标与平面直角坐标的互 化
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0002页 0056页 0106页 0128页 0166页 0197页 0228页
第1章 坐标系 1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 1.4 极坐标与平面直角坐标的互化 1.6 球坐标系 2.1 从抛物运动谈起 2.3 圆锥曲线的参数方程 2.5 渐开线及其参数方程
极坐标与参数方程带答案(教师版)
选修4－4 坐标系与参数方程第一节 坐 标 系1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2．极坐标的概念 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，从O 点引一条射线Ox ，叫做极轴，选定一个单位长度和角及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系。
(2)极坐标：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)。
当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值。
(3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的。
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，或者－π＜θ≤π，那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了。
3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示。
(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ＞0，θ∈[0,2π))，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ4．常见曲线的极坐标方程1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程。
人教版高中数学选修4-4《1.2 极坐标系》
过程与方法
1.通过合作探究体 会数形结合、类比 的数学思想方法；
2.培养学生观察、 分析、比较和归纳 的能力； 3.培养学生从实际 情境中提出问题、 解决问题的能力。
情感态度与价值观
1.用生活实例，类比 直角坐标系，体会极 坐标系的好处，感觉 数学源于生活应用于 生活；逐步认识数学 的科学价值、应用价 值；
生 成
提 升
观察 思考
类比 归纳
合作 交流
展示 自我
教学过程 Add Your Text
概念 生成 情境 引入 定义 诠释
小结 自述
新知 应用
一、情景引入
观察员如何描述狙击目标的位置？
一、情景引入
观察员如何描述？狙击手如何操作？
一、情景引入
一点钟方向
距离485
二、生成概念
（ ρ，ѳ ） P
2.探究、自述小结方 式激发学生学习兴趣
教学重点 类比直角 坐标系， 合作探究
教学 重点
1极坐标 概念的生 成与诠释 2与直角 坐标的互 化
教学难点
教学 难点
通过实例 以问题启发
极坐标的 多值性
教法学法
情景 设疑 启发 引导 探 究 经 历 典例 剖析 巩 固 化 解 点拨 释疑 深 化
实 例
极坐标系
说课内容
教材分析 学情分析 目标分析 教学策略 教学过程 教学反思
教材分析
极坐标系
代数
坐标系
几何
平面直角坐标系
通过实例、类比思想，帮助学生理解 极坐标系的概念；
教学内容
通过自主探究完成极坐标系的建立， 能用极坐标刻画点的位置 完成与直角坐标的互化
为后面学习简单曲线的极坐标方程奠定基础
平面直角坐标系与极坐标系的转换知识点总结
平面直角坐标系与极坐标系的转换知识点总结平面直角坐标系和极坐标系是数学中常用的坐标系。
它们有各自的特点和用途。
在本文中，我们将对平面直角坐标系和极坐标系的转换知识点进行总结和介绍。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是最为常见和基础的坐标系之一。
它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。
在平面直角坐标系中，任意一个点都可以使用一对有序实数(x, y)来表示。
其中，x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
1. 坐标轴和象限平面直角坐标系中的x轴和y轴都是无限延伸的直线，且相交于原点O(0, 0)。
x轴分成正半轴和负半轴，正半轴向右延伸，负半轴向左延伸；y轴分成正半轴和负半轴，正半轴向上延伸，负半轴向下延伸。
根据点所在的位置，平面直角坐标系中的平面被分成四个象限。
第一象限为x轴和y轴的正半轴所在区域；第二象限为x轴的负半轴和y 轴的正半轴所在区域；第三象限为x轴和y轴的负半轴所在区域；第四象限为x轴的正半轴和y轴的负半轴所在区域。
2. 直角坐标与距离在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点间的距离d可以表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、极坐标系极坐标系是一种以点和点到原点的距离（极径）以及点与x轴正方向的夹角（极角）来表示平面上的点的坐标系。
在极坐标系中，一个点的坐标用(r, θ)表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与x轴正方向的夹角。
1. 极径和极角在极坐标系中，极径r是非负数，表示点到原点的距离。
极角θ是弧度制的角度，取值范围为[0, 2π)。
其中，θ=0表示正x轴方向，θ=π/2表示正y轴方向。
2. 极坐标与直角坐标的转换要将一个点的极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)，可以使用以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)同样地，要将一个点的直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)，可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，arctan是反正切函数，它的取值范围为[-π/2, π/2]。
人教课标版高中数学选修4-4：《极坐标系》教案-新版
1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。
平面直角坐标系与极坐标系的转换
平面直角坐标系与极坐标系的转换在数学中，平面直角坐标系和极坐标系是常见的两种坐标系。
它们各自具有不同的表达方式和使用场景，并且可以通过转换公式相互转换。
本文将以平面直角坐标系与极坐标系的转换为主题，介绍它们的定义、特点和转换方法。
一、平面直角坐标系的定义与特点平面直角坐标系是指在平面上通过两条相互垂直的坐标轴建立的坐标系。
一般来说，我们会选择水平方向为x轴，竖直方向为y轴，它们的交点为原点O。
在该坐标系下，任意点P可以用其对应的水平方向和竖直方向上的长度来表示。
在平面直角坐标系中，点P的坐标通常用有序数对(x, y)来表示，其中x为水平方向上的长度，称为横坐标；y为竖直方向上的长度，称为纵坐标。
横坐标和纵坐标的正负方向分别沿着x轴和y轴延伸。
二、极坐标系的定义与特点极坐标系是以原点O为起点，并以原点向任意点P所在的射线为基准，将点P的位置用径向长度r和与基准射线的夹角θ表示的坐标系。
在极坐标系中，坐标点的唯一性由半径r和极角θ确定。
极坐标系中，点P的坐标表示为(r, θ)，其中r为点P与原点O的距离，称为极径；θ为从基准射线逆时针旋转到射线OP所需的角度，称为极角。
极径r可以为正、零或负，而极角θ通常以弧度为单位，取值范围为[0, 2π)。
三、平面直角坐标系到极坐标系的转换要将平面直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标，可以利用以下公式进行计算：1. 计算极径r：r = √(x^2 + y^2)2. 计算极角θ：θ = arctan(y / x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。
四、极坐标系到平面直角坐标系的转换要将极坐标系中的点的坐标转换为平面直角坐标系中的坐标，可以利用以下公式进行计算：1. 计算横坐标x：x = r * cos(θ)2. 计算纵坐标y：y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
五、总结平面直角坐标系和极坐标系是数学中常见的两种坐标系。
平面直角坐标系与极坐标系的转换
平面直角坐标系与极坐标系的转换引言：在数学中，平面直角坐标系和极坐标系是两种常见的坐标系类型。
它们在不同的数学问题和物理应用中有各自的优势和用途。
本文将介绍平面直角坐标系和极坐标系的基本概念，以及它们之间的转换方法和应用。
一、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴组成的。
通常我们将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴。
平面上的任意一点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。
平面直角坐标系可以用于描述平面上的几何图形、函数关系、运动轨迹等。
二、极坐标系的基本概念极坐标系是通过一个原点O和一个从该点出发的射线构成的。
极坐标系中，点的位置由两个参数确定，即极径r和极角θ。
极径r表示点O到该点的距离，极角θ表示该点的极轴与射线之间的夹角。
通常我们将极径r的正方向与直角坐标系中的x轴的正方向相对应，将极轴的正向与x轴的正方向相同。
极坐标系常用于描述平面上的圆、圆环以及极坐标方程所对应的图形。
三、平面直角坐标系转换为极坐标系的方法将平面直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)有以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，r为点(x, y)到原点O的距离，即极径；θ为点(x, y)与x轴的夹角，即极角。
需要注意的是，由于反三角函数的多值性，θ的取值范围应限定在[-π, π]之间。
四、极坐标系转换为平面直角坐标系的方法将极坐标系中的点(r, θ)转换为平面直角坐标系中的点(x, y)有以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，r为点(r, θ)到原点O的距离，即极径；θ为点(r, θ)与x轴的夹角，即极角。
利用三角函数的定义，我们可以计算出x和y的值。
五、平面直角坐标系与极坐标系的应用平面直角坐标系和极坐标系在不同的数学问题和物理应用中有广泛的应用。
平面直角坐标系常用于平面几何、函数图像的绘制与分析、运动学等。
极坐标系的坐标变换和转换
极坐标系的坐标变换和转换极坐标系是一种二维平面坐标系，与笛卡尔坐标系相比，极坐标系更加适合表示圆形或环形物体。
极坐标系的坐标由两个参数描述，即径向距离和极角，其中径向距离表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。
在实际应用中，我们有时需要对不同的坐标系进行转换或变换，这就需要进行极坐标系的坐标变换和转换。
1. 极坐标系和直角坐标系的转换首先，我们需要将极坐标系转换成直角坐标系或将直角坐标系转换成极坐标系。
由于这两种坐标系的坐标表示方式不同，因此需要进行一定的计算才能实现坐标转换。
1.1 从极坐标系到直角坐标系的转换要将极坐标系中的坐标转换成直角坐标系中的坐标，需要用到三角函数：x = r cosθy = r sinθ其中，r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
通过以上公式，我们可以将极坐标系中的坐标转换成直角坐标系中的坐标，从而完成转换。
1.2 从直角坐标系到极坐标系的转换要将直角坐标系中的坐标转换成极坐标系中的坐标，需要用到反三角函数：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，r是点到原点的距离，θ是点与正半轴的夹角。
通过以上公式，我们可以将直角坐标系中的坐标转换成极坐标系中的坐标，从而完成转换。
2. 极坐标系的坐标变换坐标变换是指在原有的坐标系中进行变换，从而得到新的坐标系统。
极坐标系的坐标变换通常包括平移、旋转和缩放等操作，下面我们将详细介绍这些操作。
2.1 平移平移是指将整个坐标系在平面上向某个方向移动一定的距离，从而得到新的坐标系。
在极坐标系中，平移操作只会影响坐标系的原点，而不会改变半径的长度或角度的大小。
要进行平移操作，我们只需要将所有点的极坐标中的ρ值加上固定的平移量即可。
2.2 旋转旋转是指将整个坐标系沿着平面上的某个点旋转一定的角度，从而得到新的坐标系。
在极坐标系中，旋转操作会改变所有点的极角，但不会改变半径的长度。
要进行旋转操作，我们只需要将所有点的极角加上固定的旋转角度即可。
1.直角坐标系和极坐标系
数学选修4-4 坐标系和参数方程第一讲 直角坐标系和极坐标系【基础知识】1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
3.平面直角坐标系中的伸缩变换(0)(,){(0)(,)(,)x x P x y y u y u P x y P x y λλφφ'=⋅>'=⋅>''定义：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点对到应点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
4．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O 称为极点，射线OX 称为极轴。
）设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。
那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。
其中ρ称为极径，θ称为极角。
约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
5.负极径的规定：在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以去任意的正角或负角，当ρ＜0时，点M （ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM =ρ。
M （ρ，θ）也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 6．直角坐标与极坐标的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则cos ,sin .x y ρθρθ==222,tan (0).yx y x xρθ=+=≠ 【典型例题】例1 求下列点经过伸缩变换'2,'3x x y y =⎧⎨=⎩后的点的坐标： （1） （1，2）；（2） （-2，-1）.【分析】利用伸缩(0){(0)x x y u y u λλφ'=⋅>'=⋅>变换：公式实行坐标之间的转化.【解】（1）（2，6）；（2）（-4，-3）.【点拨】利用伸缩(0){(0)x x y u y u λλφ'=⋅>'=⋅>变换：公式是解决坐标与坐标之间、曲线与曲线之间变换的重要手段例2 在伸缩变换⎩⎨⎧==y y x x '2'与伸缩变换⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆122=+y x 分别变成什么图形？解：在⎩⎨⎧==y y x x '2'的作用下，单位圆变成椭圆1'4'22=+y x ；在⎩⎨⎧==yy x x 2'2'的作用下，单位圆变成圆4''22=+y x 。
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A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F (
2 2 2
2
,0 ).
O (A)
F
B
x
由 b c 5a ， 可 得 到 | AC | | AB | 5 | BC | ，
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从OX到 OM 的角度， 叫做点M 的极径， 叫做点M的极 角，有序数对（，）就 O 叫做M的极坐标。
M
X
指出：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0
， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换： 曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
x x 1解 ： 设 伸 缩 变 换 ， 0 y y
代 入 x +y =1得
2 2
x y 1
2 2 2 2
又 4 x 9 y 36
P
y C
B
A
o
x
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 2 y 上， x 2 y
a 680 , c 1020 b c a 1020
2 2 2 2
a
2
b
2
1
P B
C o A
680
2
5 340
2 2
2
x
故双曲线方程为
x
2 2
y
680
x 680 即 P ( 680
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 注 （1） 0 , 0 （2）把图形看成点的运动轨迹，平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到； （3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不 变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x 后的图形。
高三数学 选修4-4
平面
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应） 4、化简
5、说明
思考:声响定位问题
(2004年广东高考题)
某信息中心接到其正东、正西、正北方向 三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间 比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心 的距离都是1020m，试确定巨响发生的位置。 （假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均 在同一平面上）
2 2
1 3 则 1 2
x 得 y
1 3 1 2
x y
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换
x 3 x y y
后，
曲线C变为 x 2 9 y 2 9 ，求曲线C的方程并画出 图形。
x 3 x 2.解 ： 将 代入 y y
2 2 2 2 2
0 . 因此，BE与CF互相垂直.
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1 x x 2 y 3 y
3
通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x' x : y' y ( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应
p x , y
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P [1]给定（,）,就可以在极坐标 M (ρ,θ)… 平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有 O X
无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一 对应了.
例2：右图为某校园的平面 示意图。假设某同学在 教学楼处，请回答下列 问题：
5 340
1 ( x 0)
5 ，∵|PA|>|PB|,
用y=－x代入上式，得 x 680
5 , y 680 5 , 680 5,
5 ), 故 PO 680
10
答：巨响发生在中心的西偏北450方向，距中心 680
10 m 处.
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探 y 究BE与CF的位置关系。 解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， C (x,y) 边AB所在的直线x轴，建立直角 E 坐标系，由已知，点A、B、F的 坐标分别为 c
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2 x
O
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变， 将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为
2 2 2
所 以 BE CF (
x y c 因为 B E ( c , ), C F ( x , y ), 2 2 2 2 x c y
c )( x) 2 2 2
即 x y c 5[( x c ) y ]. 2 2 2 整理得 2 x 2 y 2 c 5 cx 0 .
A
|AB|=
。
O B x
（2）在极坐标系中，与点 ( 3 ,
3
) 关
于极轴所在直线对称点的极坐标是＿；
关于极点对称的点的极坐标是______ （3）在极坐标系中，若等边△ABC的两 5 个顶点 A ( 2 , ), B ( 2 , ，则顶点C的坐 ) 4 标是＿＿＿＿＿＿。 4
五、小结
题组一. 如图，写出各点的极坐标： 2 4 5 6 D •Q C •P • B A E 。 • • x O
F 4 3
在 图 中 描 出 点 P (3 ,
A(4,0) B(3, ) 4 C(2, 2 ) 5 D(5, ) 6 E(4.5, )
•R
9 4
G
•
5 3
F(6,4) 3 G(7, 5 ) 3
A ( 3 , 0 ), D (5, 4 3 ),
B ( 6 , 2 ), E (3, 1 9 6 ),
C (3,
3 2
)
F ( 4 , 3 )
5 6
2
C E A B X
F
O
4 3
D
四、拓展：
1、(2006上海)在极坐标系中,O是极
5 点，设点A(4, )，B(5, )， 6 3 则△OAB的面积是______，
y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的 1 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 不变，将横坐标x缩为原来 1 ，得到点 p x , y 2 坐标对应关系为：
p x , y
x x y 3 y
通常把 2 长变换。
2
叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2 x
O
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐 1 标不变，将横坐标x缩为原来的 2 ，在此基础上， 将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
引例：请在观察中思考
坐标系？
以政府街为X轴 以新民街为Y轴建立直 角坐标系...
引例：请在观察中思考
神经病！
以政府街为X轴 以新民街为Y轴建立直 角坐标系...
坐标系？
引例：请在观察中思考
从这向南走 2000米。
请问：去简阳中学怎么走？
请分析下面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
x -9y =9
2 2
得 9x -9y =9
2
2
即 x -y =1
2
2
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标 法解决几何问题； （2）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
高三数学 选修4-4
极坐标系
引例：请在观察中思考
以政府街为X轴 以新民街为Y轴建立直 角坐标系...
请问：去简阳中学怎么走？
贝努利(瑞士)
1654-1705
关于极坐标的建立，牛顿完成于1671年。 但牛顿的论著于1736年才发表把极坐标 牛 顿(英国) 看成是确定平面上的点的位置的方法， 1642-1727 并与其他坐标进行互相转化。