上海市徐汇区高考数学三模试卷

高考数学三模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ）A. 若a⊥α，a⊥b，则b∥αB. 若a∥α，a⊥b，则b⊥αC. 若a⊥α，b⊆α，则a⊥bD. 若a∥α，b∥α，则a∥b3.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又点A（﹣1，0），则的最小值是（）A. B. C. D.4.设x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2-m=0的两个不相等的实数根，那么过两点A（x1，），B（x2，）的直线与圆（x-1）2+y2=1的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 随m的变化而变化二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.若集合A={x|3x+1＞0}，B={|x-1|＜2}，则A∩B=______．6.若复数z满足=-i，其中i为虚数单位，则=______．7.若函数f（x）=1+（x＞0）的反函数为f-1（x），则不等式f-1（x）＞2的解集为______．8.试写出（x-）7的展开式中系数最大的项______．9.若y=4-最小值为a，最大值为b，则=______．10.已知平面上三点A、B、C满足||=，||=，||=2，则的值等于______．11.设P是曲线（θ为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为______．12.在等差数列{a n}中，首项a1=3，公差d=2，若某学生对其中连续10项迸行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为______．13.从集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，则k=______．14.已知数列{a n}的通项公式为a n=（-1）n•n+2n，n∈N*，则这个数列的前n项和S n=______．15.已知函数f（x）=x-，数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6=1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=-a1，则a1=______．16.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；（1）求四棱锥A1-ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．18.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）若不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，若存在x0∈R，使f（x0）≤t-f（-x0），求t的取值范围．19.某景区欲建两条圆形观景步道M1，M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M与AB，AD分别相切于点B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D．（1）若，求圆M1，M2的半径（结果精确到0.1米）（2）若观景步道M1，M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，则当∠BAD 多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0.1°和0.1千元）20.已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C1：=1上异于其顶点的任意一点Q作圆O：x2+y2=的两条切线，切点分别为M、N（M、N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值；（3）若P1、P2是椭圆C2：上不同两点，P1P2⊥x轴，圆E过P1、P2，且椭圆C2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆，试问：椭圆C2是否存在过焦点F的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由．21.若{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，则称{a n}是{c n}的“分隔数列”（1）设c n=2n，a n=n+1，证明：数列{a n}是{c n}的分隔数列；（2）设c n=n-4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n-2，判断数列{S n}是否是数列{d n}的分隔数列，并说明理由；（3）设，T n是{c n}的前n项和，若数列{T n}是{c n}的分隔数列，求实数a，q的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵函数=（x）2+2+2•x，又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），∴f（-x）=（-x）2+2-2•x，∴f（-x）=f（x），∴2•x=0，∴•=0，∴，若，则•=0，∴f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数，故选：C．已知非零向量、，根据f（-x）=f（x），求出向量、的关系，再利用必要条件和充分条件的定义进行判断．本题主要考查向量的内积计算，还考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，题目新颖．通过抛物线的定义，转化PF=PN，要使有最小值，只需∠APN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，A（-1，0），过P作PN垂直直线x=-1于N，由抛物线的定义可知PF=PN，所以,连结PA，当PA是抛物线的切线时，则∠PAF最大，就是直线PA的斜率最大，此时有最小值，设直线PA的方程为：y=k（x+1），联立直线与抛物线可得，整理得：k2x2+（2k2-4）x+k2=0，所以=（2k2-4）2-4k4=0，解得k=±1，所以，=cos∠NPA=．故选：B．4.【答案】D【解析】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+m2-m=0的两个不相等的实数根，∴m2-4（m2-m）＞0，即0＜m＜，∴x1+x2=-m，由A（x1，），B（x2，），得到A和B为抛物线y=x2上的两点，且直线AB的斜率k==x1+x2=-m，又圆心坐标为（1，0），半径r=1，在同一个坐标系中作出相应的图形，如图所示：则直线AB与圆（x-1）2+y2=1的位置关系可能相交、相切或相离，由m的值变化而变化．故选：D．由已知的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和，由A和B坐标的特点得到这两点在抛物线y=x2上，且根据两点的坐标求出直线AB的斜率，化简后将表示出的两根之和代入得到关于m的式子，在同一个坐标系中画出圆与抛物线，由图象可知直线AB与圆的位置关系不确定，随m的变化而变化．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，直线斜率的求法，以及圆的标准方程，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时要灵活运用．5.【答案】（-，3）【解析】解：A={x|3x+1＞0}={x|x＞-}，B={|x-1|＜2}={x|-2＜x-1＜2}={x|-1＜x＜3}，则A∩B={x|-＜x＜3}，故答案为：（-，3）．求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．6.【答案】1-i【解析】解：由=-i，得，∴．故答案为：1-i．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：∵，∴有，则，必有x-1＞0，∴2（x-1）＜1，解得1＜x．故答案为：．由，可得，因此，解出即可．本题考查了反函数的求法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】【解析】解：T r+1=x7-r=（-1）r x7-2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4，6，其系数分别为：1，，，．经过比较可得：r=4时满足条件，T5=x-1=，故答案为：．T r+1=（-1）r x7-2r，r必须为偶数，分别令r=0，2，4，6，经过比较即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：y=4-，定义域为[-1，3]当x=1时，y取最小值为2，当x=3或-1时，y取最大值为4，故a=2，b=4；===．故答案为：．先求函数的定义，求出函数的最大值a和最小值b，代入求极限．本题考查求函数的定义域，根据定义域求函数的最值及求极限，属于中档题．10.【答案】-8【解析】解：由||=，||=，||=2，可得：||2+||2=||2，即有△ABC为直角三角形，由++=，两边平方可得，||2+||2+||2+2（）=0，即有=-（||2+||2+||2）=-×（3+5+8）=-8．故答案为：-8．由三边的平方和的关系，可得△ABC为直角三角形，由++=，两边平方结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，注意平方法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】8x2-4y2=1【解析】解：曲线（θ为参数），即有，由sec2θ-tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2-y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），可得，代入曲线方程，可得2x02-y02=1，即为2（2x）2-（2y）2=1，即为8x2-4y2=1．故答案为：8x2-4y2=1．由sec2θ-tan2θ=1，可得曲线的方程为2x2-y2=1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】200【解析】解：若遗漏的是10项中的第一项或最后一项，则185=9•a中，故a中=20（舍去）；故设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m-1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，其中（0＜m＜9，m∈N*）故10a n+×2-a m+n=185，即10（2n+1）+90-2（m+n）-1=185，故m=9n-43，故n=5，m=2；故10×a5+×2=110+90=200；故答案为：200．先排除不是遗漏掉首项与末项，从而设9项为a n，a n+1，a n+2，…，a n+m-1，a n+m+1，a n+m+2，…，a n+9，从而可得10（2n+1）+90-2（m+n）-1=185，从而求得．本题考查了等差数列的前n项和公式与通项公式的应用．13.【答案】4或7【解析】解：∵从集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k（其中k∈A）的概率为，∴=，解得k=4或k=7．故答案为：4或7．由题意=，由此能求出结果．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．14.【答案】【解析】解：当n为偶数时，S n=[（-1+2）+（-3+4）+…+（-n+1+n）]+（2+22+…+2n）=+=2n+1+-2；当n为奇数时，S n=[（-1+2）+（-3+4）+…+（-n+2+n-1）-n]+（2+22+…+2n）=-n+=2n+1--；综上所述，S n=．分n为奇数、偶数两种情况讨论，利用分组求和法计算即得结论．本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．15.【答案】【解析】解：∵函数f（x）=x-，∴f（x）+=x-+-x=0，f（1）=0．数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6=1，∴a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==1，f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a9）+f（a10）=f（a1）+f（a6）==-a1，a1＞0．则a1=．故答案为：．函数f（x）=x-，可得f（x）+=0，f（1）=0．根据数列{a n}是公比大于0的等比数列，且满足a6=1，可得a2a10=a3a9=a4a8=a5a7==1，代入化简即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】1-2a【解析】解：∵当x≥0时，f（x）=，即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（-1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，-1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-a=0共有五个实根，最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），∴f（-x）=（-x+1），又f（-x）=-f（x），∴f（x）=-（-x+1）=（1-x）-1=log2（1-x），∴中间的一个根满足log2（1-x）=a，即1-x=2a，解得x=1-2a，∴所有根的和为1-2a．故答案为：1-2a．函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．17.【答案】解：（1）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，∴四棱锥A1-ABCD的体积：====4．（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），∵tan∠A1CC1===，∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；【解析】（1）四棱锥A1-ABCD的体积=，由此能求出结果．（2）由DD1∥CC1，知∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A1C与DD1所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注空间思维能力的培养．18.【答案】解：（1）∵函数f（x）=|2x-a|+a，不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），∴|2x-a|＜6-a的解集为（-1，3），由|2x-a|＜6-a，可得a-6＜2x+a＜6-a，求得a-3≤x≤3，故有a-3=-1，a=2．（2）在（1）的条件下，f（x）=|2x-2|+2，令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4=，故g（x）的最小值为8，故使f（x）≤t-f（-x）有解的实数t的范围为[8，+∞）．【解析】（1）求得不等式f（x）＜6的解集为a-3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（-1，3），可得a-3=-1，由此求得a的范围；（2）令g（x）=f（x）+f（-x）=|2x-2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题．19.【答案】解：（1）连结M1M2，AM1，AM2，∵圆M1与AB，AD相切于B，D，圆M2与AC，AD分别相切于点C，D，∴M1，M2⊥AD，∠M1AD=∠BAD=，∠M2AD=，∴M1B=AB tan∠M1AB=60×=20≈34.6（米），∵tan==，∴tan=2-，同理可得：M2D=60×tan=60（2-）≈16.1（米）．（2）设∠BAD=2α（0＜α＜），由（1）可知圆M1的半径为60tanα，圆M2的半径为60tan（45°-α），设观景步道总造价为y千元，则y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α）=96πtanα+108π•，设1+tanα=x，则tanα=x-1，且1＜x＜2．∴y=96π（x-1）+108π（）=12π•（8x+-17）≥84π≈263.8，当且仅当8x=即x=时取等号，当x=时，tanα=，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．∴当∠BAD为53.2°时，观景步道造价最低，最低造价为263.8千元．【解析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°-α），化简，令1+tanα=x 换元，利用基本不等式得出最值．本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点P（1，）在椭圆C上；∴，解得a=2，b=，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意：C1：+=1，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），∵M，N不在坐标轴上，∴k PM=-=-，∴直线PM的方程为y-y2=-（x-x2），化简得：x2x+y2y=，①，同理可得直线PN的方程为x3x+y3y=，②，把P点的坐标代入①、②得，∴直线MN的方程为x1x+y1y=，令y=0，得m=，令x=0得n=，∴x1=，y1=，又点P在椭圆C1上，∴（）2+3（）2=4，则+=为定值．（3）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），点E在x轴上，设点E（t，0），则圆E的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E距离的最小值是|P1E|，设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|ME|2=（x-t）2+y2=，当x=m时，|ME|2最小，∴m=-，③，又圆E过点F，∴（-）2=（m-t）2+n2，④点P1在椭圆上，∴，⑤由③④⑤，解得：t=-或t=-，又t=-时，m=-＜-2，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点E的坐标是（-，0）．【解析】（1）由焦点坐标确定出c的值，根据椭圆的性质列出a与b的方程，再将P 点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程，联立求出a与b的值，确定出椭圆方程即可．（2）由题意：确定出C1的方程，设点P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），根据M，N不在坐标轴上，得到直线PM与直线OM斜率乘积为-1，确定出直线PM的方程，同理可得直线PN的方程，进而确定出直线MN方程，求出直线MN与x轴，y轴截距m 与n，即可确定出所求式子的值为定值．（3）依题意可得符合要求的圆E，即为过点F，P1，P2的三角形的外接圆．所以圆心在x轴上．根据题意写出圆E的方程．由于圆的存在必须要符合，椭圆上的点到圆E距离的最小值是|P1E|，结合图形可得圆心E在线段P1P2上，半径最小．又由于点F已知，即可求得结论．本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题的关键．21.【答案】证明：（1）∵{c n}是递增数列，数列{a n}满足：对任意n∈N*，存在m∈N*，使得，∴c n≤a m＜c n+1，∵c n=2n，a m=m+1，∴2n≤m+1＜2n+2，∴2n-1＜m≤2n+1，∴m=2n，∴对任意n∈N*，存在m=2n∈N*，使得，则称{a n}是{c n}的“分隔数列；解：（2）c n=n-4，S n是{c n}的前n项和，d n=c3n-2，∴d n=（3n-2）-4=3n-6，∴d1=-3，∴S n==n（n-7），若数列{S n}是数列{d n}的分隔数列，∴3n-6≤m（m-7）＜3n-3，即6（n-2）≤m（m-7）＜6（n-1），由于n=4时，12≤m（m-7）＜18，不存在自然数m，使得不等式成立，∴数列{S n}不是数列{d n}的分隔数列；（3）设，T n是{c n}的前n项和，∵数列{T n}是{c n}的分隔数列，则{c n}为递增，当a＞0时，q＞1，∴aq n-1≤＜aq n，即有q m-1＜q n（q-1），且q m-1≥q n-1（q-1），当1＜q＜2时，数列最小项可以得到m不存在；q＞2时，由m=n，q m-1≥q n-1（q-1）成立；q n-1＜q n（q-1）成立，可得n=2时，q2-1＜q2（q-1），解得q＞，对n＞3也成立；当a＜0时，0＜q＜1时，aq n-1≤＜aq n，即有1-q m＞q n（1-q），且1-q m≤q n-1（1-q），取m=n+1，可得1-q m＞q n（1-q）成立，1-q n+1≤q n-1（1-q）成立，可得q=0恒成立，则a＜0，0＜q＜1不成立，综上可得，a＞0，q＞．【解析】（1）由新定义，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m=2n，即可得证；（2）运用等差数列的求和公式，结合新定义，即可判断；（3）讨论a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，结合新定义，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范围．本题考查了新定义的理解和运用，等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。