1-7 克拉默法则
克拉默(Cramer)法则
§7 克拉默(Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形.定理4 如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, (1) 的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211(2) 的行列式0||≠=A d那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为dd x d dx d d x n n ===,,,2211 , (3) 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成常数项n b b b ,,,21 所成的矩阵的行列式，即.,,2,1,1,1,121,221,22111,111,111n j a a b a a a a b a a a a b a a d nnj n nj n n n j j n j j j==+-+-+- (4)定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),,,(21dd d d d d n 代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 例1 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-=--=+-+.0674,522,963,85243214324214321x x x x x x x x x x x x x x应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论.常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为)0,,0,0( 就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理5 如果齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (10) 的系数矩阵的行列式0||≠A ，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有0||=A .例2 求λ在什么条件下，方程组⎩⎨⎧=+=+0,02121x x x x λλ 有非零解.克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n 个未知量n 个方程的线性方程组就要计算1+n 个n 级行列式，这个计算量是很大的.。
1-7克拉默法则
(3 )( 2)
齐次线性方程组有非零解，则 D 0 所以 0, 2 或 3 时有非零解。
13Biblioteka 小结1.用克拉默法则解方程的两个条件： 1）方程个数等于未知数的个数； 2）系数行列式不等于零。 2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系
数与常数项之间的关系。主要适用于理论推导。
14
7
作业题
P28 8,9,10
15
8
有非零解。
解
系数行列式
1 D 2 1 2 3 1 4 1 1
12
6
1 2 1
3
4 3 1 1 0 1
1 3 4 1 2 1 3
1 2 1 3
2
1
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 如果线性方程组（1） an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 的系数行列式不等于0，即
a11 D a21 an1
3
克拉默法则
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
0
那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的， 解可以表示为： D D D D x1 1 , x2 2 , x3 3 , , xn n D D D D 其中 D j 是把系数行列式D中第j列的元素用方程组 右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即
再把n个方程相加，得
n n n n a A x a A x a A x k 1 kj 1 kj kj j kn kj n bk Akj k 1 k 1 k 1 k 1
克拉默法则
解
5 2 2
D 2 6 0 (5 )(2 )(8 )
2 0 4
由D=0,得λ=2, λ=5, λ=8.
总结
1.用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零.
2.克拉默法则建立了线性方程组的解与已知的系 数与常数项之间的关系，它主要使用于理论推 导。
D4 D
27 27
1.
二、齐次与非齐次线性方程组的定义
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LLL
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
定义:线性方程组(11)右端的常数项b1, b2 , ∙ ∙ ∙, bn不 全为零时,线性方程组(11)叫做非齐次线性方程
定理3′ 如果齐次线性方程组(12)有非零解,则它的系 数行列式必为零.
定理4 齐次线性方程组（12）有非零解得充分必要 条件是它的系数行列式为零。
例 问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
5 x 2 y 2z 0,
2x 6 y 0,
2x 4z 0
an1 L an, j1 bn an, j1 L ann
关于克拉默法则的等价命题
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
La2L1x1L
a22 x2 LLL
L L
L
a2n xn LL
L
b2 L
(11)
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
克拉默法则
142
线性代数讲稿
⎧λx1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + λx 2 + x3 = 0 ⎪ x + x + λx = 0 2 3 ⎩ 1
有非零解． 解：按题意要求方程组的系数行列式为零，即
λ 1 1 0 = 1 λ 1 ====== (λ + 2) 1 λ 1 再c1 ÷( λ + 2 ) 1 1 λ 1 1 λ === (λ + 2) 1 λ − 1 0 = (λ + 2)(λ − 1) 2 , j = 2,3 1 0 λ −1
线性代数讲稿
§1.4
一.基本概念
克拉默（Cramer）法则
关于 n 个待求量 xi 的 n 个线性方程联立而成的线性方程组：
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + L + a x = b ⎪ 21 2 22 2 2n n 2 ⎨ M M ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + L + a nn x n = bn
xj = Dj D
( j = 1,2, L , n)
（2）
其中 Dj 是把 D 中的第 j 列换成（1）中右端的 b1,b2,…,bn 所构成的 n 阶行列式，
即
Dj =
a11 L a1 j −1 a 21 L a 2 j −1
b1 b2
a1 j +1 L a1n a 2 j +1 L a 2 n M a n j +1 M M L an n
c j −c1 c1 + ( c2 + c3 )
克拉默法则
4 1
1
1 3 3 41 21 3
1 3 21 2 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0, 2 或 3时齐次方程组有非零解.
4.小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6
27,
x1
D1 D
81 27
3,
x3
D3 D
27 27
1,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2
D2 D
108 27
4,
x4
齐次线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21 x1
a22 x2
a2n xn 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
易知， x1 x2 xn 0 一定是(2)的解，
an1 x1 an2 x2 ann xn Anj bn Anj
再把 n 方程依次相加，得
n k 1
ak1 Akj
x1
n
k
1
akj
Akj
线性代数课件1-7克拉默法则
克拉默法则也可以用来判断线性方程 组的解的情况，通过计算系数行列式 和常数项的乘积，可以判断方程组是 否有唯一解、无解或无穷多解。
VS
如果系数行列式不为零，则方程组有 唯一解；如果系数行列式为零但常数 项的乘积不为零，则方程组无解；如 果系数行列式为零且常数项的乘积为 零，则方程组有无穷多解。
解决实际问题的应用
克拉默法则可以用来解线性方程组，通过将方程组转化为行列式形式，然后利用行列式的性质进行求 解。
具体步骤包括将方程组整理成标准形式，计算系数行列式和常数项的乘积，然后求解每个未知数的值。
需要注意的是，克拉默法则只适用于线性方程组有唯一解的情况，对于无解或无穷多解的情况不适用。
判断线性方程组的解的情况
克拉默法则可以作为迭代解法的一种基础算法， 用于计算迭代过程中的系数矩阵和常数矩阵。
3
求解步骤
在迭代解法中，需要设定合适的迭代初值，然后 通过迭代公式不断逼近方程的解，直到达到预设 的精度要求。
05
克拉默法则的注意事项与 限制
系数矩阵的行列式必须不为零
克拉默法则要求系数矩阵的行列式不为零，否则该法则无法应用。这是因为行列式为零意味着矩阵是奇异的，此时线性方程 组可能无解或有无穷多解，克拉默法则不再适用。
线性代数课件1-7克 拉默法则
目录
• 克拉默法则概述 • 克拉默法则的推导过程 • 克拉默法则的应用实例 • 克拉默法则的扩展与推广 • 克拉默法则的注意事项与限制
01
克拉默法则概述
克拉默法则的定义
克拉默法则定义
克拉默法则是指对于线性方程组，如果系数行列式不为0，则方 程组有唯一解，且其解可以通过系数行列式与常数列的转置矩 阵的行列式之商来求解。
克拉默法则给出了线性方程组解的表达式，该表达式基于 系数矩阵的行列式值和代数余子式。通过计算这些值，可 以得到线性方程组的解。
克拉默法则解二元一次方程组
克拉默法则解二元一次方程组引言：在数学中，方程组是一个或多个方程的集合，而方程是一个等式，它包含未知数和常数。
解方程组就是找出同时满足所有方程的未知数的值。
而克拉默法则是一种解二元一次方程组的方法，它基于行列式的概念，通过求解行列式来得到方程组的解。
本文将详细介绍克拉默法则的原理和应用。
一、克拉默法则的原理克拉默法则是由法国数学家克拉默提出的，它利用行列式的性质来解方程组。
对于一个二元一次方程组：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知的常数，而x和y是未知数。
根据克拉默法则，方程组的解可以通过以下公式来表示：x = D1 / Dy = D2 / D其中，D是方程组的系数行列式，D1是将方程组的常数列替换掉x 的系数列所得到的行列式，D2是将方程组的常数列替换掉y的系数列所得到的行列式。
二、克拉默法则的应用克拉默法则在实际问题中有广泛的应用，特别是在工程、物理和经济等领域。
下面通过一个具体的例子来说明克拉默法则的应用。
例：解方程组2x + 3y = 74x - 5y = -3我们可以计算出D、D1和D2：D = |2 3| = 2*(-5) - 3*4 = -23|4 -5|D1 = |-3 3| = -3*(-5) - 3*4 = -3|-3 -5|D2 = |2 -3| = 2*(-3) - (-5)*4 = 23|4 -5|然后，我们可以根据公式求解方程组：x = D1 / D = -3 / -23 ≈ 0.13y = D2 / D = 23 / -23 ≈ -1所以，方程组的解为x ≈ 0.13，y ≈ -1。
三、克拉默法则的优点和局限性克拉默法则的优点是简单直观，易于理解和应用。
它不需要进行复杂的运算和推导，只需要计算行列式的值即可得到方程组的解。
此外，克拉默法则适用于任意多元一次方程组。
然而，克拉默法则也有一些局限性。
首先，克拉默法则要求方程组的系数行列式D不等于0，否则方程组无解或有无穷多解。
克拉默法则
例2： 设曲线 y a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 通过四点 1,3 、2,4 3,3
、4,3 求系数 a0 ，a1 ，a2 ， a3
解：把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组
a0 a 0 a0 a0
a1 2a1 3a1 4a1
a2 4 a2 9a2 16 a2
1 1 1 2 1 3
a3 8a3 27 a3 64 a3
1 4 9 1 8 27
3 4 3 3
其系数行列式 D
1 4 16 64
(1)
Dn D1 D2 则此方程组有唯一解： x1 ，x2 ，···， n ··· x D D D 其中，D j 是将系数行列式中第 j 列的元素（即 x j 的系数）
用右端的常数项代替后所得的 n 阶行列式。
例1： 解线性方程组
2 x1 x 1 x1
1 6 2 6
x1 x2 1 有无穷多解； 2 x1 2 x2 2
1 1 2 2 0
其系数行列式 D
例4： 线性方程组
x1 x2 1 2 x1 2 x2 4
1 1 2 2 0
无解；
其系数行列式 D
若线性方程组（1）右端的常数项 b1 , b2 ,, bn 不全为零时， 线性方程组（1）称为非齐次线性方程组； 当 b1 , b2 ,, bn 全为零时，称其为一个齐次线性方程组， 即下面的线性方程组（2）就是一个齐次线性方程组
2 81 D2 1 1
8 9 0
5 0 1 7
1 6 2 6 108
第4节 克拉默定理(全)
证明 首先，把方程组⑴ 首先，把方程组⑴简写为
∑a
j =1
重要定理
定理2 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零， 定理2 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则齐次 线性方程组没有非零解。 线性方程组没有非零解。 定理3 如果齐次线性方程组有非零解， 定理3 如果齐次线性方程组有非零解，则齐次线性方程组的 系数行列式必为零。 系数行列式必为零。 例2 为何值时， 问λ为何值时，齐次线性方程组
例1 求解下列三元线性方程组 x1 − x2 + 2 x3 = 6 2 x1 − x2 − x3 = 5 x + x − 2 x = −2 2 3 1 解
1 −1 2 D = 2 −1 −1 = 2 + 4 + 1 + 2 + 1 − 4 = 6 ≠ 0 1 1 −2
所以用克拉默法则求方程组的解。 所以用克拉默法则求方程组的解。
a11 D= a 21 a n1 a12 L a1 n a 22 L a 2 n a n 2 L a nn
(1)
LLLLLLL
≠0
那么线性方程组⑴有唯一解， 那么线性方程组⑴有唯一解，
Dn D1 D2 x1 = , x2 = , L , xn = . D D D
⑵
中的第j 其中 D j（j=1，2，…，n）是把系数行列式 中的第 ， ， ， ）是把系数行列式D中的第 列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶 列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶 行列式， 行列式，即
克拉默法则
若
则方程组有唯一解，且唯一解为
a11 b1 a21 b2 a13 a23 a11 a12 b1 a21 a22 b2
a33
a12 a13 a22 a23
b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 x1 = , x2 = , x3 = a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a21 a22 a23 a31 a32 a33
+ a in Q1n +1
+ ai 2 (−1)1+3
b1 a11 a12 1+(n+1) b 2 a21 a22 + + ain(−1) bn an1 an2
a1n−1 a2n−1 ann−1
= bi D − ai1 D1 − ai 2 D2 −
− ain Dn
Q = bi D − a i 1 D 1 − a i 2 D 2 − 即Q=0， 而：
定理1（ Cramer法则) : 若n元线性方程组
⎧ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a 1 n x n = b1 + a 2n x n = b2 + a nn x n = b n
ain a1n a2 n =0 ain ann
b1 b2 bn a11 a21 an1 a13 a23 an 3 a1n a2 n ann
Q = bi Q11 + a i1Q12 + a i 2 Q13 + 且：
1-7 克拉默法则
有非零解？ 有非零解？
解
D=
1− λ 2 1
−2 3−λ 1
4 1 1− λ
1− λ = 2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
−3+λ 1− λ 0
4 1 1− λ
(1 − λ )3 + (λ − 3 ) − 4 (1 − λ ) − 2 (1 − λ )(− 3 + λ ) = 3 2 = (1 − λ ) + 2 (1 − λ ) + λ − 3
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
1 0 0 0 1
0 0 0 ＝ − 395 6 5
5 1 D5 = 0 0 0
6 5 1 0 0
0 6 5 1 0
0 0 6 5 1
1 0 0 ＝212 0 1
1507 1145 703 x1 = ∴ ; x2 = − ; x3 = ; 665 665 665 −395 212 x4 = ; x5 = 665 665
5 6 5 0 5 6 ＝19 5 − − 5 6 1 5 1 6 1 5
＝665 ≠ 0
)
＝（ × 5－5 × 6）（5 × 5－1× 6）－（ × 5 × 6） 19 19
类似地， 类似地，可以求出
1 0 D1 = 0 0 1
5 1 D2 = 0 0 0
6 5 1 0 0
= λ ( 2 − λ )( λ − 3 )
齐次方程组有非零解， 齐次方程组有非零解，则 D = 0 时齐次方程组有非零解. 所以 λ = 0 , λ = 2 或 λ = 3时齐次方程组有非零解
例3（书 习题一 （ 习题一8(2)） ） 用克莱姆法则解下列方程组： 用克莱姆法则解下列方程组：
本_第5讲_克拉默法则 矩阵运算1
第20页
矩阵的乘法
A的第i行与B 的第j列相乘
设A(aij)是一个ms矩阵 B(bij)是一个sn矩阵 规定A与 B的乘积是一个mn矩阵C(cij) 其中
x2
a 11 b 2 b1 a 21 . a 11 a 22 a 12 a 21
系数行列式
a 11 a 21 a 11 a 21
b1 b2 a 12 a 22
第3页
克拉默法则
对于 n 个变量、 n 个方程的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn 如果它的系数行列式 D 0 ，则该方程组有唯一解 Dj xj , j 1, 2,, n D 其中 D j （ j 1, 2,, n ）是将行列式 D 中第 j 列的元素换成 方程组右端的常数项所得到的 n 阶行列式，即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n Dj an1 an , j 1 bn an , j 1 ann
A B aij bij
1 0 2 7 例 设A 0 0 ，B 1 8 ，且3 X 2 A 3B 2 X , 求X . 0 1 2 8
解 由 3 X 2 A 3B 2 X 得X 3B 2 A， 代入数值得
主要适用于理论推导.
第9页
第二章 矩阵及其运算
矩阵的概念 矩阵的运算 逆矩阵
矩阵分块法
第10页
一、矩阵的概念
高等数学：1-7 克拉默法则
1 1 D 1 1
1 1 1 1 1 1 2 4 8 1 2 22 3 9 27 1 3 3 2 4 16 64 1 4 4 2
1 1 23 转 置 1 2 3 3 1 43 13
1 2 22 23
1 3 32 33
(5 )(6 )(4 ) 4(4 ) 4(6 ) (5 )(2 )(8 ) 由D 0 得 2、 5或 8
不难验证，当 = 2、5 或 8 时，齐次线性方程组 确有非零解。
3 x 2 y 2 z 0 当 2时， 2, 1, 2 ） 0 有非零解（ 2 x 4 y 2x 2z 0 2 y 2z 0 1, 2, 2 ） 当 5时， 0 有非零解（ 2 x y 2x z0 3 x 2 y 2 z 0 当 8时， 2, 2, 1 ） 0 有非零解（ 2x 2 y 2x 4z 0
则 （ 3,4,1,1 ）是该线性方程组的唯 一解．
2 3 y a a x a x a x 例15 设曲线 通过四点 0 1 2 3
(1,3)、(2,4)、(3,3)、(4,-3)， 求系数 a0 , a1 , a2 , a3 解 把四个点的坐标代入曲线方程，得线性方程组
a0 a1 a 2 a 3 a0 2a1 4a 2 8a 3 a0 3a1 9a 2 27a 3 a0 4a1 16a 2 64a 3 3, 4, 3, 3,
108,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
27,
克拉默法则
0
i j.
●定义法
●递推法
●加边法
计
●数学归纳法
算
●公式法
●拆项法
应
●克拉默法则
用
●齐次线性方程组有非零解的充要条件
3
二、主要定理
1、行列式的展开定理.
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
= ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
的系数行列式必为零.
系数行列式 D 0
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
a21x1 a22 x2 a2n xn 0
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即D a21 a22 a2n 0
an1 an2 ann
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
x1D1 D Nhomakorabea,
x2
D2 D
,
x3
n-1
1
2
x n-1 n
例题：请问三阶行列式
a1 x b1 x c1 x
f x a2 x b2 x c2 x
a3 x b3 x c3 x
x 作为 的多项式，是几次多项式？
分析：根据行列式定义，是取自不同行不同列元素乘 积的代数和，所以化简后可知其最高次数是一次。
线性代数-克拉默法则
克拉默法则先复习在前面得出以下结论：{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2当系数行列式D=|a11a12a21a22|≠0方程组有解：x1=|b1a12b2a22||a11a12a21a22|=D1Dx2=|a11b1a21b2||a11a12a21a22|=D2D那么：{a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3当系数行列式D=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|≠0，方程组有解：x1=|b1a12a13b2a22a23b3a32a33||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|x2=|a11b1a13a21b2a23a31b3a33||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|x3=|a11a12b1a21a22b2a31a32b3||a11a12a13a21a22a23a31a32a33|本节要将以上结论推广到含有n个未知数的线性方程组。
设有n个未知数工x1，x2，⋯x n，的n个线性方程的方程组：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n可表示为：Ax=b其中系数为A，未知数为x，常量为b。
克拉默法则（Cramer’s Rule）如果线性方程组Ax=b的系数行列式不等于零：{a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n，|A|=|a11a12a21a22⋯a1n⋯a2n⋯⋯a n1a n2⋯⋯⋯a nn|≠0则线性方程组Ax=b有唯一解：x1=|A1||A|，x2=|A2||A|，⋯，x n=|A n||A|其中A j是把A中的第j列的元素用方程组右端的常数项代替后得到的矩阵：|A j|=|a11⋯a1，j−1b1a21⋯a n1⋯⋯⋯a2，j−1⋯a2，j+1b2⋯b na1，j+1⋯a1na2，j+1⋯an，j+1⋯⋯⋯a2n⋯a nn|(j=1，2，⋯，n)注意：|A j |=|a 11⋯a 1j−1b 1a21⋯a n1⋯⋯⋯a 2j−1⋯a 2j+1b 2⋯b na 1j+1⋯a 1n a 2j+1⋯a nj+1⋯⋯⋯a 2n ⋯a nn| |A |=|a 11a 12a21a 22⋯a 1n ⋯a 2n⋯⋯a n1a n2⋯⋯⋯a nn|按第j 列展开 =b 1A j +b 2A 2j +⋯+b n A nj其中A ij 是|A |的第j 列元素的代数余子式。
1-7 克拉默法则
例 2 问 取何值时，齐次线性方程组
21x1x31
2x2 4x3
x2 x3
0 0
有非零解？
x1 x2 1 x3 0
分析 齐次线性方程组有非零解的充要条件是：
1 2 4 D 2 3 1 0
1 1 1
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解 1 2 4 D 2 3 1
1 1 1
c2 c1
思考题解答
设 x1, x2, …, xn+1 是 f(x)=0 的 n+1个互不相同的根，
即
a0 a0
a1 x1 a1 x12 a1 x2 a1 x22
an x1n an x2n
0 0
a0 a1 xn1 a1 xn21 an xnn1 0
上式可看作是以 a0, a1, …, an 为未知量的齐次线性 方程组，其系数行列式为
1
2
c3 (1 )1 2(1 )
0
按第三行展开 (1)31 1 3 (3 )( 1) 1 2 1
对第一行提取公因子
1 (1 )
( 3)
1 2 1
目录 上页 下页
( 3)(2 2 ) ( 3)(2 )
当 = 0, 2 或 3 时，D=0，齐次方程组有非零解.
目录 上页 下页
x1
D1 D
81 3 27
x2
D2 D
108 4 27
x3
D3 D
27 1 27
x4
D4 D
27 1 27
目录 上页 下页
说明 克拉默法则揭示了线性方程组的解与方程组的 系数、常数项之间的关系. 用克拉默法则解线性方程组的计算工作量很大，它 主要是在理论上具有重要意义. 对于一般的线性方程组 (包括系数行列式等于零、以 及方程个数 和未知量个数不同的线性方程组)，常规 解法是后面第三章介绍的“高斯消元法”.
展开定理 克拉默法则
须掌握的基本技能. 行列式有以下几种常用的计算方法: 1. 直接用定义计算; 2. 利用性质化为三角形行列式; 3. 利用展开式定理降阶.(降阶法
)
18
4. 直接利用性质逐行（或列）相减法,拆开法 5. 递推公式法 6.加边法(升阶法)：在原行列式中增加一行一列，
31
如果一组不全为零的数是
的解,则它叫
做齐次线性方程组(2)的非零解. 齐次线性方程
组(2)一定有零解,但不一定有非零解. 对于齐次线
性方程组 (2) 有以下定理.
定理 2 如果齐次线性方程组(2)的系数行
列式 D 0 ,则齐次线性方程组(2)没有非零解.
定理 2′如果齐次线性方程组(2)有非零
定义 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第
i 行和第 j 列划去后,剩下的元素按它们在原行列 式中的相对位置组成的 n –1 阶行列式叫做元素 aij
的余子式,记作 Mij；记
Aij=(–1 )i+jMij ,
Aij 叫做元素 aij 的代数余子式.
5
二、行列式按行(列)展开法则
定理 3 行列式等于它的任一行(列)的各元
（补充题） 箭形行列式
12
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式乘积之和等于零，即
或 证
同理可证列的情形。
13
综合
及其推论，有关于代数余子
式的重要性质：
或
14
仿照上述推论证明中所用的方法，在行列式 det(aij) 按第 i 行展开的展开式中，用 b1 , b2 , ···, bn 依次代替 ai1 , ai2 , ···, ain ，可得
克拉默法则解齐次方程组
克拉默法则解齐次方程组克拉默法则是一种通过计算行列式值来解齐次线性方程组的方法。
对于一个n个未知数的方程组，克拉默法则的基本思想是，将每个未知数的系数与方程组的解组成一个行列式，然后将行列式的值与方程组的常数项组成一个新的行列式，最后用此行列式的值除以系数行列式的值，可以得到每个未知数对应的解。
设有一个n个未知数的齐次方程组：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0......an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0其中，a11, a12, ..., ann是方程组中每个未知数对应的系数。
首先定义系数行列式D，D的值等于将方程组的系数矩阵进行按行展开的行列式，即：D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... an然后，定义常数项行列式Di，Di的值等于将方程组的常数项组成的向量按列展开的行列式，即：Di = ，a11 a12 ... ai-1 a1i ai+1 (1)a21 a22 ... ai-1 a2i ai+1 ... a2.......................an1 an2 ... ai-1 ani ai+1 ... an其中，ai是方程组第i个未知数的系数。
根据克拉默法则，每个未知数的解xi等于系数行列式Di除以系数行列式D的值xi = Di / D通过使用克拉默法则，可以依次求解每个未知数的解，从而得到方程组的解。
需要注意的是，克拉默法则的计算比较繁琐，尤其是对于未知数较多的方程组。
当未知数的个数增多时，计算每个未知数的解需要进行多次行列式运算，工作量较大。
此外，克拉默法则对计算精度的要求也较高，因为行列式的计算本身就存在一定的误差，而且行列式的值通常是比较大的数，可能会造成计算结果的误差。
总结起来，克拉默法则是一种解齐次方程组的有效方法，可以求解方程组的解。
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组时, 很少用克拉默法则,不具有实际计算意义. 另外, 当方程组中方程的个数与未知量的个数
不等时,就不能用克拉默法则求解. 但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论
中的重要地位. 克拉默法则不仅给出了方程组有
唯一解的条件, 并且给出了方程组的解与方程组
的系数和常数项的关系.
例2 问 取何值时，齐次方程组
1
9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6
81,
108,
2
1
8
1
2
1
5
8
1 3 9 6 D3 0 2 5 2 1 4 0 6
1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
D1 81 x1 3, D 27
D3 27 x3 1, D 27
27,
D2 108 x2 4, D 27
D4 27 x4 1. D 27
注意：通过上述例子, 我们看到用克拉默法则求解 线性方程组时,要计算 n+1 个 n 阶行列式,这个 计算量是相当大的, 所以, 在具体求解线性方程
因为D=0时，齐次方程组有非零解 所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答
不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.
三、内容小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即D a n1 a n 2 a nn
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
第 七节
克拉默法则
一、克拉默法则 二、重要定理 三、内容小结
在本章的第一节,我们在引进了二阶、三阶行
列式以后，得到了二元、三元线性方程组的很好
记忆的求解公式. 定义了 n 阶行列式以后, 对于
含有 n 个未知数 n 个方程的线性方程组, 也有
类似的求解公式——克拉默法则.
非齐次与齐次线性方程组的概念
0
7
5
13
1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 2 1 2 7 7 12
c1 2c2
3 5
3
c3 2c2
0 1 0 7 7 2
3
8
3
7 2
27,
5 1 2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理1′如果线性方程组 1 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.(逆否命题)
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克拉默法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
定理2
2
如果齐次线性方程组2 的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解.
定理2′ 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它 的系数行列式必为零 D 0 .(逆否命题)
反之： 以后将证明：若系数行列式 D 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 设线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
有非零解.
例1 用克拉默则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
解
2
1ห้องสมุดไป่ตู้
5
1
r1 2r2
r4 r2
(1)方程个数等于未知量个数;
(2)系数行列式不等于零.
2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.
作业 P26 10(1),11
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？
解
D
1 2 1
2 3 1
4 1 1
32 ,
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
二、重要定理