2016-2017学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.2椭圆方程及性质的应用课后演练提升北师大版选修2-1讲义

2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2.2 椭圆方

程及性质的应用课后演练提升 北师大版选修2-1

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 2

25－k

＝1(0＜k ＜9)的关系为( )

A ．有相等的长、短轴长

B ．有相等的焦距

C ．有相同的焦点

D ．有相同的长、短轴

解析： 显然，两椭圆的焦点、长轴长、短轴长均不相同，但两方程中的c 是一样的，故有相等的焦距．

答案： B

2．若方程x 24＋y 2

8sin α

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2

B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2

D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2 解析： 焦点在y 轴上，∴8sin α＞4，

∴sin α＞1

2

，

∵α是锐角，∴α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6，π2. 答案： C

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋

y 2

9

＝1上，则sin A ＋sin C

sin B

＝( )

A.54

B.45

C ．1 D.5

8

解析： 由方程可知a ＝5，b ＝3，c ＝4. sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC ＝2a 2c ＝5

4.

答案： A

4．(2012·三明高二检测)过椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于

点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )

A.

22 B.

33 C.12

D.13 解析： ∵∠F 1PF 2＝60°，

∴在Rt △PF 1F 2中，|PF 2|＝2|PF 1|，

又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2

3a ，

又

|F 1F 2||PF 1|＝2c

2

3

a ＝tan 60°＝3， ∴c

a

＝

33，即e ＝3

3.故选B. 答案： B

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2

＝24上，则2m ＋4的取值范围是________． 解析： 椭圆方程可化为：x 23＋y 2

8＝1，

∵点(m ，n )在椭圆上，∴－3≤m ≤3， ∴－23＋4≤2m ＋4≤23＋4. 答案： [－23＋4,23＋4]

6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3

2

，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．

解析： 设椭圆的长半轴为a ， 由2a ＝12知a ＝6，

又e ＝c a ＝3

2，故c ＝33，

∴b 2＝a 2－c 2

＝36－27＝9.

∴椭圆标准方程为x 236＋y 2

9＝1.

答案：

x 236＋y 2

9

＝1 三、解答题(每小题10分，共20分)

7．求中心在原点，一个焦点为(0,52)且被直线y ＝3x －2截得的弦中点横坐标为1

2

的椭

圆方程．

解析： 设椭圆方程y 2a ＋x 2b ＝1(a ＞b ＞0)，弦AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2

，－12，设直线y ＝3x －2与

椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪

⎧

b 2y 2

1＋a 2x 2

1＝a 2b 2

b 2y 22＋a 2x 22＝a 2b

2

，得a 2(x 21－x 22)＋b 2(y 21－y 2

2)＝0，

两边同时除以x 1－x 2， 得a 2

·(x 1＋x 2)＋b 2

(y 1＋y 2)·

y 1－y 2

x 1－x 2

＝0， ∴a 2

·2x 0＋b 2

·2y 0·k ＝0，

∴a 2

·2×12＋b 2·2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×3＝0，

∴a 2

＝3b 2

，又a 2

－b 2

＝50，∴y 275＋x 2

25

＝1.

8.

如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶

点，直线AF 2交椭圆于另一点B .

(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且AF →2＝2F 2B →

，求椭圆的方程．

解析： (1)由∠F 1AB ＝90°知b ＝c ，则e ＝c

a

＝

c 2a 2

＝c 2b 2

＋c

2

＝

22

. (2)由已知条件a 2－b 2

＝1， ①

设B (x ，y )，A (0，b )，则AF 2→＝(1，－b )，F 2B →

＝(x －1，y )， 由AF 2→＝2F 2B →

，即(1，－b )＝2(x －1，y )，

解得x ＝32，y ＝－b

2，

则94a 2＋b 2

4b

2＝1，解得a 2

＝3， ②

①－②得b 2

＝2.所求椭圆的标准方程为x 23＋y 2

2＝1.

尖子生题库 ☆☆☆

9．(10分)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点，过F 2的直线l 与椭

圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.

(1)求椭圆C 的焦距；

(2)如果AF 2→＝2F 2B →

，求椭圆C 的方程．

解析： (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离2c sin 60°＝23，即3c ＝23，故c ＝2.椭圆C 的焦距为4.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＜0，y 2＞0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)，

联立⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝3 x －2 x 2a 2＋y 2

b

2＝1消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4

＝0，

解得y 1＝－3b 2

2＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2

2－2a

3a 2＋b

2

， 因为AF →2＝2F 2B →

，所以－y 1＝2y 2，

即3b 2 2＋2a 3a 2＋b 2＝2－3b 2

2－2a 3a 2＋b 2

，解得a ＝3， 而a 2

－b 2

＝4，所以b ＝5， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2

5＝1.