2.3.1-2.3.2 平面向量基本定理学案

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2.3.1-2.3.2平面向量基本定理及坐标表示导学案

2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示【学习目标】1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念、向量的坐标表示的理解。

【重点】平面向量基本定理；【难点】平面向量基本定理的运用，向量的坐标表示的理解。

课前案一、【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？_______________________________________2．怎样理解向量的数乘运算λa？（1）模：|λa|= __________ ；（2）方向：λ>0时λa 与a 方向________；λ<0时λa 与a方向_________；λ=0时λa=03. 向量共线定理：__________________________________________________________预习自测1知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么()A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向2知a →与b →是两个不共线向量，且向量a →+λb →与－(b →－3a →)共线，则λ=课中案二、【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量=31e +22e 、=1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量,那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢? 结论：由上述过程可以发现,平面内任一向量______________________________________2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时；λ2=0时；λ1=0、λ2=0时。

2.3.1 平面向量基本定理学案【人教版】高中数学必修

§2.3.1 平面向量基本定理一．教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；二、讲解新课：1．创设情景，揭示课题.(1)给定平面内任意两个向量e 1,e 2.请同学作出向量3e 1+2e 2,e 1-2e 2. 引导学生分析向量e 1,e 2的可能位置关系,区分共线和不共线两种情况, 小结1。

:给定平面内任意两个向量e 1,e 2及实数λ1，λ2，则一定可以作出向量λ1e 1+λ2e 2。

(2)思考: 给定平面内任意两个向量e 1,e 2.平面内任意一个向量a ，是否可以将a 表示成λ1e 1+λ2e 2的形式?，既是否找到实数λ1，λ2，使a=λ1e 1+λ2e 2.2.教师引导学生交流讨论探究平面向量基本定理平面内任意两个向量e 1,e 2, a 是平面内任一向量,作图研究a 与e 1,e 2.之间的关系.(1) e 1,e 2.共线时.结论1 ：不一定存在实数λ1，λ2，使a=λ1e 1+λ2e 2.(2) e 1,e 2.不共线时.如图,已知平面内任意两个向量e 1,e 2,a 是平面内任一向量,引导学生作图, 用e 1,e 2,表示a,小结2：任意向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1,e 2,表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.即a=λ1e 1+λ2e 2.操作验证:当e 1,e 2, a 确定后,这样的实数λ1,λ2是唯一确定的.3.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量4.向量的夹角和垂直两个非零向量a,b,作→→=a OA ,→→=b OB ,则)0(,πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a,b 的夹角.当向量a,b 的夹角是 90时,称向量a,b 垂直,记作a ⊥b.当夹角为0°时，同向共线;当夹角为180°时，反向共线。

数学苏教版必修4学案：第2章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理

向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ，又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解．如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线．所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ，则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ，又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ，所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1，即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。

平面向量基本定理学案

2.3平面向量的基本定理及坐标表示学案
2.3.1平面向量基本定理
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
石家庄市第十五中学王真
一、学习目标
1.了解平面向量基本定理及其意义，能用平面向量基本定理进行简单的应用.
2.掌握平面向量的坐标表示，会进行平面向量的正交分解. 二、学习重点与难点
重点：平面向量基本定理及向量坐标表示形式难点：平面向量基本定理的探究三、学习过程
引例
.2,23,,212121e e e e e e -=+=请作出的向量给定平面内两个不共线
探究1
.
,,221121图研究是否都可以用形如平面内的任意向量量给定平面内任意两个向e e e e λ+λ
问题1
.,,,,2121d c e e e e 向量分别作图表示向量试用给定两个向量
)(,)1(221共线与不共线e e e
1e
)(,)2(221共线与共线e d e e
1e 2e
探究2
.
,,212211是否唯一？并说明理由每一个都可以用形如若平面内的任意向量λλλ+λa e e 探究3
?
,,,数来表示呢是否也能用一对有序实平面内的每一个向量那么对直角坐标数对表示每一个点都可用有序实平面直角坐标系中
问题2
.,,作图表示向量
1
e 2
e c
2
e d
c。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4

2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则．类型三向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形．所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角．方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形．所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33，所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。

平面向量基本定理学案

平面向量基本定理预习学案一、学习目标1、了解平面向量基本定理及其意义，会利用向量基本定理解决简单问题。

2、通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法。

二、学习重点、难点重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的理解三、问题探究1、当基底确定后，平面内任一向量的表示是唯一的，为什么？2、同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？四、知识梳理1、平面向量基本定理：2、我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为2211e a e a +叫做3、已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于直线l 上任一点P ，存在实数t ，使关于基底的分解式为=OP ，这个等式叫做直线的向量参数方程式。

课堂效果自测有向量的基底的是（）所在平面上表示其他所行四边形向量组中可作为这个平两对角线的交点，下列是平行四边形设点ABCD O .1①AB AD 与 ②BC DA 与 ③DC CA 与 ④OB OD 与 A.①② B.①③ C.①④ D.③④2.如图，D,E,F 是三角形ABC 的边BC,CA,AB 的中点，且b CA a BC 2,2==，在给出的下列四个等式中，正确的是（）①b a AD 2+=②b a BE +=2 ③a b BF += ④CA BC AB CF BE AD ++=++A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②③④3.在平行四边形ABCD 中，NC AN b AD a AB 3,,===，点M 为BC 中点，则MN ={}NPMP MN b a b AC a AB AB AP CA CN BC BM AB CA BC ABC P V M ,,,,41,41,41,,,,.4基底下的分解式：，试写出下列向量在此，选择基底，如果上的点，且三边分别是三角形如图，已知=====A BCDE F AP NCMB平面向量基本定理讲授学案一、知识回顾：1.向量的平行四边形法则2.平行向量基本定理二、知识讲解引例：如教材中图2-34,设1e ,2e 是两个不平行的向量,用向量1e ,2e 表示图中向量？平面向量基本定理如果1e ,2e 是一平面内的两个的向量,那么该平面内的向量a ,存在的一对实数21,a a 使a = .把不共线向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 反思小结三、例题分析例1?M MD MC MB MA b a b AD a AB ABCD 、、、表示、，用　，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形== C.,,,,,AD AB d c d AN c AM BC DC N M ABCD 表示，试用已知的中点分别是中，拓展：在平行四边形==MC NBA D小结：例2四、课堂小结五、课后作业1. 课后练习A 1、22. 预习向量的正交分解与向量的直角坐标运算{}.)1(:,.上一定在并且，满足上式的点的分解式为，使关于基底，存在实数上任一点求证：对直线外一点是上任意两点，点是直线，已知：l P OB t OA t OP OB OA t P l l O l B A +-= ABOP1.1.0.1.(),),,(,,=+=-=+-=++=n m D n m C n m B n m A n m c b a c b a b n a m c 需满足的条件是，有公共的起点设终点在一条直线上要使的拓展：已知。

平面向量基本定理-教案(林祖成)

§2.3.1平面向量基本定理高一数学组林祖成【教学目标】1．了解平面向量基本定理的证明；2．掌握平面向量基本定理及其应用：①平面内的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；②能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示。

2．激发学生学习兴趣,培养学生不断发现,探索新知的精神；体会学习的快乐。

【重点难点】重点：平面内任一向量用两个不共线非零向量表示。

难点：平面向量基本定理的理解。

【教学过程】一、问题情境问题1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度（如图）．问题2：在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1，和使物体垂直与斜面压紧斜面的力F2，那么平面内的任一向量能否用两个不共线的向量来表示呢？二、新知探究问题1给定一个向量a是否可以分解成两个不共线方向上的向量之和?（这部分由学生讨论解决）在平面内任取一点O ，作OA uu u r=1e ，OB u u u r =2e ，OC u u u r =a ，过点C 作平行于OB 的直线，交直线OA 于M ；过点C 作平行于OA 的直线，交直线OB 于N ，则OC u u u r =OM u u u u r +ON u u u r。

探究结果：分解结果一致，即该分解唯一．教师提问：既然a 可以分解成e 1 ,e 2两个方向上的向量，那么a 是否可以用含有e 1 ,e 2的式子表示出来？（a =1λ1e +2λ2e ）追问：一对实数1λ，2λ是否唯一？(学生讨论并回答)教师点评：分解结果的唯一，决定了两个分解向量的唯一。

由共线向量定理,有且只有一个实数1λ使得OM=1λ1e 成立，同理，实数2λ也唯一，即一组数1λ，2λ唯一确定。

所以有且只有一对实数1λ，2λ，使得OM u u u u r =1λ1e ，ON u u u r=2λ2e 。

因为OC u u u r =OM u u u u r +ON u u u r，所以a =1λ1e +2λ2e ．学生进一步尝试概括定理．探究二：“给定”换成“任一”，学生猜想验证．课件辅助（利用几何画板课件）探究结果：改变a 的大小和方向，结果仍然成立．即这个平面内任一向量都可以分解成这两个方向上的向量．学生全面的概括定理内容．说明：（1）我们把不共线．．．的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base ），平面上的任意两个不共线的向量都可作为基底；（2）平面向量基本定理的实质在于：平面内任意一个向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，即用一组基底e 1，e 2表示成a =λ1e 1+λ2e 2的形式，我们称它为向量的分解．当e 1，e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解；（3）任意向量都可以沿两个不平行的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的，即λ1，λ2是被a ，e 1，e 2唯一确定的数量．四、数学运用例1．如图平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点M ，AB = a ，AD =b ,用基底a ，b 表示MC ，MA ,MB 及MD说明：平行四边形为向量中常用的图形，其中体现了向量的加、减法的几何意义，也可体现向量分解的几何意义．引申：设AC →=a ，BD →=b ，试用a ，b 表示其他向量．变式练习（课堂练习）１．若1e ，2e 是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是（）A.1e + 2e 和1e -2eB.31e -22e 和-61e +42eC.1e +32e 和31e +2eD.1e +2e 和2e2．已知ABC ∆中，D 是BC 的中点，用向量AB ，AC 表示向量AD .3．设Q P ,分别是四边形的对角线AC 与BD 的中点，=BC a ，=DA b ,并且a ，b 不是共线向量，试用基底a ，b 表示向量PQ .例2．设1e ，2e 是平面内的一组基底AB =31e -22e ,BC =41e +2e ,CD =81e -92e 证明A ，变式练习（课堂练习）1． i ,j 是两个不共线的向量，已知32AB =+u u u r i j ，,2CB CD λ=+=-+u u u r u u u ri j i j ，若A ，B ，D 三点共线，求实数λ的值。

高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案

高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个，记作；规定：（1）|λ|=（2）λ>0时，λ与方向；λλ=0时，λ=2．运算定律：结合律：λ(μ)=；分配律：(λ+μ)=，λ(+)=3.向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.新知梳理：1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。

思考感悟：(1)基底不惟一，关键是；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；(2)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数.3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。

当=，、同向；当=，、反向；统称为向量平行，记作如果=，与垂直，记作⊥。

对点练习：1.设、是同一平面内的两个向量，则有()A.、一定平行B.、的模相等C.同一平面内的任一向量都有＝λ+μ(λ、μ∈R)D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)2.已知向量＝-2，＝2+，其中、不共线，则+与＝6-2的关系（）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与，与．(填共线或不共线).【合作探究】典例精析：例1：已知向量，求作向量 2.5+3变式1：已知向量、(如图),求作向量：（1）+2. （2）-+3例2:如图，，不共线，且，用，来表示变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.【课堂小结】知识、方法、思想【当堂达标】1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题：①给定向量,总存在向量,使;②给定向量和,总存在实数和,使;③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;上述命题中的则真命题的个数是()（）A．1B．2C．3D2.如图，正六边形ABCDEF中，=A．B．C．D．3.在中，，，，为的中点，则____________.（用表示）【课时作业】1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ），则（）A．=,=B．=0,=0C．=0,=D．=,=02．在△ABC中，AD→＝14AB→，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M 是BC的中点，AM与DE相交于点N，若AN→＝xAB→＋yAC→(x，y∈R)，则x＋y等于()A．1B.12C.14D.183．在如图所示的平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN→＝________.(用a，b表示)．4.如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.6如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．7.如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件AP→＋2BP→＋3CP→＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP→＝p，用p表示CQ→.【延伸探究】已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4。

平面向量基本定理(学案)

平面向量共线定理学案COBCAOBCA111OC OA OB λλλ=+++ 教学目标：1. 理解平面向量基本定理及其意义；2. 能用一组基底向量表示平面内的一些简单的向量。

教学过程：情景：（1）速度的分解；（2）力的分解；（见PPT ）. 问题1：任意一个向量a 是否可以分解成两个不共线方向上的向量之和, 即a OM ON =+?结论: ________________________________________________________________________ 平面向量基本定理（书P68）：___________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 说明：(1) _____________________________________________________________________ (2)____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ (3) ___________________________________________________________________________ 问题2：你觉得其中其中的关键字有哪些？你会提出哪些疑问？探究一：______________________________________________结论：_________________________________________________ 探究二：_______________________________________________例1. 如图所示，ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，,AB a AD b == ，试用基底,a b 表示,,,MC MA MB MD .练习：书P70.练习2.3.4.例2. （1）已知43AP AB = ，用OA OB 、表示OP；（2）如图，在ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，()1A C C B λλ=≠- 。

2017优质课《2.3.1平面向量基本定理》教案

《平面向量基本定理》教案参赛号：70一、教材分析本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。

所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。

平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的探究；教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.三、教学过程1、情景创设七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢问题1 给定一个非零向量a r，允许做线性运算，你能写出多少个向量a r a r问题2 给定两个非零向量12 ,e e u r u u r，允许做线性运算，写出尽量多的向量1、12 //e e u r u u r 通过线性运算会得到11221122 +e e e e λλλλu r u u r u r u u r的形式，本质上它们表示的都是1e u r的数乘。

2、12 e e u r u u r ，不共线通过线性运算会得到1122+e e λλu r u u r ，它表示的是什么向量 1e 2e不妨我们作出几个向量12+e e u r u u r ，122+e e u r u u r ， 12-e e u r u u r， 12-2e e u r u u r 来看看。

只要给定1λ和2λ的值，我们就可以作出向量1122+e e λλu r u u r ，本质上是1e u r 的数乘和2e u u r的数乘的合成。

高中数学新人教版A版精品教案《2.3.1 平面向量基本定理》

平面向量的基本定理、正交分解及坐标表示一、教学目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，了解向量的夹角概念；（2）会用基底表示平面内任一向量，能简单的应用平面向量基本定理，掌握平面向量的正交分解坐标表示。

2、过程与方法（1）通过对平面向量基本定理的探究以及用坐标表示平面向量的过程，体会由特殊到一般的方法，培养学生“数”与“形”相互转化的思想方法。

（2）培养学生观察、发现问题的能力，加强学生思维能力的训练，通过对平面向量基本定理的运用，增强学生对向量的应用意识，让学生进一步体会向量是处理几何问题的强有力工具。

3、情感态度与价值观通过本节课的教学，引导学生经历定理的产生过程，学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探索活动中形成锲而不舍的钻研精神，培养学生严肃认真的科学态度与积极探索的良好学习品质．二、教学重点与难点重点：平面向量基本定理的探究；平面向量的坐标表示。

难点：平面向量基本定理的理解及其应用。

三、教学方法探究学习——本节课的教学内容是在学生已经学过向量加法与减法，以及平面向量线性运算的基础上，由向量的合成引出向量分解，通过研究向量的分解，探究平面向量基本定理，为向量的坐标运算构建理论基础．四、教学过程一、复习旧知，引入课题：1．向量的加法运算法则？2．两个非零向量共线的条件是什么？3．给定向量 1e 2e ，作向量→a =1232e e + 采用平行四边形法则构图求得，反问：给定向量 1e ，2e 和→a 向量，如何确定三者之间的关系，上述关系式还成立吗？教师：（1）提问学生回答，多媒体展示三角形法则、平行四边形法则；（2）两非零向量共线的条件，并补充问题两向量方向有何关系？（3）提问学生口述向量合成的过程，引导学生思考反问，板书课题。

学生：思考并进行回答，设计意图：回顾平面向量线性运算及向量共线定理，提问学生由向量的合成问题反问其分解问题——引出课题二、探究归纳，讲授新课： 1、平面向量基本定理假设1e ，2e 是平面内两个不共线向量，a 是平面内任一向量，能否用向量1e 2e 表示向量→a （引导学生构造平行四边形）OA =1e ，OM =λ12e ，OC =a =OM ON =λ11e λ22e ， OB =2e ，ON =λ22e ．教师：引入几何画板，引导学生通过向量动态变化深刻认识定理的关键点，并设置以下问题引导学生进行思考：（1）向量→a 是平面中的任意一个向量吗？如果向量→a 与向量1e 或者2e 共线，还能否用其表示？（板书：向量→a 的任意性）（2）向量1e 2e 可否共线？向量→a 只能用向量1e 2e 进行表示吗？（板书：基底是平面内任意两个不共线向量,用来表示向量→a 的1e 2e 可以有无数组）（3）基底确定,对于向量→a ,有且只有一对实数λ1 λ2,使得a ＝λ11e λ22e （板书：λ1λ2的唯一确定性）教师引导学生归纳总结得出平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有1e2eaNBC一对实数λ1 ，λ2使a ＝λ11e λ22e ．不共线的向量1e 2e 叫做表示平面内所有向量的一组基底设计意图：通过问题的设置，引导学生观察几何画板中向量分解所构造的平行四边形动态变化，归纳总结平面向量基本定理的关键点，掌握其定理本质含义，加深学生对定理的认识。

平面向量基本定理学案

必修4 2．3．1 平面向量基本定理【学习目标】1.能举例说明平面向量基本定理，能理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；２.能够在具体问题中适当地选取基底，使其它向量都能够用该基底来表达；３.通过实际作图体会平面向量基底的不唯一性，体会数学中辩证唯物主义思想，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；【学习重点】平面向量基本定理．【难点提示】平面向量基本定理的理解与灵活运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材9394P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白或横线处，同时思考下列问题： 1.向量的数乘的定义及其规定、、、；2.向量数乘的运算律、、；3.平行向量与共线向量的区别与联系；4.向量共线定理；5.如图已知两个不共线的单位向量a 、b ，请作出向量 2a 、3b 、23a b +、2a b -，感悟向量a 、b 、23a b +、2a b -有怎样的关系？它们在同一平面吗？6.在初中，“角”的概念是，aｂ图2.3.1-1两条直线间有角相关的概念吗？那么，我们现在研究的向量中任意两个向量之间有角度的问题吗？以上5、6提出的问题就是本节课我们要探究的问题！二、学习探究 1.平面向量基本定理●思考阅读请同学们对“学习准备”中的问题5进行发挥发散思维，大胆探究：若向量C 是向量a 、b 所在平面中的任意一个向量，则向量C 能表示为C a b λμ=+，其中λμ、是待定的实数？若能，请作图与解释！继续探究：若将“学习准备”中的单位向量等换成向量 21,e e 和a ，其中21,e e 是同一平面内的两个任意不共线向量， a 是同一平面的任意向量（如图2.3.1-2），那么我们可否用 21,e e 这两个向量将a 表示出来？即：12(,)a e e R λμλη=+∈若能，请作图验证、或用相关知识阐述你判定的正确性！若不能，也请说明理由．请同学们深入思考或展开讨论上面提出的问题，或阅读教材P93-94页再归纳结论. 归纳概括平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，___________一对实数λ1，λ2使_______ _____．我们把不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组_________.快乐体验 1.给出下面三种说法，其中正确的说法是（）（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（3）零向量是不可作为基底的向量.A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）2.已知21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（） A.1e 和1e +2e ； B.1e -22e 和2e -21e ；C.1e -22e 和42e -21e ；D.1e +2e 和1e -2e .同学们通过探究与体验后，对向量共线条件有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？挖掘拓展（1）你能用几种语言来描述平面向量基本定理？为什么叫“基本定理”？（2）“基本定理”的本质是什么？生活中有现实意义吗？（3）该定理中有没有“关键词”？有没有容易混淆与出错的地方？（链接1）（4）你怎样理解“基底”这个概念、及概念中的“所有向量”？（5）一平面内平面向量的基底是否只有一对？平面向量基底21,e e是任意不共线的两个向量？还是只能是预先指定的不变的两个不共线向量？基底21,e e 向量除有不共线的要求，还与它们的位置有无关系呢？（6）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2 是否相同？（7）若a =0，则21,λλ分别等于多少时，可使22110e e λλ+=？2.向量的夹角在“学习准备”的6问中提到“角”、以及两直线的角的相关问题.从前图2.3.1-2面的学习中我们不难想到，在向量中，任意两个向量除了共线与不共线的问题、模的大小问题，向量还有一个重要元素就是“方向”，既然有方向，两者之间就有角度的问题，特别是不共线向量的位置关系更需要角度来刻画.请同学们在同一平面中任作一些向量进行观察，并思考看如何定义向量之间的夹角呢？范围确定在什么范围最恰当？请同学们深入思考或展开讨论这里提出的问题，或阅读教材P94页再归纳结论. 归纳概括已知两个向量a 和b ，如图2.3.1-3，作OA a =，OB b =，则(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做向量a 和b 的夹角.挖掘拓展 1.概念中，为什么要指明是两个“非零向量”？ 2.为什么要将两个向量的夹角限制为0180θ≤≤？ 3.三个重要的特殊位置，即：两个非零向量a 和b 同向、反向、垂直时的夹角分别为、、 .（链接2）三、典例赏析例1. 如图2.3.1-4，已知向量21,e e ，求作向量-2．51e +32e ．（本例是教材P94页例1，请同学们先独立完成后在看教材的解答.解:解后反思该题的题型怎样？你的作法与教材一致吗？还有其它作法吗？变式练习例 2. 如图2.3.1-5三角形ABC 中，若D ，E ，F 依次是则以1,CB e =2CA e =为基底时，用21,e e 表示解：解后反思该题题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键点、难点在哪里？有易错点吗？变式练习如图2.3.1-6，已知OA 和OB 是不共线向量，()R t AB t AP ∈=，试用OA 和OB 表示OP .解:四、学习反思 1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：平面向量基本定理是什么？能够成为平面内一组基底的两向量有怎样的要求？向量夹角的概念是怎样的？都理解与掌握了吗？图1e 图2.3.1-42.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价 1.已知向量212e e a -= ，212e e b +=，其中21,e e 不共线，则b a +与2126e e c -= 的关系（）A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2.已知向量21,e e 不共线，实数x 、y 满足(3x-4y) 1e +(2x-3y) 2e =2136e e +，则x-y 的值等于( )A ．3B ．-3C ．0D ．23.若21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）A .122e e -和122e e + ；B .1e 与23e ；C .1223e e +和1246e e -- ；D .12e e +与1e . ４.已知b a ,不共线，且b a c 21λλ+= (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= ．５.已知λ1＞0，λ2＞0，21,e e 是一组基底，且2211e e a λλ+=，则a 与1e _____，a 与2e _________(填共线或不共线)． 6.若21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（）A .若实数21,λλ使02211 =+e e λλ，则021==λλB .空间任意向量都可以表示为2211e e a λλ+=，其中21,λλ∈RC .2211e e λλ+21,λλ∈R 不一定表示平面内一个向量D .对于这一平面内的任一向量a ，使2211e e a λλ+=的实数对21,λλ有无数对 7.设21,e e 是平面的一组基底，如果 121232,4,AB e e BC e e CD =-=+=1289e e -，求证：A 、B 、D 三点共线证明：8.如图2.3.1-7，M 是ABC ∆内一点，且满足条件 230AM BM CM ++=,延长CM 交AB 与N ，令CM a =，使用a 表示CN . 解:【学习链接】链接1.该定理中有几处关键词，如：“不共线向量”、“任意向量”、“有且只有”、“所有向量”等，同时这些也是易错点、易混点；链接2.学习向量夹角有何作用以及如何判定两个非零向量垂直？等，在后面的学习中会回答这些问题！图2.3.1-7 NBC A M。

2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.3.1 平面向量基本定理

2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1平面向量基本定理[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义． 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理与向量夹角．[难点] 平面向量基本定理的应用．知识点一平面向量基本定理[填一填](1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[答一答]1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．知识点二向量的夹角[填一填](1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．(2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；当a与b同向时，夹角θ＝0°；当a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.[答一答]3．零向量与向量a的夹角是多少呢？提示：向量的夹角是针对非零向量定义的，零向量与向量a 的夹角没有意义．4．等边三角形ABC中，向量与的夹角是60°吗？提示：不是，求两个向量的夹角时，两个向量的起点必须相同，所以等边三角形ABC中，向量与的夹角是120°而不是60°.类型一基底的概念[例1](1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2(2)设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.[解析](1)在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其它三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．(2)因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝代入②得e1＝e2－b＝－b＝a－b，故有e1＋e2＝a－b＋a＋b＝a－b.[答案](1)B(2)a－b根据平面向量基底的定义知，此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.[变式训练1]设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是③.解析：①中，设e1＋e2＝λe1，则无解．所以e1＋e2与e1不共线，故e1与e1＋e2可作为一组基底；同理，可得②④中的两个向量不共线，可作为一组基底；③中的两个向量共线，不可作为一组基底．类型二用基底表示向量[例2]如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a、b表示.[分析]利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.[解]∵＝＋，＝＋，设＝m，＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋m b，＝＋n＝(1－n)b＋n a.∵a与b不共线，∴∴n＝.∴＝a＋b.将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.[变式训练2]如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示，，.解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，所以＝＝a，＝＝＝b.＝＋＋＝－－＋＝－×b－a＋b＝b－a.类型三向量的夹角问题[例3]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a 的夹角为α，a－b与a的夹角是β.求α＋β.[解]如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作▱OACB，则＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°.因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB.所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，∴α＋β＝90°.求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.[变式训练3]在等边三角形ABC中，向量与向量的夹角为120°；E为BC的中点，则向量与的夹角为90°.解析：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，如图，延长边AB至点D，使BD＝AB，∴＝，∴∠DBC为向量与的夹角，且∠DBC＝120°，又E为BC的中点，∴AE⊥BC.∴与的夹角为90°.1．下列说法中，正确说法的个数是(C)①在△ABC中，，可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底．A．0B．1 C．2D．3解析：①③正确，②错误．2．已知平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，则向量与的夹角是(C)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由图知向量与的夹角为∠BCD＝60°的补角120°.3．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝3.解析：∵e1，e2不共线，∴，解得∴x－y＝3.4．如图所示，向量，，的长度分别是2，，1.∠AOB＝120°，∠AOC＝150°，则＝－＋－.解析：不妨设＝m＋n，则m<0，n<0.如图，构建▱OA′C′B′，其中＝－，且＝＋，则∠A′OC′＝30°，∠B′OC′＝90°，于是||tan60°＝||，||·sin60°＝||，所以||＝，||＝，从而m＝－，n＝－.5．在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设＝b，＝d，＝m，＝n.(1)以b，d为基底，表示；(2)以m，n为基底，表示.解：如图所示．(1)＝－＝(＋)－(＋)＝－＝b－d.(2)∵m＝＋＝d＋，①n＝＋＝＋d，②∴由①②消去d，得＝n－m.——本课须掌握的两大问题1．平面向量基本定理的作用(1)平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是下一节学习向量坐标表示的理论依据，是一个承前启后的重要知识点．(2)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．2．两向量夹角的实质和求解(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．。

高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4(2021年整理)

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2．3。

1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。

平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。

2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。

因此本节知识在本章中起承上启下的作用。

3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。

它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。

【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。

过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。

情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。

【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。

高中数学学案5：2.3.1 平面向量基本定理

2.3.1 平面向量基本定理学习目标1.了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)知识梳理知识点1 平面向量基本定理问题导思1．如果e 1，e 2是两个不共线的确定向量，那么与e 1，e 2在同一平面内的任一向量a 能否用e 1，e 2表示？依据是什么？2．如果e 1，e 2是共线向量，那么向量a 能否用e 1，e 2表示？为什么？1．定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a ， _________________实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内向量的一组基底.知识点2 两向量的夹角与垂直问题导思平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？1. 夹角：已知两个 a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图所示)．(1)范围：向量a 与b 的夹角的范围是0°≤θ≤180°.(2)当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b ．2．垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .课堂探究类型1 用基底表示向量例1 如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.规律方法1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解．互动探究在本例中，若取AC →＝x ，DB →＝y 作为基底，试用x ，y 表示DE →，BF →.类型2 向量的夹角例2已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.规律方法1．求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.变式训练若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．类型3 平面向量基本定理的应用例3如图所示，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD 的三等分点．规律方法1．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题．2．求解这类问题，不仅要灵活利用向量的加、减运算法则和平面向量的基本定理，而且要重视相等向量、共线向量在解题中的运用．3．证明三点共线，需说明两点：(1)三点确定的向量共线；(2)两向量有公共点．变式训练如图所示，如图平行四边形ABCD 中，点M 在AB 的延长线上，且BM ＝12AB ，点N 在BC 上，且BN ＝13BC .求证：M 、N 、D 三点共线．课堂小结1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．当堂检测1．下列关于基底的说法正确的是( )①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A ．①B ．②C ．①③D ．②③2．在等边三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角等于( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝__________，y ＝__________.4．如图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用a 、b 为基底表示DC →、BC →、EF →.参考答案知识梳理知识点1 平面向量基本定理问题导思1．【提示】能．依据是数乘向量和平行四边形法则．2．【提示】不一定，当a 与e 1共线时可以表示，否则不能表示．1．不共线任意有且只有一对2．不共线所有知识点2 两向量的夹角与垂直问题导思【提示】存在夹角，不一样．1.非零向量 ∠AOB(2)同向反向课堂探究类型1 用基底表示向量例1 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →，∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →＝－12AB →＝－12a . ∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ， BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →＝b －12a . 互动探究解：依题意x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，∴x ＋y ＝2a ，x －y ＝2b ，∴a ＝12(x ＋y )，b ＝12(x －y )，于是DE →＝a －12b ＝12(x ＋y )－14(x －y )＝14x ＋34y ， BF →＝b －12a ＝12(x －y )－14(x ＋y )＝14x －34y . 类型2 向量的夹角例2 解：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA 、OB 为邻边作▱OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a .因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形，所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ，即a －b 与a 的夹角β＝60°.因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形，所以OC ⊥AB .所以∠COA ＝90°－60°＝30°，即a ＋b 与a 的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.变式训练解：由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴∠BOA ＝60°.又∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 的夹角是30°.类型3 平面向量基本定理的应用例3 解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝AD →－AB →＝b －a ，AF →＝AD →＋D F →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a . 因为A 、E 、F 与B 、D 、E 分别共线，所以存在实数λ、μ∈R ，使AE →＝λAF →，BE →＝μBD →.于是AE →＝λ2a ＋λb ，BE →＝μb －μa . 由AB →＋BE →＝AE →得，(1－μ)a ＋μb ＝λ2a ＋λb . 因为a ，b 不共线，由平面向量基本定理，∴1－μ＝λ2且μ＝λ. 解得λ＝μ＝23.∴BE →＝23BD →，即E 为线段BD (靠近D )的一个三等分点．变式训练证明：设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BC →＝AD →＝e 2.∵BN →＝13e 2，BM →＝12AB →＝12e 1. ∴MN →＝BN →－BM →＝13e 2－12e 1. 又∵MD →＝AD →－AM →＝e 2－32e 1 ＝3(13e 2－12e 1)＝3MN →. ∴向量MN →与MD →共线，又M 是公共点，故M 、N 、D 三点共线．当堂检测1．【答案】 C【解析】零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．2．【答案】 C【解析】由向量夹角定义知，AB →与BC →的夹角为120°.3．【答案】－15 －12【解析】 ∵向量e 1、e 2不共线∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12. 4．解：连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形．依题意，DC →＝FB →＝12AB →＝12b ， BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ， EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC → ＝－(a －12b )－12×12b ＝14b －a .。

平面向量基本定理教案

§2.3.1 平面向量基本定理教学设计教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教学过程：1、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=2．运算定律结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ3. 向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.二、讲解新课：1．提出问题：由平行四边形想到：（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？（2）对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？2．设，是不共线向量，是平面内任一向量，ONBM MCh M= ，=λ1； = ，=λ2==+=λ1+λ2，平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量3、两个非零向量的夹角：如图所示，已知两个非零向量，在平面上任取一点，作，则叫做向量与的夹角，【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。

高中数学人教A版第二章平面向量平面向量基本定理导学案新必修_

点 A 重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到. 5.已知在梯形 ABCD 中，AB∥DC，且 AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设→AD＝a，→AB＝
b，试用 a、b 为基底表示→DC，→BC，→EF.
解连接 FD，∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点， ∴DC 綊 FB. ∴四边形 DCBF 为平行四边形. 依题意，→DC＝→FB
2.3.1 平面向量基本定理
学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
知识点一平面向量基本定理思考 1 如果 e1，e2 是两个不共线的确定向量，那么与 e ，e2 在同一平面内的任一向量 a 能
解取 CF 的中点 G，连接 EG.
∵E、G 分别为 BC，CF 的中点，
→ 1→ 1 ∴EG＝2BF＝2b，
∴→DG＝→DE＋→EG＝a＋12b.
→ 3→ 3→ 又∵DG＝4DC＝4AB，
∴→AB＝4D→G＝4(a＋1b)＝4a＋2b. 3 3 2 33
又∵→AD＝→BC＝→BF＋→FC＝→BF＋1→DC＝→BF＋1A→B，
λ(λ e ＋μ e )；
21
22
④若存在实数 λ，μ 使得 λe1＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. 2
A.①② B.②③ C.③④ D.②
答案 B
解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底
下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即 λ1＝λ2＝μ ＝μ2＝0 时，这样的 λ 有无数个，故选 1

平面向量基本定理导学案

§2.3.1平面向量基本定理高一（）班姓名：上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量基本定理及其应用；2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。

【预习与检测】1、点C 在线段AB 上，且35AC AB --→--→= ，AC BC λ--→--→=,则λ等于（）A 、23B 、32C 、-23D 、-322、设两非零向量12,e e →→不共线，且12k e e →→+与12e k e →→+共线，则k 的值为（）。

.1.1.1.0A B C D -± 3、已知向量12,e e →→，作出向量1223OA e e →→=+与122(3)OB e e →→=+-。

两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的OA 分解成两个向量：在1e →方向上的____与在2e →方向上的______，OB 则分解成_____与_____。

4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果12,e e →→是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量a →，有且只有一对实数12,λλ，使_____________，其中不共线的向量12,e e →→叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。

5、已知两个非零向量,a b →→，作,O A a O B b →→→→==，则()0180A O B θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a →与b →的__________，若0θ=︒,则a →与b →_______；若180θ=︒,则a →与b →__________；若90θ=︒,则a →与b →_______，记作______。

【精讲与点拨】如图所示，在平等四边形ABCD 中，AH=HD ，MC=14BC ，设,AB a AD b →→→→==，以,a b →→为基底表示,,AM MH MD →→。

C2e →1e →A B【检测与纠错】1、设12,e e →→是同一平面内的两个向量，则有（）12.,A e e →→一定平行 12.,B e e →→的模相等.C 同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈.D 若12,e e →→不共线，则同一平面内的任一向量a →都有()12,a e e R λμλμ→→→=+∈2.在ABCD 中，23BP BC →→=，若,AB a BC b →→→→==, PD →=( )A 、13a b →→+ B 、13a b →→-+ C 、13a b →→- D 、13a b →→--【作业与预习】A 组：如图所示，梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，设1AB e →→=，2AD e →→=，以1e →，2e →为基底表示,,,EF BC CD AC →→→→。

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