函数的四大基本性质

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高数红宝书——第一章_函数与极限

限；最后检查分界点的左右极限。时，，连续，在右连续
同理：在连续，在左连续。在分界点：所以为第一类跳跃间断点。
【】
解：
【】解：
【】解：
【例12】求的反函数。（提示：设）解
故
【例13】设解：令
技巧：利用函数表示法的无关特性。【例14】设（x≠0,1）求。
解：令
………………① 再令 ………………② 由原式和①、②联立即可得到
1.4 复合函数，一般形式为：，指自变量为函数的函数。
1.4 反函数，存在一一映射的情况下，二者互为反函数，关于反函数具有下列重要性质：
★ 若为的反函数，则在某些场合，常把的反函数记为或，此时已重新把视为自变量，在反函数记号的使用中，一定要分清是否需要换变量记
号。
★ 改变记号后，互为反函数的两个函数和的曲线关于直线对称；没有改变记号，互为反函数的两个函数和的曲线重合。
考试要求
1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。 2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。 3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极
第一篇高等数学
第一章函数与极限
考试内容
函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

一元函数有界性的探讨

一元函数有界性的探讨作者：刘金魁张利巧来源：《文存阅刊》2019年第10期摘要：有界性是函数的四大性质之一，是初等数学和高等数学中研究函数性态的重要工具之一。

本文主要研究一元函数的局部有界性和整体有界性，总结相关的结论，加深学生对函数有界性的认识和学习。

关键词：函数;有界性1.引言函数是描述客观世界变化规律的重要工具之一，有界函数又是数学分析和高等数学中非常重要的一类函数。

在函数的若干性质中，有界性是函数的一种最基本的性质之一。

函数极限的存在性、连续性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的有界性有着一定联系的，特别是闭区间上连续函数的有界性定理又是最值定理和介值定理等重要定理的理论基础. 因此，函数的有界性具有非常重要的研究意义。

2.函数有界性的定义定义1 [1]：设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有f（x）≤M（f（x）≥L），则称f为D上的有上（下）界函数，M（L）称为f在D上的一个上（下）界。

定义2 [1]：设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D有|f（x）|≤M，则称f为D上的有界函数.注意：函数f在D上有界，则f在D既有上界又有下界，且值域f（D）是一个有界集。

3.函数有界性的若干结论定理1 [1]（局部有界性）若f（x）存在，则f在x0的某空心邻域U°（x0）内有界。

定理2[1]（有界性定理）若f在闭区间[a，b]上连续，则f在闭区间[a，b]上有界。

定理3; 若f在（a，b]上连续，且f（x）存在，则在区间（a，b]上有界。

证明：已知f（x），根据单侧极限的定义及定理1可知，存在一个正数δ<b-a，使得f在（a，a+δ）有界;又f在[a+δ，b]连续，根据定理2可知，f在[a+δ，b]有界。

综上所述，函数f 在区间（a，b]上有界，同理可得下面结论：推论1 若f在（a，b）上连续，且f（x）与f（x）存在，则在区间上有界。

2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案

≤ 0,
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )

高一数学必修①第一章_集合与函数概念讲义

心智家三优教育高一特训营数学教学进度表¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ；－5 A ； 17 B .【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组{23211x y x y -=+=的解集是（）.A . {}51，B. {}15，C. (){}51，D. (){}15，3．给出下列关系：①12R ∈； Q ；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对 5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（）.A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {}M π=, {,1,|N π= 6．已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . 7．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合；（2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合.9．已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合A .※探究创新10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠-3}； ②{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭且 ③{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭或； ④{(x ，y )|[(x -1)2+(y -1)2]·[(x -2)2+(y +3)2]≠0}．其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 .A BB A A B A B A ． B ．C ．D ． ¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）.【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.第2练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 则A 与B 之间最适合的关系是（）. A.A B ⊆ B.A B ⊇ C. A ≠⊂B D. A ≠⊃B2．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥ 3．若2{,0,1}{,,0}a a b -=，则20072007a b +的值为（）. A. 0 B. 1 C. 1- D. 24．已知集合M ={x |x =2k +14,k ∈Z }, N ={x |x =4k +12, k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是（）. A. x 0∈N B. x 0∉N C. x 0∈N 或x 0∉N D.不能确定 5．已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是（）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－1 6．已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的真子集的个数是 . 7．当2{1,,}{0,,}b a a a b a=+时，a =_________，b =_________.※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3, 2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a 的值.9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.若B A ⊆，求实数m 的取值范围.※探究创新10．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ）由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集（intersection set ）对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号 A B （读作“A 并B ”） A B （读作“A 交B ”） U A （读作“A 的补集”）符号 {|,}A B x x A x B =∈∈或 {|,}A B x x A x B =∈∈且{|,}UA x x U x A =∈∉且图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()UU R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<<求.【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()AB C ；（2）()AAB C .【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.UA※基础达标1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则UA =（）.A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,72．若{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，则A B =（）.A. {|2}x x <B. {|1}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|02}x x <<3．右图中阴影部分表示的集合是（）. A. U A B B. U A B C.()UA B D.()UA B4．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则AB =（）.A. {}1,2B. {}0,1C. {}0,3D. {}35．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠，则k 的取值范围是（）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k -> D ．12k -<≤6．设全集*{|8}U x N x =∈<，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =,则()U C A B = . 7．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N = .※能力提高8．设全集*{|010,}U x x x N =<<∈，若{3}A B =，{1,5,7}U A B =，{9}U UA B =，求集合A 、B .9．设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-，求()U A B 、()()UUA B .※探究创新10．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （1）求A B ，A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的值；（3）若5a =，则A B 的真子集共有个, 集合P 满足条件()A B ≠⊂P ≠⊂()AB ，写出所有可能的集合P .A¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n AB n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , A B .（教材P 14B 组题2）【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a的值．【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）※基础达标1．已知集合A = {}1,2,4, B ={}8x x 是的正约数, 则A 与B 的关系是（）.A. A = BB. A ≠⊂B C. A ≠⊃B D. A ∪B =∅2．已知,,a b c 为非零实数, 代数式||||||||a b c abca b c abc +++的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是（）. A. 0M ∉ B. 4M -∉ C. 2M ∈ D. 4M ∈ 3．（08年湖南卷.文1）已知{}2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,7M =，{}2,4,5,6N =，则（）.A ．{}4,6MN = B.MN U = C ．()u C N M U = D. ()u C M N N =4．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（）. A. {}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <6．已知集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足AB φ=，则实数a 的取值范围是 .7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 .※能力提高8．已知集合2{|0}A x x px q =++=， 2{|20}B x x px q =--=，且{1}A B =-，求A B ．9．已知集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，求实数a 的值.※探究创新 10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m -n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合A ※B 中的所有元素之和为（）A ．15B ．14C ．29D ．-14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于（）A ．AB ．BC ．()U A B ∩D ．()U A B ∪（3）已知集合A ={x |2x n ≠且3x n ≠，n ∈N ，x ∈N *，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和.第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（）. A. 1,xy y x==B. 11,y x y =+= C. ,y x y ==D. 2||,y x y ==2．函数y 的定义域为（）. A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 11(,)(,1]22-∞-- 3．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（）.5．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)-6．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 7．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f =. ※能力提高 8．（1）求函数y =的定义域；（2）求函数2113x y x+=-的定义域与值域.9．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式.※探究创新10．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g g g 的值.A. B.C.D.¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.※基础达标1．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（）.3．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（）.A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q + 4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（）.A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数(),mf x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 . 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则；若00()8,f x x ==则 . ※能力提高8．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++；（2）2|23|y x x =-++.9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式※探究创新 10．（1）设集合{,,}A a b c =，{0,1}B =. 试问：从A 到B 的映射共有几个？（2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间.※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞ 4．已知()f x 是R 上的增函数，令()(1)3F x f x =-+，则()F x 是R 上的（）. A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（）.A. 2a ≥B. 2b ≥C. 4a ≤-D. 4b ≤- 6．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是 . （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . ※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）3()1x f x x +=-；（2）2|23|y x x =-++9．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数.※探究创新10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 均有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()22f =，又当12x >-时，有()0f x >. （1）求1()2f -的值；（2）求证：()f x 是单调递增函数.¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac ba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.【例3】求函数2y x =.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.※基础达标 1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是（）. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52．函数221y x x =-+的最大值是（）. A. 8 B. 83C. 4D. 433．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（）. A ．1a < B ．1a ≤ C ．1a > D ． 1a ≥4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++则炮弹在发射几秒后最高呢（）.A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒5. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值6．函数3y x =-的最大值是 .7．已知3()3xf x x =-，[4,6]x ∈. 则()f x 的最大值与最小值分别为 .※能力提高8．已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值.9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？※探究创新10．已知函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值.¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点： 1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）. 2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.※基础达标1．函数(||1)y x x =- (|x |≤3)的奇偶性是（）.A ．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数2．（08年全国卷Ⅱ.理3文4）函数1()f x x x=-的图像关于（）. A ．y 轴对称 B ．直线y x =-对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y x =对称 3．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于（）. A. (1)x x -+ B. (1)x x + C. (1)x x - D. (1)x x -- 4．函数()11f x x x =+--，那么()f x 的奇偶性是（）.A ．奇函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．偶函数D ．既是奇函数也是偶函数5．若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（）. A. 增函数且最小值是－1 B. 增函数且最大值是－1 C. 减函数且最大值是－1 D. 减函数且最小值是－16．已知53()8f x x ax bx =++-，(2)10f -=，则(2)f = .7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,)+∞是增函数，且(1)0f =，则(1)0f x +<的解集为 .※能力提高8．已知函数211()()12f x x x =+-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明你的结论.9．若对于一切实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+：（1）求(0)f ，并证明()f x 为奇函数；（2）若(1)3f =，求(3)f -.※探究创新 10．已知22()()1xf x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.第10讲第一章集合与函数概念复习¤复习目标：强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用文氏图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练. 深刻理解函数的有关概念.掌握对应法则、图象等有关性质. 理解掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌握基本的判定方法和步骤，并会运用.¤例题精讲：【例1】已知a ,b 为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= .【例2】已知()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明.【例3】集合{|17}A x x =-≤≤，{|231}B x m x m =-<<+，若A B B =，求实数m 的取值范围.【例4】设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x ∈R .（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）若x ≥a ，求()f x 的最小值.第一章集合与函数概念 21 第10练第一章集合与函数概念测试※基础达标1．（06年陕西卷）已知集合{}|110,P x N x =∈≤≤ {}2|60,Q x R x x =∈+-=则P Q 等于（）.A. {}1,2,3B. {}2,3C. {}1,2D. {}22．（06年重庆卷.1)已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5,7}A =，{3,4,5}B =，则()()U U A B =（）. A. {1,6} B. {4,5} C. {2,3,4,5,7} D. {1,2,3,6,7}3．（06年辽宁卷.文3理2）设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（）A. ()()f x f x -是奇函数B. ()()f x f x -是奇函数C. ()()f x f x +-是偶函数D. ()()f x f x --是偶函数 4．（06年辽宁卷. 文2理1）设集合{}12A =,，则满足{}123A B =,,的集合B 的个数是（）.A. 1B. 3C. 4D. 85．（06年山东卷）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则f (6)的值为（）.A. －1B. 0C. 1D. 26．（06年上海卷.理1）已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B ⊆A ，则实数m ＝ .7．（06年上海春卷）已知函数()f x 是定义在(,)-∞+∞上的偶函数. 当(,0)x ∈-∞时，4()f x x x =-，则当(0,)x ∈+∞时，()f x = .※能力提高8．已知全集*{|9,}U x x x N =≤∈，两个集合A 与B 同时满足： {2,4}A B =，(){1,3,5}U A C B =，且(){7,8}U C A B =. 求集合A 、B .9．已知函数2()8f x x x =-+，求()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t .※探究创新10．已知定义在实数集上的函数y =f (x )满足条件：对于任意的x 、y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y ).（1）求证：f (0)=0；（2）求证f (x )是奇函数，并举出两个这样的函数；（3）若当x ≥0时，f (x )＜0. （i ）试判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明之；（ii ）判断方程│f (x )│=a 所有可能的解的个数，并求出对应的a 的范围.。

函数的性质专题讲义

函数四大性质综合讲义1．函数的单调性(1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值3.（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

函数的四大基本性质

函数的四大基本性质知总结基础知识：1【奇偶性】（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：①即定义域关于原点对称。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇1. 以下函数：（1）)0(1≠=x xy ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =；（5）)1(log 22++=x x y ，(6)221)(2-+-=x x x f ；其中奇函数是，偶函数是，非奇非偶函数是。

2.已知函数)(x f =11++-x x ,那么)(x f 是( )A.奇函数而非偶函数B. 偶函数而非奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数也非偶函数2.【单调性】（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。

高等数学笔记(含数一内容)

隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构齐+齐=齐齐 + 非齐 = 非齐非齐 + 非齐 = 齐（拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0）若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1）（二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）；性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。连续函数的运算

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合

数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。

宇宙世界，充斥着等式和不等式。

我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。

而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。

可以说，函数的研究离不开方程。

列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。

它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。

一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。

对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。

另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。

我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)

二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【例1】已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

第一章实数集与函数

证明用反证法 .假若结论不成立 , 则根据实数的有序性
有 a > b.令 e a b , 则 e为正数且 a b e , 这与假设 a b e矛盾 .从而必有 a b.
二. 绝对值与不等式
绝对值定义：
|
a
|
a a
, ,
a0 a0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
有严格不等式 (1 x)n > 1 nx. 证由 1 x > 0且
1 x 0, (1 x)n n 1 (1 x)n 11L1 >
> n n (1 x) n n (1 x).
(1 x)n > 1 nx.
⑷ 利用二项展开式得到的不等式:
规定空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
例1 设x, y为实数，证明: 存在有理数r满足 : x r y.
证明
由于 x

y, 故存在非负整数n，使得 x n
yn.令r

1 2
(xn

yn )
则r为有理数，且有x xn r yn y,即得x r y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a b e ,则a b.
数，再在无限小数前加负号．如: -8=-7.999
2.两个实数的大小关系
1)定义1
给定两个非负实数
x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中 a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y；

量子力学四大方程

量子力学四大方程量子力学是现代物理学的发展方向之一，它深刻地改变了我们对物质的认知方式。

它提出了四大方程，它们分别是著名的薛定谔方程、海森堡方程、狄拉克方程以及泡利方程。

这四大方程不仅在理论上对于微观粒子的行为提供了深入的了解和解释，同时也为实际应用提供了极大的帮助。

一、薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程，它描述了粒子在外力作用下的运动状态，具体而言，它是一个描述波动性质的方程。

薛定谔方程可以给出一个波函数描述一个粒子在空间中任意时刻的位置和状态，而波函数的模方则表示了某位置发现粒子的概率分布。

二、海森堡方程海森堡方程是矩阵力学的基础，它提出了一种不同于波动方程的一个新的描述粒子相互作用的理论。

海森堡方程通过描述测量结果来描述粒子状态的变化，即与薛定谔方程相比，它更注重粒子的测量和观测。

三、狄拉克方程狄拉克方程描述了自旋粒子的运动。

该方程结合了相对论和量子力学，具有特殊的数学结构。

它是量子场论在高能物理领域的方法基础，应用面也非常广泛，例如在夸克、反夸克、介子解析理论和实验证实都扮演重要作用。

四、泡利方程泡利方程被称为量子力学中电子自旋的“第二个基本方程”。

它描述的是自旋粒子在电磁场中的运动状态，它解决了当能量很小，但又不能用经典力学的概念来描述的问题。

四大方程都是量子力学中的重要理论，通过这些方程的研究，我们更加深入地了解了微观世界的本质和结构。

同时，由于这些方程的应用，我们对于物理化学、材料学、信息科学等领域的研究也得到了很大的发展。

高中函数四大性质及函数图像变换

单调性一，知识点1.函数的单调性：（1）增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.（2）减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域I 内某个区间上任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.（3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.二、疑难知识导析1. 对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，其本质是某个区间的割线斜率。

函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.函数的单调性是对某个区间而言的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以，写单调区间时，一般写成闭区间．但必须注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点．2.若f(x)的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f(x)在A 和B 上都单调递减，未必有f(x)在A ∪B 上单调递减，单调区间用逗号或区间联立。

三、函数的单调性常见公式应用(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.（3）在公共定义域内增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减如果f(x)为增函数，则-f(x)，1/f(x)为减函数， )(x f 为增函数如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数；如果函数)(u f y =和 )(x g u =在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数)]([x g f y =是减函数（概括就是同增异减）奇偶性一、知识点（1）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.（2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数特有性质f(x)=f(-x)=f(/x/)（3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性.二、疑难知识导析对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意x ，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映.三、奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数四、常见结论1、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.若函数)(x f y =是奇函数，则f(x+a)=-f(-x-a);若函数)(a x f y +=是奇函数，则 f(x+a)=-f(-x+a)2、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.3、函数根据奇偶性可分为四类：偶函数，奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数的函数f(x)一定是常数函数f(x)＝0，但f(x)＝0不一定既是奇函数也是偶函数，须特别注意定义域是否关于原点对称这一限制条件．4、奇函数y ＝f(x)若在x ＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.5、奇函数在整个定义域上单调性一致，偶函数在整个定义域上单调性相反6、常见的奇偶函数为奇函数为奇函数为奇函数为偶函数)12^(log )(11log )(^/1^)(^/1^)(++=-+=-=+=x x x f xx x f x a x a x f x a x a x f a a 7、设f(x)是定义域内关于原点对称的任意一个函数，则G(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 H(x)=f(x)-f(-x) 为奇函数周期性1、周期函数定义域必须为R2、几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）若)()(a x f x f +-=，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6)f(x+a)f(x+b)=c 则f(x)的周期T=2|a-b|(7))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.(8)在三角函数Y=sin （wx+a ）中，相邻的对称中心是半个周期，相邻的对称轴是半个周期，对称中心和相邻的对称轴是四分之一个周期。

数学解题方法(抽象函数)

数学解题方法（抽象函数）。

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1. 正比例函数型的抽象函数例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2. 幂函数型的抽象函数例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.3. 指数函数型的抽象函数例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明4. 对数函数型的抽象函数例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1） f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g （b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….5. 三角函数型的抽象函数例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；② f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝－f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；（2）令y＝－1；（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）. 例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2） f（x）在x ∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.高一数学抽象函数的经典题定义域（0，+∞）上的增函数f（x）满足：f（x/y）=f(x)-f(y)，（1）求证：f(x^n)=nf(x)（2）求证：f(xy)=f(x)+f(y)分析：做这题的时候，先要证明（2）再证（1）（2）证明：因为y∈(0,+∞)所以1/y∈(0,+∞)f(xy)-f(y)=f(x/(1/y))-f(y)因为f（x/y）=f(x)-f(y)所以f(x/(1/y))-f(y)=f{[x/(1/y)]/y}=f(x)也就是f(xy)-f(y)=f(x)所以 f(xy)=f(x)+f(y) (证毕)（1）证明：由上述证明结论可知,f(xy)=f(x)+f(y)则f(x^2)=f(x*x)=f(x)+f(x)=2f(x)f(x^3)=f(x^2*x)=f(x^2)+f(x)=2f(x)+f(x)=3f(x)f(x^4)=f(x^3*x)=f(x^3)+f(x)=3f(x)+f(x)=4f(x)…….同理可求得f[(x^(n-1)]=f[x^(x-2)*x]=f[x^(x-2)]+f(x)=(n-2)f(x)+f(x)=(n-1)f(x)f(x^n)=f[x^(n-1)*x]=f[x^(x-1)]+f(x)=(n-1)f(x)+f(x)=nf(x)综上所述得：f(x^n)=nf(x) (证毕)希望对你有帮助补充：（1）证明时，第一步应包括n=1的情况，即则f(x^1)=1*f(x)f(x^2)=f(x*x)=f(x)+f(x)=2f(x)f(x^3)=f(x^2*x)=f(x^2)+f(x)=2f(x)+f(x)=3f(x)以下同，另结论时补上：对于n∈N+时，f(x^n)=nf(x) 恒成立，对于n∈N-的情况，有兴趣的可以讨论一下高一函数解题思路，首先把握定义和题目的叙述2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况）如果你是中学生的话，就参考一下我的回答吧。

高考专题三角函数(上)

5
10
的函数为：y = sin2x，增区间为[ − π + kπ, π + kπ]，k ∈ Z，
4
4
减区间为[ π + kπ, 3π + kπ]，k ∈ Z，由此能求出结果．
4
4
解：将函数
y
=
sin(2x
+
π 5
)的图象向右平移
个单位长度，
得到的函数为：y = sin2x，
增区间满足：−
π 2
+ 2kπ
3、对三角函数的考查主要来自于: ①课本是试题的基本来源,是高考命题的主要依据, 大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。 ②历年高考题成为新高考题的借鉴,有先例可循。
【知识网络】
【重点知识】
1．任意角和弧度制 (1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． (3)弧长公式：l＝|α|r；扇形的面积公式：S＝1lr＝1|α|r2.
)的图象向右平移
个单位长
度，所得图象对应的函数( )
A. 在区间
上单调递增 B. 在区间
上单调递减
C. 在区间
上单调递增 D. 在区间
上单调递减
【分析】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函
数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考
查函数与方程思想，属于中档题．
将函数 y = sin(2x + π )的图象向右平移 π 个单位长度，得到
的图象变换规律求得 g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象

关于函数的奇偶性

。
2. 3 积函数的奇偶性 ( 1 ) 设在定义域 D 中 , 函数 f ( x ) 和 g ( x ) 均为
图 1 y = sin| x| Fig. 1 y= sin| x |
奇函数 , 则它们的积函数是偶函数, 证明如下: 令 F( x ) = f ( x ) g( x ) , 因为 F(- x ) = f (- x ) g(- x ) = [ - f ( x ) ] [ - g( x ) ] = f ( x ) g ( x ) = F( x ) 所以 F( x ) = f ( x ) g( x ) 为偶函数。例如: y = x 3 sin x 是偶函数。 ( 2 ) 设在定义域 D 中 , 函数 f ( x ) 和 g ( x ) 均为偶函数 , 则它们的积函数是偶函数, 证明如下: 令 F( x ) = f ( x ) g( x ) , 因为 F(- x ) = f (- x ) g(- x ) = f ( x ) g( x ) = F( x ) 所以, F( x ) = f ( x ) g( x ) 为偶函数。例如: y = x 2 cos x 是偶函数。 ( 3 ) 设在定义域 D 中 , 函数 f ( x ) 和 g ( x ) 分别为奇函数和偶函数 , 则它们的积函数是奇函数, 证明如下: 令 F( x ) = f ( x ) g( x ) , 因为 F(- x ) = f (- x ) g (- x ) = - f ( x ) g( x ) = - F( x ) 所以 F( x ) = f ( x ) g( x ) 为奇函数。例如: y = x 3 cos x 是奇函数。 2. 4 复合函数的奇偶性设在定义域 D 中, 函数 y = f ( x ) 是奇函数 , y = g( x ) 是偶函数 , 则 ( 1) F( x ) = f [ f ( x) ] 是奇函数, 因为 ( 2) F( x ) = g[ g( x ) ] 是偶函数, 因为 g[ g( - x ) ] = g[ g( x ) ] = F( x ) 。 ( 3 ) F( x ) = g[ f ( x) ] 是偶函数, 因为 ( 4 ) F( x ) = f [ g( x) ] 是偶函数, 因为 f [ g( - x ) ] = f [ g ( x ) ] = F( x ) 。 2. 5 函数导数的奇偶性 ( 1 ) 设在定义域 D 中 , 函数 y = f ( x ) 是奇函数, 则奇函数的导数为偶函数。证明如下 : 令 F( x ) = f ( x ) , F( - x ) = F( - x ) = g[ f ( - x ) ] = g[ - f ( x ) ] = g [ f ( x ) ] = F( x ) 。 F( - x ) = F( - x ) = f [ f ( - x ) ] = f [ - f ( x ) ] = - f [ f ( x ) ] = - F( x ) 。

初等函数

设函数 y
f ( u) 的定义域 D ,
而函数 u g( x ) 的值
域为 Z , 若两集合的交集非空（D∩ Z ≠Ф ）, 则称函数 y f [ g ( x )] 为 x 的复合函数.
说明：复合函数 y f ( g ( x)) 中，
u 称为中间变量。
信心爱心耐心精心
提一个问题：
分 y 成 u, u 1 2x
2
U = 1-2x²是简单函数,不必分解
( 2) y lgs
x i
n
x i n
可以分成 y lg u, u s
( 3) y e cos x
可以分成 y e u , u cos x
信心爱心耐心精心
(4) y s
可
2 2
2 2
sin 2 x 2sin x cos x
2 2
cos 2 x cos x sin x 1 2sin x 2cos x 1
1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 sin x cos x 2 2
2
信心爱心耐心精心
注意：
基本初等函数只包括以上六类，形式是固定的。例如：y sin x y x 2 y 10x 都是基本初等函数。而 x
☞ 重点与难点
1
基本初等函数
2
复合函数的分解
3
初等函数
信心爱心耐心精心
目标定位
认请六类基本初等函数
掌握分解复合函数的方法
了解初等函数
信心爱心耐心精心
回顾重要知识点
邻域:
分类：实心、去心
信心爱心耐心精心
回顾重要知识点

4.四大组合函数

四大组合函数
一、混合函数
)()(x g b x f a y ⋅+⋅= 由两个不同性质的函数通过加减乘除运算得到的新函数
二、复合函数
定义：由函数 )(t f y =和 )(x g t =通过复合而得到的函数，
称为 f 与g 的复合函数。

记作 ))((x g f y =
其中 )(t f 称为外函数；
)(x g 称为内函数； t 称为中间变量。

三、分段函数
定义：若函数在定义域内的不同区间上，对应不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数。

举例：⎩⎨⎧>-≤--=0
101)(2x x x x x f 注意：1、分段函数是以个函数，不是几个函数；
2、分段函数的特点是可以分成两个或两个以上不同的解析式；
3、分段函数的定义域是不同取值区间的并集
四、绝对值的函数
1、)(x f y = 它的图像是将函数)(x f y =位于y 轴左侧的的图像删去，
将y 轴右侧的图像复制翻折到左侧
2、)(x f y = 它的图像是将函数)(x f y =位于x 轴下方的剪切翻折到上方
A B
C
g f。

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