3命题逻辑等值演算

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离散数学-命题逻辑等值演算

离散数学-命题逻辑等值演算

消解规则
总结词
消解规则允许我们通过消除两个等价的 命题来得出新的结论。
VS
详细描述
消解规则允许我们通过消除两个等价的命 题来得出新的结论。例如,如果我们有两 个等价的命题A和B,并且知道A能推出C, 同时B能推出D,那么我们可以通过消解规 则得出C ∧ D。
03
推理规则
假言推理
总结词
假言推理是一种基于前件和后件的推理方法,前件是推理的前提,后件是推出的结论。
详细描述
假言推理的逻辑形式是“如果P,则Q”,表示当P为真时,Q也为真。例如,“如果天 下雨,则地面会湿”,当天下雨时,可以推断出地面会湿。
应用场景
假言推理在日常生活和科学研究中广泛应用,如自然语言处理、人工智能、法律推理等 领域。
拒取式与析取三段论
总结词
拒取式是一种通过否定结论 来推导前提的推理方法,而 析取三段论则是通过前提的 析取来推导结论的推理方法
人工智能中的逻辑推理是离散数学中命题逻辑等值演算的另 一个重要应用。在自然语言处理、知识表示和推理、智能决 策等领域,逻辑推理都发挥着关键作用。
通过使用命题逻辑等值演算,人工智能系统可以更好地理解 和处理复杂的逻辑关系,提高推理的准确性和效率。例如, 在专家系统中,逻辑推理可以帮助我们构建知识库和推理机 ,实现智能化的决策支持。
05
习题与思考
命题逻辑的习题练习
练习题1
理解命题逻辑的基本概念,如命题、联结词、量词等,并能够准确 判断一个语句是否为命题。
练习题2
掌握命题逻辑中的推理规则,如析取三段论、合取三段论、假言推 理等,并能够运用这些规则进行简单的逻辑推理。
练习题3
利用真值表法判断复合命题的真假值,理解复合命题的逻辑关系。

离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算

离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算

名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0

命题逻辑的等值和推理演算

命题逻辑的等值和推理演算

证明
若A B是重言式, 即在任一解释下, 的真值都为T AB
依A B的定义只有在A、B有相同的值时, 才 有A B = T。于是在任一解释下, A和B都有 相同的真值, 从而有A=B。 反过来,若有A = B, 即在任一解释下A和B都 有相同的真值, 依A B的定义, A B只有为 真, 从而A B是重言式。 注:根据该等值定理,证明两个公式等值,只要证 明由这两个公式构成的双条件式是重言式即可
如P表示张三是学生, Q表示李四是工人, 那么 (P∨Q)就表示并非“张三是学生或者李四是 工人”。这相当于说,“张三不是学生而且李 四也不是工人”,即可由P∧Q表示, 从而有 (P∨Q) = P∧Q
2.2.2 常用的等值公式
2.1.2 等值定理
定理 对公式A和B, A=B的充分必要条件是 AB是重言式。 A、B不一定都是简单命题, 可能是由简单命 题P1, …, Pn构成的. 对A, B的一个解释, 指的是对P1, …, Pn的一组具体的真值设定. 若AB为重言式, 则在任一解释下A和B都 只能有相同的真值, 这就是定理的意思。
2.1 等值定理
若把初等数学里的+、-、×、÷等运算符看作是 数与数之间的联结词,那么由这些联结词所表达的 代数式之间,可建立许多等值式如下: x2-y2 = (x+y)(x-y) (x+y)2 = x2+2xy+y2 sin2x+cos2x = 1 ……
在命题逻辑里也同样可建立一些重要的 等值式
ห้องสมุดไป่ตู้
6. 吸收律 P∨(P∧Q) = P P∧(P∨Q) = P 7. 摩根律 (P∨Q) = P∧Q (P∧Q) = P∨Q 对蕴涵词、双条件词作否定有 (PQ) = P∧Q (PQ) = PQ = PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)

3-命题逻辑-2

3-命题逻辑-2

判定蕴含----例题

证明 ¬ P∧(P∨Q)Q
方法三:(真值表法)
P T T F F
Q ¬ P P∨Q ¬ P∧(P∨Q) T F T F F F T F T T T T F T F F
¬ P∧(P∨Q)→Q T T T T
判定蕴含----例题

证明 ¬ P∧(P∨Q)Q
方法四:(公式推导)
根据P→Q的真值表 P T T F F Q T F T F P→Q T F T T
方法一: 假定前件P为真,检查此 要想使P→Q取真, 情况下的Q是否也为真, 需要排除第二种情况 如果Q也是真,则说明 方法二: P→Q取真, P→Q是重 假定后件Q为假,检查此 言式,从而有PQ 情况下的P是否有可能为 真,如果P不可能是真, 则说明P→Q取真, P→Q是重言式,从而有 PQ
蕴含的性质

证明蕴含的传递性 若AB, BC,则AC
证明
∵ AB, BC ∴A→B永真,B→C永真 A→C¬A∨C(¬A∨C)∨(¬B∧B) (¬A∨C∨¬B)∧(¬A∨C∨B) (¬A∨(¬B∨C))∧((¬A∨B)∨C) (¬A∨(B→C))∧((A→B)∨C) (¬A∨T)∧(T∨C) T∨TT 即A→C永真,∴AC
(¬ A∨¬ B∨C)∧(¬ B∨C∨D) (¬ B∨C∨¬ A)∧(¬ B∨C∨D) (¬ B∨C)∨(¬ A∧D) 右边 ¬ (B∧(D→A))∨C ¬ B∨¬ (¬ D∨A))∨C ¬ B∨(D∧¬ A))∨C (¬ B∨C)∨(¬ A∧D) 左边
重言式----定理
命题逻辑的等式推理

推理理论
推理是利用一些推理规则由前提推出结论的思维过程。 在命题逻辑中,前提是已知的命题公式,结论是从前提

3 命题逻辑的推理理论

3 命题逻辑的推理理论

(7)拒取式规则
AB B A
(8) 假言三段论规则
AB BC AC
(9)析取三段论规则
AB B A
(10)构造性二难推理规则
AB CD AC BD
(11)破坏性二难推理规则
AB CD BD AC
(12) 合取引入规则
A B AB
证明方法: ◦ 直接证明法 ◦ 附加前提法 ◦ 归谬法(或称反证法)
(2) 联结词符号: ┐, , , , (3) 括号与逗号:( ),, 2. 合式公式(同合取联接词定义)
3. 推理规则
(1)前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
(2)结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。
(3)置换规则 在证明的任何步骤上,命题公式中的子公式都可以用与之等值的公
1、用不同的方法验证下面推理是否正确。对于正确的推理还 要在P系统中给出证明。 (1) 前提:pq, q
结论:p (2) 前提:qr, pr
结论:qp
(1)不正确。 验证答案,只需证明(pq)qp不是重言式。 方法一 等值演算
(pq)qp ((pq)q)p (pq)qp ((pq)(qq))p pq 易知10是成假赋值,故(pq)qp不是重言式,所以推理不正确。
数理逻辑
命题逻辑 一阶逻辑
命题和联结 词
命题变项
复合命题 公式
真值表 等值式与等
值演算 公式类型
范式
实际应用
析取范式 合取范式
主析取范式 主合取范式
根据下列真语句,请判断是谁谋害了张先生? (1)A、B、C三人中至少有一人。 (2)如果张先生生前未饮过麻醉剂,那不是C。 (3)如果张先生曾饮过麻醉剂,那不是A。 (4)如果是A谋害的,那么B也参加了。 (5)如果作案在落雨前,则是A谋害的。 (6)如果作案不在落雨前,张先生临死前搏斗过。 (7)张先生临死前搏斗过,就不是B谋害的。 (8)经过法医解剖化验,张先生死前曾饮过麻醉剂。

交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算

交大数理逻辑课件2-3 命题逻辑的等值和推理演算

9. Q (PQ) PBiblioteka 拒取式基本的推理公式
10. (PQ)(QR) PR 假言三段论 11.(PQ)(QR) P R 等价三段论 12. (PR)(QR) (PQ) R 13. (PQ)(RS)(PR) QS 构造性二难 14. (PQ)(RS)( QS) (PR) 破坏性二难 15. (QR) ((PQ) (PR)) 16. (QR) ((PQ) (PR))
附加前提证明法 ——举例
例如:证明下列推理。 前提: P(QR),S∨P, Q 结论: S R 证明:(1) S P 前提 (2) S 附加前提引入 (3) P (1)(2) 析取三段论 (4) P (Q R) 前提 (5) Q R (3)(4) 假言推理 (6) Q 前提 (7) R (5)(6) 假言推理
((PQP Q
例:判断下面推理是否正确
(1)若天气凉快,小王就不去游泳。天气凉快,所 以小王没去游泳。 ③判断 ((PQ)P) Q是否为重言式 方法3:主析取范式法 ((PQ)P) Q = ((PQ)P)Q = (PQ) P Q = m11m0xmx0 = m11m00m01m00m10 = (0,1,2,3) = T ((PQP Q
(PQ(RS(PRQS 构造性二难
写出对应下面推理的证明
在大城市球赛中,如果北京队第三,那么如果上海队第 二,则天津队第四;沈阳队不是第一或北京队第三,上海队第 二。从而知:如果沈阳队第一,那么天津队第四。 解:设 (1) P (Q R) 前提 P:北京队第三 Q:上海队第二 (2) Q (P R) (1)置换 R:天津队第四 (3) Q 前提 S:沈阳队第一 (4) P R (2)(3)假言推理 前提:
P(QR),S∨P, Q 结论: S R

命题公式等值演算

命题公式等值演算

命题公式等值演算命题公式等值演算(Propositional Formula Equivalence)是数理逻辑领域中的一个重要概念和技巧。

本文将介绍命题公式等值演算的基本思想和常用方法,并通过一些例子来详细说明。

一、命题公式等值关系的定义在逻辑学和计算机科学中,命题公式是由包含命题变量、逻辑运算符和括号构成的表达式。

而命题公式等值关系则是指两个命题公式具有相同的真值。

换句话说,当且仅当两个命题公式在每一个赋值下具有相同的真值时,它们才是等值的。

例如,对于命题变量p和q,表达式(p∧q)∨(¬p∧¬q)和(p∨¬q)∧(¬p∨q)是等值的,因为它们在每一个赋值下的真值相同。

二、命题公式等值演算的基本规则命题公式等值演算是通过一系列基本规则来推导等值式的过程。

下面是一些常用的基本规则:1. 交换律:p∧q ≡ q∧p,p∨q ≡ q∨p2. 结合律:(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r),(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)3. 分配律:p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r),p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)4. 吸收律:p∧(p∨q) ≡ p,p∨(p∧q) ≡ p5. 否定律:p∨¬p ≡ T,p∧¬p ≡ F6. 德摩根定律:¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q,¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q7. 双重否定律:¬(¬p) ≡ p三、命题公式等值演算的应用命题公式等值演算是数理逻辑中的一项基础技术,可以应用于证明命题的等价关系、简化复杂的命题公式以及构造等价的命题公式等领域。

1. 证明等价关系通过命题公式等值演算,可以证明两个命题公式之间的等价关系。

例如,要证明(p∨q)∧(¬p∨q) ≡ q,可以使用分配律、交换律和吸收律等基本规则进行推导。

2. 简化命题公式当给定一个复杂的命题公式时,可以利用命题公式等值演算的基本规则来简化它,使得它更加易于理解和计算。

离散数学知识点总结(1)-命题逻辑

离散数学知识点总结(1)-命题逻辑

离散数学知识点总结(1)-命题逻辑⼀、命题命题:陈述句,有唯⼀真值/⾮真既假(不⼀定知道)简单命题/命题常元:真值确定。

命题变元p:常⽤来表⽰命题。

只有明确表⽰某个命题时才有具体的含意和确定的真值。

命题联结词/命题运算符:否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与⾮联结词、或⾮联结词p→q:当且仅当p真q假时,p→q为假(因此它和┐p∨q等值)。

即p为假时,p→q必定为真⟷:当且仅当、充要条件、反之亦然⼆、命题公式命题公式/命题形式/合式公式/公式:(1)可满⾜式:⾮重⾔的可满⾜式重⾔式/永真式(2)⽭盾式/永假式(不存在成真指派)命题公式不是命题,只有当公式中的每⼀个命题变项都被赋以确定的真值时,公式的真值才被确定,从⽽成为⼀个命题。

三、命题逻辑的等值演算A⟺B:A和B有等值关系。

对任意真值指派,A与B取值相同。

A⟷B为永真式。

等值关系⼀般通过真值表法或者等值演算法得到。

⽽不等值,只能通过真值表法,找到某个真值指派使得⼀个为真⼀个为假德摩根律:┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B蕴含等值式:A→B⟺┐A∨B吸收律:A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A归谬式:(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A例题:p→(q→r)⟺┐p∨(┐q∨r)⟺(┐p∨┐q)∨r⟺┐(p∧q)∨r⟺(p∧q)→r四、范式由有限个⽂字的析取所组成的公式称为析取式;由有限个⽂字的合取所组成的公式称为合取式形如A1∨A2∨…∨A n的公式称为析取范式DNF(其中A i为合取式);形如A1∧A2∧…∧A n的公式称为合取范式CNF(其中A i为析取式)任⼀命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式,但析取范式和合取范式可能不是惟⼀的。

极⼩项q1∧q2∧…∧q n:⼀共2n种解释,每个极⼩项只在⼀个解释下为真。

每个极⼩项对应⼀个⼆进制数,该⼆进制数正是该极⼩项真值为真的指派,即m0可表⽰┐q1∧┐q2∧…∧┐q n极⼤项q1∨q2∨…∨q n:⼀共2n种解释,每个极⼤项只在⼀个解释下为假。

二章命题逻辑等值演算资料精品文档

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8
2.1 等值式
常元律
零律: p 1 1, p 0 0 同一律: p 0 p, p 1 p 排中律: p ¬p 1 矛盾律: p ¬p 0
吸收律
p (p q) p p (p q) p
9
2.1 等值式
蕴涵等值式 p q ¬p q 等价等值式 p q (p q) (q p) 假言易位 p q ¬q ¬p 等价否定等值式 p q ¬p ¬q 归谬论 (p q ) (p ¬q ) ¬p
14
2.1 等值式
2. 用等值演算判断公式的类型 证明: ((p∨q) ¬(¬p (¬q∨¬r)))∨(¬p¬q)∨(¬p ¬r)为一
永真式 证明:原式 ((p∨q) (p∨(q r)))∨¬(p∨q)∨¬(p∨r) ((p∨q) (p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) ((p∨q) (p∨r))∨¬((p∨q) (p∨r)) 1
10
2.1 等值式
说明: (1)16组等值模式都可以给出无穷多个同类型的具
体的等值式。 (2)证明上述16组等值式的代入实例方法可用真值
表法,把改为所得的命题公式为永真式,则 成立。
11
2.1 等值式
等值演算:由已知的等值式推演出另外一些等 值式的过程
置换规则:设φ(A)是含公式A的命题公式, φ(B)是用公式B置换了φ(A)中所有A后得到的 命题公式,若AB ,则φ(A) φ(B)
2. “”对“”分配,化为析取范式 ( p p q) (q p q)
3. 最简析取范式
pq
29
2.2 析取范式和合取范式
例:求((p q) r) p的析取范式和合取范式 (一) 求析取范式

命题逻辑等值演算

命题逻辑等值演算
A B B A
(2.14)
15. 等价否定等值式
A B A B
(2.15)
16. 归谬论
( A B) ( A B) A
(2.16)
其中A, B代表任意公式,1(T true), 0 (F false).
称由已知的等值式推演出另外的等值式的过程为等值演算。
可见
p →(q →r)⇔ (p ∧q) →r
(p →q) →r (p ∧q) →r
下面我们把已验证了的基本的又是重要的等值式列在下面: 1. 双重否定律
A A
(2.1)
2. 幂等律
A A A,
A A A
(2.2)
3. 交换律
A B B A,
A B B A
(蕴涵等值式) (结合律) (矛盾律)
(同一律) (德摩根律) (排中律) (零律) (同一律)
p
故(3)为非重言的可满足式。
等值演算还能帮助人们解决工作和生活中的判断问题。 例2.6 在某次研讨会上,三位与会者根据王教授的口音对他
是哪个省市的人进行了判断:
甲说王教授不是苏州人,是上海人。
乙说王教授不是上海人,是苏州人。
9. 同一律
A 0 A,
A 1 A
(2.9)
10. 排中律
A A 1
(2.10)
11. 矛盾律
A A 0
(2.11)
12. 蕴含等值式
A B A B
(2.12)
13. 等价等值式
A B ( A B ) ( B A)
(2.13)
14. 假言易位
⑵ ( p ( p q )) r 解 ( p ( p q )) r

离散数学第二章命题逻辑等值演算

离散数学第二章命题逻辑等值演算

再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
(0,0)与(1,1)为公式的成真赋值。 (0,1)与(1,0)为公式的成假赋值
命题公式的分类(根据公式在赋值下的真值情况进行分类) 1)若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2)若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如:┐Q∧(P→Q) → ┐P
4
分析1:若要得出:当设 A为真,B为
假的情况不会出现,
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明:设前件为真
7
分析2: 还可以从设 B为假,推出A
为真的情况不会出现(A为假),
9
证明: 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
((P→Q)∧( Q→R)) →(P→R)
不同真值表的公式 1)当命题变元确定后,通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题:这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同? 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
(┐p ∨ q)∧(┐q∨┐p∨r)∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式.
2、性质:
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0

命题逻辑的等值演算

命题逻辑的等值演算

1命题逻辑的等值演算这一讲讨论命题公式之间的等值关系,其中一些重要的等值关系将用于对命题公式进行等值运算和设计推理规则。

1. 等值式定义1.1 若命题公式A 和B 是恒等的布尔代数式,即在任何赋值下二者的值总相等,则称二者是等值的,记为A B A B ≡⇔或者称为等值式。

注意,等值式不是逻辑公式,而是逻辑学的公式。

显然,A ≡B 当且仅当A B ↔是永真公式。

等值关系的性质:(1) 自反性:对任何公式A ,都有 A A ≡。

(2) 对称性:若 A B ≡,则 B A ≡。

(3) 传递性:若 A B ≡且若 B C ≡,则 A C ≡。

例1.2 试证明下列等值式。

a a ⌝⌝≡证明:当a =1时,左式=101⌝⌝=⌝==右式。

当a =0时,左式=010⌝⌝=⌝==右式。

因此,左式恒等于右式。

依定义,该等值式成立。

例1.3试证明下列等值式。

()()() a b c a b a c ∧∨≡∧∨∧证明:当a =1时,左式=b c ∨,右式=b c ∨,两边相等。

当a =0时,左式=0,右式=0,两边相等。

因此,该等值式成立。

2上述两例中的证明方法可以称为代数分析法。

还有一种演算方法,可以将将左式等值地变形为右式。

这种保持公式真值的演算称为等值演算。

2. 等值演算规则:替换等值演算是将当前公式中的某个子公式替换为与之等值的公式。

替换在课本中称为置换,与抽象代数中的置换(permutation )是不同的概念。

替换的定义如下。

定义3.1 设[] A Φ是一个命题公式,A 是出现在其中某处的一个子公式。

若用另外一个公式B 替换[] A Φ中的A ,则可得一个新公式,记为[] A Φ。

我们称这种公式变形为替换(replacement )。

注意,这里A 是指[] A Φ中某一处出现的子公式,不是[] A Φ中所有与A 相同的子公式。

例如,将()()p q p r ⌝⌝→∨⌝⌝→中第二次出现的子公式p ⌝⌝替换为p ,得()()p q p r ⌝⌝→∨→定理3.2(替换原理)若 A B ≡,则[][] A B Φ≡Φ。

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A1A2Ar, 其中A1,A2,,Ar是简单合取式 合取范式:由有限个简单析取式组成的合取式
A1A2Ar , 其中A1,A2,,Ar是简单析取式
13
析取范式与合取范式(续)
范式:析取范式与合取范式的总称 公式A的析取范式: 与A等值的析取范式 公式A的合取范式: 与A等值的合取范式 说明: 单个文字既是简单析取式,又是简单合取式 pqr, pqr既是析取范式,又是合取范式 (为什么?)
14
命题公式的范式
定理 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式 与合取范式. 求公式A的范式的步骤:
(1) 消去A中的, (若存在) (2) 否定联结词的内移或消去 (3) 使用分配律
对分配(析取范式) 对分配(合取范式) 公式的范式存在,但不惟一
15
求公式的范式举例
例 求下列公式的析取范式与合取范式
A(AB)A, A(AB)A A11, A00 A0A, A1A
排中律: AA1
矛盾律: AA0
4
基本等值式(续)
蕴涵等值式: ABAB
等价等值式: AB(AB)(BA)
假言易位:
ABBA
等价否定等值式: ABAB
归谬论:
(AB)(AB) A
注意:
A,B,C代表任意的命题公式
牢记这些等值式是继续学习的基础
(1) A=(pq)r 解 (pq)r
(pq)r pqr
(消去) (结合律)
这既是A的析取范式(由3个简单合取式组成的析 取式),又是A的合取范式(由一个简单析取式 组成的合取式)
16
求公式的范式举例(续)
(2) B=(pq)r 解 (pq)r
(pq)r (消去第一个) (pq)r (消去第二个) (pq)r (否定号内移——德摩根律) 这一步已为析取范式(两个简单合取式构成)
5
等值演算与置换规则
等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程
置换规则:若AB, 则(B)(A)
等值演算的基础: (1) 等值关系的性质:自反、对称、传递 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则
6
应用举例——证明两个公式等值
例1 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr)
p(qr) (蕴涵等值式,置换规则) (pq)r (结合律,置换规则) (pq)r (德摩根律,置换规则) (pq) r (蕴涵等值式,置换规则)
8
应用举例——判断公式类型
例3 用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解 q(pq)
q(pq) (蕴涵等值式)
q(pq) (德摩根律)
p(qq) (交换律,结合律)
p0
(矛盾律)
0
(零律)
由最后一步可知,该式为矛盾式.
9
例3 (续)
(2) (pq)(qp) 解 (pq)(qp)
继续: (pq)r (pr)(qr) (对分配律)
这一步得到合取范式(由两个简单析取式构成)
17
极小项与极大项
定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中, 若每个命题变项均以文字的形式出现且仅出现一次,称这 样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).
说明: n个命题变项产生2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项(极大项)均互不等值 在极小项和极大项中文字均按下标或字母顺序排列 用mi表示第i个极小项,其中i是该极小项成真赋值的十
(pq)(qp) (蕴涵等值式) (pq)(pq) (交换律) 1 由最后一步可知,该式为重言式. 问:最后一步为什么等值于1?
10
例3 (续)
(3) ((pq)(pq))r)
解 ((pq)(pq))r)
(p(qq))r (分配律)
p1r
(排中律)
pr
(同一律)
这不是矛盾式,也不是重言式,而是非重言式的可
进制表示. 用Mi表示第i个极大项,其中i是该极大项成 假赋值的十进制表示, mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称. mi与Mi的关系: mi Mi , Mi mi
18
极小项与极大项(续)
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 成真赋值 名称
极大项 公式 成假赋值 名称
p q 0 0 m0 p q
说明:也可以从右边开始演算(请做一遍) 因为每一步都用置换规则,故可不写出 熟练后,基本等值式也可以不写出
7
应用举例——证明两个公式不等值
例2 证明: p(qr) (pq) r 用等值演算不能直接证明两个公式不等值,证明两
个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成 真,另一个成假.
方法一 真值表法(自己证) 方法二 观察赋值法. 容易看出000, 010等是左边的 的成真赋值,是右边的成假赋值. 方法三 用等值演算先化简两个公式,再观察.
1.3 命题逻辑等值演算
等值式 基本等值式 等值演算 置换规则
1
等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式
定义 若等价式AB是重言式,则称A与B等值, 记作AB,并称AB是等值式 说明:定义中,A,B,均为元语言符号, A或B中 可能有哑元出现. 例如,在 (pq) ((pq) (rr))中,r为左边 公式的哑元. 用真值表可验证两个公式是否等值 请验证:p(qr) (pq) r
满足式.如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.
总结:A为矛盾式当且仅当A0 A为重言式当且仅当A1
说明:演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 11
1.4 范式
析取范式与合取范式 主析取范式与主合取范式
12
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
p(qr) (pq) r
2
基本等值式
双重否定律 : AA
等幂律: AAA, AAA
交换律:
ABBA, ABBA
结合律:
(AB)CA(BC)
(AB)CA(BC)
分配律:
A(BC)(AB)(AC)
A(BC) (AB)(AC)
3
基本等值式(续)
德·摩根律: (AB)AB
(AB)AB
吸收律: 零律: 同一律:
0 0 M0
p q
0 1 m1 p q 0 1 M1
p q 1 0 m2 p q
1 0 M2
pq
1 1 m3 p q 1 1 M3
19
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
极小项
公式
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