第二章命题逻辑等值演算

(分配律)
例题1. 用等值演算法证明下面等值式： (2) q(pr) ( p∧q)r
证明：(2)从右边开始演算
(p∧q)r
(p∧q)∨r p∨q∨r q∨(p∨r) q∨(pr)
q(pr)
(蕴含等值式) (德摩根律) (交换律) (蕴含等值式)
(蕴含等值式)
• 2.析取范式 公式A如果写成如下形式： A1∨A2∨...∨An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是合取式， 称之为A的析取范式。 • 3.合取范式 公式A如果写成如下形式： A1∧A2∧...∧An (n≥1) 其中每个Ai (i=1,2..n)是析取式， 称之为A的合取范式。 • 例如，PQ 的析取范式与合取范式： PQ (P∧Q)∨(P∧Q)----析取范式 PQ (P∨Q)∧(P∨Q)----合取范式
4. 等价公式的证明方法 • 方法1：用列真值表。（不再举例） • 方法2：用公式的等价变换.(用置换定律) • 置换定律:A是一个命题公式，X是A中的一部 分且也是合式公式，如果XY，用Y代替A中 的X得到公式B，则AB。 • 应用置换定律以及前面列出的等价公式可以 对给定公式进行等价变换。
例题2. 用等值演算法判断下列公式的类型： (3) ((p→q)∧q)∧r
解：(3)
((p→q)∧q)∧r (p∨q )∧q)∧r p∧(q ∧ q)∧r p∧0∧r
0
(蕴含等值式)
(德摩根律、结合律) (矛盾律) (零律)
因为p是矛盾式，故式(3)为矛盾式
例题. 用等值演算法解决实际问题
例题
某公司派小李或小张去上海出差，若派小李去，则小 赵要加班。若派小张去，小王也得去。小赵没加班。 问公司是如何派遣的？
解：复合命题（公式）
A= (p∨q) ∧ (pr) ∧ (qs) ∧ r
A= (p∨q) ∧ (pr) ∧ (qs) ∧ r p q r s p∨q pr qs r 方法很多： (p∨q)∧(pr)∧(qs)∧ r 0 0 0 0 0 1 1 1 真值表法 0
4.析取范式与合取范式的写法 ⑴先用相应的公式去掉和。 蕴含等值式 PQP∨Q 等价等值式 PQ (P∧Q)∨(P∧Q) PQ (PQ)∧(QP) PQ (P∨Q)∧(P∨Q) ⑵用公式的否定公式或德摩根律将后移到命题变元之 前。 A(P1,P2,…,Pn)A*(P1,P2,…,Pn) (对偶式) (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q ⑶用分配律、幂等律等公式进行整理，使之成为所要求 的形式。
第二章 命题逻辑等值演算
内容： 1.等值式 2.析取范式与合取范式 3.联结词的完备集
基本要求：
1.深刻理解等值式的概念。 2.牢记24个基本等值式，这是等值演算的基础；能熟练地应用它 们进行等值演算。 3.了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念。 4.深刻理解极小项及极大项的定义及它们的名称，及名称下角标 与成真赋值的关系。 5.熟练掌求公式的主析取范式的方法。 6.熟练掌握由公式的主析取范式求公式的主合取范式的方法。 7. 会用公式的主析取范式（主合取范式）求公式的成真赋值、成 假赋值。 8. 会将公式等值地化为任何联结词完备集中的公式。
(10)排中律 A∨A1
(11)矛盾律 A∧A0
互补律
(12)蕴含等值式 ABA∨B
(13)等价等值式 AB (AB)∧(BA) AB (A∨B)∧(A∨B) AB (A∧B)∨(A∧B ) (14)假言易位 ABBA (15)等价否定等值式 AB A B (16)归谬论 (A B) ∧(A B) A
⑵极小项的性质 m3 m2 P Q P∧Q P∧Q 00 F F F F 01 F T F F 10 T F F T 11 T T T F
m1 m0 P∧Q P∧Q F T T F F F F F
a).有n个变元，则有2n个极小项。 b).每一组指派有且只有一个极小项为T。 为了记忆方便，可将各组指派对应的为T的极小项 分别记作m0,m1,m2,…,m2n-1 上例中 m0P∧Q m1P∧Q m2P∧Q m3P∧Q
•
0 等值演算法 0 0 0 1 0 计算量大！！ 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2.1 等值式
1. 例子 看下面三个公式的真值表 P Q PQ P∨Q QP 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1
从真值表可以看出，不论对P、Q作何指 派，都使得PQ、P∨Q和QP的真值相 同，表明它们之间彼此等价。
例题2. 用等值演算法判断下列公式的类型： (1) (p∨q)→(p∧q) (2) p →(p∨q∨r) (3) ((p→q)∧q)∧r 解：(1) (p∨q)→(p∧q) (p∨q)∨(p∧q) (蕴含等值式) (p∧q)∨(p∧q) (德摩根定律) (p∧q)∨(p∧q) (双重否定律) p∧(q∨q) (分配律) p∧1 (排中律) p (同一律)
⑸分配律
A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)
(6)德摩根律 (A∨B)A∧B(∨对∧的分配律) (A∧B)A∨B (∧对∨的分配律)
(7) 吸收律 A∨(A∧B)A A∧(A∨B)A
(8) 零律
A∨11
A∧00
A∧1A
(9) 同一律 A∨0A
例如求(PQ)R的析取范式与合取范式 (PQ)R ((P∨Q)∧(P∨Q))∨R (P∧Q)∨(P∧Q)∨R ------析取范式
(PQ)R((P∧Q)∨(P∧Q))∨R ((P∨Q)∧(P∨Q))∨R (P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R) ---合取范式
二.主析取范式与主合取范式 一个公式的析取范式与合取范式的形式是不唯 一的。下面定义形式唯一的主析取范式与主合 取范式。
㈠主析取范式
1.极小项 ⑴定义：在一个有n个命题变元的合取式中， 每个变元必出现且仅出现一次，称这个合取式 是个极小项。 例如，有两个变元的极小项： P∧Q、P∧Q、 P∧Q、 P∧Q
㈡主合取范式 1.极大项 ⑴定义:在有n个命题变元的析取式中，每个 变元必出现且仅出现一次,称之为极大项。 例如，有两个变元的极大项及其真值表： M0 M1 M2 M3 P Q P∨Q P∨Q P∨Q P∨Q F F F T T T F T T F T T T F T T F T T T T T T F
2. 定义：A、B是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命 题公式，如不论对P1, P2 , …, Pn作任何指派， 都使得A和B的真值相同，则称之为A与B等价， 记作AB。 显然 PQP∨QQP 3. 重要的等价公式 ⑴ 双重否定律 AA ⑵ 幂等律 A∨AA A∧AA ⑶交换律 A∨BB∨A A∧BB∧A ⑷结合律 A∨(B∨C)(A∨B)∨C A∧(B∧C)(A∧B)∧C
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 麻烦！！ 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
因为p是可满足式，故式(1)为可满足式
例题2. 用等值演算法判断下列公式的类型： Hale Waihona Puke Baidu2) p→(p∨q∨r)
解：(2)
p→(p∨q∨r) p∨(p∨q∨r) (p∨p)∨(q∨r) 1∨(q∨r)
1
(蕴含等值式)
(分配律)
(排中律) (零律)
因为1是重言式，故式(2)为重言式
(p∨q) ∧(p∨r) ∧r ∧ (q∨s) (交换律)
((p∧p∧r)∨(q∧p∧r))∧(q∨s)
(矛盾律)
(分配律)
(q∧p∧r∧s)
(分配律、矛盾律)
结论：派遣方案为：派小张和小王去上海出差，只 有这一种方案
2.2.范式
范式就是命题公式形式的规范形式。这里约定 在范式中 只含有联结词、∨和∧。 一.析取范式与合取范式 1.合取式与析取式 合取式：是用“∧”联结命题变元或变元的否 定构成的式子。 如 P 、P 、P∧Q、P∧Q∧R 析取式：是用“∨” 联结命题变元或变元的否 定构成的式子。 如 P 、P 、P∨Q、P∨Q∨R 注:∵ P∨PP P∧PP ∴P是合(析)取式.
等值演算：由已知等值式推演出新的等值式的过程。
例题1. 用等值演算法证明下面等值式： (1) ((p∨q) ∧(p∧q)) (pq) (2) q(pr) ( p∧q)r
证明：(1)从左边开始演算 (p∨q) ∧(p∧q) (p∨q) ∧(p∧q) (双重否定律) ( (p∨q) ∨(p∧q)) (德摩根律) ((p∧q)∨(p∧q)) (德摩根律) ((p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p)∧(q∨q)) 1 1 ( (p∨q)∧(q∨p)) (同一律) ( (p q)∧(q p)) (蕴含等值式) (pq) (等价等值式)
⑵极大项的性质 a).有n个变元，则有2n个极大项。 b).每一组指派有且只有一个极大项为F。 为了记忆方便，可将各组指派对应的为F 的极大项分别记作M0,M1,M2,…,M2n-1 。 上例中 M0 P∨Q M1 P∨Q M2 P∨Q M3 P∨Q
⑵极大项与极小项之间的关系
表 p,q 形成的极小项与极大项 极小项 公式 ┐p∧┐q
┐p∧q
p：派小李去上海出差 某公司派小李或小张去上海出差，若派小李去，则小赵要加 q：派小张去上海出差 班。若派小张去，小王也得去。小赵没加班。问公司是如何 派遣的？ r：小赵要加班
A= (p∨q) ∧ (pr) ∧ (qs) ∧ r (p∨q) ∧(p∨r) ∧(q∨s) ∧r (p∨q) ∧(p∧r)∧ (q∨s) (q∧p∧r)∧(q∨s) s：小王也去上海出差 (德摩根律) (分配律、矛盾律)
例如求 PQ和PQ的主析取范式 P Q PQ PQ F F T T F T T F T F F F T T T T
PQ m0∨m1∨m3 (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) PQm0∨m3 (P∧Q)∨(P∧Q) 思考题:永真式的主析取范式是什么样 ？
方法Ⅱ：用公式的等价变换 ⑴先写出给定公式的析取范式 A1∨A2∨...∨An 。 ⑵为使每个Ai都变成极小项，对缺少变元的Ai补 全变元，比如缺变元R，就用∧联结永真式 (R∨R)形式补R。 ⑶用分配律等公式加以整理。 PQP∨Q (P∧(Q∨Q))∨((P∨ P)∧ Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q) (P∧Q)∨(P∧Q)∨(P∧Q)
2.主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n)都是极小项，称之为主析取范式。 3.主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的极小项。 (如何根据一组指派写对应的为“T”的项：如果 变元P被指派为T，P在极小项中以P形式出现； 如变元P被指派为F, P在极小项中以P形式出现 (因要保证该极小项为T))。 ⑶用“∨”联结上述极小项，即可。