02第二章命题逻辑等值演算

联结词完备集
联结词完备集: 是一个联结词集合， 联结词完备集 设S是一个联结词集合，如果任何 是一个联结词集合 如果任何n(n≥1)元命题公式 元命题公式 都可以由仅含S中的联结词构成的公式等价地表示 则称S是 中的联结词构成的公式等价地表示, 都可以由仅含 中的联结词构成的公式等价地表示 则称 是联结词完 备集。 备集。 S={ ┐, ∧,∨ }是联结词完备集 ∨ 是联结词完备集 以下联结词集都是完备集： 以下联结词集都是完备集： (1) S1={┐,∧,∨, →} ┐∧∨ (2) S2={┐,∧,∨,→, ↔ } ={┐,∧,∨,→ (3) S3={┐,∧} ┐∧ (4) S4={┐,∨} ┐∨ (5) S5={┐,→} ┐→ 根据需要，人们还可构造形式上更为简单的联结词完备集。 根据需要，人们还可构造形式上更为简单的联结词完备集。 例如，在计算机硬件设计中， 例如，在计算机硬件设计中，用与非门或者或非门来设计逻辑线 路时，就需要构造新联结词完备集。 路时，就需要构造新联结词完备集。
第二章
命题逻辑等值演算
漳州师范学院计算机科学与工程系
第二章 命题逻辑等值演算
等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、(主)合取范 等值式、置换规则、等值演算、 主 析取范式 主 合取范 析取范式、 式、联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、消解法 联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、 教学要求： 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、 主 析取范式 主 合取范式 析取范式、 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 学时 4
A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) ∧ ∨ ∧ ∨ ∧
∧┐B 德摩根律 ┐(A∨B) ⇔ ┐A∧┐ ∨ ∧┐ 吸收律 零律
2010年11月12日1时30分
∨┐B ┐(A∧B) ⇔ ┐A∨┐ ∧ ∨┐ A∧(A∨B) ⇔ A ∧ ∨ ®
2010年11月12日1时30分
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§2.2 析取范式与合取范式
极小项:在含有 个命题变项的简单合取式中 个命题变项的简单合取式 极小项:在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项和它的否 定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第 个命题变项或 定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或 它的否定式出现在从左算起的第i位上 称这样的简单合取式为极小项 极小项。 它的否定式出现在从左算起的第 位上, 称这样的简单合取式为极小项。 位上 极大项:在含有 个命题变项的简单析取式中 个命题变项的简单析取式 极大项:在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项和它的否 定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第 个命题变项或 定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变项或 它的否定式出现在从左算起的第i位上 称这样的简单析取式为极大项。 它的否定式出现在从左算起的第 位上,称这样的简单析取式为极大项。 位上 称这样的简单析取式为极大项
p , ┐p p ∨┐q∨ r ∨ p∧ ┐q ∧ r ∧
∧ 析取范式: 由有限个简单合取式构成的析取式。 ∧ 析取范式 由有限个简单合取式构成的析取式。 (p∧ ┐q) ∨ (p∧ r) (p ∨ ┐q) ∧ (p ∨ r)
注意:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。 注意 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。一个公式的析取范 一个文字既是简单析取式 式或合取范式不是唯一的。 式或合取范式不是唯一的。
2010年11月12日1时30分
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§2.2 析取范式与合取范式
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 范式存在定理: 范式存在定理 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式 求范式可使用如下步骤: 求范式可使用如下步骤 1.消去联结词 → , ↔ 消去联结词 2.否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根） 否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根） 否定号的消去 3.利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式 利用分配律：利用∧ 利用分配律 利用∨ 利用∨对∧的分配律求合取范式
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§2.2 析取范式与合取范式
p,q,r形成的极小项与极大项 形成的极小项与极大项
设mi与Mi是命题变项 p1,p2,…,pn 形成的极小项和大项 ， 与 是命题变项 则
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┐mi ⇔ Mi ，┐Mi ⇔ mi
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§2.2 析取范式与合取范式
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§2.3
联结词完备集
例2：某电路中有一个灯泡和三个开关 ，B，C。已知在且仅在下述 ：某电路中有一个灯泡和三个开关A， ， 。 四种情况下灯亮： 四种情况下灯亮： (1)C的扳键向上，A,B的扳键向下 的扳键向上， 的扳键向上 的扳键向下 (2)A的扳键向上，B,C的扳键向下 的扳键向上， 的扳键向上 的扳键向下 (3)B,C的扳键向上，A的扳键向下 的扳键向上， 的扳键向下 的扳键向上 (4)A,B的扳键向上，C的扳键向 的扳键向上， 的扳键向 的扳键向上 表示灯亮， 分别表示A,B,C的扳键向上 设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示 为 表示灯亮 分别表示 的扳键向上 (a)用命题公式构造 用命题公式构造F 用命题公式构造 (b)在联结词完备集 ┐,∧}上构造 在联结词完备集{┐ ∧ 上构造 上构造F 在联结词完备集 (c)在联结词完备集 ┐, →, ↔}上构造 在联结词完备集{┐ 上构造F 在联结词完备集 上构造 解： F=(┐p∧┐ ∧r)∨(p∧┐ ∧┐ ∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐ ┐ ∧┐ ∧┐q∧ ∨ ∧┐ ∧┐r)∨ ┐ ∧ ∧ ∧┐q∧┐ ∧┐r) ∧ ∧┐ (b)(c)留作课后练习 留作课后练习
A∨(A∧B) ⇔ A ∨ ∧ A∨1 ⇔ 1 , ∨
， A∧0 ⇔ 0 ∧
§2.1 等值式
同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 A∨0 ⇔A ， A∧1 ⇔ A ∨ ∧ A∨┐ ⇔ 1 ∨┐A ∨┐ A∧┐ ⇔ 0 ∧┐A ∧┐ A→B ⇔ ┐A∨B → ∨ (A ↔ B) ⇔ (A→B)∧(B→A) → ∧ → A→B ⇔ ┐B → ┐A →
2010年11月12日1时30分
§2.1 等值式
定义2.1 设A,B是两个命题公式 若A,B构成的等价式 A↔B 为重言式 是两个命题公式,若 定义 是两个命题公式 构成的等价式 ↔ 为重言式, 则称A与 是等值的 记为A 是等值的,记为 则称 与B是等值的 记为 ⇔ B 16组(24个)重要的等值式 组 个 重要的等值式
┐┐A 双重否定律 A ⇔ ┐┐ 幂等律 交换律 结合律 分配律 A ⇔ A∨A , ∨ A ⇔ A∧A ∧
A∨B ⇔ B∨A ，A∧B ⇔ B∧A ∨ ∨ ∧ ∧ (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) ∨ ∨ ∨ ∨ (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C) ∧ ∧ ∧ ∧ （∨对∧的分配律） 的分配律） （∧对∨的分配律） 的分配律）
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§2.2 析取范式与合取范式
含n个命题变项的所有无穷多合式公式中，和它们等值的主析取范式 个命题变项的所有无穷多合式公式中， 主合取范式）共有多少种不同的情况。 个命题变项可产生2 （主合取范式）共有多少种不同的情况。n个命题变项可产生2n个极小 极大项）， ），因而共可产生 项（极大项），因而共可产生
2010年11月12日1时30分
源自文库
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§2.1 等值式
判别两个公式是否等值的方法
真值表法 等值演算 以一组基本的又是重要的重言式为基础进行公式之间的演算
置换规则： 置换规则：
设Ф(A)是含公式 的命题公式 是含公式A的命题公式
Ф(B) 是用公式 置换了 是用公式B置换了 置换了Ф(A)中的 后得到的命题公式 中的A后得到的命题公式 中的 A,则 若 B ⇔ A,则Ф(B) ⇔ Ф(A)
例6 用等值演算法判断公式的类型
2010年11月12日1时30分
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§2.2 析取范式与合取范式
每种数字标准形都能提供很多信息， 每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的因式分解可判断代数 式的根情况。逻辑公式在等值演算下也有标准形--范式 式的根情况。逻辑公式在等值演算下也有标准形 范式 范式有两种
主析取范式:设由 个命题变项构成的析取范式中所有的简单合取式都是 主析取范式:设由n个命题变项构成的析取范式中所有的简单合取式都是 极小项，则称该析取范式为主析取范式。 极小项，则称该析取范式为主析取范式。 主析取范式 主合取范式:设由 个命题变项构成的合取范式中所有的简单析取式都是 主合取范式:设由n个命题变项构成的合取范式中所有的简单析取式都是 极大项，则称该合取范式为主合取范式。 极大项，则称该合取范式为主合取范式。 主合取范式
等价否定等值式 A↔B ⇔ ┐A ↔ ┐B 归谬论 (A→B)∧(A → ┐B) ⇔ ┐A → ∧
代入实例： 代入实例：例如在蕴涵等值式中 1. 取A=p, B=q时，得到等值式 时 p→q ⇔ ┐p∨q → ∨
2. 取A=p→q , B= ┐p时，得到等值式 → 时 (p →q) → ┐p ⇔ ┐ (p →q) ∨ ┐ p
析取范式 合取范式
文字: 命题变项及其否定统称作文字 文字。 文字 命题变项及其否定统称作文字。 简单析取式: 仅有有限个文字构成的析取式。 简单析取式 仅有有限个文字构成的析取式。 简单合取式: 仅有有限个文字构成的合取式。 简单合取式 仅有有限个文字构成的合取式。 合取范式: 由有限个简单析取式构成的合取式。 合取范式 由有限个简单析取式构成的合取式。
代入规则： 代入规则：
在一个重言式(矛盾式 中 在一个重言式 矛盾式)中，将同一命题变项全部 矛盾式 用同一个命题公式替换后， 矛盾式) 用同一个命题公式替换后，得到的公式仍是重言式 (矛盾式 矛盾式
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§2.1 等值式
例1 用等值演算法验证等值式 (p∨q)→ r ⇔ (p→r) ∧(q →r ) ∨ → → 证： (p→r) ∧( q → r ) → (蕴涵等值式 替换规则 蕴涵等值式,替换规则 蕴涵等值式 替换规则) (分配律 分配律) 分配律 (德摩根律 德摩根律) 德摩根律 (蕴涵等值式 蕴涵等值式) 蕴涵等值式 ⇔ (┐p∨r)∧ (┐q∨ r ) ┐ ∨ ∧ ┐ ∨ ⇔ (┐p ∧┐ ∨r ┐ ∧┐q) ⇔ ┐(p ∨q) ∨r ⇔ (p∨q)→ r ∨ → (1) ( p→q) ∧p → q → (2) ┐( p→(p∨q ) ) ∧r → ∨ (3) p∧(((p∨q)∧p ) → q ) ∧ ∨ ∧
任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式 并且是唯一的。 并且是唯一的。 注意： 注意：
由公式的主析取范式求主合取范式 反之， 反之，也可以由公式的主合取范式确定主析取范式 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含 矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项 为公式中命题变项 个数） 个数）个极大项 而重言式无成假赋值， 而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项 重言式的主合取范式记为1。矛盾式的主析取范式为 重言式的主合取范式记为 。矛盾式的主析取范式为0 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项,主合取范式中极大项的个 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项 主合取范式中极大项的个 数一定小于2 数一定小于 n
种不同的主析取范式（主合取范式） 种不同的主析取范式（主合取范式） 真值表和主析取范式的关系 (1)(2) m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7 (3) m1∨m3∨m4∨m5∨m7 真值表和主合取范式的关系 (1)(2) M6 (3) M0∧M2∧M6
2010年11月12日1时30分
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§2.3