命题逻辑等值演算
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离散数学-命题逻辑等值演算
消解规则
总结词
消解规则允许我们通过消除两个等价的 命题来得出新的结论。
VS
详细描述
消解规则允许我们通过消除两个等价的命 题来得出新的结论。例如，如果我们有两 个等价的命题A和B，并且知道A能推出C， 同时B能推出D，那么我们可以通过消解规 则得出C ∧ D。
03
推理规则
假言推理
总结词
假言推理是一种基于前件和后件的推理方法，前件是推理的前提，后件是推出的结论。
详细描述
假言推理的逻辑形式是“如果P，则Q”，表示当P为真时，Q也为真。例如，“如果天 下雨，则地面会湿”，当天下雨时，可以推断出地面会湿。
应用场景
假言推理在日常生活和科学研究中广泛应用，如自然语言处理、人工智能、法律推理等 领域。
拒取式与析取三段论
总结词
拒取式是一种通过否定结论 来推导前提的推理方法，而 析取三段论则是通过前提的 析取来推导结论的推理方法
人工智能中的逻辑推理是离散数学中命题逻辑等值演算的另 一个重要应用。在自然语言处理、知识表示和推理、智能决 策等领域，逻辑推理都发挥着关键作用。
通过使用命题逻辑等值演算，人工智能系统可以更好地理解 和处理复杂的逻辑关系，提高推理的准确性和效率。例如， 在专家系统中，逻辑推理可以帮助我们构建知识库和推理机 ，实现智能化的决策支持。
05
习题与思考
命题逻辑的习题练习
练习题1
理解命题逻辑的基本概念，如命题、联结词、量词等，并能够准确 判断一个语句是否为命题。
练习题2
掌握命题逻辑中的推理规则，如析取三段论、合取三段论、假言推 理等，并能够运用这些规则进行简单的逻辑推理。
练习题3
利用真值表法判断复合命题的真假值，理解复合命题的逻辑关系。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
第二章命题逻辑等值演算
每种数字标准形都能提供很多信息，如代数式的 因式分解可判断代数式的根情况。逻辑公式在等 值演算下也有标准形--范式 （公式的规范化）
2.2 析取范式与合取范式
定义2.2 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式。 如：p、┐p、p∨┐q∨r等是简单析取式 p、┐p、 p∧q∧┐r 等是简单合取式 注:一个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
(p→r)∧(q→r) （ ┐p∨ r)∧(┐q∨ r) (┐p ∧ ┐q ) ∨ r ┐(p ∨q ) ∨ r (p∨q)→r
一般情况下，不能用等值演算法直接验证两个公 式不等值。 例2.4 证明：(p→q)→r p→(q→r)
证： 方法一：真值表法。 方法二：观察法。 易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010是p→(q→r)的 成真赋值，所以原不等值式成立。 方法三：设A=(p→q)→r, B=p→(q→r) A= (p→q)→r (┐p∨q)→r ┐(┐p∨q)∨r (p∧┐q)∨r B= p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r) ┐p∨┐q∨r 容易观察到， 000，010是A 的成假赋值， 而它们是B的 成真赋值。
A∨ 0 A ， A∧ 1 A A∨┐A 1
11. 矛盾律
12. 蕴涵等值式 13. 等价等值式 14. 假言易位
A∧┐A 0
A→ B ┐ A∨ B (A B) (A→B)∧(B→A) A→B ┐B→┐A A B ┐A ┐B (A→B)∧(A→┐B) ┐A
Hale Waihona Puke (p→q) r ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
离散数学命题逻辑等值演算
命题公式与分类
命题公式
由命题变元、联结词和括号组成的符号 串，例如“(P ∧ Q) → R”。
VS
分类
根据命题公式的结构和性质，可将其分为 重言式、矛盾式、可满足式等类型。其中 ，重言式在所有赋值下都为真，矛盾式在 所有赋值下都为假，可满足式则存在至少 一组赋值使其为真。
PART 02
等值演算基本原理
命题
具有明确真假值的陈述句，例如“今 天是晴天”或“2 + 2 = 5”。
联结词
用来连接命题并构成复合命题的词汇 ，如“且（∧）”、“或（∨）”、“ 非（¬）”、“如果...则...（→）”等 。
真值表与逻辑等价
真值表
列出命题逻辑中所有可能的真值组合 ，用于确定复合命题的真假值。
逻辑等价
两个命题在所有可能的真值组合下具 有相同的真假值，则称这两个命题逻 辑等价。
吸收律、分配律及应用
吸收律定义
在命题逻辑中，吸收律描述了两个公式之间的等值关系。具体公式为：P∨(P∧Q)⇔P 和 P∧(P∨Q)⇔P。
分配律定义
分配律是命题逻辑中的基本等值式之一，它允许合取和析取在逻辑表达式中进行分配。具体公式为： P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R) 和 P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)。
PART 06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
等值式与蕴含式
等值演算基本规则
包括双重否定律、幂等律、交换 律、结合律、分配律、吸收律、 德摩根律等，是进行命题逻辑等 值演算的基本依据。
命题逻辑基本概念
命题、联结词、命题公式、真值 表等基本概念是命题逻辑的基础 。
理解等值式与蕴含式的概念及性 质，掌握二者之间的转换方法。
命题逻辑等值演算
第二章 命题逻辑等值演算
等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、(主)合取范
式、联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、消解法 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 4
例6 用等值演算法判断公式的类型
(1) ( p→q) ∧p → q
(2) ┐( p→(p∨q ) ) ∧r
(3) p∧(((p∨q)∧p ) → q )
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 范式存在定理:
p
q
F
r
当且仅当 p、q、r 的输入为 0,0,1 或 1,0,0 或 0,1,1 或 1,1,0 时输出 F 为 1
2020年3月31日3时11分
®
§2.4 可满足性问题与消解法
命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一
解决方法: 真值表法、主析取范式或主合取范式 缺点: 计算量大 新方法: 消解法 命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题
矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项 个数）个极大项
而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项 重言式的主合取范式记为1。矛盾式的主析取范式为0 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项,主合取范式中极大项的个
数一定小于2n
2020年3月31日3时11分
®
例1 判断下列公式是否是可满足式
p ∧ (p∨q) ∧ ( p∨┐q) ∧ (q∨┐r) ∧ (q∨r)
等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、(主)合取范
式、联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、消解法 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 4
例6 用等值演算法判断公式的类型
(1) ( p→q) ∧p → q
(2) ┐( p→(p∨q ) ) ∧r
(3) p∧(((p∨q)∧p ) → q )
2020年3月31日3时11分
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§2.2 析取范式与合取范式
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 范式存在定理:
p
q
F
r
当且仅当 p、q、r 的输入为 0,0,1 或 1,0,0 或 0,1,1 或 1,1,0 时输出 F 为 1
2020年3月31日3时11分
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§2.4 可满足性问题与消解法
命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一
解决方法: 真值表法、主析取范式或主合取范式 缺点: 计算量大 新方法: 消解法 命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题
矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项 个数）个极大项
而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项 重言式的主合取范式记为1。矛盾式的主析取范式为0 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项,主合取范式中极大项的个
数一定小于2n
2020年3月31日3时11分
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例1 判断下列公式是否是可满足式
p ∧ (p∨q) ∧ ( p∨┐q) ∧ (q∨┐r) ∧ (q∨r)
命题逻辑等值演算
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应用举例——证明两个公式等值 证明两个公式等值 应用举例
例2 证明 (p ∨ q)→r ⇔ (p → r) ∧ (q → r) → 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 可以从左边开始演算,也可以从右边开始演算. 证 (p → r) ∧ (q → r) 蕴涵等值式） ⇔(¬p ∨ r ) ∧ (¬ q ∨ r) ¬ ¬ （蕴涵等值式） 分配律） ⇔ (¬p ∧ ¬ q ) ∨ r ¬ （分配律） 德摩根律） ⇔ ¬ (p ∨ q) ∨ r （德摩根律） ⇔ (p ∨ q)→r → （蕴涵等值式） 蕴涵等值式）
11
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (续) 续
(2) (p→q)↔(¬q→¬ →¬p) → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ ∨¬p) （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ 交换律） ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) （交换律） ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 由最后一步可知，该式为重言式. 由最后一步可知，该式为重言式 最后一步为什么等值于1？ 问：最后一步为什么等值于 ？
18
于是,由同一律可知: E ⇔ ( ¬p ∧ q ∧ ¬r ) ∧ (p ∧ ¬ q ∧ r ) 但因为王教授不能既是上海人,又是杭州人,因 而p, r必有一个假命题,即p ∧ ¬ q ∧ r ⇔ 0,于是 于是 E ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r 为真命题. 因而必有p, r为假命题, q为真命题, 即王教授 为上海人.甲说得全对,丙说对了一半,而乙全说 错了.
17
由王教授所说,可推出 E= (B1 ∧ C2 ∧ D3) ∨ (B1 ∧ C3 ∧ D2) ∨(B2 ∧ C1 ∧ D3) ∨(B2 ∧ C3 ∧ D1) ∨(B3 ∧ C1 ∧ D2) ∨(B3 ∧ C2 ∧ D1) 为真命题.而 B1 ∧ C2 ∧ D3 ⇔ 0 B1 ∧ C3 ∧ D2 ⇔ ¬p ∧ q ∧ ¬r B2 ∧ C1 ∧ D3 ⇔ 0 B2 ∧ C3 ∧ D1 ⇔ 0 B3 ∧ C1 ∧ D2 ⇔ p ∧ ¬ q ∧ r B3 ∧ C2 ∧ D1 ⇔ 0
命题公式等值演算
命题公式等值演算命题公式等值演算（Propositional Formula Equivalence）是数理逻辑领域中的一个重要概念和技巧。
本文将介绍命题公式等值演算的基本思想和常用方法，并通过一些例子来详细说明。
一、命题公式等值关系的定义在逻辑学和计算机科学中，命题公式是由包含命题变量、逻辑运算符和括号构成的表达式。
而命题公式等值关系则是指两个命题公式具有相同的真值。
换句话说，当且仅当两个命题公式在每一个赋值下具有相同的真值时，它们才是等值的。
例如，对于命题变量p和q，表达式(p∧q)∨(¬p∧¬q)和(p∨¬q)∧(¬p∨q)是等值的，因为它们在每一个赋值下的真值相同。
二、命题公式等值演算的基本规则命题公式等值演算是通过一系列基本规则来推导等值式的过程。
下面是一些常用的基本规则：1. 交换律：p∧q ≡ q∧p，p∨q ≡ q∨p2. 结合律：(p∧q)∧r ≡ p∧(q∧r)，(p∨q)∨r ≡ p∨(q∨r)3. 分配律：p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)，p∨(q∧r) ≡ (p∨q)∧(p∨r)4. 吸收律：p∧(p∨q) ≡ p，p∨(p∧q) ≡ p5. 否定律：p∨¬p ≡ T，p∧¬p ≡ F6. 德摩根定律：¬(p∧q) ≡ ¬p∨¬q，¬(p∨q) ≡ ¬p∧¬q7. 双重否定律：¬(¬p) ≡ p三、命题公式等值演算的应用命题公式等值演算是数理逻辑中的一项基础技术，可以应用于证明命题的等价关系、简化复杂的命题公式以及构造等价的命题公式等领域。
1. 证明等价关系通过命题公式等值演算，可以证明两个命题公式之间的等价关系。
例如，要证明(p∨q)∧(¬p∨q) ≡ q，可以使用分配律、交换律和吸收律等基本规则进行推导。
2. 简化命题公式当给定一个复杂的命题公式时，可以利用命题公式等值演算的基本规则来简化它，使得它更加易于理解和计算。
02命题逻辑等值演算
（同一律）
1∨┐p
（排中律）
1
（零律）
例2.5 解答
(2) ┐(p→(p∨q))∧r ┐(┐p∨p∨q)∧r (p∧┐p∧┐q)∧r 0∧r 0
(3) p∧(((p∨q)∧┐p)→q) p∧(┐((p∨q)∧┐p)∨q) p∧(┐((p∧┐p)∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐(0∨(q∧┐p))∨q) p∧(┐q∨p∨q) p∧1 p
A=(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴涵等值式）
┐(┐p∨q)∨r
（蕴涵等值式）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律）
B=p→(q→r) ┐p∨(┐q∨r)
（蕴涵等值式）
┐p∨┐q∨r
（结合律）
000，010是A旳成假赋值，而它们是B旳成真赋值。
例题
例题2.5 用等值演算判断下列公式旳类型： （1）(p→q)∧p→q （2）(p→(p∨q))∧r （3）p∧(((p∨q)∧┐p)→q)
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例2.4 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 措施一、真值表法。
措施二、观察法。易知，010是(p→q)→r旳成假赋值，而010 是p→(q→r)旳成真赋值，所以原不等值式成立。
措施三、经过等值演算化成轻易观察真值旳情况，再进行判断。
例题
例题2.2 判断下列各组公式是否等值 (1)p→(q→r)与(p∧q)→r (2)(p→q)→r与(p∧q)→r
解答
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.互换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
命题逻辑等值演算
mi(Mi)称为极小项(极大项)的名称。且有mi Mi ,
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
|
第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
Mi mi。
例 2 由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
例 3 p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
三、主范式
1、主析取范式：由极小项构成的析取范式。
2、主合取范式：由极大项构成的合取范式。
3、主范式：主析取范式与主合取范式统称为主范式。
值。
方法三 用等值演算先化简两个公式，再观察.
例3用等值演算法判断下列公式的类型
(1) q(pq)
解： q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式）
q(pq)
（德摩根律）
p(qq)
（交换律，结合律）
p0
（矛盾律）
0
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
(pq)r
（否定号内移——德摩根律）
这一步已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (pq)r
(pr)(qr) （对分配律）
得到合取范式（由两个简单析取式构成）。
二、极小项与极大项
1、定义 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中，若每个命题变项（或它的
否定式）均以文字的形式出现且仅出现一次，称这样的简单合取式(简单析取式)为极
离散数学
第二章 命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
一、等值式
1、等值式：设A，B是命题公式，且AB为重言式,则称A与B是等值的，记作AB。
说明 ：1）符号不是联结符，只是一种记法。
2）若A与B的真值表相同（真值表法），则AB；否则A
B。
3）判断公式等值的方法——利用已知的等值式通过代换得到新的等值式。
五、主范式的应用
04 第二章 命题逻辑等值演算2
α(l′ )=1, 不妨设C1′含l′, 于是α满足C1. 把扩张到l(和lc)上:
若l=p, 则令α(p)=0; 若lc=p, 则令α(p)=1. 恒有α(lc)=1, 从而α 满足C2. 得证C1∧C2是可满足的. • 注意: C1∧C2与Res(C1,C2)有相同的可满足性, 但不一定等值.
消解序列与合取范式的否证
第二章 命题逻辑等值演算
• 等值式 • 析取范式与合取范式 • 主析取范式与主合取范式
第三节 主析取范式与主合取范式
1． 极小项与极大项 ． 定义 2.4 在含有 n 个命题变项的简单合取式 （简单析取式） 中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次，而且第 i（1≤i≤n）个文字出现在左起第 i 位上，称 这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
（2）判断公式的类型 设 A 含 n 个命题变项. A 为重言式 ⇔ A 的主析取范式含 2n 个极小项 ⇔ A 的主合取范式为 1. A 为矛盾式 ⇔ A 的主析取范式为 0 ⇔ A 的主合析取范式含 2n 个极大项 A 为非重言式的可满足式 ⇔ A 的主析取范式中至少含一个（但不是全部）极小项 ⇔ A 的主合取范式中至少含一个（但不是全部）极大项
• 定义2.10 设S是一个合取范式, C1,C2,…,Cn是一个简单析取式 序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是 Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当 Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证. • 定理2.9 一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证. • 例11 用消解规则证明S=(¬p∨q)∧(p∨q∨¬s)∧(q∨s)∧¬q是不可 满足的. 证 C1=¬p∨q, C2= p∨q∨¬s, C3=Res(C1,C2)=q∨¬s, C4=q∨s, C5=Res(C3,C4)=q, C6=¬q, C7=Res(C5,C6)=λ, 这是S的否证.
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
21命题逻辑的等值和推理演算
C
P∧Q
FF
T
T
F
T
P∧Q
FT
T
T
F
F
TF
F
F
T
T
P∧Q
TT
T
F
F 任意
2.3 命题公式与真值表的关系
按真值表列出命题公式的方法
从F来列出
如下表中B为F有二种可能
所以，B的命题公式形式为：□ ∧ □
而取F相应的P、Q解释分别为： P∨Q 、 P∨ Q
所以，B=(P∨Q)∧(P∨Q ) 同理，A= P∨Q
P
Q
PQ PQ P Q
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
联结词“↑”的性质
n 定义： P↑Q = ¬(P∧Q) n 性质——
⑴ P↑P = ¬(P∧P) = ¬P
类似地，可用“↓” 表示命题公式间的 “与”、“或”和 “非”关系
⑵ (P↑Q)↑(P↑Q) = ¬(P↑Q)
= ¬¬(P∧Q)
=P∧Q
可见，能用等值演算证明公式的类型，此例说明它为重言式
用等值演算法判断下列公式的类型
(1) Q(PQ)
解 Q(PQ)
= Q(PQ) （蕴涵等值式）
= Q(PQ) （德摩根律）
= P(QQ) （交换律，结合律）
= PF
（矛盾律）
=F
（零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
用等值演算法判断下列公式的类型
A—与A*同永真，同可满足
n 对偶性是逻辑规律，给证明公式的等值和求否定带来方便
命题逻辑的等值演算
1命题逻辑的等值演算这一讲讨论命题公式之间的等值关系，其中一些重要的等值关系将用于对命题公式进行等值运算和设计推理规则。
1. 等值式定义1.1 若命题公式A 和B 是恒等的布尔代数式，即在任何赋值下二者的值总相等，则称二者是等值的，记为A B A B ≡⇔或者称为等值式。
注意，等值式不是逻辑公式，而是逻辑学的公式。
显然，A ≡B 当且仅当A B ↔是永真公式。
等值关系的性质：（1） 自反性：对任何公式A ，都有 A A ≡。
（2） 对称性：若 A B ≡，则 B A ≡。
（3） 传递性：若 A B ≡且若 B C ≡，则 A C ≡。
例1.2 试证明下列等值式。
a a ⌝⌝≡证明：当a =1时，左式=101⌝⌝=⌝==右式。
当a =0时，左式=010⌝⌝=⌝==右式。
因此，左式恒等于右式。
依定义，该等值式成立。
例1.3试证明下列等值式。
()()() a b c a b a c ∧∨≡∧∨∧证明：当a =1时，左式=b c ∨，右式=b c ∨，两边相等。
当a =0时，左式=0，右式=0，两边相等。
因此，该等值式成立。
2上述两例中的证明方法可以称为代数分析法。
还有一种演算方法，可以将将左式等值地变形为右式。
这种保持公式真值的演算称为等值演算。
2. 等值演算规则：替换等值演算是将当前公式中的某个子公式替换为与之等值的公式。
替换在课本中称为置换，与抽象代数中的置换（permutation ）是不同的概念。
替换的定义如下。
定义3.1 设[] A Φ是一个命题公式，A 是出现在其中某处的一个子公式。
若用另外一个公式B 替换[] A Φ中的A ，则可得一个新公式，记为[] A Φ。
我们称这种公式变形为替换（replacement ）。
注意，这里A 是指[] A Φ中某一处出现的子公式，不是[] A Φ中所有与A 相同的子公式。
例如，将()()p q p r ⌝⌝→∨⌝⌝→中第二次出现的子公式p ⌝⌝替换为p ，得()()p q p r ⌝⌝→∨→定理3.2（替换原理）若 A B ≡，则[][] A B Φ≡Φ。
第2章 命题逻辑的等值演算
如果将真值1，0 看做是数，则每一个解释对应一 个n位二进制数。 假设使极小项m取1值的解释对应的二进制数为i， 今后将m记为mi。
例:
对p，q，r而言，pqr是极小项 解释{p，q，r}使该极小项取1值，解释{p，q， r} 对应的二进制数是2 (010) 于是pqr记为m2
例：
(p(qr))s (p(qr))s p(qr)s p(qr)s …………….
式)
(ps)(qr) (psq)(psr)
( 析取范
…… (合取范式)
主范式
定义2. 4 设p1,…,pn是n个不同原子，一个简单合取式如果 恰好包含所有这n个原子或其否定，且其排列顺序与 p1,…,pn的顺序一致，则称此简单合取式为关于p1,…,pn的 一个极小项。 显然，共有2n个不同的极小项。 例如: 对原子 p，q，r 而言， pqr，pqr，pqr 都是 极小项，但是，p，pq不是极小项， 对原子p，q而言,pq是极小项。
例
判断公式 (pq)(qr)(rp)是否永假? 解： (pq)(qr)(rp) (pq)(qr)(rp) ((pq)(qq)(pr)(qr))(rp) (pqr)(qqr)(prr)(q rr)(pqp)(qqp)(prp) (qrp) 故公式(pq)(qr)(rp)不是永假的。
命题公式和真值表的关系
从0来列写
B (…) ∧ (…)
由1列写的方式进行转化： B (…)∨ (…) B (…) ∧ (…) (…) 写成析取式，表示一种 B 值为假的情况。如 p=1，q=0 时为假，
(…) 写成p ∧q， (…)写成 p ∨ q
1值取p形式
定理
对于任意公式G，存在唯一一个与G等值的主析取 范式。
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１ (零律）
由于该公式与1等值， 故它为重言式．
（２） ┐(p→q)∧ｒ∧q
┐(┐ｐ∨q)∧ｑ∧ｒ （蕴含等值式、交换律)
p∧（┐ｑ∧ｑ)∧r （德·摩根律、结合律）ﻫ p∧0∧r (矛盾律)ﻫ 0 （零律)
由于公式与０等值， 故它为矛盾式.
（3） (p→q)∧┐p
(┐p∨q）∧┐p （蕴含等值式)ﻫ ┐p （吸收律)
ｐ∧┐ｑ∧q∧r (┐内移)
0 (矛盾律和零律)
该公式的主析取范式为０， 故它为矛盾式， 0０, 01, 10, 1１全为成假赋值, 无成真赋值.
(3) （ｐ→q)∧┐ｐﻫ (┐p∨q)∧┐p （消去→）
┐p∨（┐p∧ｑ) (分配律、幂等律) 已为析取范式
(┐p∧┐q）∨(┐ｐ∧ｑ)
m０∨m1ﻫ 主析取范式中含２个极小项, 成真赋值为０0和01.
(3）若A为重言式, 说明2ｎ个赋值都是成真赋值， 因而主析取范式中含有2ｎ个极小项．
(4）若A为矛盾式， 则Ａ无成真赋值, 因而A的主析取范式不含任何极小项, 规定A的主析取范式为０, 而
不是1． 若是1, 则A 1， 这与A为矛盾式不是矛盾了吗?
(5）若A为矛盾式, 则A的2n个赋值都是成假赋值, 因而主合取范式应含有2n个极大项, 而不是1. 若为1，
（１） (p→q)→(┐q→┐ｐ)ﻫ ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p） (消去→)
(ｐ∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式）ﻫ (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨（ｐ∧q） (*）ﻫ m2∨m０∨m1∨ｍ1∨m3ﻫ m0∨ｍ1∨m2∨m3(幂等律、排序)
(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：
（3)若A为重言式, 则A的主析取范式中含有2ｎ个极小项.
该命题为真 该命题为假
（4)若A为矛盾式, 则Ａ的主析取范式为１．
该命题为真 该命题为假
（５）若A为矛盾式, 则Ａ的主合取范式为1.
该命题为真 该命题为假
（6)任何公式A都能等值地化为联结词集｛∧、∨} 中的公式.
该命题为真 该命题为假
（7）任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式. ﻫ 该命题为真 该命题为假
由最后一步可知， 该公式既有成真赋值０0和0１, 又有成假赋值10和１1， 故它为可满足式．
注意：等项演算的过程不是唯一的， 但重言式一定与1等值, 矛盾式一定与0等值. 而可满足式化简到
能观察出成真和成假赋值都存在即可.
题3分析：
求主析取范式可用真值表法, 也可以用等值演算法, 这里用等值演算法.
题4分析:
求公式的主合取范式一般可有三种方法:
（i） 真值表法;
(ii） 等值演算法;
(iii)用主析取范式求主合取范式.
这里用方法（ｉiｉ）， 其余两种方法留给读者.
2.
用等值演算法来判断下列公式的类型.
（1)(ｐ→ｑ）→(┐ｑ→┐p)
(2)┐(p→q)∧ｒ∧q
（3）(p→q)∧┐p
3.
用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值.
题2中三个公式如下：
（１)(p→q)→(┐ｑ→┐p）
(2)┐（p→q)∧ｒ∧q
（3）(ｐ→q）∧┐p
4.
求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值.
┐p ┐p∧(┐ｑ∨ｑ)
（┐p∧┐q)∨(┐p∧q)ﻫﻫ q （┐p∨p)∧q
(┐p∧ｑ）∨(p∧q）
熟练之后, 以上过程可不写在演算过程中. 该公式中含n=2个命题变项， 它的主析取范式中含了22=4
个极小项， 故它为重言式, 00, 0１, 10, １1全为成真赋值.
(２） ┐(ｐ→ｑ）∧ｒ∧qﻫ ┐(┐p∨q)∧ｒ∧q （消去→)
命题逻辑等值演算
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期：
1.
设A与B均为含n个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？
（1）A Ｂ 当且仅当 A B是可满足式． ﻫ 该命题为真 该命题为假
(2)A B 当且仅当 A与B有相同的主析取范式. ﻫ 该命题为真 该命题为假
则Ａ 1， A不就成了重言式了吗？
（6){∧、∨}不是联结词完备集. 因而, 有的公式不能等值地化为它中的公式. 例如:ﻫ p q ┐ｐ∨q ┐（p∧┐q) .．． 但无论如何不能只含联结词∧和∨.
（7)｛┐、→}是联结词完备集, 在它中再加一个联结词∧, 所得集合{┐、→、∧}也为完备集， 因而
任何公式A都能等值地化为联结词集｛┐、→、∧}中的公式.
题2中三个公式如下：
（１）(p→q)→(┐ｑ→┐ｐ)
(2)┐(ｐ→q)∧r∧q
(３)(p→q)∧┐ｐ
ﻫﻫ
５.
已知命题公式A中含3个命题变项p, q， r， 并知道它的成真赋值分别为00１， 010, 111， 求Ａ的主析取范式和主合取范式.
6.
用等值演算法证明下面等值式.
(１）(┐p∨q)∧(p→r) p→（ｑ∧r)
（5）若周去， 则赵、钱也同去
问该公司应选派哪些人出国？
例题分析
题１分析:
（1）A B 当且仅当 A B为重言式, 而不是可满足式.
（2）A B说明A与B有相同的成真赋值, 因而有相同的主析取范式;反之若A与B有相同的主析取范式，
说明它们有相同的成真赋值,当然也有相同的成假赋值. 因而Ａ B为重言式，故Ａ Ｂ.
（2）(p∧q)∨┐（┐p∨q) p
7.
求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式：
（1){┐，∧, ∨}
(2){┐,∧}
(３）{┐,∨}
(4）{┐, →}
（5）｛↑}Βιβλιοθήκη 8.用等值演算法求解下面问题.
某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件:ﻫ （1)若赵去, 则钱也去ﻫ （2）李、周中至少去一人ﻫ (３）钱、孙中去且仅去一人ﻫ （4)孙、李两人都去或都不去
题2分析:
(１） （p→q)→(┐ｑ→┐p)ﻫ ┐（┐ｐ∨q）∨(q∨┐p) (蕴涵等值式）ﻫ (ｐ∧┐q）∨(┐p∨q） （德·摩根律、交换律)
(（p∧┐q）∨┐p)∨q （结合律)
（(ｐ∨┐p)∧(┐q∨┐ｐ）)∨q (分配律)ﻫ (１∧(┐ｐ∨┐q))∨q (排中律、交换律）
┐ｐ∨(┐q∨q） (同一律、结合律）ﻫ ┐ｐ∨１ (排中律）
由于该公式与1等值， 故它为重言式．
（２） ┐(p→q)∧ｒ∧q
┐(┐ｐ∨q)∧ｑ∧ｒ （蕴含等值式、交换律)
p∧（┐ｑ∧ｑ)∧r （德·摩根律、结合律）ﻫ p∧0∧r (矛盾律)ﻫ 0 （零律)
由于公式与０等值， 故它为矛盾式.
（3） (p→q)∧┐p
(┐p∨q）∧┐p （蕴含等值式)ﻫ ┐p （吸收律)
ｐ∧┐ｑ∧q∧r (┐内移)
0 (矛盾律和零律)
该公式的主析取范式为０， 故它为矛盾式， 0０, 01, 10, 1１全为成假赋值, 无成真赋值.
(3) （ｐ→q)∧┐ｐﻫ (┐p∨q)∧┐p （消去→）
┐p∨（┐p∧ｑ) (分配律、幂等律) 已为析取范式
(┐p∧┐q）∨(┐ｐ∧ｑ)
m０∨m1ﻫ 主析取范式中含２个极小项, 成真赋值为０0和01.
(3）若A为重言式, 说明2ｎ个赋值都是成真赋值， 因而主析取范式中含有2ｎ个极小项．
(4）若A为矛盾式， 则Ａ无成真赋值, 因而A的主析取范式不含任何极小项, 规定A的主析取范式为０, 而
不是1． 若是1, 则A 1， 这与A为矛盾式不是矛盾了吗?
(5）若A为矛盾式, 则A的2n个赋值都是成假赋值, 因而主合取范式应含有2n个极大项, 而不是1. 若为1，
（１） (p→q)→(┐q→┐ｐ)ﻫ ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p） (消去→)
(ｐ∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式）ﻫ (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨（ｐ∧q） (*）ﻫ m2∨m０∨m1∨ｍ1∨m3ﻫ m0∨ｍ1∨m2∨m3(幂等律、排序)
(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下：
（3)若A为重言式, 则A的主析取范式中含有2ｎ个极小项.
该命题为真 该命题为假
（4)若A为矛盾式, 则Ａ的主析取范式为１．
该命题为真 该命题为假
（５）若A为矛盾式, 则Ａ的主合取范式为1.
该命题为真 该命题为假
（6)任何公式A都能等值地化为联结词集｛∧、∨} 中的公式.
该命题为真 该命题为假
（7）任何公式A都能等值地化为联结词集{┐、→、∧}中的公式. ﻫ 该命题为真 该命题为假
由最后一步可知， 该公式既有成真赋值０0和0１, 又有成假赋值10和１1， 故它为可满足式．
注意：等项演算的过程不是唯一的， 但重言式一定与1等值, 矛盾式一定与0等值. 而可满足式化简到
能观察出成真和成假赋值都存在即可.
题3分析：
求主析取范式可用真值表法, 也可以用等值演算法, 这里用等值演算法.
题4分析:
求公式的主合取范式一般可有三种方法:
（i） 真值表法;
(ii） 等值演算法;
(iii)用主析取范式求主合取范式.
这里用方法（ｉiｉ）， 其余两种方法留给读者.
2.
用等值演算法来判断下列公式的类型.
（1)(ｐ→ｑ）→(┐ｑ→┐p)
(2)┐(p→q)∧ｒ∧q
（3）(p→q)∧┐p
3.
用主析取范式法判断题2中3个公式的类型, 并求公式的成真赋值.
题2中三个公式如下：
（１)(p→q)→(┐ｑ→┐p）
(2)┐（p→q)∧ｒ∧q
（3）(ｐ→q）∧┐p
4.
求题2中3个公式的主合取范式, 并求公式的成假赋值.
┐p ┐p∧(┐ｑ∨ｑ)
（┐p∧┐q)∨(┐p∧q)ﻫﻫ q （┐p∨p)∧q
(┐p∧ｑ）∨(p∧q）
熟练之后, 以上过程可不写在演算过程中. 该公式中含n=2个命题变项， 它的主析取范式中含了22=4
个极小项， 故它为重言式, 00, 0１, 10, １1全为成真赋值.
(２） ┐(ｐ→ｑ）∧ｒ∧qﻫ ┐(┐p∨q)∧ｒ∧q （消去→)
命题逻辑等值演算
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———————————————————————————————— 日期：
1.
设A与B均为含n个命题变项的公式, 判断下列命题是否为真？
（1）A Ｂ 当且仅当 A B是可满足式． ﻫ 该命题为真 该命题为假
(2)A B 当且仅当 A与B有相同的主析取范式. ﻫ 该命题为真 该命题为假
则Ａ 1， A不就成了重言式了吗？
（6){∧、∨}不是联结词完备集. 因而, 有的公式不能等值地化为它中的公式. 例如:ﻫ p q ┐ｐ∨q ┐（p∧┐q) .．． 但无论如何不能只含联结词∧和∨.
（7)｛┐、→}是联结词完备集, 在它中再加一个联结词∧, 所得集合{┐、→、∧}也为完备集， 因而
任何公式A都能等值地化为联结词集｛┐、→、∧}中的公式.
题2中三个公式如下：
（１）(p→q)→(┐ｑ→┐ｐ)
(2)┐(ｐ→q)∧r∧q
(３)(p→q)∧┐ｐ
ﻫﻫ
５.
已知命题公式A中含3个命题变项p, q， r， 并知道它的成真赋值分别为00１， 010, 111， 求Ａ的主析取范式和主合取范式.
6.
用等值演算法证明下面等值式.
(１）(┐p∨q)∧(p→r) p→（ｑ∧r)
（5）若周去， 则赵、钱也同去
问该公司应选派哪些人出国？
例题分析
题１分析:
（1）A B 当且仅当 A B为重言式, 而不是可满足式.
（2）A B说明A与B有相同的成真赋值, 因而有相同的主析取范式;反之若A与B有相同的主析取范式，
说明它们有相同的成真赋值,当然也有相同的成假赋值. 因而Ａ B为重言式，故Ａ Ｂ.
（2）(p∧q)∨┐（┐p∨q) p
7.
求公式(p→┐q)∧r在以下各联结词完备集中与之等值的一个公式：
（1){┐，∧, ∨}
(2){┐,∧}
(３）{┐,∨}
(4）{┐, →}
（5）｛↑}Βιβλιοθήκη 8.用等值演算法求解下面问题.
某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须满足以下条件:ﻫ （1)若赵去, 则钱也去ﻫ （2）李、周中至少去一人ﻫ (３）钱、孙中去且仅去一人ﻫ （4)孙、李两人都去或都不去
题2分析:
(１） （p→q)→(┐ｑ→┐p)ﻫ ┐（┐ｐ∨q）∨(q∨┐p) (蕴涵等值式）ﻫ (ｐ∧┐q）∨(┐p∨q） （德·摩根律、交换律)
(（p∧┐q）∨┐p)∨q （结合律)
（(ｐ∨┐p)∧(┐q∨┐ｐ）)∨q (分配律)ﻫ (１∧(┐ｐ∨┐q))∨q (排中律、交换律）
┐ｐ∨(┐q∨q） (同一律、结合律）ﻫ ┐ｐ∨１ (排中律）