离散数学命题逻辑等值演算
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极大项 公式 成假赋值 0 0 0 1 1 0 1 1 名称
名称
m0 m1 m2 m3
pq pq
pq pq
pq pq
M0 M1 M2 M3
18
由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项与极大项由下表给出. 极小项 公式 p q r p q r p q r p q r 成真赋值 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 名称
27
（3）判断两个公式是否等值 例 用主析取范式判两个公式是否等值 ⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值. （4）解实际问题（见书上例 2.12）
（4）析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
A1 A2 Ar (r1)
（5）合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
A1 A2 Ar (r1)
（6）范式——析取范式与合取范式的总称
12
说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如 pq r, p qr 的公式既是析取范式， 又是合取范式
8
2. 判断公式类型
例 用等值演算法判断下列公式的类型 （1）q(pq) （2）(pq)(qp) （3）((p q)(pq)) r)
解（1）q(pq) q(p q) q(pq) p(qq) p0 0 （蕴涵等值式） （德摩根律） （交换律，结合律） （矛盾律） （零律）
说明：定义中，A, B, 均为元语言符号，A 或 B 中可能有哑元出现. 例如，在 (pq) ((p q) (r r)) 中，r 为左边公式的哑元.
用真值表可验证两个公式是否等值 请验证： (qr) (p q) r,p(qr) ⇎ (pq) r p
2
2、基本的等值式
B 置换了(A)中的所有的 A 后得到的命题公式，
若 BA，则(B)(A)
5
三、等值演算的应用举例（以后章节待续）
1．证明两个公式等值
例 证明 p(qr) (p q)r
证
p(qr) p(q r)
(pq) r (p q)r (p q)r
(A B)AB (A B)AB
A(AB)A, A(AB)A
3
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 归谬论
A11, AA1 AA0
A00
A0A. A1A
ABA B AB(AB)(BA) ABBA
9
由最后一步可知， （1）为矛盾式.
（2）(pq)(qp) (p q)(qp) (p q)(p q) 1 （蕴涵等值式） （交换律）
由最后一步可知， （2）为重言式. 问：最后一步为什么等值于 1？ 说明： （2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.
10
（3）((p q)(pq)) r)
第二章 命题逻辑等值演算
本章的主要内容： 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集
本章与其他各章的联系 是第一章的抽象与延伸 是后续各章的先行准备
1
第一节 等值式
一、等值式与基本的等值式
1． 等值式 定义 2.1 若等价式 AB 是重言式，则称 A 与 B 等值， 记作 AB，并称 AB 是等值式
（1）与 A 等值的主析取范式称为 A 的主析取范式； 与 A 等值的主合取范式称为 A 的主合取范式.
（2）主析取范式的存在惟一定理 定理 2.5 任何命题公式都存在着与之等值的 主析取范式和主合取范式,并且是惟一的
22
4. 用等值演算法求公式的主范式的步骤：
（1）先求析取范式（合取范式）
（2）将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成 与之等值的若干个极小项之析取（极大项之合取） ，利用的等值式 为同一律（零律） 、排中律（矛盾律） 、分配律、幂等律等.
（蕴涵等值式，置换规则） （结合律，置换规则） （德摩根律，置换规则） （蕴涵等值式，置换规则）
6
几点说明： 也可以从右边开始演算（请做一遍） 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 用等值演算不能直接证明两个公式不等值
7
例 证明 p(qr) ⇎ (pq)r
证 方法一 真值表法（自己证） 方法二观察赋值法. 易知 000, 010 等是左边 的成真赋值，是右边的成假赋值 方法三 用等值演算先化简两个公式， 再观察.
(p(qq)) r p1 r p r （分配律） （排中律） （同一律）
由最后一步可知， （3）不是矛盾式，也不是重言式， 它是可满足式，其实 101, 111 是成真赋值，000, 010 等是成假赋值. 总结：从此例可看出
A 为矛盾式当且仅当 A 0 A 为重言式当且仅当 A 1
双重否定律 AA 幂等律 交换律 结合律 分配律 德摩根律 吸收律
A AA, A AA A BB A, A BB A
(A B)CA(BC), (A B) CA(B C)
A(BC) (A B)(A C), A(BC) (A B)(A C)
3．解判定问题：见书上例2.6
11
第二节 析取范式与合取范式
一、析取范式与合取范式
1．基本概念 （1） 文字——命题变项及其否定的总称 （2） 简单析取式——有限个文字构成的析取式
p, q, pq, p q r, …
（3）简单合取式——有限个文字构成的合取式
p, q, pq, p q r, …
（3）极小项（极大项）用名称 mi（Mi）表示，并按角标 从小到大顺序排序.
例 求公式 A=(pq)r 的主析取范式与主合取范式.
23
（1）求主析取范式 (pq)r
(pq)r
(pq)
（析取范式）
(pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7
①
r (pp)(qq)r
（pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7 ②, ③代入①并排序，得
③ （主析取范式）
(pq)r m1m3m5 m6m7
24
（2）求 A 的主合取范式 (pq)r (pr)(qr) （合取范式） ①
16
二、主析取范式与主合取范式
1．极小项与极大项 定义 2.4 在含有 n 个命题变项的简单合取式（简 单析取式）中，若每个命题变项均以文字的形式 在其中出现且仅出现一次，而且第 i（1in）个 文字出现在左起第 i 位上，称这样的简单合取式 （简单析取式）为极小项（极大项）.
几点说明：
n 个命题变项产生 2n 个极小项和 2n 个极大项
26
2）判断公式的类型 设 A 含 n 个命题变项.
A 为重言式 A 的主析取范式含 2n 个极小项
A 的主合取范式为 1.
A 为矛盾式 A 的主析取范式为 0
A 的主合析取范式含 2 个极大项
n
A 为非重言式的可满足式
A 的主析取范式中至少含一个（但不是全部）极小项 A 的主合取范式中至少含一个（但不是全部）极大项
(AB)(AB) A
等价否定等值式 ABAB
注意：要牢记各个等值式，这是继续学习的基础.
4
二、等值演算与置换规则
１.等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程
２.等值演算的基础： （1）等值关系的性质：自反、对称、传递性 （2）基本的等值式 （3）置换规则（见 3）
３.置换规则 设(A)是含公式 A 的命题公式， B)是用公式 (
15
（2） (pq)r
(pq)r (pq)r (pq)r （消去第一个） （消去第二个） （否定号内移——德摩根律）
最后一步已为析取范式（两个简单合取式构成） 继续：
B (pq)r
(pr)(qr) （对分配律） 最后一步已为合取范式（由两个简单析取式构成）
（2）主合取范式——由极大项构成的合取范式
例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (p q r) (p q r) m1m3 ——主析取范式 (p q r) (p q r) M7M1——主合取范式
21
3. 命题公式A的主析取范式与主合取范式
pr
p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 ②
qr
(pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ②, ③代入①并排序，得 (pq)r M0M2M4 （主合取范式）
25
③
3. 主范式的用途——与真值表相同.
（1）求公式的成真成假赋值 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 当然成假赋值为 000, 010, 100. 类似地， 由主合取范式也立即求出成假或成真赋值.
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
19
p q r p q r p q r p q r
极大项 公式 成假赋值 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 名称
p q r p q r p q r p q r
p q r p q r p q r p qБайду номын сангаасr
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
mi 与 Mi 的关系由书上定理 2.4 给出，即
mi Mi, Mi mi
20
2. 主析取范式与主合取范式
定义 2.5 （1）主析取范式——由极小项构成的析取范式
2 个极小项（极大项）均互不等值 用 mi 表示第 i 个极小项，其中 i 是该极小项成真赋值 的十进制表示. Mi 表示第 i 个极大项，其中 i 是该极大 项成假赋值的十进制表示, mi（Mi）称为极小项（极大 项）的名称.
n
17
由 p, q 两个命题变项形成的极小项与极大项由下表给出 极小项 公式 pq pq 成真赋值 0 0 0 1 1 0 1 1
14
3. 求公式的范式举例 例 求下列公式的析取范式与合取范式 （1）A=(pq)r （2）B=(pq)r
解（1） (pq)r (pq)r pqr （消去） （结合律）
注意：最后结果既是 A 的析取范式（由 3 个简单 合取式组成的析取式） ，又是 A 的合取范式（由 一个简单析取式组成的合取式）
6. 最后说明两点： 由公式 A 的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式 A 的真值表求 A 的主范式.
28
二、联结词的完备集
1．定义 定义 2.7 设 S 是一个联结词集合，如果任何 n(n1) 元 真值函数都可以由仅含 S 中的联结词构成的公式表示，则称
主要性质： 简单析取式与简单合取式的性质见定理 2.1 析取范式与合取范式的性质见定理 2.2
13
2. 命题公式的范式 （1） 公式 A 的析取范式 （2） 公式 A 的合取范式 （3） 公式范式存在定理 定理 2.3 任何命题公式都存在着与之等值的 析取范式与合取范式
（4）求公式 A 的范式的步骤： 消去 A 中的, （若存在） 否定联结词的内移或消去 使用分配律：对分配（析取范式） 对分配（合取范式） （5）公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性
名称
m0 m1 m2 m3
pq pq
pq pq
pq pq
M0 M1 M2 M3
18
由 p, q, r 三个命题变项形成的极小项与极大项由下表给出. 极小项 公式 p q r p q r p q r p q r 成真赋值 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 名称
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（3）判断两个公式是否等值 例 用主析取范式判两个公式是否等值 ⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值. （4）解实际问题（见书上例 2.12）
（4）析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式
A1 A2 Ar (r1)
（5）合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式
A1 A2 Ar (r1)
（6）范式——析取范式与合取范式的总称
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说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式 形如 pq r, p qr 的公式既是析取范式， 又是合取范式
8
2. 判断公式类型
例 用等值演算法判断下列公式的类型 （1）q(pq) （2）(pq)(qp) （3）((p q)(pq)) r)
解（1）q(pq) q(p q) q(pq) p(qq) p0 0 （蕴涵等值式） （德摩根律） （交换律，结合律） （矛盾律） （零律）
说明：定义中，A, B, 均为元语言符号，A 或 B 中可能有哑元出现. 例如，在 (pq) ((p q) (r r)) 中，r 为左边公式的哑元.
用真值表可验证两个公式是否等值 请验证： (qr) (p q) r,p(qr) ⇎ (pq) r p
2
2、基本的等值式
B 置换了(A)中的所有的 A 后得到的命题公式，
若 BA，则(B)(A)
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三、等值演算的应用举例（以后章节待续）
1．证明两个公式等值
例 证明 p(qr) (p q)r
证
p(qr) p(q r)
(pq) r (p q)r (p q)r
(A B)AB (A B)AB
A(AB)A, A(AB)A
3
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 归谬论
A11, AA1 AA0
A00
A0A. A1A
ABA B AB(AB)(BA) ABBA
9
由最后一步可知， （1）为矛盾式.
（2）(pq)(qp) (p q)(qp) (p q)(p q) 1 （蕴涵等值式） （交换律）
由最后一步可知， （2）为重言式. 问：最后一步为什么等值于 1？ 说明： （2）的演算步骤可长可短，以上演算最省.
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（3）((p q)(pq)) r)
第二章 命题逻辑等值演算
本章的主要内容： 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集
本章与其他各章的联系 是第一章的抽象与延伸 是后续各章的先行准备
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第一节 等值式
一、等值式与基本的等值式
1． 等值式 定义 2.1 若等价式 AB 是重言式，则称 A 与 B 等值， 记作 AB，并称 AB 是等值式
（1）与 A 等值的主析取范式称为 A 的主析取范式； 与 A 等值的主合取范式称为 A 的主合取范式.
（2）主析取范式的存在惟一定理 定理 2.5 任何命题公式都存在着与之等值的 主析取范式和主合取范式,并且是惟一的
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4. 用等值演算法求公式的主范式的步骤：
（1）先求析取范式（合取范式）
（2）将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单析取式）化成 与之等值的若干个极小项之析取（极大项之合取） ，利用的等值式 为同一律（零律） 、排中律（矛盾律） 、分配律、幂等律等.
（蕴涵等值式，置换规则） （结合律，置换规则） （德摩根律，置换规则） （蕴涵等值式，置换规则）
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几点说明： 也可以从右边开始演算（请做一遍） 因为每一步都用置换规则，故可不写出 熟练后，基本等值式也可以不写出 用等值演算不能直接证明两个公式不等值
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例 证明 p(qr) ⇎ (pq)r
证 方法一 真值表法（自己证） 方法二观察赋值法. 易知 000, 010 等是左边 的成真赋值，是右边的成假赋值 方法三 用等值演算先化简两个公式， 再观察.
(p(qq)) r p1 r p r （分配律） （排中律） （同一律）
由最后一步可知， （3）不是矛盾式，也不是重言式， 它是可满足式，其实 101, 111 是成真赋值，000, 010 等是成假赋值. 总结：从此例可看出
A 为矛盾式当且仅当 A 0 A 为重言式当且仅当 A 1
双重否定律 AA 幂等律 交换律 结合律 分配律 德摩根律 吸收律
A AA, A AA A BB A, A BB A
(A B)CA(BC), (A B) CA(B C)
A(BC) (A B)(A C), A(BC) (A B)(A C)
3．解判定问题：见书上例2.6
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第二节 析取范式与合取范式
一、析取范式与合取范式
1．基本概念 （1） 文字——命题变项及其否定的总称 （2） 简单析取式——有限个文字构成的析取式
p, q, pq, p q r, …
（3）简单合取式——有限个文字构成的合取式
p, q, pq, p q r, …
（3）极小项（极大项）用名称 mi（Mi）表示，并按角标 从小到大顺序排序.
例 求公式 A=(pq)r 的主析取范式与主合取范式.
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（1）求主析取范式 (pq)r
(pq)r
(pq)
（析取范式）
(pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7
①
r (pp)(qq)r
（pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
m1m3m5m7 ②, ③代入①并排序，得
③ （主析取范式）
(pq)r m1m3m5 m6m7
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（2）求 A 的主合取范式 (pq)r (pr)(qr) （合取范式） ①
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二、主析取范式与主合取范式
1．极小项与极大项 定义 2.4 在含有 n 个命题变项的简单合取式（简 单析取式）中，若每个命题变项均以文字的形式 在其中出现且仅出现一次，而且第 i（1in）个 文字出现在左起第 i 位上，称这样的简单合取式 （简单析取式）为极小项（极大项）.
几点说明：
n 个命题变项产生 2n 个极小项和 2n 个极大项
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2）判断公式的类型 设 A 含 n 个命题变项.
A 为重言式 A 的主析取范式含 2n 个极小项
A 的主合取范式为 1.
A 为矛盾式 A 的主析取范式为 0
A 的主合析取范式含 2 个极大项
n
A 为非重言式的可满足式
A 的主析取范式中至少含一个（但不是全部）极小项 A 的主合取范式中至少含一个（但不是全部）极大项
(AB)(AB) A
等价否定等值式 ABAB
注意：要牢记各个等值式，这是继续学习的基础.
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二、等值演算与置换规则
１.等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程
２.等值演算的基础： （1）等值关系的性质：自反、对称、传递性 （2）基本的等值式 （3）置换规则（见 3）
３.置换规则 设(A)是含公式 A 的命题公式， B)是用公式 (
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（2） (pq)r
(pq)r (pq)r (pq)r （消去第一个） （消去第二个） （否定号内移——德摩根律）
最后一步已为析取范式（两个简单合取式构成） 继续：
B (pq)r
(pr)(qr) （对分配律） 最后一步已为合取范式（由两个简单析取式构成）
（2）主合取范式——由极大项构成的合取范式
例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (p q r) (p q r) m1m3 ——主析取范式 (p q r) (p q r) M7M1——主合取范式
21
3. 命题公式A的主析取范式与主合取范式
pr
p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 ②
qr
(pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ②, ③代入①并排序，得 (pq)r M0M2M4 （主合取范式）
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③
3. 主范式的用途——与真值表相同.
（1）求公式的成真成假赋值 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 当然成假赋值为 000, 010, 100. 类似地， 由主合取范式也立即求出成假或成真赋值.
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
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p q r p q r p q r p q r
极大项 公式 成假赋值 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 名称
p q r p q r p q r p q r
p q r p q r p q r p qБайду номын сангаасr
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
mi 与 Mi 的关系由书上定理 2.4 给出，即
mi Mi, Mi mi
20
2. 主析取范式与主合取范式
定义 2.5 （1）主析取范式——由极小项构成的析取范式
2 个极小项（极大项）均互不等值 用 mi 表示第 i 个极小项，其中 i 是该极小项成真赋值 的十进制表示. Mi 表示第 i 个极大项，其中 i 是该极大 项成假赋值的十进制表示, mi（Mi）称为极小项（极大 项）的名称.
n
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由 p, q 两个命题变项形成的极小项与极大项由下表给出 极小项 公式 pq pq 成真赋值 0 0 0 1 1 0 1 1
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3. 求公式的范式举例 例 求下列公式的析取范式与合取范式 （1）A=(pq)r （2）B=(pq)r
解（1） (pq)r (pq)r pqr （消去） （结合律）
注意：最后结果既是 A 的析取范式（由 3 个简单 合取式组成的析取式） ，又是 A 的合取范式（由 一个简单析取式组成的合取式）
6. 最后说明两点： 由公式 A 的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式 A 的真值表求 A 的主范式.
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二、联结词的完备集
1．定义 定义 2.7 设 S 是一个联结词集合，如果任何 n(n1) 元 真值函数都可以由仅含 S 中的联结词构成的公式表示，则称
主要性质： 简单析取式与简单合取式的性质见定理 2.1 析取范式与合取范式的性质见定理 2.2
13
2. 命题公式的范式 （1） 公式 A 的析取范式 （2） 公式 A 的合取范式 （3） 公式范式存在定理 定理 2.3 任何命题公式都存在着与之等值的 析取范式与合取范式
（4）求公式 A 的范式的步骤： 消去 A 中的, （若存在） 否定联结词的内移或消去 使用分配律：对分配（析取范式） 对分配（合取范式） （5）公式的范式存在，但不惟一，这是它的局限性